Kuliah mekanika teori 2 mata kuliah. Mekanika Dasar untuk Dummies

Sebagai bagian dari kurikulum apapun, studi fisika dimulai dengan mekanika. Bukan dari teori, bukan dari aplikasi dan bukan komputasi, tapi dari mekanika klasik tua yang baik. Mekanika ini disebut juga mekanika Newtonian. Menurut legenda, seorang ilmuwan sedang berjalan di taman, melihat apel jatuh, dan fenomena inilah yang mendorongnya untuk menemukan hukum. gravitasi. Tentu saja, hukum selalu ada, dan Newton hanya memberikannya bentuk yang dapat dipahami orang, tetapi jasanya tak ternilai harganya. Dalam artikel ini, kami tidak akan menjelaskan hukum mekanika Newton sedetail mungkin, tetapi kami akan menguraikan dasar-dasar, pengetahuan dasar, definisi, dan formula yang selalu dapat Anda mainkan.

Mekanika adalah cabang fisika, ilmu yang mempelajari pergerakan benda material dan interaksi di antara mereka.

Kata itu sendiri memiliki asal Yunani dan diterjemahkan sebagai "seni membangun mesin". Tetapi sebelum membuat mesin, perjalanan kita masih panjang, jadi mari kita ikuti jejak nenek moyang kita, dan kita akan mempelajari pergerakan batu yang dilemparkan dengan sudut ke cakrawala, dan apel jatuh di atas kepala dari ketinggian h.

Mengapa studi fisika dimulai dengan mekanika? Karena itu benar-benar alami, bukan untuk memulainya dari kesetimbangan termodinamika?!

Mekanika adalah salah satu ilmu tertua, dan secara historis studi fisika dimulai tepat dengan dasar-dasar mekanika. Ditempatkan dalam kerangka waktu dan ruang, orang, pada kenyataannya, tidak dapat memulai dari sesuatu yang lain, tidak peduli seberapa besar keinginan mereka. Tubuh yang bergerak adalah hal pertama yang kita perhatikan.

Apa itu gerakan?

Gerak mekanis adalah perubahan posisi benda dalam ruang relatif terhadap satu sama lain dari waktu ke waktu.

Setelah definisi ini, kita secara alami sampai pada konsep kerangka acuan. Mengubah posisi tubuh dalam ruang relatif satu sama lain. Kata kunci di sini: relatif satu sama lain . Lagi pula, seorang penumpang di dalam mobil bergerak relatif terhadap seseorang yang berdiri di sisi jalan dengan kecepatan tertentu, dan beristirahat relatif terhadap tetangganya di kursi di dekatnya, dan bergerak dengan kecepatan lain relatif terhadap seorang penumpang di dalam mobil yang menyusul mereka.

Itu sebabnya, untuk mengukur parameter benda bergerak secara normal dan tidak bingung, kita perlu sistem referensi - badan referensi yang saling berhubungan secara kaku, sistem koordinat, dan jam. Misalnya, bumi bergerak mengelilingi matahari dalam kerangka acuan heliosentris. Dalam kehidupan sehari-hari, kami melakukan hampir semua pengukuran kami dalam sistem referensi geosentris yang terkait dengan Bumi. Bumi adalah tubuh referensi yang relatif terhadap mana mobil, pesawat, manusia, hewan bergerak.

Mekanika sebagai ilmu memiliki tugas tersendiri. Tugas mekanik adalah mengetahui posisi tubuh di ruang setiap saat. Dengan kata lain, mekanika membangun deskripsi matematis tentang gerak dan menemukan hubungan antara besaran fisika mencirikannya.

Untuk melangkah lebih jauh, kita membutuhkan gagasan tentang “ poin materi ". Mereka mengatakan bahwa fisika adalah ilmu pasti, tetapi fisikawan tahu berapa banyak perkiraan dan asumsi yang harus dibuat untuk menyepakati keakuratan ini. Tidak ada yang pernah melihat titik material atau mengendus gas ideal, tetapi mereka memang ada! Mereka jauh lebih mudah untuk hidup bersama.

Titik material adalah benda yang ukuran dan bentuknya dapat diabaikan dalam konteks masalah ini.

Bagian dari mekanika klasik

Mekanika terdiri dari beberapa bagian

Kinematika
Dinamika
Statika

Kinematika dari sudut pandang fisik, mempelajari dengan tepat bagaimana tubuh bergerak. Dengan kata lain, bagian ini membahas karakteristik kuantitatif gerakan. Temukan kecepatan, jalur - tugas khas kinematika

Dinamika memecahkan pertanyaan mengapa ia bergerak seperti itu. Artinya, ia mempertimbangkan gaya yang bekerja pada tubuh.

Statika mempelajari keseimbangan benda di bawah aksi gaya, yaitu menjawab pertanyaan: mengapa tidak jatuh sama sekali?

Batas penerapan mekanika klasik.

Mekanika klasik tidak lagi mengklaim sebagai ilmu yang menjelaskan segalanya (pada awal abad terakhir, semuanya benar-benar berbeda), dan memiliki ruang lingkup penerapan yang jelas. Secara umum, hukum-hukum mekanika klasik berlaku untuk dunia yang kita kenal dalam hal ukuran (macroworld). Mereka berhenti bekerja dalam kasus dunia partikel, ketika yang klasik digantikan oleh mekanika kuantum. Juga, mekanika klasik tidak dapat diterapkan untuk kasus-kasus di mana pergerakan benda terjadi pada kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya. Dalam kasus seperti itu, efek relativistik menjadi nyata. Secara kasar, dalam kerangka mekanika kuantum dan relativistik - mekanika klasik, ini kasus spesial ketika dimensi tubuh besar dan kecepatannya kecil. Anda dapat mempelajarinya lebih lanjut dari artikel kami.

Secara umum, efek kuantum dan relativistik tidak pernah hilang, mereka juga terjadi selama gerakan biasa benda makroskopik dengan kecepatan yang jauh lebih rendah daripada kecepatan cahaya. Hal lain adalah bahwa aksi dari efek ini sangat kecil sehingga tidak melampaui sebagian besar pengukuran yang akurat. Mekanika klasik dengan demikian tidak akan pernah kehilangan kepentingan fundamentalnya.

Kami akan terus mempelajari dasar-dasar fisik mekanik di artikel mendatang. Untuk pemahaman yang lebih baik tentang mekanika, Anda selalu dapat beralih ke, yang secara individual menjelaskan titik gelap tugas yang paling sulit.

1 slide

Kursus kuliah tentang mekanika teoretis Dinamika (bagian I) Bondarenko A.N. Moskow - 2007 Kursus pelatihan elektronik ditulis berdasarkan kuliah yang diberikan oleh penulis untuk siswa yang belajar di spesialisasi SZhD, PGS dan SDM di NIIZhT dan MIIT (1974-2006). bahan pendidikan sesuai dengan rencana kalender dalam jumlah tiga semester. Untuk sepenuhnya menerapkan efek animasi selama presentasi, Anda harus menggunakan penampil Power Point tidak lebih rendah dari Microsoft Office bawaan sistem operasi Windows XP Profesional. Kritik dan saran dapat dikirim melalui email: [dilindungi email]. Moskow Universitas Negeri Kereta Api (MIIT) Departemen Mekanika Teoritis Pusat Ilmiah dan Teknis Teknologi Transportasi

2 slide

Isi Kuliah 1. Pengantar Dinamika. Hukum dan aksioma dinamika titik material. Persamaan dasar dinamika. Diferensial dan persamaan gerak alami. Dua tugas utama dinamika. Contoh Penyelesaian Masalah Langsung Dinamika Kuliah 2. Memecahkan masalah invers dinamika. Petunjuk umum untuk memecahkan masalah kebalikan dari dinamika. Contoh penyelesaian masalah invers dinamika. Gerakan benda yang dilemparkan dengan sudut ke cakrawala, tanpa memperhitungkan hambatan udara. Kuliah 3. Osilasi bujursangkar dari suatu titik material. Syarat terjadinya osilasi. Klasifikasi getaran. Getaran bebas tanpa memperhitungkan kekuatan hambatan. getaran teredam. Penurunan osilasi. Kuliah 4. Getaran paksa dari suatu titik material. Resonansi. Pengaruh resistensi terhadap gerakan selama getaran paksa. Kuliah 5. Gerak relatif suatu titik material. Kekuatan inersia. Kasus gerakan khusus untuk berbagai jenis gerakan portabel. Pengaruh rotasi bumi terhadap keseimbangan dan gerak benda. Kuliah 6. Dinamika sistem mekanik. sistem mekanis. Eksternal dan kekuatan internal. Pusat massa sistem. Teorema tentang gerak pusat massa. hukum konservasi. Contoh penyelesaian masalah penggunaan teorema pada pergerakan pusat massa. Kuliah 7. Impuls kekuatan. Jumlah gerakan. Teorema tentang perubahan momentum. hukum konservasi. teorema Euler. Contoh penyelesaian masalah penggunaan teorema perubahan momentum. momen momentum. Teorema Perubahan Momentum Sudut Kuliah 8. Hukum kekekalan. Elemen teori momen inersia. Momen kinetik benda tegar. Persamaan diferensial rotasi benda tegar. Contoh penyelesaian masalah penggunaan teorema tentang perubahan momentum sudut sistem. Teori dasar giroskop. Literatur yang direkomendasikan 1. Yablonsky A.A. Mata kuliah mekanika teori. Bagian 2. M.: lulusan sekolah. 1977. 368 hal. 2. Meshchersky I.V. Kumpulan masalah dalam mekanika teoretis. M.: Ilmu. 1986 416 hal. 3. Kumpulan tugas untuk makalah/ Ed. A A. Yablonsky. M.: Sekolah tinggi. 1985. 366 hal. 4. Bondarenko A.N. “ Mekanika teoretis dalam contoh dan tugas. Dinamika” (manual elektronik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 slide

