Dispersione di una variabile casuale. Come redigere una legge di distribuzione di una variabile casuale esempi Trova la varianza secondo la legge di distribuzione

Come è noto, variabile casuale si chiama variabile che può assumere determinati valori a seconda dei casi. Le variabili casuali sono indicate da lettere maiuscole dell'alfabeto latino (X, Y, Z) e dai loro valori - dalle corrispondenti lettere minuscole (x, y, z). Le variabili casuali si dividono in discontinue (discrete) e continue.

Variabile casuale discreta è chiamata variabile casuale che accetta solo un insieme finito o infinito (contabile) di valori con determinate probabilità diverse da zero.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è una funzione che collega i valori di una variabile casuale con le loro corrispondenti probabilità. La legge di distribuzione può essere specificata in uno dei seguenti modi.

1 . La legge di distribuzione può essere data dalla tabella:

dove λ>0, k = 0, 1, 2, … .

in) attraverso funzione di distribuzione F(x) , che determina per ogni valore x la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore di x, cioè F(x) = P(X< x).

Proprietà della funzione F(x)

3 . La legge di distribuzione può essere impostata graficamente – poligono di distribuzione (poligono) (vedi problema 3).

Si noti che per risolvere alcuni problemi non è necessario conoscere la legge di distribuzione. In alcuni casi è sufficiente conoscere uno o più numeri che rispecchiano le caratteristiche più importanti della legge di distribuzione. Può essere un numero che ha il significato di "valore medio" di una variabile casuale, oppure un numero che mostra la dimensione media della deviazione di una variabile casuale dal suo valore medio. Numeri di questo tipo sono chiamati caratteristiche numeriche di una variabile casuale.

Caratteristiche numeriche di base di una variabile casuale discreta :

• Aspettativa matematica (valore medio) di una variabile casuale discreta M(X)=Σ x io p io.
  Per la distribuzione binomiale M(X)=np, per la distribuzione di Poisson M(X)=λ
• Dispersione variabile casuale discreta D(X)=M2 o D(X) = M(X 2) − 2. La differenza X–M(X) è chiamata deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica.
  Per la distribuzione binomiale D(X)=npq, per la distribuzione di Poisson D(X)=λ
• Deviazione standard (deviazione standard) σ(X)=√D(X).

Esempi di risoluzione di problemi sull'argomento "La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta"

Compito 1.

Sono stati emessi 1.000 biglietti della lotteria: 5 di loro vinceranno 500 rubli, 10 vinceranno 100 rubli, 20 vinceranno 50 rubli e 50 vinceranno 10 rubli. Determina la legge della distribuzione di probabilità della variabile casuale X - vincite per biglietto.

Decisione. In base alla condizione del problema, sono possibili i seguenti valori della variabile casuale X: 0, 10, 50, 100 e 500.

Il numero di biglietti senza vincere è 1000 - (5+10+20+50) = 915, quindi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Allo stesso modo, troviamo tutte le altre probabilità: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Presentiamo la legge risultante sotto forma di tabella:

Trova l'aspettativa matematica di X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Compito 3.

Il dispositivo è composto da tre elementi che operano in modo indipendente. La probabilità di fallimento di ogni elemento in un esperimento è 0,1. Elabora una legge di distribuzione per il numero di elementi falliti in un esperimento, costruisci un poligono di distribuzione. Trova la funzione di distribuzione F(x) e tracciala. Trova l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard di una variabile casuale discreta.

Decisione. 1. La variabile casuale discreta X=(numero di elementi non riusciti in un esperimento) ha i seguenti valori possibili: x 1 =0 (nessuno degli elementi del dispositivo non riuscito), x 2 =1 (un elemento non riuscito), x 3 =2 ( due elementi non riusciti ) e x 4 \u003d 3 (tre elementi non riusciti).

I guasti degli elementi sono indipendenti l'uno dall'altro, le probabilità di guasto di ciascun elemento sono uguali tra loro, pertanto è applicabile La formula di Bernoulli . Dato che, per condizione, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determiniamo le probabilità dei valori:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verifica: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Pertanto, la legge di distribuzione binomiale desiderata X ha la forma:

Sull'asse delle ascisse tracciamo i possibili valori x i e sull'asse delle ordinate le probabilità corrispondenti р i . Costruiamo i punti M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Collegando questi punti con segmenti di linea, otteniamo il poligono di distribuzione desiderato.

3. Trova la funzione di distribuzione F(x) = P(X

Per x ≤ 0 abbiamo F(x) = P(X<0) = 0;
per 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
per 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
per 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
per x > 3 sarà F(x) = 1, perché l'evento è certo.

Grafico della funzione F(x)

4. Per la distribuzione binomiale X:
- aspettativa matematica М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersione D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- deviazione standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Esempi di risoluzione di problemi sull'argomento "Variabili casuali".

