Nel processo di misurazione di qualcosa, si deve tenere conto del fatto che il risultato ottenuto non è ancora definitivo. Per calcolare con maggiore precisione il valore desiderato, è necessario tenere conto dell'errore. Calcolarlo è abbastanza semplice.

Come trovare l'errore - calcolo

Tipi di errori:

• parente;
• assoluto.

Cosa devi calcolare:

• calcolatrice;
• risultati di più misurazioni della stessa quantità.

Come trovare un errore: una sequenza di azioni

• Misurare il valore 3-5 volte.
• Somma tutti i risultati e dividi il numero risultante per il loro numero. Questo numero è un valore reale.
• Calcolare l'errore assoluto sottraendo il valore ottenuto nel passaggio precedente dai risultati della misurazione. Formula: ∆X = Hisl - Hist. Nel corso dei calcoli, è possibile ottenere sia positivo che valori negativi. In entrambi i casi si prende il modulo del risultato. Se è necessario conoscere l'errore assoluto della somma di due quantità, allora i calcoli vengono eseguiti secondo la seguente formula: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Funziona anche quando è necessario calcolare l'errore della differenza tra due grandezze: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Scopri l'errore relativo per ciascuna delle misurazioni. In questo caso, è necessario dividere l'errore assoluto ottenuto per il valore effettivo. Quindi moltiplica il quoziente per il 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. Il valore può essere convertito o meno in percentuale.
• Per ottenere un valore più accurato dell'errore, è necessario trovare la deviazione standard. Si cerca molto semplicemente: calcola i quadrati di tutti i valori errore assoluto e poi trova la loro somma. Il risultato ottenuto deve essere diviso per il numero (N-1), dove N è il numero di tutte le misurazioni. L'ultimo passaggio consiste nell'estrarre la radice dal risultato. Dopo tali calcoli, si otterrà la deviazione standard, che di solito caratterizza l'errore di misurazione.
• Per trovare l'errore assoluto limite, è necessario trovare il massimo piccolo numero, che nel suo valore è uguale o superiore al valore dell'errore assoluto.
• L'errore relativo limite viene cercato con lo stesso metodo, solo è necessario trovare un numero maggiore o uguale al valore dell'errore relativo.

Gli errori di misurazione sorgono per vari motivi e influiscono sulla precisione del valore ottenuto. Sapendo a cosa corrisponde l'errore, puoi scoprire un valore più accurato della misurazione.

Errore assoluto e relativo

Elementi di teoria degli errori

Numeri esatti e approssimativi

L'accuratezza di un numero è generalmente fuori dubbio quando noi stiamo parlando su valori di dati interi (2 matite, 100 alberi). Tuttavia, nella maggior parte dei casi, quando è impossibile indicare il valore esatto di un numero (ad esempio, quando si misura un oggetto con un righello, si ottengono risultati da un dispositivo, ecc.), si tratta di dati approssimativi.

Un valore approssimativo è un numero leggermente diverso da valore esatto e sostituendolo nei calcoli. Il grado di differenza tra il valore approssimativo di un numero e il suo valore esatto è caratterizzato da errore .

Esistono le seguenti principali fonti di errore:

1. Errori nella formulazione del problema derivanti da una descrizione approssimativa di un fenomeno reale in termini matematici.

2. Errori del metodo associato alla difficoltà o impossibilità di risolvere il problema e sostituirlo con uno simile, in modo da poter applicare un metodo di soluzione noto e accessibile e ottenere un risultato vicino a quello desiderato.

3. Errori fatali, associato ai valori approssimativi dei dati iniziali e dovuto all'esecuzione di calcoli su numeri approssimativi.

4. Errori di arrotondamento associati all'arrotondamento dei valori dei dati iniziali, intermedi e risultati finali ottenuti con l'utilizzo di strumenti computazionali.

