rumah > tes

Menambahkan akar negatif. Apa itu akar kuadrat dan bagaimana penjumlahannya?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang kuat "tidak terlalu. »
Dan bagi mereka yang “sangat merata. "")

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mengetahui apa itu akar kuadrat. Saatnya untuk mencari tahu apa itu rumus akar, apa yang sifat akar dan apa yang bisa dilakukan tentang itu semua.

Rumus Akar, Properti Akar, dan Aturan untuk Tindakan dengan Akar pada dasarnya adalah hal yang sama. Ada beberapa rumus yang mengejutkan untuk akar kuadrat. Yang, tentu saja, menyenangkan! Sebaliknya, Anda dapat menulis banyak jenis rumus, tetapi hanya tiga yang cukup untuk pekerjaan praktis dan percaya diri dengan akar. Segala sesuatu yang lain mengalir dari ketiganya. Meski banyak nyasar di ketiga rumus akarnya, ya.

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Ini dia:

Saya mengingatkan Anda (dari pelajaran sebelumnya): a dan b adalah bilangan non-negatif! Kalau tidak, rumusnya tidak masuk akal.

Ini sifat akar , seperti yang Anda lihat, sederhana, pendek dan tidak berbahaya. Tetapi dengan formula akar ini, Anda dapat melakukan banyak hal berguna! Mari kita lihat contoh semua hal yang berguna ini.

Hal yang berguna pertama. Formula ini memungkinkan kita mengalikan akar.

Bagaimana cara memperbanyak akar?

Ya, sangat sederhana. Langsung ke rumusnya. Sebagai contoh:

Tampaknya mereka telah berlipat ganda, jadi apa? Apakah ada banyak kegembiraan? Saya setuju, sedikit. Tapi bagaimana Anda menyukai ini? contoh?

Akar tidak benar-benar diekstraksi dari faktor-faktor. Dan hasilnya sangat bagus! Sudah lebih baik, kan? Untuk jaga-jaga, saya akan memberi tahu Anda bahwa ada pengganda sebanyak yang Anda suka. Rumus perkalian akar masih berfungsi. Sebagai contoh:

Jadi, dengan perkalian, semuanya jelas mengapa ini diperlukan sifat akar- juga bisa dimengerti.

Hal yang berguna yang kedua. Memasukkan nomor di bawah tanda akar.

Bagaimana cara memasukkan nomor di bawah root?

Katakanlah kita memiliki ekspresi ini:

Apakah mungkin untuk menyembunyikan deuce di dalam root? Mudah! Jika Anda membuat akar dari dua, rumus untuk mengalikan akar akan bekerja. Dan bagaimana cara membuat root dari deuce? Ya, itu juga bukan pertanyaan! ganda adalah akar kuadrat dari empat!

Omong-omong, akarnya dapat dibuat dari bilangan non-negatif apa pun! Ini akan menjadi akar kuadrat dari kuadrat dari angka ini. 3 adalah akar dari 9. 8 adalah akar dari 64. 11 adalah akar dari 121. Nah, dan seterusnya.

Tentu saja, tidak perlu melukis dengan detail seperti itu. Kecuali, sebagai permulaan. Cukuplah untuk menyadari bahwa bilangan non-negatif apa pun yang dikalikan dengan akar dapat ditempatkan di bawah akar. Tapi jangan lupa! - di bawah root nomor ini akan menjadi kotak diri. Tindakan ini - memasukkan angka di bawah akar - juga bisa disebut mengalikan angka dengan akar. Secara umum, seseorang dapat menulis:

Prosesnya sederhana, seperti yang Anda lihat. Mengapa dia dibutuhkan?

Seperti transformasi apa pun, prosedur ini memperluas kemungkinan kita. Peluang untuk mengubah ekspresi yang kejam dan tidak nyaman menjadi ekspresi yang lembut dan halus). Ini yang sederhana untuk Anda contoh:

Seperti yang terlihat properti akar, yang memungkinkan untuk memasukkan faktor di bawah tanda akar, sangat cocok untuk penyederhanaan.

Selain itu, menambahkan pengganda di bawah akar membuatnya mudah dan sederhana untuk membandingkan nilai akar yang berbeda. Tanpa perhitungan dan kalkulator! Hal ketiga yang bermanfaat.

Bagaimana cara membandingkan akar?

Skill ini sangat penting dalam misi yang solid, saat membuka modul, dan hal-hal keren lainnya.

Bandingkan ekspresi ini. Mana yang lebih? Tanpa kalkulator! Masing-masing dengan kalkulator. uh-uh. Singkatnya, semua orang bisa melakukannya!)

Anda tidak langsung mengatakannya. Dan jika Anda memasukkan angka di bawah tanda akar?

Ingat (tiba-tiba, tidak tahu?): jika angka di bawah tanda akar lebih besar, maka akarnya sendiri lebih besar! Oleh karena itu jawaban yang segera benar, tanpa perhitungan dan perhitungan yang rumit:

Ini bagus, kan? Tapi itu tidak semua! Ingatlah bahwa semua rumus bekerja dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Sejauh ini kita telah menggunakan rumus untuk mengalikan akar dari kiri ke kanan. Mari kita jalankan properti root ini secara mundur, dari kanan ke kiri. Seperti ini:

Dan apa bedanya? Apakah itu memberimu sesuatu!? Tentu! Sekarang Anda akan melihat sendiri.

Misalkan kita perlu mengekstrak (tanpa kalkulator!) Akar kuadrat dari angka 6561. Beberapa orang pada tahap ini akan jatuh dalam perjuangan yang tidak seimbang dengan tugas. Tapi kami keras kepala, kami tidak menyerah! Hal yang berguna keempat.

Bagaimana cara mengekstrak akar dari jumlah besar?

Kami mengingat rumus untuk mengekstrak akar dari suatu produk. Yang saya posting di atas. Tapi di mana pekerjaan kita? Kami memiliki sejumlah besar 6561 dan hanya itu. Ya, tidak ada seni. Tapi jika kita membutuhkannya, kita Mari lakukan! Mari kita faktorkan angka ini. Kami memiliki hak.

Pertama, mari kita cari tahu dengan tepat apa bilangan ini habis dibagi? Apa, kamu tidak tahu!? Apakah Anda lupa tanda-tanda perpecahan !? Dengan sia-sia. Pergi ke Bagian Khusus 555, topiknya adalah "Pecahan", itu dia. Bilangan ini habis dibagi 3 dan 9. Karena jumlah angka-angkanya (6+5+6+1=18) habis dibagi oleh bilangan-bilangan ini. Ini adalah salah satu tanda perpecahan. Kami tidak perlu membagi tiga (sekarang Anda akan mengerti mengapa), tetapi kami akan membagi dengan 9. Setidaknya di sudut. Kami mendapatkan 729. Jadi kami menemukan dua faktor! Yang pertama adalah sembilan (kami memilihnya sendiri), dan yang kedua adalah 729 (ternyata seperti itu). Anda sudah dapat menulis:

Dapatkan idenya? Mari kita lakukan hal yang sama dengan angka 729. Itu juga habis dibagi 3 dan 9. Sekali lagi, kita tidak membagi dengan 3, kita membagi dengan 9. Kita mendapatkan 81. Dan kita tahu angka ini! Kami menuliskan:

Semuanya ternyata mudah dan elegan! Akarnya harus dicabut sepotong demi sepotong, yah, oke. Ini bisa dilakukan dengan apa saja angka besar. Kalikan mereka, dan pergi!

Omong-omong, mengapa Anda tidak harus membaginya dengan 3, menurut Anda? Ya, karena akar tiga tidak persis diekstraksi! Masuk akal untuk menguraikan menjadi faktor-faktor sedemikian rupa sehingga setidaknya satu akar dapat diekstraksi dengan baik. Ini 4, 9, 16 baik, dan seterusnya. Bagilah jumlah besar Anda dengan angka-angka ini secara bergantian, Anda tahu, dan Anda beruntung!

Tapi belum tentu. Mungkin tidak beruntung. Katakanlah angka 432, ketika difaktorkan dan menggunakan rumus akar untuk produk, akan memberikan hasil sebagai berikut:

Yah, oke. Kami telah menyederhanakan ekspresi. Dalam matematika, biasanya meninggalkan paling banyak nomor kecil dari yang mungkin. Dalam proses penyelesaian, semuanya tergantung pada contoh (mungkin semuanya direduksi tanpa penyederhanaan), tetapi dalam jawabannya perlu memberikan hasil yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut.

