Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan untuk pesawat?
Pengaturan bersama pesawat. tugas

Geometri spasial tidak jauh lebih rumit daripada geometri "datar", dan penerbangan kami di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk memahami topik, seseorang harus memiliki pemahaman yang baik tentang vektor, selain itu, diinginkan untuk terbiasa dengan geometri bidang - akan ada banyak kesamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna dengan lebih baik. Dalam serangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang. Tapi sekarang Batman telah keluar dari TV layar datar dan diluncurkan dari Baikonur Cosmodrome.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang dapat digambarkan sebagai jajaran genjang, yang memberi kesan ruang:

Pesawatnya tidak terbatas, tetapi kita hanya memiliki kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajaran genjang, oval atau bahkan awan juga digambar. Untuk alasan teknis, lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara ini dan dalam posisi ini. Pesawat nyata, yang akan kita pertimbangkan di contoh praktis, dapat diatur sesuka Anda - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di ruang angkasa, berikan bidang kemiringan apa pun, sudut apa pun.

Notasi: merupakan kebiasaan untuk menunjuk pesawat dalam huruf Yunani kecil, tampaknya agar tidak membingungkan mereka dengan langsung di pesawat atau dengan lurus di luar angkasa. Saya sudah terbiasa menggunakan surat. Dalam gambar, itu adalah huruf "sigma", dan bukan lubang sama sekali. Meski, pesawat berlubang, tentu sangat lucu.

Dalam beberapa kasus, akan lebih mudah untuk menggunakan yang sama huruf Yunani dengan subskrip, misalnya, .

Jelas, pesawat secara unik ditentukan oleh tiga titik yang berbeda tidak terletak pada garis lurus yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk pesawat cukup populer - sesuai dengan poin milik mereka, misalnya, dll. Seringkali huruf diapit tanda kurung: , agar tidak membingungkan pesawat dengan sosok geometris lainnya.

Untuk pembaca yang berpengalaman, saya akan memberikan menu pintasan:

• Bagaimana cara menulis persamaan bidang dengan menggunakan titik dan dua vektor?
• Bagaimana cara menulis persamaan bidang dengan menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian panjang:

Persamaan umum dari pesawat

Persamaan umum bidang memiliki bentuk , di mana koefisien secara bersamaan tidak nol.

Sejumlah perhitungan teoretis dan masalah praktis berlaku baik untuk basis ortonormal biasa maupun untuk basis afinitas ruang (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor). Untuk mempermudah, kita akan mengasumsikan bahwa semua kejadian terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Dan sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial. Tidak apa-apa jika Anda memilikinya buruk, sekarang kami akan mengembangkannya sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan latihan.

Dalam kasus yang paling umum, ketika angka tidak sama dengan nol, bidang memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya, seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa pesawat terus melaju tanpa batas ke segala arah, dan kita hanya memiliki kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Pertimbangkan persamaan pesawat yang paling sederhana:

Bagaimana untuk mengerti persamaan yang diberikan? Pikirkan tentang ini: "Z" SELALU, untuk setiap nilai "X" dan "Y" sama dengan nol. Ini adalah persamaan bidang koordinat "asli". Memang, secara formal persamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari mana terlihat jelas bahwa kami tidak peduli, apa nilai "x" dan "y", penting bahwa "z" sama dengan nol.

Demikian pula:
adalah persamaan bidang koordinat ;
adalah persamaan bidang koordinat.

Mari kita sedikit memperumit masalah, pertimbangkan sebuah bidang (di sini dan selanjutnya dalam paragraf kami berasumsi bahwa koefisien numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk: . Bagaimana memahaminya? "X" adalah SELALU, untuk setiap nilai "y" dan "z" sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui sebuah titik.

Demikian pula:
- persamaan bidang, yang sejajar dengan bidang koordinat;
- persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Tambahkan anggota: . Persamaan dapat ditulis ulang seperti ini: , yaitu, "Z" bisa apa saja. Apa artinya? "X" dan "Y" dihubungkan oleh rasio yang menarik garis lurus tertentu di pesawat (Anda akan mengenali persamaan garis lurus pada bidang?). Karena Z dapat berupa apa saja, baris ini "direplikasi" pada ketinggian berapa pun. Dengan demikian, persamaan mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Demikian pula:
- persamaan bidang, yang sejajar dengan sumbu koordinat;
- persamaan bidang, yang sejajar dengan sumbu koordinat.