Errore assoluto e relativo

La contabilizzazione degli errori è aspetto importante applicazione di metodi numerici, poiché l'errore del risultato finale della risoluzione dell'intero problema è il prodotto dell'interazione di tutti i tipi di errori. Pertanto, uno dei compiti principali della teoria degli errori è stimare l'accuratezza del risultato in base all'accuratezza dei dati iniziali.

Se è un numero esatto ed è il suo valore approssimativo, allora l'errore (errore) del valore approssimativo è il grado di vicinanza del suo valore al suo valore esatto.

La misura quantitativa più semplice dell'errore è l'errore assoluto, che è definito come

(1.1.2-1)

Come si può vedere dalla formula 1.1.2-1, l'errore assoluto ha le stesse unità di misura del valore. Pertanto, per l'entità dell'errore assoluto, è tutt'altro che sempre possibile trarre una conclusione corretta sulla qualità dell'approssimazione. Ad esempio, se , e stiamo parlando di una parte di macchina, quindi le misurazioni sono molto approssimative e se stiamo parlando delle dimensioni della nave, allora sono molto accurate. A tal proposito è stato introdotto il concetto di errore relativo, in cui il valore dell'errore assoluto è rapportato al modulo del valore approssimativo ( ).

(1.1.2-2)

L'uso degli errori relativi è conveniente, in particolare, perché non dipendono dalla scala dei valori e dalle unità di dati. L'errore relativo è misurato in frazioni o percentuali. Quindi, per esempio, se

,un , poi , cosa succede se e ,

allora .

Per valutare numericamente l'errore di una funzione, è necessario conoscere le regole di base per calcolare l'errore delle azioni:

· quando si sommano e si sottraggono numeri gli errori assoluti dei numeri si sommano

· durante la moltiplicazione e la divisione dei numeri i loro errori relativi sono impilati uno sopra l'altro

· quando elevato a una potenza di un numero approssimativo il suo errore relativo viene moltiplicato per l'esponente

Esempio 1.1.2-1. Data una funzione: . Trova gli errori assoluti e relativi del valore (l'errore del risultato dell'esecuzione di operazioni aritmetiche), se i valori sono noti e 1 è un numero esatto e il suo errore è zero.

Avendo così determinato il valore dell'errore relativo, si può trovare il valore dell'errore assoluto come , dove il valore è calcolato dalla formula per valori approssimativi

Poiché il valore esatto della quantità è solitamente sconosciuto, il calcolo e secondo le formule di cui sopra è impossibile. Pertanto, in pratica, si valutano gli errori marginali della forma:

(1.1.2-3)

dove e - valori noti, che sono i limiti superiori degli errori assoluti e relativi, altrimenti sono chiamati - gli errori limite assoluti e relativi limiti. Pertanto, il valore esatto risiede all'interno di:

Se il valore noto, quindi e se il valore è noto , poi

Le grandezze fisiche sono caratterizzate dal concetto di "accuratezza dell'errore". Si dice che prendendo le misure si possa arrivare alla conoscenza. Sarà così possibile scoprire qual è l'altezza della casa o la lunghezza della strada, come tante altre.

introduzione

Capiamo il significato del concetto di "misurare il valore". Il processo di misurazione consiste nel confrontarlo con quantità omogenee, che vengono prese come unità.

I litri sono usati per determinare il volume, i grammi sono usati per calcolare la massa. Per rendere più agevole l'esecuzione dei calcoli, abbiamo introdotto il sistema SI della classificazione internazionale delle unità.

Per misurare la lunghezza della palude in metri, massa - chilogrammi, volume - litri cubi, tempo - secondi, velocità - metri al secondo.

Quando si calcola quantità fisiche non sempre è necessario utilizzare il metodo tradizionale, è sufficiente applicare il calcolo tramite una formula. Ad esempio, per calcolare indicatori come velocità media, devi dividere la distanza percorsa per il tempo trascorso sulla strada. Ecco come viene calcolata la velocità media.

