Elméleti mechanika előadások 2 tantárgy. Alapvető mechanika a bábukhoz

Bármely tanterv részeként a fizika tanulmányozása a mechanikával kezdődik. Nem az elméleti, nem az alkalmazott és nem a számítási, hanem a jó öreg klasszikus mechanikából. Ezt a mechanikát newtoni mechanikának is nevezik. A legenda szerint egy tudós sétált a kertben, látta, hogy egy alma leesik, és ez a jelenség késztette arra, hogy felfedezze a törvényt. gravitáció. Természetesen a törvény mindig is létezett, és Newton csak az emberek számára érthető formát adott neki, de érdeme felbecsülhetetlen. Ebben a cikkben nem írjuk le a newtoni mechanika törvényeit a lehető legrészletesebben, de felvázoljuk azokat az alapokat, alapvető ismereteket, definíciókat és képleteket, amelyek mindig a kezedre játszhatnak.

A mechanika a fizika egyik ága, az anyagi testek mozgását és a köztük lévő kölcsönhatásokat vizsgáló tudomány.

Maga a szó is rendelkezik görög eredetűés fordítása "a gépek építésének művészete". De a gépek építése előtt még hosszú út áll előttünk, úgyhogy kövessük őseink nyomdokait, és tanulmányozzuk a horizonttal ferdén dobott kövek, h magasságból fejre hulló almák mozgását.

Miért kezdődik a fizika tanulmányozása a mechanikával? Mert az teljesen természetes, hogy nem a termodinamikai egyensúlyból indul ki?!

A mechanika az egyik legrégebbi tudomány, és történelmileg a fizika tanulmányozása pontosan a mechanika alapjaival kezdődött. Az idő és a tér keretei közé helyezve az emberek valójában nem tudtak másból kiindulni, bármennyire is akartak. A mozgó testek az első, amire figyelünk.

Mi a mozgás?

A mechanikai mozgás a testek térbeli helyzetének időbeli változása egymáshoz képest.

E meghatározás után egészen természetes módon jutunk el a vonatkoztatási rendszer fogalmához. A testek egymáshoz viszonyított helyzetének megváltoztatása a térben. Kulcsszavak itt: egymáshoz képest . Hiszen az autó utasa az út szélén álló személyhez képest egy bizonyos sebességgel mozog, és a szomszédjához képest egy közeli ülésen pihen, és más sebességgel mozog egy autó utasához képest, megelőzi őket.

Éppen ezért, hogy normálisan mérjük a mozgó objektumok paramétereit és ne tévedjünk össze, szükségünk van vonatkoztatási rendszer - mereven összekapcsolt referenciatest, koordinátarendszer és óra. Például a Föld egy heliocentrikus vonatkoztatási rendszerben kering a Nap körül. A mindennapi életben szinte minden mérésünket a Földhöz kapcsolódó geocentrikus vonatkoztatási rendszerben végezzük. A Föld egy referenciatest, amelyhez képest autók, repülők, emberek, állatok mozognak.

A mechanikának, mint tudománynak megvan a maga feladata. A mechanika feladata, hogy bármikor ismerje a test helyzetét a térben. Más szóval, a mechanika matematikai leírást készít a mozgásról, és összefüggéseket talál közöttük fizikai mennyiségek jellemzi azt.

A továbblépéshez szükségünk van a „ anyagi pont ". Azt mondják, hogy a fizika egzakt tudomány, de a fizikusok tudják, hány közelítést és feltevést kell tenni ahhoz, hogy megegyezzenek ebben a pontosságban. Soha senki nem látott anyagi pontot és nem szippantott ideális gázt, de léteznek! Csak sokkal könnyebb velük együtt élni.

Az anyagi pont olyan test, amelynek mérete és alakja elhanyagolható a probléma összefüggésében.

A klasszikus mechanika szakaszai

A mechanika több részből áll

Kinematika
Dinamika
Statika

Kinematika fizikai szempontból pontosan azt vizsgálja, hogyan mozog a test. Más szóval, ez a rész a mozgás mennyiségi jellemzőivel foglalkozik. Sebesség, út keresése - a kinematika jellemző feladatai

Dinamika megoldja a kérdést, hogy miért mozog úgy, ahogy. Vagyis figyelembe veszi a testre ható erőket.

Statika a testek egyensúlyát vizsgálja erők hatására, vagyis választ ad arra a kérdésre: miért nem esik le egyáltalán?

A klasszikus mechanika alkalmazhatóságának korlátai.

A klasszikus mechanika ma már nem állítja magát olyan tudománynak, amely mindent megmagyaráz (a múlt század elején minden egészen más volt), és egyértelmű az alkalmazhatósága. Általánosságban elmondható, hogy a klasszikus mechanika törvényei érvényesek a méretben számunkra ismert világra (makrovilág). A részecskék világa esetében leállnak, amikor a klasszikust felváltja kvantummechanika. Ezenkívül a klasszikus mechanika nem alkalmazható olyan esetekben, amikor a testek mozgása a fénysebességhez közeli sebességgel történik. Ilyen esetekben relativisztikus hatások jelentkeznek. Nagyjából a kvantum- és relativisztikus mechanika – a klasszikus mechanika – keretein belül ez különleges eset amikor a test méretei nagyok és a sebesség kicsi. Cikkünkből többet megtudhat róla.

Általánosságban elmondható, hogy a kvantum és a relativisztikus hatások soha nem tűnnek el, a makroszkopikus testek szokásos, a fénysebességnél jóval kisebb sebességű mozgása során is fellépnek. A másik dolog az, hogy ezeknek a hatásoknak a hatása olyan kicsi, hogy nem haladja meg a legtöbbet pontos mérések. A klasszikus mechanika így soha nem veszíti el alapvető fontosságát.

A jövőbeni cikkeinkben folytatjuk a mechanika fizikai alapjainak tanulmányozását. A mechanika jobb megértéséhez mindig forduljon hozzá, amely egyenként világít rá sötét folt a legnehezebb feladat.

1 csúszda

Előadások az elméleti mechanikáról Dinamika (I rész) Bondarenko A.N. Moszkva - 2007 Az elektronikus képzési kurzus a szerző előadásai alapján készült a NIIZhT és a MIIT SZhD, PGS és SDM szakán tanuló hallgatók számára (1974-2006). Oktatási anyag a naptári terveknek felel meg három félév összegében. Az animációs effektusok teljes körű megvalósításához a prezentáció során a beépített Microsoft Office-nál nem alacsonyabb Power Point megjelenítőt kell használnia operációs rendszer Windows XP Professional. Észrevételeiket, javaslataikat e-mailben küldhetik el: [e-mail védett]. Moszkva Állami Egyetem Vasút (MIIT) Elméleti Mechanikai Tanszék Közlekedéstechnológiai Tudományos és Műszaki Központ

2 csúszda

Tartalom 1. előadás. Bevezetés a dinamikába. Az anyagi pontdinamika törvényei és axiómái. A dinamika alapegyenlete. Differenciál- és természetes mozgásegyenletek. A dinamika két fő feladata. Példák a dinamika közvetlen problémájának megoldására 2. előadás A dinamika inverz problémájának megoldása. Általános utasítások a dinamika inverz problémájának megoldásához. Példák a dinamika inverz problémájának megoldására. A horizonthoz képest szögben elvetett test mozgása a légellenállás figyelembe vétele nélkül. 3. előadás Anyagi pont egyenes irányú oszcillációi. Az oszcillációk előfordulásának feltétele. A rezgések osztályozása. Szabad rezgések az ellenállási erők figyelembevétele nélkül. csillapított rezgések. Az oszcilláció csökkenése. 4. előadás Anyagi pont kényszerrezgései. Rezonancia. A mozgással szembeni ellenállás hatása kényszerrezgések során. 5. előadás Anyagi pont relatív mozgása. Tehetetlenségi erők. Különleges mozgási esetek különböző típusú hordozható mozgásokhoz. A Föld forgásának hatása a testek egyensúlyára és mozgására. 6. előadás Mechanikai rendszer dinamikája. mechanikus rendszer. Külső és belső erők. A rendszer tömegközéppontja. Tétel a tömegközéppont mozgásáról. Természetvédelmi törvények. Példa a tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel alkalmazásának problémájának megoldására. 7. előadás. Erőimpulzus. A mozgás mennyisége. Tétel a lendület változásáról. Természetvédelmi törvények. Euler-tétel. Példa a feladat megoldására az impulzusváltozásra vonatkozó tétel felhasználásáról. lendület pillanata. A szögimpulzus megváltoztatásának tétele 8. előadás Megmaradási törvények. A tehetetlenségi nyomatékok elméletének elemei. Merev test kinetikus momentuma. Merev test forgási differenciálegyenlete. Példa a rendszer impulzusimpulzusának megváltoztatására vonatkozó tétel alkalmazásának problémájának megoldására. A giroszkóp elemi elmélete. Ajánlott irodalom 1. Yablonsky A.A. Elméleti mechanika tanfolyam. 2. rész. M.: elvégezni az iskolát. 1977. 368 p. 2. Mescserszkij I.V. Feladatgyűjtemény az elméleti mechanikában. M.: Tudomány. 1986 416 p. 3. Feladatok gyűjtése a szakdolgozatok/ Szerk. A.A. Yablonsky. M.: Felsőiskola. 1985. 366 p. 4. Bondarenko A.N. " Elméleti mechanika példákban és feladatokban. Dynamics” (elektronikus kézikönyv www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 csúszda