Omong-omong, apakah Anda tahu apa yang telah kami lakukan dengan root 432 sekarang?

Kami mengambil faktor dari bawah tanda akar ! Itulah yang disebut operasi ini. Dan kemudian tugas akan jatuh - " keluarkan faktornya dari bawah tanda akar"Tapi para pria bahkan tidak tahu.) Ini kegunaan lain untukmu sifat akar. Hal yang berguna kelima.

Bagaimana cara mengeluarkan pengganda dari bawah root?

Mudah. Faktorkan ekspresi akar dan ekstrak akar yang diekstraksi. Kami melihat:

Tidak ada yang supranatural. Penting untuk memilih pengganda yang tepat. Di sini kita telah menguraikan 72 menjadi 36 2. Dan semuanya ternyata baik-baik saja. Atau mereka dapat menguraikannya secara berbeda: 72 = 6 12. Terus!? Baik dari 6 maupun dari 12 root diekstraksi. Apa yang harus dilakukan?!

Tidak apa-apa. Atau cari opsi dekomposisi lain, atau lanjutkan untuk menghentikan semuanya! Seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, semuanya berhasil. Ngomong-ngomong, ini bukan yang tercepat, tapi yang paling cara yang dapat diandalkan. Dekomposisi angka menjadi faktor terkecil, lalu kumpulkan faktor yang sama dalam tumpukan. Metode ini juga berhasil diterapkan saat mengalikan akar yang tidak nyaman. Misalnya, Anda perlu menghitung:

Lipat gandakan semuanya - Anda mendapatkan angka gila! Lalu bagaimana cara mengekstrak root darinya?! Kalikan lagi? Tidak, kita tidak perlu kerja ekstra. Kami segera menguraikan menjadi faktor-faktor dan mengumpulkan yang sama dalam tumpukan:

Itu saja. Tentu saja, tidak perlu berbaring sampai berhenti. Semuanya ditentukan oleh kemampuan pribadi Anda. Membawa contoh ke keadaan di mana semuanya jelas bagi Anda jadi kamu sudah bisa menghitung. Hal utama adalah tidak membuat kesalahan. Bukan pria untuk matematika, tetapi matematika untuk pria!)

Mari kita terapkan ilmu ke dalam amalan? Mari kita mulai dengan yang sederhana:

Aturan penjumlahan akar kuadrat

Sifat-sifat akar kuadrat

Sejauh ini, kami telah melakukan lima operasi aritmatika pada angka: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensial, dan berbagai sifat dari operasi ini secara aktif digunakan dalam perhitungan, misalnya, a + b = b + a, dan n -b n = (ab) n, dll.

Bab ini memperkenalkan operasi baru - mengambil akar kuadrat dari bilangan non-negatif. Agar berhasil menggunakannya, Anda perlu berkenalan dengan properti dari operasi ini, yang akan kita lakukan di bagian ini.

Bukti. Mari kita perkenalkan notasi berikut:
Kita perlu membuktikan bahwa untuk bilangan non-negatif x, y, z persamaan x = yz benar.

Jadi x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Kemudian x 2 \u003d y 2 z 2, yaitu x 2 \u003d (yz) 2.

Jika sebuah kotak dua angka non-negatif sama, maka angka-angka itu sendiri sama, yang berarti bahwa dari persamaan x 2 \u003d (yz) 2 maka x \u003d yz, dan ini harus dibuktikan.

Kami memberikan catatan singkat tentang bukti teorema:

Catatan 1. Teorema tetap berlaku untuk kasus ketika ekspresi radikal adalah produk dari lebih dari dua faktor non-negatif.

Catatan 2. Dalil 1 dapat ditulis menggunakan "jika. , maka” (seperti biasa untuk teorema dalam matematika). Kami memberikan formulasi yang sesuai: jika a dan b adalah bilangan non-negatif, maka persamaannya .

Ini adalah bagaimana kita merumuskan teorema berikut.

(Formulasi singkat yang lebih nyaman digunakan dalam praktik: akar pecahan sama dengan pecahan dari akar atau akar hasil bagi sama dengan hasil bagi akar.)

Kali ini kami hanya akan memberikan catatan singkat tentang pembuktiannya, dan Anda dapat mencoba membuat komentar yang sesuai dengan yang menjadi inti dari pembuktian Teorema 1.

Contoh 1. Hitung .
Keputusan. Menggunakan properti pertama akar kuadrat(Teorema 1), kita peroleh

Catatan 3. Tentu saja, contoh ini dapat diselesaikan dengan cara lain, terutama jika Anda memiliki kalkulator: kalikan angka 36, ​​64, 9, lalu ambil akar kuadrat dari produk yang dihasilkan. Namun, Anda akan setuju bahwa solusi yang diusulkan di atas terlihat lebih kultural.

Catatan 4. Pada metode pertama, kami melakukan perhitungan langsung. Cara kedua lebih elegan:
kami melamar rumus a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) dan menggunakan properti akar kuadrat.

Catatan 5. Beberapa "pemarah" terkadang menawarkan "solusi" berikut untuk Contoh 3:

Ini, tentu saja, tidak benar: Anda lihat - hasilnya tidak sama seperti pada contoh kita 3. Faktanya adalah tidak ada properti sebagai tidak dan properti Hanya ada sifat-sifat tentang perkalian dan pembagian akar kuadrat. Hati-hati dan hati-hati, jangan mengambil angan-angan.

Contoh 4. Hitung: a)
Keputusan. Rumus apa pun dalam aljabar tidak hanya digunakan "dari kanan ke kiri", tetapi juga "dari kiri ke kanan". Jadi, sifat pertama akar kuadrat berarti bahwa, jika perlu, dapat direpresentasikan sebagai , dan sebaliknya, yang dapat diganti dengan ekspresi Hal yang sama berlaku untuk sifat kedua akar kuadrat. Dengan mengingat hal ini, mari kita selesaikan contoh yang diusulkan.

Sebagai penutup bagian ini, kami mencatat satu lagi yang agak sederhana dan pada saat yang sama properti penting:
jika a > 0 dan n - bilangan asli , kemudian



Contoh 5 Menghitung , tanpa menggunakan tabel kuadrat angka dan kalkulator.

Keputusan. Mari kita uraikan bilangan akar menjadi faktor prima:



Catatan 6. Contoh ini dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti contoh serupa di 15. Mudah ditebak bahwa jawabannya adalah “80 dengan ekor”, karena 80 2 2 . Mari kita cari "ekor", yaitu digit terakhir dari nomor yang diinginkan. Sejauh ini kita tahu bahwa jika akarnya diekstraksi, maka jawabannya bisa menjadi 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 atau 89. Hanya dua angka yang perlu diperiksa: 84 dan 86, karena hanya mereka, ketika dikuadratkan, akan menghasilkan empat digit angka yang berakhiran 6, mis. digit yang sama yang diakhiri dengan angka 7056. Kami memiliki 84 2 \u003d 7056 - inilah yang kami butuhkan. Cara,

Mordkovich A.G., Aljabar. Kelas 8: Prok. untuk pendidikan umum institusi - edisi ke-3, diselesaikan. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 hal.: sakit.

Buku, unduhan buku teks matematika, abstrak untuk membantu guru dan siswa, belajar online

Jika Anda memiliki koreksi atau saran untuk pelajaran ini, tulis kepada kami.

Jika Anda ingin melihat koreksi dan saran lain untuk pelajaran, lihat di sini - Forum Pendidikan.

Bagaimana cara menambahkan akar kuadrat?

Akar kuadrat dari suatu bilangan X disebut nomor A, yang dalam proses mengalikan dirinya dengan dirinya sendiri ( A A) dapat memberikan nomor X.
Itu. A * A = A 2 = X, dan X = A.

Di atas akar kuadrat ( x), seperti halnya bilangan lainnya, Anda dapat melakukan operasi aritmatika seperti pengurangan dan penambahan. Untuk mengurangi dan menambahkan akar, mereka harus dihubungkan menggunakan tanda yang sesuai dengan tindakan ini (misalnya x - y ).
Dan kemudian bawa akarnya ke mereka bentuk paling sederhana- jika ada yang serupa di antara mereka, perlu membuat gips. Ini terdiri dari fakta bahwa koefisien dari istilah yang serupa dengan tanda-tanda dari istilah yang sesuai diambil, kemudian mereka diapit dalam tanda kurung, dan akar umum ditampilkan di luar tanda kurung pengali. Koefisien yang telah kita peroleh disederhanakan menurut aturan biasa.

