Minimo comune multiplo di un numero 2. Come trovare il minimo comune multiplo, ma per due o più numeri

Come trovare il minimo comune multiplo?

È necessario trovare ogni fattore di ciascuno dei due numeri per i quali troviamo il minimo comune multiplo, quindi moltiplicare i fattori che hanno coinciso con il primo e il secondo numero l'uno per l'altro. Il risultato del prodotto sarà il multiplo desiderato.

Ad esempio, abbiamo i numeri 3 e 5 e dobbiamo trovare l'LCM (minimo comune multiplo). Noi deve essere moltiplicato e tre e cinque per tutti i numeri a partire da 1 2 3 ... e così via finché non vediamo lo stesso numero qui e li.

Moltiplichiamo i tre e otteniamo: 3, 6, 9, 12, 15

Moltiplica cinque e ottieni: 5, 10, 15

Il metodo di fattorizzazione dei primi è il più classico per trovare il minimo comune multiplo (LCM) di più numeri. Questo metodo è chiaramente e semplicemente dimostrato nel seguente video:

Aggiungi, moltiplica, dividi, riduci a un denominatore comune e altri operazioni aritmetiche un'attività molto eccitante, si ammirano soprattutto esempi che occupano un intero foglio.

Quindi trova il multiplo comune per due numeri, che sarà il numero più piccolo per cui due numeri sono divisibili. Voglio notare che non è necessario ricorrere a formule in futuro per trovare quello che stai cercando, se puoi contare nella tua mente (e questo può essere allenato), allora i numeri stessi ti saltano in mente e poi le frazioni scattano come noci.

Per cominciare, impariamo che possiamo moltiplicare due numeri l'uno contro l'altro, quindi ridurre questa cifra e dividerla alternativamente per questi due numeri, quindi troveremo il multiplo più piccolo.

Ad esempio, due numeri 15 e 6. Moltiplichiamo e otteniamo 90. Questo è chiaramente più numero. Inoltre, 15 è divisibile per 3 e 6 è divisibile per 3, il che significa che dividiamo anche 90 per 3. Otteniamo 30. Proviamo a dividere 30 per 15 è 2. E 30 divide 6 è 5. Poiché 2 è il limite, risulta che il multiplo più piccolo per i numeri 15 e 6 sarà 30.

Con più numeri sarà un po' più difficile. ma se sai quali numeri danno resto zero quando divisi o moltiplicati, allora, in linea di principio, non ci sono grandi difficoltà.

• Come trovare il NOC

  Ecco un video che ti mostrerà due modi per trovare il minimo comune multiplo (LCM). Esercitandoti con il primo dei metodi proposti, puoi capire meglio qual è il multiplo meno comune.

Ecco un altro modo per trovare il multiplo meno comune. Diamo un'occhiata a un esempio illustrativo.

È necessario trovare l'LCM di tre numeri contemporaneamente: 16, 20 e 28.

• Rappresentiamo ogni numero come il prodotto dei suoi fattori primi:
• Scriviamo le potenze di tutti i fattori primi:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Selezioniamo tutti i primi divisori (moltiplicatori) con i gradi più grandi, li moltiplichiamo e troviamo l'LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Così, come risultato del calcolo, è stato ottenuto il numero 560. È il minimo comune multiplo, cioè è divisibile per ciascuno dei tre numeri senza resto.

Il minimo comune multiplo è il numero che può essere diviso per più numeri dati senza resto. Per calcolare una tale cifra, devi prendere ogni numero e scomporlo in semplici fattori. Quei numeri che corrispondono vengono rimossi. Lascia tutti uno alla volta, moltiplicali tra loro a turno e ottieni il desiderato - il multiplo meno comune.

NOC, o minimo comune multiplo, è il più piccolo numero naturale due o più numeri che è divisibile per ciascuno dei numeri dati senza resto.

Ecco un esempio di come trovare il minimo comune multiplo di 30 e 42.

• Il primo passo è scomporre questi numeri in fattori primi.

Per 30, è 2 x 3 x 5.

Per 42, questo è 2 x 3 x 7. Poiché 2 e 3 sono nell'espansione del numero 30, li cancelliamo.

• Scriviamo i fattori inclusi nell'espansione del numero 30. Questo è 2 x 3 x 5.
• Ora devi moltiplicarli per il fattore mancante, che abbiamo quando scomponiamo 42, e questo è 7. Otteniamo 2 x 3 x 5 x 7.
• Troviamo ciò che è uguale a 2 x 3 x 5 x 7 e otteniamo 210.

Di conseguenza, otteniamo che l'LCM dei numeri 30 e 42 è 210.

Per trovare il minimo comune multiplo, è necessario seguire alcuni semplici passaggi in sequenza. Consideralo usando l'esempio di due numeri: 8 e 12

1. Scomponiamo entrambi i numeri in fattori primi: 8=2*2*2 e 12=3*2*2
2. Riduciamo gli stessi moltiplicatori per uno dei numeri. Nel nostro caso, 2 * 2 match, li riduciamo per il numero 12, quindi 12 avrà un fattore: 3.
3. Trova il prodotto di tutti i fattori rimanenti: 2*2*2*3=24

Verificando, ci assicuriamo che 24 sia divisibile sia per 8 che per 12, e questo è il numero naturale più piccolo che è divisibile per ciascuno di questi numeri. Eccoci qui trova il minimo comune multiplo.

Provo a spiegare usando l'esempio dei numeri 6 e 8. Il minimo comune multiplo è il numero che può essere diviso per questi numeri (nel nostro caso, 6 e 8) e non ci sarà resto.

Quindi, iniziamo a moltiplicare i primi 6 per 1, 2, 3, ecc. e 8 per 1, 2, 3, ecc.

Viene chiamato il numero naturale più grande per il quale i numeri aeb sono divisibili senza resto massimo comun divisore questi numeri. Denota GCD(a, b).

Considera di trovare il MCD usando l'esempio di due numeri naturali 18 e 60:

1 Scomponiamo i numeri in fattori primi:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Elimina dall'espansione del primo numero tutti i fattori che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero, otteniamo 2×3×3 .

