In poche parole, queste sono equazioni in cui ce n'è almeno una con una variabile al denominatore.

Per esempio:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Esempio non frazionario equazioni razionali:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Come si risolvono le equazioni razionali frazionarie?

La cosa principale da ricordare sulle equazioni razionali frazionarie è che devi scriverci dentro. E dopo aver trovato le radici, assicurati di verificarne l'ammissibilità. In caso contrario, potrebbero apparire radici estranee e l'intera soluzione sarà considerata errata.

Algoritmo per risolvere un'equazione razionale frazionaria:

Scrivi e "risolvi" l'ODZ.

Moltiplica ogni termine nell'equazione per un denominatore comune e riduci le frazioni risultanti. I denominatori scompariranno.

Scrivi l'equazione senza aprire le parentesi.

Risolvi l'equazione risultante.

Controlla le radici trovate con ODZ.

Scrivi in ​​risposta le radici che hanno superato il test nel passaggio 7.

Non memorizzare l'algoritmo, 3-5 equazioni risolte - e sarà ricordato da solo.

Esempio . Risolvi l'equazione razionale frazionaria \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Decisione:

Risposta: \(3\).

Esempio . Trova le radici dell'equazione razionale frazionaria \(=0\)

Decisione:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cpunto 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Scriviamo e "risolviamo" ODZ. Espandi \(x^2+7x+10\) nella formula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Fortunatamente \(x_1\) e \(x_2\) abbiamo già trovato.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ovviamente, il denominatore comune delle frazioni: \((x+2)(x+5)\). Moltiplichiamo l'intera equazione per essa.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Riduciamo le frazioni
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Apertura delle parentesi
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Diamo termini simili
\(2x^2+9x-5=0\)		Trovare le radici dell'equazione
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Una delle radici non rientra nell'ODZ, quindi in risposta scriviamo solo la seconda radice.

Risposta: \(\frac(1)(2)\).

Decisione equazioni razionali frazionarie

Guida di aiuto

Le equazioni razionali sono equazioni in cui si trovano entrambi i lati sinistro e destro espressioni razionali.

(Ricorda che le espressioni razionali sono interi e espressioni frazionarie senza radicali, comprese le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione - ad esempio: 6x; (m – n)2; x/3 anni ecc.)

Le equazioni frazionarie-razionali, di regola, sono ridotte alla forma:

In cui si P(X) e Q(X) sono polinomi.

Per risolvere tali equazioni, moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per Q(x), che può portare alla comparsa di radici estranee. Pertanto, quando si risolvono equazioni razionali frazionarie, è necessario verificare le radici trovate.

Un'equazione razionale è chiamata intera, o algebrica, se non ha una divisione per un'espressione contenente una variabile.

Esempi di un'intera equazione razionale:

5x - 10 = 3(10 -x)

3x
-=2x-10
4

Se in un'equazione razionale c'è una divisione per un'espressione contenente la variabile (x), allora l'equazione è chiamata razionale frazionario.

Un esempio di equazione razionale frazionaria:

15
x + - = 5x - 17
X

Le equazioni razionali frazionarie sono generalmente risolte come segue:

1) trova un denominatore comune di frazioni e moltiplica entrambe le parti dell'equazione per esso;

2) risolvere l'intera equazione risultante;

3) escludere dalle sue radici quelle che portano a zero il denominatore comune delle frazioni.

Esempi di risoluzione di equazioni razionali intere e frazionarie.

Esempio 1. Risolvi l'intera equazione

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Decisione:

Trovare il minimo comune denominatore. Questo è 6. Dividi 6 per il denominatore e moltiplica il risultato per il numeratore di ciascuna frazione. Otteniamo un'equazione equivalente a questa:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Dal momento che i lati sinistro e destro stesso denominatore, può essere omesso. Allora abbiamo un'equazione più semplice:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Lo risolviamo aprendo parentesi e riducendo termini simili:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Esempio risolto.

