Apa yang terletak di dasar prisma yang benar. Prisma

Cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat berbagai bentuk (titik, garis, sudut, benda dua dimensi dan tiga dimensi), ukuran dan posisi relatif. Untuk kenyamanan mengajar, geometri dibagi menjadi planimetri dan geometri padat. PADA… … Ensiklopedia Collier

Geometri ruang dimensi lebih besar dari tiga; istilah ini diterapkan pada ruang-ruang yang geometrinya awalnya dikembangkan untuk kasus tiga dimensi dan baru kemudian digeneralisasikan ke jumlah dimensi n> 3, terutama ruang Euclidean, ... ... Ensiklopedia Matematika

Generalisasi geometri Euclidean dimensi N dari geometri Euclidean ke ruang lagi pengukuran. Meskipun ruang fisik adalah tiga dimensi, dan indra manusia dirancang untuk memahami tiga dimensi, N adalah dimensi ... ... Wikipedia

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Piramidatsu (arti). Keandalan bagian artikel ini telah dipertanyakan. Hal ini diperlukan untuk memverifikasi keakuratan fakta-fakta yang dinyatakan dalam bagian ini. Mungkin ada penjelasan di halaman pembicaraan ... Wikipedia

- Teknologi (Constructive Solid Geometry, CSG) yang digunakan dalam pemodelan padatan. Geometri blok struktural sering, tetapi tidak selalu, teknik pemodelan dalam grafik 3D dan CAD. Ini memungkinkan Anda untuk membuat adegan yang kompleks atau ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) adalah teknologi yang digunakan dalam pemodelan padatan. Geometri blok struktural sering, tetapi tidak selalu, teknik pemodelan dalam grafik 3D dan CAD. Dia ... ... Wikipedia

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Ruang Lingkup (arti). Volume adalah fungsi tambahan dari suatu himpunan (ukuran) yang mencirikan kapasitas suatu daerah ruang yang ditempatinya. Awalnya, itu muncul dan diterapkan tanpa ketat ... ... Wikipedia

Jenis Kubus Polihedron biasa Wajah persegi Simpul Tepi Wajah ... Wikipedia

Volume adalah fungsi tambahan dari suatu himpunan (ukuran) yang mencirikan kapasitas suatu daerah ruang yang ditempatinya. Awalnya, itu muncul dan diterapkan tanpa definisi yang ketat dalam kaitannya dengan benda tiga dimensi dari ruang Euclidean tiga dimensi. ... ... Wikipedia

Bagian dari ruang yang dibatasi oleh kumpulan poligon planar dalam jumlah terbatas (lihat GEOMETRI) yang dihubungkan sedemikian rupa sehingga setiap sisi poligon adalah sisi tepat dari satu poligon lainnya (disebut ... ... Ensiklopedia Collier

Buku

Satu set meja. Geometri. Kelas 10. 14 tabel + metodologi, . Meja dicetak di atas karton poligrafik tebal berukuran 680 x 980 mm. Brosur dengan pedoman untuk guru. Album belajar 14 lembar.…

Kuliah: Prisma, alasnya, tepi lateral, tinggi, permukaan lateral; prisma lurus; prisma kanan

Prisma

Jika Anda telah mempelajari bangun datar dari pertanyaan sebelumnya bersama kami, maka Anda sepenuhnya siap untuk mempelajari bangun datar tiga dimensi. Benda padat pertama yang akan kita pelajari adalah prisma.

Prisma adalah tubuh besar yang memiliki sejumlah besar wajah.

Gambar ini memiliki dua poligon di alasnya, yang terletak pada bidang sejajar, dan semua sisi sisinya berbentuk jajar genjang.

Gambar 1. Gambar. 2

Jadi, mari kita cari tahu apa itu prisma. Untuk melakukan ini, perhatikan Gambar.1

Seperti disebutkan sebelumnya, prisma memiliki dua alas yang sejajar satu sama lain - ini adalah segi lima ABCEF dan GMNJK. Selain itu, poligon ini sama satu sama lain.

Semua wajah lain dari prisma disebut sisi samping - mereka terdiri dari jajaran genjang. Misalnya, BMNC, AGKF, FKJE, dll.

Permukaan umum semua sisi sisi disebut permukaan samping.

Setiap pasangan wajah yang berdekatan memiliki sisi yang sama. Sisi umum seperti itu disebut tepi. Misalnya, MB, CE, AB, dll.

Jika alas atas dan alas prisma dihubungkan secara tegak lurus, maka itu akan disebut tinggi prisma. Pada gambar, ketinggian ditandai sebagai garis lurus OO 1.

Ada dua jenis utama prisma: miring dan lurus.