Jika suku bebasnya nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melalui sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, "proporsionalitas langsung" klasik:. Gambar garis lurus pada bidang dan gandakan secara mental ke atas dan ke bawah (karena "z" adalah sembarang). Kesimpulan: bidang yang diberikan oleh persamaan melewati sumbu koordinat.

Kami menyimpulkan ulasan: persamaan pesawat melewati asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa titik memenuhi persamaan yang diberikan.

Dan, akhirnya, kasus yang ditunjukkan pada gambar: - pesawat berteman dengan semua sumbu koordinat, sementara itu selalu "memotong" segitiga yang dapat ditempatkan di salah satu dari delapan oktan.

Pertidaksamaan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi, perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linier pada bidang karena banyak hal akan serupa. Paragraf akan menjadi gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materinya cukup langka dalam praktik.

Jika persamaan mendefinisikan sebuah bidang, maka pertidaksamaan
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaan tidak ketat (dua terakhir dalam daftar), maka solusi pertidaksamaan, selain setengah ruang, termasuk bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan dari pesawat .

Keputusan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita tunjukkan vektor ini dengan . Sangat jelas bahwa vektor-vektornya adalah collinear:

Pertama, kami menghapus vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk menemukan vektor satuan, Anda perlu setiap koordinat vektor dibagi panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal dalam bentuk dan cari panjangnya:

Menurut di atas:

Menjawab:

Periksa: , yang diperlukan untuk memeriksa.

Pembaca yang telah mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat, mungkin memperhatikan bahwa koordinat vektor satuan persis dengan arah cosinus vektor:

Mari kita menyimpang dari masalah yang dibongkar: ketika Anda diberi sewenang-wenang vektor bukan nol , dan dengan syarat itu diperlukan untuk menemukan cosinus arahnya (lihat tugas terakhir dari pelajaran Hasil kali titik dari vektor), maka Anda, pada kenyataannya, juga menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor yang diberikan. Bahkan, dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk menemukan vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kami menemukan penangkapan vektor normal, sekarang kami akan menjawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara menulis persamaan bidang dengan menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan sebuah titik dikenal dengan baik oleh target anak panah. Harap rentangkan tangan Anda ke depan dan pilih secara mental titik sembarang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelas, melalui titik ini, Anda dapat menggambar satu bidang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui sebuah titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus:

Artikel ini memberikan gambaran tentang cara menulis persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi yang tegak lurus terhadap garis tertentu. Mari kita menganalisis algoritma di atas menggunakan contoh pemecahan masalah yang khas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Menemukan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang yang tegak lurus terhadap garis tertentu

Biarkan ruang tiga dimensi dan sistem koordinat persegi panjang O x y z diberikan di dalamnya. Diberikan juga titik M 1 (x 1, y 1, z 1), garis lurus a dan bidang yang melalui titik M 1 yang tegak lurus garis a. Persamaan bidang harus ditulis.

Sebelum melanjutkan untuk memecahkan masalah ini, mari kita ingat teorema geometri dari program untuk kelas 10 - 11, yang berbunyi:

Definisi 1

Sebuah bidang tunggal melewati suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi dan tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.

Sekarang perhatikan bagaimana menemukan persamaan bidang tunggal yang melewati titik awal dan tegak lurus terhadap garis yang diberikan.

Persamaan umum bidang dapat ditulis jika koordinat titik yang termasuk dalam bidang ini diketahui, serta koordinat vektor normal bidang tersebut.

Dengan kondisi masalah, kita diberikan koordinat x 1, y 1, z 1 dari titik M 1 yang dilalui bidang . Jika kita menentukan koordinat vektor normal bidang , maka kita akan dapat menulis persamaan yang diinginkan.

Vektor normal bidang , karena bukan nol dan terletak pada garis a, tegak lurus terhadap bidang , akan berupa vektor pengarah dari garis a. Jadi, masalah mencari koordinat vektor normal bidang diubah menjadi masalah menentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a .