Kuliah 1 Dinamika adalah bagian dari mekanika teoretis yang mempelajari gerak mekanik dari sudut pandang yang paling umum. Gerakan dianggap sehubungan dengan gaya yang bekerja pada objek. Bagian ini terdiri dari tiga bagian: Dinamika titik material Dinamika sistem mekanik Mekanika analitik Dinamika titik - mempelajari pergerakan titik material, dengan mempertimbangkan gaya yang menyebabkan gerakan ini. Objek utama adalah titik material - benda material dengan massa, yang dimensinya dapat diabaikan. Asumsi dasar: - ada ruang absolut (memiliki sifat geometris murni yang tidak bergantung pada materi dan pergerakannya. - ada waktu absolut (tidak bergantung pada materi dan pergerakannya). Diikuti dari ini: - ada kerangka acuan yang benar-benar tidak bergerak. - waktu tidak bergantung pada gerak kerangka acuan. - massa titik-titik yang bergerak tidak bergantung pada gerak kerangka acuan. Asumsi ini digunakan dalam mekanika klasik yang dibuat oleh Galileo dan Newton Ini masih memiliki ruang lingkup yang cukup luas, karena sistem mekanis yang dipertimbangkan dalam ilmu terapan tidak memiliki massa dan kecepatan gerak yang begitu besar, sehingga perlu memperhitungkan pengaruhnya terhadap geometri ruang, waktu, gerak, seperti dilakukan dalam mekanika relativistik (teori relativitas) Hukum dasar dinamika - pertama kali ditemukan oleh Galileo dan dirumuskan oleh Newton membentuk dasar dari semua metode untuk menggambarkan dan menganalisis gerak sistem mekanik dan interaksi dinamisnya tindakan di bawah pengaruh berbagai kekuatan. Hukum inersia (hukum Galileo-Newton) - Titik material yang terisolasi dari suatu benda mempertahankan keadaan diam atau gerak lurus seragam sampai gaya yang diterapkan memaksanya untuk mengubah keadaan ini. Ini menyiratkan kesetaraan keadaan diam dan gerak dengan inersia (hukum relativitas Galileo). Kerangka acuan, yang dengannya hukum inersia terpenuhi, disebut inersia. Sifat suatu titik material untuk berusaha mempertahankan kecepatan gerakannya (keadaan kinematiknya) tidak berubah disebut inersia. Hukum proporsionalitas gaya dan percepatan (Persamaan dasar dinamika - hukum II Newton) - Percepatan yang diberikan ke suatu titik material oleh gaya berbanding lurus dengan gaya dan berbanding terbalik dengan massa titik ini: atau Di sini m adalah massa titik (ukuran inersia), diukur dalam kg, secara numerik sama dengan berat dibagi dengan percepatan jatuh bebas: F adalah gaya kerja, diukur dalam N (1 N memberikan titik dengan massa 1 kg percepatan 1 m / s2, 1 N \u003d 1 / 9,81 kg-s). Dinamika sistem mekanis - mempelajari pergerakan sekumpulan titik material dan benda padat, disatukan oleh hukum interaksi umum, dengan mempertimbangkan gaya yang menyebabkan gerakan ini. Mekanika analitik - mempelajari gerak sistem mekanis tidak bebas menggunakan metode analitik umum. satu

4 slide

Kuliah 1 (lanjutan - 1.2) Persamaan diferensial gerak suatu titik material: - persamaan diferensial gerak suatu titik dalam bentuk vektor. - persamaan diferensial gerak suatu titik di bentuk koordinat. Hasil ini dapat diperoleh dengan proyeksi formal persamaan diferensial vektor (1). Setelah pengelompokan, hubungan vektor didekomposisi menjadi tiga persamaan skalar: Dalam bentuk koordinat: Kami menggunakan hubungan jari-jari-vektor dengan koordinat dan vektor gaya dengan proyeksi: persamaan diferensial gerak pada sumbu koordinat alami (bergerak): atau: - persamaan gerak alami suatu titik. Persamaan dasar dinamika: - sesuai dengan cara vektor untuk menentukan pergerakan suatu titik. Hukum independensi aksi gaya - Percepatan suatu titik material di bawah aksi beberapa gaya sama dengan jumlah geometris percepatan suatu titik dari aksi masing-masing gaya secara terpisah: atau Hukum ini valid untuk setiap keadaan kinematik benda. Kekuatan interaksi, yang diterapkan pada titik (benda) yang berbeda tidak seimbang. Hukum persamaan aksi dan reaksi (hukum III Newton) - Setiap aksi sesuai dengan reaksi yang sama dan berlawanan arah: 2

5 slide

Dua masalah utama dinamika: 1. Masalah langsung: Gerak diberikan (persamaan gerak, lintasan). Hal ini diperlukan untuk menentukan kekuatan di bawah aksi yang gerakan tertentu terjadi. 2. Masalah terbalik: Gaya-gaya di bawah aksi yang menyebabkan gerakan itu terjadi. Diperlukan untuk menemukan parameter gerak (persamaan gerak, lintasan gerak). Kedua masalah diselesaikan dengan menggunakan persamaan dasar dinamika dan proyeksinya ke sumbu koordinat. Jika gerakan titik tidak bebas dipertimbangkan, maka, seperti dalam statika, prinsip pelepasan ikatan digunakan. Sebagai hasil dari reaksi, ikatan termasuk dalam komposisi gaya yang bekerja pada titik material. Solusi dari masalah pertama dihubungkan dengan operasi diferensiasi. Solusi dari masalah invers memerlukan integrasi persamaan diferensial yang sesuai, dan ini jauh lebih sulit daripada diferensiasi. Masalah invers lebih sulit daripada masalah langsung. Penyelesaian masalah langsung dinamika - mari kita lihat contoh: Contoh 1. Sebuah kabin dengan berat G lift diangkat oleh kabel dengan percepatan a . Tentukan tegangan kabel. 1. Pilih objek (mobil lift bergerak maju dan dapat dianggap sebagai titik material). 2. Kita buang sambungan (kabel) dan ganti dengan reaksi R. 3. Susun persamaan dasar dinamika: Tentukan reaksi kabel: Tentukan tegangan kabel: Dengan gerakan taksi yang seragam ay = 0 dan tegangan kabel sama dengan berat: T = G. Ketika kabel putus T = 0 dan percepatan kabin sama dengan percepatan jatuh bebas: ay = -g. 3 4. Kami memproyeksikan persamaan dasar dinamika ke sumbu y: y Contoh 2. Sebuah titik bermassa m bergerak sepanjang permukaan horizontal (bidang Oxy) sesuai dengan persamaan: x = a coskt, y = b coskt. Tentukan gaya yang bekerja pada titik tersebut. 1. Pilih objek (titik material). 2. Kita buang hubungan (bidang) dan ganti dengan reaksi N. 3. Tambahkan gaya yang tidak diketahui F ke sistem gaya 4. Susun persamaan dasar dinamika: 5. Proyeksikan persamaan dasar dinamika ke sumbu x,y: Menentukan proyeksi gaya: Modulus gaya: Arah cosinus: Dengan demikian, besar gaya sebanding dengan jarak titik ke pusat koordinat dan diarahkan ke pusat sepanjang garis yang menghubungkan titik ke pusat. Lintasan pergerakan titik berbentuk elips yang berpusat di titik asal: O r Kuliah 1 (lanjutan - 1.3)

6 slide

Kuliah 1 (lanjutan 1.4) Contoh 3: Sebuah beban seberat G digantungkan pada seutas kabel dengan panjang l dan bergerak sepanjang lintasan melingkar pada bidang horizontal dengan kecepatan tertentu. Sudut deviasi kabel dari vertikal sama dengan. Tentukan tegangan kabel dan kecepatan beban. 1. Pilih objek (kargo). 2. Buang sambungan (tali) dan ganti dengan reaksi R. 3. Susun persamaan utama dinamika: Dari persamaan ketiga, tentukan reaksi kabel: Tentukan tegangan kabel: Substitusikan nilai reaksi dari kabel, percepatan normal ke dalam persamaan kedua dan tentukan kecepatan beban: 4. Proyeksikan persamaan utama dinamika sumbu,n,b: Contoh 4: Sebuah mobil berbobot G bergerak pada jembatan cembung (jari-jari kelengkungan adalah R ) dengan kecepatan V. Tentukan tekanan mobil di jembatan. 1. Kami memilih objek (mobil, kami mengabaikan dimensi dan menganggapnya sebagai titik). 2. Kami membuang sambungan (permukaan kasar) dan menggantinya dengan reaksi N dan gaya gesekan Ffr. 3. Kami menyusun persamaan dasar dinamika: 4. Kami memproyeksikan persamaan dasar dinamika ke sumbu n: Dari sini kami menentukan reaksi normal: Kami menentukan tekanan mobil di jembatan: Dari sini kami dapat menentukan kecepatan sesuai dengan tekanan nol pada jembatan (Q = 0): 4

7 slide

Kuliah 2 Setelah mengganti nilai konstanta yang ditemukan, kami memperoleh: Jadi, di bawah aksi sistem gaya yang sama, titik material dapat melakukan seluruh kelas gerakan yang ditentukan oleh kondisi awal. Koordinat awal memperhitungkan posisi awal titik. Kecepatan awal, yang diberikan oleh proyeksi, memperhitungkan pengaruh pergerakannya di sepanjang bagian yang dipertimbangkan dari lintasan gaya yang bekerja pada titik sebelum tiba di bagian ini, yaitu. keadaan kinematik awal. Penyelesaian masalah kebalikan dinamika - Dalam kasus umum pergerakan suatu titik, gaya yang bekerja pada titik tersebut adalah variabel yang bergantung pada waktu, koordinat, dan kecepatan. Gerak suatu titik digambarkan oleh sistem tiga persamaan diferensial orde dua: Setelah mengintegrasikan masing-masing, akan ada enam konstanta C1, C2,…., C6: Nilai konstanta C1, C2,… ., C6 ditemukan dari enam kondisi awal pada t = 0: Contoh 1 dari solusi masalah kebalikan: Sebuah titik material bebas bermassa m bergerak di bawah aksi gaya F, yang besarnya dan besarnya konstan. . Pada saat awal, kecepatan titik adalah v0 dan bertepatan dengan arah gaya. Tentukan persamaan gerak suatu titik. 1. Kami menyusun persamaan dasar dinamika: 3. Kami menurunkan urutan turunan: 2. Kami memilih sistem referensi Cartesian, mengarahkan sumbu x sepanjang arah gaya dan memproyeksikan persamaan utama dinamika ke sumbu ini: atau x y z 4. Pisahkan variabel: 5. Hitung integral dari kedua bagian persamaan : 6. Mari kita nyatakan proyeksi kecepatan sebagai turunan dari koordinat terhadap waktu: 8. Hitung integral dari kedua bagian persamaan: 7. Pisahkan variabel: 9. Untuk menentukan nilai konstanta C1 dan C2, kita menggunakan kondisi awal t = 0, vx = v0 , x = x0: Hasilnya, kita mendapatkan persamaan gerakan seragam(sumbu x): 5

