Calcolatore di ingegneria online

Ci affrettiamo a presentare a tutti un calcolatore di ingegneria gratuito. Con esso, qualsiasi studente può eseguire rapidamente e, soprattutto, facilmente vari tipi di calcoli matematici online.

La calcolatrice è tratta dal sito - calcolatrice scientifica web 2.0

Un calcolatore di ingegneria semplice e facile da usare con un'interfaccia discreta e intuitiva sarà davvero utile per la più ampia gamma di utenti di Internet. Ora, quando hai bisogno di una calcolatrice, visita il nostro sito Web e usa il calcolatore di ingegneria gratuito.

Un calcolatore di ingegneria può eseguire sia semplici operazioni aritmetiche che calcoli matematici piuttosto complessi.

Web20calc è un calcolatore di ingegneria che ha un numero enorme di funzioni, ad esempio come calcolare tutte le funzioni elementari. La calcolatrice supporta anche funzioni trigonometriche, matrici, logaritmi e persino tracciati.

Indubbiamente Web20calc interesserà quel gruppo di persone che, alla ricerca di soluzioni semplici, digita nei motori di ricerca una query: un calcolatore matematico online. L'applicazione web gratuita ti aiuterà a calcolare istantaneamente il risultato di qualsiasi espressione matematica, ad esempio sottrarre, aggiungere, dividere, estrarre la radice, elevare a potenza, ecc.

Nell'espressione è possibile utilizzare le operazioni di esponenziazione, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, percentuale, costante PI. Le parentesi dovrebbero essere usate per calcoli complessi.

Caratteristiche del calcolatore di ingegneria:

1. operazioni aritmetiche di base;
2. lavorare con i numeri in una forma standard;
3. calcolo di radici trigonometriche, funzioni, logaritmi, esponenziazione;
4. calcoli statistici: addizione, media aritmetica o deviazione standard;
5. applicazione di una cella di memoria e funzioni utente di 2 variabili;
6. lavorare con angoli in radianti e gradi.

Il calcolatore di ingegneria consente l'uso di una varietà di funzioni matematiche:

Estrazione delle radici (radice quadrata, radice cubica, nonché radice dell'n-esimo grado);
ex (e a x potenza), esponente;
funzioni trigonometriche: seno - sin, coseno - cos, tangente - tan;
funzioni trigonometriche inverse: arcoseno - sin-1, arcocoseno - cos-1, arcotangente - tan-1;
funzioni iperboliche: seno - sinh, coseno - cosh, tangente - tanh;
logaritmi: il logaritmo binario in base due è log2x, il logaritmo in base dieci in base dieci è log, il logaritmo naturale è ln.

Questo calcolatore di ingegneria include anche un calcolatore di quantità con la possibilità di convertire quantità fisiche per vari sistemi di misurazione: unità di computer, distanza, peso, tempo, ecc. Con questa funzione, puoi convertire istantaneamente miglia in chilometri, libbre in chilogrammi, secondi in ore, ecc.

Per fare calcoli matematici, inserisci prima una sequenza di espressioni matematiche nell'apposito campo, poi clicca sul segno di uguale e guarda il risultato. Puoi inserire i valori direttamente da tastiera (per questo l'area della calcolatrice deve essere attiva, quindi sarà utile posizionare il cursore nel campo di input). Tra l'altro, i dati possono essere inseriti utilizzando i pulsanti della calcolatrice stessa.

Per costruire i grafici nel campo di input, scrivere la funzione come indicato nel campo di esempio o utilizzare la barra degli strumenti appositamente progettata (per accedervi, fare clic sul pulsante con l'icona a forma di grafico). Per convertire i valori, premere Unit, per lavorare con le matrici - Matrix.

Primo livello

Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2019)

Spesso sentiamo questa frase spiacevole: "semplificare l'espressione". Di solito, in questo caso, abbiamo una specie di mostro come questo:

"Sì, molto più facile", diciamo, ma una risposta del genere di solito non funziona.

