Trigonometrikus függvények átalakítási táblázata. Alapvető trigonometriai képletek

A trigonometria a matematika egyik ága, amelynek középpontjában a szögek és a köztük lévő kapcsolatok állnak. A tudomány alapjait már tanévben rakják le, amikor bevezetik a szögfüggvények definícióit. Az így létrejövő bázist a jövőben a csillagászat, a műszerezés, az építészet és más tudásterületek fejlesztésében hasznosítják. Mint minden egzakt tudomány, a trigonometria sem teljes képletek nélkül. Gyakorlati használat kifejezéseket talált egy kettős argumentum meghatározásához. Például a megfelelő egyenlethez folyamodva könnyen megtudhatjuk kettős szög sinus.

Trigonometrikus kifejezés a számításhoz

A kifejezést egyszerűen leírjuk és megjegyezzük: a kettős szög szinuszát egyetlen argumentum szinuszának és koszinuszának kettős szorzataként számítjuk ki.

Ez a képlet a szögek összegének szinuszának kifejezéséből származik ( K 1 + K 2 ) :

bűn( K 1 + K 2) = bűn K 1* cos K 1+ bűn K 2*cos K 2 .

Feltéve, hogy adott szögek egyenlő egymással, a képlet a szokásos formában van írva.

A függvény argumentumának bármely értékéhez használhat kifejezést. A szinusz kettős szögének kiszámítása meglehetősen egyszerű, az alábbi példák segítenek ennek ellenőrzésében.

Használati példa

Íme néhány példa a kapott képlet alkalmazására. Legyen szükséges a 60 fokkal egyenlő szög szinuszának trigonometrikus függvényének kiszámítása. A megfelelő egyetlen szög 30 fok lenne. Mivel a 30 fokos szög szinusza és koszinusza ismert, a szinusz kettős szöge sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30 lesz.

A képlet nem csak a "kézi" kiszámítására szolgál, hanem matematikai csomagok vagy MS Excel táblázatok segítségével is találhat értékeket.

A trigonometrikus azonosság egyszerűsége ellenére nehézségeket okoz az iskolát végzetteknek. Pontosan erre számítanak az USE feladatok fejlesztői, akik teszteket kínálnak az alapképletek ellenőrzésére. Következtetés - a képlet a szinusz kettős szögének kiszámításához, fejből kell tudnia!

Leggyakrabban ismételt kérdések

Lehet-e pecsétet készíteni egy dokumentumra a megadott minta alapján? Válasz Igen, lehetséges. Szkennelt másolatot vagy fényképet küldjön e-mail címünkre jó minőségűés elkészítjük a szükséges másolatot.

Milyen fizetési módokat fogad el? Válasz Az okmányt a futár általi átvételkor fizetheti ki, miután ellenőrizte a kitöltés helyességét és az oklevél minőségét. Ez megtehető az utánvétes postai társaságok irodáiban is.
A dokumentumok szállításának és fizetésének minden feltétele a „Fizetés és kézbesítés” részben található. Szintén készek vagyunk meghallgatni javaslataikat a dokumentum szállítási és fizetési feltételeivel kapcsolatban.

Biztos lehetek benne, hogy a rendelés leadása után nem fog eltűnni a pénzemmel? Válasz Nagy tapasztalattal rendelkezünk a diplomakészítés területén. Számos oldalunk van, amelyeket folyamatosan frissítünk. Szakembereink az ország különböző pontjain dolgoznak, naponta több mint 10 dokumentumot készítenek. Az évek során dokumentumaink sok embernek segítettek a foglalkoztatási problémák megoldásában, vagy máshová költözni jól fizető állás. Kivívtuk a bizalmat és az elismerést az ügyfelek körében, így semmi okunk erre. Sőt, ezt egyszerűen lehetetlen fizikailag megtenni: a rendelést a kézhezvételkor fizeted, nincs előleg.