Az 1. előadás Dinamika az elméleti mechanika egy része, amely a mechanikai mozgást a legáltalánosabb szemszögből vizsgálja. A mozgást a tárgyra ható erőkkel összefüggésben tekintjük. A rész három részből áll: Anyagi pont dinamikája Mechanikai rendszer dinamikája Analitikai mechanika ■ Pont dinamikája - egy anyagi pont mozgását vizsgálja, figyelembe véve az ezt a mozgást okozó erőket. A fő tárgy egy anyagi pont - egy tömegű anyagi test, amelynek méretei elhanyagolhatók. Alapfeltevés: - van abszolút tér (pusztán geometriai tulajdonságai vannak, amelyek nem függnek az anyagtól és mozgásától. - van abszolút idő (nem függ az anyagtól és mozgásától). Ebből következik: - van abszolút mozdulatlan vonatkoztatási rendszer. - az idő nem függ a vonatkoztatási rendszer mozgásától. - a mozgó pontok tömege nem függ a vonatkoztatási rendszer mozgásától. Ezeket a feltevéseket a Galileo és Newton által alkotott klasszikus mechanika használja Még mindig meglehetősen széles a hatóköre, mivel az alkalmazott tudományokban vizsgált mechanikai rendszerek nem rendelkeznek olyan nagy tömegekkel és mozgási sebességekkel, amelyekhez figyelembe kell venni a tér, idő, mozgás geometriájára gyakorolt hatásukat, mint pl. a relativisztikus mechanikában (a relativitáselméletben) történik. ■ A dinamika alapvető törvényei – amelyeket először Galileo fedezett fel és Newton fogalmazott meg – képezik az alapját a mechanikai rendszerek mozgásának és dinamikus kölcsönhatásainak leírására és elemzésére szolgáló összes módszernek. cselekvés különböző erők hatása alatt. ■ Tehetetlenségi törvény (Galileo-Newton törvény) – Egy test izolált anyagi pontja mindaddig megtartja nyugalmi állapotát vagy egyenletes egyenes vonalú mozgását, amíg az alkalmazott erők ezt az állapot megváltoztatására nem kényszerítik. Ez magában foglalja a nyugalmi állapot és a mozgás tehetetlenségi ekvivalenciáját (Galilei relativitás törvénye). Azt a vonatkoztatási rendszert, amelyre vonatkozóan a tehetetlenségi törvény teljesül, inerciálisnak nevezzük. Egy anyagi pontnak azt a tulajdonságát, hogy törekedjen mozgásának sebességének (kinematikai állapotának) változatlanságára, tehetetlenségnek nevezzük. ■ Az erő és a gyorsulás arányosságának törvénye (Dinamika alapegyenlete - Newton II. törvénye) - Egy anyagi pontra erővel adott gyorsulás egyenesen arányos az erővel és fordítottan arányos ennek a pontnak a tömegével: vagy Itt m a a pont tömege (a tehetetlenség mértéke), kg-ban mérve, számszerűen egyenlő tömeggel osztva a gyorsulással szabadesés: F a ható erő, N-ben mérve (1 N 1 kg tömegű pontot ad, 1 m / s2 gyorsulással, 1 N \u003d 1 / 9,81 kg-s). ■ Mechanikai rendszer dinamikája - anyagi pontok és szilárd testek halmazának mozgását vizsgálja, amelyeket a kölcsönhatás általános törvényei egyesítenek, figyelembe véve a mozgást okozó erőket. ■ Analitikai mechanika – nem szabad mechanikai rendszerek mozgását vizsgálja általános analitikai módszerekkel. egy

4 csúszda

1. előadás (folytatás - 1.2) Anyagi pont mozgási differenciálegyenlete: - pont mozgásának differenciálegyenlete vektor alakban. - pont mozgásának differenciálegyenlete koordináta forma. Ezt az eredményt az (1) vektor-differenciálegyenlet formális vetületével kaphatjuk meg. A csoportosítás után a vektorrelációt három skaláris egyenletre bontjuk: Koordináta formában: A sugár-vektor koordinátákkal, az erővektor kapcsolatát vetületekkel használjuk: mozgás differenciálegyenlete természetes (mozgó) koordináta tengelyeken: vagy: - pont természetes mozgásegyenletei. ■ A dinamika alapegyenlete: - egy pont mozgásának vektoros módjának felel meg. ■ Az erők hatásának függetlenségének törvénye - Egy anyagi pont gyorsulása több erő hatására megegyezik egy pont gyorsulásának geometriai összegével, amely az egyes erők hatásából származik külön-külön: vagy A törvény érvényes testek bármely kinematikai állapotára. A különböző pontokra (testekre) ható kölcsönhatási erők nincsenek kiegyensúlyozva. ■ A cselekvés és a reakció egyenlőségének törvénye (Newton III. törvénye) – Minden cselekvés egyenlő és ellentétes irányú reakciónak felel meg: 2

5 csúszda

A dinamika két fő problémája: 1. Közvetlen probléma: A mozgás adott (mozgásegyenletek, pálya). Meg kell határozni azokat az erőket, amelyek hatására egy adott mozgás bekövetkezik. 2. Inverz probléma: Adottak azok az erők, amelyek hatására a mozgás létrejön. Meg kell találni a mozgási paramétereket (mozgásegyenletek, mozgási pálya). Mindkét feladat megoldása a dinamika alapegyenletével és annak a koordinátatengelyekre való vetítésével történik. Ha egy nem szabad pont mozgását vesszük figyelembe, akkor a statikához hasonlóan a kötésektől való felszabadulás elvét alkalmazzuk. A reakció eredményeként a kötések bekerülnek az anyagi pontra ható erők összetételébe. Az első probléma megoldása a differenciálási műveletekhez kapcsolódik. Az inverz probléma megoldásához a megfelelő differenciálegyenletek integrálása szükséges, és ez sokkal nehezebb, mint a differenciálás. Az inverz probléma nehezebb, mint a közvetlen probléma. A dinamika közvetlen problémájának megoldása - nézzünk példákat: Példa 1. Egy felvonó G súlyú kabinját a gyorsulású kábel emeli meg. Határozza meg a kábel feszességét. 1. Válasszon ki egy tárgyat (a liftfülke előrehalad, és anyagi pontnak tekinthető). 2. Eldobjuk a csatlakozást (kábelt) és helyettesítjük az R reakcióval. 3. Állítsa össze a dinamika alapegyenletét: Határozza meg a kábel reakcióját: Határozza meg a kábelfeszességet: A fülke egyenletes mozgásával ay = 0 és a a kábel feszültsége egyenlő a súllyal: T = G. Amikor a kábel elszakad, T = 0 és a fülke gyorsulása megegyezik a szabadesés gyorsulásával: ay = -g. 3 4. Az y tengelyre vetítjük a dinamika alapegyenletét: y 2. példa Egy m tömegű pont egy vízszintes felületen (az Oxy-síkon) mozog a következő egyenletek szerint: x = a coskt, y = b coskt. Határozza meg a pontra ható erőt! 1. Válasszon ki egy objektumot (anyagpont). 2. Eldobjuk az összefüggést (síkot) és helyettesítjük az N reakcióval. 3. Adjunk hozzá egy ismeretlen F erőt az erőrendszerhez 4. Állítsuk össze a dinamika alapegyenletét: 5. Vetítsük rá a dinamika alapegyenletét tengelyek x,y: Határozza meg az erővetületeket: Erőmodulus: Iránykoszinusz: Így az erő nagysága arányos a pontnak a koordináták középpontjától való távolságával, és a pontot a középponttal összekötő egyenes mentén a középpont felé irányul. A pont mozgásának pályája egy ellipszis, amelynek középpontja az origóban van: O r 1. előadás (folytatás - 1.3)

6 csúszda

1. előadás (1.4 folytatás) 3. példa: Egy l hosszúságú kábelre egy G súlyú terhet függesztünk fel, és egy vízszintes síkban meghatározott sebességgel körpályán mozog. A kábel függőlegestől való eltérési szöge egyenlő. Határozza meg a kábel feszességét és a terhelés sebességét. 1. Válasszon ki egy tárgyat (rakományt). 2. Dobja ki a csatlakozást (kötelet) és cserélje ki az R reakcióval. 3. Állítsa össze a dinamika fő egyenletét: A harmadik egyenletből határozza meg a kábel reakcióját: Határozza meg a kábel feszültségét: Helyettesítse be a reakció értékét a kábel normál gyorsulása a második egyenletbe, és meghatározza a terhelés sebességét: 4. Vetítse ki a fő egyenletet tengelydinamika,n,b: 4. példa: G súlyú autó egy konvex hídon mozog (görbületi sugár R). ) V sebességgel. Határozza meg az autó nyomását a hídon. 1. Kijelölünk egy tárgyat (autó, a méreteket elhanyagoljuk és pontnak tekintjük). 2. Eldobjuk a csatlakozást (durva felület), és helyettesítjük az N reakciókkal és az Ffr súrlódási erővel. 3. Összeállítjuk a dinamika alapegyenletét: 4. A dinamika alapegyenletét az n tengelyre vetítjük: Innen határozzuk meg a normál reakciót: Meghatározzuk az autó nyomását a hídon: Innen tudjuk meghatározni a sebességet a hídon lévő nulla nyomásnak megfelelő (Q = 0): 4

7 csúszda

2. előadás Az állandók talált értékeinek behelyettesítése után a következőket kapjuk: Tehát ugyanazon erőrendszer hatására egy anyagi pont a kezdeti feltételek által meghatározott mozgások egész osztályát képes végrehajtani. A kezdeti koordináták figyelembe veszik a pont kezdeti helyzetét. A vetületek által adott kezdősebesség figyelembe veszi a pálya figyelembe vett szakaszán való mozgására gyakorolt hatását azoknak az erőknek, amelyek a pontra hatnak, mielőtt erre a szakaszra érkeztek volna, pl. kezdeti kinematikai állapot. A dinamika inverz problémájának megoldása - Egy pont mozgásának általános esetben a pontra ható erők időtől, koordinátáktól és sebességtől függő változók. Egy pont mozgását három másodrendű differenciálegyenletből álló rendszer írja le: Mindegyik integrálása után hat konstans lesz C1, C2,…., C6: A C1, C2,… állandók értékei. ., C6 hat kezdeti feltételből található t = 0-nál: A megoldási inverz probléma 1. példája: Egy m tömegű szabad anyagpont elmozdul egy F erő hatására, amelynek nagysága és nagysága állandó. . A kezdeti pillanatban a pont sebessége v0 volt, és iránya egybeesett az erővel. Határozzuk meg egy pont mozgásegyenletét! 1. Összeállítjuk a dinamika alapegyenletét: 3. Csökkentjük a derivált sorrendjét: 2. A derékszögű vonatkoztatási rendszert választjuk, az x tengelyt az erő iránya mentén irányítva, és erre a tengelyre vetítjük a dinamika főegyenletét: vagy x y z 4. Válasszuk szét a változókat: 5. Számítsuk ki az integrálokat az egyenlet mindkét részéből: 6. Ábrázoljuk a sebességvetületet a koordináta időbeli deriváltjaként: 8. Számítsuk ki az egyenlet mindkét részének integrálját: 7. Válasszuk el a változók: 9. A C1 és C2 állandók értékének meghatározásához a kezdeti feltételeket használjuk: t = 0, vx = v0 , x = x0: Eredményként kapjuk az egyenletet egyenletes mozgás(x tengely): 5

