Calcolo degli errori di misura relativi e assoluti. Errore relativo e assoluto: concetto, calcolo e proprietà
Le misurazioni di molte grandezze presenti in natura non possono essere accurate. La misura fornisce un numero che esprime un valore con diversi gradi di accuratezza (misurazione della lunghezza con una precisione di 0,01 cm, calcolo del valore di una funzione in un punto con una precisione fino a, ecc.), cioè approssimativamente con qualche errore. L'errore può essere impostato in anticipo o, al contrario, deve essere trovato.
La teoria degli errori ha come oggetto del suo studio principalmente i numeri approssimativi. Quando si calcola invece di 
di solito usano numeri approssimativi: (se la precisione non è particolarmente importante), (se la precisione è importante). Come eseguire calcoli con numeri approssimativi, determinare i loro errori: questa è la teoria dei calcoli approssimativi (teoria degli errori).
In futuro, i numeri esatti saranno indicati con lettere maiuscole e i numeri approssimativi corrispondenti saranno indicati con lettere minuscole.
Gli errori che si verificano in una o nell'altra fase della risoluzione del problema possono essere suddivisi in tre tipi:
1) Errore problema. Questo tipo di errore si verifica durante la costruzione modello matematico fenomeni. È tutt'altro che sempre possibile prendere in considerazione tutti i fattori e il grado della loro influenza sul risultato finale. Cioè, il modello matematico di un oggetto non è la sua immagine esatta, la sua descrizione non è accurata. Un tale errore è inevitabile.
2) Errore di metodo. Questo errore deriva dalla sostituzione del modello matematico originale con uno più semplificato, ad esempio in alcuni problemi di analisi di correlazione è accettabile un modello lineare. Un tale errore è rimovibile, poiché nelle fasi di calcolo può essere ridotto a un valore arbitrariamente piccolo.
3) Errore computazionale ("macchina"). Si verifica quando un computer esegue operazioni aritmetiche.
Definizione 1.1. Lascia che sia - valore esatto quantità (numeri), - il valore approssimativo della stessa quantità (). Vero errore assoluto numero approssimativo è il modulo della differenza tra i valori esatti e approssimativi:
. (1.1)
Sia, ad esempio, =1/3. Quando calcolavano su MK, hanno dato il risultato di dividere 1 per 3 come un numero approssimativo = 0,33. Quindi 
.
Tuttavia, in realtà, nella maggior parte dei casi, il valore esatto della quantità non è noto, il che significa che la (1.1) non può essere applicata, ovvero non è possibile trovare il vero errore assoluto. Pertanto, viene introdotto un altro valore che funge da stima (limite superiore per ).
Definizione 1.2.
Limita l'errore assoluto numero approssimativo, che rappresenta un numero esatto sconosciuto, è chiamato un numero così possibilmente più piccolo, che non supera il vero errore assoluto, cioè 
. (1.2)
Per un numero approssimativo di quantità che soddisfano la disuguaglianza (1.2), ce ne sono infinite, ma la più preziosa sarà la più piccola di tutte quelle trovate. Dalla (1.2), in base alla definizione del modulo, abbiamo , o abbreviato come uguaglianza
. (1.3)
L'uguaglianza (1.3) determina i confini entro i quali si trova un numero esatto sconosciuto (si dice che un numero approssimativo esprime un numero esatto con un errore assoluto limite). È facile vedere che quanto più piccoli sono, tanto più precisamente vengono determinati questi confini.
Ad esempio, se le misurazioni di un certo valore hanno dato il risultato cm, mentre la precisione di queste misurazioni non ha superato 1 cm, la lunghezza vera (esatta) 
cm.
Esempio 1.1. Dato un numero. Trova l'errore assoluto limite del numero in base al numero.
Decisione: Dall'uguaglianza (1.3) per il numero ( =1.243; =0.0005) si ha una doppia disuguaglianza, cioè
Allora il problema si pone come segue: trovare per il numero l'errore assoluto limite che soddisfi la disuguaglianza 
. Tenendo conto della condizione (*), otteniamo (in (*) sottraiamo da ciascuna parte della disuguaglianza)
Dal momento che nel nostro caso 
, quindi , da cui =0,0035.
Risposta: =0,0035.
L'errore assoluto limite spesso dà una scarsa idea dell'accuratezza delle misurazioni o dei calcoli. Ad esempio, \u003d 1 m quando si misura la lunghezza di un edificio indicherà che non sono stati eseguiti con precisione e lo stesso errore \u003d 1 m quando si misura la distanza tra le città dà molto valutazione della qualità. Pertanto, viene introdotto un altro valore.
Definizione 1.3. Vero errore relativo numero, che è un valore approssimativo del numero esatto, è il rapporto tra il vero errore assoluto del numero e il modulo del numero stesso:
. (1.4)
Ad esempio, se, rispettivamente, i valori esatti e approssimativi, allora
Tuttavia, la formula (1.4) non è applicabile se non si conosce il valore esatto del numero. Pertanto, per analogia con l'errore assoluto limite, viene introdotto l'errore relativo limite.
Definizione 1.4. Limitare l'errore relativo un numero che è un'approssimazione di un numero esatto sconosciuto è chiamato il numero più piccolo possibile , che non è superato dal vero errore relativo , cioè
.
(1.5)
Dalla disuguaglianza (1.2) abbiamo 
; di qui, tenendo conto della (1.5)
La formula (1.6) ha una maggiore applicabilità pratica rispetto alla (1.5), poiché il valore esatto non vi partecipa. Tenendo conto delle (1.6) e (1.3), si possono trovare i confini che contengono il valore esatto dell'incognita.
Lascia un po' valore casuale un misurato n volte nelle stesse condizioni. I risultati della misurazione hanno dato una serie n vari numeri
Errore assoluto- valore dimensionale. Tra n i valori degli errori assoluti soddisfano necessariamente sia il positivo che il negativo.
