Rumus kekuatan arus maksimum dalam rangkaian osilasi. Sirkuit osilasi

Medan elektromagnetik juga dapat ada tanpa adanya muatan atau arus listrik: justru medan listrik dan magnet yang "berkelanjutan" itulah yang mewakili gelombang elektromagnetik yang meliputi cahaya tampak, inframerah, ultraviolet dan radiasi sinar-x, gelombang radio, dll.

25. Sirkuit osilasi

Sistem paling sederhana di mana osilasi elektromagnetik alami dimungkinkan adalah apa yang disebut sirkuit osilasi, yang terdiri dari kapasitor dan induktor yang terhubung satu sama lain (Gbr. 157). Seperti osilator mekanis, seperti benda masif pada pegas elastis, osilasi alami dalam rangkaian disertai dengan transformasi energi.

Beras. 157. Sirkuit osilasi

Analogi antara osilasi mekanik dan elektromagnetik. Untuk rangkaian osilasi, analog dari energi potensial osilator mekanik (misalnya, energi elastis pegas terdeformasi) adalah energi medan listrik dalam kapasitor. Analog dari energi kinetik benda yang bergerak adalah energi Medan gaya dalam induktor. Memang, energi pegas sebanding dengan kuadrat perpindahan dari posisi kesetimbangan, dan energi kapasitor sebanding dengan kuadrat muatan Energi kinetik benda sebanding dengan kuadrat kecepatannya, dan energi medan magnet dalam kumparan sebanding dengan kuadrat arus.

Energi mekanik total osilator pegas E sama dengan jumlah energi potensial dan kinetik:

Energi getaran. Demikian pula, energi elektromagnetik total dari rangkaian osilasi sama dengan jumlah energi medan listrik dalam kapasitor dan medan magnet dalam kumparan:

Dari perbandingan rumus (1) dan (2) berikut bahwa analog kekakuan k osilator pegas pada rangkaian osilasi adalah nilai kebalikan dari kapasitansi C, dan analog dari massa adalah induktansi kumparan

Ingatlah bahwa dalam sistem mekanik, yang energinya diberikan oleh ekspresi (1), osilasi harmonik tak teredam sendiri dapat terjadi. Kuadrat frekuensi osilasi tersebut sama dengan rasio koefisien pada kuadrat perpindahan dan kecepatan dalam ekspresi energi:

Frekuensi sendiri. Dalam rangkaian osilasi, energi elektromagnetik yang diberikan oleh ekspresi (2), osilasi harmonik tak teredam sendiri dapat terjadi, kuadrat frekuensinya juga, jelas, sama dengan rasio koefisien yang sesuai (yaitu, koefisien pada kuadrat muatan dan kekuatan arus):

Dari (4) mengikuti ekspresi untuk periode osilasi, yang disebut rumus Thomson:

Dengan osilasi mekanis, ketergantungan perpindahan x terhadap waktu ditentukan oleh fungsi kosinus, yang argumennya disebut fase osilasi:

Amplitudo dan fase awal. Amplitudo A dan fase awal a ditentukan oleh kondisi awal, yaitu nilai perpindahan dan kecepatan pada

Demikian pula, dengan osilasi alami elektromagnetik dalam rangkaian, muatan kapasitor bergantung pada waktu menurut hukum

di mana frekuensi ditentukan, sesuai dengan (4), hanya oleh sifat-sifat rangkaian itu sendiri, dan amplitudo osilasi muatan dan fase awal a, seperti dalam kasus osilator mekanik, ditentukan

kondisi awal, yaitu nilai muatan kapasitor dan kekuatan arus pada Jadi, frekuensi alami tidak tergantung pada metode eksitasi osilasi, sedangkan amplitudo dan fase awal ditentukan secara tepat oleh kondisi eksitasi .

Transformasi energi. Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci transformasi energi selama osilasi mekanik dan elektromagnetik. pada gambar. 158 secara skematis menunjukkan keadaan osilator mekanik dan elektromagnetik pada interval waktu seperempat periode

Beras. 158. Transformasi energi selama getaran mekanis dan elektromagnetik

Dua kali selama periode osilasi, energi diubah dari satu bentuk ke bentuk lain dan sebaliknya. Energi total dari rangkaian osilasi, seperti energi total osilator mekanik, tetap tidak berubah tanpa adanya disipasi. Untuk memverifikasi ini, perlu untuk mengganti ekspresi (6) untuk dan ekspresi untuk kekuatan saat ini ke dalam rumus (2)

Menggunakan rumus (4) untuk kita peroleh

Beras. 159. Grafik energi medan listrik kapasitor dan energi medan magnet dalam kumparan sebagai fungsi waktu pengisian kapasitor

Energi total konstan bertepatan dengan energi potensial pada saat muatan kapasitor maksimum, dan bertepatan dengan energi medan magnet kumparan - energi "kinetik" - pada saat muatan kapasitor hilang dan arusnya maksimal. Selama transformasi timbal balik, dua jenis energi membuat osilasi harmonik dengan amplitudo yang sama dalam antifase satu sama lain dan dengan frekuensi relatif terhadap nilai rata-ratanya. Ini mudah untuk diverifikasi seperti dari Gambar. 158, dan dengan bantuan rumus fungsi trigonometri setengah argumen:

Grafik ketergantungan energi medan listrik dan energi medan magnet pada waktu pengisian kapasitor ditunjukkan pada gambar. 159 untuk fase awal

Keteraturan kuantitatif osilasi elektromagnetik alami dapat ditetapkan secara langsung berdasarkan hukum untuk arus kuasi-stasioner, tanpa menggunakan analogi dengan osilasi mekanis.

Persamaan getaran pada rangkaian. Pertimbangkan rangkaian osilasi paling sederhana yang ditunjukkan pada Gambar. 157. Ketika melewati sirkuit, misalnya, berlawanan arah jarum jam, jumlah tegangan pada induktor dan kapasitor dalam rangkaian seri tertutup seperti itu adalah nol:

Tegangan pada kapasitor berhubungan dengan muatan pelat dan kapasitansi Dengan hubungan Tegangan pada induktansi setiap saat adalah sama dalam nilai absolut dan berlawanan tanda Induksi diri EMF, sehingga arus dalam rangkaian sama dengan laju perubahan muatan kapasitor:

Kami mendapatkan ekspresi Sekarang (10) mengambil bentuk

Mari kita tulis ulang persamaan ini secara berbeda, dengan definisi:

Persamaan (12) bertepatan dengan persamaan getaran harmonik osilator mekanik dengan frekuensi alami Solusi dari persamaan tersebut diberikan oleh fungsi harmonik (sinusoidal) waktu (6) dengan nilai amplitudo dan fase awal yang berubah-ubah a. Dari sini ikuti semua hasil di atas mengenai osilasi elektromagnetik di sirkuit.

Redaman osilasi elektromagnetik. Sejauh ini, kita telah membahas eigenosilasi dalam sistem mekanik ideal dan sirkuit LC ideal. Idealisasinya adalah mengabaikan gesekan pada osilator dan hambatan listrik pada rangkaian. Hanya dalam kasus ini sistem akan konservatif dan energi osilasi akan kekal.

Beras. 160. Sirkuit osilasi dengan resistansi

Perhitungan disipasi energi osilasi dalam rangkaian dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti yang dilakukan dalam kasus osilator mekanis dengan gesekan. Adanya hambatan listrik pada koil dan kabel penghubung pasti terkait dengan pelepasan panas Joule. Seperti sebelumnya, perlawanan ini dapat dilihat sebagai elemen independen di dalam diagram pengkabelan rangkaian osilasi, dengan menganggap kumparan dan kabel ideal (Gbr. 160). Ketika mempertimbangkan arus kuasi-stasioner dalam rangkaian seperti itu, dalam persamaan (10) perlu untuk menambahkan tegangan melintasi resistansi

Substitusi ke kita dapatkan

Memperkenalkan notasi

kita tulis ulang persamaan (14) dalam bentuk

Persamaan (16) untuk memiliki bentuk yang persis sama dengan persamaan untuk getaran osilator mekanik dengan

gesekan sebanding dengan kecepatan (gesekan kental). Oleh karena itu, dengan adanya hambatan listrik dalam rangkaian, osilasi elektromagnetik terjadi menurut hukum yang sama seperti osilasi mekanis osilator dengan gesekan kental.

