Definisi. Prisma- ini adalah polihedron, semua simpulnya terletak di dua bidang paralel, dan di dua bidang yang sama ada dua wajah prisma, yang merupakan poligon yang sama dengan masing-masing sisi paralel, dan semua tepi yang tidak terletak di sini pesawat sejajar.

Dua wajah yang sama disebut alas prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Semua permukaan prisma lainnya disebut wajah samping(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Semua sisi wajah membentuk permukaan samping prisma .

Semua sisi sisi prisma adalah jajar genjang .

Tepi yang tidak terletak di alas disebut tepi lateral prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonal Prisma segmen disebut, yang ujungnya adalah dua simpul prisma yang tidak terletak di salah satu wajahnya (AD 1).

Panjang ruas yang menghubungkan alas prisma dan tegak lurus kedua alas secara bersamaan disebut tinggi prisma .

Penamaan:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pertama, dalam urutan bypass, simpul dari satu basis ditunjukkan, dan kemudian, dalam urutan yang sama, simpul yang lain; ujung setiap tepi sisi ditandai dengan huruf yang sama, hanya simpul yang terletak di satu pangkalan ditunjukkan dengan huruf tanpa indeks, dan yang lain - dengan indeks)

Nama prisma dikaitkan dengan jumlah sudut pada gambar yang terletak di alasnya, misalnya pada Gambar 1 alasnya adalah segi lima, sehingga disebut prisma prisma segi lima. Tapi sejak prisma seperti itu memiliki 7 wajah, maka segi enam(2 wajah adalah alas prisma, 5 wajah adalah jajaran genjang, adalah sisi sampingnya)

Di antara prisma lurus menonjol tampilan pribadi: prisma biasa.

Prisma lurus disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan.

Paralelipiped

berbentuk kubus- paralelepiped kanan yang alasnya adalah persegi panjang.

Sifat dan teorema:

,

di mana d adalah diagonal persegi;
a - sisi persegi.

Gagasan prisma diberikan oleh:

• berbagai struktur arsitektur;
• mainan anak-anak;
• kotak kemasan;
• barang desainer, dll.

Luas permukaan total dan lateral prisma

S penuh \u003d S sisi + 2S utama,

di mana S penuh- luas permukaan total, sisi S- luas permukaan samping, S utama- daerah dasar

Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling alas dan tinggi prisma.

sisi S\u003d P utama * j,

di mana sisi S adalah luas permukaan lateral prisma lurus,

P utama - keliling alas prisma lurus,

h adalah tinggi prisma lurus, sama dengan tepi samping.

volume prisma

Volume prisma sama dengan produk luas alas dan tinggi.

Definisi.

Ini adalah segi enam, yang alasnya adalah dua persegi yang sama, dan sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama.

rusuk samping adalah sisi persekutuan dari dua sisi yang bersebelahan

Tinggi Prisma adalah ruas garis yang tegak lurus alas prisma

Diagonal Prisma- segmen yang menghubungkan dua simpul dari basis yang tidak memiliki wajah yang sama

Bidang diagonal- bidang yang melalui diagonal prisma dan sisi-sisinya

Bagian diagonal- batas-batas perpotongan prisma dan bidang diagonal. Bagian diagonal yang benar prisma segi empat adalah persegi panjang

Bagian tegak lurus (bagian ortogonal)- ini adalah perpotongan prisma dan bidang yang ditarik tegak lurus terhadap sisi-sisinya

Unsur-unsur prisma segi empat beraturan

Gambar tersebut menunjukkan dua prisma segi empat biasa, yang ditandai dengan huruf yang sesuai:

• Basa ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 sama besar dan sejajar
• Sisi muka AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C dan CC 1 D 1 D yang masing-masing berbentuk persegi panjang
• Permukaan lateral - jumlah luas semua sisi sisi prisma
• Permukaan total - jumlah luas semua alas dan permukaan samping (jumlah luas permukaan samping dan alas)
• Rusuk samping AA 1 , BB 1 , CC 1 dan DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Basis diagonal BD
• Bagian diagonal BB 1 D 1 D
• Bagian tegak lurus A 2 B 2 C 2 D 2 .