8 csúszda

Általános utasítások direkt és inverz problémák megoldásához. Megoldási eljárás: 1. A mozgási differenciálegyenlet összeállítása: 1.1. Válasszon egy koordinátarendszert - téglalap alakú (rögzített) ismeretlen mozgási pályával, természetes (mozgó) ismert pályával, például kör vagy egyenes. Ez utóbbi esetben egy egyenes koordináta használható. A referenciapontot kombinálni kell a pont kezdeti helyzetével (t = 0-nál) vagy a pont egyensúlyi helyzetével, ha létezik, például amikor a pont ingadozik. 6 1.2. Rajzoljunk egy pontot egy tetszőleges időpillanatnak megfelelő pozícióba (t > 0 esetén), hogy a koordináták pozitívak legyenek (s > 0, x > 0). Azt is feltételezzük, hogy ebben a helyzetben a sebesség vetülete is pozitív. Lengések esetén a sebességvetítés előjelet vált, például az egyensúlyi helyzetbe való visszatéréskor. Itt azt kell feltételezni, hogy a vizsgált időpillanatban a pont eltávolodik az egyensúlyi helyzettől. Ennek az ajánlásnak a végrehajtása fontos a jövőben, amikor a sebességtől függő ellenállási erőkkel dolgozunk. 1.3. Oldja fel az anyagi pontot a kötésekből, cserélje ki hatásukat reakciókra, adjon hozzá aktív erőket. 1.4. Írja le a dinamika alaptörvényét vektoros formában, vetítse ki a kiválasztott tengelyekre, fejezze ki adott vagy reaktív erőket időben, koordinátákkal vagy sebességváltozókkal, ha ezektől függ. 2. Differenciálegyenletek megoldása: 2.1. Csökkentse a derivált, ha az egyenlet nem redukálódik kanonikus (standard) alakra. például: vagy 2.2. Külön változók, például: vagy 2.4. Számítsa ki az egyenlet bal és jobb oldalán lévő határozatlan integrálokat, például: 2.3. Ha három változó van az egyenletben, akkor módosítsa a változókat, például: majd válassza szét a változókat. Megjegyzés. A határozatlan integrálok kiértékelése helyett kiértékelhetünk változó felső határú határozott integrálokat is. Az alsó határok a változók kezdeti értékeit jelentik (kezdeti feltételek), ekkor nem kell külön keresni az állandót, ami automatikusan bekerül a megoldásba, pl.: A kezdeti feltételekkel pl. t = 0 , vx = vx0, határozza meg az integráció állandóját: 2.5. Adja meg a sebességet például a koordináta időbeli deriváltjával, és ismételje meg a 2.2 -2.4 lépéseket Megjegyzés. Ha az egyenletet kanonikus formára redukáljuk, aminek megvan átlagos megoldás, vagyis kulcsrakész megoldásés használják. Az integráció állandói továbbra is megtalálhatók a kezdeti feltételekből. Lásd például az oszcillációkat (4. előadás, 8. o.). 2. előadás (2.2 folytatás)

9 csúszda

2. előadás (2.3 folytatás) 2. példa az inverz probléma megoldására: Az erő az időtől függ. A P súlyú teher egy sima vízszintes felület mentén mozogni kezd egy F erő hatására, amelynek nagysága arányos az idővel (F = kt). Határozza meg a rakomány által megtett távolságot t időben! 3. Állítsa össze a dinamika alapegyenletét: 5. Csökkentse a derivált sorrendjét: 4. Vetítse ki a dinamika alapegyenletét az x tengelyre: vagy 7 6. Válassza szét a változókat: 7. Számítsa ki a két rész integrálját. egyenlet: 9. Ábrázolja a sebesség vetületét a koordináta időbeli deriváltjaként: 10. Számítsa ki az egyenlet mindkét részének integrálját: 9. Válasszuk szét a változókat: 8. Határozzuk meg a C1 konstans értékét a kezdeti feltétel t = 0, vx = v0=0: Ennek eredményeként megkapjuk a mozgásegyenletet (x tengely mentén), amely megadja a megtett út értékét t időre: 1. Választjuk a vonatkoztatási rendszert (derékszögű). koordináták) úgy, hogy a testnek pozitív koordinátája legyen: 2. A mozgás tárgyát anyagi pontnak vesszük (a test előrehalad), kiszabadítjuk a kapcsolatból (referenciasík), és helyettesítjük a reakcióval (egy normális reakciója). sima felület) : 11. Határozza meg a C2 állandó értékét a t = 0, x = x0=0 kezdeti feltételből: 3. példa az inverz feladat megoldására: Az erő a koordinátától függ. Egy m tömegű anyagpont v0 sebességgel felfelé lendül a Föld felszínéről. A Föld gravitációs ereje fordítottan arányos a pont és a gravitációs középpont (a Föld középpontja) közötti távolság négyzetével. Határozza meg a sebesség függését a Föld középpontjától mért y távolságtól! 1. A vonatkoztatási rendszert (derékszögű koordinátákat) úgy választjuk meg, hogy a test pozitív koordinátájú legyen: 2. Összeállítjuk a dinamika alapegyenletét: 3. A dinamika alapegyenletét az y tengelyre vetítjük: vagy Az arányossági együttható Megtalálható a Föld felszínén lévő pont súlyával: R Ebből az egyenlet differenciálműve így néz ki: vagy 4. Csökkentse a derivált sorrendjét: 5. Változtassuk meg a változót: 6. Válasszuk szét a változókat: 7. Számítsuk ki a az egyenlet mindkét oldalának integráljai: 8. Helyettesítsük be a határértékeket: Ennek eredményeként az y koordináta függvényében kapunk egy kifejezést a sebességre: A maximális repülési magasságot a sebesség nullával való egyenlővé tételével kapjuk meg: A maximális repülési magasság amikor a nevező nullára fordul: Innen a Föld sugarának és a szabadesés gyorsulásának beállításakor a II. kozmikus sebességet kapjuk:

10 csúszda

2. előadás (2.4 folytatás) 2. példa az inverz probléma megoldására: Az erő sebességtől függ. Egy m tömegű hajó sebessége v0 volt. A víz ellenállása a hajó mozgásával arányos a sebességgel. Határozza meg, hogy mennyi idő szükséges ahhoz, hogy a hajó sebessége felére csökkenjen a motor leállítása után, valamint azt a távolságot, amelyet a hajó megtett a teljes megállásig. 8 1. Referenciarendszert (derékszögű koordinátákat) választunk, hogy a testnek pozitív koordinátája legyen: 2. A mozgás tárgyát anyagi pontnak vesszük (a hajó előrehalad), megszabadítjuk a kötésektől (víz) és kicseréljük. reakcióval (felhajtóerő - Arkhimédész-erő), valamint a mozgással szembeni ellenállás erejével. 3. Adjunk hozzá aktív erőt (gravitáció). 4. Összeállítjuk a dinamika főegyenletét: 5. A dinamika főegyenletét az x tengelyre vetítjük: vagy 6. Csökkentjük a derivált sorrendjét: 7. Elválasztjuk a változókat: 8. Kiszámoljuk mindkettőből az integrálokat az egyenlet részei: 9. Behelyettesítjük a határértékeket: Olyan kifejezést kapunk, amely a sebességet és a t időt viszonyítja, amelyből meghatározható a mozgás ideje: A mozgás ideje, amely alatt a sebesség a felére csökken: érdekes megjegyezni, hogy amikor a sebesség nullához közelít, a mozgás ideje a végtelenbe hajlik, azaz. a végsebesség nem lehet nulla. Miért nem "örökmozgó"? Ebben az esetben azonban a megállóig megtett távolság véges érték. A megtett távolság meghatározásához a derivált sorrendjének csökkentése után kapott kifejezésre térünk át, és változtatjuk a változót: A határértékek integrálása és behelyettesítése után a következőt kapjuk: Megállóig megtett távolság: ■ Egy pontra dobott pont mozgása. szög a horizonttal egyenletes gravitációs térben a légellenállás figyelembe vétele nélkül A mozgásegyenletekből az időt kiszűrve a pályaegyenletet kapjuk: A repülési időt úgy határozzuk meg, hogy az y koordinátát nullával egyenlővé tesszük: A repülési távolságot a repülési idő:

11 csúszda

3. előadás Anyagi pont egyenes irányú rezgései - Egy anyagi pont rezgőmozgása azzal a feltétellel történik, hogy van egy helyreállító erő, amely a pontot az egyensúlyi helyzetbe igyekszik visszahelyezni az ettől a pozíciótól való bármilyen eltérés esetén. 9 Helyreállító erő van, az egyensúlyi helyzet stabil Nincs helyreállító erő, az egyensúlyi helyzet instabil Nincs helyreállító erő, az egyensúlyi helyzet közömbös Mindig az egyensúlyi helyzet felé irányul, az érték egyenesen arányos a rugó lineáris nyúlásával (rövidülésével), egyenlő a test egyensúlyi helyzettől való eltérésével: c a rugó merevségi együtthatója, numerikusan erőben egyenlő, amelynek hatására a rugó eggyel megváltoztatja a hosszát, N/m-ben mérik az SI rendszerben. x y O Anyagi pont rezgésének fajtái: 1. Szabad rezgések (a közeg ellenállásának figyelembevétele nélkül). 2. Szabad oszcillációk a közeg ellenállásának figyelembevételével (csillapított rezgések). 3. Kényszerrezgések. 4. Kényszerrezgések a közeg ellenállásának figyelembevételével. ■ Szabad oszcillációk – csak egy helyreállító erő hatására lépnek fel. Írjuk fel a dinamika alaptörvényét: Válasszunk egy koordinátarendszert, amelynek középpontja az egyensúlyi helyzet (O pont) és vetítsük az egyenletet az x tengelyre: Hozzuk a kapott egyenletet standard (kanonikus) alakba: Ez az egyenlet egy homogén, másodrendű lineáris differenciálegyenlet, melynek megoldásának formáját az univerzális behelyettesítéssel kapott karakterisztikus egyenlet gyökei határozzák meg: A karakterisztikus egyenlet gyökei képzetesek és egyenlők: Közös döntés a differenciálegyenlet alakja: Pontsebesség: Kiindulási feltételek: Állandók meghatározása: Tehát az egyenlet szabad rezgések alakja: Az egyenlet egytagú kifejezéssel ábrázolható: ahol a az amplitúdó, a kezdeti fázis. Az új a és - állandók a C1 és C2 állandókhoz kapcsolódnak a következő összefüggésekkel: Határozzuk meg a és: A szabad rezgések előfordulásának oka az x0 kezdeti elmozdulás és/vagy a v0 kezdősebesség.