Jika sisi sisi prisma tidak tegak lurus alasnya, maka prisma tersebut disebut miring.

Jika semua rusuk prisma tegak lurus alasnya, maka prisma tersebut disebut lurus.

Jika alas prisma adalah poligon beraturan (dengan sisi yang sama panjang), maka prisma seperti itu disebut benar.

Jika alas prisma tidak sejajar satu sama lain, maka prisma tersebut disebut terpotong.

Anda bisa melihatnya di Gbr.2

Rumus untuk mencari volume, luas prisma

Ada tiga rumus dasar untuk mencari volume. Mereka berbeda satu sama lain dalam aplikasinya:

Rumus serupa untuk menemukan luas permukaan prisma:

Setiap poligon dapat terletak di dasar prisma - segitiga, segi empat, dll. Kedua alasnya persis sama, dan karenanya, di mana sudut-sudut wajah paralel dihubungkan satu sama lain, mereka selalu sejajar. Di dasar prisma beraturan terdapat poligon beraturan, yaitu poligon yang semua sisinya sama. Pada prisma lurus, tepi antara sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Dalam hal ini, poligon dengan sejumlah sudut dapat terletak di dasar prisma lurus. Prisma yang alasnya jajar genjang disebut jajar genjang. Empat persegi panjang - kasus spesial genjang. Jika gambar ini terletak di alas, dan sisi-sisinya terletak di sudut kanan ke alas, paralelepiped disebut persegi panjang. Nama kedua benda geometris ini adalah persegi panjang.

Bagaimana penampilannya

Prisma persegi panjang dikelilingi pria modern cukup sedikit. Ini, misalnya, adalah karton biasa dari bawah sepatu, komponen komputer, dll. Lihat sekeliling. Bahkan dalam sebuah ruangan, Anda pasti akan melihat banyak prisma persegi panjang. Ini adalah kotak komputer, dan rak buku, dan lemari es, dan lemari, dan banyak barang lainnya. Bentuknya sangat populer terutama karena memungkinkan Anda untuk menggunakan ruang seefisien mungkin, apakah Anda mendekorasi interior atau mengemas barang-barang dalam karton sebelum dipindahkan.

Sifat-sifat prisma segi empat

Sebuah prisma segi empat memiliki bilangan properti tertentu. Setiap pasangan wajah dapat berfungsi sebagai miliknya, karena semua wajah yang berdekatan terletak pada sudut yang sama satu sama lain, dan sudut ini adalah 90 °. Volume dan luas permukaan prisma persegi panjang lebih mudah dihitung daripada yang lain. Ambil benda apa saja yang berbentuk prisma segi empat. Ukur panjang, lebar, dan tingginya. Untuk menemukan volume, cukup dengan mengalikan pengukuran ini. Artinya, rumusnya terlihat seperti ini: V \u003d a * b * h, di mana V adalah volume, a dan b adalah sisi alas, h adalah ketinggian yang bertepatan dengan tepi samping badan geometris ini. Luas alas dihitung dengan rumus S1=a*b. Untuk mendapatkan permukaan sisi, Anda harus terlebih dahulu menghitung keliling alas menggunakan rumus P=2(a+b) dan kemudian mengalikannya dengan tingginya. Ternyata rumus S2=P*h=2(a+b)*h. Menghitung permukaan penuh Untuk prisma segi empat, tambahkan dua kali luas alas dan luas permukaan samping. Rumusnya adalah S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

PADA kurikulum sekolah dalam perjalanan geometri padat, studi tentang sosok tiga dimensi biasanya dimulai dengan tubuh geometris sederhana - polihedron prisma. Peran basisnya dilakukan oleh 2 poligon yang sama yang terletak di bidang paralel. Kasus khusus adalah prisma segi empat biasa. Basisnya adalah 2 segi empat biasa yang identik, yang sisi-sisinya tegak lurus, memiliki bentuk jajaran genjang (atau persegi panjang jika prisma tidak miring).

Seperti apa bentuk prisma?

Prisma segi empat biasa adalah segi enam, di dasarnya ada 2 kotak, dan sisi-sisinya diwakili oleh persegi panjang. Nama lain untuk ini sosok geometris- paralelepiped lurus.

Gambar yang menggambarkan prisma segi empat, ditunjukkan di bawah ini.

Bisa juga di lihat di gambar elemen penting, yang membentuk tubuh geometris. Mereka biasanya disebut sebagai:

Kadang-kadang dalam masalah geometri Anda dapat menemukan konsep bagian. Definisinya akan terdengar seperti ini: bagian adalah semua titik dari benda volumetrik yang termasuk dalam bidang pemotongan. Bagian itu tegak lurus (melintasi tepi gambar pada sudut 90 derajat). Untuk prisma persegi panjang, bagian diagonal juga dipertimbangkan (jumlah maksimum bagian yang dapat dibangun adalah 2), melewati 2 tepi dan diagonal alasnya.