Per il valore più probabile della quantità un di solito prendi media il significato dei risultati della misurazione
.
Come più numero misurazioni, più il valore medio è vicino al valore reale.
Errore assolutoio
.
Errore relativoio la dimensione è chiamata quantità
L'errore relativo è una quantità adimensionale. Di solito, l'errore relativo è espresso in percentuale, per questo e io moltiplicare per 100%. Il valore dell'errore relativo caratterizza l'accuratezza della misurazione.
Errore assoluto medioè così definito:
.
Sottolineiamo la necessità di sommare i valori assoluti (moduli) delle quantità D e io . In caso contrario, si otterrà lo stesso risultato zero.
Errore relativo medio si chiama quantità
.
In grandi numeri misurazioni.
L'errore relativo può essere considerato come il valore dell'errore per unità della grandezza misurata.
L'accuratezza delle misurazioni viene valutata sulla base di un confronto degli errori dei risultati di misurazione. Pertanto, gli errori di misurazione sono espressi in una forma tale che, per valutare l'accuratezza, sarebbe sufficiente confrontare solo gli errori dei risultati, senza confrontare le dimensioni degli oggetti misurati o conoscere queste dimensioni in modo molto approssimativo. È noto dalla pratica che l'errore assoluto di misurare l'angolo non dipende dal valore dell'angolo e l'errore assoluto di misurare la lunghezza dipende dal valore della lunghezza. Maggiore è il valore della lunghezza, maggiore è l'errore assoluto per un determinato metodo e condizioni di misurazione. Pertanto, in base all'errore assoluto del risultato, è possibile giudicare l'accuratezza della misurazione dell'angolo, ma è impossibile giudicare l'accuratezza della misurazione della lunghezza. L'espressione dell'errore in forma relativa permette di confrontare, in alcuni casi, l'accuratezza delle misure angolari e lineari.
Concetti di base della teoria della probabilità. Errore casuale.
Errore casuale chiamato componente dell'errore di misura, che cambia casualmente con misurazioni ripetute della stessa quantità.
Quando misurazioni ripetute della stessa quantità costante e immutabile vengono eseguite con la stessa cura e nelle stesse condizioni, otteniamo risultati di misurazione: alcuni differiscono l'uno dall'altro e alcuni coincidono. Tali discrepanze nei risultati della misurazione indicano la presenza di componenti di errore casuali in essi.
L'errore casuale deriva dall'azione simultanea di molte sorgenti, ognuna delle quali ha di per sé un effetto impercettibile sul risultato della misurazione, ma l'effetto totale di tutte le sorgenti può essere piuttosto forte.
Gli errori casuali sono una conseguenza inevitabile di qualsiasi misurazione e sono dovuti a:
a) letture imprecise sulla scala di strumenti e strumenti;
b) condizioni non identiche per misurazioni ripetute;
c) modifiche casuali condizioni esterne(temperatura, pressione, campo di forza ecc.) che non possono essere controllati;
d) tutte le altre influenze sulle misurazioni, le cui cause ci sono sconosciute. L'entità dell'errore casuale può essere ridotta al minimo mediante ripetute ripetizioni dell'esperimento e un'appropriata elaborazione matematica dei risultati.
Un errore casuale può assumere diversi valori assoluti, che non possono essere previsti per un dato atto di misurazione. Questo errore può essere ugualmente sia positivo che negativo. Errori casuali sono sempre presenti in un esperimento. In assenza di errori sistematici, fanno sì che le misurazioni ripetute si disperdano sul valore reale.
Assumiamo che il periodo di oscillazione di un pendolo venga misurato con un cronometro e che la misurazione venga ripetuta molte volte. Errori nell'avvio e nell'arresto del cronometro, un errore nel valore del riferimento, un piccolo movimento irregolare del pendolo: tutto ciò provoca una dispersione nei risultati delle misurazioni ripetute e quindi può essere classificato come errori casuali.
Se non ci sono altri errori, alcuni risultati saranno leggermente sopravvalutati, mentre altri saranno leggermente sottovalutati. Ma se, oltre a questo, anche il tempo è in ritardo, allora tutti i risultati saranno sottovalutati. Questo è già un errore sistematico.
Alcuni fattori possono causare errori sia sistematici che casuali. Quindi, accendendo e spegnendo il cronometro, possiamo creare una piccola diffusione irregolare nei momenti di avvio e arresto dell'orologio rispetto al movimento del pendolo e quindi introdurre un errore casuale. Ma se, inoltre, ogni volta che ci affrettiamo ad accendere il cronometro e siamo un po' in ritardo a spegnerlo, ciò comporterà un errore sistematico.
Gli errori casuali sono causati da un errore di parallasse durante la lettura delle divisioni della scala dello strumento, lo scuotimento delle fondamenta dell'edificio, l'influenza di un leggero movimento d'aria, ecc.
Sebbene sia impossibile escludere errori casuali delle singole misurazioni, teoria matematica fenomeni casuali consentono di ridurre l'influenza di questi errori sul risultato finale della misurazione. Di seguito verrà mostrato che per questo è necessario eseguire non una, ma più misurazioni, e più piccolo è il valore di errore che si vuole ottenere, più misurazioni devono essere eseguite.
Poiché il verificarsi di errori casuali è inevitabile e inevitabile, il compito principale di qualsiasi processo di misurazione è ridurre al minimo gli errori.
La teoria degli errori si basa su due presupposti principali, confermati dall'esperienza:
1. Con un gran numero di misurazioni, errori casuali della stessa grandezza, ma segno diverso, cioè gli errori nella direzione di aumentare e diminuire il risultato sono abbastanza comuni.
2. Gli errori assoluti grandi sono meno comuni di quelli piccoli, quindi la probabilità di un errore diminuisce all'aumentare del suo valore.