3 Moltiplichiamo i restanti fattori primi dopo aver cancellato e otteniamo il massimo comun divisore di numeri: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Nota che non importa dal primo o dal secondo numero cancelliamo i fattori, il risultato sarà lo stesso:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 e 432

Scomponiamo i numeri in fattori primi:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Cancellando dal primo numero, i cui fattori non sono nel secondo e nel terzo numero, otteniamo:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Come risultato di GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Trovare GCD con l'algoritmo di Euclide

Il secondo modo per trovare il massimo comun divisore utilizzando L'algoritmo di Euclide. L'algoritmo di Euclide è il massimo modo effettivo trovare GCD, usandolo devi trovare costantemente il resto della divisione dei numeri e applicare formula ricorrente.

Formula ricorrente per GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), dove a mod b è il resto della divisione a per b.

L'algoritmo di Euclide

Esempio Trova il massimo comune divisore di numeri 7920 e 594

Troviamo GCD( 7920 , 594 ) utilizzando l'algoritmo di Euclide, calcoleremo il resto della divisione utilizzando una calcolatrice.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Di conseguenza, otteniamo GCD( 7920 , 594 ) = 198

Minimo comune multiplo

Trovare un denominatore comune quando si sommano e si sottraggono frazioni denominatori diversi bisogno di sapere ed essere in grado di calcolare minimo comune multiplo(NOC).

Un multiplo del numero "a" è un numero che è esso stesso divisibile per il numero "a" senza resto.

Numeri che sono multipli di 8 (cioè questi numeri saranno divisi per 8 senza resto): questi sono i numeri 16, 24, 32 ...

Multipli di 9: 18, 27, 36, 45…

Esistono infiniti multipli di un dato numero a, in contrasto con i divisori di uno stesso numero. Divisori: un numero finito.

Un multiplo comune di due numeri naturali è un numero che è equamente divisibile per entrambi questi numeri..

Minimo comune multiplo(LCM) di due o più numeri naturali è il numero naturale più piccolo che è esso stesso divisibile per ciascuno di questi numeri.

Come trovare il NOC

LCM può essere trovato e scritto in due modi.

Il primo modo per trovare l'LCM

Questo metodo viene solitamente utilizzato per numeri piccoli.

1. Scriviamo i multipli per ciascuno dei numeri in una riga finché non c'è un multiplo che è lo stesso per entrambi i numeri.
2. Un multiplo del numero "a" è indicato da una lettera maiuscola "K".

Esempio. Trova LCM 6 e 8.

Il secondo modo per trovare l'LCM

Questo metodo è comodo da usare per trovare l'LCM per tre o più numeri.

Il numero di fattori identici nelle espansioni dei numeri può essere diverso.

Nell'espansione del numero più piccolo (numeri più piccoli), sottolinea i fattori che non sono stati inclusi nell'espansione del numero più grande (nel nostro esempio è 2) e aggiungi questi fattori all'espansione del numero più grande.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Registra il lavoro risultante in risposta.
Risposta: LCM (24, 60) = 120

Puoi anche formalizzare la ricerca del minimo comune multiplo (LCM) come segue. Troviamo il LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Come possiamo vedere dall'espansione dei numeri, tutti i fattori di 12 sono inclusi nell'espansione di 24 (il più grande dei numeri), quindi aggiungiamo solo un 2 dall'espansione del numero 16 all'LCM.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Risposta: LCM (12, 16, 24) = 48

Casi speciali di ricerca di NOC

Se uno dei numeri è equamente divisibile per gli altri, il minimo comune multiplo di questi numeri è uguale a questo numero.

Ad esempio, LCM(60, 15) = 60
Poiché i numeri coprimi non hanno divisori primi comuni, il loro multiplo minimo comune è uguale al prodotto di questi numeri.

Sul nostro sito puoi anche utilizzare una calcolatrice speciale per trovare online il multiplo meno comune per verificare i tuoi calcoli.

Se un numero naturale è divisibile solo per 1 e per se stesso, allora si dice primo.

Ogni numero naturale è sempre divisibile per 1 e per se stesso.

Il numero 2 è il numero primo più piccolo. Questo è l'unico numero primo pari, il resto dei numeri primi è dispari.

Ci sono molti numeri primi e il primo di questi è il numero 2. Tuttavia, non esiste un ultimo numero primo. Nella sezione "Per studio", puoi scaricare una tabella di numeri primi fino a 997.

Ma molti numeri naturali sono equamente divisibili per altri numeri naturali.

• il numero 12 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12;
• 36 è divisibile per 1, per 2, per 3, per 4, per 6, per 12, per 18, per 36.

I numeri per i quali il numero è equamente divisibile (per 12 questi sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12) sono chiamati divisori del numero.

Il divisore di un numero naturale a è tale numero naturale che divide il numero dato "a" senza resto.

Un numero naturale che ha più di due fattori è chiamato numero composto.

Nota che i numeri 12 e 36 hanno divisori comuni. Questi sono i numeri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il massimo divisore di questi numeri è 12.

Il divisore comune di due numeri dati "a" e "b" è il numero per il quale entrambi i numeri dati "a" e "b" sono divisi senza resto.

Massimo comun divisore(gcd) di due numeri dati "a" e "b" è numero più grande, per cui entrambi i numeri "a" e "b" sono divisibili senza resto.

In breve, il massimo comun divisore dei numeri "a" e "b" si scrive come segue:

Esempio: gcd (12; 36) = 12 .

I divisori dei numeri nel record della soluzione sono indicati da una "D" maiuscola.

I numeri 7 e 9 hanno un solo divisore comune: il numero 1. Tali numeri sono chiamati numeri coprimi.

Numeri di coprimi sono numeri naturali che hanno un solo divisore comune: il numero 1. Il loro GCD è 1.

Come trovare il massimo comun divisore

Per trovare il gcd di due o più numeri naturali è necessario:

• scomporre i divisori dei numeri in fattori primi;

I calcoli vengono scritti comodamente utilizzando una barra verticale. A sinistra della riga, scrivi prima il dividendo, a destra il divisore. Più avanti nella colonna di sinistra scriviamo i valori di private.

Spieghiamo subito con un esempio. Fattorizziamo i numeri 28 e 64 in fattori primi.

Sottolinea gli stessi fattori primi in entrambi i numeri.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Troviamo il prodotto di fattori primi identici e scriviamo la risposta;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Risposta: GCD (28; 64) = 4

Puoi organizzare la posizione del GCD in due modi: in una colonna (come è stato fatto sopra) o "in una riga".