12 csúszda

10 3. előadás (3.2 folytatás) Anyagi pont csillapított oszcillációi - Egy anyagi pont lengőmozgása helyreállító erő és mozgást ellenálló erő jelenlétében történik. A mozgással szembeni ellenállás erejének az elmozdulástól vagy sebességtől való függését a mozgást akadályozó közeg vagy kapcsolat fizikai természete határozza meg. A legegyszerűbb függés a sebességtől való lineáris függés (viszkózus ellenállás): - viszkozitási együttható x y O A dinamika alapegyenlete: A dinamika egyenletének vetítése a tengelyre: alapforma: ahol A karakterisztikus egyenletnek gyökei vannak: Ennek a differenciálegyenletnek az általános megoldása a gyökök értékétől függően eltérő formát mutat: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - nagy viszkózus ellenállás esete: - valódi gyökerek, különböző. vagy - ezek a függvények periodikusak: 3. n = k: - a gyökök valósak, többszörösek. ezek a funkciók is periodikusak:

13 csúszda

3. előadás (3.3. folytatás) A szabad rezgések megoldásainak osztályozása. Rugós csatlakozások. egyenértékű keménység. y y 11 Diff. Egyenlet karakter. Egyenlet Gyökök char. egyenlet Differenciálegyenlet megoldása Grafikon nk n=k

14 csúszda

4. előadás Anyagi pont kényszerrezgései - A helyreállító erővel együtt egy periodikusan változó erő hat, ezt perturbáló erőnek nevezzük. A zavaró erőnek más természete lehet. Például egy adott esetben egy forgó rotor m1 kiegyensúlyozatlan tömegének tehetetlenségi hatása harmonikusan változó erővetületeket okoz: A dinamika főegyenlete: A dinamika egyenletének vetülete a tengelyre: Vigyük fel az egyenletet a szabványba. forma: 12 Ennek az inhomogén differenciálegyenletnek a megoldása két részből áll: x = x1 + x2: x1 a megfelelő homogén egyenlet általános megoldása, x2 pedig az inhomogén egyenlet konkrét megoldása: Kiválasztjuk az adott megoldást a következő formában: a jobb oldal: A kapott egyenlőségnek minden t-re teljesülnie kell. Ekkor: vagy Így a helyreállító és a zavaró erők egyidejű hatására az anyagi pont komplexet hajt végre oszcilláló mozgás, ami a szabad (x1) és a kényszerített (x2) rezgések összeadásának (szuperpozíciójának) eredménye. Ha p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием komplett megoldás(!): Így egy sajátos megoldás: Ha p > k (nagyfrekvenciás kényszerrezgés), akkor a rezgések fázisa ellentétes a zavaró erő fázisával:

15 csúszda

4. előadás (4.2. folytatás) 13 Dinamikus együttható - a kényszerrezgések amplitúdójának és a pont statikus eltérésének aránya állandó erő hatására H = const: A kényszerrezgések amplitúdója: A statikus eltérés a egyensúlyi egyenlet: Itt: Innen: Így a p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (kényszerrezgések magas frekvenciája) dinamikus együttható: Rezonancia - akkor jön létre, ha a kényszerrezgések frekvenciája egybeesik a természetes rezgések frekvenciájával (p = k). Ez leggyakrabban a rugalmas felfüggesztésekre szerelt, rosszul kiegyensúlyozott rotorok forgásának elindításakor és leállításakor fordul elő. Az egyenlő frekvenciájú rezgések differenciálegyenlete: Egy adott megoldás a jobb oldal formájában nem vehető fel, mert lineárisan függő megoldást kapunk (lásd az általános megoldást). Általános megoldás: Helyettesítsük be a differenciálegyenletben: Vegyünk egy adott megoldást a formába, és számoljuk ki a deriváltokat: Így a megoldást kapjuk: vagy A rezonancia kényszerrezgéseinek amplitúdója időarányosan korlátlanul növekszik. A mozgással szembeni ellenállás hatása kényszerrezgések során. A differenciálegyenlet viszkózus ellenállás jelenlétében a következőképpen alakul: Az általános megoldást a táblázatból választjuk ki (3. előadás, 11. o.) n és k arányától függően (lásd). Vegyünk egy adott megoldást a formában, és kiszámítjuk a deriváltokat: Helyettesítsük a differenciálegyenletben: Az együtthatók egyenlítésével trigonometrikus függvények egyenletrendszert kapunk: Mindkét egyenletet hatványra emelve és összeadva megkapjuk a kényszerrezgések amplitúdóját: A második egyenletet elosztva az elsővel, megkapjuk a kényszerrezgések fáziseltolódását: Így az egyenlet mozgásának kényszerrezgések esetén, figyelembe véve a mozgással szembeni ellenállást, például n-nél< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 csúszda

5. előadás Anyagi pont relatív mozgása - Tegyük fel, hogy az Oxyz mozgó (nem tehetetlenségi) koordinátarendszer valamilyen törvény szerint mozog az O1x1y1z1 rögzített (inerciális) koordinátarendszerhez képest. Egy anyagi M (x, y, z) pont mozgása az Oxyz mobilrendszerhez képest relatív, az O1x1y1z1 mozdulatlan rendszerhez képest abszolút. Az Oxyz mobil rendszer mozgása az O1x1y1z1 fix rendszerhez képest hordozható mozgás. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Dinamika alapegyenlete: Pont abszolút gyorsulása: Helyettesítsük be egy pont abszolút gyorsulását a dinamika főegyenletébe: Vigyük át a transzlációs és Coriolis-gyorsulású tagokat a jobb oldalra: A Az átvitt kifejezések erődimenziójúak és a megfelelő tehetetlenségi erőknek tekintendők, egyenlők: Ekkor a pont relatív mozgása abszolútnak tekinthető, ha a ható erőkhöz hozzáadjuk a transzlációs és Coriolis tehetetlenségi erőket: A mozgó koordináta-rendszer tengelyei a következők: másfajta transzlációs mozgás: 1. Rögzített tengely körüli forgás: Ha a forgás egyenletes, akkor εe = 0: 2. Translációs görbe mozgás: Ha a mozgás egyenes vonalú, akkor = : Ha a mozgás egyenes és egyenletes, akkor a mozgó rendszer Az inerciális és a relatív mozgás abszolútnak tekinthető: Egyetlen mechanikai jelenség sem képes kimutatni az egyenes vonalat egyenletes mozgás(a klasszikus mechanika relativitáselmélete). A Föld forgásának hatása a testek egyensúlyára - Tegyük fel, hogy a test a Föld felszínén egyensúlyban van egy tetszőleges φ szélességen (párhuzamos). A Föld tengelye körül nyugatról keletre szögsebességgel forog: A Föld sugara körülbelül 6370 km. S R egy nem sima felület teljes reakciója. G - a Föld vonzási ereje a középponthoz. Ф - centrifugális tehetetlenségi erő. Relatív egyensúlyi feltétel: A vonzás és a tehetetlenségi erők eredője a gravitációs erő (súly): A Föld felszínére ható gravitációs erő (súly) nagysága P = mg. A centrifugális tehetetlenségi erő a gravitációs erő kis töredéke: A gravitációs erőnek a vonzási erő irányától való eltérése is kicsi: Így a Föld forgásának hatása a testek egyensúlyára rendkívül kicsi és a gyakorlati számítások során nem veszik figyelembe. Maximális érték a tehetetlenségi erő (φ = 0-nál - az egyenlítőn) csak 0,00343 a gravitáció nagyságának

17 csúszda

5. előadás (5.2 folytatás) 15 A Föld forgásának hatása a testek mozgására a Föld gravitációs mezőjében - Tegyük fel, hogy egy test zuhan a Földre egy bizonyos H magasságból a Föld felszíne felett a φ szélességi fokon. Válasszunk egy mozgó, a Földhöz mereven kapcsolódó vonatkoztatási rendszert, amely az x, y tengelyeket érintőlegesen irányítja a párhuzamosra és a meridiánra: Relatív mozgásegyenlet: Itt a centrifugális tehetetlenségi erő kicsinysége a gravitációs erőhöz képest figyelembe venni. Így a gravitációs erőt a gravitációs erővel azonosítják. Ezen túlmenően feltételezzük, hogy a gravitáció a Föld felszínére merőlegesen irányul az elhajlásának kicsinysége miatt, amint azt fentebb tárgyaltuk. A Coriolis-gyorsulás megegyezik az y tengellyel párhuzamosan nyugatra. A Coriolis tehetetlenségi erő az ellenkező irányba irányul. A relatív mozgás egyenletét a tengelyre vetítjük: Az első egyenlet megoldása adja: Kiindulási feltételek: A harmadik egyenlet megoldása adja: Kiindulási feltételek: A harmadik egyenlet a következő alakot ölti: Kiindulási feltételek: Megoldása adja: A kapott megoldást azt mutatja, hogy a test leeséskor keletre tér el. Számítsuk ki ennek az eltérésnek az értékét például 100 m magasságból zuhanáskor Az esési időt a második egyenlet megoldásából találjuk meg: Így a Föld forgásának befolyása a testek mozgására rendkívül kicsi gyakorlati magasságokra és sebességekre, és nem veszik figyelembe a műszaki számításoknál. A második egyenlet megoldása azt is jelenti, hogy az y tengely mentén van egy sebesség, aminek a megfelelő gyorsulást és a Coriolis tehetetlenségi erőt is elő kell idéznie és előidéznie. Ennek a sebességnek és a vele járó tehetetlenségi erőnek a mozgásváltozásra gyakorolt hatása még kisebb lesz, mint a függőleges sebességhez kapcsolódó figyelembe vett Coriolis tehetetlenségi erő.