Il comportamento delle variabili casuali è descritto da regolarità statistiche, che sono oggetto della teoria della probabilità. Definizione statistica di probabilità w io eventi ioè l'atteggiamento
dove n - numero totale esperimenti, n io- il numero di esperimenti in cui l'evento io accaduto. In questo caso, il numero totale di esperimenti dovrebbe essere molto grande ( n®¥). Con un gran numero di misurazioni, gli errori casuali obbediscono a una distribuzione normale (distribuzione gaussiana), le cui caratteristiche principali sono le seguenti:
1. Maggiore è la deviazione del valore del valore misurato dal valore reale, minore è la probabilità di un tale risultato.
2. Sono ugualmente probabili deviazioni in entrambe le direzioni dal valore reale.
Dalle ipotesi di cui sopra, ne consegue che per ridurre l'influenza di errori casuali, è necessario misurare questa quantità più volte. Supponiamo di misurare un valore x. Lasciamo produrre n misure: x 1 , x 2 , ... x n- con lo stesso metodo e con la stessa cura. Ci si può aspettare che il numero dn risultati ottenuti, che si trovano in un intervallo abbastanza ristretto da X prima x + dx, dovrebbe essere proporzionale a:
Il valore dell'intervallo preso dx;
Numero totale di misurazioni n.
Probabilità dw(X) che un certo valore X si trova nell'intervallo da X prima x+dx, definito come segue :
(con il numero di misurazioni n ®¥).
Funzione f(X) è chiamata funzione di distribuzione o densità di probabilità.
Come postulato della teoria degli errori, si presume che i risultati delle misurazioni dirette e dei loro errori casuali, con un gran numero di essi, obbediscano alla legge della distribuzione normale.
La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua trovata da Gauss X ha la seguente forma:
, dove la sig -
parametri di distribuzione .
Il parametro m della distribuzione normale è uguale al valore medio á Xñ una variabile casuale, che, per una funzione di distribuzione nota arbitraria, è determinata dall'integrale
.
Così, il valore m è il valore più probabile del valore misurato x, cioè la sua migliore stima.
Il parametro s 2 della distribuzione normale è uguale alla varianza D della variabile casuale, che è generalmente determinata dall'integrale seguente
.
Radice quadrata dalla varianza è chiamata deviazione standard della variabile casuale.
La deviazione media (errore) della variabile casuale ásñ è determinata utilizzando la funzione di distribuzione come segue
L'errore di misura medio ásñ calcolato dalla funzione di distribuzione gaussiana è correlato alla deviazione standard s come segue:
< S > = 0,8 secondi.
I parametri s e m sono correlati come segue:
.
Questa espressione consente di trovare la deviazione standard s se esiste una curva di distribuzione normale.
Il grafico della funzione gaussiana è mostrato nelle figure. Funzione f(X) è simmetrico rispetto all'ordinata tracciata nel punto x= m; passa per il massimo in quel punto x= m e ha un'inflessione nei punti m ±s. Pertanto, la dispersione caratterizza l'ampiezza della funzione di distribuzione o mostra quanto ampiamente sono sparsi i valori di una variabile casuale rispetto al suo valore reale. Come misurazione precisa, più vicini al valore reale sono i risultati delle singole misurazioni, ad es. il valore di s è minore. La figura A mostra la funzione f(X) per tre valori s .
Area di una figura delimitata da una curva f(X) e linee verticali disegnate da punti X 1 e X 2 (Fig. B) , è numericamente uguale alla probabilità che il risultato della misurazione rientri nell'intervallo D x = x 1 -X 2 , chiamato livello di confidenza. Area sotto l'intera curva f(X) è uguale alla probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo da 0 a ¥, cioè
,
poiché la probabilità di un determinato evento è uguale a uno.
Utilizzando la distribuzione normale, la teoria dell'errore pone e risolve due problemi principali. Il primo è una valutazione dell'accuratezza delle misurazioni. Il secondo è una valutazione dell'accuratezza della media aritmetica dei risultati della misurazione.5. Intervallo di confidenza. Coefficiente di studente.
La teoria della probabilità consente di determinare la dimensione dell'intervallo in cui con una probabilità nota w sono i risultati delle singole misurazioni. Questa probabilità è chiamata livello di confidenza, e l'intervallo corrispondente (<X>±D X)w chiamata intervallo di confidenza. Il livello di confidenza è anche uguale alla proporzione relativa dei risultati che rientrano nell'intervallo di confidenza.
Se il numero di misurazioni nè abbastanza grande, allora la probabilità di confidenza esprime la proporzione del numero totale n quelle misurazioni in cui il valore misurato rientrava nell'intervallo di confidenza. Ogni livello di confidenza w corrisponde al suo intervallo di confidenza w 2 80%. Più ampio è l'intervallo di confidenza, più è probabile che si ottenga un risultato all'interno di tale intervallo. Nella teoria della probabilità, viene stabilita una relazione quantitativa tra il valore dell'intervallo di confidenza, la probabilità di confidenza e il numero di misurazioni.
Se scegliamo come intervallo di confidenza l'intervallo corrispondente all'errore medio, cioè D un = ANNO DOMINI unñ, allora per un numero sufficientemente grande di misure corrisponde alla probabilità di confidenza w 60%. Al diminuire del numero di misurazioni, la probabilità di confidenza corrispondente a tale intervallo di confidenza (á unñ ± ANNO DOMINI unñ) diminuisce.
Pertanto, per stimare l'intervallo di confidenza di una variabile casuale, si può utilizzare il valore dell'errore medio D unñ .
Per caratterizzare l'entità di un errore casuale, è necessario impostare due numeri, ovvero l'entità dell'intervallo di confidenza e l'entità della probabilità di confidenza . Specificare solo l'entità dell'errore senza la corrispondente probabilità di confidenza è in gran parte privo di significato.
Se l'errore di misura medio ásñ è noto, l'intervallo di confidenza scritto come (<X> ±asñ) w, determinato con probabilità di confidenza w= 0,57.