Ora ti insegnerò a non aver paura di tali compiti.

Inoltre, alla fine della lezione, semplificherai questo esempio a un (solo!) numero ordinario (sì, al diavolo queste lettere).

Ma prima di iniziare questa lezione, devi essere in grado di farlo trattare con le frazioni e fattorizzare i polinomi.

Pertanto, se non l'hai mai fatto prima, assicurati di padroneggiare gli argomenti "" e "".

Leggere? Se sì, allora sei pronto.

Andiamo! (Andiamo!)

Nota importante!Se invece delle formule vedi parole senza senso, svuota la cache. Per fare ciò, premere CTRL+F5 (su Windows) o Cmd+R (su Mac)

Operazioni di semplificazione delle espressioni di base

Ora analizzeremo le principali tecniche utilizzate per semplificare le espressioni.

Il più semplice di loro è

1. Portare simili

Cosa sono simili? Hai affrontato questo in 7a elementare, quando le lettere sono apparse per la prima volta in matematica invece dei numeri.

Simile sono termini (monomi) con la stessa parte letterale.

Ad esempio, nella somma, come i termini sono e.

Ricordato?

Porta simili- significa aggiungere diversi termini simili tra loro e ottenere un termine.

Ma come possiamo mettere insieme le lettere? - tu chiedi.

Questo è molto facile da capire se immagini che le lettere siano una specie di oggetto.

Ad esempio, la lettera è una sedia. Allora qual è l'espressione?

Due sedie più tre sedie, quanto costerà? Esatto, sedie: .

Ora prova questa espressione:

Per non confonderti, lascia che lettere diverse denotino oggetti diversi.

Ad esempio, - questa è (come al solito) una sedia e - questo è un tavolo.

Sedie Tavoli Sedie Tavoli Sedie Sedie Tavoli

Vengono chiamati i numeri per i quali vengono moltiplicate le lettere in tali termini coefficienti.

Ad esempio, nel monomio il coefficiente è uguale. Ed è uguale.

Quindi, la regola per portare simili:

Esempi:

Porta simili:

Risposte:

2. (e sono simili, poiché, quindi, questi termini hanno la stessa parte letterale).

2. Fattorizzazione

Questo è di solito la parte più importante nella semplificazione delle espressioni.

Dopo aver fornito quelli simili, molto spesso è necessaria l'espressione risultante fattorizzare, cioè rappresentare come un prodotto.

Soprattutto questo importante in frazioni: perché per ridurre la frazione, il numeratore e il denominatore devono essere espressi come prodotto.

Hai esaminato i metodi dettagliati per fattorizzare le espressioni nell'argomento "", quindi qui devi solo ricordare ciò che hai imparato.

Per fare ciò, risolvi alcuni esempi (è necessario fattorizzare)

Esempi:

Soluzioni:

3. Riduzione della frazione.

Bene, cosa potrebbe esserci di più bello che cancellare parte del numeratore e del denominatore e buttarli fuori dalla tua vita?

Questo è il bello dell'abbreviazione.

È semplice:

Se numeratore e denominatore contengono gli stessi fattori, possono essere ridotti, cioè rimossi dalla frazione.

Questa regola deriva dalla proprietà di base di una frazione:

Cioè, l'essenza dell'operazione di riduzione è quella Dividiamo numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero (o per la stessa espressione).

Per ridurre una frazione, hai bisogno di:

1) numeratore e denominatore fattorizzare

2) se numeratore e denominatore contengono fattori comuni, possono essere cancellati.

Esempi:

Il principio, credo, è chiaro?

Vorrei attirare la vostra attenzione su un tipico errore di abbreviazione. Sebbene questo argomento sia semplice, molte persone fanno tutto male, senza rendersene conto taglio- significa dividere numeratore e denominatore con lo stesso numero.

Nessuna abbreviazione se il numeratore o il denominatore è la somma.

