Esempi di risoluzione di equazioni razionali frazionarie. Lezione video "Equazioni razionali

\(\bullet\) Un'equazione razionale è un'equazione espressa come \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] dove \(P(x), \ Q(x)\) - polinomi (la somma di "x" in vari gradi, moltiplicata per vari numeri).
L'espressione sul lato sinistro dell'equazione è chiamata espressione razionale.
L'ODV (intervallo di valori accettabili) di un'equazione razionale è tutti i valori \(x\) per i quali il denominatore NON svanisce, ovvero \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Ad esempio, equazioni \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] sono equazioni razionali.
Nella prima equazione, l'ODZ è tutto \(x\) tale che \(x\ne 3\) (scrivono \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); nella seconda equazione, questi sono tutti \(x\) , tali che \(x\ne -1; x\ne 1\) (scrivi \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); e nella terza equazione non ci sono restrizioni sull'ODZ, cioè l'ODZ è tutto \(x\) (scrivono \(x\in\mathbb(R)\) ). \(\bullet\) Teoremi:
1) Il prodotto di due fattori è uguale a zero se e solo se uno di essi zero, mentre l'altro non perde di significato, quindi l'equazione \(f(x)\cdot g(x)=0\) è equivalente al sistema \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ testo(equazioni ODV) \end(casi)\] 2) La frazione è uguale a zero se e solo se il numeratore è uguale a zero e il denominatore non è uguale a zero, quindi l'equazione \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) è equivalente al sistema di equazioni \[\begin(casi) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(casi)\]\(\bullet\) Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

1) Risolvi l'equazione \(x+1=\dfrac 2x\) . Troviamo ODZ data equazioneè \(x\ne 0\) (perché \(x\) è al denominatore).
Quindi, l'ODZ può essere scritto come segue: .
Trasferiamo tutti i termini in una parte e riduciamo a un denominatore comune: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( casi) x^2+x-2=0\\x\ne 0\fine(casi)\] La soluzione della prima equazione del sistema sarà \(x=-2, x=1\) . Vediamo che entrambe le radici sono diverse da zero. Pertanto, la risposta è: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Risolvi l'equazione \(\sinistra(\dfrac4x - 2\destra)\cdot (x^2-x)=0\). Troviamo l'ODZ di questa equazione. Vediamo che l'unico valore \(x\) per cui il lato sinistro non ha senso è \(x=0\) . Quindi l'OD può essere scritto come segue: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Pertanto, questa equazione è equivalente al sistema:

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(allineato) \end(raccolti) \right.\\ x\ne 0 \end(casi) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(casi) \left[ \begin(raccolti)\begin(allineato) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(allineato) &x=2\\ &x=1 \end(allineato) \end(raggruppato) \right.\] Infatti, nonostante \(x=0\) sia la radice del secondo fattore, se si sostituisce \(x=0\) nell'equazione originale, non avrà senso, perché l'espressione \(\dfrac 40\) non è definita.
Quindi la soluzione a questa equazione è \(x\in \(1;2\)\) .

3) Risolvi l'equazione \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Nella nostra equazione \(4x^2-1\ne 0\) , da cui \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , cioè \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Trasferiamo tutti i termini sul lato sinistro e li riduciamo a un denominatore comune:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Frecciasinistra destra \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Frecciasinistradestra\quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Frecciadestrasinistra\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( allineato) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Sinistradestrafreccia \quad x=-3\)

Risposta: \(x\in \(-3\)\) .

Commento. Se la risposta consiste in un insieme finito di numeri, allora possono essere scritti separati da punto e virgola tra parentesi graffe, come mostrato negli esempi precedenti.

Compiti da risolvere equazioni razionali, all'Esame di Stato unificato di matematica si incontrano ogni anno, quindi, in preparazione al superamento della prova di certificazione, i laureati dovrebbero assolutamente ripetere da soli la teoria su questo argomento. Per essere in grado di far fronte a tali compiti, i laureati che superano sia il livello base che il livello di profilo dell'esame devono necessariamente. Dopo aver padroneggiato la teoria e affrontato esercizi pratici sull'argomento "Equazioni razionali", gli studenti saranno in grado di risolvere problemi con un numero qualsiasi di azioni e si aspettano di ricevere punti competitivi in base ai risultati del superamento dell'esame.

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Obiettivi della lezione:

Esercitazione:

formazione del concetto di equazioni razionali frazionarie;
considerare vari modi per risolvere equazioni razionali frazionarie;
considerare un algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie, inclusa la condizione che la frazione sia uguale a zero;
insegnare la soluzione di equazioni razionali frazionarie secondo l'algoritmo;
controllare il livello di assimilazione dell'argomento conducendo un lavoro di prova.