Se la deviazione standard s è nota distribuzione dei risultati di misura, l'intervallo indicato ha la forma (<X>± tw S) w, dove tw- coefficiente dipendente dal valore della probabilità di confidenza e calcolato secondo la distribuzione gaussiana.
Le quantità più comunemente usate D X sono mostrati nella tabella 1.
Le misure sono chiamate dritto, se i valori delle grandezze sono determinati direttamente dagli strumenti (ad esempio misurando la lunghezza con un righello, determinando il tempo con un cronometro, ecc.). Le misure sono chiamate indiretto, se il valore della grandezza misurata è determinato da misurazioni dirette di altre grandezze che sono associate alla relazione specifica misurata.
Errori casuali nelle misurazioni dirette
Errore assoluto e relativo. Che si tenga N misure della stessa quantità X in assenza di errore sistematico. I risultati delle singole misurazioni sono simili a: X 1 ,X 2 , …,X N. Il valore medio della grandezza misurata viene scelto come il migliore:
Errore assoluto la singola misura è chiamata differenza della forma:
.
Errore assoluto medio N singole misure:
(2)
chiamata errore medio assoluto.
Errore relativoè il rapporto tra l'errore medio assoluto e il valore medio della grandezza misurata:
.
(3)
Errori strumentali nelle misurazioni dirette
Se non ci sono istruzioni speciali, l'errore dello strumento è pari alla metà del suo valore di divisione (righello, bicchiere).
L'errore degli strumenti dotati di nonio è uguale al valore di divisione del nonio (micrometro - 0,01 mm, calibro - 0,1 mm).
L'errore dei valori tabulari è pari alla metà dell'unità dell'ultima cifra (cinque unità dell'ordine successivo dopo l'ultima cifra significativa).
L'errore degli strumenti di misura elettrici viene calcolato in base alla classe di precisione Insieme a indicato sulla scala dello strumento:
Per esempio: 
e 
,
dove u max e io max– limite di misura del dispositivo.
L'errore dei dispositivi con indicazione digitale è uguale all'unità dell'ultima cifra dell'indicazione.
Dopo aver valutato gli errori casuali e strumentali, si tiene conto di quello il cui valore è maggiore.
Calcolo degli errori nelle misure indirette
La maggior parte delle misurazioni sono indirette. In questo caso, il valore X desiderato è funzione di più variabili un,b, c… , i cui valori possono essere trovati mediante misurazioni dirette: Х = f( un, b, c…).
La media aritmetica del risultato delle misure indirette sarà pari a:
X = f( un, b, c…).
Uno dei modi per calcolare l'errore è il modo di differenziare il logaritmo naturale della funzione X = f( un,
b,
c...). Se, ad esempio, il valore X desiderato è determinato dalla relazione X = 
, quindi dopo aver preso il logaritmo otteniamo: lnX = ln un+ln b+ln( c+
d).
Il differenziale di questa espressione è:
.
Per quanto riguarda il calcolo dei valori approssimativi, si può scrivere per l'errore relativo nella forma:
=
.
(4)
L'errore assoluto in questo caso è calcolato dalla formula:
Х = Х(5)
Pertanto, il calcolo degli errori e il calcolo del risultato per le misurazioni indirette vengono eseguiti nel seguente ordine:
1) Effettuare misurazioni di tutte le grandezze incluse nella formula originale per calcolare il risultato finale.
2) Calcolare i valori medi aritmetici di ciascun valore misurato e i loro errori assoluti.
3) Sostituisci nella formula originale i valori medi di tutti i valori misurati e calcola il valore medio del valore desiderato:
X = f( un, b, c…).
4) Prendi il logaritmo della formula originale X = f( un, b, c...) e annotare l'espressione per l'errore relativo sotto forma di formula (4).
5) Calcolare l'errore relativo = 
.
6) Calcolare l'errore assoluto del risultato utilizzando la formula (5).
7) Il risultato finale è scritto come:
|
X \u003d X cfr X |
Gli errori assoluti e relativi delle funzioni più semplici sono riportati nella tabella:
|
Assoluto errore |
Parente errore |
|
|
un+ b |
a+ b |
|
|
a+ b |
|
|
|
A causa degli errori inerenti allo strumento di misura, al metodo e alla tecnica di misurazione scelti, alla differenza delle condizioni esterne in cui viene eseguita la misurazione rispetto a quelle stabilite e ad altri motivi, il risultato di quasi tutte le misurazioni è gravato da un errore. Questo errore viene calcolato o stimato e attribuito al risultato ottenuto. Errore di misurazione(brevemente - errore di misurazione) - deviazione del risultato della misurazione dal valore reale della quantità misurata. Il vero valore della quantità dovuto alla presenza di errori rimane sconosciuto. Si usa per risolvere compiti teorici metrologia. In pratica viene utilizzato il valore effettivo della quantità, che sostituisce il valore vero. L'errore di misura (Δx) si trova con la formula: x = x mis. - x effettivo (1.3) dove x mis. - il valore della grandezza ottenuta sulla base delle misurazioni; x effettivo è il valore della quantità considerata reale. Il valore reale per singole misurazioni è spesso preso come il valore ottenuto con l'ausilio di uno strumento di misura esemplare, per misurazioni ripetute - la media aritmetica dei valori delle singole misurazioni incluse in questa serie. Gli errori di misura possono essere classificati secondo i seguenti criteri: Per la natura della manifestazione: sistematica e casuale; A titolo di espressione - assoluto e relativo; In base alle condizioni per la modifica del valore misurato - statico e dinamico; Secondo il metodo di elaborazione di una serie di misurazioni: quadrati medi aritmetici e radice; Secondo