Langkah 1. Mengekstrak akar kuadrat

Pertama, untuk menambahkan akar kuadrat, Anda harus mengekstrak akar ini terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan jika angka-angka di bawah tanda akar adalah kuadrat sempurna. Misalnya, ambil ekspresi yang diberikan √4 + √9 . nomor pertama 4 adalah kuadrat dari bilangan tersebut 2 . Nomor kedua 9 adalah kuadrat dari bilangan tersebut 3 . Dengan demikian, persamaan berikut dapat diperoleh: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Semuanya, contohnya terpecahkan. Tapi itu tidak selalu terjadi seperti itu.

Langkah 2. Keluarkan pengali angka dari bawah akar

Jika tidak ada kuadrat penuh di bawah tanda akar, Anda dapat mencoba menghilangkan pengali angka dari bawah tanda akar. Misalnya, ambil ekspresi √24 + √54 .

Mari kita memfaktorkan angka-angkanya:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

dalam daftar 24 kami memiliki pengganda 4 , itu dapat diambil dari bawah tanda akar kuadrat. dalam daftar 54 kami memiliki pengganda 9 .

Kami mendapatkan persamaan:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Mempertimbangkan contoh ini, kami mendapatkan penghapusan faktor dari bawah tanda akar, sehingga menyederhanakan ekspresi yang diberikan.

Langkah 3. Mengurangi penyebut

Perhatikan situasi berikut: jumlah dua akar kuadrat adalah penyebut pecahan, misalnya, A / (a ​​+ b).
Sekarang kita dihadapkan pada tugas "menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut."
Mari kita gunakan metode berikut: kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi a - b.

Kami sekarang mendapatkan rumus perkalian yang disingkat dalam penyebut:
(√a + b) * (√a - b) = a - b.

Demikian pula, jika penyebutnya mengandung selisih akar-akarnya: a - b, pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan persamaan a + b.

Mari kita ambil pecahan sebagai contoh:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Contoh pengurangan penyebut kompleks

Sekarang mari kita pertimbangkan cukup contoh kompleks menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut.

Mari kita ambil pecahan sebagai contoh: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Anda perlu mengambil pembilang dan penyebutnya dan mengalikannya dengan ekspresi √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Langkah 4. Hitung nilai perkiraan pada kalkulator

Jika Anda hanya membutuhkan nilai perkiraan, ini dapat dilakukan pada kalkulator dengan menghitung nilai akar kuadrat. Secara terpisah, untuk setiap angka, nilainya dihitung dan dicatat dengan akurasi yang diperlukan, yang ditentukan oleh jumlah tempat desimal. Selanjutnya, semua operasi yang diperlukan dilakukan, seperti halnya angka biasa.

Contoh Perhitungan Perkiraan

Penting untuk menghitung nilai perkiraan dari ekspresi ini √7 + √5 .

Hasilnya, kita mendapatkan:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Harap dicatat: dalam keadaan apa pun akar kuadrat tidak boleh ditambahkan sebagai bilangan prima, ini sama sekali tidak dapat diterima. Artinya, jika Anda menambahkan akar kuadrat dari lima dan tiga, kita tidak bisa mendapatkan akar kuadrat dari delapan.

Saran yang berguna: jika Anda memutuskan untuk memfaktorkan suatu angka, untuk menurunkan kuadrat dari tanda akar, Anda perlu melakukan pemeriksaan balik, yaitu, kalikan semua faktor yang dihasilkan dari perhitungan, dan hasil akhir dari ini perhitungan matematis harus menjadi angka yang awalnya diberikan kepada kita.

Aksi dengan akar: penambahan dan pengurangan

Mengekstrak akar kuadrat dari suatu bilangan bukanlah satu-satunya operasi yang dapat dilakukan dengan fenomena matematika ini. Sama seperti nomor biasa akar kuadrat menambah dan mengurangi.

Aturan penjumlahan dan pengurangan akar kuadrat

Tindakan seperti menambah dan mengurangi akar kuadrat hanya dimungkinkan jika ekspresi akarnya sama.

Anda dapat menambah atau mengurangi ekspresi 2 3 dan 6 3, tapi bukan 5 6 dan 9 4 . Jika mungkin untuk menyederhanakan ekspresi dan membawanya ke akar dengan nomor akar yang sama, maka sederhanakan, lalu tambahkan atau kurangi.

Tindakan Root: Dasar-dasar

6 50 — 2 8 + 5 12

  1. Sederhanakan ekspresi akar. Untuk melakukan ini, perlu untuk menguraikan ekspresi akar menjadi 2 faktor, salah satunya adalah angka kuadrat (angka dari mana seluruh akar kuadrat diekstraksi, misalnya, 25 atau 9).
  2. Maka Anda perlu mengekstrak root dari bilangan kuadrat dan tulis nilai yang dihasilkan sebelum tanda akar. Harap dicatat bahwa faktor kedua dimasukkan di bawah tanda akar.
  3. Setelah proses penyederhanaan, perlu untuk menggarisbawahi akar dengan ekspresi radikal yang sama - hanya mereka yang dapat ditambahkan dan dikurangkan.
  4. Untuk akar-akar dengan ekspresi akar yang sama, perlu untuk menambah atau mengurangi faktor-faktor yang mendahului tanda akar. Ekspresi root tetap tidak berubah. Jangan menambah atau mengurangi nomor root!

Jika Anda memiliki contoh dengan jumlah besar ekspresi radikal identik, kemudian garis bawahi ekspresi tersebut dengan garis tunggal, ganda, dan rangkap tiga untuk memudahkan proses perhitungan.

Mari kita coba contoh ini:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Pertama Anda perlu menguraikan 50 menjadi 2 faktor 25 dan 2, kemudian ambil akar dari 25, yaitu 5, dan keluarkan 5 dari bawah akar. Setelah itu, Anda perlu mengalikan 5 dengan 6 (pengganda di akar) dan mendapatkan 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Pertama, Anda perlu menguraikan 8 menjadi 2 faktor: 4 dan 2. Kemudian, dari 4, ekstrak akarnya, yang sama dengan 2, dan keluarkan 2 dari bawah akar. Setelah itu, Anda perlu mengalikan 2 dengan 2 (faktor pada akarnya) dan mendapatkan 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Pertama, Anda perlu menguraikan 12 menjadi 2 faktor: 4 dan 3. Kemudian ekstrak akar dari 4, yaitu 2, dan keluarkan dari bawah akar. Setelah itu, Anda perlu mengalikan 2 dengan 5 (faktor pada akarnya) dan mendapatkan 10 3 .

Hasil penyederhanaan: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Akibatnya, kami melihat berapa banyak ekspresi radikal identik yang terkandung dalam contoh ini. Sekarang mari kita berlatih dengan contoh lain.

  • Sederhanakan (45) . Kami memfaktorkan 45: (45) = (9 × 5) ;
  • Kami mengambil 3 dari bawah root (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
  • Kami menambahkan faktor-faktor pada akarnya: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
  • Menyederhanakan 6 40 . Kami memfaktorkan 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
  • Kami mengambil 2 dari bawah root (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
  • Kami mengalikan faktor-faktor yang ada di depan akar: 12 10;
  • Kami menulis ekspresi dalam bentuk yang disederhanakan: 12 10 - 3 10 + 5;
  • Karena dua suku pertama memiliki bilangan akar yang sama, kita dapat mengurangkannya: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

    • Seperti yang kita lihat, tidak mungkin untuk menyederhanakan bilangan radikal, jadi kita mencari anggota dengan bilangan radikal yang sama dalam contoh, melakukan operasi matematika (penjumlahan, pengurangan, dll.) dan tulis hasilnya:

    (9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

    Saran:

  • Sebelum menambah atau mengurangi, sangat penting untuk menyederhanakan (jika mungkin) ekspresi radikal.
  • Menambah dan mengurangi akar dengan ekspresi akar yang berbeda sangat dilarang.
  • Jangan menambah atau mengurangi bilangan bulat atau akar kuadrat: 3 + (2 x) 1/2 .
  • Saat melakukan tindakan dengan pecahan, Anda perlu menemukan angka yang habis dibagi oleh setiap penyebut, kemudian membawa pecahan ke penyebut yang sama, kemudian menambahkan pembilangnya, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.

Sifat-sifat akar kuadrat aritmatika. Kekuatan akar kuadrat aritmatika

Konversi akar kuadrat aritmatika. Konversi akar kuadrat aritmatika

Untuk mengekstrak akar kuadrat dari polinomial, perlu untuk menghitung polinomial dan mengekstrak akar dari angka yang dihasilkan.

