Dispersi variabel acak. Cara membuat hukum distribusi dari contoh variabel acak Temukan varians menurut hukum distribusi

Seperti diketahui, variabel acak disebut variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin (X, Y, Z), dan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.

Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai yang terbatas atau tak terbatas (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitas yang sesuai. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.

1 . Hukum distribusi dapat diberikan oleh tabel:

dimana >0, k = 0, 1, 2, … .

di) melalui fungsi distribusi F(x) , yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai kurang dari x, yaitu F(x) = P(X< x).

Sifat-sifat fungsi F(x)

3 . Hukum distribusi dapat diatur secara grafis – poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3).

Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah, tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau lebih angka yang mencerminkan fitur terpenting dari hukum distribusi. Bisa berupa angka yang memiliki arti "nilai rata-rata" dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan ukuran rata-rata penyimpangan suatu variabel acak dari nilai rata-ratanya. Bilangan semacam ini disebut karakteristik numerik dari variabel acak.

Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit :

• Harapan matematika (nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit M(X)=Σ x i p i.
  Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ
• Penyebaran variabel acak diskrit D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2) 2. Selisih X–M(X) disebut deviasi variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
  Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ
• Standar deviasi (deviasi standar) (X)=√D(X).

Contoh penyelesaian masalah dengan topik "Hukum distribusi variabel acak diskrit"

Tugas 1.

1000 tiket lotere telah dikeluarkan: 5 di antaranya memenangkan 500 rubel, 10 - 100 rubel, 20 - 50 rubel, 50 - 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket.

Keputusan. Sesuai dengan kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100 dan 500.

Jumlah tiket tanpa kemenangan adalah 1000 - (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Demikian pula, kami menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Kami menyajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel:

Tentukan ekspektasi matematis dari X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tugas 3.

Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Probabilitas kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi untuk jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buat poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotkan. Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak diskrit.

Keputusan. 1. Variabel acak diskrit X=(jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki kemungkinan nilai berikut: x 1 =0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 =1 (satu elemen gagal), x 3 =2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 \u003d 3 (tiga elemen gagal).

Kegagalan elemen tidak tergantung satu sama lain, probabilitas kegagalan setiap elemen sama satu sama lain, oleh karena itu, ini berlaku rumus Bernoulli . Mengingat bahwa, dengan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kami menentukan probabilitas nilai:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Periksa: p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dengan demikian, hukum distribusi binomial X yang diinginkan memiliki bentuk:

Pada sumbu absis, kami memplot nilai yang mungkin x i, dan pada sumbu ordinat, probabilitas yang sesuai i . Mari kita buat titik M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Menghubungkan titik-titik ini dengan segmen garis, kami memperoleh poligon distribusi yang diinginkan.

3. Tentukan fungsi distribusi F(x) = P(X

Untuk x 0 kita memiliki F(x) = P(X<0) = 0;
untuk 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
untuk 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
untuk 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
untuk x > 3 menjadi F(x) = 1, karena peristiwa itu pasti.

Grafik fungsi F(x)

4. Untuk distribusi binomial X:
- ekspektasi matematis (X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersi D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- simpangan baku (X) = D(X) = 0,27 0,52.

Contoh pemecahan masalah pada topik "Variabel acak".

Tugas 1 . Ada 100 tiket yang dikeluarkan dalam lotere. Satu kemenangan sebesar 50 USD dimainkan. dan sepuluh kemenangan masing-masing $10. Temukan hukum distribusi nilai X - biaya perolehan yang mungkin.

Keputusan. Kemungkinan nilai X: x 1 = 0; x 2 = 10 dan x 3 = 50. Karena ada 89 tiket “kosong”, maka p 1 = 0,89, peluang menang adalah 10 c.u. (10 tiket) – p 2 = 0,10 dan untuk kemenangan 50 c.u. -p 3 = 0,01. Dengan demikian:

	0,89	0,10	0,01

Mudah dikendalikan: .

Tugas 2. Probabilitas bahwa pembeli telah membiasakan diri dengan iklan produk sebelumnya adalah 0,6 (p = 0,6). Pengendalian kualitas iklan secara selektif dilakukan dengan polling kepada pembeli sebelum pembeli pertama yang mempelajari iklan tersebut terlebih dahulu. Buatlah rangkaian distribusi jumlah pembeli yang diwawancarai.

