rumah > Teknik Mesin

Sifat-sifat fungsi y x n. Fungsi eksponensial - properti, grafik, rumus

Fungsi dimana X – kuantitas variabel, A – nomor yang diberikan, ditelepon Fungsi daya .

Jika maka merupakan fungsi linier, grafiknya berupa garis lurus (lihat paragraf 4.3, Gambar 4.7).

Jika kemudian - fungsi kuadrat, grafiknya adalah parabola (lihat paragraf 4.3, Gambar 4.8).

Jika maka grafiknya adalah parabola kubik (lihat paragraf 4.3, Gambar 4.9).

Fungsi daya

Ini fungsi terbalik Untuk

1. Domain:

2. Berbagai arti:

3. Genap dan ganjil: fungsinya ganjil.

4. Frekuensi fungsi: non-periodik.

5. Fungsi nol: X= 0 – satu-satunya nol.

6. Fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.

7.

8. Grafik suatu fungsi Simetris terhadap grafik parabola kubik terhadap garis lurus kamu=X dan ditunjukkan pada Gambar. 5.1.

Fungsi daya

1. Domain:

2. Berbagai arti:

3. Genap dan ganjil: fungsinya genap.

4. Frekuensi fungsi: non-periodik.

5. Fungsi nol: nol tunggal X = 0.

6. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: mengambil nilai terkecil untuk X= 0, sama dengan 0.

7. Menambah dan mengurangi interval: fungsinya menurun pada interval dan meningkat pada interval

8. Grafik suatu fungsi(untuk setiap N Î N) “mirip” dengan grafik parabola kuadrat(grafik fungsi ditunjukkan pada Gambar 5.2).

Fungsi daya

1. Domain:

2. Berbagai arti:

3. Genap dan ganjil: fungsinya ganjil.

4. Frekuensi fungsi: non-periodik.

5. Fungsi nol: X= 0 – satu-satunya nol.

6. Nilai tertinggi dan terendah:

7. Menambah dan mengurangi interval: fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.

8. Grafik suatu fungsi(untuk masing-masing ) “mirip” dengan grafik parabola kubik (grafik fungsi ditunjukkan pada Gambar 5.3).

Fungsi daya

1. Domain:

2. Berbagai arti:

3. Genap dan ganjil: fungsinya ganjil.

4. Frekuensi fungsi: non-periodik.

5. Fungsi nol: tidak memiliki angka nol.

6. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: fungsi tersebut tidak memiliki nilai terbesar dan terkecil

7. Menambah dan mengurangi interval: fungsinya menurun dalam domain definisinya.

8. Asimtot:(sumbu kamu) – asimtot vertikal;

(sumbu Oh) – asimtot horizontal.

9. Grafik suatu fungsi(untuk siapa pun N) “mirip” dengan grafik hiperbola (grafik fungsi ditunjukkan pada Gambar 5.4).

Fungsi daya

1. Domain:

2. Berbagai arti:

3. Genap dan ganjil: fungsinya genap.

4. Frekuensi fungsi: non-periodik.

5. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: fungsi tersebut tidak memiliki nilai terbesar dan terkecil

6. Menambah dan mengurangi interval: fungsinya bertambah dan berkurang

7. Asimtot: X= 0 (sumbu kamu) – asimtot vertikal;

Y= 0 (sumbu Oh) – asimtot horizontal.

8. Grafik fungsi Mereka adalah hiperbola kuadrat (Gbr. 5.5).

Fungsi daya

1. Domain:

2. Berbagai arti:

3. Genap dan ganjil: fungsi tersebut tidak memiliki sifat genap dan ganjil.

4. Frekuensi fungsi: non-periodik.

5. Fungsi nol: X= 0 – satu-satunya nol.

6. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: fungsi tersebut mengambil nilai terkecil sama dengan 0 pada titik tersebut X= 0; nilai tertinggi tidak memiliki.

7. Menambah dan mengurangi interval: fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.

8. Setiap fungsi tersebut untuk eksponen tertentu merupakan kebalikan dari fungsi yang diberikan

9. Grafik suatu fungsi"menyerupai" grafik suatu fungsi untuk sembarang N dan ditunjukkan pada Gambar. 5.6.

Fungsi daya

1. Domain:

2. Berbagai arti:

3. Genap dan ganjil: fungsinya ganjil.

4. Frekuensi fungsi: non-periodik.

5. Fungsi nol: X= 0 – satu-satunya nol.

6. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: fungsi tersebut tidak memiliki nilai terbesar dan terkecil

7. Menambah dan mengurangi interval: fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.

8. Grafik suatu fungsi Ditunjukkan pada Gambar. 5.7.

Mari kita mengingat kembali sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif.

Untuk genap n, :

Contoh fungsi:

Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;1). Keunikan fungsi jenis ini adalah paritasnya; grafiknya simetris terhadap sumbu op-amp.