Perhatian! Tidak mungkin mengekstrak akar dari setiap istilah (dikurangi dan dikurangi) secara terpisah.

Shchob untuk menang akar kuadrat dari polinomial, persyaratannya adalah menghitung suku kaya dan dari bilangan yang dikurangi untuk mengambil akarnya.

Menghormati! Tidak mungkin untuk mengekstrak akar dari suplemen kulit (berubah dan terlihat) okremo.

Untuk mengekstrak akar kuadrat dari produk (hasil bagi), Anda dapat menghitung akar kuadrat dari setiap faktor (dividen dan pembagi), dan mengambil nilai yang dihasilkan dengan produk (hasil bagi).

Untuk memenangkan akar kuadrat dari dobutka (bagian), Anda dapat menghitung akar kuadrat dari pengali kulit (dibagi dan dilnik), dan menghapus nilainya dengan mengambil tambahan (sering).

Untuk mengambil akar kuadrat dari sebuah pecahan, Anda perlu mengekstrak akar kuadrat dari pembilang dan penyebut secara terpisah, dan membiarkan nilai yang dihasilkan sebagai pecahan atau menghitung sebagai hasil bagi (jika memungkinkan dengan syarat).

Untuk memenangkan akar kuadrat dari pecahan, Anda perlu mengambil akar kuadrat dari buku angka dan spanduk okremo, dan menghilangkan nilai pecahan dengan pecahan, atau menghitungnya sebagai bagian (sebagaimana mungkin untuk pikiran).

Sebuah faktor dapat dikeluarkan dari bawah tanda akar dan sebuah faktor dapat dimasukkan di bawah tanda akar. Ketika sebuah faktor dihilangkan, akarnya diekstraksi darinya, dan ketika diperkenalkan, itu dinaikkan ke kekuatan yang sesuai.

Tanda akar ke-3 dapat dikalikan dan tanda akar dapat dikalikan. Dengan kesalahan pengganda, akar dipelintir, dan dengan pendahuluan, akar dibangun di kaki yang lebih tinggi.

Contoh. Menerapkan

Untuk mengonversi jumlah (selisih) akar kuadrat, Anda perlu membawa ekspresi akar ke satu basis derajat, jika mungkin, ekstrak akar dari derajat dan tulis di depan tanda-tanda akar, dan akar kuadrat yang tersisa dengan ekspresi akar yang sama dapat ditambahkan, yang koefisiennya ditambahkan sebelum akar tanda dan menambahkan akar kuadrat yang sama.

Untuk membuat kembali jumlah (biaya) dari akar kuadrat, akar akar pangkat harus dibawa ke salah satu basis langkah, karena mungkin, untuk mengambil akar langkah dan menuliskannya di depan tanda-tanda akar, dan solusi dari akar kuadrat dengan akar kata yang sama, yang dapat saya kumpulkan untuk apa yang dapat saya tambahkan dan tambahkan akar kuadrat yang sama.

Kami membawa semua ekspresi radikal ke basis 2.

Dari derajat genap, akar diekstraksi sepenuhnya, dari derajat ganjil, akar basis di derajat 1 dibiarkan di bawah tanda akar.

Kami memberikan bilangan bulat yang sama dan menambahkan koefisien dengan akar yang sama. Kami menulis binomial sebagai produk dari nomor dan binomial dari jumlah.

Bawa semua sub-root virazi ke base 2.

Dari tahap berpasangan, akar digambar berturut-turut, dari tahap tidak berpasangan, akar pangkalan di tahap 1 diisi di bawah tanda akar.

Disarankan bahwa angka dan koefisien yang sama ditambahkan ke akar yang sama. Kami menulis binomial sebagai suplemen dari nomor i dari binomial sumi.

Kami membawa ekspresi radikal ke basis terkecil atau produk kekuatan dengan basis terkecil. Kami mengekstrak akar dari derajat genap ekspresi radikal, meninggalkan sisanya dalam bentuk basis derajat dengan indikator 1 atau produk dari basis tersebut di bawah tanda akar. Kami memberikan istilah yang serupa (tambahkan koefisien dari akar yang sama).

Kami mengarahkan akar virazi ke basis terkecil atau penambahan langkah dengan basis terkecil. Dari langkah beruap di bawah akar viraz, akar diambil, kelebihan di dasar langkah dengan indikator 1 atau penambahan basa tersebut diisi di bawah tanda akar. Kami menyarankan istilah serupa (kami menjumlahkan koefisien dari akar yang sama).

Mari kita ganti pembagian pecahan dengan perkalian (dengan penggantian pecahan kedua dengan kebalikannya). Kalikan pembilang dan penyebut secara terpisah. Di bawah setiap tanda akar, kami menyoroti derajat. Mari kita batalkan faktor yang sama pada pembilang dan penyebutnya. Kami mengekstrak akar dari kekuatan yang sama.

Kami mengganti pembagian pecahan dengan perkalian (dengan penggantian pecahan lain dengan pengembalian). Kalikan angka okremo dan spanduk pecahan. Langkah-langkah terlihat di bawah tanda kulit akar. Kami akan mempercepat pengganda yang sama di buku nomor dan spanduk. Salahkan akar dari langkah kembar.

Untuk membandingkan dua akar kuadrat, ekspresi radikalnya harus direduksi ke derajat dengan basis yang sama, maka semakin banyak derajat ekspresi radikal yang ditampilkan, semakin besar nilai akar kuadratnya.

Dalam contoh ini, ekspresi radikal tidak dapat direduksi menjadi satu basis, karena basisnya adalah 3 pada basis pertama, dan 3 dan 7 pada basis kedua.

Cara kedua untuk membandingkan adalah memasukkan koefisien akar dalam ekspresi radikal dan membandingkan nilai numerik dari ekspresi radikal. Untuk akar kuadrat, semakin besar ekspresi akar, semakin besar nilai akarnya.

Untuk mencocokkan dua akar kuadrat, sub-root mereka harus dibawa ke level dengan basis yang sama, sedangkan semakin besar indikator derajat sub-root virus, semakin besar nilai akar kuadrat.

Dalam hal ini, tidak mungkin untuk membawa ke satu basis akar akar virazi, karena yang pertama adalah 3, dan yang lain - 3 dan 7.

Cara lain untuk menyamakan adalah dengan menambahkan koefisien root ke root virusse dan menyamakan nilai numerik dari root virusse. Akar kuadrat memiliki lebih banyak viraz sub-root, semakin banyak nilai root.

Menggunakan hukum distributif perkalian dan aturan untuk mengalikan akar dengan eksponen yang sama (dalam kasus kami, akar kuadrat), kami memperoleh jumlah dua akar kuadrat dengan produk di bawah tanda akar. Kami menguraikan 91 menjadi faktor prima dan menghilangkan akar dari tanda kurung dengan faktor radikal umum (13 * 5).

Kami telah memperoleh produk dari akar dan binomial, di mana salah satu monomial adalah bilangan bulat (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny hukum perkalian dan aturan perkalian akar dengan tanda yang sama (dalam kasus kami - akar kuadrat), mengambil jumlah dua akar kuadrat dengan tanda akar tambahan. Kami dapat menyusun 91 pengganda secara sederhana dan mengambil akar untuk lengkungan dari pengganda akar (13 * 5).

Kami mengambil penambahan akar dan biner, yang memiliki salah satu mononomial di bilangan bulat (1).

Contoh 9:

Dalam ekspresi radikal, kami memilih dengan faktor angka dari mana kami dapat mengekstrak seluruh akar kuadrat. Kami mengekstrak akar kuadrat dari pangkat dan menempatkan angka dengan koefisien akar kuadrat.

Suku-suku polinomial ini memiliki faktor persekutuan 3, yang dapat dikeluarkan dari kurung. Mari kita hadirkan istilah serupa.

Dalam virus sub-akar, ini dilihat sebagai pengganda angka, dari mana seseorang dapat mengambil akar kuadrat. Kami menyalahkan akar kuadrat dari langkah-langkah dan menempatkan angka dengan koefisien akar kuadrat.

Suku-suku polinomial ini memiliki pengali bersama 3, yang dapat disalahkan untuk lengan. Kami menyarankan tambahan serupa.

Hasil kali jumlah dan selisih dua dasar yang sama(3 dan 5) menggunakan rumus perkalian yang disingkat dapat ditulis sebagai selisih kuadrat dari basis.