8 slide

Instruksi umum untuk memecahkan masalah langsung dan terbalik. Prosedur penyelesaian: 1. Penyusunan persamaan diferensial gerak: 1.1. Pilih sistem koordinat - persegi panjang (tetap) dengan lintasan gerakan yang tidak diketahui, alami (bergerak) dengan lintasan yang diketahui, misalnya lingkaran atau garis lurus. Dalam kasus terakhir, satu koordinat bujursangkar dapat digunakan. Titik referensi harus digabungkan dengan posisi awal titik (pada t = 0) atau dengan posisi kesetimbangan titik, jika ada, misalnya saat titik berfluktuasi. 6 1.2. Gambarlah sebuah titik pada posisi yang bersesuaian dengan momen sembarang dalam waktu (untuk t > 0) sehingga koordinatnya positif (s > 0, x > 0). Kami juga berasumsi bahwa proyeksi kecepatan pada posisi ini juga positif. Dalam kasus osilasi, proyeksi kecepatan berubah tanda, misalnya, ketika kembali ke posisi setimbang. Di sini harus diasumsikan bahwa pada saat waktu yang dipertimbangkan titik bergerak menjauh dari posisi keseimbangan. Implementasi rekomendasi ini penting di masa depan ketika bekerja dengan kekuatan resistensi yang bergantung pada kecepatan. 1.3. Lepaskan titik material dari ikatan, ganti aksinya dengan reaksi, tambahkan gaya aktif. 1.4. Tuliskan hukum dasar dinamika dalam bentuk vektor, proyeksikan ke sumbu yang dipilih, nyatakan gaya yang diberikan atau reaktif dalam hal waktu, koordinat atau variabel kecepatan, jika bergantung padanya. 2. Penyelesaian persamaan diferensial: 2.1. Kurangi turunan jika persamaan tidak direduksi ke bentuk kanonik (standar). misalnya: atau 2.2. Variabel terpisah, misalnya: atau 2.4. Hitung integral tak tentu pada ruas kiri dan kanan persamaan, contoh: 2.3. Jika ada tiga variabel dalam persamaan, maka buatlah perubahan variabel, misalnya: lalu pisahkan variabel-variabelnya. Komentar. Daripada mengevaluasi integral tak tentu, kita dapat mengevaluasi integral tak tentu dengan batas atas variabel. Batas bawah mewakili nilai awal variabel (kondisi awal), maka tidak perlu mencari konstanta secara terpisah, yang secara otomatis termasuk dalam solusi, misalnya: Menggunakan kondisi awal, misalnya, t = 0 , vx = vx0, tentukan konstanta integrasi: 2.5. Nyatakan kecepatan dalam turunan waktu dari koordinat, misalnya, dan ulangi langkah 2.2 -2.4 Catatan. Jika persamaan direduksi menjadi bentuk kanonik, yang memiliki solusi standar, itu adalah solusi turnkey dan digunakan. Konstanta integrasi masih ditemukan dari kondisi awal. Lihat, misalnya, osilasi (ceramah 4, hal. 8). Kuliah 2 (lanjutan 2.2)

9 slide

Kuliah 2 (lanjutan 2.3) Contoh 2 penyelesaian soal invers: Gaya bergantung pada waktu. Sebuah beban dengan berat P mulai bergerak sepanjang permukaan horizontal licin di bawah aksi gaya F, yang besarnya sebanding dengan waktu (F = kt). Tentukan jarak yang ditempuh oleh beban dalam waktu t. 3. Susun persamaan dasar dinamika: 5. Kurangi orde turunan: 4. Proyeksikan persamaan dasar dinamika ke sumbu x: atau 7 6. Pisahkan variabel: 7. Hitung integral kedua bagian persamaan: 9. Nyatakan proyeksi kecepatan sebagai turunan dari koordinat terhadap waktu: 10. Hitung integral kedua bagian persamaan: 9. Pisahkan variabel: 8. Tentukan nilai konstanta C1 dari kondisi awal t = 0, vx = v0=0: Sebagai hasilnya, kami memperoleh persamaan gerak (sepanjang sumbu x), yang memberikan nilai jarak yang ditempuh untuk waktu t: 1. Kami memilih sistem referensi (Cartesian koordinat) sehingga benda memiliki koordinat positif: 2. Kita mengambil benda gerak sebagai titik material (benda bergerak maju), melepaskannya dari sambungan (bidang referensi) dan menggantinya dengan reaksi (reaksi normal a permukaan halus) : 11. Tentukan nilai konstanta C2 dari kondisi awal t = 0, x = x0=0: Contoh 3 penyelesaian soal invers: Gaya bergantung pada koordinat. Sebuah titik material bermassa m dilemparkan ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan v0. Gaya gravitasi bumi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak dari titik ke pusat gravitasi (pusat bumi). Tentukan ketergantungan kecepatan pada jarak y ke pusat bumi. 1. Kami memilih sistem referensi (koordinat Cartesius) sehingga benda memiliki koordinat positif: 2. Kami menyusun persamaan dasar dinamika: 3. Kami memproyeksikan persamaan dasar dinamika ke sumbu y: atau Koefisien proporsionalitas dapat dicari dengan menggunakan berat suatu titik di permukaan bumi: R Maka persamaan diferensialnya menjadi: atau 4. Turunkan orde turunannya: 5. Ubah peubahnya: 6. Pisahkan peubahnya: 7. Hitung integral dari kedua sisi persamaan: 8. Substitusikan batas-batasnya: Sebagai hasilnya, kami memperoleh ekspresi untuk kecepatan sebagai fungsi dari koordinat y: Tinggi maksimum penerbangan dapat ditemukan dengan menyamakan kecepatan dengan nol: Ketinggian terbang maksimum ketika penyebut berubah menjadi nol: Dari sini, ketika mengatur jari-jari Bumi dan percepatan jatuh bebas, kecepatan kosmik II diperoleh:

10 slide

Kuliah 2 (lanjutan 2.4) Contoh 2 untuk menyelesaikan soal invers: Gaya bergantung pada kecepatan. Sebuah kapal bermassa m memiliki kecepatan v0. Hambatan air terhadap pergerakan kapal sebanding dengan kecepatannya. Tentukan waktu yang diperlukan kapal untuk menurunkan kecepatannya menjadi setengahnya setelah mematikan mesin, serta jarak yang ditempuh kapal sampai berhenti total. 8 1. Kami memilih sistem referensi (koordinat Cartesius) sehingga tubuh memiliki koordinat positif: 2. Kami mengambil objek gerak sebagai titik material (kapal bergerak maju), membebaskannya dari ikatan (air) dan menggantinya dengan reaksi (gaya apung - gaya Archimedes), dan juga gaya perlawanan terhadap gerakan. 3. Tambahkan gaya aktif (gravitasi). 4. Kami menyusun persamaan utama dinamika: 5. Kami memproyeksikan persamaan utama dinamika ke sumbu x: atau 6. Kami menurunkan urutan turunan: 7. Kami memisahkan variabel: 8. Kami menghitung integral dari keduanya bagian dari persamaan: 9. Kami mengganti batas: Sebuah ekspresi diperoleh yang menghubungkan kecepatan dan waktu t, dari mana Anda dapat menentukan waktu gerakan: Waktu gerakan, di mana kecepatan akan turun setengah: Ini adalah menarik untuk dicatat bahwa ketika kecepatan mendekati nol, waktu gerakan cenderung tak terhingga, yaitu kecepatan akhir tidak boleh nol. Mengapa tidak "gerakan abadi"? Namun, dalam hal ini, jarak yang ditempuh ke perhentian adalah nilai yang terbatas. Untuk menentukan jarak yang ditempuh, kita beralih ke ekspresi yang diperoleh setelah menurunkan orde turunan dan membuat perubahan variabel: Setelah mengintegrasikan dan mensubstitusikan batas, kita memperoleh: Jarak yang ditempuh ke perhentian: Gerak sebuah titik yang dilemparkan pada sebuah sudut ke cakrawala dalam medan gravitasi seragam tanpa memperhitungkan hambatan udara Menghilangkan waktu dari persamaan gerak, kita memperoleh persamaan lintasan: Waktu penerbangan ditentukan dengan menyamakan koordinat y ke nol: Jangkauan penerbangan ditentukan dengan mengganti waktu penerbangan:

11 slide

Kuliah 3 Osilasi bujursangkar dari suatu titik material - Pergerakan osilasi suatu titik material terjadi dalam kondisi bahwa ada gaya pemulih yang cenderung mengembalikan titik ke posisi setimbang untuk setiap penyimpangan dari posisi ini. 9 Ada gaya pemulih, posisi setimbang stabil Tidak ada gaya pemulih, posisi setimbang tidak stabil Tidak ada gaya pemulih, posisi setimbang acuh tak acuh Itu selalu mengarah ke posisi setimbang, nilainya berbanding lurus dengan perpanjangan linier (pemendekan) pegas, sama dengan deviasi benda dari posisi setimbang: c adalah koefisien kekakuan pegas, secara numerik sama dalam kekuatan, di mana pegas mengubah panjangnya satu per satu, diukur dalam N / m dalam sistem SI. x y O Jenis getaran titik material: 1. Getaran bebas (tanpa memperhitungkan hambatan medium). 2. Osilasi bebas dengan memperhitungkan hambatan medium (osilasi teredam). 3. Getaran paksa. 4. Osilasi paksa dengan mempertimbangkan hambatan medium. Osilasi bebas - terjadi hanya di bawah aksi gaya pemulih. Mari kita tuliskan hukum dasar dinamika: Mari kita pilih sistem koordinat yang berpusat pada posisi kesetimbangan (titik O) dan proyeksikan persamaan ke sumbu x: Mari kita bawa persamaan yang dihasilkan ke bentuk standar (kanonik): persamaan ini adalah persamaan diferensial linier homogen orde kedua, yang bentuk penyelesaiannya ditentukan oleh akar-akar persamaan karakteristik yang diperoleh dengan menggunakan substitusi universal: Akar-akar persamaan karakteristik adalah imajiner dan sama: Keputusan bersama persamaan diferensial memiliki bentuk: Kecepatan titik: Kondisi awal: Mari kita tentukan konstanta: Jadi, persamaannya getaran bebas memiliki bentuk: Persamaan dapat diwakili oleh ekspresi suku tunggal: di mana a adalah amplitudo, adalah fase awal. Konstanta baru a dan - berhubungan dengan konstanta C1 dan C2 dengan hubungan: Mari kita definisikan a dan: Alasan terjadinya osilasi bebas adalah perpindahan awal x0 dan/atau kecepatan awal v0.

