Forme geometriche che non sono poligoni. Tipi di poligoni" nell'ambito della tecnologia "Sviluppo del pensiero critico attraverso la lettura e la scrittura

Argomento: "Poligoni. Tipi di poligoni"

Grado 9

SL №20

Insegnante: Kharitonovich T.I. Scopo della lezione: lo studio dei tipi di poligoni.

Compito di apprendimento: aggiornare, ampliare e generalizzare la conoscenza dei poligoni da parte degli studenti; farsi un'idea di parti costitutive"poligono; condurre uno studio del numero di elementi costitutivi di poligoni regolari (da un triangolo a n-gon);

Compito di sviluppo: sviluppare la capacità di analizzare, confrontare, trarre conclusioni, sviluppare abilità computazionali, discorso matematico orale e scritto, memoria, nonché indipendenza di pensiero e attività didattiche capacità di lavorare in coppia e in gruppo; sviluppare la ricerca e attività cognitiva;

Compito educativo: coltivare indipendenza, attività, responsabilità per il compito assegnato, perseveranza nel raggiungimento dell'obiettivo.

Attrezzatura: lavagna interattiva (presentazione)

Durante le lezioni

Mostra presentazione: "Poligoni"

"La natura parla il linguaggio della matematica, le lettere di questo linguaggio... figure matematiche." G. Gallilei

All'inizio della lezione, la classe è divisa in gruppi di lavoro (nel nostro caso, suddivisione in 3 gruppi)

1. Fase di chiamata-

a) aggiornare le conoscenze degli studenti sull'argomento;

b) il risveglio dell'interesse per l'argomento di studio, la motivazione di ogni studente per le attività di apprendimento.

Ricezione: Il gioco "Credi che ...", organizzazione del lavoro con il testo.

Forme di lavoro: frontale, di gruppo.

"Credi che…."

1. ...la parola "poligono" indica che tutte le figure di questa famiglia hanno "molti angoli"?

2. ...un triangolo appartiene ad una grande famiglia di poligoni, distinti tra una varietà di differenti forme geometriche in superficie?

3. …un quadrato è un ottagono regolare (quattro lati + quattro angoli)?

Oggi nella lezione parleremo di poligoni. Apprendiamo che questa figura è delimitata da una linea spezzata chiusa, che a sua volta può essere semplice, chiusa. Parliamo del fatto che i poligoni sono piatti, regolari, convessi. Uno dei poligoni piatti è un triangolo che conosci da molto tempo (puoi mostrare i poster degli studenti raffiguranti poligoni, una linea spezzata, mostrarli diversi tipi, puoi anche usare TSO).

2. Fase di comprensione

Scopo: ottenere nuove informazioni, la loro comprensione, selezione.

Ricezione: zigzag.

Forme di lavoro: individuale->coppia->gruppo.

Ad ogni gruppo viene assegnato un testo sull'argomento della lezione e il testo è progettato in modo tale da includere sia informazioni già note agli studenti sia informazioni completamente nuove. Insieme al testo, gli studenti ricevono domande, le cui risposte devono essere trovate in questo testo.

Poligoni. Tipi di poligoni.

Chi non ha sentito parlare del misterioso Triangolo delle Bermuda, dove navi e aerei scompaiono senza lasciare traccia? Ma il triangolo che ci è familiare fin dall'infanzia è irto di molte cose interessanti e misteriose.

Oltre ai tipi di triangoli a noi già noti, divisi per lati (scaleni, isoscele, equilateri) e angoli (acuti, ottusi, retti), il triangolo appartiene a una grande famiglia di poligoni distinti da molti diverse forme geometriche sul piano.

La parola "poligono" indica che tutte le figure di questa famiglia hanno "molti angoli". Ma questo non basta a caratterizzare la figura.

Una linea spezzata A1A2…An è una figura composta dai punti A1,A2,…An e dai segmenti A1A2, A2A3,… che li collegano. I punti sono detti vertici della polilinea e i segmenti sono detti collegamenti della polilinea. (FIG. 1)

Una linea spezzata si dice semplice se non ha autointersezioni (Fig. 2,3).

