Rumus dasar trigonometri. Identitas trigonometri dasar

Rumus reduksi adalah rasio yang memungkinkan Anda beralih dari sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dengan sudut `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` ke fungsi yang sama dari sudut `\alpha`, yang berada di seperempat pertama lingkaran satuan. Dengan demikian, rumus reduksi "mengarahkan" kita untuk bekerja dengan sudut dalam kisaran dari 0 hingga 90 derajat, yang sangat nyaman.

Semua bersama-sama ada 32 formula reduksi. Mereka pasti akan berguna di ujian, ujian, tes. Tetapi kami akan segera memperingatkan Anda bahwa tidak perlu menghafalnya! Anda perlu meluangkan sedikit waktu dan memahami algoritme untuk aplikasi mereka, maka tidak akan sulit bagi Anda untuk mendapatkan kesetaraan yang diperlukan pada waktu yang tepat.

Pertama, mari kita tuliskan semua rumus reduksi:

Untuk sudut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) atau (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Untuk sudut (`\pi \pm \alpha`) atau (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Untuk sudut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) atau (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` `sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Untuk sudut (`2\pi \pm \alpha`) atau (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` `sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Anda sering dapat menemukan rumus pengurangan dalam bentuk tabel, di mana sudut ditulis dalam radian:

Untuk menggunakannya, Anda perlu memilih baris dengan fungsi yang kita butuhkan, dan kolom dengan argumen yang diinginkan. Misalnya, untuk menggunakan tabel untuk mencari tahu apa `sin(\pi + \alpha)`, cukup untuk menemukan jawabannya di persimpangan baris `sin \beta` dan kolom ` \pi + \ alfa`. Kita mendapatkan `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Dan tabel kedua yang serupa, di mana sudutnya ditulis dalam derajat:

Aturan mnemonik dari formula casting atau cara mengingatnya

Seperti yang telah kami sebutkan, tidak perlu menghafal semua rasio di atas. Jika Anda memperhatikannya dengan cermat, Anda mungkin memperhatikan beberapa pola. Mereka memungkinkan kami untuk merumuskan aturan mnemonik (mnemonic - menghafal), yang dengannya Anda dapat dengan mudah mendapatkan salah satu rumus pengurangan.

Kami segera mencatat bahwa untuk menerapkan aturan ini, seseorang harus mampu menentukan (atau mengingat) dengan baik tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai tempat dalam lingkaran satuan.
Graft itu sendiri terdiri dari 3 tahap:

1. Argumen fungsi harus dalam bentuk `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, di mana `\alpha` selalu merupakan sudut lancip (dari 0 hingga 90 derajat).
2. Untuk argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` fungsi trigonometri dari ekspresi yang dikonversi berubah menjadi kofungsi, yaitu kebalikannya (sinus ke kosinus, tangen ke kotangen dan sebaliknya). Untuk argumen `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` fungsinya tidak berubah.
3. Tanda fungsi asli ditentukan. Fungsi yang dihasilkan di sisi kanan akan memiliki tanda yang sama.

Untuk melihat bagaimana aturan ini dapat diterapkan dalam praktik, mari kita ubah beberapa ekspresi:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Fungsinya tidak terbalik. Sudut ` \pi + \alpha` ada di kuadran ketiga, kosinus di kuadran ini bertanda "-", jadi fungsi yang dikonversi juga akan bertanda "-".

Jawaban: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Berdasarkan aturan mnemonik fungsi akan dibalik. Sudut `\frac (3\pi)2 - \alpha` berada di kuadran ketiga, sinus di sini bertanda "-", jadi hasilnya juga akan bertanda "-".

Jawaban: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Mari kita nyatakan `3\pi` sebagai `2\pi+\pi`. `2\pi` adalah periode fungsi.

Penting: Fungsi `cos \alpha` dan `sin \alpha` memiliki periode `2\pi` atau `360^\circ`, nilainya tidak akan berubah jika argumen ditambah atau dikurangi dengan nilai ini.

Berdasarkan ini, ekspresi kita dapat ditulis sebagai berikut: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Menerapkan aturan mnemonic dua kali, kita mendapatkan: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Jawaban: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

aturan kuda

Poin kedua dari aturan mnemonik di atas disebut juga aturan kuda rumus reduksi. Saya bertanya-tanya mengapa kuda?

Jadi kita memiliki fungsi dengan argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, titik `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` adalah titik kunci, mereka terletak pada sumbu koordinat. `\pi` dan `2\pi` berada pada sumbu x horizontal, dan `\frac (\pi)2` dan `\frac (3\pi)2` berada pada sumbu y vertikal.