12 slide

10 Kuliah 3 (lanjutan 3.2) Osilasi teredam dari titik material - Gerakan osilasi titik material terjadi dengan adanya gaya pemulih dan gaya resistensi terhadap gerakan. Ketergantungan gaya perlawanan terhadap gerakan pada perpindahan atau kecepatan ditentukan oleh sifat fisik medium atau sambungan yang menghambat gerakan. Ketergantungan paling sederhana adalah ketergantungan linier pada kecepatan (resistensi viskos): - koefisien viskositas x y O Persamaan dasar dinamika: Proyeksi persamaan dinamika pada sumbu: tampilan standar: dimana Persamaan karakteristik memiliki akar: Solusi umum persamaan diferensial ini memiliki bentuk yang berbeda tergantung pada nilai akar: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - kasus resistensi kental tinggi: - akar nyata, berbeda. atau - fungsi-fungsi ini aperiodik: 3. n = k: - akar-akarnya real, kelipatan. fungsi-fungsi ini juga aperiodik:

13 slide

Kuliah 3 (lanjutan 3.3) Klasifikasi solusi osilasi bebas. Koneksi musim semi. kekerasan setara. y y 11 Beda. Karakter Persamaan. Persamaan Roots char. persamaan Memecahkan persamaan diferensial Grafik nk n=k

14 slide

Kuliah 4 Getaran paksa dari suatu titik material - Seiring dengan gaya pemulih, gaya yang berubah secara berkala bekerja, yang disebut gaya perturbing. Kekuatan yang mengganggu dapat memiliki sifat yang berbeda. Misalnya, dalam kasus tertentu, efek inersia dari massa yang tidak seimbang m1 dari rotor yang berputar menyebabkan proyeksi gaya yang berubah secara harmonis: Persamaan utama dinamika: Proyeksi persamaan dinamika pada sumbu: Mari kita bawa persamaan ke standar bentuk: 12 Solusi persamaan diferensial tak homogen ini terdiri dari dua bagian x = x1 + x2: x1 adalah solusi umum dari persamaan homogen yang bersesuaian dan x2 adalah solusi khusus dari persamaan tidak homogen: Kami memilih solusi khusus dalam bentuk sisi kanan: Kesetaraan yang dihasilkan harus dipenuhi untuk setiap t . Kemudian: atau Jadi, dengan aksi simultan dari gaya pemulih dan pengganggu, titik material melakukan kompleks gerak berosilasi, yang merupakan hasil penjumlahan (superposisi) dari osilasi bebas (x1) dan paksa (x2). jika p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием solusi lengkap(!): Jadi, solusi khusus: Jika p > k (osilasi paksa frekuensi tinggi), maka fase osilasi berlawanan dengan fase gaya pengganggu:

15 slide

Kuliah 4 (lanjutan 4.2) 13 Koefisien dinamis - rasio amplitudo osilasi paksa dengan deviasi statis suatu titik di bawah aksi gaya konstan H = const: Amplitudo osilasi paksa: Deviasi statis dapat ditemukan dari persamaan kesetimbangan: Di sini: Oleh karena itu: Jadi, pada p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (frekuensi tinggi osilasi paksa) koefisien dinamis: Resonansi - terjadi ketika frekuensi osilasi paksa bertepatan dengan frekuensi osilasi alami (p = k). Ini paling sering terjadi ketika memulai dan menghentikan rotasi rotor yang tidak seimbang yang dipasang pada suspensi elastis. Persamaan diferensial osilasi dengan frekuensi yang sama: Solusi tertentu dalam bentuk sisi kanan tidak dapat diambil, karena solusi bergantung linier akan diperoleh (lihat solusi umum). Solusi umum: Substitusi ke persamaan diferensial: Mari kita ambil solusi tertentu dalam bentuk dan menghitung turunannya: Dengan demikian, solusinya diperoleh: atau Getaran paksa pada resonansi memiliki amplitudo yang meningkat tanpa batas sebanding dengan waktu. Pengaruh resistensi terhadap gerakan selama getaran paksa. Persamaan diferensial dengan adanya hambatan viskos memiliki bentuk: Solusi umum dipilih dari tabel (Kuliah 3, hal. 11) tergantung pada rasio n dan k (lihat). Kami mengambil solusi tertentu dalam bentuk dan menghitung turunannya: Substitusi dalam persamaan diferensial: Menyamakan koefisien pada saat yang sama fungsi trigonometri kita memperoleh sistem persamaan: Dengan menaikkan kedua persamaan ke pangkat dan menjumlahkannya, kita memperoleh amplitudo osilasi paksa: Dengan membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama, kita memperoleh pergeseran fasa dari osilasi paksa: Jadi, persamaan gerakan untuk osilasi paksa, dengan mempertimbangkan resistensi terhadap gerakan, misalnya, pada n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slide

Kuliah 5 Gerak relatif suatu titik material - Mari kita asumsikan bahwa sistem koordinat bergerak (non-inersia) Oxyz bergerak menurut beberapa hukum relatif terhadap sistem koordinat tetap (kelembaman) O1x1y1z1. Pergerakan titik material M (x, y, z) relatif terhadap sistem bergerak Oxyz adalah relatif, relatif terhadap sistem tak bergerak O1x1y1z1 adalah mutlak. Gerak sistem bergerak Oxyz relatif terhadap sistem tetap O1x1y1z1 adalah gerak portabel. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Persamaan dasar dinamika: Percepatan mutlak suatu titik: Substitusikan percepatan mutlak suatu titik ke dalam persamaan utama dinamika: Mari pindahkan suku dengan percepatan translasi dan Coriolis ke ruas kanan: istilah yang ditransfer memiliki dimensi gaya dan dianggap sebagai gaya inersia yang sesuai, sama: Kemudian gerakan relatif titik dapat dianggap sebagai absolut, jika kita menambahkan gaya inersia translasi dan Coriolis ke gaya yang bekerja: Dalam proyeksi ke sumbu dari sistem koordinat bergerak, kita memiliki: berbeda jenis gerak translasi: 1. Rotasi pada sumbu tetap: Jika rotasinya beraturan, maka e = 0: 2. Gerak lengkung translasi: Jika geraknya lurus, maka = : Jika geraknya lurus dan beraturan, maka sistem geraknya adalah inersia dan gerak relatif dapat dianggap mutlak : Tidak ada fenomena mekanis yang dapat mendeteksi bujursangkar gerakan seragam(prinsip relativitas mekanika klasik). Pengaruh rotasi bumi pada keseimbangan benda - Mari kita asumsikan bahwa benda berada dalam keseimbangan di permukaan bumi pada garis lintang sewenang-wenang (sejajar). Bumi berputar pada porosnya dari barat ke timur dengan kecepatan sudut: Jari-jari Bumi sekitar 6370 km. S R adalah reaksi total dari permukaan yang tidak licin. G - gaya tarik bumi ke pusat. - gaya sentrifugal inersia. Kondisi kesetimbangan relatif: Resultan dari gaya tarik-menarik dan inersia adalah gaya gravitasi (berat): Besarnya gaya gravitasi (berat) di permukaan bumi adalah P = mg. Gaya sentrifugal inersia adalah sebagian kecil dari gaya gravitasi: Penyimpangan gaya gravitasi dari arah gaya tarik juga kecil: Jadi, pengaruh rotasi bumi pada keseimbangan benda sangat kecil dan tidak diperhitungkan dalam perhitungan praktis. Nilai maksimum gaya inersia (di = 0 - di ekuator) hanya 0,00343 dari besarnya gravitasi

17 slide

Kuliah 5 (lanjutan 5.2) 15 Pengaruh rotasi bumi terhadap pergerakan benda-benda di medan gravitasi bumi - Misalkan sebuah benda jatuh ke bumi dari ketinggian tertentu H di atas permukaan bumi pada garis lintang . Mari kita pilih kerangka acuan bergerak, yang terhubung secara kaku dengan Bumi, mengarahkan sumbu x, y secara tangensial ke paralel dan ke meridian: Persamaan gerak relatif: Di sini, kecilnya gaya sentrifugal inersia dibandingkan dengan gravitasi diperhitungkan . Dengan demikian, gaya gravitasi diidentifikasi dengan gaya gravitasi. Selain itu, kami berasumsi bahwa gravitasi diarahkan tegak lurus ke permukaan bumi karena kecilnya defleksi, seperti yang dibahas di atas. Percepatan Coriolis sama dan searah dengan sumbu y ke barat. Gaya inersia Coriolis diarahkan ke arah yang berlawanan. Kami memproyeksikan persamaan gerak relatif pada sumbu: Solusi dari persamaan pertama memberikan: Kondisi awal: Solusi persamaan ketiga memberikan: Kondisi awal: Persamaan ketiga berbentuk: Kondisi awal: Solusinya memberikan: Solusi yang dihasilkan menunjukkan bahwa tubuh menyimpang ke timur ketika jatuh. Mari kita hitung nilai deviasi ini, misalnya, ketika jatuh dari ketinggian 100 m. Kami menemukan waktu jatuh dari solusi persamaan kedua: Jadi, pengaruh rotasi bumi terhadap pergerakan benda sangat kecil. untuk ketinggian dan kecepatan praktis dan tidak diperhitungkan dalam perhitungan teknis. Penyelesaian persamaan kedua juga menyiratkan adanya kecepatan di sepanjang sumbu y, yang juga harus menyebabkan dan menyebabkan percepatan yang sesuai dan gaya inersia Coriolis. Pengaruh kecepatan ini dan gaya inersia yang terkait dengannya pada perubahan gerak akan lebih kecil daripada gaya inersia Coriolis yang terkait dengan kecepatan vertikal.