Akar kuadrat kuadrat selalu sama dengan ekspresi akar, jadi kita akan menghilangkan akar (tanda akar) dalam ekspresi.

Jumlah dobutok dan selisih dua basa identik (3 5) dari rumus perkalian cepat dapat ditulis sebagai selisih basa kuadrat.

Akar kuadrat dari zavzhd kuadrat sama dengan sub-root virusse, jadi kita akan memanggil radikal (tanda akar) dari virusse.

Kembali ke sekolah. Penambahan akar

Di zaman kita, komputer elektronik modern, perhitungan akar angka tidak terwakili tugas yang menantang. Misalnya, 2704=52, kalkulator apa pun akan menghitungnya untuk Anda. Untungnya, ada kalkulator tidak hanya di Windows, tetapi juga di telepon biasa, bahkan yang paling sederhana sekalipun. Benar, jika tiba-tiba (dengan tingkat probabilitas kecil, perhitungan yang, omong-omong, termasuk penambahan akar) Anda menemukan diri Anda tanpa dana yang tersedia, lalu, sayangnya, Anda hanya harus mengandalkan otak Anda.

Pelatihan pikiran tidak pernah gagal. Terutama bagi mereka yang tidak terlalu sering bekerja dengan angka, dan terlebih lagi dengan akar. Menambah dan mengurangi akar adalah latihan yang baik untuk pikiran yang bosan. Dan saya akan menunjukkan kepada Anda penambahan akar langkah demi langkah. Contoh ekspresinya bisa sebagai berikut.

Persamaan yang akan disederhanakan adalah:

Ini adalah ekspresi yang tidak rasional. Untuk menyederhanakannya, Anda perlu mengurangi semua ekspresi radikal menjadi pandangan umum. Kami melakukannya secara bertahap:

Angka pertama tidak bisa lagi disederhanakan. Mari kita beralih ke istilah kedua.

3√48 kita faktorkan 48: 48=2×24 atau 48=3×16. Akar kuadrat dari 24 bukan bilangan bulat, mis. memiliki sisa pecahan. Karena kita membutuhkan nilai yang tepat, maka perkiraan akar tidak cocok untuk kita. Akar kuadrat dari 16 adalah 4, keluarkan dari bawah tanda akar. Kita peroleh: 3×4×√3=12×√3

Ekspresi kita selanjutnya adalah negatif, yaitu. ditulis dengan tanda minus -4×√(27.) Pemfaktoran 27. Kami mendapatkan 27 = 3 × 9. Kami tidak menggunakan faktor pecahan, karena lebih sulit untuk menghitung akar kuadrat dari pecahan. Kami mengambil 9 dari bawah tanda, mis. menghitung akar kuadrat. Kami mendapatkan ekspresi berikut: -4×3×√3 = -12×√3

Suku berikutnya 128 menghitung bagian yang dapat diambil dari bawah akar. 128=64×2 di mana 64=8. Jika memudahkan Anda, Anda dapat mewakili ekspresi ini seperti ini: 128=(8^2×2)

Kami menulis ulang ekspresi dengan istilah yang disederhanakan:

Sekarang kita tambahkan angka-angka dengan ekspresi radikal yang sama. Anda tidak dapat menambah atau mengurangi ekspresi dengan ekspresi radikal yang berbeda. Penambahan akar membutuhkan kepatuhan dengan aturan ini.

Kami mendapatkan jawaban berikut:

2=1×√2 - Saya berharap bahwa biasanya dalam aljabar untuk menghilangkan elemen seperti itu tidak akan menjadi berita bagi Anda.

Ekspresi dapat diwakili tidak hanya oleh akar kuadrat, tetapi juga oleh akar pangkat tiga atau ke-n.

Penambahan dan pengurangan akar dengan eksponen yang berbeda, tetapi dengan ekspresi akar yang setara, terjadi sebagai berikut:

Jika kita memiliki ekspresi seperti a+∛b+∜b, maka kita dapat menyederhanakan ekspresi ini seperti ini:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Kami telah mereduksi dua suku yang mirip dengan pangkat umum dari akar. Properti akar digunakan di sini, yang mengatakan: jika jumlah derajat ekspresi radikal dan jumlah eksponen akar dikalikan dengan angka yang sama, maka perhitungannya akan tetap tidak berubah.

Catatan: eksponen ditambahkan hanya jika dikalikan.

Pertimbangkan contoh di mana pecahan hadir dalam ekspresi.

Mari kita selesaikan langkah demi langkah:

5√8=5*2√2 - kami mengambil bagian yang diekstraksi dari bawah root.

Jika tubuh akar diwakili oleh pecahan, maka seringkali pecahan ini tidak akan berubah jika akar kuadrat dari dividen dan pembagi diambil. Sebagai hasilnya, kami telah memperoleh persamaan yang dijelaskan di atas.

Inilah jawabannya.

Hal utama yang harus diingat adalah bahwa akar dengan eksponen genap tidak diekstraksi dari angka negatif. Jika ekspresi radikal derajat genap negatif, maka ekspresi tersebut tidak dapat diselesaikan.

Penambahan akar hanya mungkin jika ekspresi radikal bertepatan, karena mereka adalah suku yang serupa. Hal yang sama berlaku untuk perbedaan.

Penjumlahan akar dengan pangkat numerik yang berbeda dilakukan dengan mereduksi kedua suku menjadi derajat akar yang sama. Hukum ini bekerja dengan cara yang sama seperti pengurangan ke penyebut yang sama ketika menjumlahkan atau mengurangkan pecahan.

Jika ekspresi radikal berisi angka yang dipangkatkan, maka ekspresi ini dapat disederhanakan asalkan ada penyebut yang sama antara akar dan eksponen.

Akar kuadrat dari produk dan pecahan

Akar kuadrat dari a adalah bilangan yang kuadratnya adalah a. Misalnya, angka -5 dan 5 adalah akar kuadrat dari angka 25. Artinya, akar persamaan x^2=25 adalah akar kuadrat dari angka 25. Sekarang Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan operasi akar kuadrat: pelajari sifat dasarnya.

Akar kuadrat dari produk

(a*b)=√a*√b

Akar kuadrat dari produk dua angka non-negatif sama dengan produk dari akar kuadrat dari angka-angka ini. Misalnya, (9*25) = 9*√25 =3*5 =15;

Penting untuk dipahami bahwa properti ini juga berlaku untuk kasus ketika ekspresi radikal adalah produk dari tiga, empat, dll. pengganda non-negatif.

Terkadang ada formulasi lain dari properti ini. Jika a dan b adalah bilangan non-negatif, persamaan berikut berlaku: (a*b) =√a*√b. Sama sekali tidak ada perbedaan di antara mereka, Anda dapat menggunakan salah satu atau kata-kata lainnya (mana yang lebih nyaman untuk diingat).

Akar kuadrat dari pecahan

Jika a>=0 dan b>0, maka persamaan berikut ini benar:

(a/b)=√a/√b.

Misalnya, (9/25) = 9/√25 =3/5;

Properti ini juga memiliki formulasi yang berbeda, menurut saya, lebih nyaman untuk diingat.
Akar kuadrat dari hasil bagi sama dengan hasil bagi dari akar-akarnya.

Perlu dicatat bahwa rumus ini bekerja dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Artinya, jika perlu, kita dapat mewakili produk dari akar sebagai akar dari produk. Hal yang sama berlaku untuk properti kedua.

Seperti yang Anda lihat, properti ini sangat nyaman, dan saya ingin memiliki properti yang sama untuk penjumlahan dan pengurangan:

(a+b)=√a+√b;

(a-b)=√a-√b;

Tapi sayangnya properti seperti itu berbentuk persegi tidak memiliki akar, sehingga tidak dapat dilakukan dalam perhitungan..