Una linea spezzata si dice chiusa se i suoi estremi coincidono. La lunghezza di una linea spezzata è la somma delle lunghezze dei suoi collegamenti (Fig. 4)

Una semplice linea spezzata chiusa è chiamata poligono se i suoi collegamenti adiacenti non giacciono sulla stessa linea retta (Fig. 5).

Sostituisci nella parola "poligono" invece della parte "molti" un numero specifico, ad esempio 3. Otterrai un triangolo. Oppure 5. Quindi - un pentagono. Si noti che ci sono tanti angoli quanti sono i lati, quindi queste figure potrebbero essere chiamate multilaterali.

I vertici della polilinea sono chiamati vertici del poligono e i collegamenti della polilinea sono chiamati lati del poligono.

Il poligono divide il piano in due regioni: interna ed esterna (Fig. 6).

Un poligono piano o una regione poligonale è una parte finita di un piano delimitato da un poligono.

Due vertici di un poligono che sono estremità dello stesso lato sono detti vicini. I vertici che non sono estremità di un lato non sono adiacenti.

Un poligono con n vertici e quindi n lati è chiamato n-gon.

Sebbene numero più piccolo lati di un poligono - 3. Ma i triangoli, collegandosi tra loro, possono formare altre figure, che a loro volta sono anche poligoni.

I segmenti che connettono vertici non vicini di un poligono sono chiamati diagonali.

Un poligono si dice convesso se giace su un semipiano rispetto a qualsiasi linea che ne contenga il lato. In questo caso la linea stessa è considerata appartenente al SEMI-PIANO

L'angolo di un poligono convesso in un dato vertice è l'angolo formato dai suoi lati convergenti in quel vertice.

Dimostriamo il teorema (sulla somma degli angoli di un n-gon convesso): La somma degli angoli di un n-gon convesso è uguale a 1800*(n - 2).

Prova. Nel caso n=3 vale il teorema. Sia А1А2…А n un dato poligono convesso e n>3. Disegniamo le diagonali al suo interno (da un vertice). Poiché il poligono è convesso, queste diagonali lo dividono in n - 2 triangoli. La somma degli angoli del poligono è uguale alla somma degli angoli di tutti questi triangoli. La somma degli angoli di ciascun triangolo è 1800 e il numero di questi triangoli è n - 2. Pertanto, la somma degli angoli di un n convesso - angolo A1A2 ... A n è 1800 * (n - 2). Il teorema è stato dimostrato.

L'angolo esterno di un poligono convesso in corrispondenza di un dato vertice è l'angolo adiacente all'angolo interno del poligono in corrispondenza di quel vertice.

Un poligono convesso si dice regolare se tutti i lati sono uguali e tutti gli angoli sono uguali.

Quindi il quadrato può essere chiamato in modo diverso: un quadrilatero regolare. Anche i triangoli equilateri sono regolari. Tali figure sono state a lungo di interesse per i maestri che hanno decorato gli edifici. Hanno realizzato bellissimi motivi, ad esempio, sul parquet. Ma non tutti i poligoni regolari possono essere usati per formare il parquet. Il parquet non può essere formato da ottagoni regolari. Il fatto è che hanno ogni angolo uguale a 1350. E se un punto è il vertice di due di questi ottagoni, allora avranno 2700 e non c'è nessun posto dove adattarsi al terzo ottagono: 3600 - 2700 \u003d 900. Ma questo è sufficiente per un quadrato. Pertanto, è possibile piegare il parquet da ottagoni e quadrati regolari.

Le stelle sono corrette. La nostra stella a cinque punte è una stella pentagonale regolare. E se ruoti il quadrato attorno al centro di 450, ottieni una stella ottagonale regolare.

Cos'è una linea spezzata? Spiega quali sono i vertici e i collegamenti di una polilinea.

Quale linea spezzata si chiama semplice?

Quale linea spezzata si chiama chiusa?

Cos'è un poligono? Come si chiamano i vertici di un poligono? Quali sono i lati di un poligono?

Cos'è un poligono piatto? Fornisci esempi di poligoni.

Cos'è n-gon?

Spiega quali vertici del poligono sono adiacenti e quali no.

Qual è la diagonale di un poligono?

Cos'è un poligono convesso?