Bármelyik egyetemről rendelhetek diplomát? Válasz Általában igen. Közel 12 éve dolgozunk ezen a területen. Ez idő alatt szinte teljes adatbázis alakult ki az ország és a határon túli szinte valamennyi egyeteme által kiadott dokumentumokról. különböző évek kiadását. Ehhez nem kell más, mint kiválasztani az egyetemet, a szakot, a dokumentumot, és kitölteni egy megrendelőlapot.

Mi a teendő, ha elírási hibákat találok egy dokumentumban? Válasz Ha futárunktól vagy postai cégünktől dokumentumot kap, javasoljuk, hogy alaposan ellenőrizze az összes részletet. Ha elírást, hibát vagy pontatlanságot észlel, jogában áll az oklevelet nem átvenni, és az észlelt hiányosságokat személyesen kell jeleznie a futárnak vagy írás címre küldött levél útján email.
A lehető legrövidebb időn belül kijavítjuk a dokumentumot és újra elküldjük a megadott címre. Természetesen a szállítást cégünk állja.
Az ilyen félreértések elkerülése érdekében az eredeti űrlap kitöltése előtt ellenőrzés és jóváhagyás céljából elküldjük a leendő dokumentum elrendezését az ügyfél postájára. végső verzió. A dokumentum futárral vagy postai úton történő elküldése előtt is megtesszük további fotóés videót (beleértve az ultraibolya fényt is), hogy vizuális elképzelése legyen arról, mit kap a végén.

Mit kell tenned ahhoz, hogy diplomát rendelj a cégedtől? Válasz Dokumentum (bizonyítvány, oklevél, tanulmányi bizonyítvány stb.) megrendeléséhez ki kell töltenie egy online megrendelőlapot a weboldalunkon, vagy meg kell adnia e-mail címét, hogy elküldhessük Önnek a kérdőívet, amelyet kitöltve és el kell küldenie. vissza hozzánk.
Ha nem tudja, mit kell feltüntetni a megrendelőlap/kérdőív bármely mezőjében, hagyja üresen. Ezért minden hiányzó információt telefonon pontosítunk.

Legfrissebb értékelések

Szerető:

Megmentetted a fiunkat a kirúgástól! A helyzet az, hogy az iskola elhagyása után a fia bement a hadseregbe. És amikor visszatért, nem akart felépülni. Végzettség nélkül dolgozott. De nemrég elkezdtek kirúgni mindenkit, akinek nincs „kéreg”. Ezért úgy döntöttünk, hogy felvesszük Önnel a kapcsolatot, és nem bántuk meg! Most már nyugodtan dolgozik és nem fél semmitől! Köszönöm!

A 2 α értékű szög szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek, kotangenseinek kifejezésére kettős szögképleteket használunk az α szög trigonometrikus függvényei segítségével. Ez a cikk bemutatja az összes bizonyítással ellátott kettősszög képletet. A képletek alkalmazási példáit megfontoljuk. Az utolsó részben a hármas, négyes szögek képletei jelennek meg.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kettős szögképletek listája

A kettős szögképletek konvertálásához ne feledje, hogy a trigonometriában a szögek alakja n α, ahol n természetes szám, a kifejezés értéke zárójelek nélkül van írva. Így a sin n α ugyanazt jelenti, mint a sin (n α). A sin n α jelöléssel hasonló (sin α) n jelölésünk van. A rekord használata mindenkire vonatkozik trigonometrikus függvények n hatványaival.

A kettős szög képletei a következők:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = α 21 t - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Vegye figyelembe, hogy ezek a sin és cos képletek az α szög bármely értékére alkalmazhatók. A kettős szög érintőjének képlete minden α értékre érvényes, ahol t g 2 α értelmes, azaz α ≠ π 4 + π 2 · z, z tetszőleges egész szám. A kettős szög kotangense létezik bármely α esetén, ahol c t g 2 α α ≠ π 2 · z -n van definiálva.

A kettős szög koszinuszának van egy kettős szög hármas jelölése. Mindegyik alkalmazható.