Penentuan koordinat vektor pengarah garis lurus a dapat dilakukan metode yang berbeda: tergantung pada pilihan untuk menentukan garis lurus a dalam kondisi awal. Misalnya, jika garis a dalam kondisi masalah diberikan oleh persamaan kanonik dalam bentuk

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

atau persamaan parametrik berbentuk:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y z = z 1 + a z

maka vektor pengarah garis lurus tersebut akan memiliki koordinat a x, a y dan a z. Jika garis lurus a diwakili oleh dua titik M 2 (x 2, y 2, z 2) dan M 3 (x 3, y 3, z 3), maka koordinat vektor arahnya akan ditentukan sebagai (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Definisi 2

Algoritma untuk mencari persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus garis tertentu:

Tentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a: a → = (a x, a y, a z) ;

Kami mendefinisikan koordinat vektor normal bidang sebagai koordinat vektor pengarah garis lurus a:

n → = (A , B , C) , dimana A = a x , B = a y , C = a z;

Kami menulis persamaan bidang yang melalui titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan memiliki vektor normal n→=(A, B, C) dalam bentuk A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Ini akan menjadi persamaan yang diperlukan dari sebuah pesawat yang melewati titik tertentu dalam ruang dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum yang dihasilkan dari pesawat: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 memungkinkan untuk mendapatkan persamaan bidang dalam segmen atau persamaan normal bidang.

Mari kita selesaikan beberapa contoh menggunakan algoritma yang diperoleh di atas.

Contoh 1

Sebuah titik M 1 (3, - 4, 5) diberikan, yang dilalui pesawat, dan bidang ini tegak lurus terhadap garis koordinat O z.

Keputusan

vektor arah garis koordinat O z akan menjadi vektor koordinat k = (0 , 0 , 1) . Oleh karena itu, vektor normal pesawat memiliki koordinat (0 , 0 , 1) . Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik tertentu M 1 (3, - 4, 5) yang vektor normalnya memiliki koordinat (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 z - 5 = 0

Menjawab: z - 5 = 0 .

Pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan masalah ini:

Contoh 2

Sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis O z akan diberikan oleh persamaan umum yang tidak lengkap dari bidang berbentuk z + D = 0 , C 0 . Mari kita tentukan nilai C dan D: nilai yang dilalui pesawat melalui titik tertentu. Substitusikan koordinat titik ini ke dalam persamaan C z + D = 0 , kita dapatkan: C · 5 + D = 0 . Itu. angka, C dan D terkait dengan - D C = 5 . Mengambil C \u003d 1, kami mendapatkan D \u003d - 5.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan C z + D = 0 dan dapatkan persamaan yang diperlukan untuk bidang yang tegak lurus terhadap garis O z dan melalui titik M 1 (3, - 4, 5) .

Ini akan terlihat seperti: z - 5 = 0.

Menjawab: z - 5 = 0 .

Contoh 3

Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus garis x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Keputusan

Berdasarkan kondisi masalah, dapat dikatakan bahwa vektor pemandu dari suatu garis lurus dapat diambil sebagai vektor normal n → dari suatu bidang tertentu. Jadi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik O (0, 0, 0) dan memiliki vektor normal n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Kami telah memperoleh persamaan yang diperlukan untuk bidang yang melewati titik asal tegak lurus terhadap garis yang diberikan.

Menjawab:- 3x - 7y + 2z = 0

Contoh 4

Diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y z dalam ruang tiga dimensi, mengandung dua titik A (2 , - 1 , - 2) dan B (3 , - 2 , 4) . Bidang melalui titik A tegak lurus terhadap garis AB. Persamaan bidang harus dibuat menjadi segmen-segmen.

Keputusan

Bidang tegak lurus terhadap garis A B, maka vektor A B → akan menjadi vektor normal bidang . Koordinat vektor ini ditentukan sebagai perbedaan antara koordinat yang sesuai dari titik B (3, - 2, 4) dan A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) A B → = (1 , - 1 , 6)

Persamaan umum bidang akan ditulis dalam bentuk berikut:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 x - y + 6 z + 9 = 0

Sekarang kami menyusun persamaan bidang yang diinginkan di segmen:

x - y + 6 z + 9 = 0 x - y + 6 z = - 9 x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Menjawab:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Perlu juga dicatat bahwa ada masalah yang persyaratannya adalah menulis persamaan untuk sebuah bidang yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap dua bidang yang diberikan. Secara umum, solusi untuk masalah ini adalah menulis persamaan untuk bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu, karena dua bidang yang berpotongan menentukan garis lurus.

Contoh 5

Sebuah sistem koordinat persegi panjang O x y z diberikan, di dalamnya adalah titik M 1 (2, 0, - 5) . Persamaan dua bidang 3 x + 2 y + 1 = 0 dan x + 2 z - 1 = 0 juga diberikan, yang berpotongan di sepanjang garis lurus a . Kita perlu membuat persamaan untuk bidang yang melalui titik M 1 yang tegak lurus garis a.