Il primo modo per scrivere GCD

Trova GCD 48 e 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Il secondo modo per scrivere GCD

Ora scriviamo la soluzione di ricerca GCD in una riga. Trova GCD 10 e 15.

Sul nostro sito di informazioni puoi anche trovare il massimo comun divisore online con l'aiuto di un programma assistente per controllare i tuoi calcoli.

Trovare il multiplo meno comune, metodi, esempi per trovare l'LCM.

Il materiale presentato di seguito è una logica continuazione della teoria dell'articolo sotto il titolo LCM - Least Common Multiple, definizione, esempi, relazione tra LCM e GCD. Qui ne parleremo trovare il minimo comune multiplo (LCM), e Attenzione speciale Diamo un'occhiata agli esempi. Mostriamo innanzitutto come viene calcolato l'LCM di due numeri in termini di MCD di questi numeri. Quindi, considera di trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri in fattori primi. Successivamente, ci concentreremo sulla ricerca dell'LCM di tre e di più numeri e prestare attenzione anche al calcolo dell'LCM dei numeri negativi.

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Calcolo del minimo comune multiplo (LCM) tramite gcd

Un modo per trovare il multiplo meno comune si basa sulla relazione tra LCM e GCD. La relazione esistente tra LCM e GCD consente di calcolare il minimo comune multiplo di due interi positivi attraverso il massimo comune divisore noto. La formula corrispondente ha la forma LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Considera esempi per trovare l'LCM secondo la formula sopra.

Trova il minimo comune multiplo dei due numeri 126 e 70 .

In questo esempio a=126 , b=70 . Usiamo il collegamento di LCM con GCD, che è espresso dalla formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Cioè, prima dobbiamo trovare il massimo comun divisore dei numeri 70 e 126, dopodiché possiamo calcolare il LCM di questi numeri secondo la formula scritta.

Trova gcd(126, 70) usando l'algoritmo di Euclide: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , quindi gcd(126, 70)=14 .

Ora troviamo il multiplo minimo comune richiesto: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Che cos'è LCM(68, 34)?

Poiché 68 è equamente divisibile per 34 , allora gcd(68, 34)=34 . Ora calcoliamo il minimo comune multiplo: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Si noti che l'esempio precedente soddisfa la seguente regola per trovare l'LCM per interi positivi aeb: se il numero a è divisibile per b , allora il minimo comune multiplo di questi numeri è a .

Trovare l'LCM fattorizzando i numeri in fattori primi

Un altro modo per trovare il minimo comune multiplo è basato sulla scomposizione dei numeri in fattori primi. Se facciamo un prodotto di tutti i fattori primi di questi numeri, dopo di che escludiamo da questo prodotto tutti i fattori primi comuni che sono presenti nelle espansioni di questi numeri, il prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo di questi numeri.

La regola annunciata per trovare l'LCM segue dall'uguaglianza LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Infatti, il prodotto dei numeri aeb è uguale al prodotto di tutti i fattori coinvolti nelle espansioni dei numeri aeb. A sua volta, gcd(a, b) è uguale al prodotto di tutti i fattori primi che sono contemporaneamente presenti nelle espansioni dei numeri aeb (che è descritto nella sezione sulla ricerca del gcd usando la scomposizione dei numeri in fattori primi ).

Facciamo un esempio. Facci sapere che 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Componi il prodotto di tutti i fattori di queste espansioni: 2 3 3 5 5 5 7 . Ora escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono presenti sia nell'espansione del numero 75 che nell'espansione del numero 210 (tali fattori sono 3 e 5), quindi il prodotto assumerà la forma 2 3 5 5 7 . Il valore di questo prodotto è uguale al minimo comune multiplo di 75 e 210 , ovvero LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Dopo aver scomposto i numeri 441 e 700 in fattori primi, trova il minimo comune multiplo di questi numeri.

Scomponiamo i numeri 441 e 700 in fattori primi:

Otteniamo 441=3 3 7 7 e 700=2 2 5 5 7 .

Ora facciamo un prodotto di tutti i fattori coinvolti nell'espansione di questi numeri: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono contemporaneamente presenti in entrambe le espansioni (c'è solo uno di questi fattori - questo è il numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Quindi LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

La regola per trovare l'LCM usando la scomposizione dei numeri in fattori primi può essere formulata in modo leggermente diverso. Se aggiungiamo i fattori mancanti dall'espansione del numero b ai fattori dall'espansione del numero a, il valore del prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo dei numeri aeb.

Ad esempio, prendiamo tutti gli stessi numeri 75 e 210, le loro espansioni in fattori primi sono le seguenti: 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Ai fattori 3, 5 e 5 dall'espansione del numero 75, aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 7 dall'espansione del numero 210, otteniamo il prodotto 2 3 5 5 7 , il cui valore è LCM(75 , 210) .

Trova il minimo comune multiplo di 84 e 648.

Otteniamo prima la scomposizione dei numeri 84 e 648 in fattori primi. Sembrano 84=2 2 3 7 e 648=2 2 2 3 3 3 3 . Ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 dall'espansione del numero 84 aggiungiamo i fattori mancanti 2 , 3 , 3 e 3 dall'espansione del numero 648 , otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 , che è pari a 4 536 . Pertanto, il minimo comune multiplo desiderato dei numeri 84 e 648 è 4.536.

Trovare l'LCM di tre o più numeri

Il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere trovato trovando successivamente l'LCM di due numeri. Richiama il teorema corrispondente, che fornisce un modo per trovare l'LCM di tre o più numeri.

Siano dati interi positivi a 1 , a 2 , …, a k, il minimo comune multiplo m k di questi numeri si trova nel calcolo sequenziale m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Si consideri l'applicazione di questo teorema sull'esempio di trovare il minimo comune multiplo di quattro numeri.

Trova l'LCM dei quattro numeri 140, 9, 54 e 250.

Per prima cosa troviamo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Per fare ciò, usando l'algoritmo euclideo, determiniamo gcd(140, 9) , abbiamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , quindi gcd( 140, 9)=1 , da cui LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Cioè, m 2 =1 260 .