Keputusan. Menurut kondisi masalah p = 0,6. Dari: q=1 -p = 0,4. Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan: dan buat deret distribusi:

pi		0,24

Tugas 3. Komputer terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen: unit sistem, monitor, dan keyboard. Dengan peningkatan tegangan tunggal yang tajam, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah 0,1. Berdasarkan distribusi Bernoulli, buatlah hukum distribusi untuk jumlah elemen yang gagal selama lonjakan daya dalam jaringan.

Keputusan. Mempertimbangkan Distribusi Bernoulli(atau binomial): probabilitas bahwa dalam n tes, acara A akan muncul dengan tepat k sekali: , atau:

	q n					p n

PADA mari kembali ke tugas.

Kemungkinan nilai X (jumlah kegagalan):

x 0 =0 - tidak ada elemen yang gagal;

x 1 =1 - kegagalan satu elemen;

x 2 =2 - kegagalan dua elemen;

x 3 =3 - kegagalan semua elemen.

Karena, dengan syarat, p = 0,1, maka q = 1 – p = 0,9. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, diperoleh

, ,

, .

Kontrol: .

Oleh karena itu, hukum distribusi yang diinginkan:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Tugas 4. Diproduksi 5000 putaran. Probabilitas bahwa satu kartrid rusak . Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat 3 kartrid yang rusak di seluruh batch?

Keputusan. Berlaku distribusi racun: distribusi ini digunakan untuk menentukan probabilitas bahwa, diberikan sangat besar

banyaknya percobaan (percobaan masal), dimana peluang kejadian A sangat kecil, kejadian A akan terjadi k kali : , di mana .

Di sini n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Kami menemukan , maka probabilitas yang diinginkan: .

Tugas 5. Saat menembak sebelum pukulan pertama dengan kemungkinan mengenai p = 0,6 untuk satu tembakan, Anda perlu mencari probabilitas bahwa pukulan akan terjadi pada tembakan ketiga.

Keputusan. Mari kita terapkan distribusi geometrik: biarkan percobaan independen dibuat, di mana setiap kejadian A memiliki probabilitas kemunculan p (dan non-kejadian q = 1 - p). Percobaan berakhir segera setelah peristiwa A terjadi.

Dalam kondisi seperti itu, peluang kejadian A akan terjadi pada uji ke-k ditentukan oleh rumus: . Di sini p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Oleh karena itu, .

Tugas 6. Biarkan hukum distribusi variabel acak X diberikan:

Temukan harapan matematisnya.

Keputusan. .

Perhatikan bahwa makna probabilistik dari ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak.

Tugas 7. Temukan varians dari variabel acak X dengan hukum distribusi berikut:

Keputusan. Di Sini .

Hukum distribusi kuadrat X 2 :

X 2

Varians yang diperlukan: .

Dispersi mencirikan derajat deviasi (hamburan) variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Tugas 8. Biarkan variabel acak diberikan oleh distribusi:

			10m

Temukan karakteristik numeriknya.

Solusi: m, m 2 ,

M 2 , m.

Tentang variabel acak X, dapat dikatakan salah satu - harapan matematisnya adalah 6,4 m dengan varians 13,04 m 2 , atau - ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan deviasi m Formulasi kedua jelas lebih jelas.

Tugas 9. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi:
.

Temukan probabilitas bahwa, sebagai hasil dari pengujian, nilai X akan mengambil nilai yang terkandung dalam interval .

Keputusan. Probabilitas bahwa X akan mengambil nilai dari interval yang diberikan sama dengan kenaikan fungsi integral dalam interval ini, yaitu . Dalam kasus kami dan , oleh karena itu

.

Tugas 10. Variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi:

Temukan fungsi distribusi F(x ) dan buat grafiknya.

Keputusan. Karena fungsi distribusi

untuk , kemudian

pada ;

pada ;

pada ;

pada ;

Bagan yang relevan:

Tugas 11. Variabel acak kontinu X diberikan oleh fungsi distribusi diferensial: .

Cari peluang memukul X ke interval

Keputusan. Perhatikan bahwa ini adalah kasus khusus dari hukum distribusi eksponensial.

Mari kita gunakan rumus: .