Ad esempio: devi semplificare.

Alcuni fanno questo: il che è assolutamente sbagliato.

Altro esempio: ridurre.

Il "più intelligente" farà questo:

Dimmi cosa c'è che non va qui? Sembrerebbe: - questo è un moltiplicatore, quindi puoi ridurre.

E invece no: - questo è un fattore di un solo termine nel numeratore, ma il numeratore stesso nel suo insieme non è scomposto in fattori.

Ecco un altro esempio: .

Questa espressione è scomposta in fattori, il che significa che puoi ridurre, cioè dividere il numeratore e il denominatore per e quindi per:

Puoi immediatamente dividere per:

Per evitare tali errori, ricorda un modo semplice per determinare se un'espressione viene scomposta:

L'ultima operazione aritmetica che viene eseguita quando si calcola il valore dell'espressione è la "principale".

Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numeri invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione è scomposta in fattori).

Se l'ultima azione è l'addizione o la sottrazione, significa che l'espressione non viene scomposta (e quindi non può essere ridotta).

Per risolverlo da soli, alcuni esempi:

Esempi:

Soluzioni:

1. Spero che tu non abbia subito fretta di tagliare e? Non bastava ancora “ridurre” unità così:

Il primo passo dovrebbe essere quello di fattorizzare:

4. Addizione e sottrazione di frazioni. Portare le frazioni a un denominatore comune.

L'addizione e sottrazione di frazioni ordinarie è un'operazione ben nota: cerchiamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e additiamo/sottriamo i numeratori.

Ricordiamo:

Risposte:

1. I denominatori e sono coprimi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, l'LCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il denominatore comune:

2. Qui il denominatore comune è:

3. Qui, prima di tutto, trasformiamo le frazioni miste in improprie, quindi - secondo il solito schema:

È tutta un'altra questione se le frazioni contengono lettere, ad esempio:

Iniziamo in modo semplice:

a) I denominatori non contengono lettere

Qui tutto è come con le frazioni numeriche ordinarie: troviamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottriamo i numeratori:

ora nel numeratore puoi portare quelli simili, se ce ne sono, e calcolarli:

Prova tu stesso:

Risposte:

b) I denominatori contengono lettere

Ricordiamo il principio di trovare un denominatore comune senza lettere:

Prima di tutto determiniamo i fattori comuni;

Quindi scriviamo tutti i fattori comuni una volta;

e moltiplicarli per tutti gli altri fattori, non quelli comuni.

Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li scomponiamo prima in fattori semplici:

Sottolineiamo i fattori comuni:

Ora scriviamo i fattori comuni una volta e aggiungiamo tutti i fattori non comuni (non sottolineati):

Questo è il denominatore comune.

Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente allo stesso modo:

Scomponiamo i denominatori in fattori;

determinare moltiplicatori comuni (identici);

scrivi tutti i fattori comuni una volta;

Li moltiplichiamo per tutti gli altri fattori, non quelli comuni.

Quindi, nell'ordine:

1) scomponi i denominatori in fattori:

2) determinare i fattori comuni (identici):

3) scrivi tutti i fattori comuni una volta e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):

Quindi il denominatore comune è qui. La prima frazione deve essere moltiplicata per, la seconda - per:

A proposito, c'è un trucco:

Per esempio: .

Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo tutti con indicatori diversi. Il denominatore comune sarà:

nella misura

nella misura

nella misura

in grado.

Complichiamo il compito:

Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?

Ricordiamo la proprietà di base di una frazione:

Da nessuna parte si dice che lo stesso numero possa essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!

Guarda tu stesso: prendi qualsiasi frazione, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio, . Cosa è stato appreso?

Quindi, un'altra regola incrollabile:

Quando porti le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!

Ma cosa devi moltiplicare per ottenere?

Ecco e moltiplicati. E moltiplica per:

Le espressioni che non possono essere fattorizzate saranno chiamate "fattori elementari".