Keputusan

Mari kita tentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a . Ini tegak lurus terhadap vektor normal n 1 → (3 , 2 , 0) dari bidang n → (1 , 0 , 2) dan vektor normal 3 x + 2 y + 1 = 0 dari bidang x + 2 z - 1 = 0 .

Maka vektor pengarah → garis lurus a kita ambil hasil kali vektor dari vektor n 1 → dan n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → a → = (4 , - 6 , - 2 )

Jadi, vektor n → = (4, - 6, - 2) akan menjadi vektor normal dari bidang yang tegak lurus terhadap garis a. Kami menulis persamaan yang diinginkan dari pesawat:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Misalkan perlu untuk menemukan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada satu garis lurus. Dengan menyatakan vektor jari-jarinya dengan dan vektor jari-jari saat ini dengan , kita dapat dengan mudah memperoleh persamaan yang diinginkan dalam bentuk vektor. Memang, vektor , harus coplanar (mereka semua terletak pada bidang yang diinginkan). Oleh karena itu, perkalian vektor-skalar dari vektor-vektor ini harus sama dengan nol:

Ini adalah persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu, dalam bentuk vektor.

Beralih ke koordinat, kita mendapatkan persamaan dalam koordinat:

Jika ketiga titik tersebut terletak pada garis lurus yang sama, maka vektor-vektornya akan kolinear. Oleh karena itu, elemen-elemen yang bersesuaian dari dua baris terakhir determinan dalam persamaan (18) akan proporsional dan determinannya akan identik sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan (18) akan menjadi identitas untuk setiap nilai x, y, dan z. Secara geometris, ini berarti bahwa sebuah bidang melewati setiap titik ruang, di mana tiga titik tertentu juga terletak.

Catatan 1. Masalah yang sama dapat diselesaikan tanpa menggunakan vektor.

Menunjukkan koordinat tiga titik yang diberikan, masing-masing, melalui kami menulis persamaan setiap bidang yang melewati titik pertama:

Untuk mendapatkan persamaan bidang yang diinginkan, persamaan (17) harus dipenuhi dengan koordinat dua titik lainnya:

Dari persamaan (19), perlu untuk menentukan rasio dua koefisien dengan yang ketiga dan memasukkan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan (17).

Contoh 1. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik.

Persamaan untuk pesawat yang melewati titik pertama adalah:

Kondisi pesawat (17) untuk melewati dua titik lainnya dan titik pertama adalah:

Menambahkan persamaan kedua ke persamaan pertama, kita mendapatkan:

Substitusi ke persamaan kedua, kita peroleh:

Substitusi ke persamaan (17) alih-alih A, B, C, masing-masing, 1, 5, -4 (bilangan sebanding dengan mereka), kita mendapatkan:

Contoh 2. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Persamaan setiap bidang yang melalui titik (0, 0, 0) adalah]

Syarat melewati bidang ini melalui titik (1, 1, 1) dan (2, 2, 2) adalah:

Mengurangi persamaan kedua dengan 2, kita melihat bahwa untuk menentukan dua yang tidak diketahui, relasinya memiliki satu persamaan dengan

Dari sini kita dapatkan. Mensubstitusikan sekarang ke dalam persamaan bidang alih-alih nilainya, kami menemukan:

Ini adalah persamaan bidang yang dibutuhkan; itu tergantung pada sewenang-wenang

kuantitas B, C (yaitu, dari rasio, yaitu, ada jumlah tak terbatas pesawat yang melewati tiga titik tertentu (tiga titik tertentu terletak pada satu garis lurus).

Catatan 2. Soal menggambar bidang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada satu garis lurus dapat diselesaikan dengan mudah di pandangan umum jika Anda menggunakan determinan. Memang, karena dalam persamaan (17) dan (19) koefisien A, B, C tidak dapat secara bersamaan sama dengan nol, maka, dengan mempertimbangkan persamaan ini sebagai sistem homogen dengan tiga tidak diketahui A, B, C, kami menulis yang diperlukan dan cukup kondisi keberadaan solusi sistem ini, selain nol (bagian 1, bab VI, 6):

Memperluas determinan ini dengan elemen-elemen baris pertama, kami memperoleh persamaan derajat pertama sehubungan dengan koordinat saat ini , yang akan dipenuhi, khususnya, dengan koordinat tiga titik yang diberikan.

