Պարզ ասած, սրանք հավասարումներ են, որոնցում կա առնվազն մեկը, որի փոփոխականը հայտարարում է:

Օրինակ:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Օրինակ ոչկոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Ինչպե՞ս են լուծվում կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները:

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների մասին, այն է, որ դուք պետք է գրեք դրանցում: Իսկ արմատները գտնելուց հետո անպայման ստուգեք դրանք թույլատրելիության համար։ Հակառակ դեպքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ, և ամբողջ լուծումը կհամարվի սխալ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ.

Դուրս գրեք և «լուծեք» ՕՁ-ն։

Հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով և կրճատեք ստացված կոտորակները: Հայտարարները կվերանան։

Գրի՛ր հավասարումը առանց փակագծերը բացելու։

Լուծե՛ք ստացված հավասարումը։

Ստուգեք հայտնաբերված արմատները ODZ-ով:

Ի պատասխան գրեք 7-րդ քայլի թեստն անցած արմատները:

Մի մտապահիր ալգորիթմը, 3-5 լուծված հավասարումներ, և այն ինքնին կհիշվի:

Օրինակ . Լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Որոշում:

Պատասխան. \(3\).

Օրինակ . Գտեք \(=0\) կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները

Որոշում:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ՕՁ՝ \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Գրում ենք ու «լուծում» ՕՁ. Ընդարձակեք \(x^2+7x+10\) բանաձևով. \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\): Բարեբախտաբար, \(x_1\) և \(x_2\) մենք արդեն գտել ենք:
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ակնհայտ է, որ կոտորակների ընդհանուր հայտարարը՝ \((x+2)(x+5)\): Մենք դրանով բազմապատկում ենք ամբողջ հավասարումը։
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Մենք կրճատում ենք կոտորակները
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Փակագծերի բացում
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Մենք տալիս ենք նման պայմաններ
\(2x^2+9x-5=0\)		Գտնելով հավասարման արմատները
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Արմատներից մեկը չի տեղավորվում ODZ-ի տակ, ուստի ի պատասխան գրում ենք միայն երկրորդ արմատը։

Պատասխան. \(\frac(1)(2)\):

Որոշում կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ

Օգնության ուղեցույց

Ռացիոնալ հավասարումները հավասարումներ են, որոնցում կան և՛ ձախ, և՛ աջ կողմերը ռացիոնալ արտահայտություններ.

(Հիշենք, որ ռացիոնալ արտահայտությունները ամբողջ թվեր են և կոտորակային արտահայտություններառանց ռադիկալների, ներառյալ գումարման, հանման, բազմապատկման կամ բաժանման գործողությունները, օրինակ՝ 6x; (m – n)2; x/3y և այլն)

Կոտորակային-ռացիոնալ հավասարումները, որպես կանոն, վերածվում են ձևի.

Որտեղ Պ(x) և Ք(x) բազմանդամներ են։

Նման հավասարումներ լուծելու համար հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք Q(x-ով), ինչը կարող է հանգեցնել կողմնակի արմատների առաջացման: Ուստի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս անհրաժեշտ է ստուգել գտնված արմատները։

Ռացիոնալ հավասարումը կոչվում է ամբողջ թիվ կամ հանրահաշվական, եթե այն չունի բաժանում փոփոխական պարունակող արտահայտությամբ։

Ամբողջ ռացիոնալ հավասարման օրինակներ.

5x - 10 = 3 (10 - x)

3x
-=2x-10
4

Եթե ​​ռացիոնալ հավասարման մեջ կա (x) փոփոխական պարունակող արտահայտությամբ բաժանում, ապա հավասարումը կոչվում է կոտորակային ռացիոնալ։

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման օրինակ.

15
x + - = 5x - 17
x

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումները սովորաբար լուծվում են հետևյալ կերպ.

1) գտնել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը և դրանով բազմապատկել հավասարման երկու մասերը.

2) լուծել ստացված ամբողջ հավասարումը.