Ora troviamo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Calcoliamolo tramite gcd(1 260, 54) , anch'esso determinato dall'algoritmo di Euclide: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Quindi gcd(1 260, 54)=18 , da cui LCM(1 260, 54)= 1 260 54:mag(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Cioè, m 3 \u003d 3 780.

Resta da trovare m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Per fare ciò, troviamo GCD(3 780, 250) usando l'algoritmo di Euclide: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Pertanto, gcd(3 780, 250)=10 , quindi LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Cioè, m 4 \u003d 94 500.

Quindi il minimo comune multiplo dei quattro numeri originali è 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

In molti casi, il minimo comune multiplo di tre o più numeri si trova convenientemente usando la fattorizzazione primi di numeri dati. Allo stesso tempo, si dovrebbe aderire prossima regola. Il minimo comune multiplo di più numeri è uguale al prodotto, che è così composto: i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero si sommano a tutti i fattori dall'espansione del primo numero, i fattori mancanti dall'espansione di il terzo numero viene aggiunto ai fattori ottenuti, e così via.

Considera un esempio per trovare il multiplo minimo comune usando la scomposizione dei numeri in fattori primi.

Trova il minimo comune multiplo di cinque numeri 84, 6, 48, 7, 143.

Innanzitutto, otteniamo scomposizioni di questi numeri in fattori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 è un numero primo, coincide con la sua scomposizione in fattori primi) e 143=11 13 .

Per trovare il LCM di questi numeri, ai fattori del primo numero 84 (sono 2 , 2 , 3 e 7) è necessario sommare i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero 6 . L'espansione del numero 6 non contiene fattori mancanti, poiché sia ​​2 che 3 sono già presenti nell'espansione del primo numero 84 . Oltre ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del terzo numero 48 , otteniamo un insieme di fattori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 . Non è necessario aggiungere fattori a questo insieme nel passaggio successivo, poiché 7 è già contenuto in esso. Infine, ai fattori 2, 2, 2, 2, 3 e 7 si aggiungono i fattori mancanti 11 e 13 dall'espansione del numero 143. Otteniamo il prodotto 2 2 2 2 3 7 11 13 , che è pari a 48 048 .

Pertanto, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Trovare il minimo comune multiplo di numeri negativi

A volte ci sono compiti in cui è necessario trovare il minimo comune multiplo di numeri, tra i quali uno, più o tutti i numeri sono negativi. In questi casi, tutti i numeri negativi devono essere sostituiti dai loro numeri opposti, dopodiché si dovrebbe trovare l'LCM dei numeri positivi. Questo è il modo per trovare l'LCM dei numeri negativi. Ad esempio, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) e LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Possiamo farlo perché l'insieme dei multipli di a è uguale all'insieme dei multipli di −a (a e −a sono numeri opposti). Infatti, sia b un multiplo di a , allora b è divisibile per a , e il concetto di divisibilità asserisce l'esistenza di un tale intero q che b=a q . Ma sarà vera anche l'uguaglianza b=(−a)·(−q) che, in virtù dello stesso concetto di divisibilità, significa che b è divisibile per −a , cioè b è un multiplo di −a . Vale anche l'affermazione inversa: se b è un multiplo di −a , allora anche b è un multiplo di a .

Trova il minimo comune multiplo dei numeri negativi −145 e −45.

Sostituiamo i numeri negativi −145 e −45 con i loro opposti 145 e 45 . Abbiamo LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Dopo aver determinato gcd(145, 45)=5 (ad esempio, utilizzando l'algoritmo di Euclide), calcoliamo LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Pertanto, il minimo comune multiplo degli interi negativi −145 e −45 è 1.305 .

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Continuiamo a studiare la divisione. In questa lezione esamineremo concetti come GCD e NOC.

GCDè il massimo comun divisore.

NOCè il minimo comune multiplo.

L'argomento è piuttosto noioso, ma è necessario capirlo. Senza comprendere questo argomento, non sarai in grado di lavorare efficacemente con le frazioni, che sono un vero ostacolo in matematica.

Massimo comun divisore

Definizione. Massimo comun divisore di numeri un e b un e b diviso senza resto.

Per comprendere bene questa definizione, sostituiamo al posto delle variabili un e b due numeri qualsiasi, ad esempio, invece di una variabile un sostituisci il numero 12 e al posto della variabile b numero 9. Proviamo ora a leggere questa definizione:

Massimo comun divisore di numeri 12 e 9 è il numero più grande di cui 12 e 9 diviso senza resto.

È chiaro dalla definizione che stiamo parlando di un divisore comune dei numeri 12 e 9, e questo divisore è il più grande di tutti i divisori esistenti. Questo massimo comun divisore (gcd) deve essere trovato.

Per trovare il massimo comun divisore di due numeri, vengono utilizzati tre metodi. Il primo metodo richiede molto tempo, ma ti consente di comprendere bene l'essenza dell'argomento e di sentirne l'intero significato.

Il secondo e il terzo metodo sono abbastanza semplici e consentono di trovare rapidamente il GCD. Considereremo tutti e tre i metodi. E cosa applicare in pratica: scegli tu.

Il primo modo è trovare tutti i possibili divisori di due numeri e scegliere il più grande di essi. Consideriamo questo metodo nel seguente esempio: trova il massimo comun divisore dei numeri 12 e 9.

Innanzitutto, troviamo tutti i possibili divisori del numero 12. Per fare ciò, dividiamo 12 in tutti i divisori nell'intervallo da 1 a 12. Se il divisore ci consente di dividere 12 senza resto, lo evidenzieremo in blu e fare una spiegazione appropriata tra parentesi.

