Rumus volume prisma segi empat terpotong. Piramida

Kemampuan menghitung volume bangun ruang penting dalam memecahkan sejumlah masalah praktis dalam geometri. Salah satu bentuk yang paling umum adalah piramida. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan piramida, baik penuh maupun terpotong.

Piramida sebagai sosok tiga dimensi

Semua orang tahu tentang Piramida Mesir, oleh karena itu, terwakili dengan baik sosok apa yang akan dibahas. Namun demikian, struktur batu Mesir hanyalah kasus khusus dari kelas piramida yang sangat besar.

Objek geometris yang dipertimbangkan dalam kasus umum adalah alas poligonal, yang setiap simpulnya terhubung ke beberapa titik dalam ruang yang bukan milik bidang alas. Definisi ini mengarah ke sosok yang terdiri dari satu n-gon dan n segitiga.

Piramida apa pun terdiri dari n+1 wajah, 2*n sisi, dan n+1 simpul. Karena gambar yang dibahas adalah polihedron sempurna, jumlah elemen bertanda mematuhi persamaan Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon yang terletak di dasar memberi nama piramida, misalnya segitiga, pentagonal, dan sebagainya. Set piramida dengan alasan yang berbeda ditunjukkan pada foto di bawah ini.

Titik di mana n segitiga pada gambar terhubung disebut puncak piramida. Jika tegak lurus diturunkan darinya ke alas dan memotongnya di pusat geometris, maka gambar seperti itu akan disebut garis lurus. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka ada piramida miring.

Sosok lurus, yang alasnya dibentuk oleh n-gon sama sisi (segitiga), disebut reguler.

rumus volume piramida

Untuk menghitung volume piramida, kami menggunakan kalkulus integral. Untuk melakukan ini, kami membagi gambar dengan bidang garis potong yang sejajar dengan alas menjadi lapisan tipis dalam jumlah tak terbatas. Gambar di bawah menunjukkan piramida segi empat dengan tinggi h dan panjang sisi L, di mana tanda segi empat lapisan tipis bagian.

Luas setiap lapisan tersebut dapat dihitung dengan rumus:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /j 2 .

Di sini A 0 adalah luas alas, z adalah nilai koordinat vertikal. Dapat dilihat bahwa jika z = 0, maka rumus memberikan nilai A 0 .

Untuk mendapatkan rumus volume piramida, Anda harus menghitung integral dari seluruh tinggi gambar, yaitu:

V = h 0 (A(z)*dz).

Mengganti ketergantungan A(z) dan menghitung antiturunan, kita sampai pada ekspresi:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Kami telah memperoleh rumus untuk volume piramida. Untuk menemukan nilai V, cukup dengan mengalikan tinggi gambar dengan luas alas, lalu membagi hasilnya dengan tiga.

Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan valid untuk menghitung volume piramida jenis arbitrer. Artinya, ia dapat dimiringkan, dan alasnya dapat berupa n-gon yang berubah-ubah.

dan volumenya

Diterima dalam paragraf di atas rumus umum untuk volume dapat ditentukan dalam kasus piramida dengan dasar yang benar. Luas alas seperti itu dihitung dengan rumus berikut:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Di sini L adalah panjang sisi poligon beraturan dengan n simpul. Simbol pi adalah angka pi.

Mengganti ekspresi untuk A 0 ke dalam rumus umum, kami memperoleh volume piramida biasa:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Misalnya, untuk piramida segitiga, rumus ini mengarah ke ekspresi berikut:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d 3 / 12 * L 2 * h.

Untuk piramida segi empat biasa, rumus volume berbentuk:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Menentukan volume piramida biasa membutuhkan mengetahui sisi alasnya dan tinggi gambarnya.

Piramida terpotong

Misalkan kita telah mengambil piramida sewenang-wenang dan memotong bagian dari permukaan lateral yang berisi simpul. Sosok yang tersisa disebut piramida terpotong. Ini sudah terdiri dari dua n-gonal basis dan n trapesium yang menghubungkan mereka. Jika bidang potong sejajar dengan alas gambar, maka piramida terpotong dibentuk dengan alas serupa yang sejajar. Artinya, panjang sisi salah satunya dapat diperoleh dengan mengalikan panjang sisi lainnya dengan beberapa koefisien k.

Gambar di atas menunjukkan beraturan yang terpotong, terlihat bahwa alas atasnya, seperti alas bawahnya, dibentuk oleh segi enam beraturan.

