Come risolvere correttamente le equazioni razionali. Equazioni razionali

Le equazioni con le frazioni stesse non sono difficili e molto interessanti. Considera i tipi equazioni frazionarie e modi per risolverli.

Come risolvere equazioni con frazioni - x al numeratore

Se viene data un'equazione frazionaria, dove l'incognita è al numeratore, la soluzione non richiede condizioni aggiuntive e viene risolta senza fastidio in più. Forma generale tale equazione è x/a + b = c, dove x è un'incognita, a, b e c sono numeri ordinari.

Trova x: x/5 + 10 = 70.

Per risolvere l'equazione, devi eliminare le frazioni. Moltiplica ogni termine dell'equazione per 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x e 5 vengono ridotti, 10 e 70 vengono moltiplicati per 5 e otteniamo: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Trova x: x/5 + x/10 = 90.

Questo esempio è una versione leggermente più complicata del primo. Ci sono due soluzioni qui.

• Opzione 1: elimina le frazioni moltiplicando tutti i termini dell'equazione per un denominatore più grande, ovvero per 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opzione 2: aggiungi il lato sinistro dell'equazione. x/5 + x/10 = 90. Il denominatore comune è 10. Dividi 10 per 5, moltiplica per x, otteniamo 2x. 10 diviso per 10, moltiplicato per x, otteniamo x: 2x+x/10 = 90. Quindi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Spesso ci sono equazioni frazionarie in cui x sono sui lati opposti del segno di uguale. In una situazione del genere, è necessario trasferire tutte le frazioni con x in una direzione e i numeri in un'altra.

• Trova x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Sposta 2x/5 a destra con il segno opposto: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Riduciamo 5x/5 e otteniamo: x = 130.

Come risolvere un'equazione con frazioni - x al denominatore

Questo tipo di equazioni frazionarie richiede la scrittura di condizioni aggiuntive. L'indicazione delle presenti condizioni è parte obbligatoria ed integrante giusta decisione. Non attribuendoli, corri il rischio, poiché la risposta (anche se corretta) potrebbe semplicemente non essere contata.

La forma generale delle equazioni frazionarie, dove x è al denominatore, è: a/x + b = c, dove x è un'incognita, a, b, c sono numeri ordinari. Nota che x potrebbe non essere un numero qualsiasi. Ad esempio, x non può essere zero, poiché non puoi dividere per 0. Questo è ciò che è condizione aggiuntiva, che dobbiamo specificare. Questo è chiamato intervallo di valori accettabili, abbreviato - ODZ.

Trova x: 15/x + 18 = 21.

Scriviamo subito la ODZ per x: x ≠ 0. Ora che la ODZ è indicata, risolviamo l'equazione usando schema standard sbarazzarsi delle frazioni. Moltiplichiamo tutti i termini dell'equazione per x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Spesso ci sono equazioni in cui il denominatore contiene non solo x, ma anche qualche altra operazione con esso, ad esempio addizione o sottrazione.

Trova x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Sappiamo già che il denominatore non può essere uguale a zero, il che significa x-3 ≠ 0. Trasferiamo -3 sul lato destro, cambiando il segno "-" in "+" e otteniamo che x ≠ 3. ODZ è indicato.

Risolvi l'equazione, moltiplica tutto per x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Sposta le x a destra, i numeri a sinistra: 24 = 3x => x = 8.

Obiettivi della lezione:

Esercitazione:

• formazione del concetto di equazioni razionali frazionarie;
• considerare vari modi per risolvere equazioni razionali frazionarie;
• considerare un algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie, inclusa la condizione che la frazione sia uguale a zero;
• insegnare la soluzione di equazioni razionali frazionarie secondo l'algoritmo;
• controllare il livello di assimilazione dell'argomento conducendo un lavoro di prova.

Sviluppando:

• sviluppo della capacità di operare correttamente con le conoscenze acquisite, di pensare in modo logico;
• sviluppo delle capacità intellettive e delle operazioni mentali - analisi, sintesi, confronto e generalizzazione;
• sviluppo dell'iniziativa, capacità di prendere decisioni, di non fermarsi qui;
• sviluppo pensiero critico;
• sviluppo delle capacità di ricerca.