12: 1 = 12
(12 diviso per 1 senza resto, quindi 1 è un divisore di 12)

12: 2 = 6
(12 diviso per 2 senza resto, quindi 2 è un divisore di 12)

12: 3 = 4
(12 diviso per 3 senza resto, quindi 3 è un divisore di 12)

12: 4 = 3
(12 diviso per 4 senza resto, quindi 4 è un divisore di 12)

12:5 = 2 (2 a sinistra)
(12 non è diviso per 5 senza resto, quindi 5 non è un divisore di 12)

12: 6 = 2
(12 diviso per 6 senza resto, quindi 6 è un divisore di 12)

12: 7 = 1 (5 rimasti)
(12 non è diviso per 7 senza resto, quindi 7 non è un divisore di 12)

12: 8 = 1 (4 rimasti)
(12 non è diviso per 8 senza resto, quindi 8 non è un divisore di 12)

12:9 = 1 (3 rimasti)
(12 non è diviso per 9 senza resto, quindi 9 non è un divisore di 12)

12: 10 = 1 (2 a sinistra)
(12 non è diviso per 10 senza resto, quindi 10 non è un divisore di 12)

12:11 = 1 (1 rimasto)
(12 non è diviso per 11 senza resto, quindi 11 non è un divisore di 12)

12: 12 = 1
(12 diviso per 12 senza resto, quindi 12 è un divisore di 12)

Ora troviamo i divisori del numero 9. Per fare ciò, controlliamo tutti i divisori da 1 a 9

9: 1 = 9
(9 diviso per 1 senza resto, quindi 1 è un divisore di 9)

9: 2 = 4 (1 rimasto)
(9 non è diviso per 2 senza resto, quindi 2 non è un divisore di 9)

9: 3 = 3
(9 diviso per 3 senza resto, quindi 3 è un divisore di 9)

9: 4 = 2 (1 rimasto)
(9 non è diviso per 4 senza resto, quindi 4 non è un divisore di 9)

9:5 = 1 (4 rimasti)
(9 non è diviso per 5 senza resto, quindi 5 non è un divisore di 9)

9: 6 = 1 (3 rimasti)
(9 non è diviso per 6 senza resto, quindi 6 non è un divisore di 9)

9:7 = 1 (2 rimasti)
(9 non è diviso per 7 senza resto, quindi 7 non è un divisore di 9)

9:8 = 1 (1 rimasto)
(9 non è diviso per 8 senza resto, quindi 8 non è un divisore di 9)

9: 9 = 1
(9 diviso per 9 senza resto, quindi 9 è un divisore di 9)

Ora scrivi i divisori di entrambi i numeri. I numeri evidenziati in blu sono i divisori. Scriviamoli:

Dopo aver scritto i divisori, puoi immediatamente determinare quale è il più grande e il più comune.

Per definizione, il massimo comun divisore di 12 e 9 è il numero per il quale 12 e 9 sono equamente divisibili. Il massimo e comun divisore dei numeri 12 e 9 è il numero 3

Sia il numero 12 che il numero 9 sono divisibili per 3 senza resto:

Quindi mcd (12 e 9) = 3

Il secondo modo per trovare GCD

Consideriamo ora il secondo modo per trovare il massimo comun divisore. essenza questo metodoè quello di scomporre entrambi i numeri in fattori primi e moltiplicare quelli comuni.

Esempio 1. Trova il GCD dei numeri 24 e 18

Innanzitutto, fattoriamo entrambi i numeri in fattori primi:

Ora moltiplichiamo i loro fattori comuni. Per non confondersi, si possono sottolineare i fattori comuni.

Osserviamo la scomposizione del numero 24. Il suo primo fattore è 2. Cerchiamo lo stesso fattore nella scomposizione del numero 18 e vediamo che c'è anche lui. Sottolineiamo entrambi i due:

Di nuovo osserviamo la scomposizione del numero 24. Anche il suo secondo fattore è 2. Cerchiamo lo stesso fattore nella scomposizione del numero 18 e vediamo che non è presente per la seconda volta. Quindi non evidenziamo nulla.

I prossimi due nell'espansione del numero 24 mancano anche nell'espansione del numero 18.

Passiamo all'ultimo fattore nella scomposizione del numero 24. Questo è il fattore 3. Cerchiamo lo stesso fattore nella scomposizione del numero 18 e vediamo che c'è anche lui. Sottolineiamo entrambi i tre:

Quindi, i fattori comuni dei numeri 24 e 18 sono i fattori 2 e 3. Per ottenere il GCD, questi fattori devono essere moltiplicati:

Quindi mcd (24 e 18) = 6

Il terzo modo per trovare GCD

Consideriamo ora il terzo modo per trovare il massimo comun divisore. L'essenza di questo metodo sta nel fatto che i numeri da cercare per il massimo comun divisore sono scomposti in fattori primi. Quindi, dalla scomposizione del primo numero, vengono cancellati i fattori che non sono inclusi nella scomposizione del secondo numero. I numeri rimanenti nella prima espansione vengono moltiplicati e ottengono GCD.

Ad esempio, troviamo il GCD per i numeri 28 e 16 in questo modo. Prima di tutto, scomponiamo questi numeri in fattori primi:

Abbiamo due espansioni: e

Ora, dall'espansione del primo numero, cancelliamo i fattori che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero. L'espansione del secondo numero non include sette. Lo cancelleremo dalla prima espansione:

Ora moltiplichiamo i fattori rimanenti e otteniamo il GCD:

Il numero 4 è il massimo comune divisore dei numeri 28 e 16. Entrambi questi numeri sono divisibili per 4 senza resto:

Esempio 2 Trova il GCD dei numeri 100 e 40

Scomponendo il numero 100

Scomponendo il numero 40

Abbiamo due espansioni:

Ora, dall'espansione del primo numero, cancelliamo i fattori che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero. L'espansione del secondo numero non include un cinque (c'è solo un cinque). Lo cancelliamo dalla prima scomposizione

Moltiplica i numeri rimanenti:

Abbiamo ottenuto la risposta 20. Quindi il numero 20 è il massimo comun divisore dei numeri 100 e 40. Questi due numeri sono divisibili per 20 senza resto:

MCD (100 e 40) = 20.

Esempio 3 Trova il gcd dei numeri 72 e 128

Scomponendo il numero 72

Fattorizzazione del numero 128

2×2×2×2×2×2×2

Ora, dall'espansione del primo numero, cancelliamo i fattori che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero. L'espansione del secondo numero non include due terzine (non ce ne sono affatto). Li cancelliamo dalla prima scomposizione:

Abbiamo ottenuto la risposta 8. Quindi il numero 8 è il massimo comun divisore dei numeri 72 e 128. Questi due numeri sono divisibili per 8 senza resto:

GCD (72 e 128) = 8

Trovare GCD per più numeri

Il massimo comun divisore può essere trovato per più numeri e non solo per due. Per questo, i numeri da cercare per il massimo comun divisore vengono scomposti in fattori primi, quindi si trova il prodotto dei fattori primi comuni di questi numeri.