Disipasi energi getaran. Seperti halnya getaran mekanis, dimungkinkan untuk menetapkan hukum penurunan energi getaran alami terhadap waktu, dengan menerapkan hukum Joule-Lenz untuk menghitung panas yang dilepaskan:

Akibatnya, dalam kasus redaman rendah untuk interval waktu yang lebih lama dari periode osilasi, laju penurunan energi osilasi ternyata sebanding dengan energi itu sendiri:

Solusi persamaan (18) memiliki bentuk

Energi osilasi elektromagnetik alami dalam rangkaian dengan resistansi berkurang secara eksponensial.

Energi osilasi sebanding dengan kuadrat amplitudonya. Untuk osilasi elektromagnetik, ini mengikuti, misalnya, dari (8). Oleh karena itu, amplitudo osilasi teredam, sesuai dengan (19), berkurang sesuai dengan hukum

Seumur hidup osilasi. Seperti dapat dilihat dari (20), amplitudo osilasi berkurang dengan faktor 1 dalam waktu yang sama dengan, terlepas dari nilai awal amplitudo Kali ini x disebut masa osilasi, meskipun, seperti dapat dilihat dari (20), osilasi secara formal berlanjut tanpa batas. Pada kenyataannya, tentu saja, masuk akal untuk berbicara tentang osilasi hanya selama amplitudonya melebihi nilai karakteristik tingkat kebisingan termal di sirkuit tertentu. Oleh karena itu, sebenarnya, osilasi dalam rangkaian "hidup" untuk waktu yang terbatas, yang, bagaimanapun, dapat beberapa kali lebih besar daripada masa pakai x yang dijelaskan di atas.

Seringkali penting untuk mengetahui bukan masa osilasi x itu sendiri, tetapi jumlah osilasi lengkap yang akan terjadi dalam rangkaian selama waktu x ini. Angka ini dikalikan dengan disebut faktor kualitas sirkuit.

Sebenarnya, osilasi teredam tidak periodik. Dengan redaman kecil, kita dapat berbicara secara kondisional tentang suatu periode, yang dipahami sebagai interval waktu antara dua

nilai maksimum berturut-turut dari muatan kapasitor (dengan polaritas yang sama), atau nilai maksimum arus (satu arah).

Redaman osilasi mempengaruhi periode, menyebabkan peningkatannya dibandingkan dengan kasus ideal tanpa redaman. Dengan redaman rendah, peningkatan periode osilasi sangat kecil. Namun, dengan redaman yang kuat, mungkin tidak ada osilasi sama sekali: kapasitor bermuatan akan melepaskan muatan secara berkala, yaitu, tanpa mengubah arah arus dalam rangkaian. Jadi itu akan dengan yaitu dengan

solusi yang tepat. Pola osilasi teredam yang dirumuskan di atas mengikuti solusi eksak persamaan diferensial (16). Dengan substitusi langsung, seseorang dapat memverifikasi bahwa ia memiliki bentuk

di mana adalah konstanta arbitrer yang nilainya ditentukan dari kondisi awal. Untuk redaman rendah, pengali kosinus dapat dilihat sebagai amplitudo osilasi yang bervariasi secara perlahan.

Sebuah tugas

Pengisian kapasitor melalui induktor. Di sirkuit, diagram yang ditunjukkan pada Gambar. 161, muatan kapasitor atas sama dan kapasitor bawah tidak bermuatan. Saat ini kuncinya tertutup. Temukan ketergantungan waktu dari muatan kapasitor atas dan arus dalam kumparan.

Beras. 161. Hanya satu kapasitor yang diisi pada saat awal waktu

Beras. 162. Muatan kapasitor dan arus dalam rangkaian setelah kunci ditutup

Beras. 163. Analogi mekanik untuk rangkaian listrik yang ditunjukkan pada gambar. 162

Larutan. Setelah kunci ditutup, osilasi terjadi di sirkuit: kapasitor atas mulai mengalir melalui koil, saat mengisi yang lebih rendah; maka semuanya terjadi dalam arah yang berlawanan. Biarkan, misalnya, di , pelat atas kapasitor bermuatan positif. Kemudian

setelah waktu yang singkat, tanda-tanda muatan pelat kapasitor dan arah arus akan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 162. Dilambangkan dengan muatan pelat kapasitor atas dan bawah, yang saling berhubungan melalui induktor. Berdasarkan hukum konservasi muatan listrik

Jumlah tegangan pada semua elemen rangkaian tertutup pada setiap momen waktu sama dengan nol:

Tanda tegangan pada kapasitor sesuai dengan distribusi muatan pada gambar. 162. dan arah arus yang ditunjukkan. Ekspresi untuk arus melalui kumparan dapat ditulis dalam salah satu dari dua bentuk:

Mari kita keluarkan dari persamaan menggunakan hubungan (22) dan (24):

Memperkenalkan notasi

kami menulis ulang (25) dalam bentuk berikut:

Jika alih-alih memperkenalkan fungsi

dan pertimbangkan bahwa (27) mengambil bentuk

Ini adalah persamaan biasa osilasi harmonik tak teredam, yang memiliki solusi

dimana dan adalah konstanta arbitrer.

Kembali dari fungsi, kami memperoleh ekspresi berikut untuk ketergantungan pada waktu pengisian kapasitor atas:

Untuk menentukan konstanta dan a, kita memperhitungkan bahwa pada saat awal muatan a arus Untuk kekuatan arus dari (24) dan (31) kita miliki

Karena berikut dari sini bahwa Mengganti sekarang dan dengan mempertimbangkan yang kita dapatkan

Jadi, ekspresi untuk muatan dan kekuatan arus adalah

Sifat muatan dan osilasi arus sangat jelas ketika: nilai yang sama kapasitas kapasitor. Pada kasus ini

Muatan kapasitor atas berosilasi dengan amplitudo sekitar nilai rata-rata sama dengan Setengah periode osilasi, itu berkurang dari nilai maksimum pada saat awal menjadi nol, ketika seluruh muatan berada pada kapasitor bawah.

Ekspresi (26) untuk frekuensi osilasi, tentu saja, dapat segera ditulis, karena dalam rangkaian yang dipertimbangkan kapasitor dihubungkan secara seri. Namun, sulit untuk menulis ekspresi (34) secara langsung, karena dalam kondisi awal seperti itu tidak mungkin untuk mengganti kapasitor yang termasuk dalam rangkaian dengan satu kapasitor yang setara.

Representasi visual dari proses yang terjadi di sini diberikan oleh analog mekanik dari rangkaian listrik ini, yang ditunjukkan pada Gambar. 163. Pegas yang identik sesuai dengan kasus kondensor dengan kapasitas yang sama. Pada saat awal, pegas kiri dikompresi, yang sesuai dengan kapasitor bermuatan, dan pegas kanan dalam keadaan tidak terdeformasi, karena tingkat deformasi pegas berfungsi sebagai analog dari muatan kapasitor. Ketika melewati posisi tengah, kedua pegas dikompresi sebagian, dan pada posisi paling kanan, pegas kiri tidak berubah bentuk, dan pegas kanan dikompresi dengan cara yang sama seperti pegas kiri pada momen awal, yang sesuai dengan aliran penuh muatan dari satu kapasitor ke kapasitor lain. Meskipun bola melakukan osilasi harmonik biasa di sekitar posisi kesetimbangan, deformasi masing-masing pegas dijelaskan oleh fungsi yang nilai rata-ratanya berbeda dari nol.

Berbeda dengan rangkaian osilasi dengan kapasitor tunggal, di mana selama osilasi terjadi pengisian ulang penuh yang berulang, dalam sistem yang dipertimbangkan, kapasitor yang terisi awal tidak terisi penuh. Misalnya, ketika muatannya berkurang menjadi nol, dan kemudian dikembalikan lagi dalam polaritas yang sama. Jika tidak, osilasi ini tidak berbeda dari osilasi harmonik dalam rangkaian konvensional. Energi osilasi ini kekal, jika, tentu saja, hambatan kumparan dan kabel penghubung dapat diabaikan.

Jelaskan mengapa, dari perbandingan rumus (1) dan (2) untuk energi mekanik dan elektromagnetik, disimpulkan bahwa analog dari kekakuan k adalah dan analog dari massa adalah induktansi dan bukan sebaliknya.

Berikan pembenaran untuk penurunan ekspresi (4) untuk frekuensi alami osilasi elektromagnetik dalam rangkaian dari analogi dengan osilator pegas mekanis.

Osilasi harmonik dalam -rangkaian dicirikan oleh amplitudo, frekuensi, periode, fase osilasi, fase awal. Manakah dari jumlah ini yang ditentukan oleh sifat-sifat rangkaian osilasi itu sendiri, dan mana yang bergantung pada metode eksitasi osilasi?