Spiega quali angoli del poligono sono esterni e quali interni?

Cos'è un poligono regolare? Fornisci esempi di poligoni regolari.

Qual è la somma degli angoli di un n-gon convesso? Provalo.

Gli studenti lavorano con il testo, cercano risposte alle domande poste, dopodiché si formano gruppi di esperti, in cui si lavora sulle stesse questioni: gli studenti evidenziano la cosa principale, redigono un abstract di supporto, presentano le informazioni in una delle forme grafiche. Al termine del lavoro, gli studenti tornano ai loro gruppi di lavoro.

3. Fase di riflessione -

a) valutazione delle loro conoscenze, sfida alla fase successiva della conoscenza;

b) comprensione e appropriazione delle informazioni ricevute.

Accoglienza: lavoro di ricerca.

Forme di lavoro: individuale->coppia->gruppo.

I gruppi di lavoro sono esperti nelle risposte a ciascuna delle sezioni delle domande proposte.

Tornando al gruppo di lavoro, l'esperto introduce gli altri membri del gruppo con le risposte alle loro domande. Nel gruppo c'è uno scambio di informazioni di tutti i membri del gruppo di lavoro. Quindi, in ciascuno gruppo di lavoro, grazie al lavoro di esperti, si forma un'idea generale sull'argomento in studio.

Ricerca studenti- riempimento della tabella.

Poligoni regolari Disegno Numero di lati Numero di vertici Somma di tutti gli angoli interni Grado misura di interno. angolo Grado misura dell'angolo esterno Numero di diagonali

A) un triangolo

B) quadrilatero

B) cinque buche

D) esagono

E) n-gon

Decisione compiti interessanti sull'argomento della lezione.

1) Quanti lati ha un poligono regolare, ciascuno dei quali angoli interni che è uguale a 1350?

2) In un certo poligono, tutti gli angoli interni sono uguali tra loro. La somma degli angoli interni di questo poligono può essere: 3600, 3800?

3) È possibile costruire un pentagono con angoli di 100,103,110,110,116 gradi?

Riassumendo la lezione.

Registrazione compiti a casa: STR 66-72 №15,17 E PROBLEMA: in un QUADRANGOLO, DISEGNA UNA DIRETTA IN MODO CHE LA DIVISA IN TRE TRIANGOLI.

Riflessione sotto forma di test (su una lavagna interattiva)

La parte del piano delimitata da una linea spezzata chiusa è chiamata poligono.

I segmenti di questa linea spezzata sono chiamati partiti poligono. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) - lati del poligono ABCDE. La somma di tutti i lati di un poligono è detta sua perimetro.

Viene chiamato il poligono convesso, se si trova su un lato di uno qualsiasi dei suoi lati, esteso indefinitamente oltre entrambi i vertici.

Il poligono MNPKO (Fig. 1) non sarà convesso, poiché si trova su più di un lato della retta KP.

Considereremo solo i poligoni convessi.

Gli angoli formati da due lati adiacenti di un poligono sono detti suoi interno angoli e le loro cime - vertici del poligono.

Un segmento di linea che collega due vertici non adiacenti di un poligono è chiamato diagonale del poligono.

AC, AD - diagonali del poligono (Fig. 2).

Gli angoli adiacenti agli angoli interni del poligono sono chiamati angoli esterni del poligono (Fig. 3).

A seconda del numero di angoli (lati), un poligono è chiamato triangolo, quadrilatero, pentagono, ecc.

Due poligoni si dicono uguali se possono essere sovrapposti.

Poligoni inscritti e circoscritti

Se tutti i vertici di un poligono giacciono su una circonferenza, viene chiamato il poligono iscritto in un cerchio, e il cerchio descritto vicino al poligono (fig.).

Se tutti i lati di un poligono sono tangenti a una circonferenza, il poligono viene chiamato descritto attorno al cerchio, e il cerchio viene chiamato iscritto in un poligono (fig.).

Somiglianza di poligoni

Due poligoni con lo stesso nome si dicono simili se gli angoli di uno di essi sono rispettivamente uguali agli angoli dell'altro e i lati simili dei poligoni sono proporzionali.

Vengono chiamati poligoni con lo stesso nome lo stesso numero lati (angoli).