18 csúszda

6. előadás Mechanikai rendszer dinamikája. Anyagi pontok rendszere vagy mechanikai rendszer - Anyagi pontok halmaza, vagy azok az anyagi pontok, amelyeket a kölcsönhatás általános törvényei egyesítenek (az egyes pontok vagy testek helyzete vagy mozgása az összes többi helyétől és mozgásától függ) szabad pontok rendszere - amelyek mozgását semmilyen kapcsolat nem korlátozza (például bolygórendszer, amelyben a bolygókat anyagi pontok). Nem szabad pontok rendszere vagy nem szabad mechanikai rendszer - az anyagi pontok vagy testek mozgását korlátozzák a rendszerre támasztott kényszerek (például egy mechanizmus, egy gép stb.). 16 A rendszerre ható erők. Az erők korábban létező osztályozása (aktív és reaktív erők) mellé egy új erőosztályozás kerül bevezetésre: 1. Külső erők (e) - a rendszer pontjaira és testeire ható pontokból vagy testekből, amelyek nem részei ennek. rendszer. 2. Belső erők (i) - a benne foglalt anyagi pontok vagy testek közötti kölcsönhatás erői ezt a rendszert. Ugyanaz az erő lehet külső és belső erő is. Minden attól függ, hogy melyik mechanikai rendszerről van szó. Például: A Nap, a Föld és a Hold rendszerében a köztük lévő összes gravitációs erő belső. A Föld és a Hold rendszerét tekintve a Nap oldaláról fellépő gravitációs erők külsőek: C Z L A hatás és reakció törvénye alapján minden Fk belső erő egy másik Fk' belső erőnek felel meg, amely abszolút értékű és ellentétes irány. Ebből a belső erők két figyelemreméltó tulajdonsága következik: A rendszer összes belső erőjének fő vektora nulla: A rendszer összes belső erőjének tetszőleges középponthoz viszonyított főmomentuma egyenlő nullával: Vagy a koordinátatengelyekre vetítésekben: Megjegyzés. Bár ezek az egyenletek hasonlóak az egyensúlyi egyenletekhez, mégsem azok, mivel belső erőket alkalmaznak különböző pontokat vagy a rendszer testei és ezeknek a pontoknak (testeknek) egymáshoz viszonyított elmozdulását idézhetik elő. Ezekből az egyenletekből következik, hogy a belső erők nem befolyásolják a rendszer egészének mozgását. Az anyagi pontrendszer tömegközéppontja. A rendszer egészének mozgásának leírására bemutatjuk geometriai pont, az úgynevezett tömegközéppont, amelynek sugárvektorát a kifejezés határozza meg, ahol M a teljes rendszer tömege: Vagy a koordináta tengelyekre vetítésekben: A tömegközéppont képletei hasonlóak a középpont képleteihez a gravitáció. A tömegközéppont fogalma azonban általánosabb, mivel nem függ össze a gravitációs erőkkel vagy a gravitációs erőkkel.

19 csúszda

6. előadás (6.2 folytatás) 17 Tétel a rendszer tömegközéppontjának mozgásáról - Tekintsünk egy n anyagi pontból álló rendszert. Az egyes pontokra kifejtett erőket felosztjuk külső és belső erőkre, és helyettesítjük a megfelelő Fke és Fki eredővel. Írjuk fel minden pontra a dinamika alapegyenletét: vagy Adjuk össze ezeket az egyenleteket az összes ponton: Az egyenlet bal oldalán bevezetjük a tömegeket a derivált jele alá, és a deriváltak összegét helyettesítjük a deriválttal. összegének: A tömegközéppont definíciójából: Helyettesítsük be a kapott egyenletbe: kapjuk vagy: A rendszer tömegének és középponti tömegének gyorsulásának szorzata egyenlő a külső erők fővektorával. A koordinátatengelyekre vetítéseknél: A rendszer tömegközéppontja az egész rendszer tömegével megegyező tömegű anyagi pontként mozog, amelyre a rendszerre ható összes külső erő hat. Következmények a rendszer tömegközéppontjának mozgására vonatkozó tételből (megmaradási törvények): 1. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek fővektora nulla, Re = 0, akkor a középpont sebessége a tömeg állandó, vC = const (a tömegközéppont egyenletesen egyenesen mozog - a mozgás tömegközéppont megmaradásának törvénye). 2. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek fővektorának x tengelyre vetülete nulla, Rxe = 0, akkor a tömegközéppont sebessége az x tengely mentén állandó, vCx = const (a tömegközéppont egyenletesen mozog a tengely mentén). Hasonló állítások igazak az y és z tengelyekre. Példa: Két m1 és m2 tömegű ember van egy m3 tömegű csónakban. A kezdeti pillanatban a hajó az emberekkel nyugalomban volt. Határozza meg a csónak elmozdulását, ha egy m2 tömegű személy a csónak orrába mozdult a távolságra. 3. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek fővektora nulla, Re = 0, és a kezdeti pillanatban a tömegközéppont sebessége nulla, vC = 0, akkor a rendszer sugárvektora a tömegközéppont állandó marad, rC = const (a tömegközéppont nyugalomban van a tömegközéppont helyzetének megmaradásának törvénye). 4. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek fővektorának x tengelyre vetülete nulla, akkor Rxe = 0, és a kezdeti pillanatban a tömegközéppont sebessége e tengely mentén nulla. , vCx = 0, akkor a tömegközéppont x tengely menti koordinátája állandó marad, xC = const (a tömegközéppont ezen tengely mentén nem mozog). Hasonló állítások igazak az y és z tengelyekre. 1. A mozgás tárgya (csónak emberekkel): 2. Eldobjuk a kapcsolatokat (víz): 3. A kapcsolatot egy reakcióval helyettesítjük: 4. Összeadjuk az aktív erőket: 5. Írjuk fel a tömegközéppontra vonatkozó tételt: Vetítés az x tengelyre: O Határozza meg, milyen messzire kell átszállnia egy m1 tömegű személyre, hogy a csónak a helyén maradjon: A hajó l távolságot fog elmozdulni az ellenkező irányba.

20 csúszda

7. előadás Az erőimpulzus a mechanikai kölcsönhatás mértéke, amely az átvitelt jellemzi mechanikus mozgás a pontra adott ideig ható erőkből: 18 Koordinátatengelyekre vetítéseknél: Állandó erő esetén: Koordinátatengelyekre vetítéseknél: Az eredő impulzusa megegyezik a koordinátatengelyek geometriai összegével. a pontra azonos ideig ható erők impulzusai: dt: Integráljunk egy adott időintervallumra: Egy pont lendülete a mechanikai mozgás mértéke, amelyet a pont tömegének szorzatával egyenlő vektor határozza meg, sebességvektora: Tétel a rendszer lendületének változásáról - Tekintsünk egy n anyagi pontból álló rendszert. Az egyes pontokra kifejtett erőket felosztjuk külső és belső erőkre, és helyettesítjük a megfelelő Fke és Fki eredővel. Minden pontra felírjuk a dinamika alapegyenletét: vagy Az anyagi pontrendszer mozgásának mértékét - geometriai összeg anyagi pontok mozgásmennyiségei: A tömegközéppont definíciója szerint: A rendszer impulzusvektora megegyezik az egész rendszer tömegének a rendszer tömegközéppontjának sebességvektorával való szorzatával. Ekkor: A koordinátatengelyekre vetítésekben: A rendszer impulzusvektorának időbeli deriváltja megegyezik a rendszer külső erőinek fővektorával. Összegezzük ezeket az egyenleteket az összes ponton: Az egyenlet bal oldalán a tömegeket a derivált jele alá vezetjük, és a deriváltak összegét az összeg deriváltjával helyettesítjük: A rendszer impulzusának definíciójából: A koordinátatengelyekre vetítéseknél:

21 csúszda

Euler-tétel - A rendszer lendületének változásáról szóló tétel alkalmazása folytonos közeg (víz) mozgására. 1. A mozgás tárgyául a turbina görbe vonalú csatornájában elhelyezkedő víz térfogatát választjuk ki: 2. Eldobjuk a kapcsolatokat, és hatásukat reakciókkal helyettesítjük (Rpov - a felületi erők eredője) 3. Adjunk hozzá aktív erőket (Rb). - testerők eredője): 4. Írja fel a rendszer impulzusának változására vonatkozó tételt: A víz mozgásának mennyiségét t0 és t1 időpontokban összegként ábrázoljuk: A víz impulzusának változása az időintervallumban : Víz impulzusának változása végtelenül kicsi dt időintervallumban: , ahol F1 F2 A sűrűség, a keresztmetszeti terület és a másodpercenkénti tömegsebesség szorzatát véve a következőt kapjuk: A rendszer impulzusdifferenciáját behelyettesítve a változástételbe , kapjuk: A rendszer impulzusának változására vonatkozó tételből származó következmények (megmaradási törvények): 1. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek fővektora nulla, Re = 0, akkor a A mennyiségi vektor mozgása állandó, Q = const a rendszer impulzus-megmaradásának törvénye). 2. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek fővektorának x tengelyre vetülete nulla, Rxe = 0, akkor a rendszer impulzusának x tengelyre vetítése állandó, Qx = konst. Hasonló állítások igazak az y és z tengelyekre. 7. előadás (a 7.2 folytatása) Példa: Egy M tömegű gránát, amely v sebességgel repült, két részre robbant. Az egyik m1 tömegű töredék sebessége a mozgás irányában v1 értékre nőtt. Határozza meg a második töredék sebességét! 1. A mozgás tárgya (gránát): 2. A tárgy szabad rendszer, nincsenek összefüggések és reakcióik. 3. Aktív erők összeadása: 4. Írja fel az impulzus változására vonatkozó tételt: Vetítsen a tengelyre: β Ossza el a változókat és integrálja: A jobboldali integrál majdnem nulla, mert robbanási idő t