Beras. 1. Grafik suatu fungsi

Untuk n ganjil, :

Contoh fungsi:

Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;-1). Keunikan fungsi jenis ini adalah ganjil; grafiknya simetris terhadap titik asal.

Beras. 2. Grafik suatu fungsi

Mari kita mengingat kembali definisi dasarnya.

Pangkat suatu bilangan non-negatif a dengan eksponen rasional positif disebut bilangan.

Pangkat bilangan positif a dengan eksponen rasional negatif disebut bilangan.

Untuk kesetaraan:

Misalnya: ; - ekspresi, menurut definisi, tidak ada derajat dengan eksponen rasional negatif; ada karena eksponennya bilangan bulat,

Mari kita beralih ke fungsi pangkat dengan eksponen negatif rasional.

Misalnya:

Untuk memplot grafik fungsi ini, Anda dapat membuat tabel. Kami akan melakukannya secara berbeda: pertama-tama kami akan membuat dan mempelajari grafik penyebutnya - yang kami ketahui (Gambar 3).

Beras. 3. Grafik suatu fungsi

Grafik fungsi penyebut melalui titik tetap (1;1). Saat memplot grafik fungsi aslinya, titik ini tetap ada, sedangkan akarnya juga cenderung nol, fungsinya cenderung tak terhingga. Dan sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, maka fungsinya cenderung nol (Gambar 4).

Beras. 4. Grafik fungsi

Mari kita pertimbangkan fungsi lain dari rangkaian fungsi yang sedang dipelajari.

Penting bahwa menurut definisi

Mari kita perhatikan grafik fungsi pada penyebutnya: , grafik fungsi ini kita ketahui, domain definisinya bertambah dan melalui titik (1;1) (Gambar 5).

Beras. 5. Grafik suatu fungsi

Saat memplot grafik fungsi aslinya, titik (1;1) tetap, sedangkan akarnya juga cenderung nol, fungsinya cenderung tak terhingga. Dan sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, maka fungsinya cenderung nol (Gambar 6).

Beras. 6. Grafik suatu fungsi

Contoh-contoh yang dipertimbangkan membantu untuk memahami bagaimana grafik mengalir dan apa saja sifat-sifat fungsi yang dipelajari - fungsi dengan eksponen rasional negatif.

Grafik fungsi keluarga ini melewati titik (1;1), fungsi tersebut menurun di seluruh domain definisi.

Lingkup fungsi:

Fungsinya tidak dibatasi dari atas, tetapi dibatasi dari bawah. Fungsinya tidak memiliki nilai terbesar maupun terbesar nilai terendah.

Fungsinya kontinu dan mengambil semua nilai positif dari nol hingga plus tak terhingga.

Fungsinya cembung ke bawah (Gambar 15.7)

Titik A dan B diambil pada kurva, ditarik suatu ruas melaluinya, seluruh kurva berada di bawah ruas tersebut, kondisi ini terpenuhi untuk dua titik sembarang pada kurva, oleh karena itu fungsinya cembung ke bawah. Beras. 7.

Beras. 7. Konveksitas fungsi

Penting untuk dipahami bahwa fungsi keluarga ini dibatasi dari bawah oleh nol, tetapi tidak memiliki nilai terkecil.

Contoh 1 - temukan maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafik (Gbr. 2).

Gambar 2. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami

    Domain definisinya adalah semua bilangan real.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fungsinya ganjil.

    $f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.

    Rentangnya adalah semua bilangan real.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    Fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.

    $f\kiri(x\kanan)0$, untuk $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \kiri(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    Fungsinya cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0,+\infty)$.

    Grafik (Gbr. 3).

Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat

Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat.

Definisi 3

Pangkat bilangan real $a$ dengan eksponen bilangan bulat $n$ ditentukan dengan rumus:

Gambar 4.

Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, properti dan grafiknya.

Definisi 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat.

Jika derajatnya lebih besar dari nol, maka kita sampai pada kasus fungsi pangkat dengan eksponen natural. Kami sudah membahasnya di atas. Untuk $n=0$ kita mendapatkan fungsi linier $y=1$. Kami akan menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Masih mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

    Domain definisinya adalah $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Jika eksponennya genap maka fungsinya genap, jika ganjil maka fungsinya ganjil.

    $f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.

    Cakupan:

    Jika eksponennya genap, maka $(0,+\infty)$; jika ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Untuk eksponen ganjil, fungsinya berkurang $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jika eksponennya genap, fungsinya berkurang $x\in (0,+\infty)$. dan bertambah seiring $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ di seluruh domain definisi

Memberikan data referensi tentang fungsi eksponensial - sifat dasar, grafik dan rumus. Topik-topik berikut dipertimbangkan: domain definisi, himpunan nilai, monotonisitas, fungsi invers, turunan, integral, perluasan deret pangkat, dan representasi dengan bilangan kompleks.