Buktikan bahwa nilai rata-rata energi listrik dan magnet selama osilasi alami dalam rangkaian adalah sama satu sama lain dan merupakan setengah dari total energi elektromagnetik osilasi.

Bagaimana menerapkan hukum fenomena quasi-stasioner dalam rangkaian listrik untuk menurunkan persamaan diferensial (12) untuk osilasi harmonik dalam -rangkaian?

Persamaan diferensial apa yang dipenuhi arus dalam rangkaian LC?

Turunkan persamaan untuk laju penurunan energi getaran pada redaman rendah dengan cara yang sama seperti yang dilakukan untuk osilator mekanis dengan gesekan yang sebanding dengan kecepatan, dan tunjukkan bahwa untuk interval waktu yang secara signifikan melebihi periode osilasi, penurunan ini terjadi menurut hukum eksponensial. Apa arti istilah "atenuasi kecil" yang digunakan di sini?

Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan oleh rumus (21) memenuhi persamaan (16) untuk sembarang nilai dari dan a.

Pertimbangkan sistem mekanis yang ditunjukkan pada Gambar. 163, dan temukan ketergantungan pada waktu deformasi pegas kiri dan kecepatan benda masif.

Loop tanpa perlawanan dengan kerugian yang tak terelakkan. Dalam masalah yang dipertimbangkan di atas, terlepas dari kondisi awal yang tidak biasa untuk muatan pada kapasitor, persamaan biasa untuk sirkuit listrik dapat diterapkan, karena kondisi kuasi-stasioneritas dari proses yang sedang berlangsung dipenuhi di sana. Tetapi di sirkuit, diagram yang ditunjukkan pada Gambar. 164, dengan kemiripan eksternal formal dengan diagram pada gambar. 162, kondisi quasi-stasioneritas tidak terpenuhi jika pada momen awal satu kapasitor diisi, dan kapasitor kedua tidak.

Mari kita bahas secara lebih rinci alasan mengapa kondisi quasi-stasioneritas dilanggar di sini. Segera setelah ditutup

Beras. 164. Sirkuit listrik yang kondisi kuasi-stasioneritasnya tidak terpenuhi

Kuncinya adalah bahwa semua proses dimainkan hanya dalam kapasitor yang saling berhubungan, karena peningkatan arus melalui induktor relatif lambat dan pada awalnya percabangan arus ke dalam kumparan dapat diabaikan.

Ketika kunci ditutup, osilasi teredam cepat terjadi di sirkuit yang terdiri dari kapasitor dan kabel yang menghubungkannya. Periode osilasi semacam itu sangat kecil, karena induktansi kabel penghubung kecil. Sebagai hasil dari osilasi ini, muatan pada pelat kapasitor didistribusikan kembali, setelah itu kedua kapasitor dapat dianggap sebagai satu. Tetapi pada saat pertama ini tidak dapat dilakukan, karena seiring dengan redistribusi muatan, ada juga redistribusi energi, yang sebagian menjadi panas.

Setelah redaman osilasi cepat, osilasi terjadi dalam sistem, seperti pada rangkaian dengan satu kapasitor kapasitansi, yang muatannya pada saat awal sama dengan muatan awal kapasitor.Syarat validitas alasan di atas adalah kecilnya induktansi kabel penghubung dibandingkan dengan induktansi kumparan.

Seperti dalam masalah yang dipertimbangkan, akan berguna juga untuk menemukan analogi mekanis di sini. Jika ada dua pegas yang sesuai dengan kondensor terletak di kedua sisi tubuh besar, di sini mereka harus ditempatkan di satu sisi, sehingga getaran salah satu dari mereka dapat ditransmisikan ke yang lain saat tubuh diam. Alih-alih dua pegas, Anda dapat mengambil satu, tetapi hanya pada saat awal itu harus dideformasi secara tidak homogen.

Pegas kita pegang di tengahnya dan regangkan setengah kirinya untuk beberapa jarak.Separuh kedua pegas akan tetap dalam keadaan tidak berubah, sehingga beban pada saat awal dipindahkan dari posisi setimbang ke kanan dengan jarak dan beristirahat. Kalau begitu mari kita lepaskan musim semi. Fitur apa yang akan dihasilkan dari fakta bahwa pada saat awal pegas berubah bentuk secara tidak homogen? karena, seperti yang mudah dilihat, kekakuan "setengah" pegas adalah Jika massa pegas kecil dibandingkan dengan massa bola, frekuensi alami pegas sebagai sistem yang diperpanjang jauh lebih besar daripada frekuensi bola pada pegas. Getaran "cepat" ini akan padam dalam waktu yang merupakan bagian kecil dari periode getaran bola. Setelah redaman osilasi cepat, ketegangan pada pegas didistribusikan kembali, dan perpindahan beban praktis tetap sama, karena beban tidak punya waktu untuk bergerak secara nyata selama waktu ini. Deformasi pegas menjadi seragam, dan energi sistem sama dengan

Dengan demikian, peran osilasi cepat pegas dikurangi menjadi fakta bahwa cadangan energi sistem menurun ke nilai yang sesuai dengan deformasi awal pegas yang seragam. Jelas bahwa proses selanjutnya dalam sistem tidak berbeda dengan kasus deformasi awal yang homogen. Ketergantungan perpindahan beban terhadap waktu dinyatakan dengan rumus yang sama (36).

Dalam contoh yang dipertimbangkan, sebagai akibat dari fluktuasi yang cepat, itu berubah menjadi energi dalam(menjadi panas) setengah dari pasokan awal energi mekanik. Jelas bahwa dengan menundukkan deformasi awal bukan setengahnya, tetapi ke bagian pegas yang sewenang-wenang, dimungkinkan untuk mengubah sebagian kecil dari pasokan awal energi mekanik menjadi energi internal. Tetapi dalam semua kasus, energi getaran beban pada pegas sesuai dengan cadangan energi untuk deformasi awal pegas yang seragam.

Dalam rangkaian listrik, sebagai akibat dari osilasi cepat teredam, energi kapasitor bermuatan sebagian dilepaskan dalam bentuk panas Joule di kabel penghubung. Dengan kapasitas yang sama, ini akan menjadi setengah dari cadangan energi awal. Setengah lainnya tetap dalam bentuk energi osilasi elektromagnetik yang relatif lambat dalam rangkaian yang terdiri dari sebuah kumparan dan dua kapasitor C yang dihubungkan secara paralel, dan

Jadi, dalam sistem ini, idealisasi pada dasarnya tidak dapat diterima, di mana disipasi energi osilasi diabaikan. Alasan untuk ini adalah bahwa osilasi cepat dimungkinkan di sini, tanpa memengaruhi induktor atau benda masif dalam sistem mekanis serupa.

Sirkuit osilasi dengan elemen non-linier. Dalam mempelajari getaran mekanis, kita telah melihat bahwa getaran tidak selalu harmonik. Getaran harmonik adalah properti karakteristik sistem linier, di mana

gaya pemulih sebanding dengan deviasi dari posisi kesetimbangan, dan energi potensial sebanding dengan kuadrat deviasi. Sistem mekanik nyata, sebagai suatu peraturan, tidak memiliki sifat-sifat ini, dan osilasi di dalamnya dapat dianggap harmonik hanya untuk penyimpangan kecil dari posisi kesetimbangan.

Dalam kasus osilasi elektromagnetik dalam suatu rangkaian, orang mungkin mendapat kesan bahwa kita berhadapan dengan sistem ideal di mana osilasinya benar-benar harmonis. Namun, ini benar hanya selama kapasitansi kapasitor dan induktansi kumparan dapat dianggap konstan, yaitu, tidak tergantung pada muatan dan arus. Kapasitor dengan dielektrik dan koil dengan inti, sebenarnya, adalah elemen non-linear. Ketika kapasitor diisi dengan feroelektrik, yaitu zat yang konstanta dielektriknya sangat bergantung pada medan listrik yang diberikan, kapasitansi kapasitor tidak dapat lagi dianggap konstan. Demikian pula, induktansi kumparan dengan inti feromagnetik tergantung pada kekuatan arus, karena feromagnet memiliki sifat saturasi magnetik.

Jika dalam sistem osilasi mekanik massa, sebagai suatu peraturan, dapat dianggap konstan dan nonlinier hanya terjadi karena sifat nonlinier dari gaya yang bekerja, maka dalam rangkaian osilasi elektromagnetik, nonlinier dapat terjadi baik karena kapasitor (analog dengan elastis). pegas) dan karena induktor ( analog massa).