Esempio 2. Risolvi un'equazione razionale frazionaria

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Troviamo un denominatore comune. Questo è x(x - 5). Così:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Ora eliminiamo di nuovo il denominatore, poiché è lo stesso per tutte le espressioni. Riduciamo i termini simili, uguagliamo l'equazione a zero e otteniamo equazione quadrata:

x 2 - 3 x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3 x - 10 = 0.

Dopo aver risolto l'equazione quadratica, troviamo le sue radici: -2 e 5.

Verifichiamo se questi numeri sono le radici dell'equazione originale.

Per x = –2, il denominatore comune x(x – 5) non svanisce. Quindi -2 è la radice dell'equazione originale.

A x = 5, il denominatore comune svanisce e due delle tre espressioni perdono il loro significato. Quindi il numero 5 non è la radice dell'equazione originale.

Risposta: x = -2

Altri esempi

Esempio 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

Risposta: -2.2; 6.

Esempio 2

T. Kosyakova,
scuola N№ 80, Krasnodar

Soluzione di equazioni quadratiche e frazionarie-razionali contenenti parametri

Lezione 4

Argomento della lezione:

Lo scopo della lezione: per formare la capacità di risolvere equazioni frazionarie-razionali contenenti parametri.

Tipo di lezione: introduzione di nuovo materiale.

1. (Orale.) Risolvi le equazioni:

Esempio 1. Risolvi l'equazione

Decisione.

Trova valori non validi un:

Risposta. Se un Se un = – 19 , allora non ci sono radici.

Esempio 2. Risolvi l'equazione

Decisione.

Trova valori di parametro non validi un :

10 – un = 5, un = 5;

10 – un = un, un = 5.

Risposta. Se un un = 5 un № 5 , poi x=10– un .

Esempio 3. A quali valori del parametro b l'equazione Esso ha:

a) due radici b) l'unica radice?

Decisione.

1) Trova valori di parametro non validi b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 o b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 o b = – 2.

2) Risolvi l'equazione x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

un)

Esclusi valori di parametro non validi b , otteniamo che l'equazione ha due radici, se b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ma questo è un valore di parametro non valido b ; Se b 2 –1=0 , cioè. b=1 o.

Risposta: a) se b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , poi due radici; b) se b=1 o b=-1 , quindi l'unica radice.

Lavoro indipendente

opzione 1

Risolvi le equazioni:

opzione 2

Risolvi le equazioni:

Risposte

IN 1. e se un=3 , allora non ci sono radici; Se b) se se un № 2 , allora non ci sono radici.

IN 2. Se un un=2 , allora non ci sono radici; Se un=0 , allora non ci sono radici; Se
b) se un=– 1 , allora l'equazione perde il suo significato; se poi non ci sono radici;
Se

Compito a casa.

Risolvi le equazioni:

Risposte: a) Se un № –2 , poi x= un ; Se un=–2 , allora non ci sono soluzioni; b) se un № –2 , poi x=2; Se un=–2 , allora non ci sono soluzioni; c) se un=–2 , poi X- qualsiasi numero diverso da 3 ; Se un № –2 , poi x=2; d) se un=–8 , allora non ci sono radici; Se un=2 , allora non ci sono radici; Se

Lezione 5

Argomento della lezione:"Soluzione di equazioni frazionarie-razionali contenenti parametri".

Obiettivi della lezione:

imparare a risolvere equazioni con una condizione non standard;
assimilazione consapevole da parte degli studenti di concetti algebrici e relazioni tra di loro.

Tipo di lezione: sistematizzazione e generalizzazione.

Controllo dei compiti.

Esempio 1. Risolvi l'equazione

a) rispetto a x; b) rispetto a y.

Decisione.

a) Trova valori non validi y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– valore parametro non valido y.

Se un y№ 0 , poi x=y-2; Se y=0, allora l'equazione perde il suo significato.

b) Trova valori di parametro non validi X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valore parametro non valido X; y(2+x-y)=0, y=0 o y=2+x;

y=0 non soddisfa la condizione y(y–x)№ 0 .

Risposta: a) se y=0, allora l'equazione perde il suo significato; Se y№ 0 , poi x=y-2; b) se x=0 X№ 0 , poi y=2+x .