  • 13. Mengemudi melalui persimpangan lalu lintas 2018 dengan komentar online 13.1. Saat berbelok ke kanan atau kiri, pengemudi harus memberi jalan kepada pejalan kaki dan pengendara sepeda yang menyeberang jalan lalu lintas jalan itu berubah menjadi. Instruksi ini berlaku untuk semua […]
  • Pertemuan orang tua "Hak, tugas dan tanggung jawab orang tua" Presentasi untuk pelajaran Unduh presentasi (536,6 kB) Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua […]
  • Ibukota bersalin regional di wilayah Oryol Ibukota bersalin regional (MK) di Orel dan wilayah Oryol didirikan pada tahun 2011. Sekarang ini adalah tindakan tambahan dukungan sosial keluarga besar dalam bentuk uang tunai satu kali […]
  • Besarnya tunjangan lump-sum pada saat pendaftaran di tanggal awal di 2018 Halaman yang Anda minta tidak ditemukan. Anda mungkin telah memasukkan alamat yang salah, atau halaman telah dihapus. Menggunakan […]
  • Pengacara untuk kasus ekonomi bidang ekonomi merupakan konsep yang cukup luas. Kegiatan tersebut antara lain penipuan, bisnis ilegal, legalisasi Uang diperoleh secara ilegal, perbankan ilegal […]
  • Layanan Pers Bank Sentral Federasi Rusia(Bank Rusia) Layanan Pers 107016, Moskow, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Pada penunjukan administrasi sementara, Departemen Hubungan Luar dan Masyarakat Bank Rusia menginformasikan bahwa, sesuai dengan paragraf 2 […]
  • karakteristik umum dan ulasan singkat saluran air Klasifikasi cekungan air Klasifikasi cekungan air untuk navigasi kapal kesenangan (kecil), diawasi oleh GIMS Rusia, dilakukan tergantung pada […]
  • Kucherena = Pengacara Viktor Tsoi Dan ini adalah eksklusif: surat hari ini dari Anatoly Kucherena. Sebagai kelanjutan dari topik. Belum ada yang menerbitkan surat ini. Dan seharusnya, saya pikir. Bagian 1 untuk saat ini. Segera saya akan menerbitkan bagian kedua, ditandatangani oleh pengacara terkenal. Mengapa itu penting? […]

Halo kucing! Terakhir kali kami menganalisis secara rinci apa itu root (jika Anda tidak ingat, saya sarankan membaca). Kesimpulan utama dari pelajaran itu: hanya ada satu definisi universal tentang akar, yang perlu Anda ketahui. Sisanya adalah omong kosong dan buang-buang waktu.

Hari ini kita melangkah lebih jauh. Kita akan belajar mengalikan akar, kita akan mempelajari beberapa masalah yang berhubungan dengan perkalian (jika masalah ini tidak diselesaikan, maka bisa berakibat fatal pada ujian) dan kita akan berlatih dengan benar. Jadi siapkan popcorn, buat diri Anda nyaman - dan kita akan mulai. :)

Anda belum merokok, kan?

Pelajarannya ternyata cukup besar, jadi saya membaginya menjadi dua bagian:

  1. Pertama, kita akan melihat aturan perkalian. Tutupnya tampaknya mengisyaratkan: ini adalah ketika ada dua akar, ada tanda "kalikan" di antara mereka - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
  2. Kemudian kami akan menganalisis situasi sebaliknya: ada satu akar besar, dan kami tidak sabar untuk menyajikannya sebagai produk dari dua akar dengan cara yang lebih sederhana. Dengan ketakutan apa itu perlu adalah pertanyaan terpisah. Kami hanya akan menganalisis algoritma.

Bagi yang sudah tidak sabar untuk langsung masuk ke Bagian 2, sama-sama. Mari kita mulai dengan sisanya secara berurutan.

Aturan perkalian dasar

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana - akar kuadrat klasik. Yang dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Bagi mereka, semuanya umumnya jelas:

aturan perkalian. Untuk mengalikan satu akar kuadrat dengan akar kuadrat lainnya, Anda hanya perlu mengalikan ekspresi radikalnya, dan tulis hasilnya di bawah akar umum:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Tidak ada batasan tambahan yang dikenakan pada angka di kanan atau kiri: jika akar pengali ada, maka produk juga ada.

Contoh. Pertimbangkan empat contoh dengan angka sekaligus:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, arti utama dari aturan ini adalah untuk menyederhanakan ekspresi irasional. Dan jika pada contoh pertama kita akan mengekstrak akar dari 25 dan 4 tanpa aturan baru, maka kaleng dimulai: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dihitung sendiri, tetapi hasil kali mereka adalah kuadrat eksak, jadi akarnya sama dengan bilangan rasional.

Secara terpisah, saya ingin mencatat baris terakhir. Di sana, kedua ekspresi radikal adalah pecahan. Berkat produk, banyak faktor yang dibatalkan, dan seluruh ekspresi berubah menjadi jumlah yang memadai.

Tentu saja, tidak semuanya akan selalu begitu indah. Terkadang akan ada omong kosong lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya dan bagaimana mengubahnya setelah perkalian. Beberapa saat kemudian, ketika Anda mulai belajar persamaan irasional dan ketidaksetaraan, umumnya akan ada segala macam variabel dan fungsi. Dan sangat sering, penyusun masalah hanya mengandalkan fakta bahwa Anda akan menemukan beberapa persyaratan atau faktor kontrak, setelah itu tugas akan sangat disederhanakan.

Selain itu, tidak perlu mengalikan tepat dua akar. Anda dapat mengalikan tiga sekaligus, empat - ya bahkan sepuluh! Ini tidak akan mengubah aturan. Lihatlah:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi komentar kecil pada contoh kedua. Seperti yang Anda lihat, di pengganda ketiga, ada pecahan desimal di bawah akar - dalam proses perhitungan, kami menggantinya dengan yang biasa, setelah itu semuanya mudah dikurangi. Jadi: Saya sangat menyarankan untuk menyingkirkan pecahan desimal dalam ekspresi irasional apa pun (yaitu, mengandung setidaknya satu ikon radikal). Ini akan menghemat banyak waktu dan saraf di masa depan.

Tapi itu penyimpangan liris. Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum - ketika eksponen root berisi angka arbitrer $n$, dan bukan hanya dua "klasik".

Kasus indikator arbitrer

Jadi, kami menemukan akar kuadrat. Dan apa yang harus dilakukan dengan kubus? Atau secara umum dengan akar derajat arbitrer $n$? Ya, semuanya sama. Aturannya tetap sama:

Untuk mengalikan dua akar derajat $n$, cukup dengan mengalikan ekspresi radikalnya, setelah itu hasilnya ditulis di bawah satu akar.

Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali volume perhitungan bisa lebih. Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh. Hitung produk:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3))))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi perhatikan ekspresi kedua. Kami mengalikan akar pangkat tiga, menyingkirkan pecahan desimal, dan sebagai hasilnya kami mendapatkan produk dari angka 625 dan 25 dalam penyebutnya. jumlah besar- Secara pribadi, saya tidak langsung mempertimbangkan apa itu setara.

Oleh karena itu, kami hanya memilih kubus yang tepat di pembilang dan penyebut, dan kemudian menggunakan salah satu properti kunci (atau, jika Anda suka, definisi) dari akar tingkat $n$:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\benar|. \\ \end(sejajarkan)\]

"Penipuan" semacam itu dapat menghemat banyak waktu Anda dalam ujian atau pekerjaan kontrol jadi ingat:

Jangan terburu-buru mengalikan angka dalam ekspresi radikal. Pertama, periksa: bagaimana jika tingkat yang tepat dari ekspresi apa pun "dienkripsi" di sana?

Dengan semua kejelasan pernyataan ini, saya harus mengakui bahwa sebagian besar siswa yang tidak siap tidak melihat derajat yang tepat. Sebaliknya, mereka mengalikan semuanya di depan, dan kemudian bertanya-tanya: mengapa mereka mendapatkan angka yang begitu brutal? :)

Namun, semua ini adalah permainan anak-anak dibandingkan dengan apa yang akan kita pelajari sekarang.

Perkalian akar dengan pangkat yang berbeda

Nah, sekarang kita bisa mengalikan akar dengan pangkat yang sama. Bagaimana jika skornya berbeda? Katakanlah, bagaimana Anda mengalikan $\sqrt(2)$ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Apakah mungkin untuk melakukan ini?

Ya, tentu saja kamu bisa. Semuanya dilakukan sesuai dengan rumus ini:

Aturan perkalian akar. Untuk mengalikan $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, lakukan saja transformasi berikut:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Namun, rumus ini hanya berfungsi jika ekspresi radikal adalah non-negatif. Ini adalah komentar yang sangat penting, yang akan kami kembalikan nanti.

Untuk saat ini, mari kita lihat beberapa contoh:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sekarang mari kita cari tahu dari mana persyaratan non-negatif itu berasal, dan apa yang akan terjadi jika kita melanggarnya. :)


Sangat mudah untuk mengalikan akar.

Mengapa ekspresi radikal harus non-negatif?

Tentu saja, Anda bisa seperti guru sekolah dan dengan cerdik mengutip buku teks:

Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan definisi akar pangkat genap dan ganjil yang berbeda (masing-masing, domain definisinya juga berbeda).