I lati di poligoni simili sono detti simili se collegano i vertici di angoli corrispondentemente uguali (Fig.).

Quindi, ad esempio, affinché il poligono ABCDE sia simile al poligono A'B'C'D'E', è necessario che: E = ∠E' e, inoltre, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Rapporto perimetrale di poligoni simili

Innanzitutto, considera la proprietà di una serie di rapporti uguali. Abbiamo, ad esempio, relazioni: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Troviamo la somma dei membri precedenti di queste relazioni, quindi - la somma dei loro membri successivi e troviamo il rapporto delle somme ricevute, otteniamo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Otteniamo lo stesso se prendiamo un numero di altre relazioni, ad esempio: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 e poi troviamo il rapporto di queste somme, noi abbiamo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

In entrambi i casi, la somma dei membri precedenti di una serie di relazioni uguali è rapportata alla somma dei membri successivi della stessa serie, così come il membro precedente di una qualsiasi di queste relazioni è rapportato al suo successivo.

Abbiamo dedotto questa proprietà considerando una serie di esempi numerici. Si può dedurre rigorosamente e in forma generale.

Consideriamo ora il rapporto tra i perimetri di poligoni simili.

Sia il poligono ABCDE simile al poligono A'B'C'D'E' (fig.).

Ne consegue dalla somiglianza di questi poligoni che

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Sulla base della proprietà di una serie di relazioni uguali che abbiamo derivato, possiamo scrivere:

La somma dei termini precedenti delle relazioni che abbiamo preso è il perimetro del primo poligono (P), e la somma dei termini successivi di queste relazioni è il perimetro del secondo poligono (P '), quindi P / P ' = AB / A'B '.

Quindi, i perimetri di poligoni simili sono correlati come i loro lati corrispondenti.

Rapporto di aree di poligoni simili

Siano ABCDE e A'B'C'D'E' poligoni simili (fig.).

È noto che ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' e ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Oltretutto,

;

Poiché i secondi rapporti di queste proporzioni sono uguali, il che segue dalla somiglianza dei poligoni, quindi

Usando la proprietà di una serie di rapporti uguali, otteniamo:

dove S e S' sono le aree di questi poligoni simili.

Quindi, le aree di poligoni simili sono correlate come i quadrati di lati simili.

La formula risultante può essere convertita in questa forma: S / S '= (AB / A'B ') 2

Area di un poligono arbitrario

Sia richiesto di calcolare l'area di un quadrilatero arbitrario ABDC (Fig.).

Disegniamo una diagonale al suo interno, ad esempio AD. Otteniamo due triangoli ABD e ACD, le aree di cui possiamo calcolare. Quindi troviamo la somma delle aree di questi triangoli. La somma risultante esprimerà l'area del quadrilatero dato.

Se devi calcolare l'area di un pentagono, procediamo allo stesso modo: disegniamo le diagonali da uno dei vertici. Otteniamo tre triangoli, le aree di cui possiamo calcolare. Quindi possiamo trovare l'area di questo pentagono. Facciamo lo stesso quando calcoliamo l'area di qualsiasi poligono.

Area di proiezione del poligono

Ricordiamo che l'angolo tra una linea e un piano è l'angolo tra una data linea e la sua proiezione sul piano (Fig.).

Teorema. L'area della proiezione ortogonale del poligono sul piano è uguale all'area del poligono proiettato moltiplicata per il coseno dell'angolo formato dal piano del poligono e dal piano di proiezione.

Ogni poligono può essere diviso in triangoli, la cui somma delle aree è uguale all'area del poligono. Pertanto, è sufficiente dimostrare il teorema per un triangolo.

Sia ΔABC proiettato sul piano R. Considera due casi:

a) uno dei lati ΔABS è parallelo al piano R;

b) nessuno dei lati ΔABC è parallelo R.

Tenere conto primo caso: lascia [AB] || R.

Disegna attraverso il piano (AB). R 1 || R e proiettare ortogonalmente ΔABC su R 1 e su R(Riso.); otteniamo ΔABC 1 e ΔA'B'C'.