Kami bertanya pada diri sendiri pertanyaan: "Apakah fungsi berubah menjadi kofungsi?". Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu menggerakkan kepala Anda di sepanjang sumbu di mana titik kunci berada.

Artinya, untuk argumen dengan poin-poin penting yang terletak pada sumbu horizontal, kami menjawab "tidak" dengan menggelengkan kepala ke samping. Dan untuk sudut dengan titik kunci yang terletak pada sumbu vertikal, kami menjawab “ya” dengan menganggukkan kepala dari atas ke bawah, seperti kuda

Kami merekomendasikan menonton video tutorial di mana penulis menjelaskan secara rinci cara menghafal rumus pengurangan tanpa menghafalnya.

Contoh Praktis Menggunakan Rumus Casting

Penggunaan rumus reduksi dimulai di kelas 9 dan 10. Banyak tugas dengan penggunaannya diserahkan ke ujian. Berikut adalah beberapa tugas di mana Anda perlu menerapkan rumus ini:

tugas untuk memecahkan segitiga siku-siku;
konversi ekspresi trigonometri numerik dan alfabet, perhitungan nilainya;
masalah stereometrik.

Contoh 1. Gunakan rumus reduksi untuk menghitung a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Solusi: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Contoh 2. Setelah menyatakan kosinus melalui sinus dengan menggunakan rumus reduksi, bandingkan bilangan: 1) `sin \frac (9\pi)8` dan `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` dan `cos \frac (3\pi)10`.

Solusi: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

Pertama-tama kita buktikan dua rumus untuk sinus dan kosinus dari argumen `\frac (\pi)2 + \alpha`: `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` dan ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Sisanya berasal dari mereka.

Ambil lingkaran satuan dan titik A di atasnya dengan koordinat (1,0). Biarkan setelah dihidupkan corner `\alpha` akan menuju ke titik `A_1(x, y)`, dan setelah melewati sudut `\frac (\pi)2 + \alpha` ke titik `A_2(-y,x)` . Dengan menghilangkan garis tegak lurus dari titik-titik ini ke garis OX, kita melihat bahwa segitiga `OA_1H_1` dan `OA_2H_2` adalah sama, karena sisi miring dan sudut yang berdekatan sama besar. Kemudian, berdasarkan definisi sinus dan kosinus, kita dapat menulis `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Bagaimana seseorang dapat menulis bahwa `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` dan ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, yang membuktikan pengurangan rumus sinus dan cosinus sudut `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Dari definisi tangen dan kotangen diperoleh ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` dan ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, yang membuktikan pengurangan rumus untuk tangen dan kotangen dari sudut `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Untuk membuktikan rumus dengan argumen `\frac (\pi)2 - \alpha`, cukup dengan merepresentasikannya sebagai `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` dan ikuti jalur yang sama seperti di atas. Misalnya, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Sudut `\pi + \alpha` dan `\pi - \alpha` dapat direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` masing-masing.

Dan `\frac (3\pi)2 + \alpha` dan `\frac (3\pi)2 - \alpha` sebagai `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Pada artikel ini, kita akan melihat secara komprehensif. Identitas trigonometri dasar adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, dan memungkinkan Anda menemukan salah satu fungsi trigonometri ini melalui yang lain yang diketahui.

Kami segera mencantumkan identitas trigonometri utama, yang akan kami analisis dalam artikel ini. Kami menuliskannya dalam tabel, dan di bawah ini kami memberikan turunan dari formula ini dan memberikan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Hubungan antara sinus dan cosinus satu sudut

Terkadang mereka tidak berbicara tentang identitas trigonometri utama yang tercantum dalam tabel di atas, tetapi tentang satu identitas trigonometri dasar jenis . Penjelasan untuk fakta ini cukup sederhana: persamaan diperoleh dari identitas trigonometri dasar setelah membagi kedua bagiannya dengan dan masing-masing, dan persamaan dan berikut dari definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Kami akan membahas ini secara lebih rinci dalam paragraf berikut.

Artinya, persamaan itulah yang menjadi perhatian khusus, yang diberi nama identitas trigonometri utama.

Sebelum membuktikan identitas trigonometri dasar, kami memberikan rumusannya: jumlah kuadrat sinus dan kosinus dari satu sudut identik sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.

Identitas trigonometri dasar sangat sering digunakan dalam transformasi ekspresi trigonometri. Ini memungkinkan jumlah kuadrat sinus dan kosinus dari satu sudut diganti dengan satu. Tidak jarang, identitas trigonometri dasar digunakan dalam urutan terbalik: unit diganti dengan jumlah kuadrat dari sinus dan kosinus dari setiap sudut.