Sifat-sifat prisma segi empat beraturan

• Basis adalah dua persegi yang sama
• Basisnya sejajar satu sama lain
• Sisi-sisinya berbentuk persegi panjang.
• Sisi wajah sama satu sama lain
• Wajah samping tegak lurus dengan alas
• Tulang rusuk lateral sejajar satu sama lain dan sama besar
• Penampang tegak lurus terhadap semua rusuk sisi dan sejajar dengan alas
• Sudut Bagian Tegak Lurus - Kanan
• Bagian diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang
• Tegak lurus (bagian ortogonal) sejajar dengan alas

Rumus prisma segi empat beraturan

Petunjuk untuk memecahkan masalah

Prisma yang benar- sebuah prisma yang alasnya terletak poligon beraturan, dan sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Artinya, prisma segi empat biasa berisi di alasnya kotak. (lihat di atas sifat-sifat prisma segi empat beraturan) Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran dengan tugas-tugas dalam geometri (bagian geometri padat - prisma). Berikut adalah tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan dalam menyelesaikannya. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis di forum. Untuk menunjukkan tindakan mengekstraksi akar pangkat dua simbol yang digunakan dalam pemecahan masalah√ .

Tugas.

Diagonal prisma beraturan terbentuk dengan diagonal alas dan tinggi prisma segitiga siku-siku. Dengan demikian, menurut teorema Pythagoras, diagonal prisma segi empat beraturan yang diberikan akan sama dengan:
((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Menjawab: 22 cm

Tugas

Keputusan.
Karena alas prisma segi empat beraturan adalah persegi, maka sisi alasnya (dilambangkan dengan a) ditemukan oleh teorema Pythagoras:

A2 + a2 = 5 2
2a 2 = 25
a = 12,5

Ketinggian sisi muka (dilambangkan sebagai h) kemudian akan sama dengan:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
jam 2 + 12,5 = 16
j 2 \u003d 3.5
h = 3,5

Luas permukaan total akan sama dengan jumlah luas permukaan lateral dan dua kali luas alas

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * 3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 51,46 cm 2.

Jawaban: 25 + 10√7 51,46 cm 2.

Cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat berbagai bentuk (titik, garis, sudut, benda dua dimensi dan tiga dimensi), ukuran dan posisi relatif. Untuk kenyamanan mengajar, geometri dibagi menjadi planimetri dan geometri padat. PADA… … Ensiklopedia Collier

Geometri ruang dimensi lebih besar dari tiga; istilah ini diterapkan pada ruang-ruang yang geometrinya awalnya dikembangkan untuk kasus tiga dimensi dan baru kemudian digeneralisasikan ke jumlah dimensi n> 3, terutama ruang Euclidean, ... ... Ensiklopedia Matematika

Generalisasi geometri Euclidean dimensi N dari geometri Euclidean ke ruang lagi pengukuran. Meskipun ruang fisik adalah tiga dimensi, dan indra manusia dirancang untuk memahami tiga dimensi, N adalah dimensi ... ... Wikipedia

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Piramidatsu (arti). Keandalan bagian artikel ini telah dipertanyakan. Hal ini diperlukan untuk memverifikasi keakuratan fakta-fakta yang dinyatakan dalam bagian ini. Mungkin ada penjelasan di halaman pembicaraan ... Wikipedia

- Teknologi (Constructive Solid Geometry, CSG) yang digunakan dalam pemodelan padatan. Geometri blok struktural sering, tetapi tidak selalu, teknik pemodelan dalam grafik 3D dan CAD. Ini memungkinkan Anda untuk membuat adegan yang kompleks atau ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) adalah teknologi yang digunakan dalam pemodelan padatan. Geometri blok struktural sering, tetapi tidak selalu, teknik pemodelan dalam grafik 3D dan CAD. Dia ... ... Wikipedia

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Ruang Lingkup (arti). Volume adalah fungsi tambahan dari suatu himpunan (ukuran) yang mencirikan kapasitas suatu daerah ruang yang ditempatinya. Awalnya, itu muncul dan diterapkan tanpa ketat ... ... Wikipedia