Esempio 2. Per quali valori interi del parametro a sono le radici dell'equazione appartengono all'intervallo

D = (3 un + 2) 2 – 4un(un+ 1) 2 = 9 un 2 + 12un + 4 – 8un 2 – 8un,

D = ( un + 2) 2 .

Se un un № 0 o un № – 1 , poi

Risposta: 5 .

Esempio 3. Trova relativamente X soluzioni intere dell'equazione

Risposta. Se un y=0, allora l'equazione non ha senso; Se y=–1, poi X- qualsiasi numero intero diverso da zero; Se y# 0, y# – 1, allora non ci sono soluzioni.

Esempio 4 Risolvi l'equazione con parametri un e b .

Se un un№ - b , poi

Risposta. Se un a= 0 o b= 0 , allora l'equazione perde il suo significato; Se un№ 0,b№ 0, a=-b , poi X- qualsiasi numero diverso da zero; Se un№ 0,b№ 0,a№ -b poi x=-a, x=-b .

Esempio 5. Dimostrare che per qualsiasi valore diverso da zero del parametro n, l'equazione ha una sola radice uguale a - n .

Decisione.

cioè. x=-n, che doveva essere dimostrato.

Compito a casa.

1. Trova intere soluzioni dell'equazione

2. A quali valori del parametro c l'equazione Esso ha:
a) due radici b) l'unica radice?

3. Trova tutte le radici intere dell'equazione Se un o N .

4. Risolvi l'equazione 3x - 5x + 5x = 7: un relativamente y; b) relativamente X .

1. L'equazione è soddisfatta da qualsiasi valore intero uguale di xey diverso da zero.
2. a) Quando
b) in o
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Se poi non ci sono radici; Se
b) se poi non ci sono radici; Se

Test

opzione 1

1. Determinare il tipo di equazione 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 a: a) c=-3; b) c=2 ; in) c=4 .

2. Risolvi le equazioni: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; in)

3. Risolvi l'equazione 3x-xy-2y=1:

un relativamente X ;
b) relativamente y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, sapendo che il parametro n accetta solo valori interi.

5. Per quali valori di b fa l'equazione Esso ha:

a) due radici
b) l'unica radice?

opzione 2

1. Determinare il tipo di equazione 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 a: a) c=-4 ; b) c=7 ; in) c=1 .

2. Risolvi le equazioni: a) y 2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; in)

3. Risolvi l'equazione 6x-xy+2y=5:

un relativamente X ;
b) relativamente y .

4. Trova le radici intere dell'equazione nx 2 -22x+2n=0 , sapendo che il parametro n accetta solo valori interi.

5. Per quali valori del parametro è l'equazione Esso ha:

a) due radici
b) l'unica radice?

Risposte

IN 1. 1. a) Equazione lineare;
b) equazione quadratica incompleta; c) un'equazione quadratica.
2. a) Se b=0, poi x=0; Se b#0, poi x=0, x=b;
b) Se cО (9;+Ґ ), allora non ci sono radici;
c) se un=–4 , allora l'equazione perde il suo significato; Se un№ –4 , poi x=- un .
3. a) Se y=3, allora non ci sono radici; Se);
b) un=–3, un=1.

Compiti aggiuntivi

Risolvi le equazioni:

Letteratura

1. Golubev VI, Goldman AM, Dorofeev G.V. Informazioni sui parametri fin dall'inizio. - Tutor, n. 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein PI, Polonsky V.B., Yakir MS Le condizioni necessarie nelle attività con parametri. – Kvant, n. 11/1991, pag. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Risoluzione dei problemi, contenente parametri. Parte 2. - M., Prospettiva, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin SA Cinquecentoquattordici compiti con parametri. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Compiti con parametri. - M., Istruzione, 1986.

In questo articolo te lo mostro algoritmi per la risoluzione di sette tipi di equazioni razionali, che si riducono a quadrati per mezzo di un cambio di variabili. Nella maggior parte dei casi, le trasformazioni che portano alla sostituzione non sono molto banali ed è abbastanza difficile indovinarle da soli.