22 csúszda

7. előadás (7.3. folytatás) 20 Egy pont szögimpulzusa vagy egy bizonyos középponthoz viszonyított kinetikus mozgásnyomatéka a mechanikai mozgás mértéke, amelyet egy olyan vektor határoz meg, amely egyenlő egy anyagi pont sugárvektorának vektorszorzatával és a impulzusvektora: Anyagi pontrendszernek egy bizonyos középponthoz viszonyított kinetikus nyomatéka geometriai az összes anyagi pont ugyanahhoz a középponthoz viszonyított impulzusnyomatékának összege: Tengely vetületekben: Tengely vetületeiben : Tétel a rendszer impulzusnyomatékának változásáról - Tekintsünk egy n anyagi pontból álló rendszert. Az egyes pontokra kifejtett erőket felosztjuk külső és belső erőkre, és helyettesítjük a megfelelő Fke és Fki eredővel. Írjuk fel minden pontra a dinamika alapegyenletét: vagy Adjuk össze ezeket az egyenleteket minden pontra: Cseréljük le a deriváltak összegét az összeg deriváltjával: A zárójelben lévő kifejezés a rendszer lendületi nyomatéka. Innen: Az egyenlőségeket vektorosan megszorozzuk a bal oldali sugárvektorral: Nézzük meg, hogy lehetséges-e a derivált előjelét a vektorszorzaton kívülre vinni: Így kaptuk: középpont. A koordinátatengelyekre történő vetítéseknél: A rendszer impulzusnyomatékának valamely időtengelyhez viszonyított deriváltja megegyezik a rendszer külső erőinek ugyanarra a tengelyre vonatkoztatott főnyomatékával.

23 csúszda

8. előadás 21 ■ Következmények a rendszer impulzusimpulzusának változására vonatkozó tételből (megmaradási törvények): 1. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek főmomentumának vektora egy bizonyos középponthoz viszonyítva egyenlő nullához, MOe = 0, akkor a rendszer azonos középponthoz viszonyított impulzusimpulzusának vektora állandó, KO = const a rendszer impulzus-megmaradásának törvénye). 2. Ha az időintervallumban a rendszer külső erőinek főnyomatéka az x tengelyhez képest nulla, Mxe = 0, akkor a rendszer x tengelyhez viszonyított szögnyomatéka állandó, Kx = const. Hasonló állítások igazak az y és z tengelyekre. 2. Merev test tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül: Egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül egyenlő a pont tömegének és a pont tengely távolságának négyzetének szorzatával. A merev test tehetetlenségi nyomatéka egy tengely körül egyenlő az egyes pontok tömegének és a pont tengelytől való távolságának négyzetének szorzatának összegével. ■ A tehetetlenségi nyomaték elméletének elemei - Merev test forgómozgásánál a tehetetlenségi nyomaték (a mozgásváltozással szembeni ellenállás) a forgástengely körüli tehetetlenségi nyomaték. Tekintsük a definíció alapfogalmait és a tehetetlenségi nyomatékok számítási módszereit. 1. Anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül: Egy pont diszkrét kis tömegéről végtelenül kicsi tömegre való átmenetben az ilyen összeg határát a merev test integrál: tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka határozza meg. . A merev test tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékán kívül más típusú tehetetlenségi nyomatékok is léteznek: a merev test centrifugális tehetetlenségi nyomatéka. merev test poláris tehetetlenségi nyomatéka. 3. Tétel a merev test tehetetlenségi nyomatékairól párhuzamos tengelyekre - a párhuzamos tengelyekre való átmenet képlete: Tehetetlenségi nyomaték a vonatkoztatási tengely körül Statikus tehetetlenségi nyomatékok a vonatkoztatási tengelyekre Testtömeg A z1 és z2 tengely távolsága így : a pillanatok nullák:

24 csúszda

8. előadás (8.2 folytatás) 22 Egyenletes, állandó keresztmetszetű rúd tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül: x z L Válassza ki az elemi térfogatot dV = Adx távolságban x: x dx Elemi tömeg: A tehetetlenségi nyomaték kiszámításához a központi tengely körül (a súlyponton áthaladva), elegendő a tengely helyét megváltoztatni és beállítani az integrációs határokat (-L/2, L/2). Itt bemutatjuk a párhuzamos tengelyekre való átmenet képletét: zС 5. Homogén tömör henger tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengely körül: H dr r Különítsük el a dV = 2πrdrH elemi térfogatot (r sugarú vékony henger) : Elemi tömeg: Itt a V=πR2H hengertérfogat képletet használjuk. Egy üreges (vastag) henger tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához elegendő beállítani az integrálási határokat R1-ről R2-re (R2> R1): 6. Vékony henger tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengely körül (t)

25 csúszda

8. előadás (folytatás 8.3) 23 ■ Merev test tengely körüli forgásának differenciálegyenlete: Írjunk tételt egy rögzített tengely körül forgó merev test impulzusimpulzusának megváltoztatásáról: A forgó merev test impulzusa: A nyomaték A forgástengely körüli külső erők egyenlő a nyomatékkal (a reakciók és az erő nem hoznak létre gravitációs nyomatékot): A tételbe behelyettesítjük a mozgási nyomatékot és a nyomatékot Példa: Két azonos súlyú ember G1 = G2 lóg egy kötélen G3 = G1/4 súllyal egy tömör tömb fölé dobva. Valamikor egyikük relatív u sebességgel mászni kezdett a kötélen. Határozza meg az egyes személyek emelési sebességét. 1. Válassza ki a mozgás tárgyát (blokk emberekkel): 2. Selejtezze el a kapcsolatokat (a blokk tartószerkezete): 3. Cserélje ki a kapcsolatot reakciókkal (csapágy): 4. Adjon hozzá aktív erőket (gravitáció): 5. Írja le tétel a rendszer kinetikus nyomatékának a blokk forgástengelyéhez viszonyított megváltoztatásáról: R Mivel a külső erők nyomatéka egyenlő nullával, a kinetikus nyomatéknak állandónak kell maradnia: A kezdeti t = 0 időpillanatban ott egyensúly volt, és Kz0 = 0. Egy ember kötélhez viszonyított mozgásának kezdete után az egész rendszer mozogni kezdett, de a rendszer kinetikai nyomatékának nullával egyenlőnek kell maradnia: Kz = 0. A szögimpulzus rendszer mind az emberek, mind a blokk szögimpulzusainak összege: Itt v2 a második személy sebessége, megegyezik a kábel sebességével, Példa: Határozzuk meg egy M tömegű homogén rúd kis szabad rezgésének periódusát és l hosszúságú, egyik végén rögzített forgástengelyre függesztve. Vagy: Kis oszcillációk esetén sinφ φ: Lengés periódusa: A rúd tehetetlenségi nyomatéka:

26 csúszda

8. előadás (folytatás 8.4 - kiegészítő anyag) 24 ■ A giroszkóp elemi elmélete: A giroszkóp az anyagszimmetria tengelye körül forgó merev test, melynek egyik pontja rögzített. A szabad giroszkóp úgy van rögzítve, hogy a tömegközéppontja mozdulatlan marad, a forgástengely pedig átmegy a tömegközépponton, és bármilyen pozíciót felvehet a térben, pl. a forgástengely a gömbmozgás során úgy változtatja helyzetét, mint a test saját forgástengelye. A giroszkóp közelítő (elemi) elméletének fő feltételezése, hogy a forgórész impulzusvektorát (kinetikus nyomatékát) a saját forgástengelye mentén irányítottnak tekintjük. Így annak ellenére, hogy általános esetben a forgórész három forgásban vesz részt, csak a saját forgásának ω = dφ/dt szögsebességét vesszük figyelembe. Ennek az az alapja, hogy in modern technológia a giroszkóp forgórésze 5000-8000 rad/s nagyságrendű szögsebességgel forog (kb. 50000-80000 ford/perc), míg a másik két szögsebesség, amely a saját forgástengelyének precessziójához és nutációjához kapcsolódik, több tízezerszeres ennél a sebességnél kisebb. A szabad giroszkóp fő tulajdonsága, hogy a forgórész tengelye ugyanazt az irányt tartja a térben a tehetetlenségi (csillag) vonatkoztatási rendszerhez képest (ezt a Foucault-inga mutatja, amely a lengéssíkot változatlanul tartja a csillagokhoz képest, 1852). Ez a forgórész tömegközéppontjához viszonyított kinetikus nyomaték megmaradásának törvényéből következik, feltéve, hogy a súrlódást a forgórész felfüggesztési tengelyeinek csapágyaiban, a külső és a belső keretben figyelmen kívül hagyjuk: Erőhatás a szabad tengelyére giroszkóp. A forgórész tengelyére ható erő esetén a külső erők tömegközépponthoz viszonyított nyomatéka nem egyenlő nullával: ω ω С erő, és ezen erő nyomatékának vektora felé, azaz. nem az x tengely körül fog forogni (belső felfüggesztés), hanem az y tengely körül (külső felfüggesztés). Amikor az erő megszűnik, a forgórész tengelye ugyanabban a helyzetben marad, ami megfelel a az utolsó pillanat az erő időtartama, mert ettől az időponttól kezdve a külső erők pillanata ismét nullával egyenlő. Rövid távú erőhatás (ütés) esetén a giroszkóp tengelye gyakorlatilag nem változtatja meg a helyzetét. Így a forgórész gyors forgása lehetővé teszi a giroszkóp számára, hogy ellensúlyozza azokat a véletlenszerű hatásokat, amelyek hajlamosak megváltoztatni a rotor forgástengelyének helyzetét, és amikor állandó cselekvés Az erő megtartja a ható erőre merőleges sík helyzetét, amelyben a forgórész tengelye fekszik. Ezeket a tulajdonságokat használják inerciarendszerek navigáció.