la completezza della copertura del compito di misurazione - privato e completo; Relativo all'unità quantità fisica— errori di riproduzione dell'unità, conservazione dell'unità e trasmissione delle dimensioni dell'unità. Errore di misurazione sistematico(brevemente - errore sistematico) - una componente dell'errore del risultato della misurazione, che rimane costante per una determinata serie di misurazioni o cambia regolarmente durante misurazioni ripetute della stessa quantità fisica. Secondo la natura della manifestazione, gli errori sistematici sono divisi in costanti, progressivi e periodici. Errori sistematici permanenti(brevemente - errori costanti) - errori, a lungo mantenendone il valore (ad esempio durante l'intera serie di misurazioni). Questo è il tipo di errore più comune. Errori sistematici progressivi(in breve - errori progressivi) - errori in continuo aumento o diminuzione (ad esempio errori dovuti all'usura delle punte di misura che vengono a contatto durante la rettifica con un pezzo quando è controllato da un dispositivo di controllo attivo). Errore sistematico periodico(brevemente - errore periodico) - un errore il cui valore è una funzione del tempo o una funzione del movimento del puntatore strumento di misura(ad esempio la presenza di eccentricità nei goniometri a scala circolare provoca un errore sistematico che varia secondo una legge periodica). Sulla base delle ragioni per la comparsa di errori sistematici, ci sono errori strumentali, errori di metodo, errori soggettivi ed errori dovuti alla deviazione delle condizioni di misurazione esterne dai metodi stabiliti. Errore di misura strumentale(brevemente - errore strumentale) è il risultato di una serie di motivi: usura di parti del dispositivo, eccessivo attrito nel meccanismo del dispositivo, corse imprecise sulla scala, discrepanza tra l'effettivo e valori nominali misure, ecc. Errore del metodo di misurazione(in breve - l'errore del metodo) può sorgere a causa dell'imperfezione del metodo di misurazione o delle sue semplificazioni, stabilite dalla procedura di misurazione. Ad esempio, un tale errore può essere dovuto alla velocità insufficiente degli strumenti di misura utilizzati per misurare i parametri dei processi veloci o alle impurità non contabilizzate quando si determina la densità di una sostanza in base ai risultati della misurazione della sua massa e del suo volume. Errore di misurazione soggettivo(brevemente - errore soggettivo) è dovuto agli errori individuali dell'operatore. A volte questo errore è chiamato differenza personale. È causato, ad esempio, da un ritardo o anticipo nell'accettazione di un segnale da parte dell'operatore. Errore di deviazione(in una direzione) le condizioni di misurazione esterne rispetto a quelle stabilite dalla procedura di misurazione portano al verificarsi di una componente sistematica dell'errore di misurazione. Gli errori sistematici distorcono il risultato della misurazione, quindi devono essere eliminati, per quanto possibile, introducendo correzioni o adeguando lo strumento per portare gli errori sistematici ad un minimo accettabile. Errore sistematico non escluso(brevemente - errore non escluso) - questo è l'errore del risultato della misurazione dovuto all'errore nel calcolo e nell'introduzione di una correzione per l'effetto di un errore sistematico, o un piccolo errore sistematico, la cui correzione non viene introdotta a causa di piccolezza. Questo tipo di errore è talvolta indicato come residui di bias non esclusi(in breve - saldi non esclusi). Ad esempio, misurando la lunghezza di un metro lineare nelle lunghezze d'onda della radiazione di riferimento, sono stati rilevati diversi errori sistematici non esclusi (i): a causa di una misurazione imprecisa della temperatura - 1 ; a causa della determinazione imprecisa dell'indice di rifrazione dell'aria - 2, a causa del valore impreciso della lunghezza d'onda - 3. Di solito, viene presa in considerazione la somma degli errori sistematici non esclusi (i loro limiti sono stabiliti). Con il numero di termini N ≤ 3, i limiti degli errori sistematici non esclusi sono calcolati dalla formula Quando il numero di termini è N ≥ 4, la formula viene utilizzata per i calcoli
dove k è il coefficiente di dipendenza degli errori sistematici non esclusi dalla probabilità di confidenza P scelta con la loro distribuzione uniforme. A P = 0,99, k = 1,4, a P = 0,95, k = 1,1. Errore di misurazione casuale(brevemente - errore casuale) - una componente dell'errore del risultato della misurazione, che cambia casualmente (in segno e valore) in una serie di misurazioni della stessa dimensione di una quantità fisica. Cause di errori casuali: errori di arrotondamento durante la lettura delle letture, variazione delle letture, cambiamenti nelle condizioni di misurazione di natura casuale, ecc. Gli errori casuali causano la dispersione dei risultati di misurazione in una serie. La teoria degli errori si basa su due disposizioni, confermate dalla pratica: 1. Con un numero elevato di misurazioni, si verificano ugualmente spesso errori casuali dello stesso valore numerico, ma di segno diverso; 2. Gli errori grandi (in valore assoluto) sono meno comuni di quelli piccoli. Dalla prima posizione segue un'importante conclusione per la pratica: con un aumento del numero di misurazioni, l'errore casuale del risultato ottenuto da una serie di misurazioni diminuisce, poiché la somma degli errori delle singole misurazioni di questa serie tende a zero, cioè.