Nutrire:

• educazione interesse cognitivo al soggetto;
• educazione all'indipendenza nella risoluzione dei problemi educativi;
• educazione alla volontà e alla perseveranza per raggiungere i risultati finali.

Tipo di lezione: lezione - spiegazione del nuovo materiale.

Durante le lezioni

1. Momento organizzativo.

Ciao ragazzi! Le equazioni sono scritte sulla lavagna, guardale attentamente. Riesci a risolvere tutte queste equazioni? Quali non lo sono e perché?

Le equazioni in cui i lati sinistro e destro sono espressioni razionali frazionarie sono chiamate equazioni razionali frazionarie. Cosa pensi che studieremo oggi nella lezione? Formulare l'argomento della lezione. Quindi, apriamo i quaderni e annotiamo l'argomento della lezione "Soluzione di equazioni razionali frazionarie".

2. Attualizzazione della conoscenza. Indagine frontale, lavoro orale con la classe.

E ora ripeteremo il principale materiale teorico che dobbiamo studiare nuovo argomento. Per favore, rispondi alle seguenti domande:

1. Che cos'è un'equazione? ( Uguaglianza con una o più variabili.)
2. Come si chiama l'equazione n. 1? ( Lineare.) Metodo di soluzione equazioni lineari. (Sposta tutto con l'incognita sul lato sinistro dell'equazione, tutti i numeri a destra. Porta termini simili. Trova il moltiplicatore sconosciuto).
3. Come si chiama l'equazione 3? ( Piazza.) Metodi per la risoluzione di equazioni quadratiche. ( Selezione del quadrato pieno, mediante formule, utilizzando il teorema di Vieta e le sue conseguenze.)
4. Che cos'è una proporzione? ( Uguaglianza di due relazioni.) La proprietà principale della proporzione. ( Se la proporzione è vera, allora il prodotto dei suoi termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi.)
5. Quali proprietà vengono utilizzate per risolvere le equazioni? ( 1. Se nell'equazione trasferiamo il termine da una parte all'altra, cambiandone il segno, otteniamo un'equazione equivalente a quella data. 2. Se entrambe le parti dell'equazione vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero diverso da zero, si otterrà un'equazione equivalente al dato.)
6. Quando una frazione è uguale a zero? ( La frazione è zero quando il numeratore zero, e il denominatore non è uguale a zero.)

3. Spiegazione del nuovo materiale.

Risolvi l'equazione n. 2 nei quaderni e alla lavagna.

Risposta: 10.

Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere usando la proprietà della proporzione di base? (n. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Risolvi l'equazione n. 4 nei quaderni e alla lavagna.

Risposta: 1,5.

Quale equazione razionale frazionaria puoi provare a risolvere moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per il denominatore? (n. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Risposta: 3;4.

Ora prova a risolvere l'equazione n. 7 in uno dei modi.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Risposta: 0;5;-2.			Risposta: 5;-2.

Spiega perché è successo? Perché ci sono tre radici in un caso e due nell'altro? Quali numeri sono le radici di questa equazione razionale frazionaria?

Finora gli studenti non hanno incontrato il concetto di radice estranea, è davvero molto difficile per loro capire perché questo sia accaduto. Se nessuno nella classe può dare una chiara spiegazione di questa situazione, l'insegnante pone le domande principali.

• In che modo le equazioni n. 2 e 4 differiscono dalle equazioni n. 5,6,7? ( Nelle equazioni n. 2 e 4 al denominatore del numero, n. 5-7 - espressioni con una variabile.)
• Qual è la radice dell'equazione? ( Il valore della variabile a cui l'equazione diventa una vera uguaglianza.)
• Come scoprire se un numero è la radice di un'equazione? ( Fai un controllo.)