Bevezetés

Az elméleti mechanika az egyik legfontosabb alapvető általános tudományág. Minden szakterület mérnökképzésében alapvető szerepet játszik. Az általános mérnöki tudományok az elméleti mechanika eredményein alapulnak: anyagok szilárdsága, gépalkatrészek, mechanizmusok és gépek elmélete és mások.

Az elméleti mechanika fő feladata az anyagi testek mozgásának vizsgálata erők hatására. Egy fontos sajátos probléma a testek erők hatására fennálló egyensúlyának vizsgálata.

Előadás tanfolyam. Elméleti mechanika

Az elméleti mechanika felépítése. A statika alapjai

Egy tetszőleges erőrendszer egyensúlyának feltételei.

Merev test egyensúlyi egyenletek.

Lapos erőrendszer.

A merev test egyensúlyának sajátos esetei.

A rúd egyensúlyának problémája.

Belső erők meghatározása rúdszerkezetekben.

A pontkinematika alapjai.

természetes koordináták.

Euler képlet.

Merev test pontjainak gyorsulásainak eloszlása.

Fordító és forgó mozgások.

Sík-párhuzamos mozgás.

Bonyolult pontmozgás.

A pontdinamika alapjai.

Egy pont mozgásának differenciálegyenletei.

Az erőterek sajátos típusai.

A pontrendszer dinamikájának alapjai.

Pontrendszer dinamikájának általános tételei.

A test forgó mozgásának dinamikája.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Elméleti mechanika tanfolyam. M., Felsőiskola, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Elméleti mechanika kurzus, 1. és 2. rész. M., Felsőiskola, 1971.

Petkevich V.V. Elméleti mechanika. M., Nauka, 1981.

Feladatgyűjtemény elméleti mechanika szakdolgozatokhoz. Szerk. A. A. Yablonsky. M., Felsőiskola, 1985.

1. előadás Az elméleti mechanika felépítése. A statika alapjai

Az elméleti mechanikában a testek mozgását vizsgálják más testekhez képest, amelyek fizikai vonatkoztatási rendszerek.

A mechanika nemcsak a testek mozgásának leírását, hanem előrejelzését is lehetővé teszi, ok-okozati összefüggéseket létesítve a jelenségek egy bizonyos, nagyon széles körében.

Valós testek alapvető absztrakt modelljei:

anyagi pont - van tömege, de nincsenek méretei;

teljesen szilárd - véges méretű, anyaggal teljesen kitöltött térfogat, és a térfogatot kitöltő közeg bármely két pontja közötti távolság mozgás közben nem változik;

folytonos deformálható közeg - véges térfogatot vagy korlátlan helyet tölt ki; az ilyen közeg pontjai közötti távolságok változhatnak.

Ezek közül a rendszerek:

Ingyenes anyagpontok rendszere;

Hivatkozásokkal rendelkező rendszerek;

Abszolút szilárd test folyadékkal töltött üreggel stb.

"Elfajzott" modellek:

Végtelenül vékony rudak;

Végtelenül vékony lemezek;

Anyagpontokat összekötő súlytalan rudak és menetek stb.

Tapasztalatból: a mechanikai jelenségek másként mennek végbe különböző helyeken fizikai referenciarendszer. Ez a tulajdonság a tér inhomogenitása, amelyet a fizikai vonatkoztatási rendszer határoz meg. A heterogenitás itt egy jelenség előfordulása természetének attól a helytől való függését érti, ahol ezt a jelenséget megfigyeljük.

Egy másik tulajdonság az anizotrópia (nem izotrópia), egy test mozgása a fizikai vonatkoztatási rendszerhez képest iránytól függően eltérő lehet. Példák: a folyó folyása a meridián mentén (északról délre - a Volga); lövedékrepülés, Foucault-inga.

A referenciarendszer tulajdonságai (heterogenitás és anizotrópia) megnehezítik a test mozgásának megfigyelését.

Gyakorlatilag mentes ettől földközpontú rendszer: a rendszer középpontja a Föld középpontjában van, és a rendszer nem forog az "rögzített" csillagokhoz képest). A geocentrikus rendszer kényelmes a Föld mozgásainak kiszámításához.

Mert égi mechanika(naprendszeri testeknél): heliocentrikus referenciakeret, amely a tömegközépponttal együtt mozog Naprendszerés nem forog a "fix" csillagokhoz képest. Ehhez a rendszerhez még nem található a tér heterogenitása és anizotrópiája

a mechanika jelenségeivel kapcsolatban.

Tehát bemutatunk egy absztraktot inerciális referenciakeret, amelyhez a tér homogén és izotróp a mechanika jelenségeivel kapcsolatban.

inerciális vonatkoztatási rendszer- akinek saját mozgása semmilyen mechanikai tapasztalattal nem érzékelhető. Gondolatkísérlet: „az a pont, amely egyedül van az egész világon” (elszigetelt) vagy nyugalomban van, vagy egyenes vonalban és egyenletesen mozog.

Minden, az eredetihez képest egyenes vonalúan mozgó vonatkoztatási rendszer egyenletesen tehetetlen lesz. Ez lehetővé teszi egyetlen derékszögű koordinátarendszer bevezetését. Az ilyen teret ún euklideszi.

Feltételes megegyezés – vegye a megfelelő koordináta-rendszert (1. ábra).

NÁL NÉL idő– a klasszikus (nem relativisztikus) mechanikában teljesen, ami minden vonatkoztatási rendszerre azonos, vagyis a kezdeti momentum tetszőleges. Ellentétben a relativisztikus mechanikával, ahol a relativitás elvét alkalmazzák.

A rendszer mozgásállapotát t időpontban a pontok koordinátái és sebességei határozzák meg az adott pillanatban.

A valódi testek kölcsönhatásba lépnek, és olyan erők keletkeznek, amelyek megváltoztatják a rendszer mozgási állapotát. Ez az elméleti mechanika lényege.

Hogyan tanulják az elméleti mechanikát?

Egy bizonyos vonatkoztatási keret testhalmazának egyensúlyi doktrínája - szakasz statika.

Fejezet kinematika: a mechanika azon része, amely a rendszerek mozgásállapotát jellemző mennyiségek közötti összefüggéseket vizsgálja, de nem veszi figyelembe a mozgásállapot-változást okozó okokat.

Ezt követően vegyük figyelembe az erők hatását [FŐ RÉSZ].

Fejezet dinamika: a mechanika része, amely az erőknek az anyagi tárgyak rendszereinek mozgásállapotára gyakorolt hatását veszi figyelembe.

A főétel felépítésének elvei - dinamika:

1) axiómarendszer alapján (tapasztalat, megfigyelések alapján);

Folyamatosan - a gyakorlat kíméletlen ellenőrzése. Az egzakt tudomány jele - belső logika jelenléte (enélkül - nem kapcsolódó receptek készlete)!

statikus A mechanikának azt a részét nevezzük, ahol az anyagi pontrendszerre ható erők által kifejtett feltételeket tanulmányozzuk, hogy a rendszer egyensúlyban legyen, illetve az erőrendszerek egyenértékűségének feltételeit.

Az elemi statika egyensúlyi problémáit kizárólag a vektorok tulajdonságain alapuló geometriai módszerekkel vizsgáljuk. Ezt a megközelítést alkalmazzák geometriai statika(szemben az analitikus statikával, amit itt nem veszünk figyelembe).

A különböző anyagi testek helyzetét a koordinátarendszerbe fogjuk utalni, amit rögzítettnek veszünk.

Az anyagtestek ideális modelljei:

1) anyagi pont - tömeggel rendelkező geometriai pont.

2) abszolút merev test - anyagi pontok halmaza, amelyek közötti távolságot semmilyen cselekvéssel nem lehet megváltoztatni.

Az erők által hívni fogjuk objektív okok, amelyek anyagi tárgyak kölcsönhatásának eredményeként jönnek létre, és képesek a testek nyugalmi állapotból való elmozdulását előidézni vagy az utóbbiak meglévő mozgását megváltoztatni.

Mivel az erőt az általa okozott mozgás határozza meg, a vonatkoztatási rendszer megválasztásától függően relatív jellege is van.

Megfontolandó az erők természetének kérdése a fizikában.

Egy anyagi pontrendszer akkor van egyensúlyban, ha nyugalomban nem kap semmilyen mozgást a rá ható erőktől.

A mindennapi tapasztalatból: az erők vektor jellegűek, azaz nagyságrendileg, irányuk, hatásvonaluk, alkalmazási pontjuk. A merev testre ható erők egyensúlyának feltétele a vektorrendszerek tulajdonságaira redukálódik.

Galileo és Newton a természet fizikai törvényeinek tanulmányozásának tapasztalatait összegezve megfogalmazta a mechanika alaptörvényeit, amelyek a mechanika axiómáinak tekinthetők, hiszen kísérleti tények alapján.

1. axióma. Egy merev test egy pontjára több erő hatása megegyezik egy erő hatásával eredő erő, vektorok összeadásának szabálya szerint szerkesztve (2. ábra).

Következmény. A merev test egy pontjára ható erőket a paralelogramma szabály szerint összeadjuk.

2. axióma. Két erő hat egy merev testre kölcsönösen kiegyensúlyozott akkor és csak akkor, ha egyenlő nagyságúak, ellentétes irányúak és ugyanazon az egyenesen fekszenek.