Ad esempio, a seguito di misurazioni, è stata ottenuta una serie di valori resistenza elettrica(che vengono corretti per gli effetti degli errori sistematici): R 1 = 15,5 ohm, R 2 = 15,6 ohm, R 3 = 15,4 ohm, R 4 = 15,6 ohm e R 5 = 15,4 ohm . Quindi R = 15,5 ohm. Le deviazioni da R (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R 3 \u003d -0,1 Ohm, R 4 \u003d +0,1 Ohm e R 5 \u003d -0,1 Ohm) sono errori casuali delle singole misurazioni in un data serie. È facile vedere che la somma R i = 0,0. Ciò indica che gli errori delle singole misurazioni di questa serie sono calcolati correttamente. Nonostante il fatto che con un aumento del numero di misurazioni, la somma degli errori casuali tenda a zero (in questo esempio le è capitato di esserlo zero), è necessario stimare l'errore casuale del risultato della misurazione. Nella teoria delle variabili casuali, la dispersione di o2 funge da caratteristica della dispersione dei valori di una variabile casuale. "| / o2 \u003d a è chiamato deviazione standard della popolazione generale o deviazione standard. È più conveniente della dispersione, poiché la sua dimensione coincide con la dimensione della quantità misurata (ad esempio, il valore della quantità si ottiene in volt, anche la deviazione standard sarà in volt). Poiché nella pratica delle misurazioni si ha a che fare con il termine “errore”, il termine “errore efficace” da esso derivato dovrebbe essere utilizzato per caratterizzare un certo numero di misurazioni. Un certo numero di misurazioni può essere caratterizzato dall'errore medio aritmetico o dall'intervallo dei risultati di misurazione. L'intervallo dei risultati di misurazione (brevemente - intervallo) è la differenza algebrica tra i risultati più grandi e quelli più piccoli delle singole misurazioni che formano una serie (o campione) di n misurazioni: R n \u003d X max - X min (1,7) dove R n è l'intervallo; X max e X min - il più grande e valore più piccolo valori in una data serie di misurazioni. Ad esempio, su cinque misurazioni del diametro del foro d, i valori R 5 = 25,56 mm e R 1 = 25,51 mm si sono rivelati i suoi valori massimo e minimo. In questo caso, R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Ciò significa che gli errori rimanenti di questa serie sono inferiori a 0,05 mm. Errore aritmetico medio di una singola misura in una serie(in breve - l'errore medio aritmetico) - la caratteristica di scattering generalizzata (dovuta a ragioni casuali) dei singoli risultati di misurazione (dello stesso valore), inclusa in una serie di n misurazioni indipendenti ugualmente accurate, è calcolata dalla formula
dove X i è il risultato della i-esima misura inclusa nella serie; x è la media aritmetica di n valori della quantità: |X i - X| è il valore assoluto dell'errore della i-esima misura; r è l'errore medio aritmetico. Il vero valore dell'errore medio aritmetico p è determinato dal rapporto p = lim r, (1.9) Con il numero di misure n > 30, tra la media aritmetica (r) e il quadrato medio (S) ci sono correlazioni s = 1,25r; r e = 0,80 s. (1.10) Il vantaggio dell'errore medio aritmetico è la semplicità del suo calcolo. Ma ancora più spesso determina l'errore quadratico medio. Errore quadratico medio della radice misurazione individuale in una serie (brevemente - errore quadratico medio della radice) - una caratteristica di scattering generalizzata (a causa di ragioni casuali) di risultati di misurazione individuali (dello stesso valore) inclusi in una serie di P misurazioni indipendenti ugualmente accurate, calcolate dalla formula
L'errore quadratico medio per il campione generale o, che è il limite statistico di S, può essere calcolato per /i-mx > con la formula: Σ = lim S (1.12) In realtà il numero di dimensioni è sempre limitato, quindi non è σ che viene calcolato , e il suo valore approssimativo (o preventivo), che è s. Più P, più s è vicino al suo limite σ . Con una distribuzione normale, la probabilità che l'errore di una singola misurazione in una serie non superi l'errore quadratico medio calcolato è piccola: 0,68. Pertanto, in 32 casi su 100 o 3 casi su 10, l'errore effettivo può essere maggiore di quello calcolato.
Figura 1.2 Diminuzione del valore dell'errore casuale del risultato di misurazioni multiple con aumento del numero di misurazioni in una serie In una serie di misurazioni, esiste una relazione tra l'errore efficace di una singola misurazione s e l'errore efficace della media aritmetica S x: che è spesso chiamata la "regola di Y n". Ne consegue da questa regola che l'errore di misura dovuto all'azione di cause casuali può essere ridotto di n volte se si eseguono n misurazioni della stessa entità di qualsiasi grandezza e si assume come risultato finale il valore della media aritmetica (Fig. 1.2 ). L'esecuzione di almeno 5 misurazioni in una serie consente di ridurre l'effetto degli errori casuali di oltre 2 volte. Con 10 misurazioni, l'effetto dell'errore casuale viene ridotto di un fattore 3. Un ulteriore aumento del numero delle misurazioni non è sempre economicamente fattibile e, di norma, viene effettuato solo per misurazioni critiche che richiedono un'elevata precisione. L'errore quadratico medio di una singola misurazione da una serie di doppie misurazioni omogenee S α è calcolato dalla formula
dove x" i e x"" i sono i-esimo risultato di misurazioni della stessa quantità di dimensioni nelle direzioni avanti e indietro da parte di uno strumento di misura. Con misurazioni disuguali, l'errore quadratico medio della media aritmetica nella serie è determinato dalla formula
dove p i è il peso della i-esima misura in una serie di misure disuguali. L'errore quadratico medio della radice del risultato delle misurazioni indirette della quantità Y, che è una funzione di Y \u003d F (X 1, X 2, X n), è calcolato dalla formula
dove S 1 , S 2 , S n sono errori quadratici medi radice dei risultati di misurazione per X 1 , X 2 , X n . Se, per una maggiore affidabilità nell'ottenere un risultato soddisfacente, vengono eseguite più serie di misurazioni, l'errore quadratico medio di una singola misurazione da m serie (S m) è trovato dalla formula