Compito 1 . Ci sono 100 biglietti emessi alla lotteria. È stata giocata una vincita di 50 USD. e dieci vincite di $ 10 ciascuna. Trova la legge di distribuzione del valore X - il costo di un possibile guadagno.

Decisione. Possibili valori di X: x 1 = 0; X 2 = 10 e x 3 = 50. Poiché ci sono 89 biglietti “vuoti”, allora p 1 = 0,89, la probabilità di vincita è 10 c.u. (10 biglietti) – pag 2 = 0,10 e per una vincita di 50 c.u. -p 3 = 0,01. Così:

	0,89	0,10	0,01

Facile da controllare: .

Compito 2. La probabilità che l'acquirente abbia familiarizzato in anticipo con la pubblicità del prodotto è 0,6 (p = 0,6). Il controllo selettivo della qualità della pubblicità viene effettuato sondando gli acquirenti prima del primo che ha studiato in anticipo l'annuncio. Fare una serie di distribuzione del numero di acquirenti intervistati.

Decisione. Secondo la condizione del problema p = 0,6. Da: q=1 -p = 0,4. Sostituendo questi valori si ottiene: e costruisci una serie di distribuzione:

pi		0,24

Compito 3. Un computer è costituito da tre elementi che operano in modo indipendente: un'unità di sistema, un monitor e una tastiera. Con un singolo forte aumento della tensione, la probabilità di guasto di ciascun elemento è 0,1. Sulla base della distribuzione Bernoulli, redigere la legge di distribuzione per il numero di elementi guasti durante uno sbalzo di tensione nella rete.

Decisione. Tenere conto distribuzione Bernoulliana(o binomiale): la probabilità che in n test, l'evento A apparirà esattamente K una volta: , o:

	q n					p n

A torniamo al compito.

Possibili valori di X (numero di guasti):

x 0 =0 - nessuno degli elementi non è riuscito;

x 1 =1 - guasto di un elemento;

x 2 =2 - guasto di due elementi;

x 3 =3 - guasto di tutti gli elementi.

Poiché, per condizione, p = 0,1, allora q = 1 – p = 0,9. Usando la formula di Bernoulli, otteniamo

, ,

, .

Il controllo: .

Pertanto, la legge di distribuzione desiderata:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Compito 4. Ha prodotto 5000 colpi. La probabilità che una cartuccia sia difettosa . Qual è la probabilità che ci siano esattamente 3 cartucce difettose nell'intero lotto?

Decisione. Applicabile Distribuzione di Poisson: questa distribuzione viene utilizzata per determinare la probabilità che, dato un valore molto grande

numero di prove (prove di massa), in ciascuna delle quali la probabilità dell'evento A è molto piccola, l'evento A si verificherà k volte: , dove .

Qui n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Troviamo , quindi la probabilità desiderata: .

Compito 5. Quando si spara prima del primo colpo con la probabilità di colpire p = 0,6 per un colpo, devi trovare la probabilità che il colpo avvenga al terzo colpo.

Decisione. Applichiamo la distribuzione geometrica: si effettuino prove indipendenti, in ciascuna delle quali l'evento A ha una probabilità di occorrenza p (e di non occorrenza q = 1 - p). Le prove terminano non appena si verifica l'evento A.

In tali condizioni, la probabilità che l'evento A si verifichi nel k-esimo test è determinata dalla formula: . Qui p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Pertanto, .

Compito 6. Sia data la legge di distribuzione di una variabile aleatoria X:

Trova l'aspettativa matematica.

Decisione. .

Si noti che il significato probabilistico dell'aspettativa matematica è il valore medio di una variabile casuale.

Compito 7. Trova la varianza di una variabile casuale X con la seguente legge di distribuzione:

Decisione. Qui .

La legge di distribuzione del quadrato di X 2 :

X 2

Variazione richiesta: .

La dispersione caratterizza il grado di deviazione (scattering) di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica.

Compito 8. Sia data la variabile casuale dalla distribuzione:

			10 m

Trova le sue caratteristiche numeriche.

Soluzione: m, m 2 ,

M 2 , m.

A proposito di una variabile casuale X, si può dire: la sua aspettativa matematica è 6,4 m con una varianza di 13,04 m 2 , oppure - la sua aspettativa matematica è 6,4 m con una deviazione di m La seconda formulazione è ovviamente più chiara.

Compito 9. Valore casuale X data dalla funzione di distribuzione:
.

Trova la probabilità che, a seguito del test, il valore X assuma un valore contenuto nell'intervallo .

Decisione. La probabilità che X assuma un valore da un dato intervallo è uguale all'incremento della funzione integrale in questo intervallo, cioè . Nel nostro caso e , quindi

.

Compito 10. Variabile casuale discreta X dato dalla legge di distribuzione:

Trova la funzione di distribuzione F(x ) e costruisci il suo grafico.

Decisione. Poiché la funzione di distribuzione

per , poi

A ;

A ;

A ;

A ;

Grafico pertinente:

Compito 11. Variabile casuale continua X data dalla funzione di distribuzione differenziale: .