18 slide

Kuliah 6 Dinamika sistem mekanik. Sistem titik material atau sistem mekanis - Sekumpulan titik material atau titik material yang disatukan oleh hukum umum interaksi (posisi atau pergerakan masing-masing titik atau benda bergantung pada posisi dan pergerakan semua titik lainnya) sistem titik bebas - pergerakannya tidak dibatasi oleh koneksi apa pun (misalnya, sistem planet , di mana planet-planet dianggap sebagai poin materi). Sistem titik tidak bebas atau sistem mekanis tidak bebas - pergerakan titik atau benda material dibatasi oleh batasan yang dikenakan pada sistem (misalnya, mekanisme, mesin, dll.). 16 Gaya yang bekerja pada sistem. Selain klasifikasi gaya yang sudah ada sebelumnya (gaya aktif dan reaktif), klasifikasi gaya baru diperkenalkan: 1. Gaya eksternal (e) - bekerja pada titik dan badan sistem dari titik atau benda yang bukan bagian dari ini sistem. 2. Kekuatan internal (i) - kekuatan interaksi antara titik material atau benda yang termasuk dalam sistem ini. Kekuatan yang sama dapat berupa kekuatan eksternal dan internal. Itu semua tergantung pada sistem mekanis mana yang dipertimbangkan. Sebagai contoh: Dalam sistem Matahari, Bumi dan Bulan, semua gaya gravitasi di antara mereka adalah internal. Ketika mempertimbangkan sistem Bumi dan Bulan, gaya gravitasi yang diterapkan dari sisi Matahari adalah eksternal: C Z L Berdasarkan hukum aksi dan reaksi, setiap gaya internal Fk sesuai dengan gaya internal lain Fk', sama dalam nilai absolut dan berlawanan dalam arah. Dua sifat luar biasa dari gaya internal mengikuti dari ini: Vektor utama dari semua gaya internal sistem nol: Momen utama dari semua gaya internal sistem relatif terhadap pusat mana pun sama dengan nol: Atau dalam proyeksi ke sumbu koordinat: Catatan. Meskipun persamaan ini mirip dengan persamaan kesetimbangan, tetapi tidak, karena gaya internal diterapkan pada titik yang berbeda atau badan sistem dan dapat menyebabkan pergerakan titik-titik ini (benda) relatif satu sama lain. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa gaya-gaya dalam tidak mempengaruhi gerak suatu sistem yang dipertimbangkan secara keseluruhan. Pusat massa sistem titik material. Untuk menggambarkan gerakan sistem secara keseluruhan, kami memperkenalkan titik geometris, yang disebut pusat massa, vektor jari-jarinya ditentukan oleh ekspresi, di mana M adalah massa seluruh sistem: Atau dalam proyeksi ke sumbu koordinat: Rumus untuk pusat massa mirip dengan rumus untuk pusat gravitasi. Namun, konsep pusat massa lebih umum, karena tidak terkait dengan gaya gravitasi atau gaya gravitasi.

19 slide

Kuliah 6 (lanjutan 6.2) 17 Teorema tentang gerak pusat massa sistem - Pertimbangkan sistem n titik material. Kami membagi gaya yang diterapkan pada setiap titik menjadi eksternal dan internal dan menggantinya dengan resultan Fke dan Fki yang sesuai. Mari kita tulis untuk setiap titik persamaan dasar dinamika: atau Mari kita jumlahkan persamaan ini untuk semua titik: Di sisi kiri persamaan, kita akan memperkenalkan massa di bawah tanda turunan dan mengganti jumlah turunan dengan turunan dari jumlah: Dari definisi pusat massa: Substitusi ke persamaan yang dihasilkan: kita memperoleh atau: Produk dari massa sistem dan percepatan pusat massanya sama dengan vektor utama gaya eksternal. Dalam proyeksi pada sumbu koordinat: Pusat massa sistem bergerak sebagai titik material dengan massa yang sama dengan massa seluruh sistem, di mana semua gaya eksternal yang bekerja pada sistem diterapkan. Konsekuensi dari teorema tentang gerak pusat massa sistem (hukum kekekalan): 1. Jika dalam selang waktu vektor utama gaya luar sistem adalah nol, Re = 0, maka kecepatan pusat massanya konstan, vC = konstanta (pusat massa bergerak lurus lurus beraturan - hukum kekekalan pusat massa gerak). 2. Jika dalam selang waktu proyeksi vektor utama gaya-gaya luar sistem pada sumbu x sama dengan nol, Rxe = 0, maka kecepatan pusat massa sepanjang sumbu x adalah konstan, vCx = const (pusat massa bergerak seragam sepanjang sumbu). Pernyataan serupa berlaku untuk sumbu y dan z. Contoh: Dua orang bermassa m1 dan m2 berada dalam perahu bermassa m3. Pada saat-saat awal, perahu dengan orang-orang sedang beristirahat. Tentukan perpindahan perahu jika seseorang bermassa m2 bergerak ke haluan perahu pada jarak a. 3. Jika dalam selang waktu vektor utama gaya luar sistem sama dengan nol, Re = 0, dan pada saat awal kecepatan pusat massa sama dengan nol, vC = 0, maka vektor radius dari pusat massa tetap konstan, rC = const (pusat massa diam adalah hukum kekekalan posisi pusat massa). 4. Jika dalam selang waktu proyeksi vektor utama gaya luar sistem pada sumbu x sama dengan nol, Rxe = 0, dan pada saat awal kecepatan pusat massa sepanjang sumbu ini adalah nol , vCx = 0, maka koordinat pusat massa sepanjang sumbu x tetap, xC = const (pusat massa tidak bergerak sepanjang sumbu ini). Pernyataan serupa berlaku untuk sumbu y dan z. 1. Benda bergerak (perahu dengan manusia): 2. Buang sambungan (air): 3. Ganti hubungan dengan reaksi: 4. Tambahkan gaya aktif: 5. Tulis teorema tentang pusat massa: Proyeksikan ke sumbu x : O Tentukan seberapa jauh Anda perlu pindah ke orang bermassa m1, agar perahu tetap di tempatnya: Perahu akan bergerak sejauh l ke arah yang berlawanan.

20 slide

Kuliah 7 Impuls gaya adalah ukuran interaksi mekanis yang mencirikan transmisi gerakan mekanis dari gaya-gaya yang bekerja pada titik untuk periode waktu tertentu: 18 Dalam proyeksi ke sumbu koordinat: Dalam kasus gaya konstan: Dalam proyeksi ke sumbu koordinat: Momentum yang dihasilkan sama dengan jumlah geometrik dari impuls gaya yang diterapkan pada titik untuk periode waktu yang sama: dt: Mari kita integrasikan pada interval waktu tertentu: Momentum suatu titik adalah ukuran gerak mekanis, ditentukan oleh vektor yang sama dengan produk massa titik dan vektor kecepatannya: Teorema tentang perubahan momentum sistem - Pertimbangkan sistem n titik material. Kami membagi gaya yang diterapkan pada setiap titik menjadi eksternal dan internal dan menggantinya dengan resultan Fke dan Fki yang sesuai. Kami menulis untuk setiap titik persamaan dasar dinamika: atau Jumlah gerakan sistem titik material - jumlah geometris kuantitas gerak titik material: Menurut definisi pusat massa: Vektor momentum sistem sama dengan produk massa seluruh sistem dengan vektor kecepatan pusat massa sistem. Kemudian: Dalam proyeksi ke sumbu koordinat: Turunan waktu dari vektor momentum sistem sama dengan vektor utama gaya luar sistem. Mari kita jumlahkan persamaan ini untuk semua titik: Di sisi kiri persamaan, kami memperkenalkan massa di bawah tanda turunan dan mengganti jumlah turunan dengan turunan jumlah: Dari definisi momentum sistem: Dalam proyeksi ke sumbu koordinat:

21 slide

Teorema Euler - Penerapan teorema pada perubahan momentum suatu sistem untuk pergerakan medium kontinu (air). 1. Kami memilih sebagai objek pergerakan volume air yang terletak di saluran lengkung turbin: 2. Kami membuang koneksi dan mengganti aksinya dengan reaksi (Rpov - resultan gaya permukaan) 3. Tambahkan gaya aktif (Rb - resultan gaya-gaya tubuh): 4. Tuliskan teorema tentang perubahan momentum sistem: Besarnya gerakan air pada waktu t0 dan t1 akan direpresentasikan sebagai jumlah: Perubahan momentum air dalam selang waktu : Perubahan momentum air selama selang waktu yang sangat kecil dt: , di mana F1 F2 Mengambil produk kepadatan, luas penampang dan kecepatan per detik massa, kita memperoleh: Mensubstitusikan diferensial momentum sistem ke dalam teorema perubahan , kita peroleh: Akibat dari teorema perubahan momentum sistem (hukum kekekalan): 1. Jika dalam selang waktu vektor utama gaya-gaya luar sistem sama dengan nol, Re = 0, maka besaran vektor gerak adalah konstan, Q = konstanta adalah hukum kekekalan momentum sistem). 2. Jika dalam selang waktu proyeksi vektor utama gaya luar sistem pada sumbu x sama dengan nol, Rxe = 0, maka proyeksi momentum sistem pada sumbu x konstan, Qx = konstanta Pernyataan serupa berlaku untuk sumbu y dan z. Kuliah 7 (lanjutan 7.2) Contoh: Sebuah granat bermassa M, terbang dengan kecepatan v, meledak menjadi dua bagian. Kecepatan salah satu fragmen massa m1 meningkat dalam arah gerak ke nilai v1. Tentukan kecepatan pecahan kedua. 1. Benda bergerak (granat): 2. Benda merupakan sistem bebas, tidak ada hubungan dan reaksinya. 3. Tambahkan gaya aktif: 4. Tulis teorema perubahan momentum: Proyeksikan ke sumbu: Bagi variabel dan integralkan: Integral kanan hampir nol, karena waktu ledakan

