Sangat tidak mungkin untuk memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika tanpa pengetahuan tentang turunan dan metode untuk menghitungnya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dari analisis matematika. Kami memutuskan untuk mencurahkan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa fisiknya dan arti geometris Bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini dapat digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometris dan fisik dari turunan

Biarkan ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa interval (a,b) . Titik x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai fungsi pada dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika yang terakhir cenderung nol.

Jika tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batas seperti itu? Tapi yang mana:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu.

arti fisik turunan: turunan waktu dari lintasan sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang, sejak masa sekolah, semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur pribadi. x=f(t) dan waktu t . kecepatan rata-rata untuk beberapa waktu:

Untuk mengetahui kecepatan gerakan pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batas:

Aturan satu: keluarkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, ambil sebagai aturan - jika Anda dapat menyederhanakan ekspresi, pastikan untuk menyederhanakan .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan dua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan dari fungsi-fungsi tersebut. Hal yang sama berlaku untuk turunan dari perbedaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Cari turunan dari suatu fungsi:

Aturan tiga: turunan dari produk fungsi

Turunan produk dari dua fungsi yang dapat diturunkan dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan dari suatu fungsi:

Keputusan:

Di sini penting untuk mengatakan tentang perhitungan turunan dari fungsi kompleks. Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi ini sehubungan dengan argumen antara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan variabel bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemukan ekspresi:

Dalam hal ini, argumen perantara adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita pertimbangkan turunan dari fungsi eksternal sehubungan dengan argumen antara, dan kemudian kalikan dengan turunan dari argumen antara itu sendiri sehubungan dengan variabel independen.

Aturan Empat: Turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan dari hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba berbicara tentang turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kedengarannya, jadi berhati-hatilah: sering ada jebakan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda memecahkan kontrol yang paling sulit dan menangani tugas-tugas, bahkan jika Anda belum pernah berurusan dengan perhitungan turunan sebelumnya.

Tanggal: 20/11/2014

Apa itu turunan?

Tabel turunan.

Turunan adalah salah satu konsep utama matematika tingkat tinggi. Dalam pelajaran ini, kami akan memperkenalkan konsep ini. Mari berkenalan, tanpa rumusan dan pembuktian matematis yang ketat.

Pengenalan ini akan memungkinkan Anda untuk:

Memahami esensi tugas sederhana dengan turunan;

Berhasil memecahkan sebagian besar ini tugas yang sulit;

Bersiaplah untuk pelajaran turunan yang lebih serius.

Pertama, kejutan yang menyenangkan.

Definisi ketat turunan didasarkan pada teori limit, dan masalahnya agak rumit. Ini menjengkelkan. Tetapi penerapan praktis dari turunan, sebagai suatu peraturan, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!

Untuk berhasil menyelesaikan sebagian besar tugas di sekolah dan universitas, cukup mengetahui hanya beberapa istilah- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa aturan- untuk menyelesaikannya. Dan itu saja. Ini membuatku senang.

Haruskah kita saling mengenal?)

Istilah dan sebutan.

Ada banyak operasi matematika dalam matematika dasar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial, logaritma, dll. Jika satu operasi lagi ditambahkan ke operasi ini, matematika dasar menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini disebut diferensiasi. Definisi dan arti dari operasi ini akan dibahas dalam pelajaran terpisah.

Di sini penting untuk dipahami bahwa diferensiasi itu sederhana operasi matematika atas fungsi. Kami mengambil fungsi apa pun dan aturan tertentu, mengubahnya. Hasilnya adalah fungsi baru. Fungsi baru ini disebut: turunan.

Diferensiasi- aksi pada suatu fungsi.

Turunan adalah hasil dari tindakan ini.

Sama seperti, misalnya, jumlah merupakan hasil penjumlahan. Atau pribadi merupakan hasil pembagian.

Mengetahui istilah, Anda setidaknya dapat memahami tugas.) Kata-katanya adalah sebagai berikut: menemukan turunan dari suatu fungsi; ambil turunannya; membedakan fungsi; menghitung turunan dll. itu semua sama. Tentu saja, ada tugas yang lebih kompleks, di mana menemukan turunan (diferensiasi) hanyalah salah satu langkah dalam menyelesaikan tugas.

Turunan dilambangkan dengan tanda hubung di kanan atas di atas fungsi. Seperti ini: y" atau f"(x) atau S"(t) dll.

Baca y stroke, ef stroke dari x, es stroke dari te, baik Anda mengerti ...)

Sebuah prima juga dapat menunjukkan turunan dari fungsi tertentu, misalnya: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" dll. Seringkali turunan dilambangkan menggunakan diferensial, tetapi kita tidak akan mempertimbangkan notasi seperti itu dalam pelajaran ini.