3) իր արմատներից բացառել նրանց, որոնք կոտորակների ընդհանուր հայտարարը զրոյացնում են.

Ամբողջական և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման օրինակներ.

Օրինակ 1. Լուծե՛ք ամբողջ հավասարումը

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Որոշում:

Գտնելով ամենացածր ընդհանուր հայտարարը: Սա 6 է: 6-ը բաժանեք հայտարարի վրա և ստացվածը բազմապատկեք յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչով: Մենք ստանում ենք այս մեկին համարժեք հավասարում.

3 (x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Քանի որ ձախ և աջ կողմերից նույն հայտարարը, այն կարելի է բաց թողնել։ Այնուհետև մենք ունենք ավելի պարզ հավասարում.

3 (x - 1) + 4x = 5x:

Մենք լուծում ենք այն՝ բացելով փակագծերը և կրճատելով նման տերմինները.

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Օրինակ լուծված.

Օրինակ 2. Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Մենք գտնում ենք ընդհանուր հայտարար. Սա x (x - 5): Այսպիսով.

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Այժմ մենք կրկին ազատվում ենք հայտարարից, քանի որ այն նույնն է բոլոր արտահայտությունների համար։ Կրճատում ենք նման անդամները, հավասարում ենք զրոյի և ստանում քառակուսի հավասարում:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0:

Լուծելով քառակուսի հավասարումը, մենք գտնում ենք դրա արմատները՝ -2 և 5:

Եկեք ստուգենք, արդյոք այս թվերը սկզբնական հավասարման արմատներն են:

x = –2-ի համար x(x – 5) ընդհանուր հայտարարը չի անհետանում: Այսպիսով, -2-ը սկզբնական հավասարման արմատն է:

x = 5-ում ընդհանուր հայտարարը անհետանում է, և երեք արտահայտություններից երկուսը կորցնում են իրենց նշանակությունը: Այսպիսով, 5 թիվը սկզբնական հավասարման արմատը չէ:

Պատասխան՝ x = -2

Ավելի շատ օրինակներ

Օրինակ 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2:

Պատասխան՝ -2.2; 6.

Օրինակ 2

Տ.Կոսյակովա,
Կրասնոդար, թիվ 80 դպրոց

Պարամետրեր պարունակող քառակուսի և կոտորակային-ռացիոնալ հավասարումների լուծում

Դաս 4

Դասի թեման.

Դասի նպատակը.ձևավորել պարամետրեր պարունակող կոտորակային-ռացիոնալ հավասարումներ լուծելու ունակություն.

Դասի տեսակը:նոր նյութի ներդրում.

1. (Բանավոր.) Լուծե՛ք հավասարումները.

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը

Որոշում.

Գտեք անվավեր արժեքներ ա:

Պատասխանել. Եթե եթե ա = – 19 , ուրեմն արմատներ չկան։

Օրինակ 2. Լուծե՛ք հավասարումը

Որոշում.

Գտեք պարամետրի անվավեր արժեքներ ա :

10 – ա = 5, ա = 5;

10 – ա = ա, ա = 5.

Պատասխանել. Եթե ա = 5 ա № 5 , ապա x=10– ա .

Օրինակ 3. Պարամետրի ինչ արժեքներով բ հավասարումը Այն ունի:

ա) երկու արմատ բ) միակ արմատը.

Որոշում.

1) Գտեք պարամետրերի անվավեր արժեքներ բ :

x= բ, բ 2 (բ 2 – 1) – 2բ 3 + բ 2 = 0, բ 4 – 2բ 3 = 0,
բ= 0 կամ բ = 2;
x = 2, 4 ( բ 2 – 1) – 4բ 2 + բ 2 = 0, բ 2 – 4 = 0, (բ – 2)(բ + 2) = 0,
բ= 2 կամ բ = – 2.

2) Լուծե՛ք հավասարումը x 2 ( բ 2 – 1) – 2բ 2x+ բ 2 = 0:

D=4 բ 4 – 4բ 2 (բ 2 – 1), D = 4 բ 2 .