Jenis Kubus Polihedron biasa Wajah persegi Simpul Tepi Wajah ... Wikipedia

Volume adalah fungsi tambahan dari suatu himpunan (ukuran) yang mencirikan kapasitas suatu daerah ruang yang ditempatinya. Awalnya, itu muncul dan diterapkan tanpa definisi yang ketat dalam kaitannya dengan benda tiga dimensi dari ruang Euclidean tiga dimensi. ... ... Wikipedia

Bagian dari ruang yang dibatasi oleh kumpulan poligon planar dalam jumlah terbatas (lihat GEOMETRI) yang dihubungkan sedemikian rupa sehingga setiap sisi poligon adalah sisi tepat dari satu poligon lainnya (disebut ... ... Ensiklopedia Collier

Buku

• Satu set meja. Geometri. Kelas 10. 14 tabel + metodologi, . Meja dicetak di atas karton poligrafik tebal berukuran 680 x 980 mm. Brosur dengan pedoman untuk guru. Album belajar 14 lembar.…

Prisma. Paralelipiped

prisma disebut polihedron yang dua wajahnya sama n-gons (dasar) , terletak pada bidang paralel, dan n wajah yang tersisa adalah jajaran genjang (wajah samping) . rusuk samping prisma adalah sisi wajah lateral yang bukan milik alas.

Prisma yang sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alas disebut lurus prisma (Gbr. 1). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus bidang alasnya, maka prisma disebut miring . Benar Prisma adalah prisma lurus yang alasnya merupakan poligon beraturan.

Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alas. Diagonal Prisma adalah segmen yang menghubungkan dua simpul yang tidak memiliki wajah yang sama. bagian diagonal Bagian prisma oleh bidang yang melalui dua sisi sisi yang tidak berhadap-hadapan disebut. Bagian tegak lurus disebut bagian prisma oleh bidang yang tegak lurus terhadap tepi lateral prisma.

Luas permukaan samping prisma adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan penuh jumlah luas semua permukaan prisma disebut (yaitu, jumlah luas permukaan sisi dan luas alas).

Untuk prisma sewenang-wenang, rumusnya benar:

di mana aku adalah panjang rusuk samping;

H- tinggi;

P

Q

sisi S

S penuh

S utama adalah luas pangkalan;

V adalah volume prisma.

Untuk prisma lurus, rumus berikut ini benar:

di mana p- keliling pangkalan;

aku adalah panjang rusuk samping;

H- tinggi.

Paralelipiped Prisma yang alasnya jajar genjang disebut. Paralelepiped yang tepi lateralnya tegak lurus dengan alasnya disebut langsung (Gbr. 2). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus dengan alasnya, maka paralelepiped disebut miring . Sejajar siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut persegi panjang. Sejajar persegi panjang yang semua sisinya sama disebut kubus.

Wajah paralelepiped yang tidak memiliki simpul yang sama disebut di depan . Panjang rusuk yang keluar dari satu titik disebut pengukuran paralelipiped. Karena kotak adalah prisma, elemen utamanya didefinisikan dengan cara yang sama seperti yang didefinisikan untuk prisma.

Teorema.

1. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan membagi duanya.

2. Dalam parallelepiped persegi panjang, kuadrat dari panjang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya:

3. Keempat diagonal dari parallelepiped persegi panjang adalah sama satu sama lain.

Untuk parallelepiped sewenang-wenang, rumus berikut ini benar:

di mana aku adalah panjang rusuk samping;

H- tinggi;

P adalah keliling penampang tegak lurus;

Q– Luas bagian tegak lurus;

sisi S adalah luas permukaan lateral;

S penuh adalah luas permukaan total;

S utama adalah luas pangkalan;

V adalah volume prisma.

Untuk paralelepiped kanan, rumus berikut ini benar:

di mana p- keliling pangkalan;

aku adalah panjang rusuk samping;

H adalah ketinggian parallelepiped kanan.

Untuk parallelepiped persegi panjang, rumus berikut ini benar:

(3)

di mana p- keliling pangkalan;

H- tinggi;

d- diagonal;

a,b,c– pengukuran paralelepiped.