Usando unità di misura dieci, cento, mille volte superiori agli indicatori delle unità di misura accettate, si chiamano multipli.

Il nome di ogni prefisso corrisponde al suo numero moltiplicatore:

1. Dec.
2. Etto.
3. Chilo.
4. Mega.
5. Giga.
6. Tera.

Nelle scienze fisiche, per scrivere tali fattori viene utilizzata una potenza di 10. Ad esempio, un milione è indicato come 10 6 .

In un semplice righello, la lunghezza ha un'unità di misura: un centimetro. Lei è 100 volte meno di un metro. Un righello da 15 cm è lungo 0,15 m.

Il righello è la forma più semplice strumenti di misura per misurare la lunghezza. I dispositivi più complessi sono rappresentati da un termometro - quindi un igrometro - per determinare l'umidità, un amperometro - per misurare il livello di forza con cui si propaga una corrente elettrica.

Quanto saranno accurate le misurazioni?

Prendi un righello e una matita semplice. Il nostro compito è misurare la lunghezza di questa cancelleria.

Per prima cosa è necessario determinare qual è il valore di divisione indicato sulla scala del dispositivo di misurazione. Sulle due divisioni, che sono i tratti più vicini della scala, sono scritti dei numeri, ad esempio "1" e "2".

È necessario calcolare quante divisioni sono racchiuse nell'intervallo di questi numeri. Se conti correttamente, ottieni "10". Sottrarre dal numero maggiore il numero che sarà minore e dividere per il numero che compone le divisioni tra le cifre:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Quindi determiniamo che il prezzo che determina la divisione della cancelleria è il numero 0,1 cm o 1 mm. È chiaramente mostrato come l'indicatore di prezzo per la divisione viene determinato utilizzando qualsiasi dispositivo di misurazione.

Misurando una matita con una lunghezza di poco inferiore a 10 cm, utilizzeremo le conoscenze acquisite. In assenza di piccole divisioni sul righello, ne deriverebbe la conclusione che l'oggetto ha una lunghezza di 10 cm Questo valore approssimativo è chiamato errore di misura. Indica il livello di imprecisione che può essere tollerato nella misurazione.

Determinare i parametri della lunghezza di una matita con più alto livello precisione, un valore di divisione maggiore consente di ottenere una maggiore precisione di misurazione, che fornisce un errore minore.

In questo caso, non è possibile effettuare misurazioni assolutamente accurate. E gli indicatori non devono superare la dimensione del prezzo di divisione.

È stato stabilito che l'entità dell'errore di misura è la metà del prezzo, che è indicato sulle graduazioni dello strumento utilizzato per determinare le dimensioni.

Dopo aver misurato la matita a 9,7 cm, determiniamo gli indicatori del suo errore. Questo è uno spazio di 9,65 - 9,85 cm.

La formula che misura un tale errore è il calcolo:

A = a ± D (a)

A - sotto forma di una quantità per i processi di misurazione;

a - il valore del risultato della misurazione;

D - la designazione dell'errore assoluto.

Quando si sottraggono o si sommano valori con un errore, il risultato sarà uguale alla somma degli indicatori di errore, che è ogni singolo valore.

Introduzione al concetto

Se consideriamo a seconda del modo in cui è espresso, possiamo distinguere le seguenti varietà:

• Assoluto.
• Parente.
• Dato.

L'errore di misura assoluto è indicato dalla lettera maiuscola "Delta". Questo concetto è definito come la differenza tra i valori misurati e quelli effettivi della grandezza fisica che viene misurata.

L'espressione dell'errore di misura assoluto è l'unità della grandezza che deve essere misurata.

Quando si misura la massa, sarà espressa, ad esempio, in chilogrammi. Questo non è uno standard di precisione della misurazione.

Come calcolare l'errore delle misurazioni dirette?