22 slide

Kuliah 7 (lanjutan 7.3) 20 Momentum sudut suatu titik atau momen kinetik gerak relatif terhadap suatu pusat tertentu adalah ukuran gerak mekanis, ditentukan oleh suatu vektor yang sama dengan hasil kali vektor dari vektor jari-jari suatu titik material dan vektor momentumnya: Momen kinetik suatu sistem titik material relatif terhadap pusat tertentu adalah geometrik jumlah momen dari jumlah gerakan semua titik material relatif terhadap pusat yang sama: Dalam proyeksi pada sumbu: Dalam proyeksi pada sumbu: Teorema tentang perubahan momen momentum sistem - Pertimbangkan sistem n titik material. Kami membagi gaya yang diterapkan pada setiap titik menjadi eksternal dan internal dan menggantinya dengan resultan Fke dan Fki yang sesuai. Mari kita tuliskan untuk setiap titik persamaan dasar dinamika: atau Mari kita jumlahkan persamaan-persamaan ini untuk semua titik: Mari kita ganti jumlah turunan dengan turunan dari jumlah: Ekspresi dalam tanda kurung adalah momen momentum sistem. Dari sini: Kami mengalikan setiap persamaan secara vektor dengan jari-jari-vektor di sebelah kiri: Mari kita lihat apakah mungkin untuk mengambil tanda turunan di luar produk vektor: Jadi, kita dapatkan: pusat. Dalam proyeksi pada sumbu koordinat: Turunan momen momentum sistem relatif terhadap beberapa sumbu dalam waktu sama dengan momen utama gaya luar sistem relatif terhadap sumbu yang sama.

23 slide

Kuliah 8 21 Konsekuensi dari teorema tentang perubahan momentum sudut sistem (hukum kekekalan): 1. Jika dalam selang waktu vektor momen utama gaya eksternal sistem relatif terhadap pusat tertentu adalah sama ke nol, MOe = 0, maka vektor momentum sudut sistem relatif terhadap pusat yang sama adalah konstan, KO = konstanta adalah hukum kekekalan momentum sistem). 2. Jika dalam selang waktu momen utama gaya-gaya luar sistem relatif terhadap sumbu x sama dengan nol, Mxe = 0, maka momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu x adalah konstan, Kx = konstanta. Pernyataan serupa berlaku untuk sumbu y dan z. 2. Momen inersia suatu benda tegar terhadap sumbu: Momen inersia suatu titik material terhadap sumbu sama dengan hasil kali massa titik tersebut dan kuadrat jarak titik tersebut ke sumbu. Momen inersia suatu benda tegar terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah hasil kali massa setiap titik dan kuadrat jarak titik tersebut dari sumbu. Elemen teori momen inersia - Dengan gerak rotasi benda tegar, ukuran inersia (tahanan terhadap perubahan gerak) adalah momen inersia terhadap sumbu rotasi. Pertimbangkan konsep dasar definisi dan metode untuk menghitung momen inersia. 1. Momen inersia suatu titik material terhadap sumbu: Dalam transisi dari massa kecil yang diskrit ke massa suatu titik yang sangat kecil, batas jumlah tersebut ditentukan oleh integral: momen inersia aksial dari benda tegar . Selain momen inersia aksial benda tegar, ada jenis momen inersia lain: momen inersia sentrifugal benda tegar. momen inersia kutub dari benda tegar. 3. Teorema tentang momen inersia benda tegar terhadap sumbu paralel - rumus transisi ke sumbu paralel: Momen inersia terhadap sumbu referensi Momen statis inersia terhadap sumbu referensi Massa tubuh Jarak antara sumbu z1 dan z2 Jadi : momen adalah nol:

24 slide

Kuliah 8 (lanjutan 8.2) 22 Momen inersia batang seragam dengan penampang konstan terhadap sumbu: x z L Pilih volume dasar dV = Adx pada jarak x: x dx Massa dasar: Untuk menghitung momen inersia terhadap sumbu pusat (melewati pusat gravitasi), cukup dengan mengubah lokasi sumbu dan menetapkan batas integrasi (-L/2, L/2). Di sini kami mendemonstrasikan rumus untuk transisi ke sumbu paralel: zС 5. Momen inersia silinder padat homogen terhadap sumbu simetri: H dr r Mari kita pilih volume dasar dV = 2πrdrH (silinder tipis berjari-jari r) : Massa dasar: Di sini kita menggunakan rumus volume silinder V=πR2H. Untuk menghitung momen inersia silinder berongga (tebal), cukup dengan menetapkan batas integrasi dari R1 ke R2 (R2 > R1): 6. Momen inersia silinder tipis terhadap sumbu simetri (t

25 slide

Kuliah 8 (lanjutan 8.3) 23 Persamaan diferensial rotasi benda tegar terhadap suatu sumbu: Mari kita tulis teorema tentang perubahan momentum sudut benda tegar yang berputar pada sumbu tetap: Momentum benda tegar yang berotasi adalah: Momen gaya luar terhadap sumbu rotasi sama dengan torsi (reaksi dan gaya tidak menciptakan momen gravitasi): Kita substitusikan momen kinetik dan torsi ke dalam teorema Contoh: Dua orang dengan berat yang sama G1 = G2 digantung pada tali yang dilempar di atas balok padat dengan berat G3 = G1/4. Pada titik tertentu, salah satu dari mereka mulai memanjat tali dengan kecepatan relatif u. Tentukan kecepatan angkat setiap orang. 1. Pilih objek gerakan (blok dengan orang): 2. Buang koneksi (perangkat pendukung blok): 3. Ganti koneksi dengan reaksi (bantalan): 4. Tambahkan gaya aktif (gravitasi): 5. Tulis teorema tentang perubahan momen kinetik sistem terhadap sumbu rotasi balok: R Karena momen gaya eksternal sama dengan nol, momen kinetik harus tetap konstan: Pada momen awal waktu t = 0, ada adalah kesetimbangan dan Kz0 = 0. Setelah awal gerakan satu orang relatif terhadap tali, seluruh sistem mulai bergerak, tetapi momen kinetik sistem harus tetap sama dengan nol: Kz = 0. Momentum sudut dari sistem adalah jumlah momentum sudut kedua orang dan balok: Di sini v2 adalah kecepatan orang kedua, sama dengan kecepatan kabel, Contoh: Tentukan periode osilasi bebas kecil dari batang homogen bermassa M dan panjang l, ditangguhkan oleh salah satu ujungnya ke sumbu rotasi tetap. Atau: Dalam kasus osilasi kecil sinφ : Periode osilasi: Momen inersia batang:

26 slide

Kuliah 8 (lanjutan 8.4 - materi tambahan) 24 Teori dasar giroskop: Giroskop adalah benda tegar yang berputar di sekitar sumbu simetri material, salah satu titiknya tetap. Giroskop bebas dipasang sedemikian rupa sehingga pusat massanya tetap diam, dan sumbu rotasi melewati pusat massa dan dapat mengambil posisi apa pun di ruang angkasa, mis. sumbu rotasi berubah posisinya seperti sumbu rotasi tubuh sendiri selama gerakan bola. Asumsi utama dari teori perkiraan (dasar) giroskop adalah bahwa vektor momentum (momen kinetik) rotor dianggap diarahkan sepanjang sumbu rotasinya sendiri. Jadi, terlepas dari kenyataan bahwa dalam kasus umum rotor berpartisipasi dalam tiga putaran, hanya kecepatan sudut dari putarannya sendiri = dφ/dt yang diperhitungkan. Dasarnya adalah bahwa di teknologi modern rotor giroskop berputar pada kecepatan sudut orde 5000-8000 rad/s (sekitar 50000-80000 rpm), sedangkan dua kecepatan sudut lainnya yang terkait dengan presesi dan nutasi sumbu rotasinya sendiri adalah puluhan ribu kali. kurang dari kecepatan ini. Properti utama dari giroskop bebas adalah bahwa sumbu rotor menjaga arah yang sama di ruang angkasa sehubungan dengan sistem referensi inersia (bintang) (ditunjukkan oleh pendulum Foucault, yang menjaga bidang ayun tidak berubah sehubungan dengan bintang-bintang, 1852). Ini mengikuti dari hukum kekekalan momen kinetik relatif terhadap pusat massa rotor, asalkan gesekan pada bantalan sumbu suspensi rotor, rangka luar dan dalam diabaikan: Aksi gaya pada sumbu bebas giroskop. Dalam kasus gaya yang diterapkan pada sumbu rotor, momen gaya eksternal relatif terhadap pusat massa tidak sama dengan nol: gaya, dan terhadap vektor momen gaya ini, yaitu. akan berputar bukan tentang sumbu x (suspensi internal), tetapi tentang sumbu y (suspensi eksternal). Ketika gaya berhenti, sumbu rotor akan tetap pada posisi yang sama, sesuai dengan saat terakhir durasi gaya, karena dari titik waktu ini, momen gaya eksternal kembali menjadi sama dengan nol. Dalam kasus aksi gaya jangka pendek (benturan), sumbu giroskop praktis tidak mengubah posisinya. Dengan demikian, rotasi cepat dari rotor memberikan giroskop kemampuan untuk melawan pengaruh acak yang cenderung mengubah posisi sumbu rotasi rotor, dan ketika tindakan permanen gaya mempertahankan posisi bidang tegak lurus terhadap gaya kerja, di mana sumbu rotor terletak. Sifat-sifat ini digunakan dalam sistem inersia navigasi.

pengantar

Mekanika teoretis adalah salah satu disiplin ilmu umum fundamental yang paling penting. Ini memainkan peran penting dalam pelatihan insinyur dari semua spesialisasi. Disiplin teknik umum didasarkan pada hasil mekanika teoritis: kekuatan bahan, bagian-bagian mesin, teori mekanisme dan mesin, dan lain-lain.