Rumus kubus yang benar adalah:

di mana sebuah adalah panjang rusuk;

d adalah diagonal kubus.

Contoh 1 Diagonal sebuah balok persegi panjang adalah 33 dm, dan pengukurannya berhubungan dengan 2:6:9.Temukan ukuran balok tersebut.

Keputusan. Untuk menemukan dimensi parallelepiped, kami menggunakan rumus (3), yaitu. fakta bahwa kuadrat sisi miring sebuah kubus sama dengan jumlah kuadrat dimensinya. Dilambangkan dengan k koefisien proporsionalitas. Maka dimensi parallelepiped akan sama dengan 2 k, 6k dan 9 k. Kami menulis rumus (3) untuk data masalah:

Memecahkan persamaan ini untuk k, kita mendapatkan:

Jadi, dimensi paralelepiped adalah 6 dm, 18 dm dan 27 dm.

Menjawab: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Contoh 2 Hitunglah volume prisma segitiga miring yang alasnya merupakan segitiga sama sisi dengan sisi 8 cm, jika sisi sisinya sama dengan sisi alasnya dan miring membentuk sudut 60º terhadap alasnya.

Keputusan . Mari kita membuat gambar (Gbr. 3).

Untuk menemukan volume prisma miring, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya. Luas alas prisma ini adalah luas segitiga sama sisi yang panjang sisinya 8 cm, mari kita hitung:

Tinggi prisma adalah jarak antara alasnya. Dari atas TETAPI 1 dari alas atas kita turunkan tegak lurus terhadap bidang alas bawah TETAPI 1 D. Panjangnya akan menjadi tinggi prisma. Pertimbangkan D TETAPI 1 IKLAN: karena ini adalah sudut kemiringan rusuk samping TETAPI 1 TETAPI ke pesawat dasar TETAPI 1 TETAPI= 8 cm Dari segitiga ini kita menemukan TETAPI 1 D:

Sekarang kita menghitung volume menggunakan rumus (1):

Menjawab: 192 cm3.

Contoh 3 Tepi samping prisma segi enam beraturan adalah 14 cm, luas penampang diagonal terbesar adalah 168 cm 2. Temukan luas permukaan total prisma.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 4)

Bagian diagonal terbesar adalah persegi panjang A A 1 DD 1 , karena diagonalnya IKLAN segi enam biasa ABCDEF adalah yang terbesar. Untuk menghitung luas permukaan lateral prisma, perlu diketahui sisi alas dan panjang rusuk lateral.

Mengetahui luas bagian diagonal (persegi panjang), kami menemukan diagonal alasnya.

Dari dulu

Dari dulu AB= 6cm

Maka keliling alasnya adalah:

Temukan luas permukaan lateral prisma:

Luas segi enam beraturan dengan sisi 6 cm adalah:

Temukan luas permukaan total prisma:

Menjawab:

Contoh 4 Dasar dari parallelepiped kanan adalah belah ketupat. Luas penampang diagonalnya adalah 300 cm 2 dan 875 cm 2. Temukan luas permukaan sisi paralelepiped.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 5).

Tunjukkan sisi belah ketupat dengan sebuah, diagonal-diagonal belah ketupat d 1 dan d 2 , tinggi kotak h. Untuk menemukan luas permukaan lateral dari paralelepiped lurus, perlu untuk mengalikan keliling alas dengan tingginya: (rumus (2)). Perimeter dasar p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, sebagai ABCD- belah ketupat. H = AA 1 = h. Itu. Perlu menemukan sebuah dan h.

Pertimbangkan bagian diagonal. A A 1 SS 1 - persegi panjang, satu sisinya adalah diagonal belah ketupat AC = d 1 , tepi sisi kedua A A 1 = h, kemudian

Demikian pula untuk bagian BB 1 DD 1 kita mendapatkan:

Menggunakan properti jajar genjang sehingga jumlah kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya, kita mendapatkan persamaan Kita mendapatkan yang berikut.

Polihedra

Objek utama studi stereometri adalah benda tiga dimensi. Tubuh adalah bagian dari ruang yang dibatasi oleh suatu permukaan.

polihedron Benda yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon bidang yang terbatas disebut. Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada satu sisi bidang setiap poligon datar pada permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron disebut tepian. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpul simpul dari polihedron.