Ad esempio, è un fattore elementare. - anche. Ma - no: è scomposto in fattori.

E l'espressione? è elementare?

No, perché si può fattorizzare:

(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").

Quindi, i fattori elementari in cui scomponi un'espressione con lettere sono un analogo dei semplici fattori in cui scomponi i numeri. E noi faremo lo stesso con loro.

Vediamo che entrambi i denominatori hanno un fattore. Andrà al denominatore comune nel potere (ricordate perché?).

Il moltiplicatore è elementare e non lo hanno in comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:

Un altro esempio:

Decisione:

Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come calcolarli? Entrambi rappresentano:

Bene! Quindi:

Un altro esempio:

Decisione:

Come al solito, fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore, lo mettiamo semplicemente fuori parentesi; nel secondo - la differenza di quadrati:

Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono già così simili ... E la verità è:

Allora scriviamo:

Cioè, è risultato così: all'interno della parentesi, abbiamo scambiato i termini e, allo stesso tempo, il segno davanti alla frazione è cambiato nell'opposto. Prendi nota, dovrai farlo spesso.

Ora portiamo a un denominatore comune:

Fatto? Ora controlliamo.

Compiti per una soluzione indipendente:

Risposte:

Qui dobbiamo ricordare un'altra cosa: la differenza dei cubi:

Si noti che il denominatore della seconda frazione non contiene la formula "quadrato della somma"! Il quadrato della somma sarebbe simile a questo:

A è il cosiddetto quadrato incompleto della somma: il secondo termine in esso contenuto è il prodotto del primo e dell'ultimo, e non del loro prodotto raddoppiato. Il quadrato incompleto della somma è uno dei fattori nell'espansione della differenza di cubi:

E se ci sono già tre frazioni?

Sì, lo stesso! Prima di tutto, ci assicureremo che il numero massimo di fattori nei denominatori sia lo stesso:

Attenzione: se cambiate i segni all'interno di una parentesi, il segno davanti alla frazione cambia in quello opposto. Quando cambiamo i segni nella seconda parentesi, il segno davanti alla frazione viene nuovamente invertito. Di conseguenza, lui (il segno davanti alla frazione) non è cambiato.

Scriviamo il primo denominatore per intero nel denominatore comune, quindi aggiungiamo tutti i fattori che non sono stati ancora scritti, dal secondo e poi dal terzo (e così via, se ci sono più frazioni). Cioè, va così:

Hmm ... Con le frazioni, è chiaro cosa fare. Ma che dire dei due?

È semplice: sai come aggiungere le frazioni, giusto? Quindi, devi assicurarti che il due diventi una frazione! Ricorda: una frazione è un'operazione di divisione (il numeratore è diviso per il denominatore, nel caso te ne fossi improvvisamente dimenticato). E non c'è niente di più facile che dividere un numero per. In questo caso, il numero stesso non cambierà, ma si trasformerà in una frazione:

Esattamente quello che serve!

5. Moltiplicazione e divisione delle frazioni.

Bene, la parte più difficile è finita. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:

Procedura

Qual è la procedura per calcolare un'espressione numerica? Ricorda, considerando il valore di tale espressione:

Hai contato?

Dovrebbe funzionare.

Quindi, te lo ricordo.

Il primo passo è calcolare il grado.

La seconda è la moltiplicazione e la divisione. Se ci sono più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, puoi eseguirle in qualsiasi ordine.

Infine, eseguiamo addizioni e sottrazioni. Ancora una volta, in qualsiasi ordine.

Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata fuori ordine!

Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, prima valutiamo l'espressione in ciascuna delle parentesi, quindi le moltiplichiamo o le dividiamo.

E se ci sono altre parentesi tra parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Qual è la prima cosa da fare quando si valuta un'espressione? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.

Quindi, l'ordine delle azioni per l'espressione sopra è il seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, ovvero l'azione che sto eseguendo in questo momento):

Va bene, è tutto semplice.