Mengapa idealisasi tidak dapat diterapkan untuk rangkaian osilasi dengan dua kapasitor paralel (Gbr. 164), di mana sistem dianggap konservatif?

Mengapa osilasi cepat mengarah ke disipasi energi osilasi di sirkuit pada Gambar. 164 tidak terjadi di sirkuit dengan dua kapasitor seri yang ditunjukkan pada gambar. 162?

Alasan apa yang dapat menyebabkan non-sinusoidalitas osilasi elektromagnetik di sirkuit?

Sirkuit osilasi listrik adalah sistem untuk eksitasi dan pemeliharaan osilasi elektromagnetik. Dalam bentuknya yang paling sederhana, ini adalah rangkaian yang terdiri dari kumparan dengan induktansi L, kapasitor dengan kapasitansi C dan resistor dengan resistansi R yang dihubungkan secara seri (Gbr. 129). Ketika sakelar P diatur ke posisi 1, kapasitor C dibebankan ke tegangan kamu T. Dalam hal ini, antara pelat kapasitor terbentuk Medan listrik, yang energi maksimumnya sama dengan

Ketika sakelar dipindahkan ke posisi 2, rangkaian menutup dan proses berikut terjadi di dalamnya. Kapasitor mulai melepaskan dan arus mengalir melalui rangkaian saya, yang nilainya meningkat dari nol ke nilai maksimum dan kemudian menurun kembali ke nol. Karena arus bolak-balik mengalir di sirkuit, EMF diinduksi dalam koil, yang mencegah kapasitor dari pengosongan. Oleh karena itu, proses pengosongan kapasitor tidak terjadi secara instan, melainkan bertahap. Sebagai hasil dari munculnya arus dalam kumparan, medan magnet muncul, yang energinya adalah
mencapai nilai maksimumnya pada arus yang sama dengan . Energi maksimum medan magnet akan sama dengan

Setelah mencapai nilai maksimum, arus dalam rangkaian akan mulai berkurang. Dalam hal ini kapasitor akan diisi ulang, energi medan magnet pada kumparan akan berkurang, dan energi medan listrik pada kapasitor akan meningkat. Setelah mencapai nilai maksimum. Proses akan mulai berulang dan osilasi medan listrik dan magnet terjadi di sirkuit. Jika kita asumsikan bahwa hambatan
(yaitu tidak ada energi yang dihabiskan untuk pemanasan), maka menurut hukum kekekalan energi, energi total W tetap konstan

Dan
;
.

Sirkuit di mana tidak ada kehilangan energi disebut ideal. Tegangan dan arus dalam rangkaian berubah sesuai dengan hukum harmonik

;

di mana - frekuensi osilasi melingkar (siklik)
.

Frekuensi melingkar berhubungan dengan frekuensi osilasi dan periode fluktuasi T rasio.

H dan ara. 130 menunjukkan grafik tegangan U dan arus I dalam kumparan rangkaian osilasi ideal. Dapat dilihat bahwa kekuatan arus tertinggal sefasa dengan tegangan sebesar .

;
;
- Rumus Thomson.

Dalam hal resistensi
, rumus Thomson mengambil bentuk

Dasar-dasar teori Maxwell

Teori Maxwell adalah teori medan elektromagnetik tunggal yang diciptakan oleh sistem muatan dan arus yang berubah-ubah. Secara teori, masalah utama elektrodinamika terpecahkan - menurut distribusi muatan dan arus tertentu, karakteristik medan listrik dan magnet yang diciptakan oleh mereka ditemukan. Teori Maxwell adalah generalisasi dari hukum paling penting yang menjelaskan fenomena listrik dan elektromagnetik - teorema Ostrogradsky-Gauss untuk medan listrik dan magnet, hukum arus total, hukum induksi elektromagnetik dan teorema sirkulasi vektor kuat medan listrik. Teori Maxwell bersifat fenomenologis, yaitu itu tidak mempertimbangkan mekanisme internal dari fenomena yang terjadi di lingkungan dan menyebabkan penampilan medan listrik dan magnet. Dalam teori Maxwell, medium dideskripsikan menggunakan tiga karakteristik - dielektrik dan permeabilitas magnetik medium dan konduktivitas listrik .

Osilasi listrik dipahami sebagai perubahan periodik dalam muatan, arus dan tegangan. Sistem paling sederhana di mana osilasi listrik bebas dimungkinkan adalah apa yang disebut rangkaian osilasi. Ini adalah perangkat yang terdiri dari kapasitor dan kumparan yang terhubung satu sama lain. Kita akan mengasumsikan bahwa tidak ada tahanan aktif dari kumparan, dalam hal ini rangkaian disebut ideal. Ketika energi dikomunikasikan ke sistem ini, osilasi harmonik tak teredam dari muatan pada kapasitor, tegangan dan arus akan terjadi di dalamnya.

Dimungkinkan untuk menginformasikan rangkaian osilasi energi cara yang berbeda. Misalnya, dengan mengisi kapasitor dari sumber arus searah atau arus eksitasi pada induktor. Dalam kasus pertama, medan listrik antara pelat kapasitor memiliki energi. Yang kedua, energi terkandung dalam medan magnet dari arus yang mengalir melalui rangkaian.

1 Persamaan osilasi dalam rangkaian

Mari kita buktikan bahwa ketika energi diberikan ke rangkaian, osilasi harmonik tak teredam akan terjadi di dalamnya. Untuk melakukan ini, perlu untuk memperoleh persamaan diferensial dari osilasi harmonik dalam bentuk .

Misalkan kapasitor diisi dan ditutup ke koil. Kapasitor akan mulai melepaskan, arus akan mengalir melalui koil. Menurut hukum kedua Kirchhoff, jumlah tegangan jatuh di sepanjang sirkuit tertutup sama dengan jumlah EMF di sirkuit ini .

Dalam kasus kami, penurunan tegangan adalah karena rangkaiannya ideal. Kapasitor dalam rangkaian berperilaku seperti sumber arus, perbedaan potensial antara pelat kapasitor bertindak sebagai EMF, di mana muatan pada kapasitor, adalah kapasitansi kapasitor. Selain itu, ketika arus yang berubah mengalir melalui koil, EMF induksi sendiri muncul di dalamnya, di mana induktansi koil, adalah laju perubahan arus dalam koil. Karena EMF induksi diri mencegah proses pengosongan kapasitor, hukum Kirchhoff kedua berbentuk

Tetapi arus dalam rangkaian adalah arus pengosongan atau pengisian kapasitor, oleh karena itu. Kemudian

Persamaan diferensial diubah menjadi bentuk

Dengan memperkenalkan notasi , kita memperoleh persamaan diferensial yang terkenal dari osilasi harmonik.

Ini berarti bahwa muatan pada kapasitor dalam rangkaian osilasi akan berubah sesuai dengan hukum harmonik

di mana adalah nilai maksimum muatan pada kapasitor, adalah frekuensi siklik, adalah fase awal osilasi.

Periode osilasi muatan . Ungkapan ini disebut rumus Thompson.

Tegangan kapasitor

Arus sirkuit

Kita melihat bahwa selain muatan pada kapasitor, menurut hukum harmonik, arus pada rangkaian dan tegangan pada kapasitor juga akan berubah. Tegangan berosilasi sefase dengan muatan, dan arus mendahului muatan dalam

fase aktif.

Energi medan listrik kapasitor

Energi arus medan magnet

Dengan demikian, energi medan listrik dan magnet juga berubah menurut hukum harmonik, tetapi dengan frekuensi dua kali lipat.

Meringkaskan

Osilasi listrik harus dipahami sebagai perubahan periodik dalam muatan, tegangan, kuat arus, energi medan listrik, energi medan magnet. Osilasi ini, seperti yang mekanis, dapat bebas dan paksa, harmonik dan non-harmonik. Osilasi listrik harmonik bebas dimungkinkan dalam rangkaian osilasi yang ideal.

2 Proses yang terjadi dalam rangkaian osilasi

Kami secara matematis membuktikan adanya osilasi harmonik bebas dalam rangkaian osilasi. Namun, masih belum jelas mengapa proses seperti itu mungkin terjadi. Apa yang menyebabkan getaran pada rangkaian?

Dalam kasus getaran mekanis bebas, alasan seperti itu ditemukan - ini adalah kekuatan batin, yang muncul ketika sistem dikeluarkan dari kesetimbangan. Gaya ini setiap saat diarahkan ke posisi keseimbangan dan sebanding dengan koordinat benda (dengan tanda minus). Mari kita coba mencari alasan serupa untuk terjadinya osilasi pada rangkaian osilasi.