Per la proprietà di proiezione, abbiamo ΔABC 1 (cong) ΔA'B'C', e quindi

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Disegniamo ⊥ e il segmento D 1 C 1 . Allora ⊥ , a $\overbrace(CD_1C_1)$ = φ è l'angolo tra il piano ΔABC e il piano R uno . Così

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

e, quindi, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Passiamo alla considerazione secondo caso. Disegna un aereo R 1 || R attraverso quel vertice ΔАВС, la distanza dalla quale al piano R il più piccolo (che sia il vertice A).

Progettiamo ΔABC sull'aereo R 1 e R(Riso.); le sue proiezioni siano rispettivamente ΔAB 1 C 1 e ΔA'B'C'.

Sia (BC) ∩ p 1 = D. Allora

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Altri materiali

Proprietà del poligono

Un poligono è una figura geometrica, solitamente definita come una polilinea chiusa senza autointersezioni (un semplice poligono (Fig. 1a)), ma a volte sono consentite autointersezioni (quindi il poligono non è semplice).

I vertici della polilinea sono detti vertici del poligono e i segmenti sono detti lati del poligono. I vertici di un poligono sono detti vicini se sono le estremità di uno dei suoi lati. I segmenti di linea che collegano i vertici non vicini di un poligono sono chiamati diagonali.

Un angolo (o angolo interno) di un poligono convesso in un dato vertice è l'angolo formato dai suoi lati convergenti in questo vertice e l'angolo è considerato dal lato del poligono. In particolare, l'angolo può superare i 180° se il poligono non è convesso.

L'angolo esterno di un poligono convesso in corrispondenza di un dato vertice è l'angolo adiacente all'angolo interno del poligono in corrispondenza di quel vertice. In generale, l'angolo esterno è la differenza tra 180° e l'angolo interno. Da ogni vertice del -gon per > 3 escono - 3 diagonali, quindi numero totale le diagonali di a -gon sono uguali.

Un poligono con tre vertici è chiamato triangolo, con quattro - un quadrilatero, con cinque - un pentagono e così via.

Poligono con n si chiama picchi n- quadrato.

Un poligono piatto è una figura costituita da un poligono e dalla parte finita dell'area delimitata da esso.

Un poligono è detto convesso se è soddisfatta una delle seguenti condizioni (equivalenti):

1. giace su un lato di qualsiasi linea retta che collega i suoi vertici vicini. (cioè, le estensioni dei lati di un poligono non intersecano i suoi altri lati);
2. è l'intersezione (cioè parte comune) di più semipiani;
3. ad esso appartiene interamente qualsiasi segmento con estremità in punti appartenenti al poligono.

Un poligono convesso si dice regolare se tutti i lati sono uguali e tutti gli angoli sono uguali, ad esempio un triangolo equilatero, un quadrato e un pentagono.

Un poligono convesso si dice inscritto attorno a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti a una circonferenza

Un poligono regolare è un poligono in cui tutti gli angoli e tutti i lati sono uguali.

Proprietà del poligono:

1 Ogni diagonale di un -gon convesso, dove >3, lo scompone in due poligoni convessi.

2 La somma di tutti gli angoli di un -gon convesso è uguale a.

D-in: Dimostriamo il teorema con il metodo dell'induzione matematica. Per = 3 è ovvio. Supponiamo che il teorema sia vero per un -gon, dove <, e dimostralo per -gon.

Sia un dato poligono. Disegna una diagonale di questo poligono. Per il Teorema 3, il poligono è scomposto in un triangolo e in un gono convesso (Fig. 5). Per ipotesi di induzione. Dall'altro lato, . Sommando queste uguaglianze e tenendone conto (- angolo del fascio interno ) e (- angolo del fascio interno ), otteniamo Quando otteniamo: .

3 Di un qualsiasi poligono regolare è possibile descrivere un cerchio e, inoltre, solo uno.

D-in: Sia un poligono regolare, e e siano le bisettrici degli angoli, e (Fig. 150). Poiché, quindi, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке o. Dimostriamolo o = OA 2 = o =… = OA P . Triangolo o isoscele, quindi o= o. Secondo il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli, quindi, o = o. Allo stesso modo, è dimostrato che o = o eccetera. Quindi il punto o equidistante da tutti i vertici del poligono, quindi il cerchio di centro o raggio oè circoscritto ad un poligono.