Misalkan kita telah belajar memahami tugas. Tidak ada yang tersisa - untuk mempelajari cara menyelesaikannya.) Biarkan saya mengingatkan Anda lagi: menemukan turunannya adalah transformasi fungsi menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini sangat sedikit.

Untuk menemukan turunan suatu fungsi, Anda hanya perlu mengetahui tiga hal. Tiga pilar di mana semua diferensiasi bersandar. Berikut ketiga paus tersebut:

1. Tabel turunan (rumus diferensiasi).

3. Turunan dari fungsi kompleks.

Mari kita mulai secara berurutan. Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan tabel turunan.

Tabel turunan.

Dunia memiliki jumlah fungsi yang tak terbatas. Di antara himpunan ini ada fungsi yang paling penting untuk aplikasi praktis. Fungsi-fungsi ini duduk di semua hukum alam. Dari fungsi-fungsi ini, seperti dari batu bata, Anda dapat membangun yang lainnya. Kelas fungsi ini disebut fungsi dasar. Fungsi-fungsi inilah yang dipelajari di sekolah - linier, kuadrat, hiperbola, dll.

Diferensiasi fungsi "dari awal", mis. berdasarkan definisi turunan dan teori limit - hal yang agak memakan waktu. Dan matematikawan juga manusia, ya, ya!) Jadi mereka menyederhanakan hidup mereka (dan kita). Mereka menghitung turunan dari fungsi dasar sebelum kita. Hasilnya adalah tabel turunan, di mana semuanya sudah siap.)

Ini dia, piring ini untuk fungsi paling populer. Di sebelah kiri adalah fungsi dasar, di sebelah kanan adalah turunannya.

	Fungsi kamu	Turunan dari fungsi y y"
1	C (konstan)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n adalah bilangan apa saja)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	dosa x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	sebuah x
	e x
5	catatan sebuah x
	dalam x ( a = e)

Saya sarankan untuk memperhatikan kelompok fungsi ketiga dalam tabel turunan ini. Turunan fungsi daya- salah satu formula paling umum, jika bukan yang paling umum! Apakah petunjuknya jelas?) Ya, sebaiknya hafal tabel turunannya. Omong-omong, ini tidak sesulit kelihatannya. Cobalah untuk memutuskan lebih banyak contoh, tabel itu sendiri akan diingat!)

Menemukan nilai tabular dari turunan, seperti yang Anda pahami, bukanlah tugas yang paling sulit. Karena itu, sangat sering dalam tugas seperti itu ada chip tambahan. Baik dalam perumusan tugas, atau dalam fungsi aslinya, yang sepertinya tidak ada di meja ...

Mari kita lihat beberapa contoh:

1. Tentukan turunan dari fungsi y = x 3

Tidak ada fungsi seperti itu di tabel. Tetapi ada turunan dari fungsi daya di pandangan umum(kelompok ketiga). Dalam kasus kami, n=3. Jadi kami mengganti triple alih-alih n dan dengan hati-hati menuliskan hasilnya:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Itu saja.

Menjawab: y" = 3x 2

2. Tentukan nilai turunan dari fungsi y = sinx di titik x = 0.

Tugas ini berarti bahwa Anda harus terlebih dahulu menemukan turunan dari sinus, dan kemudian mengganti nilainya x = 0 untuk turunan yang sama ini. Itu dalam urutan itu! Jika tidak, kebetulan mereka segera mensubstitusi nol ke fungsi aslinya ... Kami diminta untuk menemukan bukan nilai fungsi aslinya, tetapi nilainya turunannya. Turunannya, izinkan saya mengingatkan Anda, sudah merupakan fungsi baru.

Di piring kami menemukan sinus dan turunan yang sesuai:

y" = (sinx)" = cosx

Substitusikan nol ke turunan:

y"(0) = cos 0 = 1

Ini akan menjadi jawabannya.

3. Bedakan fungsinya:

Apa yang menginspirasi?) Bahkan tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk membedakan suatu fungsi cukup dengan mencari turunan dari fungsi ini. Jika Anda lupa trigonometri dasar, menemukan turunan dari fungsi kami cukup merepotkan. Meja tidak membantu...

Tetapi jika kita melihat bahwa fungsi kita adalah kosinus sudut ganda , maka semuanya segera menjadi lebih baik!

Ya ya! Ingat bahwa transformasi dari fungsi aslinya sebelum diferensiasi cukup dapat diterima! Dan itu terjadi untuk membuat hidup jauh lebih mudah. Menurut rumus kosinus sudut ganda:

Itu. fungsi rumit kami tidak lain adalah y = cox. Dan ini adalah fungsi tabel. Kami segera mendapatkan:

Menjawab: y" = - sin x.