Esistono modi per rappresentare gli errori di misurazione e calcolarli. Per fare ciò, è importante poter determinare la grandezza fisica con la precisione richiesta, sapere qual è l'errore di misura assoluto, che nessuno potrà mai trovarlo. Puoi solo calcolare il suo valore limite.

Anche se questo termine è usato condizionalmente, indica proprio i dati di confine. Gli errori di misurazione assoluti e relativi sono indicati dalle stesse lettere, la differenza è nella loro ortografia.

Quando si misura la lunghezza, l'errore assoluto verrà misurato in quelle unità in cui viene calcolata la lunghezza. E l'errore relativo viene calcolato senza dimensioni, poiché è il rapporto tra l'errore assoluto e il risultato della misurazione. Questo valore è spesso espresso in percentuale o frazioni.

Gli errori di misurazione assoluti e relativi ne hanno diversi diversi modi calcoli a seconda di quali grandezze fisiche.

Il concetto di misura diretta

L'errore assoluto e relativo delle misurazioni dirette dipendono dalla classe di precisione del dispositivo e dalla capacità di determinare l'errore di pesatura.

Prima di parlare di come viene calcolato l'errore, è necessario chiarire le definizioni. Una misurazione diretta è una misurazione in cui il risultato viene letto direttamente dalla scala dello strumento.

Quando utilizziamo un termometro, un righello, un voltmetro o un amperometro, eseguiamo sempre misurazioni dirette, poiché utilizziamo direttamente un dispositivo con una scala.

Ci sono due fattori che influenzano le prestazioni:

• Errore dello strumento.
• L'errore del sistema di riferimento.

Il limite di errore assoluto per le misure dirette sarà uguale alla somma dell'errore che il dispositivo mostra e dell'errore che si verifica durante il processo di lettura.

D = D (pr.) + D (assenti)

Esempio di termometro medico

I valori di precisione sono indicati sullo strumento stesso. Un errore di 0,1 gradi Celsius viene registrato su un termometro medico. L'errore di lettura è la metà del valore di divisione.

D = C/2

Se il valore di divisione è 0,1 gradi, per un termometro medico è possibile effettuare calcoli:

D \u003d 0,1 o C + 0,1 o C / 2 \u003d 0,15 o C

Sul lato posteriore le scale di un altro termometro sono specifiche tecniche ed è indicato che per misurazioni corrette è necessario immergere il termometro con tutto il dorso. non specificato. L'unico errore rimasto è l'errore di conteggio.

Se il valore di divisione della scala di questo termometro è 2 o C, è possibile misurare la temperatura con una precisione di 1 o C. Questi sono i limiti dell'errore di misurazione assoluto consentito e il calcolo dell'errore di misurazione assoluto.

Uno speciale sistema per il calcolo della precisione viene utilizzato negli strumenti di misura elettrici.

Precisione degli strumenti di misura elettrici

Per specificare la precisione di tali dispositivi, viene utilizzato un valore chiamato classe di precisione. Per la sua designazione viene utilizzata la lettera "Gamma". Per determinare con precisione gli errori di misura assoluti e relativi, è necessario conoscere la classe di precisione del dispositivo, che è indicata sulla scala.

Prendi, ad esempio, un amperometro. La sua scala indica la classe di precisione, che mostra il numero 0,5. È adatto per misurazioni a costante e corrente alternata, si riferisce ai dispositivi del sistema elettromagnetico.

Questo è un dispositivo abbastanza preciso. Se lo confronti con un voltmetro scolastico, puoi vedere che ha una classe di precisione di 4. Questo valore deve essere noto per ulteriori calcoli.

Applicazione della conoscenza

Pertanto, D c \u003d c (max) X γ / 100

Questa formula verrà utilizzata per esempi concreti. Usiamo un voltmetro e troviamo l'errore nel misurare la tensione che dà la batteria.