Per ogni tipo di equazione, spiegherò come apportare una modifica variabile in essa, quindi mostrerò una soluzione dettagliata nel video tutorial corrispondente.

Hai l'opportunità di continuare a risolvere le equazioni da solo, quindi controlla la tua soluzione con il video tutorial.

Quindi, iniziamo.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Si noti che il prodotto di quattro parentesi si trova sul lato sinistro dell'equazione e il numero è sul lato destro.

1. Raggruppiamo le parentesi per due in modo che la somma dei termini liberi sia la stessa.

2. Moltiplicali.

3. Introduciamo un cambio di variabile.

Nella nostra equazione, raggruppiamo la prima parentesi con la terza e la seconda con la quarta, poiché (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

A questo punto, la variazione della variabile diventa evidente:

Otteniamo l'equazione

Risposta:

2 .

Un'equazione di questo tipo è simile alla precedente con una differenza: sul lato destro dell'equazione c'è il prodotto di un numero per. E si risolve in un modo completamente diverso:

1. Raggruppiamo le parentesi per due in modo che il prodotto dei termini liberi sia lo stesso.

2. Moltiplichiamo ogni coppia di parentesi.

3. Da ogni fattore, prendiamo x dalla parentesi.

4. Dividi entrambi i membri dell'equazione per .

5. Introduciamo un cambio di variabile.

In questa equazione, raggruppiamo la prima parentesi con la quarta e la seconda con la terza, poiché:

Si noti che in ciascuna parentesi il coefficiente at e il termine libero sono gli stessi. Rimuoviamo il moltiplicatore da ciascuna parentesi:

Poiché x=0 non è la radice dell'equazione originale, dividiamo entrambi i membri dell'equazione per . Noi abbiamo:

Otteniamo l'equazione:

Risposta:

3 .

Si noti che contengono i denominatori di entrambe le frazioni trinomi quadrati, il cui coefficiente direttivo e termine libero sono gli stessi. Togliamo, come nell'equazione del secondo tipo, x dalla parentesi. Noi abbiamo:

Dividi il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione per x:

Ora possiamo introdurre un cambio di variabile:

Otteniamo l'equazione per la variabile t:

4 .

Si noti che i coefficienti dell'equazione sono simmetrici rispetto a quello centrale. Tale equazione è chiamata restituibile .

Per risolverlo

1. Dividi entrambi i lati dell'equazione per (Possiamo farlo poiché x=0 non è la radice dell'equazione.) Otteniamo:

2. Raggruppa i termini in questo modo:

3. In ogni gruppo, eliminiamo il fattore comune:

4. Introduciamo un sostituto:

5. Esprimiamo l'espressione in termini di t:

Da qui

Otteniamo l'equazione per t:

Risposta:

5. Equazioni omogenee.

Equazioni che hanno la struttura di una omogenea si possono incontrare quando si risolvono esponenziali, logaritmiche e equazioni trigonometriche, quindi deve essere riconosciuto.

Le equazioni omogenee hanno la seguente struttura:

In questa uguaglianza, A, B e C sono numeri e le stesse espressioni sono indicate da un quadrato e un cerchio. Cioè, sul lato sinistro dell'equazione omogenea c'è la somma dei monomi che hanno lo stesso grado (in questo caso, il grado dei monomi è 2) e non esiste un termine libero.

Per risolvere l'equazione omogenea, dividiamo entrambi i membri per

Attenzione! Quando dividi i lati destro e sinistro dell'equazione per un'espressione contenente un'incognita, puoi perdere le radici. Pertanto, è necessario verificare se le radici dell'espressione per cui dividiamo entrambe le parti dell'equazione sono le radici dell'equazione originale.

Andiamo nel primo modo. Otteniamo l'equazione:

Ora introduciamo una sostituzione di variabile:

Semplifica l'espressione e ottieni un'equazione biquadratica per t:

Risposta: o

7 .

Questa equazione ha la seguente struttura:

Per risolverlo, devi selezionare il quadrato completo sul lato sinistro dell'equazione.