Dimostriamo ora che esiste un solo cerchio circoscritto. Considera alcuni tre vertici di un poligono, ad esempio, MA 2 , . Poiché solo un cerchio passa attraverso questi punti, quindi sul poligono … Non puoi descrivere più di un cerchio.

4 In qualsiasi poligono regolare, puoi inscrivere un cerchio e, inoltre, solo uno.
5 Un cerchio inscritto in un poligono regolare tocca i lati del poligono nei loro punti medi.
6 Il centro di una circonferenza che circoscrive un poligono regolare coincide con il centro di una circonferenza inscritta nello stesso poligono.
7 Simmetria:

Una figura si dice simmetrica (simmetrica) se esiste un tale movimento (non identico) che trasforma questa figura in se stessa.

7.1. Un triangolo generale non ha assi o centri di simmetria, non è simmetrico. Un triangolo isoscele (ma non equilatero) ha un asse di simmetria: la bisettrice perpendicolare alla base.
7.2. Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria (bisettrici perpendicolari ai lati) e di simmetria rotazionale attorno al centro con un angolo di rotazione di 120°.

7.3 Ogni n-gon regolare ha n assi di simmetria, tutti passanti per il suo centro. Ha anche una simmetria rotazionale rispetto al centro con un angolo di rotazione.

Persino n alcuni assi di simmetria passano per vertici opposti, altri per i punti medi di lati opposti.

Per dispari n ogni asse passa per il vertice e il punto medio del lato opposto.

Il centro di un poligono regolare con un numero pari di lati è il suo centro di simmetria. Un poligono regolare con un numero dispari di lati non ha centro di simmetria.

8 Somiglianza:

Con somiglianza, e -gon va in un -gon, semipiano - in un semipiano, quindi convesso n-gon diventa convesso n-gon.

Teorema: Se i lati e gli angoli dei poligoni convessi e soddisfano le uguaglianze:

dove è il coefficiente del podio

allora questi poligoni sono simili.

8.1 Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è uguale al coefficiente di somiglianza.
8.2. Il rapporto delle aree di due poligoni simili convessi è uguale al quadrato del coefficiente di similarità.

teorema del perimetro del triangolo poligonale

Poligoni tematici - 8a elementare:

Viene chiamata una linea di segmenti adiacenti che non giacciono sulla stessa retta linea spezzata.

Le estremità dei segmenti sono picchi.

Ogni taglio- collegamento.

E tutte le somme delle lunghezze dei segmenti costituiscono il totale lunghezza linea spezzata. Ad esempio, AM + ME + EK + KO = lunghezza della polilinea

Se i segmenti sono chiusi, allora poligono(vedi sopra) .

Vengono chiamati i collegamenti in un poligono partiti.

La somma delle lunghezze dei lati - perimetro poligono.

I vertici sullo stesso lato sono confinante.

Viene chiamato un segmento di linea che collega vertici non adiacenti diagonale.

Poligoni chiamata per numero di lati: pentagono, esagono, ecc.

Tutto all'interno del poligono è parte interna dell'aereo, e tutto fuori - parte esterna dell'aereo.

Nota! L'immagine qui sotto- questo NON è un poligono, poiché sulla stessa retta ci sono punti comuni aggiuntivi per segmenti non adiacenti.

Poligono convesso giace su un lato di ogni riga. Per determinarlo mentalmente (o disegnando) continuiamo su ogni lato.

In un poligono tanti angoli quanti sono i lati.

In un poligono convesso somma di tutti gli angoli interniè uguale a (n-2)*180°. n è il numero di angoli.

Viene chiamato il poligono giusto se tutti i suoi lati e angoli sono uguali. Quindi il calcolo dei suoi angoli interni viene effettuato secondo la formula (dove n è il numero di angoli): 180° * (n-2) / n

Di seguito sono riportati i poligoni, la somma dei loro angoli e a cosa è uguale un angolo.

Gli angoli esterni dei poligoni convessi sono calcolati come segue:

Materia, età degli studenti: geometria, voto 9

Scopo della lezione: lo studio dei tipi di poligoni.