ա)

Պարամետրերի անվավեր արժեքների բացառումը բ , ստանում ենք, որ հավասարումն ունի երկու արմատ, եթե բ № – 2, բ № – 1, բ № 0, բ № 1, բ № 2 .

բ) 4բ 2 = 0, բ = 0, բայց սա պարամետրի անվավեր արժեք է բ ; եթե բ 2 –1=0 , այսինքն. բ=1 կամ.

Պատասխան՝ ա) եթե բ № –2 , բ № –1, բ № 0, բ № 1, բ № 2 , ապա երկու արմատ; բ) եթե բ=1 կամ b=-1 , ապա միակ արմատը։

Անկախ աշխատանք

Տարբերակ 1

Լուծե՛ք հավասարումները.

Տարբերակ 2

Լուծե՛ք հավասարումները.

Պատասխանները

1-ում. եւ եթե ա=3 , ապա արմատներ չկան; եթե բ) եթե ա № 2 , ուրեմն արմատներ չկան։

2-ՈՒՄ.Եթե ա=2 , ապա արմատներ չկան; եթե ա=0 , ապա արմատներ չկան; եթե
բ) եթե ա=– 1 , ապա հավասարումը կորցնում է իր նշանակությունը. եթե ուրեմն արմատներ չկան.
եթե

Տնային առաջադրանք.

Լուծե՛ք հավասարումները.

Պատասխաններ՝ ա) Եթե ա № –2 , ապա x= ա ; եթե ա=–2 , ապա լուծումներ չկան; բ) եթե ա № –2 , ապա x=2; եթե ա=–2 , ապա լուծումներ չկան; գ) եթե ա=–2 , ապա x- ցանկացած այլ թիվ, քան 3 ; եթե ա № –2 , ապա x=2; դ) եթե ա=–8 , ապա արմատներ չկան; եթե ա=2 , ապա արմատներ չկան; եթե

Դաս 5

Դասի թեման.«Պարամետրեր պարունակող կոտորակային-ռացիոնալ հավասարումների լուծում».

Դասի նպատակները.

սովորում է ոչ ստանդարտ պայմանով հավասարումներ լուծել;
Ուսանողների կողմից հանրահաշվական հասկացությունների և նրանց միջև փոխհարաբերությունների գիտակցված յուրացում:

Դասի տեսակը:համակարգում և ընդհանրացում։

Տնային աշխատանքների ստուգում.

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը

ա) x-ի համեմատ; բ) հարաբերական y.

Որոշում.

ա) Գտեք անվավեր արժեքներ y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0- պարամետրի անվավեր արժեք y.

Եթե y№ 0 , ապա x=y-2; եթե y=0, ապա հավասարումը կորցնում է իր իմաստը։

բ) Գտեք պարամետրերի անվավեր արժեքներ x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- պարամետրի անվավեր արժեք x; y(2+x-y)=0, y=0կամ y=2+x;

y=0չի բավարարում պայմանը y (y–x)№ 0 .

Պատասխան՝ ա) եթե y=0, ապա հավասարումը կորցնում է իր նշանակությունը. եթե y№ 0 , ապա x=y-2; բ) եթե x=0 x№ 0 , ապա y=2+x .

Օրինակ 2. Ա պարամետրի որ ամբողջ արժեքների համար են հավասարման արմատները պատկանում է ընդմիջմանը

D = (3 ա + 2) 2 – 4ա(ա+ 1) 2 = 9 ա 2 + 12ա + 4 – 8ա 2 – 8ա,

D = ( ա + 2) 2 .

Եթե ա № 0 կամ ա № – 1 , ապա

Պատասխան. 5 .

Օրինակ 3. Գտեք համեմատաբար xհավասարումների ամբողջական լուծումները

Պատասխանել. Եթե y=0, ապա հավասարումը իմաստ չունի; եթե y=–1, ապա x- զրոյից բացի ցանկացած ամբողջ թիվ; եթե y# 0, y# – 1, ապա լուծումներ չկան։

Օրինակ 4Լուծե՛ք հավասարումը պարամետրերով ա և բ .