Colleghiamo la batteria direttamente al voltmetro, dopo aver preventivamente verificato se la freccia è a zero. Quando il dispositivo è stato collegato, la freccia deviava di 4,2 divisioni. Questo stato può essere descritto come segue:

1. Si può notare che il valore massimo di U per questo articolo è 6.
2. Classe di precisione -(γ) = 4.
3. U(o) = 4,2 V.
4. C=0,2 V

Utilizzando questi dati di formula, gli errori di misurazione assoluti e relativi vengono calcolati come segue:

DU \u003d DU (es.) + C / 2

DU (pr.) \u003d U (max) X γ / 100

DU (pr.) \u003d 6 V X 4/100 \u003d 0,24 V

Questo è l'errore del dispositivo.

Il calcolo dell'errore di misura assoluto in questo caso sarà effettuato come segue:

DU = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Utilizzando la formula considerata, puoi facilmente scoprire come calcolare l'errore di misurazione assoluto.

Esiste una regola per gli errori di arrotondamento. Consente di trovare la media tra il limite di errore assoluto e quello relativo.

Imparare a determinare l'errore di pesatura

Questo è un esempio di misurazioni dirette. Sul posto speciale vale la pena pesare. Dopotutto, le bilance a leva non hanno una scala. Impariamo come determinare l'errore di un tale processo. L'accuratezza della misurazione della massa è influenzata dalla precisione dei pesi e dalla perfezione delle bilance stesse.

Utilizziamo una bilancia con una serie di pesi che devono essere posizionati esattamente sul lato destro della bilancia. Prendi un righello per pesare.

Prima di iniziare l'esperimento, devi bilanciare la bilancia. Mettiamo il righello sulla ciotola di sinistra.

La massa sarà uguale alla somma dei pesi installati. Determiniamo l'errore di misura di questa quantità.

D m = D m (pesi) + D m (pesi)

L'errore di misurazione della massa consiste in due termini associati a bilance e pesi. Per scoprire ciascuno di questi valori, negli stabilimenti per la produzione di bilance e pesi, i prodotti vengono forniti con documenti speciali che consentono di calcolarne l'accuratezza.

Applicazione delle tabelle

Usiamo una tabella standard. L'errore della bilancia dipende da quanta massa viene messa sulla bilancia. Più è grande, maggiore è l'errore, rispettivamente.

Anche se metti un corpo molto leggero, ci sarà un errore. Ciò è dovuto al processo di attrito che si verifica negli assi.

La seconda tabella si riferisce a una serie di pesi. Indica che ognuno di essi ha il proprio errore di massa. Il 10 grammi ha un errore di 1 mg, così come il 20 grammi. Calcoliamo la somma degli errori di ciascuno di questi pesi, ricavati dalla tabella.

È conveniente scrivere la massa e l'errore di massa su due righe, che si trovano una sotto l'altra. Minore è il peso, più accurata sarà la misurazione.

Risultati

Nel corso del materiale considerato, è stato stabilito che è impossibile determinare l'errore assoluto. Puoi solo impostare i suoi indicatori di confine. Per questo, vengono utilizzate le formule sopra descritte nei calcoli. Questo materiale proposto per lo studio a scuola per gli studenti delle classi 8-9. Sulla base delle conoscenze acquisite, è possibile risolvere problemi per la determinazione degli errori assoluti e relativi.

Diciamo che la larghezza esatta della tavola è A = 384 mm e misurandola si ottiene a = 381 mm. Viene chiamato il modulo della differenza tra il valore esatto della grandezza misurata e il suo valore approssimativo errore assoluto. A questo esempio errore assoluto 3 mm. Ma in pratica, non conosciamo mai il valore esatto della quantità misurata, quindi non possiamo conoscere esattamente l'errore assoluto.