Jika bagian tersebut digambar sedemikian rupa sehingga bidang potong tidak sejajar dengan alas atau permukaan samping, hasilnya adalah prisma terpotong.

Berbagai rasio dan rumus digunakan untuk mencari elemen prismatik tereduksi. Beberapa di antaranya diketahui dari perjalanan planimetri (misalnya, untuk menemukan luas alas prisma, cukup mengingat rumus luas persegi).

Luas permukaan dan volume

Untuk menentukan volume prisma menggunakan rumus, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya:

V = Sprim h

Karena alas prisma tetrahedral beraturan adalah persegi dengan sisi sebuah, Anda dapat menulis rumus dalam bentuk yang lebih rinci:

V = a² h

Jika kita berbicara tentang kubus - prisma biasa dengan panjang, lebar, dan tinggi yang sama, volumenya dihitung sebagai berikut:

Untuk memahami cara menemukan luas permukaan lateral prisma, Anda perlu membayangkan sapuannya.

Dari gambar dapat diketahui bahwa permukaan sisinya terdiri dari 4 persegi panjang yang sama panjang. Luasnya dihitung sebagai produk keliling alas dan tinggi gambar:

Sisi = Pos h

Karena keliling persegi adalah P = 4a, rumus mengambil bentuk:

Sisi = 4a h

Untuk kubus:

Sisi = 4a²

Untuk menghitung luas permukaan total prisma, tambahkan 2 luas alas ke luas sisi:

Penuh = Sisi + 2 Basis

Seperti yang diterapkan pada prisma beraturan segi empat, rumusnya memiliki bentuk:

Penuh = 4a jam + 2a²

Untuk luas permukaan kubus :

Penuh = 6a²

Mengetahui volume atau luas permukaan, Anda dapat menghitung elemen individu tubuh geometris.

Menemukan elemen prisma

Seringkali ada masalah di mana volume diberikan atau nilai luas permukaan lateral diketahui, di mana perlu untuk menentukan panjang sisi alas atau tingginya. Dalam kasus seperti itu, rumus dapat diturunkan:

panjang sisi alas: a = Sisi / 4h = (V / jam);
tinggi atau panjang rusuk samping: h = Sisi / 4a = V / a²;
daerah dasar: Semburat = V / jam;
daerah wajah samping: Samping gr = Sisi / 4.

Untuk menentukan luas penampang diagonal, Anda perlu mengetahui panjang diagonal dan tinggi gambar. Untuk persegi d = a√2. Karena itu:

Sdiag = ah√2

Untuk menghitung diagonal prisma digunakan rumus :

dprize = (2a² + h²)

Untuk memahami bagaimana menerapkan rasio di atas, Anda dapat berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas sederhana.

Contoh masalah dengan solusi

Berikut adalah beberapa tugas yang muncul dalam ujian akhir negara dalam matematika.

Latihan 1.

Pasir dituangkan ke dalam kotak yang berbentuk seperti prisma segi empat biasa. Tinggi alasnya 10 cm Berapakah tinggi pasir jika dimasukan ke dalam wadah yang bentuknya sama tetapi panjang alasnya 2 kali lebih panjang?

Hal itu perlu dikemukakan sebagai berikut. Jumlah pasir di wadah pertama dan kedua tidak berubah, mis., volumenya di dalamnya sama. Anda dapat menentukan panjang alas sebagai sebuah. Dalam hal ini, untuk kotak pertama, volume zat adalah:

V₁ = ha² = 10a²

Untuk kotak kedua, panjang alasnya adalah 2a, tetapi ketinggian permukaan pasir tidak diketahui:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Sejauh V₁ = V, ekspresinya dapat disamakan:

10a² = 4ha²

Setelah mengurangi kedua sisi persamaan dengan a², kita mendapatkan:

Hasil dari tingkat baru pasir akan menjadi h = 10/4 = 2.5 cm.

Tugas 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah prisma beraturan. Diketahui BD = AB₁ = 6√2. Temukan luas permukaan total tubuh.

Untuk memudahkan memahami elemen mana yang diketahui, Anda dapat menggambar gambar.

Karena kita berbicara tentang prisma biasa, kita dapat menyimpulkan bahwa alasnya adalah persegi dengan diagonal 6√2. Diagonal muka samping mempunyai nilai yang sama, oleh karena itu muka samping juga berbentuk bujur sangkar sama dengan alasnya. Ternyata ketiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Kita dapat menyimpulkan bahwa ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah kubus.