Rumus yang dapat diturunkan menggunakan kalkulus integral yang mirip dengan di atas adalah:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + (A 0 *A 1)).

Dimana A 0 dan A 1 masing-masing adalah luas alas bawah (besar) dan alas atas (kecil). Variabel h menunjukkan ketinggian piramida terpotong.

Volume piramida Cheops

Sangat penasaran untuk memecahkan masalah menentukan volume yang berisi piramida Mesir terbesar.

Pada tahun 1984, ahli Mesir Kuno Inggris Mark Lehner dan Jon Goodman mendirikan dimensi yang tepat Piramida Cheops. Ketinggian aslinya adalah 146,50 meter (saat ini sekitar 137 meter). Panjang rata-rata masing-masing dari empat sisi struktur adalah 230,363 meter. Dasar piramida berbentuk bujur sangkar dengan akurasi tinggi.

Mari kita gunakan angka-angka yang diberikan untuk menentukan volume batu raksasa ini. Karena piramida adalah segi empat biasa, maka rumusnya berlaku untuk itu:

Dengan memasukkan angka-angka, kita mendapatkan:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146,5 2591444 m 3.

Volume piramida Cheops hampir 2,6 juta m 3. Sebagai perbandingan, kami mencatat bahwa kolam Olimpiade memiliki volume 2,5 ribu m 3. Artinya, untuk mengisi seluruh piramida Cheops, dibutuhkan lebih dari 1000 kolam seperti itu!

09.10.2014
Preamplifier yang ditunjukkan pada gambar dirancang untuk digunakan dengan 4 jenis sumber suara, seperti mikrofon, pemutar CD, radio tape recorder, dll. Pada saat yang sama, preamplifier memiliki satu input yang dapat mengubah sensitivitas dari 50mV menjadi 500mV . tegangan keluaran penguat adalah 1000mV. Menghubungkan sumber yang berbeda sinyal saat beralih sakelar SA1, kami akan selalu mendapatkan ...
20.09.2014
PSU dirancang untuk beban dengan daya 15 ... 20 watt. Sumber dibuat sesuai dengan skema konverter frekuensi tinggi berdenyut satu siklus. Sebuah osilator yang beroperasi pada frekuensi 20 ... 40 kHz dipasang pada transistor. Frekuensi disesuaikan dengan kapasitansi C5. Elemen VD5, VD6 dan C6 membentuk rangkaian untuk memulai osilator. Di sirkuit sekunder, setelah penyearah jembatan, ada penstabil linier konvensional pada sirkuit mikro, yang memungkinkan Anda memiliki ...
28.09.2014
Gambar menunjukkan generator pada chip K174XA11, yang frekuensinya dikendalikan oleh tegangan. Dengan mengubah kapasitansi C1 dari 560 menjadi 4700pF, rentang frekuensi yang lebar dapat diperoleh, sedangkan frekuensi disesuaikan dengan mengubah resistansi R4. Misalnya, penulis mengetahui bahwa, pada C1 \u003d 560pF, frekuensi generator dapat diubah menggunakan R4 dari 600Hz ke 200kHz, ...
03.10.2014
Unit ini dirancang untuk memberi daya pada ULF yang kuat, dirancang untuk tegangan keluaran ± 27V sehingga memuat hingga 3A pada setiap lengan. PSU adalah bipolar, dibuat pada transistor komposit lengkap KT825-KT827. Kedua lengan stabilizer dibuat sesuai dengan skema yang sama, tetapi di lengan lain (tidak ditampilkan), polaritas kapasitor diubah dan transistor yang lain digunakan ...

Piramida. Piramida terpotong

Piramida disebut polihedron, salah satu wajahnya adalah poligon ( basis ), dan semua wajah lainnya adalah segitiga dengan simpul yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida disebut benar , jika alasnya adalah poligon beraturan dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida segitiga yang semua sisinya sama panjang disebut segi empat .

rusuk samping piramida disebut sisi sisi wajah yang bukan milik alas Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi sisi piramida beraturan adalah sama satu sama lain, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama. Tinggi sisi sisi piramida beraturan yang ditarik dari titik sudut disebut pendewaan . bagian diagonal Bagian dari piramida disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki wajah yang sama.

Luas permukaan samping piramida disebut jumlah luas semua sisi sisi. daerah permukaan penuh adalah jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah piramida semua sisi miring sama rata terhadap bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alasnya.