Ma di solito conosciamo l'accuratezza degli strumenti di misura, l'esperienza dell'osservatore che effettua le misurazioni e così via. Ciò consente di farsi un'idea dell'errore di misurazione assoluto. Se, ad esempio, misuriamo la lunghezza di una stanza con un metro a nastro, non è difficile per noi prendere in considerazione metri e centimetri, ma è improbabile che saremo in grado di prendere in considerazione i millimetri. Sì, non c'è bisogno di questo. Pertanto, commettiamo deliberatamente un errore entro 1 cm L'errore assoluto nella lunghezza della stanza è inferiore a 1 cm Quando si misura la lunghezza di qualsiasi segmento con un righello millimetrico, abbiamo il diritto di affermare che l'errore di misurazione non superare 1 mm.

L'errore assoluto ea del numero approssimativo a permette di stabilire i confini entro i quali si trova il numero esatto A:

L'errore assoluto non è un indicatore sufficiente della qualità della misurazione e non caratterizza l'accuratezza dei calcoli o delle misurazioni. Se è noto che, dopo aver misurato una certa lunghezza, abbiamo ottenuto un errore assoluto di 1 cm, non si possono trarre conclusioni sul fatto che abbiamo misurato bene o male. Se abbiamo misurato la lunghezza di una matita a 15 cm e abbiamo sbagliato di 1 cm, la nostra misura non va bene. Se abbiamo misurato un corridoio di 20 metri e abbiamo commesso un errore di solo 1 cm, la nostra misurazione è un esempio di accuratezza. Non solo l'errore assoluto in sé è importante, ma anche la parte che fa del valore misurato.. Nel primo esempio, ass. l'errore di 1 cm è 1/15 del valore misurato o 7%, nel secondo - 1/2000 o 0,05%. La seconda dimensione è molto meglio.

L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore assoluto del valore approssimativo:

A differenza dell'errore assoluto, che di solito è un valore dimensionale, l'errore relativo è sempre un valore adimensionale. Di solito è espresso in%.

Esempio

Quando si misura una lunghezza di 5 cm, è consentito un errore assoluto di 0,1 cm Qual è l'errore relativo? (Risposta 2%)

Nel calcolare il numero di abitanti della città, che si è rivelato essere 2.000.000, è stato consentito un errore di 100 persone. Qual è l'errore relativo? (Risposta 0,005%)

Il risultato di ogni misurazione è espresso da un numero che caratterizza solo approssimativamente il valore misurato. Pertanto, nei calcoli di cui ci occupiamo approssimativo numeri. Quando si scrivono numeri approssimativi, si presume che l'ultima cifra a destra caratterizzi l'entità dell'errore assoluto.

Ad esempio, se si scrive 12.45, ciò non significa che il valore caratterizzato da questo numero non contenga millesimi. Si può sostenere che durante la misurazione non sono stati presi in considerazione i millesimi, pertanto l'errore assoluto è inferiore alla metà dell'unità dell'ultima cifra: . Allo stesso modo, rispetto al numero approssimativo 1.283, possiamo dire che l'errore assoluto è minore di 0.0005: .

I numeri approssimativi sono solitamente scritti in modo tale che l'errore assoluto non superi l'unità dell'ultimo decimale . O, in altre parole, l'errore assoluto di un numero approssimativo è caratterizzato dal numero di cifre decimali dopo la virgola.

E se, dopo un'attenta misurazione di una certa quantità, si scopre che contiene un'unità intera, 2 decimi, 5 centesimi, non contiene millesimi e dieci millesimi non possono essere contati? Se scriviamo 1,25, in questo record non vengono presi in considerazione i millesimi, mentre in realtà siamo sicuri che non lo siano. In questo caso, è consuetudine mettere 0 al loro posto: è necessario scrivere 1.250. Pertanto, i numeri 1.25 e 1.250 non significano la stessa cosa. Il primo contiene millesimi; solo non sappiamo quanto. Il secondo non contiene millesimi, nulla si può dire sui dieci millesimi.