Quando fanno un test, alcuni studenti notano che devono dividere per zero. Concludono che i numeri 0 e 5 non sono radici. data equazione. Sorge la domanda: esiste un modo per risolvere le equazioni razionali frazionarie che elimini questo errore? Sì, questo metodo si basa sulla condizione che la frazione sia uguale a zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Se x=5, allora x(x-5)=0, quindi 5 è una radice estranea.

Se x=-2, allora x(x-5)≠0.

Risposta: -2.

Proviamo a formulare un algoritmo per risolvere equazioni razionali frazionarie in questo modo. I bambini stessi formulano l'algoritmo.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali frazionarie:

1. Sposta tutto a sinistra.
2. Porta le frazioni a un denominatore comune.
3. Componi un sistema: una frazione è zero quando il numeratore è zero e il denominatore non è zero.
4. Risolvi l'equazione.
5. Controllare la disuguaglianza per escludere le radici estranee.
6. Scrivi la risposta.

Discussione: come formalizzare la soluzione se si utilizza la proprietà di base della proporzione e la moltiplicazione di entrambi i membri dell'equazione per un denominatore comune. (Integrare la soluzione: escludere dalle sue radici quelle che azzerano il denominatore comune).

4. Comprensione primaria di nuovo materiale.

Lavoro in coppia. Gli studenti scelgono come risolvere l'equazione da soli, a seconda del tipo di equazione. Compiti dal libro di testo "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: n. 600 (b, c, i); N. 601(a, e, g). L'insegnante controlla l'esecuzione del compito, risponde alle domande che sono sorte e fornisce assistenza agli studenti con scarso rendimento. Autotest: le risposte sono scritte alla lavagna.

b) 2 è una radice estranea. Risposta: 3.

c) 2 è una radice estranea. Risposta: 1.5.

a) Risposta: -12.5.

g) Risposta: 1; 1.5.

5. Dichiarazione dei compiti.

1. Leggi l'elemento 25 del libro di testo, analizza gli esempi 1-3.
2. Impara l'algoritmo per risolvere le equazioni razionali frazionarie.
3. Risolvi nei quaderni n. 600 (a, d, e); N. 601 (g, h).
4. Prova a risolvere #696(a) (opzionale).

6. Adempimento del compito di controllo sull'argomento studiato.

Il lavoro viene eseguito su fogli.

Esempio di lavoro:

A) Quale delle equazioni è razionale frazionaria?

B) Una frazione è zero quando il numeratore è ______________________ e il denominatore è _______________________.

D) Il numero -3 è la radice dell'equazione #6?

D) Risolvi l'equazione n. 7.

Criteri di valutazione delle attività:

• "5" viene assegnato se lo studente ha completato correttamente più del 90% del compito.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" viene assegnato a uno studente che ha completato meno del 50% del compito.
• Il voto 2 non viene inserito nel diario, il 3 è facoltativo.

7. Riflessione.

Sui volantini con lavoro indipendente, metti:

• 1 - se la lezione è stata interessante e comprensibile per te;
• 2 - interessante, ma non chiaro;
• 3 - non interessante, ma comprensibile;
• 4 - non interessante, non chiaro.

8. Riassumendo la lezione.

Quindi, oggi nella lezione abbiamo familiarizzato con le equazioni razionali frazionarie, abbiamo imparato come risolvere queste equazioni diversi modi, hanno testato le loro conoscenze con l'aiuto della formazione lavoro indipendente. Imparerai i risultati del lavoro indipendente nella prossima lezione, a casa avrai l'opportunità di consolidare le conoscenze acquisite.

Quale metodo per risolvere le equazioni razionali frazionarie, secondo te, è più facile, più accessibile, più razionale? Indipendentemente dal metodo di risoluzione delle equazioni razionali frazionarie, cosa non dovrebbe essere dimenticato? Qual è l'"astuzia" delle equazioni razionali frazionarie?

Grazie a tutti, la lezione è finita.

Abbiamo già imparato a risolvere le equazioni di secondo grado. Estendiamo ora i metodi studiati alle equazioni razionali.

Che cosa espressione razionale? Abbiamo già incontrato questo concetto. Espressioni razionali dette espressioni composte da numeri, variabili, loro gradi e segni di operazioni matematiche.