Panjang setiap sisi ditentukan melalui diagonal yang diketahui:

a = d / 2 = 6√2 / 2 = 6

Luas permukaan total ditemukan dengan rumus kubus:

Penuh = 6a² = 6 6² = 216

Tugas 3.

Kamar sedang direnovasi. Diketahui lantainya berbentuk persegi dengan luas 9 m². Ketinggian ruangan adalah 2,5 m. Berapa biaya wallpapering kamar terendah jika 1 m² berharga 50 rubel?

Karena lantai dan langit-langit adalah bujur sangkar, yaitu segi empat beraturan, dan dindingnya tegak lurus terhadap permukaan horizontal, kita dapat menyimpulkan bahwa itu adalah prisma beraturan. Hal ini diperlukan untuk menentukan luas permukaan lateralnya.

Panjang ruangan tersebut adalah a = 9 = 3 m.

Alun-alun akan ditutupi dengan wallpaper Sisi = 4 3 2,5 = 30 m².

Biaya wallpaper terendah untuk ruangan ini adalah 50 30 = 1500 rubel.

Jadi, untuk menyelesaikan masalah pada prisma persegi panjang, cukup untuk dapat menghitung luas dan keliling persegi dan persegi panjang, serta mengetahui rumus untuk menemukan volume dan luas permukaan.

Cara mencari luas kubus

Definisi. Prisma- ini adalah polihedron, semua simpulnya terletak di dua bidang paralel, dan di dua bidang yang sama ada dua wajah prisma, yang merupakan poligon yang sama dengan masing-masing sisi paralel, dan semua tepi yang tidak terletak di sini pesawat sejajar.

Dua wajah yang sama disebut alas prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Semua permukaan prisma lainnya disebut wajah samping(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Semua sisi wajah membentuk permukaan samping prisma .

Semua sisi sisi prisma adalah jajar genjang .

Tepi yang tidak terletak di alas disebut tepi lateral prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonal Prisma segmen disebut, yang ujungnya adalah dua simpul prisma yang tidak terletak di salah satu wajahnya (AD 1).

Panjang ruas yang menghubungkan alas prisma dan tegak lurus kedua alas secara bersamaan disebut tinggi prisma .

Penamaan:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pertama, dalam urutan bypass, simpul dari satu basis ditunjukkan, dan kemudian, dalam urutan yang sama, simpul yang lain; ujung setiap tepi sisi ditandai dengan huruf yang sama, hanya simpul yang terletak di satu pangkalan ditunjukkan dengan huruf tanpa indeks, dan yang lain - dengan indeks)

Nama prisma dikaitkan dengan jumlah sudut pada gambar yang terletak di alasnya, misalnya pada Gambar 1 alasnya adalah segi lima, sehingga disebut prisma prisma segi lima. Tapi sejak prisma seperti itu memiliki 7 wajah, maka segi enam(2 wajah adalah alas prisma, 5 wajah adalah jajaran genjang, adalah sisi sampingnya)

Di antara prisma lurus menonjol tampilan pribadi: prisma biasa.

Prisma lurus disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan.

Sebuah prisma beraturan memiliki semua sisi menghadap persegi panjang yang sama. Kasus khusus prisma adalah paralelepiped.

Paralelipiped

Paralelipiped- Ini prisma segi empat, yang didasarkan pada jajaran genjang (paralelepiped miring). Paralelepiped kanan- paralelepiped yang tepi lateralnya tegak lurus terhadap bidang alasnya.

berbentuk kubus- paralelepiped kanan yang alasnya adalah persegi panjang.

Sifat dan teorema:

Beberapa properti dari parallelepiped serupa properti yang diketahui jajar genjang Sebuah paralelepiped persegi panjang memiliki pengukuran yang sama, disebut kubus Sebuah kubus memiliki semua wajah persegi yang sama. Kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya

di mana d adalah diagonal persegi;
a - sisi persegi.

Gagasan prisma diberikan oleh:

berbagai struktur arsitektur;
mainan anak-anak;
kotak kemasan;
barang desainer, dll.

Luas permukaan total dan lateral prisma

Luas permukaan total prisma adalah jumlah luas semua permukaannya Luas permukaan lateral disebut jumlah luas permukaan sisi-sisinya. alas prisma adalah poligon yang sama, maka luasnya sama. Jadi

S penuh \u003d S sisi + 2S utama,

di mana S penuh- luas permukaan total, sisi S- luas permukaan samping, S utama- daerah dasar

Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling alas dan tinggi prisma.

sisi S\u003d P utama * j,

di mana sisi S adalah luas permukaan lateral prisma lurus,

P utama - keliling alas prisma lurus,

h adalah tinggi prisma lurus, sama dengan tepi samping.