Tugas utama mekanika teoretis adalah mempelajari gerak benda-benda material di bawah aksi gaya. Masalah khusus yang penting adalah studi tentang keseimbangan benda di bawah aksi gaya.

kuliah saja. Mekanika teoretis

Struktur mekanika teoretis. Dasar-dasar statika

Kondisi untuk keseimbangan sistem gaya arbitrer.

Persamaan Kesetimbangan Tubuh Kaku.

Sistem kekuatan datar.

Kasus-kasus tertentu dari keseimbangan benda tegar.

Masalah keseimbangan batang.

Penentuan gaya dalam pada struktur batang.

Dasar-dasar kinematika titik.

koordinat alam.

rumus Euler.

Distribusi percepatan titik-titik benda tegar.

Gerakan translasi dan rotasi.

Gerak bidang-paralel.

Pergerakan titik yang rumit.

Dasar-dasar dinamika titik.

persamaan diferensial gerak suatu titik.

Jenis medan gaya tertentu.

Dasar-dasar dinamika sistem poin.

Teorema umum dinamika sistem poin.

Dinamika gerakan rotasi tubuh.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Mata kuliah mekanika teori. M., Sekolah Tinggi, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kursus Mekanika Teoritis, Bagian 1 dan 2. M., Sekolah Tinggi, 1971.

Petkevich V.V. Mekanika teoretis. M., Nauka, 1981.

Koleksi tugas untuk makalah tentang mekanika teoretis. Ed. A.A. Yablonsky. M., Sekolah Tinggi, 1985.

Kuliah 1 Struktur mekanika teoretis. Dasar-dasar statika

Dalam mekanika teoretis, pergerakan benda relatif terhadap benda lain, yang merupakan sistem referensi fisik, dipelajari.

Mekanika memungkinkan tidak hanya untuk menggambarkan, tetapi juga untuk memprediksi pergerakan benda, membangun hubungan sebab akibat dalam rentang fenomena tertentu yang sangat luas.

Model abstrak dasar dari benda nyata:

poin materi - memiliki massa, tetapi tidak memiliki dimensi;

sangat padat - volume berdimensi berhingga, terisi penuh dengan materi, dan jarak antara dua titik mana pun dari media yang mengisi volume tidak berubah selama gerakan;

media yang dapat dideformasi terus menerus - mengisi volume terbatas atau ruang tidak terbatas; jarak antara titik-titik media tersebut dapat bervariasi.

Dari jumlah tersebut, sistem:

Sistem poin materi gratis;

Sistem dengan koneksi;

Tubuh yang benar-benar padat dengan rongga berisi cairan, dll.

"Merosot" model:

Batang yang sangat tipis;

Pelat yang sangat tipis;

Batang dan benang tanpa bobot yang menghubungkan titik material, dll.

Dari pengalaman: fenomena mekanis berlangsung secara berbeda dalam tempat yang berbeda sistem referensi fisik. Properti ini adalah ketidakhomogenan ruang, ditentukan oleh sistem referensi fisik. Heterogenitas di sini dipahami sebagai ketergantungan sifat terjadinya suatu fenomena pada tempat kita mengamati fenomena tersebut.

Sifat lain adalah anisotropi (non-isotropi), gerakan tubuh relatif terhadap kerangka acuan fisik dapat berbeda tergantung pada arahnya. Contoh: aliran sungai di sepanjang meridian (dari utara ke selatan - Volga); penerbangan proyektil, pendulum Foucault.

Sifat-sifat sistem referensi (heterogenitas dan anisotropi) mempersulit pengamatan gerak suatu benda.

Praktis bebas dari ini geosentris sistem: pusat sistem berada di pusat Bumi dan sistem tidak berotasi relatif terhadap bintang "tetap"). Sistem geosentris nyaman untuk menghitung pergerakan di Bumi.

Untuk mekanika langit(untuk badan tata surya): kerangka acuan heliosentris yang bergerak dengan pusat massa tata surya dan tidak berputar relatif terhadap bintang "tetap". Untuk sistem ini belum ditemukan heterogenitas dan anisotropi ruang

dalam kaitannya dengan fenomena mekanika.

Jadi, kami memperkenalkan abstrak inersia kerangka acuan yang ruangnya homogen dan isotropik dalam kaitannya dengan fenomena mekanika.

kerangka acuan inersia- orang yang gerakannya sendiri tidak dapat dideteksi oleh pengalaman mekanis apa pun. Eksperimen pikiran: "titik yang sendirian di seluruh dunia" (terisolasi) adalah diam atau bergerak dalam garis lurus dan beraturan.

Semua kerangka acuan yang bergerak relatif terhadap garis lurus asli akan menjadi inersia seragam. Ini memungkinkan Anda untuk memperkenalkan sistem koordinat Cartesian tunggal. Ruang seperti itu disebut Euclidean.

Kesepakatan bersyarat - ambil sistem koordinat yang benar (Gbr. 1).

PADA waktu– dalam mekanika klasik (non-relativistik) sangat, yang sama untuk semua sistem referensi, yaitu momen awal adalah arbitrer. Berbeda dengan mekanika relativistik, di mana prinsip relativitas diterapkan.

Keadaan gerak sistem pada waktu t ditentukan oleh koordinat dan kecepatan titik-titik pada saat itu.

Benda nyata berinteraksi, dan gaya muncul yang mengubah keadaan gerak sistem. Ini adalah inti dari mekanika teoretis.

Bagaimana mekanika teoretis dipelajari?

Doktrin keseimbangan sekumpulan benda dari kerangka acuan tertentu - bagian statika.

Bab kinematika: bagian dari mekanika yang mempelajari hubungan antara besaran-besaran yang mencirikan keadaan gerak sistem, tetapi tidak mempertimbangkan penyebab yang menyebabkan perubahan keadaan gerak.

Setelah itu, perhatikan pengaruh gaya [BAGIAN UTAMA].

Bab dinamika: bagian dari mekanika, yang mempertimbangkan pengaruh gaya pada keadaan gerak sistem benda material.

Prinsip membangun hidangan utama - dinamika:

1) berdasarkan sistem aksioma (berdasarkan pengalaman, pengamatan);

Terus-menerus - kontrol praktik yang kejam. Tanda ilmu pasti - kehadiran logika internal (tanpa itu - set resep yang tidak terkait)!

statis bagian dari mekanika itu disebut, di mana kondisi yang harus dipenuhi oleh gaya yang bekerja pada sistem titik material dipelajari agar sistem berada dalam kesetimbangan, dan kondisi untuk ekivalensi sistem gaya.

Masalah keseimbangan dalam statika dasar akan dipertimbangkan dengan menggunakan metode geometris eksklusif berdasarkan sifat-sifat vektor. Pendekatan ini diterapkan dalam statika geometris(berlawanan dengan statika analitik, yang tidak dipertimbangkan di sini).

Posisi berbagai benda material akan dirujuk ke sistem koordinat, yang akan kita ambil sebagai tetap.

Model tubuh material yang ideal:

1) titik material - titik geometris dengan massa.

2) benda yang benar-benar kaku - satu set titik material, jarak di antaranya tidak dapat diubah dengan tindakan apa pun.

Oleh pasukan kami akan menelepon alasan objektif, yang merupakan hasil interaksi benda-benda material, yang mampu menyebabkan gerakan benda dari keadaan diam atau mengubah gerakan yang ada dari keadaan diam.

Karena gaya ditentukan oleh gerakan yang ditimbulkannya, ia juga memiliki karakter relatif, tergantung pada pilihan kerangka acuan.

Pertanyaan tentang sifat kekuatan dipertimbangkan dalam fisika.

Suatu sistem titik material berada dalam kesetimbangan jika, dalam keadaan diam, tidak menerima gerakan apa pun dari gaya yang bekerja padanya.

Dari pengalaman sehari-hari: gaya adalah vektor di alam, yaitu besaran, arah, garis aksi, titik aplikasi. Kondisi keseimbangan gaya yang bekerja pada benda tegar direduksi menjadi sifat-sifat sistem vektor.

Meringkas pengalaman mempelajari hukum fisika alam, Galileo dan Newton merumuskan hukum dasar mekanika, yang dapat dianggap sebagai aksioma mekanika, karena mereka memiliki berdasarkan fakta eksperimental.

Aksioma 1. Aksi beberapa gaya pada suatu titik pada benda tegar setara dengan aksi satu kekuatan yang dihasilkan, dibangun menurut aturan penambahan vektor (Gbr. 2).

Konsekuensi. Gaya yang diterapkan pada titik benda tegar ditambahkan sesuai dengan aturan jajaran genjang.

Aksioma 2. Dua gaya diterapkan pada benda tegar saling seimbang jika dan hanya jika besarnya sama, arahnya berlawanan dan terletak pada garis lurus yang sama.

Aksioma 3. Aksi suatu sistem gaya pada benda tegar tidak akan berubah jika tambahkan ke sistem ini atau turun darinya dua gaya yang besarnya sama, arahnya berlawanan dan terletak pada garis lurus yang sama.

Konsekuensi. Gaya yang bekerja pada titik benda tegar dapat ditransfer sepanjang garis kerja gaya tanpa mengubah keseimbangan (yaitu, gaya adalah vektor geser, Gambar 3)

1) Aktif - membuat atau mampu menciptakan gerakan benda tegar. Misalnya, kekuatan berat.

2) Pasif - tidak menciptakan gerakan, tetapi membatasi gerakan tubuh yang kaku, mencegah gerakan. Misalnya, gaya tegangan dari benang yang tidak dapat diperpanjang (Gbr. 4).

Aksioma 4. Tindakan satu tubuh pada yang kedua adalah sama dan berlawanan dengan tindakan tubuh kedua ini pada yang pertama ( aksi sama dengan reaksi).

Kondisi geometris yang membatasi pergerakan titik disebut koneksi.

Kondisi komunikasi: misalnya,

- batang dengan panjang tidak langsung l.

- ulir fleksibel yang tidak dapat diperpanjang dengan panjang l.

Gaya karena ikatan dan mencegah gerakan disebut kekuatan reaksi.