Sviluppando:

sviluppo della capacità di operare correttamente con le conoscenze acquisite, di pensare in modo logico;
sviluppo delle capacità intellettive e delle operazioni mentali - analisi, sintesi, confronto e generalizzazione;
sviluppo dell'iniziativa, capacità di prendere decisioni, di non fermarsi qui;
sviluppo pensiero critico;
sviluppo delle capacità di ricerca.

Nutrire:

educazione interesse cognitivo al soggetto;
educazione all'indipendenza nella risoluzione dei problemi educativi;
educazione alla volontà e alla perseveranza per raggiungere i risultati finali.

Tipo di lezione: lezione - spiegazione del nuovo materiale.

Durante le lezioni

1. Momento organizzativo.

Ciao ragazzi! Le equazioni sono scritte sulla lavagna, guardale attentamente. Riesci a risolvere tutte queste equazioni? Quali non lo sono e perché?

Equazioni in cui le parti sinistra e destra sono frazionarie espressioni razionali, sono dette equazioni razionali frazionarie. Cosa pensi che studieremo oggi nella lezione? Formulare l'argomento della lezione. Quindi, apriamo i quaderni e annotiamo l'argomento della lezione "Soluzione di equazioni razionali frazionarie".

2. Attualizzazione della conoscenza. Indagine frontale, lavoro orale con la classe.

E ora ripeteremo il principale materiale teorico che dobbiamo studiare nuovo argomento. Per favore, rispondi alle seguenti domande:

Che cos'è un'equazione? ( Uguaglianza con una o più variabili.)
Come si chiama l'equazione n. 1? ( Lineare.) Metodo di soluzione equazioni lineari. (Sposta tutto con l'incognita sul lato sinistro dell'equazione, tutti i numeri a destra. Porta termini simili. Trova il moltiplicatore sconosciuto).
Come si chiama l'equazione 3? ( Quadrato.) Metodi per la risoluzione di equazioni quadratiche. ( Selezione del quadrato pieno, mediante formule, utilizzando il teorema di Vieta e le sue conseguenze.)
Che cos'è una proporzione? ( Uguaglianza di due relazioni.) La proprietà principale della proporzione. ( Se la proporzione è vera, allora il prodotto dei suoi termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi.)
Quali proprietà vengono utilizzate per risolvere le equazioni? ( 1. Se nell'equazione trasferiamo il termine da una parte all'altra, cambiandone il segno, otteniamo un'equazione equivalente a quella data. 2. Se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero diverso da zero, si otterrà un'equazione equivalente al dato.)
Quando una frazione è uguale a zero? ( Una frazione è zero quando il numeratore è zero e il denominatore è diverso da zero.)

3. Spiegazione del nuovo materiale.

Risolvi l'equazione n. 2 nei quaderni e alla lavagna.

Risposta: 10.

Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere usando la proprietà di base della proporzione? (n. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Risolvi l'equazione n. 4 nei quaderni e alla lavagna.

Risposta: 1,5.

Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il denominatore? (n. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Risposta: 3;4.

Ora prova a risolvere l'equazione n. 7 in uno dei modi.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Risposta: 0;5;-2.			Risposta: 5;-2.

Spiega perché è successo? Perché ci sono tre radici in un caso e due nell'altro? Quali numeri sono le radici di questa equazione razionale frazionaria?

Finora gli studenti non hanno incontrato il concetto di radice estranea, è davvero molto difficile per loro capire perché questo sia accaduto. Se nessuno nella classe può dare una spiegazione chiara di questa situazione, l'insegnante pone le domande principali.

In che modo le equazioni n. 2 e 4 differiscono dalle equazioni n. 5,6,7? ( Nelle equazioni n. 2 e 4 al denominatore del numero, n. 5-7 - espressioni con una variabile.)
Qual è la radice dell'equazione? ( Il valore della variabile a cui l'equazione diventa una vera uguaglianza.)
Come scoprire se un numero è la radice di un'equazione? ( Fai un controllo.)

Quando fanno un test, alcuni studenti notano che devono dividere per zero. Concludono che i numeri 0 e 5 non sono le radici di questa equazione. Sorge la domanda: esiste un modo per risolvere le equazioni razionali frazionarie che elimini questo errore? Sì, questo metodo si basa sulla condizione che la frazione sia uguale a zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Se x=5, allora x(x-5)=0, quindi 5 è una radice estranea.

Se x=-2, allora x(x-5)≠0.

Risposta: -2.