Dove n è il numero di misurazioni nella serie; N è il numero totale di misurazioni in tutte le serie; m è il numero di serie. Con un numero limitato di misurazioni, è spesso necessario conoscere l'errore RMS. Per determinare l'errore S, calcolato dalla formula (2.7), e l'errore S m, calcolato dalla formula (2.12), si possono utilizzare le seguenti espressioni
dove S e S m sono rispettivamente gli errori quadrati medi di S e S m . Ad esempio, elaborando i risultati di una serie di misurazioni della lunghezza x, abbiamo ottenuto
Il valore S = ±0,7 mm significa che, a causa dell'errore di calcolo, s è compreso tra 2,4 e 3,8 mm, quindi qui i decimi di millimetro non sono affidabili. Nel caso considerato è necessario annotare: S = ±3 mm. Per avere maggiore fiducia nella stima dell'errore del risultato della misurazione, vengono calcolati l'errore di confidenza oi limiti di confidenza dell'errore. Con una legge di distribuzione normale, i limiti di confidenza dell'errore sono calcolati come ±t-s o ±t-s x , dove s e s x sono rispettivamente la radice degli errori quadratici medi di una singola misura in una serie e la media aritmetica; t è un numero che dipende dal livello di confidenza P e dal numero di misurazioni n. Un concetto importante è l'affidabilità del risultato della misurazione (α), cioè la probabilità che il valore desiderato della grandezza misurata rientri in un dato intervallo di confidenza. Ad esempio, quando si elaborano parti su macchine utensili in una modalità tecnologica stabile, la distribuzione degli errori obbedisce alla legge normale. Si supponga che la tolleranza della lunghezza della parte sia impostata su 2a. In questo caso, l'intervallo di confidenza in cui si trova il valore desiderato della lunghezza della parte a sarà (a - a, a + a). Se 2a = ±3s, allora l'affidabilità del risultato è a = 0,68, cioè, in 32 casi su 100, ci si dovrebbe aspettare che la dimensione della parte vada oltre la tolleranza di 2a. Quando si valuta la qualità del pezzo secondo la tolleranza 2a = ±3s, l'affidabilità del risultato sarà 0,997. In questo caso ci si può aspettare che solo tre parti su 1000 vadano oltre la tolleranza stabilita, tuttavia un aumento dell'affidabilità è possibile solo con una diminuzione dell'errore nella lunghezza della parte. Quindi, per aumentare l'affidabilità da a = 0,68 a a = 0,997, l'errore nella lunghezza della parte deve essere ridotto di un fattore tre. Ricevuto di recente ampio utilizzo il termine "affidabilità di misura". In alcuni casi, viene utilizzato irragionevolmente al posto del termine "accuratezza della misurazione". Ad esempio, in alcune fonti è possibile trovare l'espressione "stabilire l'unità e l'affidabilità delle misurazioni nel paese". Mentre sarebbe più corretto dire "stabilimento dell'unità e la necessaria accuratezza delle misurazioni". L'affidabilità è considerata da noi come una caratteristica qualitativa, che riflette la vicinanza allo zero di errori casuali. Quantitativamente, può essere determinato attraverso l'inaffidabilità delle misurazioni. Incertezza delle misure(brevemente - inaffidabilità) - una valutazione della discrepanza tra i risultati in una serie di misurazioni dovuta all'influenza dell'impatto totale di errori casuali (determinati da metodi statistici e non statistici), caratterizzati dall'intervallo di valori in dove si trova il vero valore della grandezza misurata. In accordo con le raccomandazioni dell'International Bureau of Weights and Measures, l'incertezza è espressa come l'errore di misura efficace totale - Su compreso l'errore efficace S (determinato da metodi statistici) e l'errore efficace u (determinato da metodi non statistici) , cioè.
Limitare l'errore di misurazione(brevemente - errore marginale) - l'errore di misurazione massimo (più, meno), la cui probabilità non supera il valore di P, mentre la differenza 1 - P è insignificante. Ad esempio, con una distribuzione normale, la probabilità di un errore casuale di ±3s è 0,997 e la differenza 1-P = 0,003 è insignificante. Pertanto, in molti casi, l'errore di confidenza ±3s viene preso come limite, cioè pr = ±3s. Se necessario, pr può anche avere altre relazioni con s per P sufficientemente grande (2s, 2,5s, 4s, ecc.). In connessione con il fatto che negli standard GSI, al posto del termine "errore quadratico medio della radice", viene utilizzato il termine "deviazione quadratica media della radice", in ulteriori ragionamenti ci atterremo a questo termine. Errore di misura assoluto(brevemente - errore assoluto) - errore di misura, espresso in unità del valore misurato. Quindi l'errore X di misurare la lunghezza del pezzo X, espresso in micrometri, è un errore assoluto. Non vanno confusi i termini “errore assoluto” e “valore assoluto dell'errore”, inteso come valore dell'errore senza tener conto del segno. Quindi, se l'errore di misurazione assoluto è ±2 μV, il valore assoluto dell'errore sarà 0,2 μV. Errore di misurazione relativo(brevemente - errore relativo) - errore di misura, espresso come frazione del valore del valore misurato o come percentuale. L'errore relativo δ si trova dai rapporti:
Ad esempio, esiste un valore reale della lunghezza del pezzo x = 10,00 mm e un valore assoluto dell'errore x = 0,01 mm. L'errore relativo sarà Errore staticoè l'errore del risultato della misurazione dovuto alle condizioni della misurazione statica. Errore dinamicoè l'errore del risultato della misurazione dovuto alle condizioni di misurazione dinamica. Errore di riproduzione dell'unità- errore del risultato delle misurazioni effettuate durante la riproduzione di un'unità di grandezza fisica. Quindi, l'errore nel riprodurre un'unità utilizzando lo standard statale è indicato nella forma delle sue componenti: un errore sistematico non escluso, caratterizzato dal suo confine; errore casuale caratterizzato dalla deviazione standard s e dall'instabilità annuale ν. Errore di trasmissione della dimensione dell'unitàè l'errore nel risultato delle misurazioni eseguite durante la trasmissione della dimensione dell'unità. L'errore di trasmissione della dimensione dell'unità include errori sistematici non esclusi ed errori casuali del metodo e dei mezzi di trasmissione della dimensione dell'unità (ad esempio