Biarkan osilasi di sirkuit tereksitasi dengan mengisi kapasitor dan menutupnya ke koil.

Pada saat awal, muatan pada kapasitor adalah maksimum. Akibatnya, tegangan dan energi medan listrik kapasitor juga maksimum.

Tidak ada arus di sirkuit, energi medan magnet arus adalah nol.

Kuartal pertama periode- pelepasan kapasitor.

Pelat kapasitor, yang memiliki potensi berbeda, dihubungkan oleh konduktor, sehingga kapasitor mulai mengalir melalui koil. Muatan, tegangan pada kapasitor dan energi medan listrik berkurang.

Arus yang muncul pada rangkaian meningkat, namun pertumbuhannya dicegah oleh EMF induksi diri yang terjadi pada kumparan. Energi medan magnet arus meningkat.

Seperempat telah berlalu- kapasitor habis.

Kapasitor habis, tegangan di atasnya menjadi sama dengan nol. Energi medan listrik pada saat ini juga sama dengan nol. Menurut hukum kekekalan energi, itu tidak bisa hilang. Energi medan kapasitor telah sepenuhnya berubah menjadi energi medan magnet kumparan, yang pada saat ini mencapai nilai maksimumnya. Arus maksimum dalam rangkaian.

Tampaknya pada saat ini arus dalam rangkaian harus berhenti, karena penyebab arus, medan listrik, telah hilang. Namun, hilangnya arus kembali dicegah oleh EMF dari induksi sendiri dalam koil. Sekarang ia akan mempertahankan arus yang menurun, dan ia akan terus mengalir ke arah yang sama, mengisi kapasitor. Kuartal kedua periode dimulai.

Kuartal kedua periode - Isi ulang kapasitor.

Arus yang didukung oleh EMF induksi diri terus mengalir ke arah yang sama, secara bertahap menurun. Arus ini mengisi kapasitor dalam polaritas yang berlawanan. Muatan dan tegangan melintasi kapasitor meningkat.

Energi medan magnet arus, menurun, masuk ke energi medan listrik kapasitor.

Kuartal kedua periode telah berlalu - kapasitor telah diisi ulang.

Kapasitor diisi ulang selama ada arus. Oleh karena itu, pada saat arus berhenti, muatan dan tegangan pada kapasitor mengambil nilai maksimum.

Energi medan magnet pada saat ini sepenuhnya berubah menjadi energi medan listrik kapasitor.

Situasi di sirkuit saat ini setara dengan yang asli. Proses di sirkuit akan diulang, tetapi dalam arah yang berlawanan. Satu osilasi lengkap dalam rangkaian, yang berlangsung selama satu periode, akan berakhir ketika sistem kembali ke keadaan semula, yaitu, ketika kapasitor diisi ulang dalam polaritas aslinya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa penyebab osilasi dalam rangkaian adalah fenomena induksi diri. EMF induksi diri mencegah perubahan arus: tidak memungkinkannya untuk meningkat secara instan dan langsung menghilang.

Omong-omong, tidak akan berlebihan untuk membandingkan ekspresi untuk menghitung gaya kuasi-elastis dalam sistem osilasi mekanis dan EMF induksi diri di sirkuit:

Sebelumnya, persamaan diferensial diperoleh untuk sistem osilasi mekanik dan listrik:

Meskipun perbedaan mendasar proses fisik untuk sistem osilasi mekanik dan listrik, identitas matematis dari persamaan yang menggambarkan proses dalam sistem ini terlihat jelas. Ini harus dibahas lebih detail.

3 Analogi antara getaran listrik dan mekanik

Analisis yang cermat dari persamaan diferensial untuk pendulum pegas dan rangkaian osilasi, serta rumus yang berkaitan dengan besaran yang mencirikan proses dalam sistem ini, memungkinkan untuk mengidentifikasi besaran mana yang berperilaku dengan cara yang sama (Tabel 2).

pendulum musim semi	Sirkuit osilasi
Koordinat tubuh ()	Muatan pada kapasitor ()
kecepatan tubuh	Arus lingkaran
Energi potensial pegas yang mengalami deformasi elastis	Energi medan listrik kapasitor
Energi kinetik beban	Energi medan magnet kumparan dengan arus
Kebalikan dari kekakuan pegas	Kapasitas kapasitor
beban berat	Induktansi kumparan
kekuatan elastis	EMF induksi diri, sama dengan tegangan pada kapasitor

Meja 2

Penting tidak hanya kesamaan formal antara besaran yang menggambarkan proses osilasi pendulum dan proses di sirkuit. Prosesnya sendiri identik!

Posisi ekstrem pendulum setara dengan keadaan rangkaian ketika muatan kapasitor maksimum.

Posisi keseimbangan bandul setara dengan keadaan rangkaian ketika kapasitor dilepaskan. Pada saat ini, gaya elastis menghilang, dan tidak ada tegangan pada kapasitor di sirkuit. Kecepatan bandul dan arus dalam rangkaian adalah maksimum. Energi potensial deformasi elastis pegas dan energi medan listrik kapasitor sama dengan nol. Energi sistem terdiri dari energi kinetik beban atau energi medan magnet arus.

Pelepasan kapasitor berlangsung serupa dengan gerakan pendulum dari posisi ekstrim ke posisi keseimbangan. Proses pengisian kapasitor identik dengan proses pelepasan beban dari posisi setimbang ke posisi ekstrim.

Energi total sistem osilasi atau tetap tidak berubah dari waktu ke waktu.

Analogi serupa dapat ditelusuri tidak hanya antara pendulum pegas dan rangkaian osilasi. Pola umum osilasi bebas dalam bentuk apa pun! Pola-pola ini, diilustrasikan dengan contoh dua sistem osilasi (pendulum pegas dan sirkuit osilasi), tidak hanya mungkin, tetapi harus melihat dalam getaran sistem apapun.

Pada prinsipnya, adalah mungkin untuk memecahkan masalah dari setiap proses osilasi dengan menggantinya dengan osilasi pendulum. Untuk melakukan ini, cukup dengan kompeten membangun sistem mekanis yang setara, memecahkan masalah mekanis dan mengubah nilai pada hasil akhir. Misalnya, Anda perlu menemukan periode osilasi dalam rangkaian yang berisi kapasitor dan dua kumparan yang dihubungkan secara paralel.

Rangkaian osilasi berisi satu kapasitor dan dua kumparan. Karena kumparan berperilaku seperti berat bandul pegas dan kapasitor berperilaku seperti pegas, sistem mekanik yang setara harus berisi satu pegas dan dua bobot. Seluruh masalah adalah bagaimana beban melekat pada pegas. Dua kasus dimungkinkan: satu ujung pegas dipasang, dan satu beban dipasang ke ujung bebas, yang kedua ada di ujung pertama, atau beban dipasang ke ujung pegas yang berbeda.

Pada koneksi paralel kumparan arus induktansi yang berbeda mengalir melalui mereka berbeda. Akibatnya, kecepatan beban dalam sistem mekanis yang identik juga harus berbeda. Jelas, ini hanya mungkin dalam kasus kedua.

Kami telah menemukan periode sistem osilasi ini. Dia setara . Mengganti massa beban dengan induktansi kumparan, dan kebalikan dari kekakuan pegas dengan kapasitansi kapasitor, kita peroleh .

4 Rangkaian osilasi dengan sumber arus searah

Pertimbangkan rangkaian osilasi yang berisi sumber arus searah. Biarkan kapasitor awalnya tidak bermuatan. Apa yang akan terjadi pada sistem setelah kunci K ditutup? Akankah osilasi diamati dalam kasus ini dan berapa frekuensi dan amplitudonya?

Jelas, setelah kunci ditutup, kapasitor akan mulai diisi. Kami menulis hukum kedua Kirchhoff:

Arus dalam rangkaian adalah arus pengisian kapasitor, oleh karena itu. Kemudian . Persamaan diferensial diubah menjadi bentuk

* Memecahkan persamaan dengan perubahan variabel.

Mari kita tunjukkan. Diferensialkan dua kali dan, dengan mempertimbangkan , kita peroleh . Persamaan diferensial mengambil bentuk

Ini adalah persamaan diferensial osilasi harmonik, solusinya adalah fungsi

di mana adalah frekuensi siklik, konstanta integrasi dan ditemukan dari kondisi awal.

Muatan pada kapasitor berubah sesuai dengan hukum

Segera setelah sakelar ditutup, muatan pada kapasitor nol dan tidak ada arus di sirkuit . Dengan mempertimbangkan kondisi awal, kami memperoleh sistem persamaan:

Memecahkan sistem, kita mendapatkan dan . Setelah kunci ditutup, muatan pada kapasitor berubah sesuai dengan hukum.