Ma non è la stessa cosa di un'espressione con le lettere, vero?

No, è lo stesso! Solo al posto delle operazioni aritmetiche è necessario eseguire operazioni algebriche, ovvero le operazioni descritte nella sezione precedente: portando simili, addizione di frazioni, riduzione di frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione della fattorizzazione dei polinomi (la usiamo spesso quando si lavora con le frazioni). Molto spesso, per la fattorizzazione, è necessario utilizzare i o semplicemente togliere il fattore comune tra parentesi.

Solitamente il nostro obiettivo è rappresentare un'espressione come prodotto o quoziente.

Per esempio:

Semplifichiamo l'espressione.

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. Lì abbiamo la differenza delle frazioni e il nostro obiettivo è rappresentarla come un prodotto o un quoziente. Quindi, portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:

È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione, tutti i fattori qui sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).

2) Otteniamo:

Moltiplicazione delle frazioni: cosa potrebbe essere più facile.

3) Ora puoi abbreviare:

Questo è tutto. Niente di complicato, vero?

Un altro esempio:

Semplifica l'espressione.

Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo allora guarda la soluzione.

Decisione:

Prima di tutto, definiamo la procedura.

Innanzitutto, aggiungiamo le frazioni tra parentesi, invece di due frazioni, ne risulterà una.

Quindi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione.

Elencherò schematicamente i passaggi:

Ora mostrerò l'intero processo, colorando di rosso l'azione corrente:

Infine, ti darò due consigli utili:

1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. In qualsiasi momento ne abbiamo di simili, è consigliabile portarli subito.

2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, deve essere sfruttata. L'eccezione sono le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora hanno gli stessi denominatori, la riduzione dovrebbe essere lasciata per dopo.

Ecco alcuni compiti da risolvere da soli:

E ha promesso all'inizio:

Risposte:

Soluzioni (breve):

Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, allora consideri che hai imparato l'argomento.

Ora via all'apprendimento!

CONVERSIONE DELL'ESPRESSIONE. RIASSUNTO E FORMULA BASE

Operazioni di semplificazione di base:

• Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili, devi sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
• Fattorizzazione: togliendo il fattore comune da parentesi, applicando, ecc.
• Riduzione della frazione: numeratore e denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, dal quale il valore della frazione non cambia.
  1) numeratore e denominatore fattorizzare
  2) se ci sono fattori comuni al numeratore e al denominatore, possono essere cancellati.

  IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!

• Addizione e sottrazione di frazioni:
  ;
• Moltiplicazione e divisione delle frazioni:
  ;

Nota 1

Una funzione logica può essere scritta usando un'espressione logica, quindi puoi passare al circuito logico. È necessario semplificare le espressioni logiche per ottenere un circuito logico il più semplice possibile (e quindi più economico). In effetti, una funzione logica, un'espressione logica e un circuito logico sono tre linguaggi diversi che parlano della stessa entità.

Per semplificare le espressioni logiche, utilizzare leggi dell'algebra della logica.

Alcune trasformazioni sono simili alle trasformazioni delle formule nell'algebra classica (facendo tra parentesi il fattore comune, usando le leggi commutative e associative, ecc.), mentre altre trasformazioni si basano su proprietà che le operazioni di algebra classica non hanno (usando la legge di distribuzione per la congiunzione, leggi di assorbimento, incollaggio, regole di de Morgan, ecc.).

Le leggi dell'algebra della logica sono formulate per operazioni logiche di base - "NOT" - inversione (negazione), "AND" - congiunzione (moltiplicazione logica) e "OR" - disgiunzione (addizione logica).

La legge della doppia negazione significa che l'operazione "NOT" è reversibile: se la applichi due volte, alla fine il valore logico non cambierà.