Ad esempio, troviamo il GCD per i numeri 18, 24 e 36

Fattorizzazione del numero 18

Fattorizzazione del numero 24

Fattorizzazione del numero 36

Abbiamo tre espansioni:

Ora selezioniamo e sottolineiamo i fattori comuni in questi numeri. I fattori comuni devono essere inclusi in tutti e tre i numeri:

Vediamo che i fattori comuni per i numeri 18, 24 e 36 sono i fattori 2 e 3. Moltiplicando questi fattori, otteniamo il GCD che stiamo cercando:

Abbiamo ottenuto la risposta 6. Quindi il numero 6 è il massimo comun divisore dei numeri 18, 24 e 36. Questi tre numeri sono divisibili per 6 senza resto:

GCD (18, 24 e 36) = 6

Esempio 2 Trova gcd per i numeri 12, 24, 36 e 42

Fattorizziamo ogni numero. Quindi troviamo il prodotto dei fattori comuni di questi numeri.

Fattorizzazione del numero 12

Fattorizzazione del numero 42

Abbiamo quattro espansioni:

Ora selezioniamo e sottolineiamo i fattori comuni in questi numeri. I fattori comuni devono essere inclusi in tutti e quattro i numeri:

Vediamo che i fattori comuni per i numeri 12, 24, 36 e 42 sono i fattori 2 e 3. Moltiplicando questi fattori, otteniamo il GCD che stiamo cercando:

Abbiamo ottenuto la risposta 6. Quindi il numero 6 è il massimo comun divisore dei numeri 12, 24, 36 e 42. Questi numeri sono divisibili per 6 senza resto:

gcd(12, 24, 36 e 42) = 6

Dalla lezione precedente sappiamo che se un numero è diviso per un altro senza resto, si dice multiplo di questo numero.

Si scopre che un multiplo può essere comune a più numeri. E ora saremo interessati a un multiplo di due numeri, mentre dovrebbe essere il più piccolo possibile.

Definizione. Minimo comune multiplo (LCM) di numeri un e b- un e b un e numero b.

La definizione contiene due variabili un e b. Sostituiamo due numeri qualsiasi per queste variabili. Ad esempio, invece di una variabile un sostituisci il numero 9 e al posto della variabile b sostituiamo il numero 12. Proviamo ora a leggere la definizione:

Minimo comune multiplo (LCM) di numeri 9 e 12 - Questo numero più piccolo, che è un multiplo 9 e 12 . In altre parole, è un numero così piccolo che è divisibile senza resto per il numero 9 e sul numero 12 .

È chiaro dalla definizione che l'LCM è il numero più piccolo che è divisibile senza resto per 9 e 12. Questo LCM deve essere trovato.

Esistono due modi per trovare il minimo comune multiplo (LCM). Il primo modo è che tu possa annotare i primi multipli di due numeri, e poi scegliere tra questi multipli un numero che sia comune a entrambi i numeri e piccolo. Applichiamo questo metodo.

Prima di tutto, troviamo i primi multipli per il numero 9. Per trovare i multipli per 9, devi moltiplicare questo nove per i numeri a turno da 1 a 9. Le risposte che otterrai saranno multipli del numero 9. Quindi , Iniziamo. I multipli verranno evidenziati in rosso:

Ora troviamo i multipli per il numero 12. Per fare ciò, moltiplichiamo 12 per tutti i numeri da 1 a 12 a turno.

Considera la soluzione del seguente problema. Il passo del ragazzo è di 75 cm e il passo della ragazza è di 60 cm È necessario trovare la distanza più piccola alla quale entrambi faranno un numero intero di passi.

Decisione. L'intero percorso che percorreranno i ragazzi deve essere divisibile per 60 e 70 senza resto, poiché ciascuno deve compiere un numero intero di passi. In altre parole, la risposta deve essere un multiplo di 75 e 60.

Per prima cosa, scriveremo tutti i multipli, per il numero 75. Otteniamo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ora scriviamo i numeri che saranno un multiplo di 60. Otteniamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ora troviamo i numeri che si trovano in entrambe le righe.

• I multipli comuni di numeri saranno numeri, 300, 600, ecc.

Il più piccolo di essi è il numero 300. In questo caso verrà chiamato il minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60.

Tornando alla condizione del problema, la distanza minima alla quale i ragazzi fanno un numero intero di passi sarà di 300 cm, il ragazzo andrà in questo modo in 4 passi e la ragazza dovrà fare 5 passi.

Trovare il minimo comune multiplo

• Il minimo comune multiplo di due numeri naturali aeb è il più piccolo numero naturale che è un multiplo di entrambi aeb.

Per trovare il minimo comune multiplo di due numeri, non è necessario annotare tutti i multipli di questi numeri in una riga.

È possibile utilizzare il metodo seguente.

Come trovare il minimo comune multiplo

Innanzitutto, devi scomporre questi numeri in fattori primi.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ora scriviamo tutti i fattori che sono nell'espansione del primo numero (2,2,3,5) e aggiungiamo ad esso tutti i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero (5).

Di conseguenza, otteniamo una serie di numeri primi: 2,2,3,5,5. Il prodotto di questi numeri sarà il fattore meno comune per questi numeri. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generale per trovare il minimo comune multiplo

• 1. Scomponi i numeri in fattori primi.
• 2. Annota i fattori primi che fanno parte di uno di essi.
• 3. Aggiungi a questi fattori tutti quelli che sono nella scomposizione del resto, ma non in quello selezionato.
• 4. Trova il prodotto di tutti i fattori scritti.

Questo metodo è universale. Può essere usato per trovare il minimo comune multiplo di qualsiasi numero di numeri naturali.

Il calcolatore online ti consente di trovare rapidamente il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di due o qualsiasi altro numero di numeri.

Calcolatrice per trovare GCD e NOC

Trova GCD e NOC

GCD e NOC trovati: 6433

Come usare la calcolatrice

• Immettere i numeri nel campo di immissione
• In caso di immissione di caratteri errati, il campo di immissione verrà evidenziato in rosso
• premere il pulsante "Trova GCD e NOC"

Come inserire i numeri

• I numeri vengono inseriti separati da spazi, punti o virgole
• La lunghezza dei numeri inseriti non è limitata, quindi trovare gcd e lcm di numeri lunghi non sarà difficile

Cosa sono NOD e NOK?