Aksioma 5. Ikatan yang dikenakan pada sistem titik material dapat digantikan oleh gaya reaksi, yang aksinya setara dengan aksi ikatan.

Ketika gaya pasif tidak dapat menyeimbangkan aksi gaya aktif, gerakan dimulai.

Dua masalah khusus statika

1. Sistem gaya konvergen yang bekerja pada benda tegar

Sistem kekuatan konvergen sistem gaya seperti itu disebut, garis aksi yang berpotongan pada satu titik, yang selalu dapat dianggap sebagai titik asal (Gbr. 5).

Proyeksi yang dihasilkan:

;

Jika , maka gaya menyebabkan gerak benda tegar.

Kondisi kesetimbangan untuk sistem gaya konvergen:

2. Keseimbangan tiga kekuatan

Jika tiga gaya bekerja pada sebuah benda tegar, dan garis kerja dua gaya berpotongan di suatu titik A, kesetimbangan mungkin terjadi jika dan hanya jika garis kerja gaya ketiga juga melalui titik A, dan gaya itu sendiri sama besarnya dan berlawanan arah dengan jumlah (Gbr. 6).

Contoh:

Momen gaya relatif terhadap titik O didefinisikan sebagai vektor , dalam ukuran sama dengan dua kali luas segitiga, yang alasnya adalah vektor gaya dengan titik di titik O yang diberikan; arah- ortogonal terhadap bidang segitiga yang dipertimbangkan dalam arah dari mana rotasi yang dihasilkan oleh gaya di sekitar titik O terlihat berlawanan arah jarum jam. adalah momen dari vektor geser dan adalah vektor gratis(Gbr. 9).

Jadi: atau

di mana ;;.

Dimana F adalah modulus gaya, h adalah bahu (jarak dari titik ke arah gaya).

Momen gaya terhadap sumbu disebut nilai aljabar proyeksi ke sumbu ini dari vektor momen gaya relatif terhadap titik sembarang O, diambil pada sumbu (Gbr. 10).

Ini adalah skalar independen dari pilihan titik. Memang, kami memperluas :|| dan di dalam pesawat.

Tentang momen: biarkan 1 menjadi titik potong dengan bidang. Kemudian:

a) dari - saat => proyeksi = 0.

b) dari - saat bersama => adalah proyeksi.

Jadi, momen terhadap sumbu adalah momen komponen gaya pada bidang yang tegak lurus sumbu terhadap titik potong bidang dan sumbu.

Teorema Varignon untuk sistem gaya konvergen:

Momen gaya resultan untuk sistem gaya konvergen relatif terhadap sembarang titik A sama dengan jumlah momen semua komponen gaya relatif terhadap titik A yang sama (Gbr. 11).

Bukti dalam teori vektor konvergen.

Penjelasan: penambahan gaya menurut aturan jajaran genjang => gaya yang dihasilkan memberikan momen total.

pertanyaan tes:

1. Sebutkan model utama benda nyata dalam mekanika teoretis.

2. Merumuskan aksioma statika.

3. Apa yang disebut momen gaya terhadap suatu titik?

Kuliah 2 Kondisi keseimbangan untuk sistem gaya arbitrer

Dari aksioma dasar statika, operasi dasar pada gaya mengikuti:

1) kekuatan dapat ditransfer di sepanjang garis aksi;

2) gaya-gaya yang garis kerjanya berpotongan dapat ditambahkan menurut aturan genjang (menurut aturan penjumlahan vektor);

3) pada sistem gaya yang bekerja pada benda tegar, seseorang selalu dapat menambahkan dua gaya, yang besarnya sama, terletak pada garis lurus yang sama dan arahnya berlawanan.

Operasi dasar tidak mengubah keadaan mekanis sistem.

Sebutkan dua sistem gaya setara jika satu dari yang lain dapat diperoleh dengan menggunakan operasi dasar (seperti dalam teori vektor geser).

Sistem dua gaya sejajar yang besarnya sama dan arahnya berlawanan disebut beberapa kekuatan(Gbr. 12).

Momen sepasang gaya- sebuah vektor yang ukurannya sama dengan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor-vektor pasangan tersebut, dan diarahkan secara ortogonal ke bidang pasangan tersebut ke arah dari mana rotasi yang dilaporkan oleh vektor-vektor pasangan tersebut dapat dilihat terjadi berlawanan arah jarum jam.

, yaitu momen gaya terhadap titik B.

Sepasang gaya sepenuhnya dicirikan oleh momennya.

Sepasang gaya dapat ditransfer dengan operasi dasar ke sembarang bidang yang sejajar dengan bidang pasangan; mengubah besar gaya dari pasangan berbanding terbalik dengan bahu pasangan.

Pasangan gaya dapat ditambahkan, sedangkan momen pasangan gaya dapat ditambahkan sesuai dengan aturan penjumlahan vektor (bebas).

Membawa sistem gaya yang bekerja pada benda tegar ke titik sembarang (pusat reduksi)- berarti mengganti sistem saat ini dengan yang lebih sederhana: sistem tiga gaya, salah satunya melewati terlebih dahulu poin yang diberikan, dan dua lainnya mewakili pasangan.

Ini dibuktikan dengan bantuan operasi dasar (gbr.13).

Sistem gaya konvergen dan sistem pasangan gaya.

- kekuatan yang dihasilkan.

Pasangan yang dihasilkan

Itu yang perlu ditunjukkan.

Dua sistem kekuatan akan setara jika dan hanya jika kedua sistem direduksi menjadi satu gaya resultan dan satu pasangan resultan, yaitu dalam kondisi berikut:

Kasus umum keseimbangan sistem gaya yang bekerja pada benda tegar

Kami membawa sistem kekuatan ke (Gbr. 14):

Kekuatan yang dihasilkan melalui asal;

Pasangan yang dihasilkan, apalagi, melalui titik O.

Artinya, mereka mengarah ke dan - dua gaya, salah satunya melewati titik O tertentu.

Kesetimbangan, jika salah satu garis lurus lainnya sama, arahnya berlawanan (aksioma 2).

Kemudian melewati titik O, yaitu.

Jadi, syarat dan ketentuan Umum kesetimbangan benda tegar:

Kondisi ini berlaku untuk titik sembarang di ruang angkasa.

pertanyaan tes:

1. Sebutkan operasi dasar pada gaya.

2. Sistem gaya apa yang disebut ekivalen?

3. Tuliskan kondisi umum untuk keseimbangan benda tegar.

Kuliah 3 Persamaan Kesetimbangan Tubuh Kaku

Biarkan O menjadi asal koordinat; adalah gaya yang dihasilkan; adalah momen dari pasangan yang dihasilkan. Biarkan titik O1 menjadi pusat reduksi baru (Gbr. 15).

Sistem kekuatan baru:

Ketika titik pemeran berubah, => hanya berubah (dalam satu arah dengan satu tanda, di yang lain dengan yang lain). Itulah intinya: cocok dengan garis

Secara analitis: (kolinearitas vektor)

; titik koordinat O1.

Ini adalah persamaan garis lurus, untuk semua titik di mana arah vektor yang dihasilkan bertepatan dengan arah momen pasangan yang dihasilkan - garis lurus disebut dinamo.

Jika pada sumbu dynamas => , maka sistem tersebut ekivalen dengan satu resultan gaya, yang disebut gaya resultan dari sistem. Dalam hal ini, selalu, yaitu.

Empat kasus membawa kekuatan:

1.) ;- dinamo.

2.) ; - resultan.

3.) ;- pasangan.

4.) ;- keseimbangan.

Dua persamaan kesetimbangan vektor: vektor utama dan momen utama sama dengan nol,.

Atau enam persamaan skalar dalam proyeksi ke sumbu koordinat Cartesian:

Di Sini:

Kompleksitas jenis persamaan tergantung pada pilihan titik reduksi => seni kalkulator.

Menemukan kondisi kesetimbangan untuk sistem benda tegar dalam interaksi<=>masalah keseimbangan masing-masing tubuh secara terpisah, dan tubuh dipengaruhi oleh kekuatan eksternal dan kekuatan internal (interaksi tubuh pada titik kontak dengan kekuatan yang sama dan berlawanan arah - aksioma IV, Gambar 17).

Kami memilih untuk semua badan sistem satu pusat rujukan. Maka untuk setiap benda dengan kondisi keseimbangan nomor:

, , (= 1, 2, …, k)

di mana , - gaya yang dihasilkan dan momen pasangan gaya yang dihasilkan, kecuali untuk reaksi internal.

Gaya dan momen yang dihasilkan dari pasangan gaya yang dihasilkan dari reaksi internal.

Secara formal menyimpulkan dan mempertimbangkan aksioma IV

kita mendapatkan kondisi yang diperlukan untuk keseimbangan benda tegar:

Contoh.

keseimbangan: = ?

pertanyaan tes:

1. Sebutkan semua kasus yang membawa sistem gaya ke satu titik.

2. Apa itu dinamo?

3. Merumuskan kondisi yang diperlukan untuk keseimbangan sistem benda tegar.

Kuliah 4 Sistem gaya datar

Sebuah kasus khusus dari pengiriman tugas umum.

Biarkan semua gaya yang bekerja terletak pada bidang yang sama - misalnya, selembar. Mari kita pilih titik O sebagai pusat reduksi - pada bidang yang sama. Kami mendapatkan gaya yang dihasilkan dan pasangan yang dihasilkan pada bidang yang sama, yaitu (Gbr. 19)

Komentar.

Sistem dapat direduksi menjadi satu gaya resultan.

Kondisi keseimbangan:

atau skalar:

Sangat umum dalam aplikasi seperti kekuatan material.

Contoh.

Dengan gesekan bola di papan dan di pesawat. Kondisi keseimbangan: = ?

Masalah keseimbangan benda tegar tak bebas.

Benda tegar disebut tidak bebas, yang gerakannya dibatasi oleh kendala. Misalnya, badan lain, pengencang berengsel.

Saat menentukan kondisi kesetimbangan: benda tidak bebas dapat dianggap sebagai benda bebas, menggantikan ikatan dengan gaya reaksi yang tidak diketahui.

Contoh.