Nah, menjadi lebih jelas? Secara pribadi, ketika saya membaca omong kosong ini di kelas 8, saya memahami sendiri sesuatu seperti ini: "Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan *#&^@(*#@^#)~%" - singkatnya, saya tidak mengerti apa-apa pada waktu itu. :)

Jadi sekarang saya akan menjelaskan semuanya dengan cara biasa.

Pertama, mari kita cari tahu dari mana rumus perkalian di atas berasal. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan Anda tentang satu properti penting dari root:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Dengan kata lain, kita dapat dengan aman menaikkan ekspresi root ke kekuatan alami $k$ - dalam hal ini, indeks root harus dikalikan dengan kekuatan yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah mengurangi akar apa pun menjadi indikator umum, setelah itu kita mengalikannya. Dari sinilah rumus perkalian berasal:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tetapi ada satu masalah yang sangat membatasi penerapan semua formula ini. Pertimbangkan nomor ini:

Menurut rumus yang baru saja diberikan, kita dapat menambahkan derajat apa pun. Mari kita coba menambahkan $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Kami menghapus minus justru karena kotak membakar minus (seperti derajat genap lainnya). Dan sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: "kurangi" keduanya dalam eksponen dan derajat. Bagaimanapun, kesetaraan apa pun dapat dibaca dari kiri ke kanan dan kanan ke kiri:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](sebuah); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Panah kanan \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(sejajarkan)\]

Tapi kemudian sesuatu yang gila terjadi:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ini tidak mungkin karena $\sqrt(-5) \lt 0$ dan $\sqrt(5) \gt 0$. Ini berarti bahwa untuk pangkat genap dan bilangan negatif, rumus kita tidak lagi berfungsi. Setelah itu kami memiliki dua opsi:

  1. Berjuang melawan tembok untuk menyatakan bahwa matematika adalah ilmu yang bodoh, di mana "ada beberapa aturan, tetapi ini tidak akurat";
  2. Perkenalkan batasan tambahan di mana formula akan menjadi 100% berfungsi.

Pada opsi pertama, kita harus terus-menerus menangkap kasus "tidak berfungsi" - ini sulit, panjang, dan umumnya fu. Oleh karena itu, matematikawan lebih memilih opsi kedua. :)

Tapi jangan khawatir! Dalam praktiknya, pembatasan ini tidak mempengaruhi perhitungan dengan cara apa pun, karena semua masalah yang dijelaskan hanya menyangkut akar tingkat ganjil, dan minus dapat dihilangkan darinya.

Oleh karena itu, kami merumuskan aturan lain yang berlaku secara umum untuk semua tindakan dengan akar:

Sebelum mengalikan akar-akarnya, pastikan bahwa ekspresi radikal adalah non-negatif.

Contoh. Di nomor $\sqrt(-5)$, Anda dapat mengambil minus dari bawah tanda root - maka semuanya akan baik-baik saja:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Rasakan perbedaan nya? Jika Anda meninggalkan minus di bawah root, maka ketika ekspresi radikal dikuadratkan, itu akan hilang, dan omong kosong akan dimulai. Dan jika Anda pertama kali mengambil minus, maka Anda bahkan dapat menaikkan / menghapus kotak sampai wajah Anda membiru - angkanya akan tetap negatif. :)

Jadi, cara yang paling benar dan paling dapat diandalkan untuk mengalikan akar adalah sebagai berikut:

  1. Hapus semua minus dari bawah radikal. Minus hanya ada di akar multiplisitas ganjil - mereka dapat ditempatkan di depan root dan, jika perlu, dikurangi (misalnya, jika ada dua minus ini).
  2. Lakukan perkalian menurut aturan yang dibahas di atas dalam pelajaran hari ini. Jika indeks akarnya sama, cukup kalikan ekspresi akarnya. Dan jika berbeda, kita menggunakan rumus jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
  3. 3. Kami menikmati hasil dan nilai bagus. :)

Sehat? Haruskah kita berlatih?

Contoh 1. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ kuadrat(64)=-4; \end(sejajarkan)\]

Ini adalah opsi paling sederhana: indikator akarnya sama dan ganjil, masalahnya hanya di minus pengali kedua. Kami menanggung minus nafig ini, setelah itu semuanya dengan mudah dipertimbangkan.

Contoh 2. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( meluruskan)\]

Di sini, banyak yang akan bingung dengan apa yang dihasilkan bilangan irasional. Ya, itu terjadi: kami tidak dapat sepenuhnya menghilangkan root, tetapi setidaknya kami menyederhanakan ekspresi secara signifikan.

Contoh 3. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Inilah yang saya ingin menarik perhatian Anda. Ada dua poin di sini:

  1. Di bawah akar bukanlah angka atau derajat tertentu, tetapi variabel $a$. Pada pandangan pertama, ini agak tidak biasa, tetapi pada kenyataannya, ketika memecahkan masalah matematika, Anda paling sering harus berurusan dengan variabel.
  2. Pada akhirnya, kami berhasil "mengurangi" eksponen akar dan derajat dalam ekspresi radikal. Ini cukup sering terjadi. Dan ini berarti dimungkinkan untuk menyederhanakan perhitungan secara signifikan jika Anda tidak menggunakan rumus utama.

Misalnya, Anda dapat melakukan ini:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(sejajarkan)\]

Faktanya, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika Anda tidak melukis secara rinci semua langkah perantara, maka pada akhirnya jumlah perhitungan akan berkurang secara signifikan.

Sebenarnya, kita telah menemukan tugas serupa di atas saat menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sekarang dapat ditulis lebih mudah:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(sejajarkan)\]

Nah, kami menemukan perkalian dari akar-akarnya. Sekarang pertimbangkan operasi terbalik: apa yang harus dilakukan ketika ada pekerjaan di bawah root?

Dalam matematika, akar dapat berbentuk persegi, kubik, atau memiliki pangkat (pangkat) lainnya, yang ditulis di sebelah kiri di atas tanda akar. Ekspresi di bawah tanda akar disebut ekspresi akar. Penjumlahan akar mirip dengan penjumlahan istilah. ekspresi aljabar, yaitu, memerlukan definisi akar yang sama.

Langkah

Bagian 1 dari 2: Menemukan Akar

Penunjukan akar. Ekspresi di bawah tanda akar () berarti perlu untuk mengekstrak akar tingkat tertentu dari ekspresi ini.

  • Akar dilambangkan dengan tanda.
  • Indeks (derajat) akar ditulis di sebelah kiri di atas tanda akar. Misalnya, akar pangkat tiga dari 27 ditulis sebagai: (27)
  • Jika eksponen (derajat) akar tidak ada, maka eksponen dianggap sama dengan 2, yaitu akar kuadrat (atau akar derajat kedua).
  • Angka yang ditulis sebelum tanda akar disebut pengali (yaitu, angka ini dikalikan dengan akar), misalnya 5 (2)
  • Jika tidak ada faktor di depan akar, maka itu sama dengan 1 (ingat bahwa setiap angka dikalikan dengan 1 sama dengan dirinya sendiri).
  • Jika Anda bekerja dengan akar untuk pertama kalinya, buatlah catatan yang sesuai pada pengali dan eksponen akar agar tidak bingung dan lebih memahami tujuannya.

Ingat akar mana yang bisa dilipat dan mana yang tidak. Sama seperti Anda tidak dapat menambahkan istilah yang berbeda dari ekspresi, seperti 2a + 2b 4ab, Anda tidak dapat menambahkan akar yang berbeda.

  • Anda tidak dapat menambahkan akar dengan ekspresi akar yang berbeda, misalnya, (2) + (3) (5). Tetapi Anda dapat menambahkan angka di bawah akar yang sama, misalnya, (2 + 3) = (5) (akar kuadrat dari 2 adalah sekitar 1,414, akar kuadrat dari 3 adalah sekitar 1,732, dan akar kuadrat dari 5 adalah sekitar 2,236 ).
  • Anda tidak dapat menambahkan akar dengan ekspresi akar yang sama, tetapi eksponen yang berbeda, misalnya, (64) + (64) (jumlah ini tidak sama dengan (64), karena akar kuadrat dari 64 adalah 8, akar pangkat tiga dari 64 adalah 4, 8 + 4 = 12, yang jauh lebih besar dari akar kelima dari 64, yaitu kira-kira 2.297).
    • Bagian 2 dari 2: Menyederhanakan dan Menambahkan Akar

    Identifikasi dan kelompokkan akar yang serupa. Akar serupa adalah akar yang memiliki eksponen yang sama dan ekspresi akar yang sama. Misalnya, perhatikan ekspresi:
    2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

    • Pertama, tulis ulang ekspresi sehingga akar dengan eksponen yang sama adalah seri.
      2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
    • Kemudian tulis ulang ekspresi sehingga akar dengan eksponen yang sama dan ekspresi akar yang sama adalah seri.
      2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

    Sederhanakan akar Anda. Untuk melakukan ini, dekomposisi (jika mungkin) ekspresi radikal menjadi dua faktor, salah satunya diambil dari bawah akar. Dalam hal ini, angka yang diberikan dan faktor akar dikalikan.