È più difficile quando si scrivono grandi numeri approssimativi. Lascia il numero degli abitanti del villaggio è uguale a 2000 persone e in città circa 457.000 abitanti. Inoltre, siamo sicuri della città a migliaia, ma permettiamo un errore a centinaia e decine. Nel primo caso, gli zeri alla fine del numero indicano l'assenza di centinaia, decine e uno, chiameremo tali zeri significativo; nel secondo caso, gli zeri indicano la nostra ignoranza del numero di centinaia, decine e uno. Chiameremo tali zeri insignificante. Quando si scrive un numero approssimativo contenente zeri, è necessario specificarne ulteriormente il significato. Gli zeri sono generalmente insignificanti. A volte puoi indicare l'insignificanza degli zeri scrivendo il numero in forma esponenziale (457 * 10 3).

Confrontiamo l'accuratezza di due numeri approssimativi 1362,3 e 2,37. Nel primo l'errore assoluto non supera 0,1, nel secondo è 0,01. Pertanto, il secondo numero sembra più accurato del primo.

Calcoliamo l'errore relativo. Per il primo numero ; per il secondo . Il secondo numero è significativamente (quasi 100 volte) meno accurato del primo. Si scopre che ciò è dovuto al fatto che nel primo numero vengono fornite 5 cifre corrette (significative), mentre nel secondo solo 3.

Tutte le cifre di un numero approssimativo, di cui siamo sicuri, saranno chiamate cifre vere (significative). Gli zeri subito a destra dopo la virgola non sono significativi, indicano solo l'ordine delle cifre significative a destra. Gli zeri nelle posizioni più a destra di un numero possono essere sia significativi che non significativi. Ad esempio, ciascuno dei seguenti numeri ha 3 cifre significative: 283*10 5 , 200*10 2 , 22.5, 0.0811, 2.10, 0.0000458.

Esempio

Quante cifre significative (corrette) ci sono nei seguenti numeri:

0.75 (2), 12.050 (5), 1875*10 5 (4), 0.06*10 9 (1)

Stimare l'errore relativo dei seguenti numeri approssimativi:

zeri significativi: 21000 (0,005%),

È facile vedere che per una stima approssimativa dell'errore relativo di un numero è sufficiente contare il numero di cifre significative. Per un numero che ha una sola cifra significativa, l'errore relativo è di circa il 10%;

con 2 cifre significative - 1%;

con 3 cifre significative - 0,1%;

con 4 cifre significative - 0,01%, ecc.

Quando si calcola con numeri approssimativi, ci interesserà la domanda: come, in base ai numeri approssimativi forniti, ottenere una risposta con l'errore relativo richiesto.

Spesso, in questo caso, tutti i dati iniziali devono essere presi con lo stesso errore, cioè con l'errore del meno accurato dei numeri dati. Pertanto, è spesso necessario sostituire un numero più accurato con uno meno accurato per arrotondare per eccesso.

arrotondamento ai decimi 27.136 » 27.1,

arrotondamento a numeri interi 32,8 » 33.

Regola di arrotondamento: se la cifra più a sinistra scartata durante l'arrotondamento è inferiore a 5, l'ultima cifra conservata non viene modificata; se la cifra più a sinistra da scartare è maggiore di 5, o se è uguale a 5, l'ultima cifra conservata viene incrementata di 1.

Esempio

gironi ai decimi 17.96 (18.0)

arrotondamento ai centesimi 14.127 (14.13)

arrotondare per mantenere i 3 numeri corretti: 83.501 (83.5), 728.21 (728), 0.0168835 (0.01688).

L'errore assoluto e relativo vengono utilizzati per valutare l'imprecisione nei calcoli effettuati con elevata complessità. Sono utilizzati anche in varie misurazioni e per arrotondare i risultati di calcolo. Considera come determinare l'errore assoluto e relativo.