Yang terakhir ini juga dapat diverifikasi secara langsung jika kita mengganti koordinat salah satu titik ini ke dalam persamaan yang ditulis menggunakan determinan. Di sisi kiri, determinan diperoleh, di mana elemen baris pertama adalah nol, atau ada dua baris identik. Dengan demikian, persamaan yang dirumuskan mewakili bidang yang melalui tiga titik yang diberikan.

13. Sudut antar bidang, jarak dari suatu titik ke bidang.

Biarkan bidang dan berpotongan sepanjang garis c.
Sudut antara bidang adalah sudut antara garis tegak lurus dengan garis perpotongannya, yang ditarik pada bidang-bidang ini.

Dengan kata lain, pada bidang kita menggambar garis a yang tegak lurus terhadap c. Pada bidang - garis b, juga tegak lurus terhadap c. Sudut antara bidang dan sama dengan sudut antara garis a dan b.

Perhatikan bahwa ketika dua bidang berpotongan, empat sudut sebenarnya terbentuk. Lihat mereka di gambar? Sebagai sudut antara bidang yang kita ambil pedas injeksi.

Jika sudut antara bidang adalah 90 derajat, maka bidang tegak lurus,

Seperti itu penjelasan definisi sebenarnya dari kata tegak lurus bidang. Saat memecahkan masalah dalam stereometri, kami juga menggunakan tanda tegak lurus bidang:

Jika bidang melalui garis tegak lurus bidang , maka bidang dan tegak lurus.

titik ke jarak bidang

Pertimbangkan titik T yang diberikan oleh koordinatnya:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Perhatikan juga bidang , diberikan oleh persamaan:

Ax + By + Cz + D = 0

Maka jarak L dari titik T ke bidang dapat dihitung dengan rumus:

Dengan kata lain, kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan bidang, dan kemudian bagi persamaan ini dengan panjang vektor normal n ke bidang:

Angka yang dihasilkan adalah jarak. Mari kita lihat bagaimana teorema ini bekerja dalam praktik.

Kami telah menurunkan persamaan parametrik dari garis lurus di pesawat, mari kita dapatkan persamaan parametrik dari garis lurus, yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi.

Biarkan sistem koordinat persegi panjang diperbaiki dalam ruang tiga dimensi oxyz. Mari kita tentukan garis lurus sebuah(lihat bagian tentang cara menentukan garis lurus dalam ruang) dengan menentukan vektor pengarah garis lurus dan koordinat beberapa titik pada garis . Kami akan mulai dari data ini ketika menyusun persamaan parametrik dari garis lurus dalam ruang.

Membiarkan menjadi titik sewenang-wenang dalam ruang tiga dimensi. Jika kita kurangi dari koordinat titik M koordinat titik yang sesuai M 1, maka kita akan mendapatkan koordinat vektor (lihat artikel menemukan koordinat vektor dengan koordinat titik akhir dan awalnya), yaitu, .

Jelas, himpunan titik mendefinisikan garis sebuah jika dan hanya jika vektor-vektor dan kolinear.

Mari kita tuliskan syarat perlu dan syarat cukup agar vektor-vektor tersebut kolinear dan : , di mana beberapa bilangan asli. Persamaan yang dihasilkan disebut persamaan vektor-parametrik garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang oxyz dalam ruang tiga dimensi. Persamaan vektor-parametrik garis lurus dalam bentuk koordinat memiliki bentuk dan mewakili persamaan parametrik garis lurus sebuah. Nama "parametrik" tidak disengaja, karena koordinat semua titik garis ditentukan menggunakan parameter .

Mari kita berikan contoh persamaan parametrik garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang oxyz di ruang hampa: . Di Sini

15. Sudut antara garis lurus dan bidang. Titik potong garis dengan bidang.

Setiap persamaan derajat pertama terhadap koordinat x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

mendefinisikan sebuah bidang, dan sebaliknya: setiap bidang dapat diwakili oleh persamaan (3.1), yang disebut persamaan bidang.

vektor n(A, B, C) yang tegak lurus bidang disebut vektor normal pesawat. Dalam persamaan (3.1), koefisien A, B, C tidak sama dengan 0 pada waktu yang sama.

Kasus khusus persamaan (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - pesawat melewati titik asal.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - pesawat melewati sumbu Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - bidang sejajar dengan bidang Oyz.

Persamaan bidang koordinat: x = 0, y = 0, z = 0.