Proviamo a formulare un algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie in questo modo. I bambini stessi formulano l'algoritmo.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie:

Sposta tutto a sinistra.
Porta le frazioni a un denominatore comune.
Componi un sistema: una frazione è zero quando il numeratore è zero e il denominatore non è zero.
Risolvi l'equazione.
Controllare la disuguaglianza per escludere le radici estranee.
Scrivi la risposta.

Discussione: come formalizzare la soluzione se viene utilizzata la proprietà di base della proporzione e la moltiplicazione di entrambi i membri dell'equazione per un denominatore comune. (Integrare la soluzione: escludere dalle sue radici quelle che azzerano il denominatore comune).

4. Comprensione primaria di nuovo materiale.

Lavoro in coppia. Gli studenti scelgono come risolvere l'equazione da soli, a seconda del tipo di equazione. Compiti dal libro di testo "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: n. 600 (b, c, i); N. 601(a, e, g). L'insegnante controlla l'esecuzione del compito, risponde alle domande che sono sorte e fornisce assistenza agli studenti con scarso rendimento. Autotest: le risposte sono scritte alla lavagna.

b) 2 è una radice estranea. Risposta: 3.

c) 2 è una radice estranea. Risposta: 1.5.

a) Risposta: -12.5.

g) Risposta: 1; 1.5.

5. Dichiarazione dei compiti.

Leggi l'elemento 25 del libro di testo, analizza gli esempi 1-3.
Impara l'algoritmo per risolvere le equazioni razionali frazionarie.
Risolvi nei quaderni n. 600 (a, d, e); N. 601 (g, h).
Prova a risolvere #696(a) (opzionale).

6. Adempimento del compito di controllo sull'argomento studiato.

Il lavoro viene eseguito su fogli.

Esempio di lavoro:

A) Quale delle equazioni è razionale frazionaria?

B) Una frazione è zero quando il numeratore è ______________________ e il denominatore è _______________________.

D) Il numero -3 è la radice dell'equazione #6?

D) Risolvi l'equazione n. 7.

Criteri di valutazione delle attività:

"5" viene assegnato se lo studente ha completato correttamente più del 90% del compito.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2" viene assegnato a uno studente che ha completato meno del 50% del compito.
Il voto 2 non viene inserito nel diario, il 3 è facoltativo.

7. Riflessione.

Sui volantini con lavoro indipendente, metti:

1 - se la lezione è stata interessante e comprensibile per te;
2 - interessante, ma non chiaro;
3 - non interessante, ma comprensibile;
4 - non interessante, non chiaro.

8. Riassumendo la lezione.

Quindi, oggi nella lezione abbiamo familiarizzato con le equazioni razionali frazionarie, abbiamo imparato come risolvere queste equazioni diversi modi, hanno testato le loro conoscenze con l'aiuto della formazione lavoro indipendente. Imparerai i risultati del lavoro indipendente nella prossima lezione, a casa avrai l'opportunità di consolidare le conoscenze acquisite.

Quale metodo per risolvere le equazioni razionali frazionarie, secondo te, è più facile, più accessibile, più razionale? Indipendentemente dal metodo di risoluzione delle equazioni razionali frazionarie, cosa non dovrebbe essere dimenticato? Qual è l'"astuzia" delle equazioni razionali frazionarie?

Grazie a tutti, la lezione è finita.

Decisione equazioni razionali frazionarie

Guida di aiuto

Le equazioni razionali sono equazioni in cui entrambi i lati sinistro e destro sono espressioni razionali.

(Ricorda che le espressioni razionali sono interi e espressioni frazionarie senza radicali, comprese le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione - ad esempio: 6x; (m – n)2; x/3 anni ecc.)

Le equazioni frazionarie-razionali, di regola, sono ridotte alla forma:

In cui si P(X) e Q(X) sono polinomi.

Per risolvere tali equazioni, moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per Q(x), che può portare alla comparsa di radici estranee. Pertanto, quando si risolvono equazioni razionali frazionarie, è necessario verificare le radici trovate.

Un'equazione razionale è chiamata intera, o algebrica, se non ha una divisione per un'espressione contenente una variabile.

Esempi di un'intera equazione razionale:

5x - 10 = 3(10 -x)

3x
-=2x-10
4

Se in un'equazione razionale c'è una divisione per un'espressione contenente la variabile (x), allora l'equazione è chiamata razionale frazionario.

Un esempio di equazione razionale frazionaria:

15
x + - = 5x - 17
X

Le equazioni razionali frazionarie sono generalmente risolte come segue:

1) trova un denominatore comune di frazioni e moltiplica entrambe le parti dell'equazione per esso;

2) risolvere l'intera equazione risultante;

3) escludere dalle sue radici quelle che portano a zero il denominatore comune delle frazioni.