Errore assoluto

L'errore assoluto del numero nominare la differenza tra questo numero e il suo valore esatto.
Considera un esempio : 374 studenti studiano nella scuola. Se questo numero viene arrotondato a 400, l'errore di misurazione assoluto è 400-374=26.

Per calcolare l'errore assoluto, è necessario da Di più sottrarre meno.

C'è una formula per l'errore assoluto. Indichiamo il numero esatto con la lettera A e con la lettera a - l'approssimazione al numero esatto. Un numero approssimativo è un numero che differisce leggermente dal numero esatto e di solito lo sostituisce nei calcoli. Quindi la formula sarà simile a questa:

Δa=A-a. Come trovare l'errore assoluto con la formula, abbiamo discusso sopra.

In pratica, l'errore assoluto non è sufficiente per valutare con precisione la misura. Raramente è possibile conoscere esattamente il valore della grandezza misurata per calcolare l'errore assoluto. Se misuri un libro lungo 20 cm e consenti un errore di 1 cm, puoi leggere la misura con un errore grande. Ma se è stato commesso un errore di 1 cm durante la misurazione di un muro di 20 metri, questa misurazione può essere considerata il più accurata possibile. Pertanto, in pratica di più importanza ha una definizione di errore di misura relativo.

Registrare l'errore assoluto del numero utilizzando il segno ±. Per esempio , la lunghezza del rotolo di carta da parati è di 30 m ± 3 cm Il limite dell'errore assoluto è chiamato errore assoluto limite.

Errore relativo

Errore relativo detto rapporto tra l'errore assoluto di un numero e il numero stesso. Per calcolare l'errore relativo nell'esempio dello studente, dividi 26 per 374. Otteniamo il numero 0,0695, lo convertiamo in una percentuale e otteniamo il 6%. L'errore relativo è indicato come percentuale, perché è una quantità adimensionale. L'errore relativo è una stima accurata dell'errore di misurazione. Se prendiamo un errore assoluto di 1 cm quando misuriamo la lunghezza di segmenti di 10 cm e 10 m, gli errori relativi saranno rispettivamente pari al 10% e allo 0,1%. Per un segmento con una lunghezza di 10 cm, l'errore di 1 cm è molto grande, questo è un errore del 10%. E per un segmento di dieci metri, 1 cm non ha importanza, solo lo 0,1%.

Ci sono errori sistematici e casuali. L'errore sistematico è l'errore che rimane invariato durante le misurazioni ripetute. L'errore casuale si verifica come risultato dell'impatto sul processo di misurazione fattori esterni e può cambiarne il valore.

Regole per il calcolo degli errori

Esistono diverse regole per la stima nominale degli errori:

• quando si sommano e si sottraggono numeri, è necessario sommare i loro errori assoluti;
• quando si dividono e si moltiplicano i numeri, è necessario aggiungere errori relativi;
• quando esponenziato, l'errore relativo viene moltiplicato per l'esponente.

Approssimativo e numeri esatti sono scritti usando i decimali. Viene preso solo il valore medio, poiché il valore esatto può essere infinitamente lungo. Per capire come scrivere questi numeri, è necessario conoscere i numeri corretti e dubbi.

I numeri veri sono quei numeri la cui cifra supera l'errore assoluto del numero. Se la cifra della cifra è inferiore all'errore assoluto, si parla di dubbio. Per esempio , per una frazione di 3,6714 con un errore di 0,002, i numeri 3,6,7 saranno corretti e saranno dubbi 1 e 4. Nella registrazione del numero approssimativo vengono lasciati solo i numeri corretti. La frazione in questo caso sarà simile a questa: 3,67.

Cosa abbiamo imparato?

Gli errori assoluti e relativi vengono utilizzati per valutare l'accuratezza delle misurazioni. L'errore assoluto è la differenza tra il numero esatto e quello approssimativo. L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto di un numero e il numero stesso. In pratica, viene utilizzato l'errore relativo, poiché è più accurato.