Sebagai contoh, sebuah kubus terdiri dari enam kotak yang wajahnya. Ini berisi 12 tepi (sisi bujur sangkar) dan 8 simpul (simpul bujur sangkar).

Polihedra paling sederhana adalah prisma dan piramida, yang akan kita pelajari lebih lanjut.

Prisma

Definisi dan sifat-sifat prisma

prisma disebut polihedron yang terdiri dari dua poligon datar yang terletak pada bidang paralel yang digabungkan dengan terjemahan paralel, dan semua segmen menghubungkan titik-titik yang sesuai dari poligon ini. Poligon disebut alas prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul yang sesuai dari poligon adalah tepi samping prisma.

Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alasnya (). Ruas yang menghubungkan dua simpul prisma yang tidak berhadap-hadapan disebut diagonal prisma(). Prisma disebut n-batubara jika basisnya adalah n-gon.

Setiap prisma memiliki sifat-sifat berikut, yang mengikuti dari fakta bahwa alas prisma digabungkan dengan terjemahan paralel:

1. alas prisma sama besar.

2. Sisi-sisi prisma sejajar dan sama panjang.

Permukaan prisma terdiri dari alas dan permukaan lateral. Permukaan lateral prisma terdiri dari jajaran genjang (ini mengikuti dari sifat-sifat prisma). Luas permukaan lateral prisma adalah jumlah dari luas permukaan lateral.

prisma lurus

Prisma disebut lurus jika sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Jika tidak, prisma disebut miring.

Wajah-wajah prisma lurus adalah persegi panjang. Tinggi prisma lurus sama dengan permukaan sisinya.

permukaan penuh prisma adalah jumlah dari luas permukaan lateral dan luas alas.

Prisma yang benar disebut prisma siku-siku dengan poligon beraturan di alasnya.

Teorema 13.1. Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling dan tinggi prisma (atau, setara, dengan tepi lateral).

Bukti. Sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang yang alasnya adalah sisi-sisi poligon pada alas prisma, dan tingginya adalah sisi sisi prisma. Maka, menurut definisi, luas permukaan lateral adalah:

,

dimana adalah keliling alas prisma lurus.

Paralelipiped

Jika jajar genjang terletak pada alas prisma, maka disebut paralelipiped. Semua wajah paralelepiped adalah jajaran genjang. Dalam hal ini, wajah yang berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.

Teorema 13.2. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan titik potong dibagi dua.

Bukti. Pertimbangkan dua diagonal sewenang-wenang, misalnya, dan . Karena wajah parallelepiped adalah jajaran genjang, maka dan , yang berarti bahwa menurut T tentang dua garis lurus sejajar dengan yang ketiga . Selain itu, ini berarti bahwa garis dan terletak pada bidang yang sama (bidang). Bidang ini memotong bidang sejajar dan sepanjang garis sejajar dan . Jadi, segiempat adalah jajar genjang, dan dengan sifat jajar genjang, diagonal dan berpotongan dan titik persimpangan dibagi dua, yang harus dibuktikan.

Sejajar siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut berbentuk kubus. Semua permukaan balok adalah persegi panjang. Panjang rusuk balok yang tidak sejajar disebut dimensi linier(pengukuran). Ada tiga ukuran (lebar, tinggi, panjang).

Teorema 13.3. Dalam sebuah balok, kuadrat dari sembarang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya (dibuktikan dengan menerapkan Pythagoras T dua kali).

Sejajar persegi panjang yang semua sisinya sama disebut kubus.

tugas

13.1 Berapa banyak diagonalnya? n- prisma karbon

13.2 Pada prisma segitiga miring, jarak antara sisi samping adalah 37, 13, dan 40. Hitung jarak antara sisi yang lebih besar dan sisi yang berlawanan.

13.3 Melalui sisi alas bawah prisma segitiga beraturan, sebuah bidang ditarik yang memotong sisi-sisinya sepanjang segmen, sudut di antaranya adalah . Temukan sudut kemiringan bidang ini ke dasar prisma.