Compito didattico: aggiornare, ampliare e generalizzare la conoscenza dei poligoni da parte degli studenti; farsi un'idea dei "componenti" di un poligono; condurre uno studio del numero di elementi costitutivi di poligoni regolari (da un triangolo a n-gon);

Compito di sviluppo: sviluppare la capacità di analizzare, confrontare, trarre conclusioni, sviluppare capacità computazionali, discorso matematico orale e scritto, memoria, nonché indipendenza nelle attività di pensiero e apprendimento, capacità di lavorare in coppia e in gruppo; sviluppare attività di ricerca e didattica;

Compito educativo: coltivare indipendenza, attività, responsabilità per il compito assegnato, perseveranza nel raggiungimento dell'obiettivo.

Durante le lezioni: una citazione è scritta sulla lavagna

"La natura parla il linguaggio della matematica, le lettere di questo linguaggio... figure matematiche." G. Gallilei

All'inizio della lezione, la classe è divisa in gruppi di lavoro (nel nostro caso, la divisione in gruppi di 4 persone ciascuno - il numero dei membri del gruppo è uguale al numero dei gruppi di domande).

1. Fase di chiamata-

Obiettivi:

a) aggiornare le conoscenze degli studenti sull'argomento;

b) il risveglio dell'interesse per l'argomento di studio, la motivazione di ogni studente per le attività di apprendimento.

Ricezione: Il gioco "Credi che ...", organizzazione del lavoro con il testo.

Forme di lavoro: frontale, di gruppo.

"Credi che…."

1. ...la parola "poligono" indica che tutte le figure di questa famiglia hanno "molti angoli"?

2. … un triangolo appartiene a una grande famiglia di poligoni, distinti tra tante forme geometriche differenti sul piano?

3. …un quadrato è un ottagono regolare (quattro lati + quattro angoli)?

2. Fase di comprensione

Scopo: ottenere nuove informazioni, la loro comprensione, selezione.

Ricezione: zigzag.

Forme di lavoro: individuale->coppia->gruppo.

Poligoni. Tipi di poligoni.

La parola "poligono" indica che tutte le figure di questa famiglia hanno "molti angoli". Ma questo non basta a caratterizzare la figura.

Una linea spezzata A 1 A 2 ... A n è una figura composta da punti A 1, A 2, ... A n e segmenti A 1 A 2, A 2 A 3, ... che li collegano. I punti sono detti vertici della polilinea e i segmenti sono detti collegamenti della polilinea. (Fig. 1)

Una linea spezzata si dice semplice se non ha autointersezioni (Fig. 2,3).

Una linea spezzata si dice chiusa se i suoi estremi coincidono. La lunghezza di una linea spezzata è la somma delle lunghezze dei suoi collegamenti (Fig. 4).

Una semplice linea spezzata chiusa è chiamata poligono se i suoi collegamenti adiacenti non giacciono sulla stessa linea retta (Fig. 5).

I vertici della polilinea sono chiamati vertici del poligono e i collegamenti della polilinea sono chiamati lati del poligono.

Il poligono divide il piano in due regioni: interna ed esterna (Fig. 6).

Un poligono piano o una regione poligonale è una parte finita di un piano delimitato da un poligono.

Due vertici di un poligono che sono estremità dello stesso lato sono detti vicini. I vertici che non sono estremità di un lato non sono adiacenti.

Un poligono con n vertici e quindi n lati è chiamato n-gon.

Sebbene il numero minimo di lati di un poligono sia 3. Ma i triangoli, collegandosi tra loro, possono formare altre forme, che a loro volta sono anche poligoni.

I segmenti che connettono vertici non vicini di un poligono sono chiamati diagonali.

Un poligono si dice convesso se giace su un semipiano rispetto a qualsiasi linea che ne contenga il lato. In questo caso si considera che la retta stessa appartenga al semipiano.

L'angolo di un poligono convesso in un dato vertice è l'angolo formato dai suoi lati convergenti in quel vertice.

Dimostriamo il teorema (sulla somma degli angoli di un n-gon convesso): La somma degli angoli di un n-gon convesso è uguale a 180 0 *(n - 2).