Garis lurus dalam ruang dapat diberikan:

1) sebagai garis perpotongan dua bidang, yaitu sistem persamaan:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) dua titiknya M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka garis lurus yang melaluinya diberikan oleh persamaan:

3) titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1) miliknya, dan vektornya sebuah(m, n, p), s collinear. Kemudian garis lurus ditentukan oleh persamaan:

. (3.4)

Persamaan (3.4) disebut persamaan kanonik garis.

vektor sebuah ditelepon panduan vektor lurus.

Kami memperoleh persamaan parametrik dari garis lurus dengan menyamakan setiap hubungan (3.4) dengan parameter t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Memecahkan sistem (3.2) sebagai sistem persamaan linear relatif tidak diketahui x dan kamu, kita sampai pada persamaan garis lurus di proyeksi atau untuk persamaan garis lurus tereduksi:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Dari persamaan (3.6) dapat diteruskan ke persamaan kanonik, dengan menemukan z dari setiap persamaan dan menyamakan nilai yang dihasilkan:

.

Seseorang dapat beralih dari persamaan umum (3.2) ke persamaan kanonik dengan cara lain, jika seseorang menemukan titik mana pun dari garis ini dan vektor arahnya n= [n 1 , n 2], dimana n 1 (A 1 , B 1 , C 1) dan n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vektor normal dari bidang yang diberikan. Jika salah satu penyebutnya M N atau R dalam persamaan (3.4) akan menjadi nol, maka pembilang dari pecahan yang sesuai harus sama dengan nol, yaitu. sistem

sama dengan sebuah sistem ; garis seperti itu tegak lurus terhadap sumbu x.

Sistem setara dengan sistem x = x 1 , y = y 1 ; garis lurus sejajar dengan sumbu Oz.

Contoh 1.15. Tulis persamaan bidang, ketahui bahwa titik A (1, -1,3) berfungsi sebagai alas tegak lurus yang ditarik dari titik asal ke bidang ini.

Keputusan. Dengan kondisi masalah, vektor OA(1,-1,3) adalah vektor normal bidang, maka persamaannya dapat ditulis sebagai
x-y+3z+D=0. Mengganti koordinat titik A(1,-1,3) milik bidang, kita menemukan D: 1-(-1)+3×3+D = 0 D = -11. Jadi x-y+3z-11=0.

Contoh 1.16. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui sumbu Oz dan membentuk sudut 60 derajat dengan bidang 2x+y-z-7=0.

Keputusan. Bidang yang melalui sumbu Oz diberikan oleh persamaan Ax+By=0, di mana A dan B tidak lenyap secara bersamaan. Biarkan B tidak
adalah 0, A/Bx+y=0. Menurut rumus kosinus sudut antara dua bidang

.

Memutuskan persamaan kuadrat 3m 2 + 8m - 3 = 0, cari akar-akarnya
m 1 = 1/3, m 2 = -3, dari mana kita mendapatkan dua bidang 1/3x+y = 0 dan -3x+y = 0.

Contoh 1.17. Tulis persamaan kanonik dari garis lurus:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Keputusan. Persamaan kanonik garis lurus memiliki bentuk:

di mana m, n, p- koordinat vektor pengarah garis lurus, x1, y1, z1- koordinat titik mana pun yang termasuk dalam garis. Garis lurus didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang. Untuk menemukan titik yang termasuk dalam garis lurus, salah satu koordinat ditetapkan (cara termudah adalah dengan menempatkan, misalnya, x=0) dan sistem yang dihasilkan diselesaikan sebagai sistem persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui. Jadi, misalkan x=0, maka y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, dimana y=-1, z=1. Kami menemukan koordinat titik M (x 1, y 1, z 1) milik garis ini: M (0,-1,1). Vektor pengarah garis lurus mudah ditemukan, dengan mengetahui vektor normal dari bidang aslinya n 1 (5,1,1) dan n 2(2,3,-2). Kemudian

Persamaan kanonik garis tersebut adalah: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Contoh 1.18. Pada balok yang dibatasi oleh bidang 2x-y+5z-3=0 dan x+y+2z+1=0, temukan dua bidang yang saling tegak lurus, salah satunya melalui titik M(1,0,1).

Keputusan. Persamaan balok yang didefinisikan oleh bidang-bidang ini adalah u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, di mana u dan v tidak lenyap pada saat yang bersamaan. Kami menulis ulang persamaan balok sebagai berikut:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Untuk memilih bidang yang melalui titik M dari balok, kita substitusikan koordinat titik M ke dalam persamaan balok. Kita mendapatkan:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, atau v = - u.