Tugas 12. Temukan karakteristik numerik dari variabel acak diskrit X yang diberikan oleh hukum distribusi:

	–5
	X2 : x2 . , di mana adalah fungsi Laplace. Nilai fungsi ini ditemukan menggunakan tabel. Dalam kasus kami: . Menurut tabel kami menemukan:, oleh karena itu:

tugas layanan. Kalkulator online digunakan untuk membuat tabel distribusi variabel acak X - jumlah eksperimen yang dilakukan dan menghitung semua karakteristik deret: ekspektasi matematis, varians, dan standar deviasi. Laporan dengan keputusan dibuat dalam format Word. Contoh 1. Tiga koin dilempar. Peluang sebuah lambang jatuh dalam satu gulungan adalah 0,5. Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak X - jumlah lambang yang jatuh.
Keputusan.
Peluang tidak ada lambang yang terlepas: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Probabilitas bahwa tiga lambang terlepas: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Hukum distribusi variabel acak X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Periksa: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Contoh #2. Probabilitas mengenai sasaran oleh satu penembak dengan satu tembakan untuk penembak pertama adalah 0,8, untuk penembak kedua - 0,85. Penembak melepaskan satu tembakan ke sasaran. Dengan asumsi memukul target untuk penembak individu sebagai peristiwa independen, temukan probabilitas peristiwa A - tepat satu pukulan pada target.
Keputusan.
Pertimbangkan acara A - satu pukulan tepat sasaran. Kemungkinan terjadinya peristiwa ini adalah sebagai berikut:

1. Pukulan penembak pertama, penembak kedua meleset: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Penembak pertama meleset, penembak kedua mengenai sasaran: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Penembak pertama dan kedua secara independen mengenai target: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Maka peluang kejadian A - tepat satu pukulan mengenai target, akan sama dengan: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

Definisi.Dispersi (hamburan) Variabel acak diskrit disebut ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat variabel acak dari ekspektasi matematisnya:

Contoh. Untuk contoh di atas, kami menemukan

Harapan matematis dari variabel acak adalah:

Nilai yang mungkin dari deviasi kuadrat:

; ;

dispersinya adalah:

Namun, dalam praktiknya, metode menghitung varians ini tidak nyaman, karena mengarah ke perhitungan rumit untuk sejumlah besar nilai variabel acak. Oleh karena itu, metode lain digunakan.

Perhitungan Varians

Dalil. Varians sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak X dan kuadrat ekspektasi matematisnya:

Bukti. Dengan mempertimbangkan fakta bahwa ekspektasi matematis dan kuadrat dari ekspektasi matematis adalah nilai konstan, kita dapat menulis:

Mari kita terapkan rumus ini pada contoh di atas:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Sifat Dispersi

1) Dispersi nilai konstanta adalah nol:

2) Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:

.

3) Varians jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari variabel-variabel berikut:

4) Varians selisih dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari variabel-variabel berikut:

Validitas persamaan ini mengikuti dari properti 2.

Dalil. Varians banyaknya kemunculan kejadian A dalam n percobaan bebas, yang masing-masing peluang kejadiannya konstan, sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang terjadinya dan peluang kejadian tidak terjadi pada setiap percobaan:

Contoh. Pabrik menghasilkan 96% produk kelas satu dan 4% produk kelas dua. 1000 item dipilih secara acak. Biarlah X- jumlah produk kelas satu dalam sampel ini. Temukan hukum distribusi, ekspektasi matematis, dan varians dari variabel acak.

Dengan demikian, hukum distribusi dapat dianggap binomial.

Contoh. Temukan varians dari variabel acak diskrit X– jumlah kemunculan acara TETAPI dalam dua percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian ini pada setiap percobaan adalah sama dan diketahui bahwa

Karena nilai acak X didistribusikan menurut hukum binomial, maka

Contoh. Tes independen dilakukan dengan probabilitas kejadian yang sama TETAPI dalam setiap ujian. Tentukan peluang terjadinya suatu kejadian TETAPI jika varians banyaknya kejadian dalam tiga percobaan bebas adalah 0,63.

Menurut rumus dispersi dari hukum binomial, kita memperoleh:

;

Contoh. Perangkat yang terdiri dari empat perangkat yang beroperasi secara independen sedang diuji. Probabilitas kegagalan masing-masing perangkat sama, masing-masing ; ; . Temukan ekspektasi matematis dan varians dari jumlah perangkat yang gagal.

Mengambil jumlah perangkat yang gagal sebagai variabel acak, kita melihat bahwa variabel acak ini dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3, atau 4.

Untuk menyusun hukum distribusi untuk variabel acak ini, perlu untuk menentukan probabilitas yang sesuai. Mari kita terima.

1) Tidak ada satu perangkat pun yang gagal:

2) Salah satu perangkat gagal.