Prova. Nel caso n=3 vale il teorema. Sia À 1 À 2 …À n un dato poligono convesso e n>3. Disegniamo le diagonali al suo interno (da un vertice). Poiché il poligono è convesso, queste diagonali lo dividono in n - 2 triangoli. La somma degli angoli del poligono è uguale alla somma degli angoli di tutti questi triangoli. La somma degli angoli di ciascun triangolo è 180 0 e il numero di questi triangoli è n - 2. Pertanto, la somma degli angoli di un n convesso - angolo A 1 A 2 ... A n è 180 0 * ( n - 2). Il teorema è stato dimostrato.

L'angolo esterno di un poligono convesso in corrispondenza di un dato vertice è l'angolo adiacente all'angolo interno del poligono in corrispondenza di quel vertice.

Un poligono convesso si dice regolare se tutti i lati sono uguali e tutti gli angoli sono uguali.

Quindi il quadrato può essere chiamato in modo diverso: un quadrilatero regolare. Anche i triangoli equilateri sono regolari. Tali figure sono state a lungo di interesse per i maestri che hanno decorato gli edifici. Hanno realizzato bellissimi motivi, ad esempio, sul parquet. Ma non tutti i poligoni regolari possono essere usati per formare il parquet. Il parquet non può essere formato da ottagoni regolari. Il fatto è che hanno ogni angolo uguale a 135 0. E se un punto è il vertice di due di questi ottagoni, allora avranno 270 0 e non c'è nessun posto dove adattarsi al terzo ottagono: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ma abbastanza per un quadrato. Pertanto, è possibile piegare il parquet da ottagoni e quadrati regolari.

Le stelle sono corrette. La nostra stella a cinque punte è una stella pentagonale regolare. E se ruoti il quadrato attorno al centro di 45 0, ottieni una stella ottagonale regolare.

1 gruppo

Cos'è una linea spezzata? Spiega quali sono i vertici e i collegamenti di una polilinea.

Quale linea spezzata si chiama semplice?

Quale linea spezzata si chiama chiusa?

Cos'è un poligono? Come si chiamano i vertici di un poligono? Quali sono i lati di un poligono?

2 gruppo

Cos'è un poligono piatto? Fornisci esempi di poligoni.

Cos'è n-gon?

Spiega quali vertici del poligono sono adiacenti e quali no.

Qual è la diagonale di un poligono?

3 gruppo

Cos'è un poligono convesso?

Spiega quali angoli del poligono sono esterni e quali interni?

Cos'è un poligono regolare? Fornisci esempi di poligoni regolari.

4 gruppo

Qual è la somma degli angoli di un n-gon convesso? Provalo.

3. Fase di riflessione -

a) valutazione delle loro conoscenze, sfida alla fase successiva della conoscenza;

b) comprensione e appropriazione delle informazioni ricevute.

Accoglienza: lavoro di ricerca.

Forme di lavoro: individuale->coppia->gruppo.

I gruppi di lavoro sono esperti nelle risposte a ciascuna delle sezioni delle domande proposte.

Tornando al gruppo di lavoro, l'esperto introduce gli altri membri del gruppo con le risposte alle loro domande. Nel gruppo c'è uno scambio di informazioni di tutti i membri del gruppo di lavoro. Così, in ogni gruppo di lavoro, grazie al lavoro di esperti, si forma un'idea generale sull'argomento in esame.

Lavoro di ricerca degli studenti - compilazione della tabella.

Poligoni regolari	Disegno	Numero di lati	Numero di picchi	Somma di tutti gli angoli interni	Misura di laurea int. angolo	Grado di misura dell'angolo esterno	Numero di diagonali
A) un triangolo
B) quadrilatero
B) cinque pareti
D) esagono
E) n-gon

Risolvere problemi interessanti sull'argomento della lezione.

Nel quadrilatero, traccia una linea in modo che la divida in tre triangoli.
Quanti lati ha un poligono regolare, ciascuno dei quali angoli interni è uguale a 135 0 ?
In un certo poligono, tutti gli angoli interni sono uguali tra loro. La somma degli angoli interni di questo poligono può essere: 360 0 , 380 0 ?

Riassumendo la lezione. Registrazione dei compiti.