un comparatore). astratto Errore assoluto e relativo introduzione Errore assoluto - è una stima dell'errore di misura assoluto. Calcolato diversi modi. Il metodo di calcolo è determinato dalla distribuzione della variabile casuale. Di conseguenza, l'entità dell'errore assoluto dipende dalla distribuzione della variabile casuale potrebbe essere diverso. Se un è il valore misurato, e è il valore vero, quindi la disuguaglianza deve essere soddisfatto con una probabilità vicina a 1. Se la variabile casuale distribuito secondo la legge normale, quindi di solito la sua deviazione standard viene presa come errore assoluto. L'errore assoluto viene misurato nelle stesse unità del valore stesso. Esistono diversi modi per scrivere una quantità insieme al suo errore assoluto. · Di solito viene utilizzata la notazione con segno ± . Ad esempio, il record dei 100 metri stabilito nel 1983 è 9,930±0,005 sec. · Per registrare i valori misurati con una precisione molto elevata, viene utilizzata un'altra notazione: i numeri corrispondenti all'errore delle ultime cifre della mantissa vengono aggiunti tra parentesi. Ad esempio, il valore misurato della costante di Boltzmann è 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, che può anche essere scritto molto più a lungo come 1.380 6488×10?23 ± 0.000 0013×10?23 J/K. Errore relativo- errore di misura, espresso come rapporto tra l'errore di misura assoluto e il valore reale o medio della grandezza misurata (RMG 29-99):. L'errore relativo è una quantità adimensionale o viene misurato in percentuale. 1. Quello che viene chiamato valore approssimativo? Troppo e troppo poco? Nel processo di calcolo, si ha spesso a che fare con numeri approssimativi. Lascia stare MA- il valore esatto di una certa quantità, di seguito denominata numero esatto MA.Sotto il valore approssimativo della quantità MA,o numeri approssimativichiamato un numero un, che sostituisce il valore esatto della quantità MA.Se un un< MA,poi unè chiamato il valore approssimativo del numero E per mancanza.Se un un> MA,- poi in eccesso.Ad esempio, 3,14 è un'approssimazione del numero ? per carenza e 3,15 per eccesso. Per caratterizzare il grado di accuratezza di questa approssimazione, viene utilizzato il concetto errori o errori. errore ?unnumero approssimativo unsi chiama differenza della forma ?a = A - a, dove MAè il numero esatto corrispondente. La figura mostra che la lunghezza del segmento AB è compresa tra 6 cm e 7 cm. Ciò significa che 6 è il valore approssimativo della lunghezza del segmento AB (in centimetri)\u003e con una carenza e 7 è con un eccesso. Indicando la lunghezza del segmento con la lettera y, otteniamo: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentoAB (vedi Fig. 149) è più vicino a 6 cm che a 7 cm È approssimativamente uguale a 6 cm Dicono che il numero 6 sia stato ottenuto arrotondando la lunghezza del segmento a numeri interi. . Che cos'è un errore di approssimazione? A) assoluto? B) Parente? A) L'errore assoluto di approssimazione è il modulo della differenza tra il valore vero di una grandezza e il suo valore approssimativo. |x - x_n|, dove x è il valore vero, x_n è il valore approssimativo. Ad esempio: la lunghezza di un foglio di carta A4 è (29,7 ± 0,1) cm e la distanza da San Pietroburgo a Mosca è (650 ± 1) km. L'errore assoluto nel primo caso non supera un millimetro e nel secondo un chilometro. La domanda è confrontare l'accuratezza di queste misurazioni. Se pensi che la lunghezza del foglio sia misurata in modo più preciso perché l'errore assoluto non supera 1 mm. Allora ti sbagli. Questi valori non possono essere confrontati direttamente. Facciamo un ragionamento. Quando si misura la lunghezza di un foglio, l'errore assoluto non supera 0,1 cm per 29,7 cm, ovvero, in percentuale, è 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% del valore misurato. Quando misuriamo la distanza da San Pietroburgo a Mosca, l'errore assoluto non supera 1 km per 650 km, che è 1/650 * 100% = 0,15% del valore misurato in percentuale. Vediamo che la distanza tra le città è misurata in modo più accurato rispetto alla lunghezza di un foglio A4. B) L'errore relativo di approssimazione è il rapporto tra l'errore assoluto e il modulo del valore approssimativo della grandezza. frazione di errore matematico dove x è il valore vero, x_n è il valore approssimativo. L'errore relativo viene solitamente chiamato come percentuale. Esempio. Arrotondando il numero 24,3 alle unità si ottiene il numero 24. L'errore relativo è uguale. Dicono che l'errore relativo in questo caso sia del 12,5%. ) Che tipo di arrotondamento è chiamato arrotondamento? A) con uno svantaggio? b) Troppo? A) arrotondamento per difetto Quando si arrotonda un numero espresso come frazione decimale entro 10^(-n), le prime n cifre dopo il punto decimale vengono mantenute e quelle successive vengono eliminate. Ad esempio, arrotondando 12,4587 al millesimo più vicino con un demerito risulta 12,458. B) Arrotondamento per eccesso Quando si arrotonda un numero espresso come frazione decimale, fino a 10^(-n), le prime n cifre dopo il punto decimale vengono mantenute con un eccesso e quelle successive vengono scartate. Ad esempio, arrotondando 12,4587 al millesimo più vicino con un demerito risulta 12,459. ) La regola per arrotondare i decimali. Regola. Per arrotondare un decimale a una determinata cifra della parte intera o frazionaria, tutte le cifre più piccole vengono sostituite da zeri o scartate e la cifra che precede la cifra scartata durante l'arrotondamento non cambia il suo valore se è seguita dai numeri 0, 1, 2, 3, 4 e aumenta di 1 (uno) se i numeri sono 5, 6, 7, 8, 9. Esempio. Arrotonda la frazione 93.70584 a: decimillesimi: 93.7058 millesimi: 93.706 centesimi: 93.71 decimi: 93,7 intero: 94 decine: 90 Nonostante l'uguaglianza degli errori assoluti, poiché le grandezze misurate sono diverse. Maggiore è la dimensione misurata, minore è l'errore relativo a una costante assoluta. TutoraggioHai bisogno di aiuto per imparare un argomento?
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= 86 mm 2 a n = 10,
= 3,1 mm
= 0,7 mm o S = ±0,7 mm
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