Di conseguenza, le equazioni razionali sono equazioni della forma: , dove - espressioni razionali.

In precedenza, abbiamo considerato solo quelle equazioni razionali che si riducono a quelle lineari. Consideriamo ora quelle equazioni razionali che possono essere ridotte a quadratiche.

Esempio 1

Risolvi l'equazione: .

Soluzione:

Una frazione è 0 se e solo se il suo numeratore è 0 e il suo denominatore non è 0.

Otteniamo il seguente sistema:

La prima equazione del sistema è equazione quadrata. Prima di risolverlo, dividiamo tutti i suoi coefficienti per 3. Otteniamo:

Otteniamo due radici: ; .

Poiché 2 non è mai uguale a 0, devono essere soddisfatte due condizioni: . Poiché nessuna delle radici dell'equazione ottenuta sopra corrisponde ai valori non validi della variabile che sono stati ottenuti risolvendo la seconda disuguaglianza, sono entrambe soluzioni di questa equazione.

Risposta:.

Quindi, formuliamo un algoritmo per la risoluzione di equazioni razionali:

1. Sposta tutti i termini sul lato sinistro in modo da ottenere 0 sul lato destro.

2. Trasforma e semplifica il lato sinistro, porta tutte le frazioni a un denominatore comune.

3. Uguagliare la frazione risultante a 0, secondo il seguente algoritmo: .

4. Annotare le radici ottenute nella prima equazione e soddisfare la seconda disuguaglianza in risposta.

Diamo un'occhiata a un altro esempio.

Esempio 2

Risolvi l'equazione: .

Soluzione

All'inizio, trasferiamo tutti i termini a lato sinistro in modo che sulla destra rimanga 0. Otteniamo:

Ora portiamo il lato sinistro dell'equazione a un denominatore comune:

Questa equazione è equivalente al sistema:

La prima equazione del sistema è un'equazione quadratica.

I coefficienti di questa equazione: . Calcoliamo il discriminante:

Otteniamo due radici: ; .

Ora risolviamo la seconda disuguaglianza: il prodotto dei fattori non è uguale a 0 se e solo se nessuno dei fattori è uguale a 0.

Devono essere soddisfatte due condizioni: . Otteniamo quella delle due radici della prima equazione, solo una è adatta - 3.

Risposta:.

In questa lezione, abbiamo ricordato cos'è un'espressione razionale e abbiamo anche imparato a risolvere equazioni razionali, che sono ridotte a equazioni quadratiche.

Nella prossima lezione considereremo le equazioni razionali come modelli di situazioni reali e considereremo anche i problemi di movimento.

Bibliografia

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2. Dorofeev GV, Suvorova SB, Bunimovich E.A. et al.Algebra, 8. 5a ed. - M.: Istruzione, 2010.
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1. Festival delle idee pedagogiche" Lezione pubblica" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Compiti a casa

Finora abbiamo risolto solo equazioni intere rispetto all'incognita, cioè equazioni in cui i denominatori (se presenti) non contenevano l'incognita.

Spesso devi risolvere equazioni che contengono l'incognita ai denominatori: tali equazioni sono dette frazionarie.

Per risolvere questa equazione, moltiplichiamo entrambi i suoi membri per cioè per un polinomio contenente l'incognita. La nuova equazione sarà equivalente a quella data? Per rispondere alla domanda, risolviamo questa equazione.

Moltiplicando entrambi i membri per , otteniamo:

Risolvendo questa equazione di primo grado, troviamo:

Quindi, l'equazione (2) ha una sola radice

Sostituendolo nell'equazione (1), otteniamo:

Quindi, è anche la radice dell'equazione (1).

L'equazione (1) non ha altre radici. Nel nostro esempio, questo può essere visto, ad esempio, dal fatto che nell'equazione (1)

Come il divisore sconosciuto dovrebbe essere uguale al dividendo 1 diviso per il quoziente 2, cioè

Quindi, le equazioni (1) e (2) hanno un'unica radice, quindi sono equivalenti.