Trova la probabilità di colpire X per intervallo

Decisione. Si noti che questo è un caso speciale della legge della distribuzione esponenziale.

Usiamo la formula: .

Compito 12. Trova le caratteristiche numeriche di una variabile casuale discreta X data dalla legge di distribuzione:

	–5
	X2: x2 . , dove è la funzione di Laplace. I valori di questa funzione si trovano utilizzando una tabella. Nel nostro caso: . Secondo la tabella troviamo:, quindi:

Incarico di servizio. Il calcolatore online viene utilizzato per costruire una tabella della distribuzione di una variabile casuale X - il numero di esperimenti eseguiti e calcolare tutte le caratteristiche della serie: aspettativa matematica, varianza e deviazione standard. La relazione con la decisione è redatta in formato Word. Esempio 1. Vengono lanciate tre monete. La probabilità che uno stemma cada in un rotolo è 0,5. Crea una legge di distribuzione per una variabile casuale X - il numero di stemmi caduti.
Decisione.
La probabilità che nessuno stemma sia caduto: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
La probabilità che tre stemmi siano caduti: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Legge di distribuzione di una variabile casuale X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Verifica: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Esempio #2. La probabilità di colpire il bersaglio di un tiratore con un colpo per il primo tiratore è 0,8, per il secondo tiratore - 0,85. I tiratori hanno sparato un colpo al bersaglio. Supponendo di colpire il bersaglio per i singoli tiratori come eventi indipendenti, trova la probabilità dell'evento A - esattamente un colpo sul bersaglio.
Decisione.
Considera l'evento A: un colpo sul bersaglio. Le possibili occorrenze di questo evento sono le seguenti:

1. Primo tiratore colpito, secondo tiratore mancato: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Il primo tiratore ha mancato, il secondo tiratore ha colpito il bersaglio: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Il primo e il secondo tiratore colpiscono il bersaglio indipendentemente: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Allora la probabilità dell'evento A - esattamente un colpo sul bersaglio, sarà pari a: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

Definizione.Dispersione (scattering) La variabile casuale discreta è chiamata aspettativa matematica della deviazione al quadrato della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica:

Esempio. Per l'esempio sopra, troviamo

L'aspettativa matematica di una variabile casuale è:

Possibili valori della deviazione al quadrato:

; ;

La dispersione è:

Tuttavia, in pratica, questo metodo di calcolo della varianza è scomodo, perché porta a calcoli ingombranti per un gran numero di valori di una variabile casuale. Pertanto, viene utilizzato un altro metodo.

Calcolo della varianza

Teorema. La varianza è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale X e il quadrato della sua aspettativa matematica:

Prova. Tenendo conto del fatto che l'aspettativa matematica e il quadrato dell'aspettativa matematica sono valori costanti, possiamo scrivere:

Applichiamo questa formula all'esempio sopra:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Proprietà di dispersione

1) La dispersione di un valore costante è zero:

2) Il fattore costante può essere estratto dal segno di dispersione quadrandolo:

.

3) La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili:

4) La varianza della differenza di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili:

La validità di questa uguaglianza deriva dalla proprietà 2.

Teorema. La varianza del numero di occorrenze dell'evento A in n prove indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità di accadimento dell'evento è costante, è uguale al prodotto del numero di prove per la probabilità di accadimento e la probabilità dell'evento non si verificano in ogni prova:

Esempio. L'impianto produce il 96% di prodotti di prima scelta e il 4% di prodotti di seconda qualità. 1000 articoli vengono scelti a caso. Lascia stare X- il numero di prodotti della prima classe in questo campione. Trova la legge di distribuzione, l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale.

Pertanto, la legge di distribuzione può essere considerata binomiale.

Esempio. Trova la varianza di una variabile casuale discreta X– numero di occorrenze dell'evento MA in due prove indipendenti, se le probabilità del verificarsi di questo evento in ciascuna prova sono uguali ed è noto che

Perché valore casuale X distribuito secondo la legge del binomio, quindi

Esempio. Vengono eseguiti test indipendenti con la stessa probabilità di accadimento dell'evento MA in ogni prova. Trova la probabilità che si verifichi un evento MA se la varianza del numero di occorrenze dell'evento in tre prove indipendenti è 0,63.

Secondo la formula di dispersione della legge binomiale, otteniamo:

;

Esempio.È in corso il test di un dispositivo composto da quattro dispositivi a funzionamento indipendente. Le probabilità di guasto di ciascuno dei dispositivi sono, rispettivamente, ; ; . Trova l'aspettativa matematica e la varianza del numero di dispositivi guasti.

Prendendo il numero di dispositivi guasti come variabile casuale, vediamo che questa variabile casuale può assumere i valori 0, 1, 2, 3 o 4.

Per elaborare una legge di distribuzione per questa variabile casuale, è necessario determinare le probabilità corrispondenti. Accettiamo.

1) Nessun dispositivo si è guastato:

2) Uno dei dispositivi è guasto.