Եթե ա№ – բ , ապա

Պատասխանել. Եթե ա= 0 կամ b= 0 , ապա հավասարումը կորցնում է իր նշանակությունը. եթե ա№ 0, բ№ 0, a=-b , ապա x- զրոյից բացի ցանկացած թիվ; եթե ա№ 0, բ№ 0, ա№ -բ ապա x=-a, x=-b .

Օրինակ 5. Ապացուցե՛ք, որ n պարամետրի ցանկացած ոչ զրոյական արժեքի դեպքում հավասարումը ունի մեկ արմատ, որը հավասար է – n .

Որոշում.

այսինքն. x=-n, որը պետք է ապացուցվեր։

Տնային առաջադրանք.

1. Գտի՛ր հավասարման ամբողջական լուծումները

2. Պարամետրի ինչ արժեքներով գհավասարումը Այն ունի:
ա) երկու արմատ բ) միակ արմատը.

3. Գտի՛ր հավասարման բոլոր արմատները եթե աՕ Ն .

4. Լուծի՛ր հավասարումը 3xy - 5x + 5y = 7:ա) համեմատաբար y; բ) համեմատաբար x .

1. Հավասարումը բավարարվում է x-ի և y-ի ցանկացած ամբողջ հավասար արժեքով, բացի զրոյից:
2. ա) Երբ
բ) ժամը կամ
3. – 12; – 9; 0 .
4. ա) Եթե ուրեմն արմատներ չկան. եթե
բ) եթե ուրեմն արմատներ չկան. եթե

Փորձարկում

Տարբերակ 1

1. Որոշի՛ր հավասարման տեսակը 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 ժամը՝ ա) c=-3; բ) c=2 ;մեջ) c=4 .

2. Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) x 2 –bx=0;բ) cx 2 –6x+1=0; մեջ)

3. Լուծե՛ք հավասարումը 3x-xy-2y=1:

ա) համեմատաբար x ;
բ) համեմատաբար y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0,իմանալով, որ n պարամետրը ընդունում է միայն ամբողջ թվեր:

5. b-ի ինչ արժեքներով է հավասարումը Այն ունի:

ա) երկու արմատ
բ) միակ արմատը.

Տարբերակ 2

1. Որոշի՛ր հավասարման տեսակը 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0ժամը՝ ա) c=-4 ;բ) c=7 ;մեջ) c=1 .

2. Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) y 2 +cy=0 ;բ) ny2 –8y+2=0;մեջ)

3. Լուծե՛ք հավասարումը 6x-xy+2y=5:

ա) համեմատաբար x ;
բ) համեմատաբար y .

4. Գտե՛ք հավասարման ամբողջ թվային արմատները nx 2 -22x+2n=0,իմանալով, որ n պարամետրը ընդունում է միայն ամբողջ թվեր:

5. Պարամետրի ինչ արժեքների համար է հավասարումը Այն ունի:

ա) երկու արմատ
բ) միակ արմատը.

Պատասխանները

1-ում. 1. ա) Գծային հավասարում;
բ) թերի քառակուսի հավասարում. գ) քառակուսի հավասարում.
2. ա) Եթե b=0, ապա x=0; եթե b#0, ապա x=0, x=b;
բ) եթե cՕ (9;+Ґ), ապա արմատներ չկան;
գ) եթե ա=–4 , ապա հավասարումը կորցնում է իր նշանակությունը. եթե ա№ –4 , ապա x=- ա .
3. ա) Եթե y=3, ապա արմատներ չկան; եթե);
բ) ա=–3, ա=1.

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

Լուծե՛ք հավասարումները.