La legge del mezzo escluso afferma che qualsiasi espressione logica è vera o falsa ("non c'è un terzo"). Pertanto, se $A=1$, allora $\bar(A)=0$ (e viceversa), significa che la congiunzione di queste quantità è sempre uguale a zero e la disgiunzione è uguale a uno.

$((LA + B) → C) \cpunto (B → C \cpunto D) \cpunto C.$

Semplifichiamo questa formula:

Figura 3

Ciò implica che $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Risposta: gli studenti $B$, $C$ e $D$ stanno giocando a scacchi, ma lo studente $A$ non sta giocando.

Quando si semplificano le espressioni logiche, è possibile eseguire la seguente sequenza di azioni:

1. Sostituisci tutte le operazioni "non di base" (equivalenza, implicazione, OR esclusivo, ecc.) con le loro espressioni attraverso le operazioni di base di inversione, congiunzione e disgiunzione.
2. Espandere le inversioni di espressioni complesse secondo le regole di de Morgan in modo tale che solo le singole variabili abbiano operazioni di negazione.
3. Quindi semplifica l'espressione usando l'espansione delle parentesi, i fattori comuni tra parentesi e altre leggi dell'algebra della logica.

Esempio 2

Qui si usano in successione la regola di de Morgan, la legge distributiva, la legge del terzo escluso, la legge commutativa, la legge di ripetizione, la legge ancora commutativa e la legge di assorbimento.

Con l'aiuto di qualsiasi lingua, puoi esprimere le stesse informazioni in parole e frasi diverse. Il linguaggio matematico non fa eccezione. Ma la stessa espressione può essere scritta in modo equivalente in modi diversi. E in alcune situazioni, una delle voci è più semplice. Parleremo della semplificazione delle espressioni in questa lezione.

Le persone comunicano in lingue diverse. Per noi, un confronto importante è la coppia "lingua russa - lingua matematica". Le stesse informazioni possono essere riportate in lingue diverse. Ma, oltre a questo, può essere pronunciato in modo diverso in una lingua.

Ad esempio: "Peter è amico di Vasya", "Vasya è amico di Petya", "Peter e Vasya sono amici". Detto diversamente, ma lo stesso. Con ognuna di queste frasi, capiremmo la posta in gioco.

Diamo un'occhiata a questa frase: "Il ragazzo Petya e il ragazzo Vasya sono amici". Capiamo cosa c'è in gioco. Tuttavia, non ci piace come suona questa frase. Non possiamo semplificarlo, diciamo lo stesso, ma più semplice? "Ragazzo e ragazzo" - puoi dire una volta: "I ragazzi Petya e Vasya sono amici".

"Ragazzi" ... Non è chiaro dai loro nomi che non sono ragazze. Rimuoviamo i "ragazzi": "Petya e Vasya sono amici". E la parola "amici" può essere sostituita con "amici": "Petya e Vasya sono amici". Di conseguenza, la prima, lunga e brutta frase è stata sostituita con un'affermazione equivalente, più facile da dire e più facile da capire. Abbiamo semplificato questa frase. Semplificare significa dire che è più facile, ma non perdere, non snaturare il significato.

La stessa cosa accade nel linguaggio matematico. La stessa cosa si può dire diversamente. Cosa significa semplificare un'espressione? Ciò significa che per l'espressione originale esistono molte espressioni equivalenti, cioè quelle che significano la stessa cosa. E da tutta questa moltitudine, dobbiamo scegliere il più semplice, secondo noi, o il più adatto ai nostri ulteriori scopi.

Si consideri ad esempio un'espressione numerica. Sarà equivalente a .

Sarà anche equivalente ai primi due: .

Si scopre che abbiamo semplificato le nostre espressioni e trovato l'espressione equivalente più breve.

Per le espressioni numeriche, devi sempre fare tutto il lavoro e ottenere l'espressione equivalente come un singolo numero.

Considera un esempio di un'espressione letterale . Ovviamente sarà più semplice.

Quando si semplificano le espressioni letterali, è necessario eseguire tutte le azioni possibili.