Esempi di risoluzione di equazioni razionali intere e frazionarie.

Esempio 1. Risolvi l'intera equazione

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Decisione:

Trovare il minimo comune denominatore. Questo è 6. Dividi 6 per il denominatore e moltiplica il risultato per il numeratore di ciascuna frazione. Otteniamo un'equazione equivalente a questa:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Dal momento che i lati sinistro e destro stesso denominatore, può essere omesso. Allora abbiamo un'equazione più semplice:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Lo risolviamo aprendo parentesi e riducendo termini simili:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Esempio risolto.

Esempio 2. Risolvi un'equazione razionale frazionaria

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Troviamo un denominatore comune. Questo è x(x - 5). Così:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Ora eliminiamo di nuovo il denominatore, poiché è lo stesso per tutte le espressioni. Riduciamo i termini simili, uguagliamo l'equazione a zero e otteniamo equazione quadrata:

x 2 - 3 x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3 x - 10 = 0.

Dopo aver risolto l'equazione quadratica, troviamo le sue radici: -2 e 5.

Verifichiamo se questi numeri sono le radici dell'equazione originale.

Per x = –2, il denominatore comune x(x – 5) non svanisce. Quindi -2 è la radice dell'equazione originale.

A x = 5, il denominatore comune svanisce e due delle tre espressioni perdono il loro significato. Quindi il numero 5 non è la radice dell'equazione originale.

Risposta: x = -2

Altri esempi

Esempio 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

Risposta: -2.2; 6.

Esempio 2

Risolvere equazioni con frazioni diamo un'occhiata agli esempi. Gli esempi sono semplici e illustrativi. Con il loro aiuto, puoi capire nel modo più comprensibile.
Ad esempio, devi risolvere una semplice equazione x/b + c = d.

Un'equazione di questo tipo è chiamata lineare, perché il denominatore contiene solo numeri.

La soluzione si ottiene moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per b, quindi l'equazione assume la forma x = b*(d – c), cioè il denominatore della frazione sul lato sinistro è ridotto.

Ad esempio, come risolvere equazione frazionaria:
x/5+4=9
Moltiplichiamo entrambe le parti per 5. Otteniamo:
x+20=45
x=45-20=25

Un altro esempio in cui l'incognita è al denominatore:

Equazioni di questo tipo sono dette razionali frazionarie o semplicemente frazionarie.

Risolveremmo un'equazione frazionaria eliminando le frazioni, dopodiché questa equazione, molto spesso, si trasforma in un'equazione lineare o quadratica, che viene risolta nel solito modo. Dovresti prendere in considerazione solo i seguenti punti:

il valore di una variabile che porta il denominatore a 0 non può essere una radice;
non puoi dividere o moltiplicare l'equazione per l'espressione =0.

Qui entra in vigore un concetto come l'area dei valori ammessi (ODZ): questi sono i valori delle radici dell'equazione per cui l'equazione ha senso.

Pertanto, risolvendo l'equazione, è necessario trovare le radici e quindi verificarne la conformità con l'ODZ. Sono escluse dalla risposta quelle radici che non corrispondono al nostro DHS.

Ad esempio, devi risolvere un'equazione frazionaria:

In base alla regola precedente, x non può essere = 0, cioè ODZ in questo caso: x - qualsiasi valore diverso da zero.

Eliminiamo il denominatore moltiplicando tutti i termini dell'equazione per x

E risolvi la solita equazione

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Risposta: x = 1/3

Risolviamo l'equazione più complicata:

ODZ è presente anche qui: x -2.

Risolvendo questa equazione, non trasferiremo tutto in una direzione e porteremo le frazioni a un denominatore comune. Moltiplichiamo immediatamente entrambi i membri dell'equazione per un'espressione che ridurrà tutti i denominatori contemporaneamente.

Per ridurre i denominatori, devi moltiplicare il lato sinistro per x + 2 e il lato destro per 2. Quindi, entrambi i lati dell'equazione devono essere moltiplicati per 2 (x + 2):

Questa è la moltiplicazione di frazioni più comune, di cui abbiamo già discusso sopra.

Scriviamo la stessa equazione, ma in un modo leggermente diverso.

Il lato sinistro è ridotto di (x + 2) e il lato destro di 2. Dopo la riduzione, otteniamo la consueta equazione lineare:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, che corrisponde al nostro ODZ

Risposta: x = 2.

Risolvere equazioni con frazioni non così difficile come potrebbe sembrare. In questo articolo, lo abbiamo mostrato con esempi. Se hai qualche difficoltà con come risolvere le equazioni con le frazioni, quindi annullare l'iscrizione nei commenti.

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