Contoh untuk lulusan dan mahasiswa tingkat lanjut:

4. Temukan turunan dari suatu fungsi:

Tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan, tentu saja. Tetapi jika Anda ingat matematika dasar, tindakan dengan kekuatan... Maka sangat mungkin untuk menyederhanakan fungsi ini. Seperti ini:

Dan x pangkat sepersepuluh sudah merupakan fungsi tabel! Kelompok ketiga, n=1/10. Langsung sesuai dengan rumus dan tulis:

Itu saja. Ini akan menjadi jawabannya.

Saya berharap bahwa dengan paus diferensiasi pertama - tabel turunan - semuanya jelas. Masih berurusan dengan dua paus yang tersisa. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan mempelajari aturan diferensiasi.

Pada bidang koordinat tongkang perhatikan grafik fungsi y=f(x). Perbaiki satu titik M (x 0; f (x 0)). Mari kita berikan absis x 0 kenaikan . Kami akan mendapatkan absis baru x 0 + x. Ini adalah absis dari intinya N, dan ordinatnya adalah f (х 0 +Δх). Perubahan absis menyebabkan perubahan ordinat. Perubahan ini disebut kenaikan fungsi dan dilambangkan y.

y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0). melalui titik-titik M dan N menggambar garis potong M N, yang membentuk sudut φ dengan arah sumbu positif Oh. Tentukan garis singgung sudut φ dari segitiga siku-siku MPN.

Biarlah cenderung nol. Kemudian garis potong M N akan cenderung mengambil posisi garis singgung MT, dan sudut φ akan menjadi sudut α . Jadi tangen sudut α adalah nilai limit dari garis singgung sudut φ :

Batas rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, ketika yang terakhir cenderung nol, disebut turunan dari fungsi pada titik tertentu:

Arti geometris dari turunan terletak pada kenyataan bahwa turunan numerik dari fungsi pada titik tertentu sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung yang ditarik melalui titik ini ke kurva yang diberikan dan arah positif sumbu Oh:

Contoh.

1. Cari kenaikan argumen dan kenaikan fungsi y= x2 jika nilai awal argumen adalah 4 , dan yang baru 4,01 .

Keputusan.

Nilai argumen baru x \u003d x 0 + x. Substitusikan data: 4.01=4+Δx, maka argumen bertambah =4,01-4=0,01. Kenaikan suatu fungsi, menurut definisi, sama dengan perbedaan antara nilai fungsi yang baru dan sebelumnya, mis. y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0). Karena kita memiliki fungsi y=x2, kemudian \u003d (x 0 + x) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · x+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Menjawab: penambahan argumen =0,01; peningkatan fungsi =0,0801.

Dimungkinkan untuk menemukan peningkatan fungsi dengan cara lain: y\u003d y (x 0 + x) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0,0801.

2. Tentukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi y=f(x) pada intinya x 0, jika f "(x 0) \u003d 1.

Keputusan.

Nilai turunan pada titik kontak x 0 dan merupakan nilai tangen dari kemiringan tangen (makna geometris turunan). Kita punya: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → \u003d 45 °, sebagai tg45°=1.

Menjawab: garis singgung grafik fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif sumbu Ox, sama dengan 45°.

3. Turunkan rumus turunan suatu fungsi y=xn.

Diferensiasi adalah tindakan menemukan turunan dari suatu fungsi.

Saat menemukan turunan, rumus yang digunakan adalah yang diturunkan berdasarkan definisi turunan, dengan cara yang sama seperti kita menurunkan rumus untuk derajat turunan: (x n)" = nx n-1.

Berikut adalah rumusnya.

Tabel turunan akan lebih mudah untuk menghafal dengan mengucapkan rumusan verbal:

1. Turunan dari suatu nilai konstanta adalah nol.

2. X stroke sama dengan satu.

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya.

4. Turunan dari suatu derajat sama dengan produk dari eksponen derajat ini dengan derajat dengan basis yang sama, tetapi eksponennya kurang satu.

5. Turunan dari akar sama dengan satu dibagi dua dari akar yang sama.

6. Turunan persatuan dibagi x dikurangi satu dibagi x kuadrat.

7. Turunan sinus sama dengan cosinus.

8. Turunan cosinus sama dengan minus sinus.

9. Turunan dari garis singgung sama dengan satu dibagi dengan kuadrat kosinus.

10. Turunan dari kotangen dikurangi satu dibagi dengan kuadrat sinus.

Kami mengajar aturan diferensiasi.

1. Turunan jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar suku-suku turunan.

2. Turunan produk sama dengan produk turunan faktor pertama dengan faktor kedua ditambah produk faktor pertama dengan turunan faktor kedua.