Per selezionare un quadrato intero, è necessario sommare o sottrarre il prodotto doppio. Quindi otteniamo il quadrato della somma o della differenza. Questo è fondamentale per una sostituzione di variabile di successo.

Iniziamo trovando il doppio prodotto. Sarà la chiave per sostituire la variabile. Nella nostra equazione, il doppio prodotto è

Ora scopriamo cosa è più conveniente per noi avere: il quadrato della somma o della differenza. Considera, per cominciare, la somma delle espressioni:

Bene! questa espressione è esattamente uguale al doppio del prodotto. Quindi, per ottenere il quadrato della somma tra parentesi, devi sommare e sottrarre il doppio prodotto:

Le equazioni con le frazioni stesse non sono difficili e molto interessanti. Considera i tipi equazioni frazionarie e modi per risolverli.

Come risolvere equazioni con frazioni - x al numeratore

Se viene data un'equazione frazionaria, dove l'incognita è al numeratore, la soluzione non richiede condizioni aggiuntive e viene risolta senza fastidio in più. Forma generale tale equazione è x/a + b = c, dove x è un'incognita, a, b e c sono numeri ordinari.

Trova x: x/5 + 10 = 70.

Per risolvere l'equazione, devi eliminare le frazioni. Moltiplica ogni termine dell'equazione per 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x e 5 vengono ridotti, 10 e 70 vengono moltiplicati per 5 e otteniamo: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Trova x: x/5 + x/10 = 90.

Questo esempio è una versione leggermente più complicata del primo. Ci sono due soluzioni qui.

• Opzione 1: sbarazzarsi delle frazioni moltiplicando tutti i termini dell'equazione per il denominatore maggiore, cioè per 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Opzione 2: aggiungi il lato sinistro dell'equazione. x/5 + x/10 = 90. Il denominatore comune è 10. Dividi 10 per 5, moltiplica per x, otteniamo 2x. 10 diviso per 10, moltiplicato per x, otteniamo x: 2x+x/10 = 90. Quindi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Spesso ci sono equazioni frazionarie in cui x sono sui lati opposti del segno di uguale. In una tale situazione, è necessario trasferire tutte le frazioni con x in una direzione e i numeri in un'altra.

• Trova x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Sposta 2x/5 a destra con il segno opposto: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Riduciamo 5x/5 e otteniamo: x = 130.

Come risolvere un'equazione con frazioni - x al denominatore

Questo tipo di equazioni frazionarie richiede la scrittura di condizioni aggiuntive. L'indicazione delle presenti condizioni è parte obbligatoria ed integrante giusta decisione. Non attribuendoli, corri il rischio, poiché la risposta (anche se corretta) potrebbe semplicemente non essere contata.

La forma generale delle equazioni frazionarie, dove x è al denominatore, è: a/x + b = c, dove x è un'incognita, a, b, c sono numeri ordinari. Nota che x potrebbe non essere un numero qualsiasi. Ad esempio, x non può essere zero, poiché non puoi dividere per 0. Questo è ciò che è condizione aggiuntiva, che dobbiamo specificare. Questo è chiamato intervallo di valori accettabili, abbreviato - ODZ.

Trova x: 15/x + 18 = 21.

Scriviamo subito la ODZ per x: x ≠ 0. Ora che la ODZ è indicata, risolviamo l'equazione usando schema standard sbarazzarsi delle frazioni. Moltiplichiamo tutti i termini dell'equazione per x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Spesso ci sono equazioni in cui il denominatore contiene non solo x, ma anche qualche altra operazione con esso, ad esempio addizione o sottrazione.

Trova x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Sappiamo già che il denominatore non può essere uguale a zero, il che significa x-3 ≠ 0. Trasferiamo -3 sul lato destro, cambiando il segno "-" in "+" e otteniamo che x ≠ 3. ODZ è indicato.

Risolvi l'equazione, moltiplica tutto per x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Sposta le x a destra, i numeri a sinistra: 24 = 3x => x = 8.