Massimo comun divisore di più numeri è il più grande intero naturale per il quale tutti i numeri originali sono divisibili senza resto. Il massimo comun divisore è abbreviato come GCD.
Minimo comune multiplo diversi numeri è il numero più piccolo che è divisibile per ciascuno dei numeri originali senza resto. Il minimo comune multiplo è abbreviato come NOC.

Come verificare se un numero è divisibile per un altro numero senza resto?

Per scoprire se un numero è divisibile per un altro senza resto, puoi usare alcune proprietà di divisibilità dei numeri. Quindi, combinandoli, si può verificare la divisibilità per alcuni di essi e le loro combinazioni.

Alcuni segni di divisibilità dei numeri

1. Segno di divisibilità di un numero per 2
Per determinare se un numero è divisibile per due (se è pari), basta guardare l'ultima cifra di questo numero: se è uguale a 0, 2, 4, 6 o 8, allora il numero è pari, il che significa che è divisibile per 2.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 2.
Decisione: guarda l'ultima cifra: 8 significa che il numero è divisibile per due.

2. Segno di divisibilità di un numero per 3
Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 3. Quindi, per determinare se un numero è divisibile per 3, devi calcolare la somma delle cifre e verificare se è divisibile per 3. Anche se la somma delle cifre è risultata molto grande, puoi ripetere lo stesso processo ancora.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 3.
Decisione: contiamo la somma delle cifre: 3+4+9+3+8 = 27. 27 è divisibile per 3, il che significa che il numero è divisibile per tre.

3. Segno di divisibilità di un numero per 5
Un numero è divisibile per 5 quando la sua ultima cifra è zero o cinque.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 5.
Decisione: guarda l'ultima cifra: 8 significa che il numero NON è divisibile per cinque.

4. Segno di divisibilità di un numero per 9
Questo segno è molto simile al segno di divisibilità per tre: un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
Esempio: determinare se il numero 34938 è divisibile per 9.
Decisione: calcoliamo la somma delle cifre: 3+4+9+3+8 = 27. 27 è divisibile per 9, il che significa che il numero è divisibile per nove.

Come trovare GCD e LCM di due numeri

Come trovare il GCD di due numeri

Maggior parte in modo semplice calcolare il massimo comun divisore di due numeri significa trovare tutti i possibili divisori di quei numeri e scegliere il più grande di essi.

Considera questo metodo usando l'esempio di trovare GCD(28, 36) :

1. Fattorizziamo entrambi i numeri: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Troviamo fattori comuni, cioè quelli che hanno entrambi i numeri: 1, 2 e 2.
3. Calcoliamo il prodotto di questi fattori: 1 2 2 \u003d 4 - questo è il massimo comune divisore dei numeri 28 e 36.

Come trovare l'LCM di due numeri

Esistono due modi più comuni per trovare il multiplo più piccolo di due numeri. Il primo modo è che puoi scrivere i primi multipli di due numeri, e quindi scegliere tra loro un numero tale che sarà comune a entrambi i numeri e allo stesso tempo il più piccolo. E il secondo è trovare il GCD di questi numeri. Consideriamolo.

Per calcolare l'LCM, è necessario calcolare il prodotto dei numeri originali e quindi dividerlo per il MCD precedentemente trovato. Troviamo l'LCM per gli stessi numeri 28 e 36:

1. Trova il prodotto dei numeri 28 e 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) è già noto per essere 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Trovare GCD e LCM per più numeri

Il massimo comun divisore può essere trovato per più numeri e non solo per due. Per questo, i numeri da cercare per il massimo comun divisore vengono scomposti in fattori primi, quindi si trova il prodotto dei fattori primi comuni di questi numeri. Inoltre, per trovare il GCD di più numeri, puoi utilizzare la seguente relazione: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Una relazione simile vale anche per il minimo comune multiplo di numeri: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Esempio: trova GCD e LCM per i numeri 12, 32 e 36.

1. Per prima cosa, fattorizziamo i numeri: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Troviamo i fattori comuni: 1, 2 e 2 .
3. Il loro prodotto darà gcd: 1 2 2 = 4
4. Ora troviamo il LCM: per questo troviamo prima il LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Per trovare l'LCM di tutti e tre i numeri, devi trovare il GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Il materiale presentato di seguito è una logica continuazione della teoria dell'articolo sotto il titolo LCM - multiplo minimo comune, definizione, esempi, relazione tra LCM e GCD. Qui ne parleremo trovare il minimo comune multiplo (LCM) e prestare particolare attenzione alla risoluzione degli esempi. Mostriamo innanzitutto come viene calcolato l'LCM di due numeri in termini di MCD di questi numeri. Quindi, considera di trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri in fattori primi. Successivamente, ci concentreremo sulla ricerca dell'LCM di tre o più numeri e presteremo anche attenzione al calcolo dell'LCM dei numeri negativi.

Navigazione della pagina.

Calcolo del minimo comune multiplo (LCM) tramite gcd

Un modo per trovare il multiplo meno comune si basa sulla relazione tra LCM e GCD. La relazione esistente tra LCM e GCD consente di calcolare il minimo comune multiplo di due interi positivi attraverso il massimo comune divisore noto. La formula corrispondente ha la forma LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Considera esempi per trovare l'LCM secondo la formula sopra.

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo dei due numeri 126 e 70 .

Decisione.

In questo esempio a=126 , b=70 . Usiamo la relazione tra LCM e MCD espressa dalla formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Cioè, prima dobbiamo trovare il massimo comun divisore dei numeri 70 e 126, dopodiché possiamo calcolare il LCM di questi numeri secondo la formula scritta.

Trova gcd(126, 70) usando l'algoritmo di Euclide: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , quindi gcd(126, 70)=14 .

Ora troviamo il minimo comune multiplo richiesto: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Risposta:

LCM(126, 70)=630 .

Esempio.

Che cos'è LCM(68, 34)?

Decisione.

Come 68 è equamente divisibile per 34 , quindi gcd(68, 34)=34 . Ora calcoliamo il minimo comune multiplo: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Risposta:

LCM(68, 34)=68 .