Kemudian kita cari persamaan bidang yang memuat M dengan mensubstitusi v = - u ke dalam persamaan balok:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Karena u¹0 (jika v=0, dan ini bertentangan dengan definisi balok), maka kita memiliki persamaan bidang x-2y+3z-4=0. Bidang kedua milik balok harus tegak lurus terhadapnya. Kami menulis kondisi untuk ortogonalitas pesawat:

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0, atau v = - 19/5u.

Oleh karena itu, persamaan bidang kedua memiliki bentuk:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 atau 9x +24y + 13z + 34 = 0

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat bagaimana menggunakan determinan untuk menulis persamaan bidang. Jika Anda tidak tahu apa itu determinan, lanjutkan ke bagian pertama pelajaran - " Matriks dan determinan». Jika tidak, Anda berisiko tidak memahami apa pun dalam materi hari ini.

Persamaan bidang dengan tiga titik

Mengapa kita membutuhkan persamaan bidang sama sekali? Sederhana saja: mengetahuinya, kita dapat dengan mudah menghitung sudut, jarak, dan omong kosong lainnya dalam masalah C2. Secara umum, persamaan ini sangat diperlukan. Oleh karena itu, kami merumuskan masalah:

Tugas. Ada tiga titik di ruang angkasa yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Koordinat mereka:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Diperlukan untuk menulis persamaan bidang yang melalui ketiga titik ini. Dan persamaannya akan terlihat seperti:

Ax + By + Cz + D = 0

di mana angka A , B , C dan D adalah koefisien yang sebenarnya ingin Anda cari.

Nah, bagaimana cara mendapatkan persamaan bidang, jika hanya diketahui koordinat titik-titiknya? Cara termudah adalah dengan mensubstitusi koordinat ke dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0. Anda mendapatkan sistem tiga persamaan yang mudah diselesaikan.

Banyak siswa menemukan solusi ini sangat membosankan dan tidak dapat diandalkan. Ujian matematika tahun lalu menunjukkan bahwa kemungkinan membuat kesalahan komputasi sangat tinggi.

Oleh karena itu, guru yang paling maju mulai mencari yang lebih sederhana dan solusi elegan. Dan mereka menemukannya! Benar, penerimaan yang diperoleh lebih mungkin matematika yang lebih tinggi. Secara pribadi, saya harus mengobrak-abrik seluruh daftar buku teks Federal untuk memastikan bahwa kami memiliki hak untuk menggunakan teknik ini tanpa pembenaran dan bukti apa pun.

Persamaan bidang melalui determinan

Cukup mengomel, mari kita mulai bisnis. Untuk memulainya, teorema tentang bagaimana determinan matriks dan persamaan bidang terkait.

Dalil. Biarkan koordinat tiga titik melalui mana pesawat harus ditarik diberikan: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Maka persamaan bidang ini dapat ditulis dalam bentuk determinan:

Sebagai contoh, mari kita coba mencari pasangan bidang yang benar-benar terjadi pada soal C2. Lihatlah seberapa cepat semuanya diperhitungkan:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Kami menyusun determinan dan menyamakannya dengan nol:

Membuka determinan:

a = 1 1 (z 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z 1 y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z 1) + 1 0 y = x;
d = a b = z 1 y − (−x) = z 1 y + x = x y + z 1;
d = 0 x y + z 1 = 0;

Seperti yang Anda lihat, saat menghitung angka d, saya "menggosok" sedikit persamaan sehingga variabel x , y dan z masuk ke urutan yang benar. Itu saja! Persamaan pesawat sudah siap!

Tugas. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik-titik:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Segera substitusikan koordinat titik-titik dalam determinan:

Memperluas determinan lagi:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 z x y = 0 x + y z = 0;

Jadi, persamaan bidang diperoleh lagi! Sekali lagi, pada langkah terakhir, saya harus mengubah tanda-tanda di dalamnya untuk mendapatkan formula yang lebih “indah”. Tidak perlu melakukan ini dalam solusi ini, tetapi tetap disarankan - untuk menyederhanakan solusi masalah lebih lanjut.

Seperti yang Anda lihat, sekarang lebih mudah untuk menulis persamaan bidang. Kami mengganti poin ke dalam matriks, menghitung determinannya - dan hanya itu, persamaan sudah siap.

Ini bisa menjadi akhir dari pelajaran. Namun, banyak siswa terus-menerus melupakan apa yang ada di dalam determinan. Misalnya, baris mana yang berisi x 2 atau x 3 , dan baris mana yang hanya x . Untuk akhirnya menangani ini, mari kita telusuri dari mana setiap angka berasal.