3. Turunan dari "y" dibagi dengan "ve" sama dengan pecahan, di mana pembilangnya "y adalah guratan dikalikan dengan 've' dikurangi 'y, dikalikan dengan guratan', dan dalam penyebutnya - 've kuadrat ”.

4. kasus spesial rumus 3.

Mari belajar bersama!

Halaman 1 dari 1 1

Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache Anda. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami terlebih dahulu sumber daya yang berguna untuk

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal di sepanjang jalan, dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbu adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.

Bergerak maju di sepanjang jalan seperti itu, kita juga bergerak naik atau turun. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (bergerak sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (bergerak sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita berpikir tentang bagaimana menentukan "kecuraman" jalan kita? Apa yang bisa menjadi nilai ini? Sangat sederhana: berapa banyak perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Memang, di bagian jalan yang berbeda, bergerak maju (sepanjang absis) satu kilometer, kita akan naik atau turun dengan jumlah meter yang berbeda relatif terhadap permukaan laut (sepanjang ordinat).

Kami menunjukkan kemajuan ke depan (baca "delta x").

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan besarnya, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan ukuran.

Penting: ekspresi adalah entitas tunggal, satu variabel. Anda tidak boleh merobek "delta" dari "x" atau huruf lainnya! Yaitu, misalnya, .

Jadi, kami telah bergerak maju, secara horizontal, terus. Jika kita membandingkan garis jalan dengan grafik fungsi, lalu bagaimana kita menunjukkan kenaikan? Tentu, . Artinya, ketika bergerak maju, kita naik lebih tinggi.

Sangat mudah untuk menghitung nilainya: jika pada awalnya kami berada di ketinggian, dan setelah bergerak kami berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir ternyata lebih rendah dari titik awal, itu akan menjadi negatif - ini berarti kita tidak naik, tetapi turun.

Kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) peningkatan ketinggian saat bergerak maju per satuan jarak:

Misalkan di beberapa bagian jalan, ketika maju sejauh km, jalan naik sejauh km. Kemudian kecuraman di tempat ini sama. Dan jika jalan, ketika maju sejauh m, tenggelam sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang perhatikan puncak bukit. Jika Anda mengambil bagian awal setengah kilometer ke atas, dan ujungnya - setengah kilometer setelahnya, Anda dapat melihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Banyak yang bisa berubah hanya beberapa mil jauhnya. Area yang lebih kecil perlu dipertimbangkan untuk estimasi kecuraman yang lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Tetapi bahkan akurasi ini mungkin tidak cukup bagi kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa saja melewatinya. Berapa jarak yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

PADA kehidupan nyata mengukur jarak ke milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Tapi matematikawan selalu berusaha untuk kesempurnaan. Oleh karena itu, konsepnya adalah kecil sekali, yaitu, nilai modulo lebih kecil dari angka apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda mengatakan: satu triliun! Kurang berapa? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan itu akan menjadi lebih sedikit. Dll. Jika kita ingin menulis bahwa nilainya sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung nol"). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini tidak sama dengan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya dapat dibagi menjadi.

Konsep yang berlawanan dengan kecil tak terhingga adalah besar tak terhingga (). Anda mungkin pernah menemukannya saat mengerjakan ketidaksetaraan: angka ini lebih besar dalam modulus daripada angka apa pun yang dapat Anda pikirkan. Jika Anda mendapatkan angka terbesar yang mungkin, kalikan saja dengan dua dan Anda akan mendapatkan lebih banyak lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih dari apa yang terjadi. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga berbanding terbalik satu sama lain, yaitu di, dan sebaliknya: di.

Sekarang kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk segmen jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan sangat kecil. Tapi izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan bilangan yang benar-benar biasa, misalnya,. Artinya, satu nilai kecil bisa persis dua kali lebih besar dari yang lain.

Mengapa semua ini? Jalannya, tanjakannya... Kami tidak pergi reli, tapi kami belajar matematika. Dan dalam matematika semuanya sama persis, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen pada kenaikan argumen yang sangat kecil.

Kenaikan dalam matematika disebut perubahan. Berapa banyak argumen () telah berubah ketika bergerak sepanjang sumbu disebut penambahan argumen dan dilambangkan dengan Berapa banyak fungsi (tinggi) telah berubah ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan jarak disebut peningkatan fungsi dan ditandai.

Jadi, turunan dari suatu fungsi adalah hubungannya dengan kapan. Kami menunjukkan turunan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan goresan dari kanan atas: atau sederhana. Jadi, mari kita tulis rumus turunan menggunakan notasi ini:

Seperti dalam analogi jalan, di sini, ketika fungsi bertambah, turunannya positif, dan ketika berkurang, itu negatif.