2. Jika dalam piramida semua tepi lateral memiliki panjang yang sama, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alas.

3. Jika dalam piramida semua wajah sama-sama condong ke bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya.

Untuk menghitung volume piramida sewenang-wenang, rumusnya benar:

di mana V- volume;

S utama- daerah dasar;

H adalah ketinggian piramida.

Untuk piramida biasa, rumus berikut ini benar:

di mana P- keliling pangkalan;

h a- apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

S utama- daerah dasar;

V adalah volume piramida biasa.

piramida terpotong disebut bagian piramida yang tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida (Gbr. 17). Piramida terpotong yang benar disebut bagian dari piramida biasa, tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida.

Yayasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping - trapesium. Tinggi piramida terpotong disebut jarak antara alasnya. Diagonal Piramida terpotong adalah segmen yang menghubungkan simpulnya yang tidak terletak pada wajah yang sama. bagian diagonal Bagian dari piramida yang terpotong disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki sisi yang sama.

Untuk piramida terpotong, rumusnya valid:

(4)

di mana S 1 , S 2 - area pangkalan atas dan bawah;

S penuh adalah luas permukaan total;

sisi S adalah luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V adalah volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong biasa, rumus berikut ini benar:

di mana P 1 , P 2 - perimeter dasar;

h a- apotema piramida terpotong biasa.

Contoh 1 Dalam piramida segitiga biasa, sudut dihedral di pangkalan adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping ke bidang alas.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).

Piramida beraturan, artinya alasnya adalah segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki. Sudut dihedral di pangkalan - ini adalah sudut kemiringan sisi sisi piramida ke bidang alas. Sudut linier akan menjadi sudut Sebuah antara dua garis tegak lurus: mis. Bagian atas piramida diproyeksikan di pusat segitiga (pusat lingkaran berbatas dan lingkaran bertulis di segitiga ABC). Sudut kemiringan rusuk samping (misalnya SB) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya ke bidang dasar. Untuk tulang rusuk SB sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk menemukan garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI Dan OB. Biarkan panjang segmen BD adalah 3 tetapi. dot TENTANG bagian BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kami menemukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2 Hitunglah volume limas segi empat beraturan jika panjang diagonal alasnya cm dan cm dan tingginya 4 cm.

Larutan. Untuk menemukan volume piramida terpotong, kami menggunakan rumus (4). Untuk menemukan luas alas, Anda perlu menemukan sisi-sisi bujur sangkar, mengetahui diagonal-diagonalnya. Sisi alasnya masing-masing adalah 2 cm dan 8 cm Ini berarti luas alas dan Mengganti semua data ke dalam rumus, kami menghitung volume piramida terpotong:

Menjawab: 112 cm3.

Contoh 3 Hitunglah luas permukaan sisi piramida beraturan berbentuk segitiga beraturan yang alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tingginya 2 cm.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).

Sisi sisi piramida ini adalah trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Basis diberikan oleh kondisi, hanya tingginya yang tidak diketahui. Temukan dari mana TETAPI 1 E tegak lurus dari suatu titik TETAPI 1 pada bidang alas bawah, SEBUAH 1 D- tegak lurus dari TETAPI 1 on AC. TETAPI 1 E\u003d 2 cm, karena ini adalah ketinggian piramida. Untuk menemukan DE kita akan membuat gambar tambahan, di mana kita akan menggambarkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot TENTANG- proyeksi pusat pangkalan atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain oke adalah jari-jari lingkaran tertulis dan om adalah jari-jari lingkaran tertulis:

MK=DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:

Menjawab:

Contoh 4 Di dasar piramida terletak trapesium sama kaki, yang alasnya tetapi Dan B (Sebuah> B). Setiap sisi wajah membentuk sudut yang sama dengan bidang alas piramida J. Temukan total luas permukaan piramida.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Luas permukaan total piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Kami menggunakan pernyataan bahwa jika semua wajah piramida memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncaknya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Dot TENTANG- proyeksi puncak S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang dasar. Menurut teorema pada area proyeksi ortogonal dari bangun datar, kita mendapatkan:

Demikian pula, itu berarti Jadi, masalahnya dikurangi menjadi menemukan luas trapesium ABCD. Menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot TENTANG adalah pusat lingkaran pada trapesium.