գրականություն

1. Գոլուբև Վ.Ի., Գոլդման Ա.Մ., Դորոֆեև Գ.Վ. Պարամետրերի մասին հենց սկզբից. - Դաստիարակ, թիվ 2/1991, էջ. 3–13.
2. Գրոնշտեյն Պ.Ի., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Անհրաժեշտ պայմաններըպարամետրերով առաջադրանքներում: – Կվանտ, թիվ 11/1991, էջ 199: 44–49։
3. Դորոֆեև Գ.Վ., Զատակավայ Վ.Վ. Խնդրի լուծումՊարամետրեր պարունակող։ Մաս 2. - Մ., Հեռանկար, 1990, էջ. 2–38։
4. Տինյակին Ս.Ա. Հինգ հարյուր տասնչորս առաջադրանքներ՝ պարամետրերով։ - Վոլգոգրադ, 1991 թ.
5. Յաստրեբինեցկի Գ.Ա. Պարամետրերով առաջադրանքներ. - Մ., Կրթություն, 1986:

Այս հոդվածում ես ձեզ ցույց կտամ յոթ տեսակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմներ, որոնք փոփոխականների փոփոխության միջոցով վերածվում են քառակուսուների։ Շատ դեպքերում, փոխակերպումները, որոնք հանգեցնում են փոխարինման, շատ աննշան են, և դրանց մասին ինքնուրույն կռահելը բավականին դժվար է:

Հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի համար ես կբացատրեմ, թե ինչպես կարելի է փոփոխական փոփոխություն կատարել դրանում, իսկ հետո մանրամասն լուծումը ցույց կտամ համապատասխան վիդեո ձեռնարկում։

Դուք հնարավորություն ունեք ինքներդ շարունակել լուծել հավասարումները, այնուհետև ստուգել ձեր լուծումը տեսանյութի ձեռնարկով։

Այսպիսով, եկեք սկսենք:

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Նկատի ունեցեք, որ չորս փակագծերի արտադրյալը հավասարման ձախ կողմում է, իսկ թիվը՝ աջ կողմում։

1. Փակագծերը խմբավորենք երկուսի, որպեսզի ազատ անդամների գումարը նույնն է։

2. Բազմապատկեք դրանք:

3. Ներկայացնենք փոփոխականի փոփոխություն։

Մեր հավասարման մեջ առաջին փակագիծը խմբավորում ենք երրորդի հետ, իսկ երկրորդը՝ չորրորդին, քանի որ (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Այս պահին փոփոխական փոփոխությունը ակնհայտ է դառնում.

Մենք ստանում ենք հավասարումը

Պատասխան.

2 .

Այս տիպի հավասարումը նման է նախորդին մեկ տարբերությամբ. հավասարման աջ կողմում թվի արտադրյալն է: Եվ դա լուծվում է բոլորովին այլ կերպ.

1. Փակագծերը խմբավորում ենք երկուսի, որպեսզի ազատ տերմինների արտադրյալը նույնն է։

2. Մենք բազմապատկում ենք յուրաքանչյուր զույգ փակագծերը:

3. Յուրաքանչյուր գործոնից փակագծից հանում ենք x-ը:

4. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք .

5. Ներկայացնում ենք փոփոխականի փոփոխություն։

Այս հավասարման մեջ առաջին փակագիծը խմբավորում ենք չորրորդով, իսկ երկրորդը՝ երրորդով, քանի որ.

Նկատի ունեցեք, որ յուրաքանչյուր փակագծում գործակիցը և ազատ անդամը նույնն են: Յուրաքանչյուր փակագծից հանենք բազմապատկիչը.

Քանի որ x=0 սկզբնական հավասարման արմատը չէ, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք . Մենք ստանում ենք.

Մենք ստանում ենք հավասարումը.

Պատասխան.

3 .

Նշենք, որ երկու կոտորակների հայտարարները պարունակում են քառակուսի եռանկյուններ, որի առաջատար գործակիցը և ազատ անդամը նույնն են։ Փակագծից հանում ենք, ինչպես երկրորդ տեսակի հավասարման մեջ։ Մենք ստանում ենք.

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանեք x-ի.

Այժմ մենք կարող ենք ներկայացնել փոփոխականի փոփոխություն.

Մենք ստանում ենք t փոփոխականի հավասարումը.

4 .

Նշենք, որ հավասարման գործակիցները սիմետրիկ են կենտրոնականի նկատմամբ։ Նման հավասարումը կոչվում է վերադարձելի .