Tetapi apakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya, jika kita mengemudi di jalan horizontal yang datar, kecuramannya adalah nol. Memang, ketinggiannya tidak berubah sama sekali. Jadi dengan turunannya : turunan dari suatu fungsi konstan (konstanta) sama dengan nol :

karena kenaikan fungsi tersebut adalah nol untuk sembarang.

Mari kita ambil contoh puncak bukit. Ternyata adalah mungkin untuk mengatur ujung-ujung segmen pada sisi-sisi yang berlawanan dari simpul sedemikian rupa sehingga ketinggian di ujung-ujungnya ternyata sama, yaitu, segmen itu sejajar dengan sumbu:

Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak akurat. Kami akan menaikkan segmen kami sejajar dengan dirinya sendiri, lalu panjangnya akan berkurang.

Pada akhirnya, ketika kita sangat dekat dengan puncak, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, itu tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian pada ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di paling atas, pergeseran kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita dengan tidak berarti.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di kiri atas, fungsi meningkat, dan di kanan menurun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, ketika fungsi meningkat, turunannya positif, dan ketika menurun, itu negatif. Tapi itu berubah dengan mulus, tanpa lompatan (karena jalan tidak mengubah kemiringannya dengan tajam di mana pun). Oleh karena itu, harus ada antara nilai negatif dan positif. Ini akan berada di mana fungsi tidak bertambah atau berkurang - pada titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk lembah (area di mana fungsi berkurang di sebelah kiri dan meningkat di sebelah kanan):

Sedikit lagi tentang kenaikan.

Jadi kami mengubah argumen menjadi nilai. Kita ubah dari nilai apa? Apa yang dia (argumen) sekarang menjadi? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari darinya.

Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: tingkatkan koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapakah nilai fungsi sekarang? Ke mana argumennya, fungsinya ada di sana: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Tidak ada yang baru: ini masih jumlah perubahan fungsi:

Berlatih menemukan kenaikan:

1. Temukan kenaikan fungsi pada titik dengan kenaikan argumen sama dengan.
2. Hal yang sama untuk fungsi di suatu titik.

Solusi:

PADA titik yang berbeda dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Ini berarti bahwa turunan di setiap titik memilikinya sendiri (kami membahas ini di awal - kecuraman jalan pada titik yang berbeda berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi daya disebut fungsi di mana argumennya sampai batas tertentu (logis, bukan?).

Dan - sampai batas apa pun: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita cari turunannya di suatu titik. Ingat definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari ke. Apa itu peningkatan fungsi?

Kenaikan adalah. Tetapi fungsi pada titik mana pun sama dengan argumennya. Jadi:

turunannya adalah:

turunan dari adalah:

b) Sekarang pertimbangkan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Ini berarti bahwa nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan karena itu tidak signifikan dengan latar belakang istilah lain:

Jadi, kami memiliki aturan lain:

c) Kami melanjutkan deret logis: .

Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan cara yang berbeda: buka kurung pertama menggunakan rumus perkalian singkat dari jumlah pangkat tiga, atau dekomposisi seluruh ekspresi menjadi faktor menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri dengan salah satu cara yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut:

Dan sekali lagi, ingat itu. Ini berarti bahwa kita dapat mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasi untuk fungsi pangkat dengan eksponen arbitrer, bahkan bilangan bulat:

(2)

Anda dapat merumuskan aturan dengan kata-kata: "derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi".

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari turunan fungsi:

1. (dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);

fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika yang lebih tinggi:

Saat ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, Anda harus lulus ujian dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafis:

Kami melihat bahwa ketika fungsi tidak ada - titik pada grafik tertusuk. Tetapi semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya.Inilah yang paling "berusaha".

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini dengan kalkulator. Ya, ya, jangan malu, ambil kalkulator, kita belum ujian.

Jadi mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengganti kalkulator ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin kecil, semakin dekat nilai rasionya.

a) Pertimbangkan sebuah fungsi. Seperti biasa, kami menemukan kenaikannya:

Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik ""):.

Sekarang turunannya:

Mari kita lakukan substitusi: . Kemudian, untuk sangat kecil, itu juga sangat kecil: . Ekspresi untuk mengambil bentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ekspresi. Dan juga, bagaimana jika nilai yang sangat kecil dapat diabaikan dalam jumlah (yaitu, di).

Jadi kita mendapatkan aturan selanjutnya:turunan sinus sama dengan cosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:

Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

1. Temukan turunan suatu fungsi di suatu titik;
2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

eksponen dan logaritma natural.