3. axióma. Egy merev testre ható erőrendszer hatása nem változik meg, ha add hozzá ehhez a rendszerhez, vagy hagyd el onnan két azonos nagyságú, ellentétes irányba irányított és ugyanazon az egyenesen fekvő erő.

Következmény. A merev test egy pontjára ható erő az erő hatásvonala mentén az egyensúly megváltoztatása nélkül átvihető (azaz az erő csúszóvektor, 3. ábra)

1) Aktív - hozzon létre vagy képes létrehozni egy merev test mozgását. Például a súly ereje.

2) Passzív - nem mozgást hoz létre, hanem korlátozza a merev test mozgását, megakadályozza a mozgást. Például egy nyújthatatlan menet feszítőereje (4. ábra).

4. axióma. Az egyik test hatása a másodikra egyenlő és ellentétes ennek a második testnek az elsőre gyakorolt hatásával ( a cselekvés egyenlő a reakcióval).

A pontok mozgását korlátozó geometriai feltételeket hívjuk meg kapcsolatokat.

Kommunikációs feltételek: pl.

- l közvetett hosszúságú rúd.

- l hosszúságú rugalmas, nyújthatatlan menet.

A kötésekből adódó és a mozgást akadályozó erőket nevezzük reakciós erők.

5. axióma. Az anyagi pontok rendszerére fellépő kötéseket reakcióerők helyettesíthetik, amelyek hatása megegyezik a kötések hatásával.

Amikor a passzív erők nem tudják egyensúlyba hozni az aktív erők hatását, a mozgás megindul.

A statika két sajátos problémája

1. Merev testre ható konvergáló erők rendszere

Összetartó erők rendszere olyan erőrendszert nevezünk, amelynek hatásvonalai egy pontban metszik egymást, ami mindig origónak vehető (5. ábra).

Az eredmény előrejelzései:

;

Ha , akkor az erő egy merev test mozgását idézi elő.

Konvergens erőrendszer egyensúlyi feltétele:

2. Három erő egyensúlya

Ha három erő hat egy merev testre, és két erő hatásvonala egy A pontban metszi egymást, akkor és csak akkor lehetséges az egyensúly, ha a harmadik erő hatásvonala is átmegy az A ponton, és maga az erő egyenlő. nagyságrendben és ellentétes irányú az összegre (6. ábra).

Példák:

Az O ponthoz viszonyított erőnyomaték vektorként határozzuk meg, méretben egyenlő egy háromszög területének kétszeresével, amelynek alapja egy erővektor, amelynek csúcsa egy adott O pontban van; irány- merőleges a vizsgált háromszög síkjára abban az irányban, ahonnan az O pont körüli erő által keltett forgás látható óramutató járásával ellentétes irányban. a csúszóvektor pillanata és van ingyenes vektor(9. ábra).

Így: vagy

ahol ;;.

Ahol F az erőmodulus, h a váll (a pont és az erő iránya közötti távolság).

A tengely körüli erőnyomaték az erőnyomaték vektorának egy tetszőleges O ponthoz viszonyított vetületének algebrai értékének nevezzük ezt a tengelyt a tengelyen. (10. ábra).

Ez a pontválasztástól független skalár. Valóban, bővülünk :|| és a repülőben.

A momentumokról: legyen О 1 a sík metszéspontja. Azután:

a) a - pillanattól => vetítés = 0.

b) a - pillanattól kezdve => egy vetület.

Így, a tengely körüli nyomaték az erőkomponens nyomatéka a tengelyre merőleges síkban a sík és a tengely metszéspontja körül.

Varignon tétele konvergáló erőrendszerre:

Az eredő erő pillanata konvergáló erők rendszeréhez tetszőleges A ponthoz viszonyítva egyenlő az összes erőösszetevő nyomatékainak összegével ugyanahhoz az A ponthoz képest (11. ábra).

Bizonyíték a konvergens vektorok elméletében.

Magyarázat: erők összeadása a paralelogramma szabály szerint => a keletkező erő adja a teljes nyomatékot.

Tesztkérdések:

1. Nevezze meg a valós testek főbb modelljeit az elméleti mechanikában!

2. Fogalmazza meg a statika axiómáit!

3. Mit nevezünk egy pontra ható erőnyomatéknak?

2. előadás Egyensúlyi feltételek tetszőleges erőrendszerhez

A statika alapaxiómáiból az erőkre vonatkozó elemi műveletek következnek:

1) az erő a hatásvonal mentén átvihető;

2) a paralelogramma-szabály szerint összeadhatók azok az erők, amelyek hatásvonalai metszik egymást (a vektorösszeadás szabálya szerint);

3) a merev testre ható erőrendszerhez mindig hozzáadható két egyenlő nagyságú, ugyanazon az egyenesen fekvő és ellentétes irányú erő.

Az elemi műveletek nem változtatják meg a rendszer mechanikai állapotát.

Nevezzünk meg két erőrendszert egyenértékű ha az egyik a másiktól megkapható elemi műveletek segítségével (mint a csúszóvektorok elméletében).

Két párhuzamos, egyenlő nagyságú és ellentétes irányú erőből álló rendszert nevezünk pár erő(12. ábra).

Egy erőpár pillanata- a pár vektoraira épített paralelogramma területével megegyező méretű vektor, amely merőlegesen irányul a pár síkjára abban az irányban, ahonnan a pár vektorai által jelentett elfordulás látható óramutató járásával ellentétes irányban.

, azaz a B pontra vonatkozó erőnyomaték.

Egy erőpárt teljes mértékben a nyomatéka jellemez.

Egy erőpár elemi műveletekkel átvihető bármely, a pár síkjával párhuzamos síkra; változtassa meg a pár erőinek nagyságát fordítottan arányosan a pár vállával.

Az erőpárok összeadhatók, míg az erőpárok nyomatékai a (szabad) vektorok összeadásának szabálya szerint.

A merev testre ható erőrendszer tetszőleges pontba (redukciós középpontba) hozása- a jelenlegi rendszer felváltását jelenti egy egyszerűbbre: három erőből álló rendszerrel, amelyek közül az egyik előrehalad adott pont, a másik kettő pedig egy párt képvisel.

Ezt elemi műveletek segítségével bizonyítjuk (13. ábra).

A konvergáló erők rendszere és az erőpárok rendszere.

- eredő erő.

A kapott pár

Amit meg kellett mutatni.

Két erőrendszer akarat egyenértékűek akkor és csak akkor, ha mindkét rendszert egy eredő erőre és egy eredő párra redukáljuk, vagyis a következő feltételek mellett:

Egy merev testre ható erőrendszer egyensúlyának általános esete

Az erőrendszert idehozzuk (14. ábra):

Eredő erő az origón keresztül;

A kapott pár ráadásul az O ponton keresztül.

Vagyis két erőhöz vezettek, amelyek közül az egyik áthalad egy adott O ponton.

Az egyensúly, ha a másik egyenes egyenlő, ellentétes irányú (2. axióma).

Ezután áthalad az O ponton, azaz.

Így, általános szerződési feltételek merev test egyensúlya:

Ezek a feltételek a tér tetszőleges pontjára érvényesek.

Tesztkérdések:

1. Sorolja fel az erőkre vonatkozó elemi műveleteket!

2. Milyen erőrendszereket nevezünk ekvivalensnek?

3. Írja fel a merev test egyensúlyának általános feltételeit!

3. előadás Merev test egyensúlyi egyenletek

Legyen O a koordináták origója; az eredő erő; a kapott pár nyomatéka. Legyen az O1 pont egy új redukciós középpont (15. ábra).

Új erőrendszer:

Amikor az öntési pont változik, az => csak (egyik irányban az egyik előjellel, a másik irányban egy másikkal). Ez a lényeg: illessze a vonalakat

Analitikailag: (vektorok kolinearitása)

; pont O1 koordinátáit.

Ez egy egyenes egyenlete, amelynek minden pontjára a kapott vektor iránya egybeesik a kapott pár nyomatékának irányával - az egyenest ún. dinamó.

Ha a dinamák tengelyén => , akkor a rendszer egy eredő erővel ekvivalens, amit ún. a rendszer eredő ereje. Ebben az esetben mindig, ez van.

Az erőkifejtés négy esete:

1.) ;- dinamó.

2.) ; - eredő.

3.) ;- pár.

4.) ;- egyensúly.

Két vektor-egyensúlyi egyenlet: a fővektor és a főmomentum egyenlő nullával,.

Vagy hat skaláris egyenlet derékszögű koordinátatengelyekre vetítésben:

Itt:

Az egyenletek típusának összetettsége a redukciós pont megválasztásától függ => a számológép művészete.

Kölcsönhatásban lévő merev testek rendszerének egyensúlyi feltételeinek megtalálása<=>az egyes testek egyensúlyának problémája külön-külön, és a testre külső erők és belső erők hatnak (testek kölcsönhatása érintkezési pontokban egyenlő és ellentétes irányú erőkkel - IV axióma, 17. ábra).

A rendszer minden testéhez választunk egy ajánlóközpont. Ezután minden egyes testre az egyensúlyi feltétel számával:

, , (= 1, 2, …, k)

ahol , - az eredő erő és az eredő erőpár nyomatéka, kivéve a belső reakciókat.

A belső reakciók eredő erőpárjának eredő ereje és nyomatéka.

Formálisan összegezve és figyelembe véve a IV axiómát

kapunk a merev test egyensúlyához szükséges feltételek:

Példa.

Egyensúly: = ?

Tesztkérdések:

1. Nevezze meg az összes olyan esetet, amikor az erőrendszer egy pontra kerül!

2. Mi az a dinamó?

3. Fogalmazza meg a merev testek rendszerének egyensúlyához szükséges feltételeket!

4. előadás Lapos erőrendszer

Az általános feladatellátás speciális esete.

Hagyja, hogy az összes ható erő ugyanabban a síkban legyen - például egy lapon. Válasszuk az O pontot redukciós középpontnak - ugyanabban a síkban. A kapott erőt és a kapott párat ugyanabban a síkban kapjuk, azaz (19. ábra)