È sempre necessario semplificare un'espressione? No, a volte una notazione equivalente ma più lunga sarà più conveniente per noi.

Esempio: Sottrarre il numero dal numero.

È possibile calcolare, ma se il primo numero fosse rappresentato dalla sua notazione equivalente: , allora i calcoli sarebbero istantanei: .

Cioè, un'espressione semplificata non è sempre vantaggiosa per noi per ulteriori calcoli.

Tuttavia, molto spesso ci troviamo di fronte a un compito che suona solo come "semplificare l'espressione".

Semplificare l'espressione: .

Decisione

1) Eseguire le azioni nella prima e nella seconda parentesi: .

2) Calcola i prodotti: .

Ovviamente l'ultima espressione ha una forma più semplice di quella iniziale. L'abbiamo semplificato.

Per semplificare l'espressione, deve essere sostituita con un equivalente (uguale).

Per determinare l'espressione equivalente, è necessario:

1) eseguire tutte le azioni possibili,

2) utilizzare le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per semplificare i calcoli.

Proprietà di addizione e sottrazione:

1. Proprietà commutativa dell'addizione: la somma non cambia dal riordinamento dei termini.

2. Proprietà associativa dell'addizione: per sommare un terzo numero alla somma di due numeri, è possibile sommare al primo numero la somma del secondo e del terzo numero.

3. La proprietà di sottrarre una somma a un numero: per sottrarre la somma a un numero, puoi sottrarre ogni termine singolarmente.

Proprietà di moltiplicazione e divisione

1. La proprietà commutativa della moltiplicazione: il prodotto non cambia da una permutazione di fattori.

2. Proprietà associativa: per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.

3. La proprietà distributiva della moltiplicazione: per moltiplicare un numero per una somma, è necessario moltiplicarlo separatamente per ciascun termine.

Vediamo come facciamo effettivamente i calcoli mentali.

Calcolare:

Decisione

1) Immagina come

2) Rappresentiamo il primo moltiplicatore come somma di termini di bit ed eseguiamo la moltiplicazione:

3) puoi immaginare come ed eseguire la moltiplicazione:

4) Sostituisci il primo fattore con una somma equivalente:

La legge distributiva può essere usata anche nella direzione opposta: .

Segui questi passi:

1) 2)

Decisione

1) Per comodità, puoi usare la legge di distribuzione, basta usarla nella direzione opposta - togli il fattore comune tra parentesi.

2) Togliamo da parentesi il fattore comune

È necessario acquistare linoleum in cucina e in corridoio. Zona cucina - disimpegno -. Esistono tre tipi di linoleum: per e rubli per. Quanto costerà ciascuno dei tre tipi di linoleum? (Fig. 1)

Riso. 1. Illustrazione per la condizione del problema

Decisione

Metodo 1. Puoi trovare separatamente quanti soldi ci vorranno per acquistare il linoleum in cucina, quindi aggiungerlo al corridoio e sommare i lavori risultanti.

§ 1 Il concetto di semplificazione di un'espressione letterale

In questa lezione conosceremo il concetto di “termini simili” e, attraverso degli esempi, impareremo come effettuare la riduzione di termini simili, semplificando così le espressioni letterali.

Scopriamo il significato del concetto di "semplificazione". La parola "semplificazione" deriva dalla parola "semplificare". Semplificare significa rendere semplice, più semplice. Pertanto, semplificare un'espressione letterale significa renderla più breve, con un numero minimo di azioni.

Considera l'espressione 9x + 4x. Questa è un'espressione letterale che è una somma. I termini qui sono presentati come prodotti di un numero e di una lettera. Il fattore numerico di tali termini è chiamato coefficiente. In questa espressione, i coefficienti saranno i numeri 9 e 4. Si noti che il moltiplicatore rappresentato dalla lettera è lo stesso in entrambi i termini di questa somma.