Ada fungsi seperti itu dalam matematika, yang turunannya untuk sembarang sama dengan nilai fungsi itu sendiri untuk yang sama. Ini disebut "eksponen", dan merupakan fungsi eksponensial

Basis fungsi ini - konstanta - adalah pecahan desimal tak terbatas, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut "bilangan Euler", itulah sebabnya dilambangkan dengan huruf.

Jadi aturannya adalah:

Sangat mudah untuk diingat.

Baiklah, kita tidak akan jauh-jauh, kita akan langsung mempertimbangkan fungsi kebalikannya. Fungsi mana yang merupakan kebalikan dari Fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma semacam itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut "alami", dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulis sebagai gantinya.

Apa yang setara dengan? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Apa turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: peserta pameran dan logaritma natural- fungsi secara unik sederhana dalam hal turunannya. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lainnya akan memiliki turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita melalui aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Istilah baru lagi, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses menemukan turunannya.

Hanya dan segalanya. Apa kata lain dari proses ini? Bukan proizvodnovanie... Diferensial matematika disebut inkremental dari fungsi di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential - perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kami juga membutuhkan formula untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - beberapa angka konstan (konstan), maka.

Jelas, aturan ini juga berfungsi untuk perbedaan: .

Mari kita buktikan. Biarkan, atau lebih mudah.

Contoh.

Cari turunan fungsi:

1. pada intinya;
2. pada intinya;
3. pada intinya;
4. pada intinya.

Solusi:

Turunan dari suatu produk

Semuanya sama di sini: kami memperkenalkan fitur baru dan temukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Cari turunan dari fungsi dan;
2. Tentukan turunan suatu fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari bagaimana menemukan turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi di mana beberapa nomor.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba membawa fungsi kita ke basis baru:

Untuk ini kami menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Yah, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan dari eksponen: seperti itu, tetap, hanya faktor yang muncul, yang hanya angka, tetapi bukan variabel.

Contoh:
Cari turunan fungsi:

Jawaban:

Turunan dari fungsi logaritma

Ini mirip: Anda sudah tahu turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari arbitrer dari logaritma dengan basis yang berbeda, misalnya:

Kita perlu membawa logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang alih-alih kita akan menulis:

Penyebutnya ternyata hanya konstanta (angka konstan, tanpa variabel). Turunannya sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam ujian, tetapi tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa itu "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika logaritma tampaknya sulit bagi Anda, baca topik "Logaritma" dan semuanya akan berhasil), tetapi dalam hal matematika, kata "kompleks" tidak berarti "sulit".

Bayangkan sebuah konveyor kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang cokelat dalam bungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Ternyata benda komposit seperti itu: sebatang coklat dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk makan sebatang coklat, Anda perlu melakukan yang sebaliknya di urutan terbalik.

Mari kita buat jalur matematika yang serupa: pertama kita akan menemukan kosinus dari sebuah angka, dan kemudian kita akan mengkuadratkan angka yang dihasilkan. Jadi, mereka memberi kami nomor (cokelat), saya menemukan kosinusnya (pembungkus), dan kemudian Anda kuadratkan apa yang saya dapatkan (ikat dengan pita). Apa yang terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk menemukan nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua lainnya dengan hasil yang pertama.

Kami mungkin melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda kuadratkan, dan kemudian saya mencari kosinus dari angka yang dihasilkan:. Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsi berubah.

Dengan kata lain, Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya adalah fungsi lain: .

Untuk contoh pertama, .

Contoh kedua: (sama). .

Tindakan terakhir yang kita lakukan akan disebut fungsi "eksternal", dan tindakan yang dilakukan pertama - masing-masing fungsi "internal"(ini adalah nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal:

Jawaban: Pemisahan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan perubahan variabel: misalnya, dalam fungsi

kita mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak cokelat kita - cari turunannya. Prosedurnya selalu dibalik: pertama, kita mencari turunan dari fungsi luar, kemudian kita mengalikan hasilnya dengan turunan dari fungsi dalam. Untuk contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita merumuskan aturan resmi:

Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:

Semuanya tampak sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

TURUNAN. SINGKAT TENTANG UTAMA

turunan fungsi- rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen dengan kenaikan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta diambil dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Produk turunan:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal", temukan turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal", temukan turunannya.
3. Kami mengalikan hasil poin pertama dan kedua.

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang yang terpenting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk sukses lulus ujian, untuk masuk ke institut dengan anggaran dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, mendapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Apa itu turunan?
Definisi dan arti turunan dari suatu fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan lokasi tak terduga dari artikel ini dalam kursus penulis saya tentang turunan dari fungsi satu variabel dan aplikasinya. Lagi pula, seperti dari sekolah: buku teks standar, pertama-tama, memberikan definisi turunan, makna geometris, mekanisnya. Selanjutnya, siswa menemukan turunan fungsi menurut definisi, dan, pada kenyataannya, hanya kemudian teknik diferensiasi disempurnakan menggunakan tabel turunan.