Sangat mudah untuk melihat bahwa osilasi harmonik terjadi di sirkuit. Kehadiran sumber arus searah di sirkuit tidak mempengaruhi frekuensi osilasi, itu tetap sama. "Posisi keseimbangan" telah berubah - pada saat arus dalam rangkaian maksimum, kapasitor diisi. Amplitudo osilasi muatan pada kapasitor sama dengan Cε.

Hasil yang sama dapat diperoleh lebih sederhana dengan menggunakan analogi antara osilasi dalam rangkaian dan osilasi pendulum pegas. Sumber DC setara dengan DC Medan gaya, di mana pendulum pegas ditempatkan, misalnya, medan gravitasi. Tidak adanya muatan pada kapasitor pada saat menutup rangkaian identik dengan tidak adanya deformasi pegas pada saat membawa bandul ke dalam gerakan osilasi.

Dalam medan gaya konstan, periode osilasi pendulum pegas tidak berubah. Periode osilasi dalam rangkaian berperilaku dengan cara yang sama - tetap tidak berubah ketika sumber arus searah dimasukkan ke dalam rangkaian.

Dalam posisi setimbang, ketika kecepatan beban maksimum, pegas berubah bentuk:

Ketika arus dalam rangkaian osilasi maksimum . Hukum kedua Kirchhoff ditulis sebagai berikut:

Pada saat ini, muatan pada kapasitor sama dengan Hasil yang sama dapat diperoleh berdasarkan ekspresi (*) dengan mengganti

5 Contoh pemecahan masalah

Tugas 1 Hukum kekekalan energi

L\u003d 0,5 H dan kapasitor dengan kapasitansi DARI= 20 pF terjadi osilasi listrik. Berapa tegangan maksimum yang melintasi kapasitor jika amplitudo arus dalam rangkaian adalah 1 mA? Resistansi aktif kumparan dapat diabaikan.

Larutan:

(1)

2 Pada saat tegangan pada kapasitor maksimum (muatan maksimum pada kapasitor), tidak ada arus dalam rangkaian. Energi total sistem hanya terdiri dari energi medan listrik kapasitor

(2)

3 Pada saat arus dalam rangkaian maksimum, kapasitor benar-benar habis. Energi total sistem hanya terdiri dari energi medan magnet kumparan

(3)

4 Berdasarkan ekspresi (1), (2), (3), kita memperoleh persamaan . Tegangan maksimum pada kapasitor adalah

Tugas 2 Hukum kekekalan energi

Dalam rangkaian osilasi yang terdiri dari kumparan induktansi L dan kapasitor DARI, osilasi listrik terjadi dengan periode T = 1 s. Nilai muatan maksimum . Berapa arus dalam rangkaian pada saat muatan pada kapasitor sama dengan? Resistansi aktif kumparan dapat diabaikan.

Larutan:

1 Karena hambatan aktif kumparan dapat diabaikan, energi total sistem, yang terdiri dari energi medan listrik kapasitor dan energi medan magnet kumparan, tetap tidak berubah dari waktu ke waktu:

(1)

2 Pada saat muatan kapasitor maksimum, tidak ada arus dalam rangkaian. Energi total sistem hanya terdiri dari energi medan listrik kapasitor

(2)

3 Berdasarkan (1) dan (2), kita memperoleh persamaan . Arus pada rangkaian adalah .

4 Periode osilasi dalam rangkaian ditentukan oleh rumus Thomson. Dari sini. Kemudian untuk arus dalam rangkaian kita peroleh

Tugas 3 Rangkaian osilasi dengan dua kapasitor yang dihubungkan secara paralel

Dalam rangkaian osilasi yang terdiri dari kumparan induktansi L dan kapasitor DARI, osilasi listrik terjadi dengan amplitudo muatan. Pada saat muatan kapasitor maksimum, kunci K ditutup.Berapa periode osilasi dalam rangkaian setelah kunci ditutup? Berapakah amplitudo arus dalam rangkaian setelah sakelar ditutup? Abaikan resistansi ohmik rangkaian.

Larutan:

1 Menutup kunci mengarah ke penampilan di sirkuit kapasitor lain yang terhubung secara paralel dengan yang pertama. Jumlah kapasitansi dua buah kapasitor yang dirangkai paralel adalah .

Periode osilasi dalam rangkaian hanya bergantung pada parameternya dan tidak bergantung pada bagaimana osilasi dieksitasi dalam sistem dan energi apa yang diberikan ke sistem untuk ini. Menurut rumus Thomson.

2 Untuk mencari amplitudo arus, mari kita cari tahu proses apa yang terjadi pada rangkaian setelah kunci ditutup.

Kapasitor kedua terhubung pada saat muatan pada kapasitor pertama maksimum, oleh karena itu, tidak ada arus di sirkuit.

Kapasitor loop harus mulai dikosongkan. Arus pelepasan, setelah mencapai simpul, harus dibagi menjadi dua bagian. Namun, di cabang dengan koil, EMF induksi sendiri terjadi, yang mencegah peningkatan arus pelepasan. Untuk alasan ini, seluruh arus pelepasan akan mengalir ke cabang dengan kapasitor, yang resistansi ohmiknya adalah nol. Arus akan berhenti segera setelah tegangan pada kapasitor sama, sedangkan muatan awal kapasitor didistribusikan kembali di antara kedua kapasitor. Waktu redistribusi muatan antara dua kapasitor dapat diabaikan karena tidak adanya hambatan ohmik di cabang kapasitor. Selama waktu ini, arus di cabang dengan koil tidak akan punya waktu untuk muncul. fluktuasi dalam sistem baru berlanjut setelah muatan didistribusikan kembali di antara kapasitor.

Penting untuk dipahami bahwa dalam proses mendistribusikan kembali muatan antara dua kapasitor, energi sistem tidak kekal! Sebelum kunci ditutup, satu kapasitor, kapasitor loop, memiliki energi:

Setelah muatan didistribusikan kembali, baterai kapasitor memiliki energi:

Sangat mudah untuk melihat bahwa energi sistem telah berkurang!

3 Kami menemukan amplitudo baru arus menggunakan hukum kekekalan energi. Dalam proses osilasi, energi bank kapasitor diubah menjadi energi medan magnet arus:

Harap dicatat bahwa hukum kekekalan energi mulai "bekerja" hanya setelah selesainya redistribusi muatan antara kapasitor.

Tugas 4 Rangkaian osilasi dengan dua kapasitor dihubungkan secara seri

Rangkaian osilasi terdiri dari sebuah kumparan dengan induktansi L dan dua kapasitor C dan 4C yang dihubungkan secara seri. Sebuah kapasitor dengan kapasitas C diisi dengan tegangan, kapasitor dengan kapasitas 4C tidak diisi. Setelah kunci ditutup, osilasi dimulai di sirkuit. Berapakah periode getaran tersebut? Tentukan amplitudo arus, nilai tegangan maksimum dan minimum pada masing-masing kapasitor.

Larutan:

1 Pada saat arus dalam rangkaian maksimum, tidak ada EMF induksi diri dalam kumparan . Kami menuliskan untuk saat ini hukum kedua Kirchhoff

Kita melihat bahwa pada saat arus dalam rangkaian maksimum, kapasitor dibebankan pada tegangan yang sama, tetapi dalam polaritas yang berlawanan:

2 Sebelum kunci ditutup, energi total sistem hanya terdiri dari energi medan listrik kapasitor C:

Pada saat arus dalam rangkaian maksimum, energi sistem adalah jumlah energi medan magnet arus dan energi dua kapasitor yang dibebankan pada tegangan yang sama:

Menurut hukum kekekalan energi

Untuk menemukan tegangan pada kapasitor, kami menggunakan hukum kekekalan muatan - muatan pelat bawah kapasitor C telah dipindahkan sebagian ke pelat atas kapasitor 4C:

Kami mengganti nilai tegangan yang ditemukan ke dalam hukum kekekalan energi dan menemukan amplitudo arus dalam rangkaian:

3 Mari kita cari batas di mana tegangan pada kapasitor berubah selama proses osilasi.

Jelas bahwa pada saat rangkaian ditutup, ada tegangan maksimum pada kapasitor C. Kapasitor 4C tidak diisi, oleh karena itu, .