Definisi

Fungsi eksponensial adalah generalisasi hasil kali n bilangan sama dengan a:
kamu (n) = sebuah n = a·a·a···a,
ke himpunan bilangan real x:
kamu (x) = kapak.
Di sini a sudah diperbaiki bilangan real yang disebut dasar fungsi eksponensial.
Fungsi eksponensial dengan basis a disebut juga eksponen ke basis a.

Generalisasinya dilakukan sebagai berikut.
Untuk x alami = 1, 2, 3,... , fungsi eksponensial adalah hasil kali faktor x:
.
Selain itu, ia memiliki sifat (1,5-8) (), yang mengikuti aturan perkalian bilangan. Pada nol dan nilai-nilai negatif bilangan bulat, fungsi eksponensial ditentukan dengan menggunakan rumus (1.9-10). Untuk nilai pecahan x = m/n angka rasional, , ditentukan dengan rumus (1.11). Untuk real, fungsi eksponensial didefinisikan sebagai batas urutan:
,
di mana barisan bilangan rasional sembarang yang konvergen ke x: .
Dengan definisi ini, fungsi eksponensial didefinisikan untuk semua , dan memenuhi properti (1,5-8), seperti untuk x natural.

Rumusan matematis yang cermat tentang definisi fungsi eksponensial dan pembuktian sifat-sifatnya diberikan pada halaman “Definisi dan pembuktian sifat-sifat fungsi eksponensial”.

Sifat-sifat Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial y = a x memiliki sifat-sifat berikut pada himpunan bilangan real ():
(1.1) pasti dan berkesinambungan, untuk, untuk semua;
(1.2) untuk ≠ 1 memiliki banyak arti;
(1.3) meningkat tajam pada , menurun tajam pada ,
konstan di ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Formula berguna lainnya.
.
Rumus untuk mengubah fungsi eksponensial dengan basis eksponen berbeda:

Ketika b = e, kita memperoleh ekspresi fungsi eksponensial melalui eksponensial:

Nilai-nilai pribadi

, , , , .

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi eksponensial
kamu (x) = kapak
untuk empat nilai dasar gelar: sebuah = 2 , sebuah = 8 , sebuah = 1/2 dan sebuah = 1/8 . Dapat dilihat bahwa untuk > 1 fungsi eksponensial meningkat secara monoton. Semakin besar pangkal derajat a maka semakin kuat pertumbuhannya. Pada 0 < a < 1 fungsi eksponensial berkurang secara monoton. Bagaimana indikator yang lebih sedikit derajat a, semakin kuat penurunannya.

Naik turun

Fungsi eksponensial untuk bersifat monotonik sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utamanya disajikan dalam tabel.

kamu = a x , a > 1 y = kapak, 0 < a < 1
Domain - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Jarak nilai 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Nada datar meningkat secara monoton menurun secara monoton
Nol, y = 0 TIDAK TIDAK
Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0 kamu= 1 kamu= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Fungsi terbalik

Invers fungsi eksponensial dengan basis a adalah logaritma dengan basis a.

Jika kemudian
.
Jika kemudian
.

Diferensiasi fungsi eksponensial

Untuk mendiferensiasikan suatu fungsi eksponensial, basisnya harus direduksi menjadi bilangan e, menerapkan tabel turunan dan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan properti logaritma
dan rumus dari tabel turunannya:
.

Biarkan fungsi eksponensial diberikan:
.
Kami membawanya ke pangkalan e:

Mari kita terapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks. Untuk melakukan ini, perkenalkan variabelnya

Kemudian

Dari tabel turunan yang kita peroleh (ganti variabel x dengan z):
.
Karena merupakan konstanta, maka turunan z terhadap x sama dengan
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.

Turunan dari fungsi eksponensial

.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >

Contoh diferensiasi fungsi eksponensial

Temukan turunan suatu fungsi
kamu= 3 5x

Larutan

Mari kita nyatakan basis fungsi eksponensial melalui bilangan e.
3 = e dalam 3
Kemudian
.
Masukkan variabel
.
Kemudian

Dari tabel turunan kita temukan:
.
Karena 5ln 3 adalah suatu konstanta, maka turunan z terhadap x sama dengan:
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, kita mempunyai:
.

Menjawab

Integral

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsi bilangan kompleks z:
F (z) = az
dimana z = x + iy; Saya 2 = - 1 .
Mari kita nyatakan konstanta kompleks a dalam modulus r dan argumen φ:
a = r e saya φ
Kemudian


.
Argumen φ tidak didefinisikan secara unik. DI DALAM pandangan umum
φ = φ 0 + 2 n,
dimana n adalah bilangan bulat. Oleh karena itu fungsinya f (z) juga tidak jelas. Makna utamanya sering kali dipertimbangkan
.

Ekspansi seri


.

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Kami juga merekomendasikan

Memuat...Memuat...