Tapi dari sudut pandang saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas fungsi, dan terutama sangat kecil. Faktanya adalah bahwa definisi turunan didasarkan pada konsep limit, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda pengetahuan granit kurang menembus ke dalam esensi turunannya. Jadi, jika Anda kurang berorientasi pada kalkulus diferensial, atau otak yang bijaksana untuk tahun yang panjang berhasil membuang bagasi ini, silakan mulai dari batas fungsi. Pada saat yang sama menguasai / mengingat keputusan mereka.

Arti praktis yang sama menunjukkan bahwa itu menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori adalah teori, tetapi, seperti yang mereka katakan, Anda selalu ingin membedakan. Dalam hal ini, lebih baik untuk mengerjakan pelajaran dasar yang terdaftar, dan mungkin menjadi ahli diferensiasi bahkan tanpa menyadari esensi dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi itu bisa ditunda. Faktanya adalah bahwa banyak aplikasi turunan tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan bahwa pelajaran teoretis muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskan menemukan interval kenaikan/penurunan dan ekstrem fungsi. Apalagi dia berada di subjek untuk waktu yang cukup lama " Fungsi dan Grafik”, sampai saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Karena itu, teko sayang, jangan buru-buru menyerap esensi turunannya, seperti hewan lapar, karena kejenuhannya akan hambar dan tidak lengkap.

Konsep naik, turun, maksimum, minimum dari suatu fungsi

Banyak panduan belajar mengarah pada konsep turunan dengan bantuan beberapa masalah praktis, dan saya juga menemukan contoh menarik. Bayangkan kita harus melakukan perjalanan ke kota yang bisa dijangkau dengan berbagai cara. Kami segera membuang jalur berliku yang melengkung, dan kami hanya akan mempertimbangkan garis lurus. Namun, arah garis lurus juga berbeda: kota dapat dicapai dengan autobahn datar. Atau di jalan raya berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lain hanya menanjak, dan jalan lain menurun sepanjang waktu. Pencari sensasi akan memilih rute melalui ngarai dengan tebing terjal dan tanjakan yang terjal.

Tapi apa pun preferensi Anda, disarankan untuk mengetahui daerah tersebut, atau setidaknya menemukannya. peta topografi. Bagaimana jika tidak ada informasi seperti itu? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan datar, tetapi sebagai hasilnya, tersandung lereng ski dengan orang Finlandia yang lucu. Bukan fakta bahwa navigator dan bahkan citra satelit akan memberikan data yang andal. Oleh karena itu, alangkah baiknya untuk meresmikan relief jalan dengan cara matematika.

Pertimbangkan beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk jaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan itu terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsi kontinu di daerah yang dipertimbangkan.

Apa saja fitur grafik ini?

Pada interval fungsi meningkat, yaitu, masing-masing nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya berjalan turun hingga(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsi berkurang- setiap nilai berikutnya lebih kecil yang sebelumnya, dan jadwal kita berjalan Perintahkan ke bawah(menuruni lereng).

Mari kita juga memperhatikan poin-poin khusus. Pada titik kita mencapai maksimum, yaitu ada bagian dari jalur di mana nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama, minimum, dan ada sedemikian rupa tetangganya, yang nilainya paling kecil (terendah).

Terminologi dan definisi yang lebih ketat akan dibahas dalam pelajaran ini. tentang ekstrem dari fungsi, tapi untuk sekarang mari kita pelajari satu fitur penting lagi: pada interval fungsinya meningkat, tetapi meningkat dengan kecepatan yang berbeda . Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya membumbung tinggi pada interval jauh lebih keren daripada pada interval. Apakah mungkin mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: ambil beberapa nilai (baca "delta x"), yang akan kita sebut penambahan argumen, dan mulai "coba" untuk titik yang berbeda jalan kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak , kita mendaki lereng ke ketinggian (garis hijau). Nilai tersebut disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari nol). Mari kita buat rasio , yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas, adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Penunjukan adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "merobek" "delta" dari "x" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja, komentar juga berlaku untuk simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan lebih bermakna. Misalkan awalnya kita berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah melewati jarak meter (kiri garis merah), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsi tersebut adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter…apakah Anda lupa peralatan pendakian Anda? =) Dengan kata lain, rasio yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) fungsi tersebut.

Catatan : Nilai numerik dari contoh yang dimaksud sesuai dengan proporsi gambar hanya kira-kira.