Setelah sakelar ditutup, kapasitor C mulai dikosongkan, dan kapasitor dengan kapasitas 4C mulai diisi. Proses pengosongan kapasitor pertama dan pengisian kapasitor kedua berakhir segera setelah arus dalam rangkaian berhenti. Ini akan terjadi dalam setengah periode. Menurut hukum kekekalan energi dan muatan listrik:

Memecahkan sistem, kami menemukan:

Tanda minus berarti bahwa setelah setengah periode, kapasitansi C dibebankan dalam polaritas terbalik dari aslinya.

Tugas 5 Rangkaian osilasi dengan dua kumparan dihubungkan secara seri

Rangkaian berosilasi terdiri dari kapasitor dengan kapasitansi C dan dua kumparan dengan induktansi L1 Dan L2. Pada saat arus dalam rangkaian telah mencapai nilai maksimumnya, inti besi dengan cepat dimasukkan ke dalam kumparan pertama (dibandingkan dengan periode osilasi), yang mengarah pada peningkatan induktansinya sebesar kali. Berapa amplitudo tegangan dalam proses osilasi lebih lanjut dalam rangkaian?

Larutan:

1 Dengan pengenalan inti yang cepat ke dalam koil, fluks magnet(fenomena induksi elektromagnetik). Oleh karena itu, perubahan yang cepat dalam induktansi salah satu kumparan akan menghasilkan perubahan yang cepat pada arus dalam rangkaian.

2 Selama pengenalan inti ke dalam koil, muatan pada kapasitor tidak punya waktu untuk berubah, tetap tidak terisi (inti diperkenalkan pada saat arus dalam rangkaian maksimum). Setelah seperempat periode, energi medan magnet arus akan berubah menjadi energi kapasitor bermuatan:

Ganti dalam ekspresi yang dihasilkan nilai arus saya dan temukan amplitudo tegangan melintasi kapasitor:

Tugas 6 Rangkaian osilasi dengan dua kumparan yang dihubungkan secara paralel

Induktor L 1 dan L 2 dihubungkan melalui kunci K1 dan K2 ke kapasitor dengan kapasitansi C. Pada saat awal, kedua kunci terbuka, dan kapasitor diisi dengan beda potensial. Pertama, kunci K1 ditutup dan, ketika tegangan kapasitor menjadi sama dengan nol, K2 ditutup. Tentukan tegangan maksimum yang melintasi kapasitor setelah menutup K2. Abaikan resistansi kumparan.

Larutan:

1 Ketika kunci K2 terbuka, terjadi osilasi pada rangkaian yang terdiri dari kapasitor dan kumparan pertama. Pada saat K2 ditutup, energi kapasitor telah ditransfer menjadi energi medan magnet arus pada kumparan pertama:

2 Setelah menutup K2, dua kumparan yang terhubung secara paralel muncul di sirkuit osilasi.

Arus pada kumparan pertama tidak dapat berhenti karena fenomena induksi diri. Di simpul, ia membagi: satu bagian dari arus mengalir ke kumparan kedua, dan bagian lainnya mengisi kapasitor.

3 Tegangan pada kapasitor akan menjadi maksimum ketika arus berhenti saya pengisian kapasitor. Jelas bahwa pada saat ini arus dalam kumparan akan sama.

: Bobot tunduk pada modulus gaya yang sama - kedua bobot melekat pada pegas Segera setelah penutupan K2, ada arus di kumparan pertama Pada saat awal, beban pertama memiliki kecepatan Segera setelah menutup K2, tidak ada arus di kumparan kedua Pada saat awal, beban kedua dalam keadaan diam Berapa tegangan maksimum yang melintasi kapasitor? Berapakah gaya elastis maksimum yang terjadi pada pegas selama osilasi?

Bandul bergerak maju dengan kecepatan pusat massa dan berosilasi terhadap pusat massa.

Gaya elastis maksimum pada saat deformasi maksimum pegas. Jelas, pada saat ini, kecepatan relatif bobot menjadi sama dengan nol, dan relatif terhadap meja, bobot bergerak dengan kecepatan pusat massa. Kami menuliskan hukum kekekalan energi:

Memecahkan sistem, kami menemukan

Kami membuat pengganti

dan dapatkan untuk tegangan maksimum nilai yang ditemukan sebelumnya

6 Tugas untuk solusi independen

Latihan 1 Perhitungan periode dan frekuensi osilasi alami

1 Rangkaian osilasi mencakup kumparan induktansi variabel, bervariasi dalam L1= 0,5 H ke L2\u003d 10 H, dan kapasitor, yang kapasitansinya dapat bervariasi dari Dari 1= 10 pF ke

Dari 2\u003d 500 pF. Rentang frekuensi apa yang dapat dicakup dengan menyetel rangkaian ini?

2 Berapa kali frekuensi osilasi alami dalam rangkaian berubah jika induktansinya dinaikkan 10 kali, dan kapasitansinya berkurang 2,5 kali?

3 Rangkaian osilasi dengan kapasitor 1 uF disetel ke frekuensi 400 Hz. Jika Anda menghubungkan kapasitor kedua secara paralel, maka frekuensi osilasi dalam rangkaian menjadi sama dengan 200 Hz. Tentukan kapasitansi kapasitor kedua.

4 Rangkaian osilasi terdiri dari kumparan dan kapasitor. Berapa kali frekuensi osilasi alami dalam rangkaian berubah jika kapasitor kedua dihubungkan secara seri dalam rangkaian, yang kapasitansinya 3 kali lebih kecil dari kapasitansi yang pertama?

5 Tentukan periode osilasi dari rangkaian, yang mencakup panjang kumparan (tanpa inti) di dalam= luas penampang 50 cm m

S\u003d 3 cm 2, memiliki n\u003d 1000 putaran, dan kapasitor kapasitansi DARI= 0,5 uF.

6 Sirkuit osilasi termasuk induktor L\u003d 1,0 H dan kapasitor udara, area pelatnya S\u003d 100 cm 2. Rangkaian disetel ke frekuensi 30 MHz. Tentukan jarak antar pelat. Resistansi aktif rangkaian dapat diabaikan.

Osilasi ELEKTROMAGNETIK DAN GELOMBANG

1 Sirkuit osilasi.

Getaran alami pada rangkaian osilasi.

rumus Thomson.

Osilasi teredam dan paksa di c.c.

Getaran bebas di c.c.

Rangkaian osilasi (c.c.) adalah rangkaian yang terdiri dari kapasitor dan induktor. Dalam kondisi tertentu di c.c. fluktuasi elektromagnetik dalam muatan, arus, tegangan dan energi dapat terjadi.

Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar 2. Jika Anda meletakkan kunci di posisi 1, maka kapasitor akan diisi dan muatan akan muncul di pelatnyaQ dan ketegangan U C. Jika Anda kemudian memutar kunci ke posisi 2, maka kapasitor akan mulai melepaskan, arus akan mengalir dalam rangkaian, sedangkan energi medan listrik yang tertutup di antara pelat kapasitor akan diubah menjadi energi medan magnet yang terkonsentrasi di induktorL. Kehadiran induktor mengarah pada fakta bahwa arus dalam rangkaian tidak meningkat secara instan, tetapi secara bertahap karena fenomena induksi diri. Saat kapasitor dilepaskan, muatan pada pelatnya akan berkurang, arus dalam rangkaian akan meningkat. Nilai maksimum arus loop akan tercapai ketika muatan pada pelat sama dengan nol. Mulai saat ini, arus loop akan mulai berkurang, tetapi karena fenomena induksi sendiri, itu akan dipertahankan oleh medan magnet induktor, mis. ketika kapasitor benar-benar kosong, energi medan magnet yang tersimpan dalam induktor akan mulai berubah menjadi energi medan listrik. Karena arus loop, kapasitor akan mulai diisi ulang dan muatan yang berlawanan dengan muatan aslinya akan mulai menumpuk di pelatnya. Kapasitor akan diisi ulang sampai semua energi medan magnet induktor diubah menjadi energi medan listrik kapasitor. Kemudian proses akan diulang dalam arah yang berlawanan, dan dengan demikian, osilasi elektromagnetik akan terjadi di sirkuit.

Mari kita tuliskan hukum Kirchhoff ke-2 untuk k.k. yang dipertimbangkan,

persamaan diferensial k.k.

Kami telah memperoleh persamaan diferensial untuk osilasi muatan dalam c.c. Persamaan ini mirip dengan persamaan diferensial yang menggambarkan gerakan benda di bawah aksi gaya kuasi-elastis. Oleh karena itu, solusi persamaan ini akan ditulis dengan cara yang sama

Persamaan fluktuasi muatan dalam c.c.

Persamaan fluktuasi tegangan pada pelat kapasitor di c.c.