Tangen dan kotangen melalui sinus dan cosinus

Identitas yang menghubungkan garis singgung dan kotangen dengan sinus dan kosinus salah satu sudut bentuk dan langsung ikuti dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Memang, menurut definisi, sinus adalah ordinat y, kosinus adalah absis dari x, tangen adalah rasio ordinat terhadap absis, yaitu, , dan kotangen adalah rasio absis terhadap ordinat, yaitu, .

Karena kejelasan identitas dan seringkali definisi tangen dan kotangen diberikan tidak melalui rasio absis dan ordinat, tetapi melalui rasio sinus dan kosinus. Jadi garis singgung suatu sudut adalah rasio sinus terhadap kosinus sudut ini, dan kotangen adalah rasio kosinus terhadap sinus.

Untuk menyimpulkan bagian ini, perlu dicatat bahwa identitas dan berlaku untuk semua sudut yang fungsi trigonometrinya masuk akal. Jadi rumusnya valid untuk selain (jika penyebutnya nol, dan kita tidak mendefinisikan pembagian dengan nol), dan rumusnya - untuk semua , berbeda dari , di mana z adalah sembarang .

Hubungan antara tangen dan kotangen

Identitas trigonometri yang lebih jelas dari dua yang sebelumnya adalah identitas yang menghubungkan garis singgung dan kotangen dari salah satu sudut bentuk. . Jelas bahwa itu terjadi untuk setiap sudut selain , jika tidak, baik tangen atau kotangen tidak ditentukan.

Bukti rumusnya sangat sederhana. Menurut definisi dan dari mana . Pembuktian dapat dilakukan dengan cara yang sedikit berbeda. Sejak dan , kemudian .

Jadi, tangen dan kotangen dari satu sudut, di mana mereka masuk akal, adalah.

Rasio antara fungsi trigonometri utama - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan karena ada cukup banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini juga menjelaskan banyaknya rumus trigonometri. Beberapa rumus menghubungkan fungsi trigonometri dari sudut yang sama, yang lain - fungsi beberapa sudut, yang lain - memungkinkan Anda untuk menurunkan derajat, yang keempat - untuk mengekspresikan semua fungsi melalui garis singgung setengah sudut, dll.

Dalam artikel ini, kami membuat daftar secara berurutan semua rumus trigonometri dasar, yang cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan menghafal dan penggunaan, kami akan mengelompokkannya sesuai dengan tujuannya, dan memasukkannya ke dalam tabel.

Navigasi halaman.

Identitas trigonometri dasar

Identitas trigonometri dasar mengatur hubungan antara sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta konsep lingkaran satuan. Mereka memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi trigonometri melalui yang lain.

Untuk penjelasan rinci tentang rumus trigonometri ini, turunan dan contoh aplikasinya, lihat artikel.

Cast formula

Cast formula mengikuti dari sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, yaitu, mereka mencerminkan sifat periodisitas fungsi trigonometri, sifat simetri, dan juga sifat pergeseran dengan sudut tertentu. Rumus trigonometri ini memungkinkan Anda untuk beralih dari bekerja dengan sudut sembarang ke bekerja dengan sudut mulai dari nol hingga 90 derajat.

Alasan untuk formula ini, aturan mnemonik untuk menghafalnya, dan contoh penerapannya dapat dipelajari di artikel.

Rumus Tambahan

Rumus penjumlahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri dari jumlah atau perbedaan dua sudut dinyatakan dalam fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Rumus-rumus ini berfungsi sebagai dasar untuk penurunan rumus trigonometri berikut.

Rumus untuk double, triple, dll. sudut

Rumus untuk double, triple, dll. sudut (juga disebut rumus sudut ganda) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri ganda, tiga, dll. sudut () dinyatakan dalam fungsi trigonometri sudut tunggal. Derivasi mereka didasarkan pada formula tambahan.

Informasi lebih rinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dll. sudut .

Rumus Setengah Sudut

Rumus Setengah Sudut menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri setengah sudut dinyatakan dalam kosinus sudut bilangan bulat. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut ganda.

Kesimpulan dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel.

Rumus pengurangan

Rumus trigonometri untuk menurunkan derajat dirancang untuk memfasilitasi transisi dari kekuatan alami fungsi trigonometri ke sinus dan kosinus di tingkat pertama, tetapi beberapa sudut. Dengan kata lain, mereka memungkinkan seseorang untuk mengurangi kekuatan fungsi trigonometri menjadi yang pertama.

Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri

Tujuan utama rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri terdiri dari transisi ke produk fungsi, yang sangat berguna saat menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus ini juga banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, karena memungkinkan pemfaktoran jumlah dan perbedaan sinus dan cosinus.

Rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus

Transisi dari produk fungsi trigonometri ke jumlah atau perbedaan dilakukan melalui rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus.

Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.

Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.site, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Identitas trigonometri adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, yang memungkinkan Anda menemukan salah satu fungsi ini, asalkan fungsi lainnya diketahui.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Identitas ini mengatakan bahwa jumlah kuadrat sinus satu sudut dan kuadrat kosinus satu sudut sama dengan satu, yang dalam praktiknya memungkinkan untuk menghitung sinus satu sudut ketika cosinusnya diketahui dan sebaliknya. .

Saat mengonversi ekspresi trigonometri, identitas ini sangat sering digunakan, yang memungkinkan Anda untuk mengganti jumlah kuadrat dari kosinus dan sinus satu sudut dengan satu dan juga melakukan operasi penggantian dalam urutan terbalik.

Menemukan tangen dan kotangen melalui sinus dan cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Identitas ini terbentuk dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Lagi pula, jika Anda perhatikan, maka menurut definisi, ordinat y adalah sinus, dan absis x adalah kosinus. Maka tangen akan sama dengan rasio \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), dan rasio \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- akan menjadi kotangen.

Kami menambahkan bahwa hanya untuk sudut \alpha yang fungsi trigonometrinya masuk akal, identitas akan terjadi, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Sebagai contoh: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) berlaku untuk \sudut alfa yang berbeda dari \frac(\pi)(2)+\pi z, sebuah ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- untuk sudut \alpha selain \pi z , z adalah bilangan bulat.

Hubungan antara tangen dan kotangen

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Identitas ini hanya berlaku untuk sudut \alpha yang berbeda dari \frac(\pi)(2) z. Jika tidak, baik kotangen atau tangen tidak akan ditentukan.

Berdasarkan poin di atas, kita mendapatkan bahwa tg \alpha = \frac(y)(x), sebuah ctg\alpha=\frac(x)(y). Oleh karena itu berikut ini tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dengan demikian, tangen dan kotangen dari satu sudut di mana mereka masuk akal adalah angka yang saling timbal balik.

Hubungan antara tangen dan kosinus, kotangen dan sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- jumlah kuadrat garis singgung sudut \alpha dan 1 sama dengan kuadrat kebalikan dari kosinus sudut ini. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- jumlah 1 dan kuadrat kotangen dari sudut \alpha , sama dengan kuadrat terbalik dari sinus sudut yang diberikan. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \pi z .

Contoh dengan solusi untuk masalah menggunakan identitas trigonometri

Contoh 1

Cari \sin \alpha dan tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Fungsi \sin \alpha dan \cos \alpha dihubungkan oleh rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substitusi ke rumus ini \cos \alpha = -\frac12, kita mendapatkan:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Persamaan ini memiliki 2 solusi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Dengan kondisi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuarter kedua, sinusnya positif, jadi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Untuk mencari tg \alpha , kita menggunakan rumus tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Contoh 2

Temukan \cos \alpha dan ctg \alpha jika dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Substitusi ke rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nomor bersyarat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kita mendapatkan \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Persamaan ini memiliki dua solusi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Dengan kondisi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuartal kedua, kosinusnya negatif, jadi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Untuk mencari ctg \alpha , kita menggunakan rumus ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Kami tahu nilai yang sesuai.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Ini adalah pelajaran terakhir dan terpenting yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah B11. Kita sudah tahu cara mengubah sudut dari ukuran radian ke ukuran derajat (lihat pelajaran “ Radian dan ukuran derajat suatu sudut"), dan kita juga tahu cara menentukan tanda fungsi trigonometri, dengan fokus pada kuartal koordinat (lihat pelajaran " Tanda-tanda fungsi trigonometri").

Masalahnya tetap kecil: untuk menghitung nilai fungsi itu sendiri - angka yang tertulis dalam jawabannya. Di sini identitas trigonometri dasar datang untuk menyelamatkan.

Identitas trigonometri dasar. Untuk sembarang sudut , pernyataan ini benar:

sin 2 + cos 2 = 1.

Rumus ini menghubungkan sinus dan cosinus dari satu sudut. Sekarang, mengetahui sinus, kita dapat dengan mudah menemukan kosinus - dan sebaliknya. Cukup dengan mengambil akar kuadrat:

Perhatikan tanda "±" di depan akar. Faktanya adalah bahwa dari identitas trigonometri dasar tidak jelas apa sinus dan kosinus asli: positif atau negatif. Bagaimanapun, mengkuadratkan adalah fungsi genap yang "membakar" semua minus (jika ada).