Այն լուծելու համար

1. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք (Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ x=0 հավասարման արմատը չէ։) Ստանում ենք.

2. Խմբավորել տերմինները հետևյալ կերպ.

3. Յուրաքանչյուր խմբում մենք հանում ենք ընդհանուր գործոնը.

4. Ներկայացնենք փոխարինում.

5. Արտահայտությունը արտահայտենք t-ով.

Այստեղից

Մենք ստանում ենք t-ի հավասարումը.

Պատասխան.

5. Միատարր հավասարումներ.

Միատարրի կառուցվածք ունեցող հավասարումների կարելի է հանդիպել էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական հավասարումներ, ուստի այն պետք է ճանաչել։

Միատարր հավասարումները ունեն հետևյալ կառուցվածքը.

Այս հավասարության մեջ A, B և C թվեր են, և նույն արտահայտությունները նշվում են քառակուսիով և շրջանով: Այսինքն՝ միատարր հավասարման ձախ կողմում նույն աստիճանն ունեցող միանդամների գումարն է (այս դեպքում միանդամների աստիճանը 2 է), իսկ ազատ անդամ չկա։

Միատարր հավասարումը լուծելու համար երկու կողմերն էլ բաժանում ենք

Ուշադրություն. Հավասարման աջ և ձախ կողմերը անհայտ պարունակող արտահայտությամբ բաժանելիս կարող եք կորցնել արմատները: Ուստի անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք այն արտահայտության արմատները, որոնցով մենք բաժանում ենք հավասարման երկու մասերը, բուն հավասարման արմատներն են։

Եկեք գնանք առաջին ճանապարհով: Մենք ստանում ենք հավասարումը.

Այժմ մենք ներկայացնում ենք փոփոխականի փոխարինում.

Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը և ստացե՛ք t-ի երկքառակուսի հավասարում.

Պատասխան.կամ

7 .

Այս հավասարումն ունի հետևյալ կառուցվածքը.

Այն լուծելու համար անհրաժեշտ է ընտրել հավասարման ձախ կողմում գտնվող լրիվ քառակուսին:

Ամբողջական քառակուսի ընտրելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել կամ հանել կրկնակի արտադրյալը: Այնուհետև մենք ստանում ենք գումարի կամ տարբերության քառակուսին: Սա շատ կարևոր է փոփոխականի հաջող փոխարինման համար:

Սկսենք կրկնակի արտադրյալը գտնելուց: Դա կլինի փոփոխականը փոխարինելու բանալին: Մեր հավասարման մեջ կրկնակի արտադրյալն է

Հիմա եկեք պարզենք, թե որն է մեզ համար ավելի հարմար՝ գումարի քառակուսի՞ն, թե՞ տարբերության: Դիտարկենք, սկզբի համար, արտահայտությունների գումարը.

Լավ! այս արտահայտությունը ճիշտ հավասար է արտադրյալի կրկնակի: Այնուհետև փակագծերում գումարի քառակուսին ստանալու համար անհրաժեշտ է գումարել և հանել կրկնակի արտադրյալը.

Ինքնին կոտորակների հետ հավասարումները բարդ և շատ հետաքրքիր չեն: Հաշվի առեք տեսակները կոտորակային հավասարումներև դրանց լուծման ուղիները:

Ինչպես լուծել հավասարումները կոտորակներով - x համարիչով

Եթե ​​տրված է կոտորակային հավասարում, որտեղ անհայտը գտնվում է համարիչում, լուծումը չի պահանջում լրացուցիչ պայմաններ և լուծվում է առանց լրացուցիչ քաշքշուկ. Ընդհանուր ձևՆման հավասարումը x/a + b = c է, որտեղ x-ը անհայտ է, a, b և c-ն սովորական թվեր են:

Գտեք x՝ x/5 + 10 = 70:

Հավասարումը լուծելու համար պետք է ազատվել կոտորակներից։ Հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք 5-ով՝ 5x/5 + 5x10 = 70x5: 5x-ը և 5-ը կրճատվում են, 10-ը և 70-ը բազմապատկվում են 5-ով և ստանում ենք՝ x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300:

Գտեք x՝ x/5 + x/10 = 90:

Այս օրինակը առաջինի մի փոքր ավելի բարդ տարբերակն է: Այստեղ երկու լուծում կա.