Persamaan fluktuasi arus dalam k.k.

Osilasi teredam di QC

Pertimbangkan CC yang mengandung kapasitansi, induktansi, dan resistansi. Hukum 2 Kirchhoff dalam kasus ini akan ditulis dalam bentuk

- faktor atenuasi,

Frekuensi siklik sendiri.

- - persamaan diferensial osilasi teredam di c.c.

Persamaan osilasi muatan teredam dalam c.c.

Hukum perubahan amplitudo muatan selama osilasi teredam di c.c.;

Periode getaran teredam.

Penurunan atenuasi.

- pengurangan redaman logaritmik.

Kebaikan sirkuit.

Jika redamannya lemah, maka T T 0

Kami menyelidiki perubahan tegangan pada pelat kapasitor.

Perubahan arus keluar fase sebesar dari tegangan.

di - osilasi teredam dimungkinkan,

di - situasi kritis

di , yaitu R > RKE- fluktuasi tidak terjadi (pengosongan kapasitor aperiodik).

Getaran elektromagnetik adalah perubahan periodik dari waktu ke waktu dalam listrik dan besaran magnet dalam suatu rangkaian listrik.

Gratis disebut demikian fluktuasi, yang muncul dalam sistem tertutup karena penyimpangan sistem ini dari keadaan kesetimbangan stabil.

Selama osilasi, terjadi proses transformasi energi sistem yang berkelanjutan dari satu bentuk ke bentuk lainnya. Dalam kasus ragu-ragu medan elektromagnetik pertukaran hanya dapat terjadi antara komponen listrik dan magnet dari medan ini. Sistem paling sederhana di mana proses ini dapat terjadi adalah sirkuit osilasi.

Sirkuit osilasi yang ideal (sirkuit LC) - sirkuit listrik yang terdiri dari kumparan induktansi L dan kapasitor C.

Tidak seperti rangkaian osilasi nyata, yang memiliki hambatan listrik R, hambatan listrik kontur ideal selalu nol. Oleh karena itu, rangkaian osilasi ideal adalah model sederhana dari rangkaian nyata.

Gambar 1 menunjukkan diagram rangkaian osilasi ideal.

Energi sirkuit

Energi total dari rangkaian osilasi

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Di mana Kita- energi medan listrik dari rangkaian osilasi di saat ini waktu DARI adalah kapasitansi kapasitor, kamu- nilai tegangan pada kapasitor pada waktu tertentu, Q- nilai muatan kapasitor pada waktu tertentu, wm- energi medan magnet dari rangkaian osilasi pada waktu tertentu, L- induktansi kumparan, saya- nilai arus dalam kumparan pada waktu tertentu.

Proses dalam rangkaian osilasi

Perhatikan proses-proses yang terjadi pada rangkaian osilasi.

Untuk menghilangkan rangkaian dari posisi setimbang, kita mengisi kapasitor sehingga ada muatan pada pelatnya Q m(Gbr. 2, posisi 1 ). Mempertimbangkan persamaan \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) kita menemukan nilai tegangan pada kapasitor. Tidak ada arus di sirkuit pada saat ini, mis. saya = 0.

Setelah kunci ditutup, di bawah aksi medan listrik kapasitor di sirkuit, listrik, kekuatan saat ini saya yang akan meningkat seiring waktu. Kapasitor saat ini akan mulai kosong, karena. elektron yang menciptakan arus (saya ingatkan Anda bahwa arah pergerakan muatan positif diambil sebagai arah arus) meninggalkan pelat negatif kapasitor dan datang ke pelat positif (lihat Gambar 2, posisi 2 ). Seiring dengan biaya Q ketegangan akan berkurang kamu\(\kiri(u = \dfrac(q)(C) \kanan).\) Ketika kekuatan arus meningkat, ggl induksi diri akan muncul melalui kumparan, mencegah perubahan kekuatan arus. Akibatnya, kekuatan arus dalam rangkaian osilasi akan meningkat dari nol ke nilai maksimum tertentu tidak secara instan, tetapi selama periode waktu tertentu, ditentukan oleh induktansi kumparan.

muatan kapasitor Q berkurang dan pada suatu saat menjadi sama dengan nol ( Q = 0, kamu= 0), arus pada kumparan akan mencapai nilai tertentu Aku(lihat gambar 2, posisi 3 ).

Tanpa medan listrik kapasitor (dan hambatan), elektron yang menciptakan arus terus bergerak dengan inersia. Dalam hal ini, elektron yang tiba di pelat netral kapasitor memberikan muatan negatif, elektron yang meninggalkan pelat netral memberikan muatan positif. Kapasitor mulai mengisi Q(dan tegangan kamu), tetapi berlawanan tanda, yaitu kapasitor diisi ulang. Sekarang medan listrik baru kapasitor mencegah elektron bergerak, sehingga arus saya mulai berkurang (lihat Gambar 2, posisi 4 ). Sekali lagi, ini tidak terjadi secara instan, karena sekarang EMF induksi diri berusaha untuk mengkompensasi penurunan arus dan "mendukungnya". Dan nilai arus Aku(hamil 3 ) ternyata arus maksimum dalam kontur.

Dan lagi, di bawah aksi medan listrik kapasitor, arus listrik akan muncul di sirkuit, tetapi diarahkan ke arah yang berlawanan, kekuatan arus saya yang akan meningkat seiring waktu. Dan kapasitor akan dikosongkan saat ini (lihat Gambar 2, posisi 6 ) ke nol (lihat Gambar 2, posisi 7 ). Dll.

Karena muatan pada kapasitor Q(dan tegangan kamu) menentukan energi medan listriknya Kita\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \kanan),\) dan arus dalam kumparan saya- energi medan magnet wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \kanan),\) maka seiring dengan perubahan muatan, tegangan dan arus, energi juga akan berubah.

Sebutan dalam tabel:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Energi total dari rangkaian osilasi yang ideal adalah kekal dari waktu ke waktu, karena ada energi yang hilang di dalamnya (tidak ada hambatan). Kemudian

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Jadi, idealnya LC- rangkaian akan mengalami perubahan periodik nilai kekuatan arus saya, mengenakan biaya Q dan stres kamu, dan energi total rangkaian akan tetap konstan. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa ada osilasi elektromagnetik gratis.

Osilasi elektromagnetik gratis di sirkuit - ini adalah perubahan berkala dalam muatan pada pelat kapasitor, kekuatan arus dan tegangan di sirkuit, yang terjadi tanpa mengonsumsi energi dari sumber eksternal.

Dengan demikian, terjadinya osilasi elektromagnetik bebas di sirkuit disebabkan oleh pengisian ulang kapasitor dan terjadinya EMF induksi sendiri dalam koil, yang "menyediakan" pengisian ulang ini. Perhatikan bahwa muatan pada kapasitor Q dan arus dalam kumparan saya mencapai nilai maksimumnya Q m Dan Aku di berbagai titik waktu.

Osilasi elektromagnetik bebas dalam rangkaian terjadi sesuai dengan hukum harmonik:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \kanan), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \kanan).\)

Periode waktu terkecil selama LC- sirkuit kembali ke keadaan semula (ke nilai awal muatan lapisan ini), disebut periode osilasi elektromagnetik bebas (alami) di sirkuit.

Periode osilasi elektromagnetik bebas dalam LC-kontur ditentukan oleh rumus Thomson:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Dari sudut pandang analogi mekanis, pendulum pegas tanpa gesekan sesuai dengan rangkaian osilasi yang ideal, dan dengan yang nyata - dengan gesekan. Karena aksi gaya gesekan, osilasi pendulum pegas meredam seiring waktu.

*Derivasi dari rumus Thomson

Karena energi total ideal LC-kontur, sama dengan jumlah energi medan elektrostatik kapasitor dan medan magnet kumparan dipertahankan, maka setiap saat persamaan

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Kami memperoleh persamaan osilasi di LC-rangkaian, menggunakan hukum kekekalan energi. Membedakan ekspresi untuk energi totalnya terhadap waktu, dengan mempertimbangkan fakta bahwa

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

kita memperoleh persamaan yang menjelaskan osilasi bebas dalam rangkaian ideal:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \kanan)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Dengan menulis ulang sebagai:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

perhatikan bahwa ini adalah persamaan osilasi harmonik dengan frekuensi siklik

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Dengan demikian, periode osilasi yang dipertimbangkan

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

literatur

Zhilko, V.V. Fisika: buku teks. tunjangan pendidikan umum kelas 11. sekolah dari Rusia lang. pelatihan / V.V. Zhilko, L.G. Markovich. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.