  • Pada contoh di atas, faktorkan 50 menjadi 2*25 dan angka 32 menjadi 2*16. Dari 25 dan 16, Anda dapat mengekstrak akar kuadrat (masing-masing 5 dan 4) dan mengambil 5 dan 4 dari bawah akar, masing-masing mengalikannya dengan faktor 2 dan 1. Jadi, Anda mendapatkan ekspresi yang disederhanakan: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
  • Angka 81 dapat difaktorkan menjadi 3 * 27, dan akar pangkat tiga dari 3 dapat diambil dari angka 27. Angka 3 ini dapat diambil dari bawah akar. Dengan demikian, Anda mendapatkan ekspresi yang lebih sederhana: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

    • Tambahkan faktor-faktor dari akar yang sama. Dalam contoh kita, ada akar kuadrat serupa dari 2 (dapat ditambahkan) dan akar kuadrat serupa dari 3 (dapat juga ditambahkan). Pada akar pangkat tiga dari 3 tidak ada akar seperti itu.

  • 10 (2) + 4 (2) = 14 (2).
  • 2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).
  • Ekspresi akhir yang disederhanakan: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)
    • Tidak ada aturan yang diterima secara umum untuk urutan root yang ditulis dalam ekspresi. Oleh karena itu, Anda dapat menulis akar dalam urutan menaik dari eksponennya dan dalam urutan menaik dari ekspresi radikal.

    Perhatian, hanya HARI INI!

    Semua menarik

    Angka yang berada di bawah tanda akar sering mengganggu solusi persamaan, tidak nyaman untuk bekerja dengannya. Bahkan jika itu dinaikkan ke pangkat, pecahan, atau tidak dapat direpresentasikan sebagai bilangan bulat sampai tingkat tertentu, seseorang dapat mencoba untuk menurunkannya dari ...

    Akar suatu bilangan x adalah bilangan yang jika dipangkatkan ke akarnya, akan sama dengan x. Pengganda adalah angka yang dikalikan. Artinya, dalam ekspresi seperti x*ª-&radic-y, Anda perlu menambahkan x di bawah root. Instruksi 1 Tentukan derajat...

    Jika ekspresi akar berisi serangkaian operasi matematika dengan variabel, maka kadang-kadang, sebagai hasil dari penyederhanaannya, dimungkinkan untuk memperoleh nilai yang relatif sederhana, yang sebagiannya dapat diambil dari bawah akar. Penyederhanaan ini bermanfaat...

    Operasi aritmatika dengan akar berbagai derajat dapat sangat menyederhanakan perhitungan dalam fisika dan teknologi dan membuatnya lebih akurat. Saat mengalikan dan membagi, lebih mudah untuk tidak mengekstrak akar dari setiap faktor atau dividen dan pembagi, tetapi pertama-tama ...

    Akar kuadrat dari bilangan x adalah bilangan a, yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan bilangan x: a * a = a^2 = x, x = a. Seperti halnya bilangan apa pun, Anda dapat melakukan operasi aritmatika penjumlahan dan pengurangan pada akar kuadrat. Petunjuk...

    Akar dalam matematika dapat memiliki dua arti: itu adalah operasi aritmatika dan masing-masing solusi untuk persamaan, aljabar, parametrik, diferensial, atau lainnya. Instruksi 1Akar derajat ke-n dari bilangan a adalah bilangan yang ...

    Saat melakukan berbagai operasi aritmatika dengan akar, seringkali diperlukan untuk dapat mengubah ekspresi radikal. Untuk menyederhanakan perhitungan, mungkin perlu untuk menghilangkan faktor dari tanda radikal atau meletakkannya di bawahnya. Tindakan ini bisa...

    Akar adalah ikon yang mewakili operasi matematika menemukan nomor seperti itu, yang menaikkan pangkat yang ditunjukkan sebelum tanda akar harus memberikan nomor yang ditunjukkan di bawah tanda ini. Seringkali, untuk memecahkan masalah di mana ada ...

    Tanda akar dalam ilmu matematika disebut simbol untuk akar. Angka di bawah tanda akar disebut ekspresi radikal. Dengan tidak adanya eksponen, akarnya adalah persegi, jika tidak, gambar menunjukkan ...

    Hitung akar dari n derajat dari bilangan asli a adalah bilangan non-negatif x, kekuatan ke-n yang sama dengan bilangan a. Itu. (n) a = x, x^n = a. Ada berbagai cara tambahan akar aritmatika dan bilangan rasional...

    Akar ke-n dari bilangan real a adalah bilangan b yang persamaan b^n = a benar. Akar ganjil ada untuk bilangan negatif dan positif, dan akar genap hanya ada untuk bilangan positif.…

    Akar kuadrat dari bilangan x adalah bilangan a, yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan bilangan x: a * a = a^2 = x, x = a. Seperti halnya bilangan apa pun, Anda dapat melakukan operasi aritmatika penjumlahan dan pengurangan pada akar kuadrat.

    Petunjuk

    • Pertama, saat menambahkan akar kuadrat, cobalah mengekstrak akar tersebut. Ini akan mungkin jika angka-angka di bawah tanda akar adalah kuadrat sempurna. Misalnya, biarkan ekspresi 4 + 9 diberikan. Angka pertama 4 adalah kuadrat dari angka 2. Angka kedua 9 adalah kuadrat dari angka 3. Jadi ternyata: 4 + 9 = 2 + 3 = 5.
    • Jika tidak ada kuadrat penuh di bawah tanda akar, maka cobalah untuk mengambil pengali angka dari bawah tanda akar. Misalnya, 24 + 54 diberikan. Faktorkan bilangan: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Bilangan 24 memiliki faktor 4, yang dapat diambil dari tanda akar kuadrat. Bilangan 54 memiliki faktor 9. Jadi, ternyata: 24 + 54 = (4 * 6) + (9 * 6) = 2 * 6 + 3 * 6 = 5 * 6 . Dalam contoh ini, sebagai hasil dari menghilangkan pengali dari tanda akar, ternyata menyederhanakan ekspresi yang diberikan.
    • Biarkan jumlah dua akar kuadrat menjadi penyebut suatu pecahan, misalnya, A / (√a + b). Dan biarkan tugas Anda adalah "menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut." Kemudian Anda dapat menggunakan metode berikut. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi a - b. Jadi, dalam penyebutnya, akan diperoleh rumus perkalian yang disingkat: (√a + b) * (√a - b) = a - b. Dengan analogi, jika perbedaan akar diberikan dalam penyebut: a - b, maka pembilang dan penyebut pecahan harus dikalikan dengan ekspresi a + b. Misal diberikan pecahan 4 / (√3 + 5) = 4 * (√3 - 5) / ((√3 + 5) * (√3 - 5)) = 4 * (√3 - 5) / (-2) = 2 * (√5 - 3).
    • Pertimbangkan contoh yang lebih kompleks untuk menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut. Biarkan pecahan 12 / (√2 + 3 + 5) diberikan. Pembilang dan penyebut pecahan perlu dikalikan dengan ekspresi 2 + 3 - 5:
      12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
    • Dan terakhir, jika Anda hanya membutuhkan nilai perkiraan, Anda dapat menghitung akar kuadrat di kalkulator. Hitung nilai secara terpisah untuk setiap angka dan tulis dengan presisi yang diperlukan (misalnya, dua tempat desimal). Dan kemudian lakukan operasi aritmatika yang diperlukan, seperti dengan bilangan biasa. Misalnya, Anda ingin mengetahui nilai perkiraan dari ekspresi 7 + 5 2,65 + 2,24 = 4,89.

    Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

    Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

    Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

    Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

    Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

    Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

    • Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

    Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

    • Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya dan acara mendatang.
    • Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
    • Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
    • Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

    Pengungkapan kepada pihak ketiga

    Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

    Pengecualian:

    • Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
    • Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

    Perlindungan informasi pribadi

    Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

    Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

    Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

    Kami juga merekomendasikan

    Memuat...Memuat...