• Տարբերակ 1. Ազատվել կոտորակներից՝ հավասարման բոլոր անդամները բազմապատկելով ավելի մեծ հայտարարով, այսինքն՝ 10-ով՝ 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300։
• Տարբերակ 2. Ավելացնել հավասարման ձախ կողմը: x/5 + x/10 = 90. Ընդհանուր հայտարարը 10 է, 10-ը բաժանեք 5-ի, բազմապատկեք x-ով, ստանում ենք 2x: 10-ը բաժանելով 10-ի, բազմապատկելով x-ով, ստանում ենք x՝ 2x+x/10 = 90: Այսպիսով, 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300:

Հաճախ կան կոտորակային հավասարումներ, որոնցում x-երը գտնվում են հավասար նշանի հակառակ կողմերում: Նման իրավիճակում անհրաժեշտ է բոլոր կոտորակները x-ով տեղափոխել մի ուղղությամբ, իսկ թվերը՝ մեկ այլ ուղղությամբ։

• Գտեք x՝ 3x/5 = 130 - 2x/5:
• Տեղափոխեք 2x/5 դեպի աջ հակառակ նշանով՝ 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130:
• Կրճատում ենք 5x/5 և ստանում՝ x = 130։

Ինչպես լուծել հավասարումը կոտորակներով - x հայտարարի մեջ

Այս տեսակի կոտորակային հավասարումները պահանջում են լրացուցիչ պայմաններ գրել: Այս պայմանների նշումը պարտադիր և անբաժանելի մասն է ճիշտ որոշում. Չվերագրելով դրանք, դուք ռիսկի եք դիմում, քանի որ պատասխանը (նույնիսկ եթե այն ճիշտ է) կարող է պարզապես չհաշվվել:

Կոտորակային հավասարումների ընդհանուր ձևը, որտեղ x-ը հայտարարի մեջ է, հետևյալն է՝ a/x + b = c, որտեղ x-ը անհայտ է, a, b, c-ն սովորական թվեր են: Նկատի ունեցեք, որ x-ը չի կարող որևէ թիվ լինել: Օրինակ, x-ը չի կարող լինել զրո, քանի որ դուք չեք կարող բաժանել 0-ի: Սա այն է, ինչ կա լրացուցիչ պայման, որը պետք է ճշտենք։ Սա կոչվում է ընդունելի արժեքների միջակայք, կրճատ՝ ODZ:

Գտեք x՝ 15/x + 18 = 21:

Մենք անմիջապես գրում ենք ODZ x-ի համար՝ x ≠ 0: Այժմ, երբ նշված է ODZ-ը, մենք լուծում ենք հավասարումը օգտագործելով. ստանդարտ սխեմակոտորակներից ազատվելը. Մենք հավասարման բոլոր անդամները բազմապատկում ենք x-ով: 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5:

Հաճախ կան հավասարումներ, որտեղ հայտարարը պարունակում է ոչ միայն x, այլ նաև դրա հետ կապված որևէ այլ գործողություն, օրինակ՝ գումարում կամ հանում:

Գտեք x՝ 15/(x-3) + 18 = 21:

Մենք արդեն գիտենք, որ հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի, ինչը նշանակում է x-3 ≠ 0: Մենք -3-ը տեղափոխում ենք աջ կողմ, իսկ «-» նշանը փոխելով «+»-ի և ստանում ենք, որ x ≠ 3: ODZ-ը նշված է.

Լուծեք հավասարումը, ամեն ինչ բազմապատկեք x-3-ով` 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63:

X-երը տեղափոխե՛ք աջ, թվերը՝ ձախ՝ 24 = 3x => x = 8։