Dari mana rumus dengan determinan berasal?

Jadi, mari kita cari tahu dari mana persamaan kasar dengan determinan itu berasal. Ini akan membantu Anda mengingatnya dan menerapkannya dengan sukses.

Semua bidang yang terjadi pada Soal C2 didefinisikan oleh tiga titik. Titik-titik ini selalu ditandai pada gambar, atau bahkan ditunjukkan langsung dalam teks masalah. Bagaimanapun, untuk menyusun persamaan, kita perlu menuliskan koordinatnya:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Pertimbangkan satu titik lagi di pesawat kami dengan koordinat arbitrer:

T = (x, y, z)

Kami mengambil titik mana pun dari tiga yang pertama (misalnya, titik M ) dan menggambar vektor darinya ke masing-masing dari tiga titik yang tersisa. Kami mendapatkan tiga vektor:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Sekarang mari kita buat matriks persegi dari vektor-vektor ini dan samakan determinannya dengan nol. Koordinat vektor akan menjadi baris matriks - dan kita akan mendapatkan determinan yang sama yang ditunjukkan dalam teorema:

Rumus ini berarti bahwa volume kotak yang dibangun di atas vektor MN , MK dan MT sama dengan nol. Oleh karena itu, ketiga vektor terletak pada bidang yang sama. Secara khusus, titik sembarang T = (x, y, z) persis seperti yang kita cari.

Mengganti titik dan baris determinan

Determinan memiliki beberapa sifat luar biasa yang membuatnya lebih mudah untuk penyelesaian soal C2. Misalnya, tidak masalah bagi kita dari titik mana menggambar vektor. Oleh karena itu, determinan berikut memberikan persamaan bidang yang sama dengan yang di atas:

Anda juga dapat menukar garis determinan. Persamaan akan tetap tidak berubah. Misalnya, banyak orang suka menulis garis dengan koordinat titik T = (x; y; z) di bagian paling atas. Silakan, jika itu nyaman bagi Anda:

Ini membingungkan beberapa orang bahwa salah satu baris berisi variabel x , y dan z , yang tidak hilang saat mengganti titik. Tapi mereka seharusnya tidak menghilang! Dengan mensubstitusikan angka ke dalam determinan, Anda akan mendapatkan konstruksi berikut:

Kemudian determinan diperluas sesuai dengan skema yang diberikan di awal pelajaran, dan persamaan standar bidang diperoleh:

Ax + By + Cz + D = 0

Lihatlah sebuah contoh. Dia adalah yang terakhir dalam pelajaran hari ini. Saya sengaja akan menukar garis untuk memastikan bahwa jawabannya akan menjadi persamaan bidang yang sama.

Tugas. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik-titik:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Jadi, kami mempertimbangkan 4 poin:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pertama, mari kita buat determinan standar dan samakan dengan nol:

Membuka determinan:

a = 0 1 (z 1) + 1 0 (x 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x 1) + 1 (−1) (z 1) + 0 0 y = 1 x + 1 z = 2 x z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 x + y + z 2 = 0;

Itu saja, kami mendapat jawabannya: x + y + z 2 = 0 .

Sekarang mari kita atur ulang beberapa baris dalam determinan dan lihat apa yang terjadi. Misalnya, mari kita menulis baris dengan variabel x, y, z bukan di bagian bawah, tetapi di bagian atas:

Mari kita perluas determinan yang dihasilkan lagi:

a = (x 1) 1 (−1) + (z 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 x + 1 z = 2 x z;
b = (z 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x 1) 1 0 = y;
d = a b = 2 x z y;
d = 0 2 x y z = 0 x + y + z 2 = 0;

Kami mendapatkan persamaan bidang yang persis sama: x + y + z 2 = 0. Jadi, itu benar-benar tidak tergantung pada urutan baris. Tetap menuliskan jawabannya.

Jadi, kita telah melihat bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada barisan garis. Dimungkinkan untuk melakukan perhitungan serupa dan membuktikan bahwa persamaan bidang tidak bergantung pada titik yang koordinatnya kita kurangi dari titik lainnya.

Dalam masalah yang dipertimbangkan di atas, kami menggunakan titik B 1 = (1, 0, 1), tetapi sangat mungkin untuk mengambil C = (1, 1, 0) atau D 1 = (0, 1, 1). Secara umum, setiap titik dengan koordinat yang diketahui terletak pada bidang yang diinginkan.