Kettős szögképletek bizonyítása

A képletek bizonyítása az összeadási képletekből származik. Az összeg szinuszára a képleteket alkalmazzuk:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β és a cos (α + β) összeg koszinusza = cos α cos β - sin α sin β. Tegyük fel, hogy β = α , akkor ezt kapjuk

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α és cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Így a sin 2 α \u003d 2 sin α cos α és cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α kettős szög szinuszának és koszinuszának képletei bizonyítottak.

Pihenés cos képletek 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α és cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 a cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin a 2 α1-re cserélve. négyzetek főazonossága szerint sin 2 α + cos 2 α = 1 . Azt kapjuk, hogy sin 2 α + cos 2 α = 1. Tehát 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α és 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Az érintő és a kotangens kettős szögének képleteinek bizonyításához a t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α és c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α egyenlőségeket alkalmazzuk. A transzformáció után azt kapjuk, hogy t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α és c t g 2 α \u003d cos 2 α -sin 2 003d sin 2 α 2 · sin α · cos α . Oszd el a kifejezést cos 2 α-val, ahol cos 2 α ≠ 0 tetszőleges α értékkel, ha t g α definiált. Ossza el egy másik kifejezést sin 2 α -val, ahol sin 2 α ≠ 0 α bármely értékével, amikor c t g 2 α értelmes. Az érintő és a kotangens kettős szögképletének bizonyításához behelyettesítjük és megkapjuk:

- biztosan lesznek feladatok a trigonometriában. A trigonometriát gyakran nem szeretik amiatt, hogy rengeteg nehéz képletet kell összezsúfolni, amelyek hemzsegnek szinuszoktól, koszinuszoktól, érintőktől és kotangensektől. Az oldal már egyszer tanácsokat adott egy elfelejtett képlet megjegyezéséhez, az Euler és Peel képlet példáján keresztül.

És ebben a cikkben megpróbáljuk megmutatni, hogy elég szilárdan csak öt legegyszerűbbet ismerni trigonometrikus képletek, a többiről pedig, hogy legyen általános elképzelése, és menet közben jelenítse meg őket. Ez olyan, mint a DNS-nél: a kész élőlény teljes rajzai nem tárolódnak a molekulában. Inkább utasításokat tartalmaz a rendelkezésre álló aminosavakból való összeállításához. Így van ez a trigonometriában is, ismerve néhányat Általános elvek, az összes szükséges képletet megkapjuk azoknak egy kis halmazából, amelyeket szem előtt kell tartani.

A következő képletekre fogunk támaszkodni:

Az összegek szinuszának és koszinuszának képleteiből, tudva, hogy a koszinuszfüggvény páros, a szinuszfüggvény pedig páratlan, a -b-vel helyettesítve b-t, képleteket kapunk a különbségekre:

1. A különbség szinusza: bűn(a-b) = bűnakötözősaláta(-b)+kötözősalátaabűn(-b) = bűnakötözősalátab-kötözősalátaabűnb
2. koszinusz különbség: kötözősaláta(a-b) = kötözősalátaakötözősaláta(-b)-bűnabűn(-b) = kötözősalátaakötözősalátab+bűnabűnb

Ha a \u003d b-t ugyanazokba a képletekbe helyezzük, megkapjuk a kettős szögek szinuszának és koszinuszának képleteit:

1. Kettős szög szinusza: bűn2a = bűn(a+a) = bűnakötözősalátaa+kötözősalátaabűna = 2bűnakötözősalátaa
2. Kettős szög koszinusza: kötözősaláta2a = kötözősaláta(a+a) = kötözősalátaakötözősalátaa-bűnabűna = kötözősaláta2a-bűn2a

A többi többszörös szög képlete hasonló módon történik:

1. Háromszög szinusza: bűn3a = bűn(2a+a) = bűn2akötözősalátaa+kötözősaláta2abűna = (2bűnakötözősalátaa)kötözősalátaa+(kötözősaláta2a-bűn2a)bűna = 2bűnakötözősaláta2a+bűnakötözősaláta2a-bűn 3 a = 3 bűnakötözősaláta2a-bűn 3 a = 3 bűna(1-bűn2a)-bűn 3 a = 3 bűna-4bűn 3a
2. Háromszög koszinusza: kötözősaláta3a = kötözősaláta(2a+a) = kötözősaláta2akötözősalátaa-bűn2abűna = (kötözősaláta2a-bűn2a)kötözősalátaa-(2bűnakötözősalátaa)bűna = kötözősaláta 3a- bűn2akötözősalátaa-2bűn2akötözősalátaa = kötözősaláta 3a-3 bűn2akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3(1- kötözősaláta2a)kötözősalátaa = 4kötözősaláta 3a-3 kötözősalátaa

Mielőtt továbblépnénk, nézzünk meg egy problémát.
Adott: a szög hegyes.
Keresse meg a koszinuszát, ha
Az egyik diák által adott megoldás:
Mert , azután bűna= 3,a kötözősalátaa = 4.
(matematikai humorból)

Tehát az érintő definíciója összekapcsolja ezt a függvényt a szinuszos és a koszinuszos. De kaphat olyan képletet, amely az érintőt csak a koszinuszhoz köti. Levezetéséhez a főt vesszük trigonometrikus azonosság: bűn 2 a+kötözősaláta 2 a= 1, és oszd el vele kötözősaláta 2 a. Kapunk:

Tehát a probléma megoldása a következő lenne:

(Mivel a szög hegyes, a + jelet veszi a gyökér kiemelésekor)

Az összeg tangensének képlete egy másik, amelyet nehéz megjegyezni. Adjuk ki a következőképpen:

azonnal kimenet és

A kettős szög koszinusz képletéből megkaphatja a félszög szinusz és koszinusz képletét. Ehhez a dupla szög koszinusz képlet bal oldalán:
kötözősaláta2 a = kötözősaláta 2 a-bűn 2 a
hozzáadunk egy egységet, jobbra pedig egy trigonometrikus egységet, azaz. szinusz és koszinusz négyzetösszege.
kötözősaláta2a+1 = kötözősaláta2a-bűn2a+kötözősaláta2a+bűn2a
2kötözősaláta 2 a = kötözősaláta2 a+1
kifejezve kötözősalátaa keresztül kötözősaláta2 aés a változók megváltoztatását végrehajtva a következőket kapjuk:

A jelet a kvadránstól függően veszik.

Hasonlóképpen, ha az egyenlőség bal oldalából kivonunk egyet, a jobb oldalról pedig a szinusz és a koszinusz négyzetösszegét, a következőt kapjuk:
kötözősaláta2a-1 = kötözősaláta2a-bűn2a-kötözősaláta2a-bűn2a
2bűn 2 a = 1-kötözősaláta2 a

Végül pedig a trigonometrikus függvények összegének szorzattá alakításához használjuk a következő trükköt. Tegyük fel, hogy a szinuszok összegét szorzatként kell ábrázolnunk bűna+bűnb. Vezessünk be x és y változókat úgy, hogy a = x+y, b+x-y. Azután
bűna+bűnb = bűn(x+y)+ bűn(x-y) = bűn x kötözősaláta y+ kötözősaláta x bűn y+ bűn x kötözősaláta y- kötözősaláta x bűn y=2 bűn x kötözősaláta y. Most fejezzük ki x-et és y-t a-val és b-vel.

Mivel a = x+y, b = x-y, akkor . Így

Azonnal visszavonhatod

1. Partíciós képlet szinusz és koszinusz szorzatai ban ben összeg: bűnakötözősalátab = 0.5(bűn(a+b)+bűn(a-b))

Javasoljuk, hogy gyakoroljon és származtasson képleteket a szinuszok különbségének és a koszinuszok összegének és különbségének szorzattá alakítására, valamint a szinuszok és koszinuszok szorzatának összegre való felosztására. A gyakorlatok elvégzése után alaposan elsajátítja a trigonometrikus képletek levezetésének készségét, és nem fog eltévedni még a legnehezebb ellenőrzésben, olimpián vagy tesztelésben sem.