Itulah sebabnya di semua tugas B11 yang ditemukan di USE dalam matematika, tentu ada kondisi tambahan yang membantu menghilangkan ketidakpastian dengan tanda. Biasanya ini merupakan indikasi dari kuartal koordinat dimana tanda dapat ditentukan.

Pembaca yang penuh perhatian pasti akan bertanya: “Bagaimana dengan tangen dan kotangen?” Tidak mungkin menghitung langsung fungsi-fungsi ini dari rumus di atas. Namun, ada konsekuensi penting dari identitas trigonometri dasar yang sudah mengandung garis singgung dan kotangen. Yaitu:

Akibat wajar yang penting: untuk sembarang sudut , identitas trigonometri dasar dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Persamaan ini dapat dengan mudah disimpulkan dari identitas dasarnya - cukup dengan membagi kedua sisi dengan cos 2 (untuk mendapatkan garis singgung) atau dengan sin 2 (untuk sebuah kotangen).

Mari kita lihat semua ini dengan contoh spesifik. Berikut ini adalah soal B11 aktual yang diambil dari uji coba Matematika USE 2012.

Kita tahu kosinusnya, tapi kita tidak tahu sinusnya. Identitas trigonometri utama (dalam bentuk "murni") hanya menghubungkan fungsi-fungsi ini, jadi kami akan bekerja dengannya. Kita punya:

sin 2 + cos 2 = 1 sin 2 + 99/100 = 1 sin 2 = 1/100 sin = ±1/10 = ±0.1.

Untuk memecahkan masalah, tetap menemukan tanda sinus. Karena sudut ∈ (π /2; ), maka dalam besaran derajat ditulis sebagai berikut: (90°; 180°).

Oleh karena itu, sudut terletak pada kuartal koordinat II - semua sinus di sana positif. Oleh karena itu sin = 0,1.

Jadi, kita tahu sinusnya, tetapi kita perlu mencari kosinusnya. Kedua fungsi ini berada dalam identitas trigonometri dasar. Kami mengganti:

sin 2 + cos 2 = 1 3/4 + cos 2 = 1 cos 2 = 1/4 cos = ±1/2 = ±0,5.

Masih berurusan dengan tanda di depan pecahan. Apa yang harus dipilih: plus atau minus? Dengan syarat, sudut termasuk dalam interval (π 3π /2). Mari kita ubah sudut dari ukuran radian ke ukuran derajat - kita mendapatkan: (180°; 270°).

Jelas, ini adalah kuartal koordinat III, di mana semua kosinus negatif. Oleh karena itu cosα = 0,5.

Tugas. Temukan tg jika Anda mengetahui hal berikut:

Tangen dan cosinus dihubungkan oleh persamaan berikut dari identitas trigonometri dasar:

Didapatkan: tg = ±3. Tanda garis singgung ditentukan oleh sudut . Diketahui bahwa (3π /2; 2π ). Mari kita ubah sudut dari ukuran radian ke ukuran derajat - kita mendapatkan ∈ (270 °; 360 °).

Jelas, ini adalah kuartal koordinat IV, di mana semua garis singgung negatif. Oleh karena itu, tgα = 3.

Tugas. Temukan cos jika Anda mengetahui hal berikut:

Sekali lagi, sinus diketahui dan kosinus tidak diketahui. Kami menuliskan identitas trigonometri utama:

sin 2 + cos 2 = 1 0,64 + cos 2 = 1 cos 2 = 0,36 cos = ±0,6.

Tanda ditentukan oleh sudut. Kami memiliki: (3π /2; 2π ). Mari kita ubah sudut dari derajat ke radian: (270 °; 360 °) adalah kuartal koordinat IV, kosinusnya positif di sana. Oleh karena itu, cos = 0,6.

Tugas. Temukan sin jika Anda mengetahui hal berikut:

Mari kita tulis rumus yang mengikuti dari identitas trigonometri dasar dan langsung menghubungkan sinus dan kotangen:

Dari sini kita mendapatkan bahwa sin 2 = 1/25, yaitu sin = ±1/5 = ±0,2. Diketahui sudut (0; /2). Dalam derajat, ini ditulis sebagai berikut: (0 °; 90 °) - I koordinat seperempat.

Jadi, sudutnya berada di kuartal koordinat I - semua fungsi trigonometri positif di sana, oleh karena itu sin \u003d 0,2.