2. Risolviamo ora la seguente equazione:

Il più semplice denominatore comune: ; moltiplica tutti i termini dell'equazione per essa:

Dopo la riduzione otteniamo:

Espandiamo le parentesi:

Portando termini simili, abbiamo:

Risolvendo questa equazione, troviamo:

Sostituendo nell'equazione (1), otteniamo:

Sul lato sinistro, abbiamo ricevuto espressioni che non hanno senso.

Quindi, la radice dell'equazione (1) non lo è. Ciò implica che le equazioni (1) e non sono equivalenti.

In questo caso, diciamo che l'equazione (1) ha acquisito una radice estranea.

Confrontiamo la soluzione dell'equazione (1) con la soluzione delle equazioni che abbiamo considerato in precedenza (vedi § 51). Per risolvere questa equazione, abbiamo dovuto eseguire due operazioni di questo tipo che non erano state viste prima: in primo luogo, abbiamo moltiplicato entrambi i membri dell'equazione per un'espressione contenente l'incognita (comune denominatore) e, in secondo luogo, abbiamo ridotto le frazioni algebriche per fattori contenenti l'ignoto.

Confrontando l'equazione (1) con l'equazione (2), vediamo che non tutti i valori x validi per l'equazione (2) sono validi per l'equazione (1).

Sono i numeri 1 e 3 che non sono valori ammissibili dell'incognita per l'equazione (1) e come risultato della trasformazione sono diventati ammissibili per l'equazione (2). Uno di questi numeri si è rivelato essere una soluzione all'equazione (2), ma, ovviamente, non può essere una soluzione all'equazione (1). L'equazione (1) non ha soluzioni.

Questo esempio mostra che quando entrambi i lati dell'equazione vengono moltiplicati per un fattore contenente l'incognita e quando il frazioni algebriche si può ottenere un'equazione non equivalente a quella data, ovvero: possono comparire radici estranee.

Quindi traiamo la seguente conclusione. Quando si risolve un'equazione contenente un'incognita al denominatore, le radici risultanti devono essere verificate mediante sostituzione nell'equazione originale. Le radici estranee devono essere scartate.

In poche parole, queste sono equazioni in cui ce n'è almeno una con una variabile al denominatore.

Per esempio:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Esempio non equazioni razionali frazionarie:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Come si risolvono le equazioni razionali frazionarie?

La cosa principale da ricordare sulle equazioni razionali frazionarie è che devi scriverci dentro. E dopo aver trovato le radici, assicurati di verificarne l'ammissibilità. In caso contrario, potrebbero apparire radici estranee e l'intera soluzione sarà considerata errata.

Algoritmo per risolvere un'equazione razionale frazionaria:

Scrivi e "risolvi" l'ODZ.

Moltiplica ogni termine nell'equazione per un denominatore comune e riduci le frazioni risultanti. I denominatori scompariranno.

Scrivi l'equazione senza aprire le parentesi.

Risolvi l'equazione risultante.

Controlla le radici trovate con ODZ.

Scrivi in ​​risposta le radici che hanno superato il test nel passaggio 7.

Non memorizzare l'algoritmo, 3-5 equazioni risolte - e sarà ricordato da solo.

Esempio . Risolvi l'equazione razionale frazionaria \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Soluzione:

Risposta: \(3\).

Esempio . Trova le radici dell'equazione razionale frazionaria \(=0\)

Soluzione:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cpunto 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Scriviamo e "risolviamo" ODZ. Espandi \(x^2+7x+10\) nella formula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Fortunatamente \(x_1\) e \(x_2\) abbiamo già trovato.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ovviamente, il denominatore comune delle frazioni: \((x+2)(x+5)\). Moltiplichiamo l'intera equazione per essa.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Riduciamo le frazioni
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Apertura delle parentesi
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Diamo termini simili
\(2x^2+9x-5=0\)		Trovare le radici dell'equazione
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Una delle radici non rientra nell'ODZ, quindi in risposta scriviamo solo la seconda radice.

Risposta: \(\frac(1)(2)\).