2) Sekarang mari kita ambil jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih lembut, sehingga kenaikannya (garis merah) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan dengan kasus sebelumnya akan cukup sederhana. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini untuk setiap meter jalan ada rata-rata setengah meter ke atas.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak di sumbu y. Mari kita asumsikan bahwa ini adalah tanda 50 meter. Sekali lagi kami mengatasi jarak, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada level 30 meter. Sejak gerakan telah dibuat Perintahkan ke bawah(dalam arah "berlawanan" dari sumbu), maka final kenaikan fungsi (tinggi) akan menjadi negatif: meter (garis coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita berbicara tentang tingkat peluruhan fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebanyak 2 meter. Jaga pakaian pada poin kelima.

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan: apa nilai terbaik dari "standar pengukuran" untuk digunakan? Jelas bahwa 10 meter sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah masuk ke dalamnya. Mengapa ada gundukan, mungkin ada ngarai yang dalam di bawah, dan setelah beberapa meter - sisi lainnya dengan pendakian yang lebih curam. Jadi, dengan yang sepuluh meter, kita tidak akan mendapatkan karakteristik yang dapat dipahami dari bagian-bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas, berikut kesimpulannya: bagaimana nilai kurang , semakin akurat kita akan menggambarkan relief jalan. Apalagi fakta-fakta berikut ini benar:

– Untuk apa saja titik angkat Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan satu atau lainnya. Dan ini berarti bahwa kenaikan tinggi yang sesuai akan dijamin positif, dan pertidaksamaan akan dengan tepat menunjukkan pertumbuhan fungsi pada setiap titik interval ini.

- Juga, untuk apa saja titik kemiringan, ada nilai yang akan cocok sepenuhnya pada kemiringan ini. Oleh karena itu, peningkatan tinggi yang sesuai jelas negatif, dan pertidaksamaan akan dengan benar menunjukkan penurunan fungsi pada setiap titik interval yang diberikan.

– Yang menarik adalah kasus ketika tingkat perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah tanda jalur genap. Dan kedua, ada situasi aneh lainnya, contohnya Anda lihat pada gambar. Bayangkan bahwa takdir telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang menjulang tinggi atau dasar jurang dengan kodok yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, maka perubahan ketinggian akan diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya nol. Pola yang sama diamati pada titik-titik.

Dengan demikian, kami telah mendekati peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Lagipula analisis matematis memungkinkan Anda untuk mengarahkan kenaikan argumen ke nol: , yaitu, membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, pertanyaan logis lain muncul: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya? fungsi lain, yang akan memberitahu kami tentang semua dataran, menanjak, menurun, puncak, dataran rendah, serta tingkat kenaikan / penurunan di setiap titik jalan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tampak tidak terlalu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikel nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara kualitatif (saran ini sangat relevan untuk siswa "teknisi" yang memiliki matematika yang lebih tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Secara alami, dalam definisi turunan pada suatu titik, kami akan menggantinya dengan:

Apa yang telah kita datangi? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk suatu fungsi menurut hukum sejajar fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan).

Sifat turunannya tingkat perubahan fungsi . Bagaimana? Pikiran itu berjalan seperti benang merah dari awal artikel. Pertimbangkan beberapa hal domain fungsi . Biarkan fungsi tersebut terdiferensialkan pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsi meningkat pada titik . Dan jelas ada selang(walaupun sangat kecil) yang berisi titik di mana fungsi tersebut tumbuh, dan grafiknya bergerak "dari bawah ke atas".

2) Jika , maka fungsi menurun di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsi menurun (grafik berjalan "dari atas ke bawah").

3) Jika , maka sangat dekat dekat titik, fungsi menjaga kecepatannya konstan. Ini terjadi, seperti dicatat, untuk konstanta fungsi dan pada titik kritis fungsi, secara khusus pada poin minimum dan maksimum.

Beberapa semantik. apa di pengertian luas Apa arti kata kerja "membedakan"? Untuk membedakan berarti memilih fitur. Membedakan fungsi , kami "memilih" laju perubahannya dalam bentuk turunan dari fungsi . Dan omong-omong, apa yang dimaksud dengan kata "turunan"? Fungsi telah terjadi dari fungsi.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil menginterpretasikan makna mekanis dari turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat benda, yang bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak benda tersebut. Fungsi mencirikan laju perubahan koordinat tubuh, oleh karena itu merupakan turunan pertama dari fungsi terhadap waktu: . Jika konsep "gerakan tubuh" tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan".

Percepatan benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep asli "gerakan tubuh" dan "kecepatan gerakan tubuh" tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep percepatan benda.