Si noti che l'esempio precedente soddisfa la seguente regola per trovare l'LCM per gli interi positivi aeb: se il numero a è divisibile per b, allora il minimo comune multiplo di questi numeri è a.

Trovare l'LCM fattorizzando i numeri in fattori primi

Un altro modo per trovare il minimo comune multiplo è basato sulla scomposizione dei numeri in fattori primi. Se facciamo un prodotto di tutti i fattori primi di questi numeri, dopo di che escludiamo da questo prodotto tutti i fattori primi comuni che sono presenti nelle espansioni di questi numeri, il prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo di questi numeri.

La regola annunciata per trovare l'LCM deriva dall'uguaglianza LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Infatti, il prodotto dei numeri aeb è uguale al prodotto di tutti i fattori coinvolti nelle espansioni dei numeri aeb. A sua volta, gcd(a, b) è uguale al prodotto di tutti i fattori primi che sono contemporaneamente presenti nelle espansioni dei numeri aeb (che è descritto nella sezione sulla ricerca del gcd usando la scomposizione dei numeri in fattori primi ).

Facciamo un esempio. Facci sapere che 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Componi il prodotto di tutti i fattori di queste espansioni: 2 3 3 5 5 5 7 . Ora escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono presenti sia nell'espansione del numero 75 che nell'espansione del numero 210 (tali fattori sono 3 e 5), quindi il prodotto assumerà la forma 2 3 5 5 7 . Il valore di questo prodotto è uguale al minimo comune multiplo dei numeri 75 e 210, cioè LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Esempio.

Dopo aver scomposto i numeri 441 e 700 in fattori primi, trova il minimo comune multiplo di questi numeri.

Decisione.

Scomponiamo i numeri 441 e 700 in fattori primi:

Otteniamo 441=3 3 7 7 e 700=2 2 5 5 7 .

Ora facciamo un prodotto di tutti i fattori coinvolti nell'espansione di questi numeri: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono contemporaneamente presenti in entrambe le espansioni (c'è solo uno di questi fattori - questo è il numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Così, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Risposta:

LCM(441, 700)= 44 100 .

La regola per trovare l'LCM usando la scomposizione dei numeri in fattori primi può essere formulata in modo leggermente diverso. Se aggiungiamo i fattori mancanti dall'espansione del numero b ai fattori dalla scomposizione del numero a, allora il valore del prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo dei numeri a e b.

Ad esempio, prendiamo tutti gli stessi numeri 75 e 210, le loro espansioni in fattori primi sono le seguenti: 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Ai fattori 3, 5 e 5 dall'espansione del numero 75, aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 7 dall'espansione del numero 210, otteniamo il prodotto 2 3 5 5 7 , il cui valore è LCM(75 , 210) .

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo di 84 e 648.

Decisione.

Otteniamo prima la scomposizione dei numeri 84 e 648 in fattori primi. Sembrano 84=2 2 3 7 e 648=2 2 2 3 3 3 3 . Ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 dall'espansione del numero 84 aggiungiamo i fattori mancanti 2 , 3 , 3 e 3 dall'espansione del numero 648 , otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 , che è pari a 4 536 . Pertanto, il minimo comune multiplo desiderato dei numeri 84 e 648 è 4 536.

Risposta:

LCM(84, 648)=4 536 .

Trovare l'LCM di tre o più numeri

Il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere trovato trovando successivamente l'LCM di due numeri. Richiama il teorema corrispondente, che fornisce un modo per trovare l'LCM di tre o più numeri.

Teorema.

Siano dati interi positivi a 1 , a 2 , …, a k, il minimo comune multiplo m k di questi numeri si trova nel calcolo sequenziale m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Si consideri l'applicazione di questo teorema sull'esempio di trovare il minimo comune multiplo di quattro numeri.

Esempio.

Trova l'LCM dei quattro numeri 140, 9, 54 e 250.

Decisione.

In questo esempio a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Per prima cosa troviamo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Per fare ciò, usando l'algoritmo euclideo, determiniamo gcd(140, 9) , abbiamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , quindi gcd( 140, 9)=1 , donde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Cioè, m 2 =1 260 .

Ora troviamo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Calcoliamolo tramite gcd(1 260, 54) , anch'esso determinato dall'algoritmo di Euclide: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Quindi gcd(1 260, 54)=18 , da cui LCM(1 260, 54)= 1 260 54:mag(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Cioè, m 3 \u003d 3 780.

Lasciato da trovare m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Per fare ciò, troviamo GCD(3 780, 250) usando l'algoritmo di Euclide: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Pertanto, gcd(3 780, 250)=10 , da cui gcd(3 780, 250)= 3 780 250:cd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Cioè, m 4 \u003d 94 500.

Quindi il minimo comune multiplo dei quattro numeri originali è 94.500.

Risposta:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In molti casi, il minimo comune multiplo di tre o più numeri si trova convenientemente usando la fattorizzazione primi di numeri dati. In questo caso, dovrebbe essere seguita la seguente regola. Il minimo comune multiplo di più numeri è uguale al prodotto, che è così composto: i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero si sommano a tutti i fattori dall'espansione del primo numero, i fattori mancanti dall'espansione di il terzo numero viene aggiunto ai fattori ottenuti, e così via.

Considera un esempio per trovare il multiplo minimo comune usando la scomposizione dei numeri in fattori primi.

Esempio.

Trova il minimo comune multiplo di cinque numeri 84, 6, 48, 7, 143.

Decisione.

Innanzitutto, otteniamo le espansioni di questi numeri in fattori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 fattori primi) e 143=11 13 .

Per trovare il LCM di questi numeri, ai fattori del primo numero 84 (sono 2 , 2 , 3 e 7 ) è necessario sommare i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero 6 . L'espansione del numero 6 non contiene fattori mancanti, poiché sia ​​2 che 3 sono già presenti nell'espansione del primo numero 84 . Oltre ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del terzo numero 48 , otteniamo un insieme di fattori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 . Non è necessario aggiungere fattori a questo insieme nel passaggio successivo, poiché 7 è già contenuto in esso. Infine, ai fattori 2, 2, 2, 2, 3 e 7 si aggiungono i fattori mancanti 11 e 13 dall'espansione del numero 143. Otteniamo il prodotto 2 2 2 2 3 7 11 13 , che è pari a 48 048 .