Ricordiamo la legge distributiva della moltiplicazione:

Per moltiplicare la somma per un numero, puoi moltiplicare ogni termine per questo numero e aggiungere i prodotti risultanti.

In generale, è scritto come segue: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Questa legge vale in entrambe le direzioni ac + bc = (a + b) ∙ c

Applichiamolo alla nostra espressione letterale: la somma dei prodotti di 9x e 4x è uguale al prodotto, il cui primo fattore è la somma di 9 e 4, il secondo fattore è x.

9 + 4 = 13 fa 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Invece di tre azioni nell'espressione, è rimasta un'azione: la moltiplicazione. Quindi, abbiamo semplificato la nostra espressione letterale, ad es. lo ha semplificato.

§ 2 Riduzione di termini simili

I termini 9x e 4x differiscono solo per i loro coefficienti: tali termini sono chiamati simili. La parte lettera di termini simili è la stessa. Termini simili includono anche numeri e termini uguali.

Ad esempio, nell'espressione 9a + 12 - 15, i numeri 12 e -15 saranno termini simili, e nella somma dei prodotti di 12 e 6a, i numeri 14 e i prodotti di 12 e 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), i termini uguali saranno simili, rappresentati dal prodotto di 12 e 6a.

È importante notare che i termini con coefficienti uguali e diversi fattori letterali non sono simili, sebbene a volte sia utile applicare loro la legge distributiva della moltiplicazione, ad esempio la somma dei prodotti di 5x e 5y è uguale al prodotto del numero 5 e la somma di x e y

5x + 5y = 5(x + y).

Semplifichiamo l'espressione -9a + 15a - 4 + 10.

In questo caso, i termini -9a e 15a sono termini simili, poiché differiscono solo per i loro coefficienti. Hanno lo stesso moltiplicatore di lettere e anche i termini -4 e 10 sono simili, poiché sono numeri. Aggiungiamo termini simili:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Otteniamo: 6a + 6.

Semplificando l'espressione, abbiamo trovato le somme di termini simili, in matematica questa è chiamata riduzione di termini simili.

Se portare tali termini è difficile, puoi trovare parole per loro e aggiungere oggetti.

Si consideri ad esempio l'espressione:

Per ogni lettera prendiamo il nostro oggetto: b-mela, c-pera, quindi risulterà: 2 mele meno 5 pere più 8 pere.

Possiamo sottrarre le pere dalle mele? Ovviamente no. Ma possiamo aggiungere 8 pere a meno 5 pere.

Diamo termini simili -5 pere + 8 pere. I termini simili hanno la stessa parte letterale, quindi, quando si riducono i termini simili, è sufficiente sommare i coefficienti e aggiungere la parte letterale al risultato:

(-5 + 8) pere: ottieni 3 pere.

Tornando alla nostra espressione letterale, abbiamo -5s + 8s = 3s. Quindi, dopo aver ridotto termini simili, otteniamo l'espressione 2b + 3c.

Quindi, in questa lezione, hai familiarizzato con il concetto di "termini simili" e hai imparato a semplificare le espressioni letterali portando termini simili.

Elenco della letteratura usata:

1. Matematica. Grado 6: programmi delle lezioni per il libro di testo di I.I. Zubareva, AG Mordkovich // autore-compilatore L.A. topilina. Mnemosine 2009.
2. Matematica. Grade 6: un libro di testo per gli studenti delle istituzioni educative. I.I. Zubareva, AG Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematica. Grado 6: libro di testo per le istituzioni educative / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, SB Suvorov e altri / a cura di G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Accademia Russa delle Scienze, Accademia Russa dell'Educazione. M.: "Illuminismo", 2010.
4. Matematica. Grado 6: libro di testo per istituzioni educative generali / N.Ya. Vilenkin, VI Zhokhov, AS Chesnokov, SI Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. Matematica. Grado 6: libro di testo / G.K. Muravin, O.V. Formica. – M.: Otarda, 2014.

Immagini usate: