A maximális áramerősség képlete az oszcillációs áramkörben. Oszcillációs áramkör

Elektromágneses tér létezhet elektromos töltések vagy áramok hiányában is: pontosan az ilyen „önfenntartó” elektromos és mágneses terek képviselik. elektromágneses hullámok amelyek közé tartozik a látható fény, az infravörös, az ultraibolya és röntgensugárzás, rádióhullámok stb.

25. § Oszcillációs kör

A legegyszerűbb rendszer, amelyben természetes elektromágneses rezgések lehetségesek, az úgynevezett oszcillációs áramkör, amely egy kondenzátorból és egy egymással összekapcsolt tekercsből áll (157. ábra). A mechanikus oszcillátorokhoz hasonlóan, mint például egy masszív test egy elasztikus rugón, az áramkör természetes rezgéseit energiaátalakítások kísérik.

Rizs. 157. Oszcillációs áramkör

A mechanikai és elektromágneses rezgések analógiája. Egy oszcillációs áramkör esetében a mechanikus oszcillátor potenciális energiájának analógja (például egy deformált rugó rugalmas energiája) a kondenzátorban lévő elektromos mező energiája. A mozgó test kinetikus energiájának analógja az energia mágneses mező az induktorban. Valóban, a rugó energiája arányos az egyensúlyi helyzetből való elmozdulás négyzetével, a kondenzátor energiája pedig a töltés négyzetével. A test mozgási energiája arányos a sebességének négyzetével, és a tekercsben lévő mágneses tér energiája arányos az áram négyzetével.

Az E rugóoszcillátor teljes mechanikai energiája megegyezik a potenciális és a kinetikus energiák összegével:

Rezgés energia. Hasonlóképpen, egy rezgőkör teljes elektromágneses energiája egyenlő a kondenzátorban lévő elektromos mező és a tekercsben lévő mágneses mező energiáinak összegével:

Az (1) és (2) képlet összehasonlításából az következik, hogy a lengőkörben lévő rugóoszcillátor k merevségének analógja a C kapacitás reciprok értéke, a tömeg analógja pedig a tekercs induktivitása.

Emlékezzünk vissza, hogy egy mechanikai rendszerben, amelynek energiáját az (1) kifejezés adja meg, előfordulhatnak saját csillapítatlan harmonikus rezgések. Az ilyen rezgések frekvenciájának négyzete megegyezik az energia kifejezésében az elmozdulás és a sebesség négyzetében lévő együtthatók arányával:

Saját frekvencia. Egy oszcillációs áramkörben, amelynek elektromágneses energiáját a (2) kifejezés adja meg, saját csillapítatlan harmonikus rezgések léphetnek fel, amelyek frekvenciájának négyzete is nyilvánvalóan megegyezik a megfelelő együtthatók (azaz az együtthatók arányával) a töltés és az áramerősség négyzetében):

A (4)-ből következik az oszcillációs periódus kifejezése, amelyet Thomson-képletnek neveznek:

Mechanikai rezgések esetén az x elmozdulás időtől való függését egy koszinuszfüggvény határozza meg, melynek argumentumát oszcillációs fázisnak nevezzük:

Amplitúdó és kezdeti fázis. Az A amplitúdót és az a kezdeti fázist a kezdeti feltételek határozzák meg, azaz az elmozdulás és a sebesség értékei

Hasonlóképpen, az áramkör elektromágneses természetes rezgése esetén a kondenzátor töltése a törvény szerint az időtől függ.

ahol a frekvenciát a (4) pontnak megfelelően csak magának az áramkörnek a tulajdonságai határozzák meg, és a töltésrezgések amplitúdója és az a kezdeti fázis, mint egy mechanikus oszcillátor esetében.

kezdeti feltételek, azaz a kondenzátor töltésének értékei és az áramerősség értékei így a sajátfrekvencia nem függ a rezgések gerjesztésének módjától, míg az amplitúdót és a kezdeti fázist pontosan a gerjesztés körülményei határozzák meg .

Energia átalakulások. Tekintsük részletesebben a mechanikai és elektromágneses rezgések során bekövetkező energiaátalakításokat. ábrán A 158. ábra sematikusan mutatja a mechanikus és elektromágneses oszcillátorok állapotát negyed periódusonként

Rizs. 158. Energia átalakulások mechanikai és elektromágneses rezgések során

Az oszcilláció ideje alatt kétszer alakul át az energia egyik formából a másikba és fordítva. Az oszcillációs kör teljes energiája, akárcsak a mechanikus oszcillátor teljes energiája, disszipáció hiányában változatlan marad. Ennek ellenőrzésére be kell cserélni a (6) kifejezést és az áramerősség kifejezést a (2) képletbe.

A (4) képlet segítségével megkapjuk

Rizs. 159. A kondenzátor elektromos mezőjének energiájának és a tekercsben lévő mágneses tér energiájának grafikonjai a kondenzátor töltési idejének függvényében

Az állandó összenergia egybeesik a potenciális energiával azokban a pillanatokban, amikor a kondenzátor töltése maximális, és egybeesik a tekercs mágneses mezőjének energiájával - "kinetikus" energiával - azokban a pillanatokban, amikor a kondenzátor töltése eltűnik, és az áramerősség a maximumon van. A kölcsönös átalakulások során kétféle energia azonos amplitúdójú harmonikus rezgést kelt egymással ellenfázisban és az átlagos értékükhöz viszonyított frekvenciával. Ezt könnyű ellenőrizni, az ábra szerint. 158, és képletek segítségével trigonometrikus függvények fél érv:

ábra mutatja az elektromos tér energiájának és a mágneses tér energiájának a kondenzátor töltési idejétől való függését ábrázoló grafikonokat. 159 a kezdeti szakaszban

A természetes elektromágneses rezgések mennyiségi törvényszerűségei közvetlenül a kvázi-stacionárius áramokra vonatkozó törvények alapján állapíthatók meg, anélkül, hogy a mechanikai rezgésekkel való analógiára hivatkoznánk.

Az áramkör oszcillációinak egyenlete. Tekintsük az ábrán látható legegyszerűbb oszcillációs áramkört. 157. Az áramkör megkerülésekor, például az óramutató járásával ellentétes irányban, egy ilyen zárt soros áramkörben az induktor és a kondenzátor feszültségeinek összege nulla:

A kondenzátor feszültsége összefügg a lemez töltésével és a kapacitással Ezzel az összefüggéssel Az induktivitás feszültsége minden pillanatban abszolút értékben egyenlő, előjelben pedig ellentétes EMF önindukció, tehát az áramkörben lévő áram megegyezik a kondenzátor töltésének változási sebességével:

Most kapjuk, hogy a (10) kifejezés a következő alakot ölti

Írjuk át ezt az egyenletet másképp, definíció szerint bevezetve:

A (12) egyenlet egybeesik az egyenlettel harmonikus rezgések sajátfrekvenciás mechanikus oszcillátor Egy ilyen egyenlet megoldását az idő harmonikus (szinuszos) függvénye (6) adja meg tetszőleges amplitúdó- és a kezdeti fázisértékekkel. Ebből következik az összes fenti eredmény az áramkör elektromágneses oszcillációira vonatkozóan.

Az elektromágneses rezgések csillapítása. Eddig egy idealizált mechanikai rendszerben és egy idealizált LC áramkörben tárgyaltuk a sajátoszcillációkat. Az idealizálás az oszcillátor súrlódásának és az áramkör elektromos ellenállásának figyelmen kívül hagyása volt. Csak ebben az esetben a rendszer konzervatív, és a rezgések energiája megmarad.

Rizs. 160. Rezgőkör ellenállással

Az áramkörben a rezgések energiájának disszipációjának elszámolása ugyanúgy elvégezhető, mint a súrlódó mechanikus oszcillátor esetében. A tekercs és a csatlakozó vezetékek elektromos ellenállásának jelenléte elkerülhetetlenül összefügg a Joule-hő felszabadulásával. A korábbiakhoz hasonlóan ez az ellenállás is úgy tekinthető független elem ban ben kapcsolási rajz oszcillációs áramkör, ideálisnak tekintve a tekercset és a vezetékeket (160. ábra). Ha egy ilyen áramkörben kvázi-stacionárius áramot veszünk figyelembe, akkor a (10) egyenletben össze kell adni az ellenálláson lévő feszültséget.

Behelyettesítve kapunk

A jelölés bemutatása

alakban átírjuk a (14) egyenletet

A (16) egyenlet pontosan ugyanolyan alakú, mint egy mechanikus oszcillátor rezgéseinek for egyenlete

sebességgel arányos súrlódás (viszkózus súrlódás). Ezért az áramkörben elektromos ellenállás jelenlétében az elektromágneses rezgések ugyanazon törvény szerint lépnek fel, mint a viszkózus súrlódású oszcillátor mechanikai rezgései.

A rezgésenergia disszipációja. A mechanikai rezgésekhez hasonlóan a természetes rezgések energiájának időbeli csökkenésének törvénye is megállapítható, a Joule-Lenz törvény alkalmazásával a felszabaduló hő kiszámításához:

Ennek eredményeként az oszcilláció periódusánál jóval hosszabb időintervallumok alacsony csillapítása esetén a rezgések energiájának csökkenésének sebessége arányos magával az energiával:

A (18) egyenlet megoldásának alakja van

A természetes elektromágneses rezgések energiája egy ellenállású áramkörben exponenciálisan csökken.

A rezgések energiája arányos amplitúdójuk négyzetével. Az elektromágneses rezgések esetében ez következik például a (8)-ból. Ezért a csillapított rezgések amplitúdója a (19) szerint a törvénynek megfelelően csökken

A rezgések élettartama. Amint az a (20)-ból látható, a rezgések amplitúdója 1-szeresére csökken egy idő alatt, függetlenül az amplitúdó kezdeti értékétől.Ezt az x időt nevezzük a rezgések élettartamának, bár amint az A (20)-ból nézve az oszcillációk formálisan a végtelenségig folytatódnak. A valóságban persze csak addig van értelme oszcillációról beszélni, amíg azok amplitúdója meghaladja az adott áramkör termikus zajszintjének jellemző értékét. Ezért valójában az áramkörben a rezgések véges ideig "élnek", ami azonban többszöröse is lehet a fent bemutatott x élettartamnak.

Gyakran fontos tudni, hogy nem magának az x rezgésnek az élettartamát, hanem a teljes rezgések számát, amelyek az áramkörben ez alatt az x idő alatt fellépnek. Ezt a számot szorozva az áramkör minőségi tényezőjének nevezzük.

Szigorúan véve a csillapított oszcillációk nem periodikusak. Kis csillapítással feltételesen beszélhetünk periódusról, ami alatt a kettő közötti időintervallumot értjük

a kondenzátor töltésének egymást követő maximális értékei (azonos polaritású), vagy az áram maximális értékei (egyirányú).

Az oszcillációk csillapítása befolyásolja az időszakot, ami annak növekedéséhez vezet az idealizált csillapítás nélküli esethez képest. Alacsony csillapítás mellett az oszcillációs periódus növekedése nagyon kicsi. Erős csillapítás esetén azonban előfordulhat, hogy egyáltalán nem lesz rezgés: a feltöltött kondenzátor időszakosan kisül, azaz anélkül, hogy megváltoztatná az áram irányát az áramkörben. Így lesz vele, azaz vele

Pontos megoldás. A csillapított rezgések fentebb megfogalmazott mintázatai a (16) differenciálegyenlet pontos megoldásából következnek. Közvetlen helyettesítéssel ellenőrizhető, hogy megvan-e a formája

ahol tetszőleges állandók vannak, amelyek értéke a kezdeti feltételekből van meghatározva. Alacsony csillapítás esetén a koszinuszszorzót lassan változó lengési amplitúdónak tekinthetjük.

Feladat

Kondenzátorok újratöltése induktoron keresztül. Az áramkörben, amelynek diagramja az ábrán látható. 161, a felső kondenzátor töltése egyenlő, az alsó kondenzátor nincs feltöltve. Jelenleg a kulcs zárva van. Határozza meg a felső kondenzátor töltésének és a tekercs áramának időfüggését!

Rizs. 161. A kezdeti pillanatban csak egy kondenzátor van feltöltve

Rizs. 162. Kondenzátorok töltése és áram az áramkörben a kulcs zárása után

Rizs. 163. Az ábrán látható elektromos áramkör mechanikai analógiája. 162

Döntés. A kulcs bezárása után az áramkörben rezgések lépnek fel: a felső kondenzátor kisülni kezd a tekercsen keresztül, miközben az alsót tölti; akkor minden az ellenkező irányba történik. Legyen például , a kondenzátor felső lapja pozitív töltésű. Azután

rövid idő elteltével a kondenzátorlemezek töltéseinek előjelei és az áram iránya az ábra szerint alakul. 162. Jelölje a felső és alsó kondenzátor azon lapjainak töltéseit, amelyek egy tekercsen keresztül vannak összekötve. A természetvédelmi törvény alapján elektromos töltés

A zárt áramkör minden elemére ható feszültségek összege minden időpillanatban nulla:

A kondenzátoron lévő feszültség előjele a töltések eloszlásának felel meg az ábrán. 162. és a jelzett áramirány. A tekercsen áthaladó áram kifejezése kétféleképpen írható fel:

A (22) és (24) összefüggések segítségével zárjuk ki az egyenletből:

A jelölés bemutatása

átírjuk (25) a következő formában:

Ha a funkció bevezetése helyett

és vegye figyelembe, hogy (27) a formát ölti

Ez a csillapítatlan harmonikus rezgések szokásos egyenlete, aminek van megoldása

ahol és tetszőleges állandók.

A függvényből visszatérve a következő kifejezést kapjuk a felső kondenzátor töltési idejétől való függésre:

Az állandók és az a meghatározásához figyelembe vesszük, hogy a kezdeti pillanatban a töltés a áram A (24) és (31) áramerősséghez van

Mivel innen következik, hogy Helyettesítve most be és figyelembe véve azt kapjuk

Tehát a töltés és az áramerősség kifejezései a következők

A töltés és az áramingadozás természete különösen nyilvánvaló, ha ugyanazok az értékek kondenzátor kapacitások. Ebben az esetben

A felső kondenzátor töltése a rezgési periódus felével egyenlő átlagos amplitúdóval rezeg, a kezdeti maximális értékről nullára csökken, amikor a teljes töltés az alsó kondenzátoron van.

Az oszcillációs frekvenciára vonatkozó (26) kifejezés természetesen azonnal felírható, mivel a vizsgált áramkörben a kondenzátorok sorba vannak kötve. A (34) kifejezéseket azonban nehéz közvetlenül írni, mivel ilyen kezdeti feltételek mellett lehetetlen az áramkörben lévő kondenzátorokat egy ekvivalensre cserélni.

Az itt lejátszódó folyamatok vizuális ábrázolását ennek az elektromos áramkörnek a mechanikus analógja adja, amely az ábrán látható. 163. Azonos rugók megegyeznek az azonos teljesítményű kondenzátorok esetével. A kezdeti pillanatban a bal oldali rugó összenyomódik, ami feltöltött kondenzátornak felel meg, a jobb oldali pedig deformálatlan állapotban van, mivel a rugó deformációs foka a kondenzátor töltésének analógjaként szolgál. A középső helyzeten áthaladva mindkét rugó részben összenyomódik, jobb szélső helyzetben pedig a bal oldali rugó nem deformálódik, a jobb pedig ugyanúgy összenyomódik, mint a kezdeti pillanatban a bal, ami megfelel a a töltés teljes áramlása egyik kondenzátorról a másikra. Bár a golyó az egyensúlyi helyzet körül a szokásos harmonikus oszcillációkat hajtja végre, az egyes rugók deformációját egy függvény írja le, amelynek átlagértéke eltér nullától.

Ellentétben az egy kondenzátoros rezgőkörrel, ahol rezgés közben annak ismétlődő teljes újratöltése történik, a vizsgált rendszerben az eredetileg feltöltött kondenzátor nem töltődik fel teljesen. Például, amikor a töltése nullára csökken, majd ugyanazon a polaritáson ismét helyreáll. Egyébként ezek a rezgések nem különböznek a hagyományos áramkör harmonikus rezgéseitől. Ezeknek a rezgéseknek az energiája megmarad, ha természetesen a tekercs és a csatlakozó vezetékek ellenállása elhanyagolható.

Magyarázza meg, hogy a mechanikai és elektromágneses energiákra vonatkozó (1) és (2) képletek összehasonlításából miért jutott arra a következtetésre, hogy a k merevség analógja és a tömeg analógja az induktivitás, és nem fordítva.

Indokolja a (4) kifejezés levezetését az elektromágneses rezgések sajátfrekvenciájára az áramkörben a mechanikus rugós oszcillátor analógiájából!

Az -áramkör harmonikus rezgéseit amplitúdó, frekvencia, periódus, rezgési fázis, kezdeti fázis jellemzi. Ezen mennyiségek közül melyeket magának az oszcillációs körnek a tulajdonságai határozzák meg, és melyek azok, amelyek a rezgések gerjesztésének módjától függenek?

Bizonyítsuk be, hogy az elektromos és a mágneses energiák átlagos értékei az áramkörben a természetes rezgések során egyenlőek egymással, és a rezgések teljes elektromágneses energiájának felét teszik ki.

Hogyan alkalmazzuk a kvázi-stacionárius jelenségek törvényeit egy elektromos áramkörben, hogy származtassunk egy differenciálegyenletet (12) a harmonikus rezgésekre egy -áramkörben?

Milyen differenciálegyenletet elégít ki az LC áramkör árama?

Vezess le egyenletet a rezgések energiájának csökkenésének sebességére alacsony csillapítás mellett, ugyanúgy, mint a sebességgel arányos súrlódású mechanikus oszcillátornál, és mutasd meg, hogy az oszcillációs periódust jelentősen meghaladó időintervallumokra ez a csökkenés bekövetkezik. exponenciális törvény szerint. Mit jelent az itt használt "kis csillapítás" kifejezés?

Mutassuk meg, hogy a (21) képlettel megadott függvény kielégíti a (16) egyenletet a és a bármely értékére.

Tekintsük az ábrán látható mechanikai rendszert. 163, és keresse meg a függést a bal oldali rugó deformációs idejétől és a tömeges test sebességétől.

Ellenállás nélküli hurok elkerülhetetlen veszteségekkel. A fent vizsgált problémában a kondenzátorok töltésénél a nem egészen megszokott kezdeti feltételek ellenére lehetséges volt az elektromos áramkörökre szokásos egyenletek alkalmazása, mivel ott teljesültek a folyamatban lévő folyamatok kvázi-stacionaritásának feltételei. De az áramkörben, amelynek diagramja az ábrán látható. 164. ábrán látható diagrammal formális külső hasonlósággal. A 162. ábra szerint a kvázi-stacionaritás feltételei nem teljesülnek, ha a kezdeti pillanatban az egyik kondenzátor fel van töltve, a második pedig nem.

Beszéljük meg részletesebben a kvázi stacionaritás feltételeinek megsértésének okait. Közvetlenül zárás után

Rizs. 164. Elektromos áramkör, amelyre a kvázi-stacionaritás feltételei nem teljesülnek

A lényeg az, hogy minden folyamat csak összekapcsolt kondenzátorokban játszódik le, mivel az induktoron keresztüli áram növekedése viszonylag lassú, és eleinte elhanyagolható az áram tekercsbe ágazása.

Amikor a kulcs le van zárva, a kondenzátorokból és az őket összekötő vezetékekből álló áramkörben gyors csillapított rezgések lépnek fel. Az ilyen ingadozások periódusa nagyon kicsi, mivel a csatlakozó vezetékek induktivitása kicsi. Ezen rezgések hatására a kondenzátorlapokon a töltés újraeloszlik, ami után a két kondenzátor egynek tekinthető. De az első pillanatban ezt nem lehet megtenni, mert a töltések újraelosztásával együtt energia-újraeloszlás is történik, amelynek egy része hőbe megy.

A gyors rezgések csillapítása után a rendszerben rezgések lépnek fel, mint az egy kapacitású kondenzátoros áramkörben, melynek kezdeti töltése megegyezik a kondenzátor kezdeti töltésével A fenti érvelés érvényességének feltétele a a csatlakozó vezetékek induktivitásának kicsisége a tekercs induktivitásához képest.

A vizsgált feladathoz hasonlóan itt is hasznos mechanikai analógiát találni. Ha ott egy masszív test két oldalán helyezkedett el a kondenzátoroknak megfelelő két rugó, akkor itt annak az egyik oldalán kell elhelyezkedni, hogy az egyik rezgései a test álló helyzetében a másikra is átadhatók legyenek. Két rugó helyett vehet egyet, de csak a kezdeti pillanatban kell inhomogén módon deformálódni.

A rugót a közepénél fogjuk meg és a bal felét nyújtjuk bizonyos távolságra.A rugó második fele deformálatlan állapotban marad, így a kezdeti pillanatban a terhelés az egyensúlyi helyzetből egy távolsággal jobbra tolódik el és pihen. Akkor engedjük el a rugót. Milyen tulajdonságokat eredményez az a tény, hogy a rugó kezdeti pillanatában inhomogén módon deformálódik? mert, mint jól látható, a rugó „félének” merevsége Ha a rugó tömege kicsi a golyó tömegéhez képest, akkor a rugó, mint kiterjesztett rendszer sajátfrekvenciája sokkal nagyobb, mint a golyó frekvenciája a rugón. Ezek a "gyors" oszcillációk egy idő alatt elhalnak, ami a labda rezgési periódusának egy kis töredéke. A gyors rezgések csillapítása után a rugó feszültsége újraeloszlik, és a terhelés elmozdulása gyakorlatilag változatlan marad, mivel ezalatt a terhelésnek nincs ideje észrevehetően elmozdulni. A rugó deformációja egyenletessé válik, és a rendszer energiája egyenlő

Így a rugó gyors oszcillációinak szerepe arra csökkent, hogy a rendszer energiatartaléka a rugó egyenletes kezdeti deformációjának megfelelő értékre csökkent. Nyilvánvaló, hogy a rendszer további folyamatai nem különböznek a homogén kezdeti deformáció esetétől. A terhelés elmozdulásának az időtől való függését ugyanez a (36) képlet fejezi ki.

A vizsgált példában a gyors ingadozások következtében azzá alakult belső energia(hővé) a kezdeti mechanikai energiaellátás felét. Nyilvánvaló, hogy ha a kezdeti deformációt nem a felére, hanem a rugó egy tetszőleges részére vetjük alá, a kezdeti mechanikai energiaellátás bármely töredéke belső energiává alakítható. De minden esetben a rugót érő terhelés rezgésének energiája megfelel a rugó azonos egyenletes kezdeti deformációjához szükséges energiatartaléknak.

Egy elektromos áramkörben a csillapított gyors rezgések hatására a feltöltött kondenzátor energiája részben Joule hő formájában szabadul fel a csatlakozó vezetékekben. Egyenlő kapacitások mellett ez a kezdeti energiatartalék fele lesz. A másik fele viszonylag lassú elektromágneses rezgések energia formájában marad egy tekercsből és két párhuzamosan kapcsolt C kondenzátorból álló áramkörben, ill.

Ebben a rendszerben tehát alapvetően elfogadhatatlan az idealizálás, amelyben az oszcillációs energia disszipációját elhanyagolják. Ennek az az oka, hogy itt gyors oszcillációk lehetségesek anélkül, hogy az induktorokat vagy a masszív testet érintené egy hasonló mechanikai rendszerben.

Oszcillációs áramkör nemlineáris elemekkel. A mechanikai rezgések tanulmányozása során azt láttuk, hogy a rezgések korántsem mindig harmonikusak. A harmonikus rezgések azok jellemző tulajdonság lineáris rendszerek, amiben

a helyreállító erő arányos az egyensúlyi helyzettől való eltéréssel, a potenciális energia pedig az eltérés négyzetével. A valódi mechanikai rendszerek általában nem rendelkeznek ezekkel a tulajdonságokkal, és a bennük lévő rezgések csak az egyensúlyi helyzettől való kis eltérések esetén tekinthetők harmonikusnak.

Egy áramkör elektromágneses oszcillációinál az a benyomásunk támadhat, hogy ideális rendszerekkel van dolgunk, amelyekben a rezgések szigorúan harmonikusak. Ez azonban csak addig igaz, amíg a kondenzátor kapacitása és a tekercs induktivitása állandónak tekinthető, azaz független a töltéstől és az áramerősségtől. A dielektrikumú kondenzátor és a magos tekercs szigorúan véve nemlineáris elemek. Ha a kondenzátort ferroelektromos anyaggal, azaz olyan anyaggal töltik meg, amelynek dielektromos állandója erősen függ az alkalmazott elektromos tértől, a kondenzátor kapacitása már nem tekinthető állandónak. Hasonlóképpen, a ferromágneses maggal rendelkező tekercs induktivitása az áram erősségétől függ, mivel a ferromágnesnek van mágneses telítettsége.

Ha a mechanikus oszcillációs rendszerekben a tömeg általában állandónak tekinthető, és a nemlinearitás csak a ható erő nemlineáris jellege miatt következik be, akkor egy elektromágneses rezgőkörben a nemlinearitás mindkét kondenzátor miatt előfordulhat (a rugalmashoz analóg módon). rugó) és egy induktor miatt (tömeganalóg).

Miért nem alkalmazható az idealizálás két párhuzamos kondenzátorral rendelkező rezgőkörre (164. ábra), amelyben a rendszer konzervatívnak tekinthető?

Miért vezetnek a gyors rezgések az oszcillációs energia disszipációjához az áramkörben az ábrán? ábrán látható két soros kondenzátoros áramkörben 164 nem fordult elő. 162?

Milyen okok vezethetnek az elektromágneses rezgések nem szinuszosságához az áramkörben?

Az elektromos oszcillációs áramkör az elektromágneses rezgések gerjesztésére és fenntartására szolgáló rendszer. A legegyszerűbb formájában ez egy L induktivitású tekercsből, egy C kapacitású kondenzátorból és egy sorba kapcsolt R ellenállású ellenállásból álló áramkör (129. ábra). Amikor a P kapcsoló 1 állásban van, a C kondenzátor feszültségre töltődik U t. Ebben az esetben a kondenzátor lemezei között van kialakítva elektromos mező, amelynek maximális energiája egyenlő

Amikor a kapcsolót 2-es állásba állítjuk, az áramkör bezárul, és a következő folyamatok mennek végbe benne. A kondenzátor kisülni kezd, és áram folyik át az áramkörön én, amelynek értéke nulláról a maximális értékre nő majd visszacsökken nullára. Mivel az áramkörben váltakozó áram folyik, a tekercsben EMF indukálódik, ami megakadályozza a kondenzátor kisülését. Ezért a kondenzátor kisütésének folyamata nem azonnal, hanem fokozatosan történik. Az áram megjelenése következtében a tekercsben mágneses mező keletkezik, amelynek energiája az
egyenlő áramerősség mellett éri el maximális értékét . A mágneses tér maximális energiája egyenlő lesz

A maximális érték elérése után az áramkörben lévő áram csökkenni kezd. Ebben az esetben a kondenzátor újratöltődik, a tekercsben lévő mágneses mező energiája csökken, és a kondenzátorban lévő elektromos mező energiája nő. A maximális érték elérésekor. A folyamat megismétlődik, és elektromos és mágneses mezők oszcillációi lépnek fel az áramkörben. Ha feltételezzük, hogy az ellenállás
(azaz fűtésre nem költenek energiát), akkor az energiamegmaradás törvénye szerint az összenergia Wállandó marad

és
;
.

Ideálisnak nevezzük azt az áramkört, amelyben nincs energiaveszteség. Az áramkör feszültsége és árama a harmonikus törvény szerint változik

;

ahol - körkörös (ciklikus) oszcillációs frekvencia
.

A körfrekvencia összefügg az oszcillációs frekvenciával és ingadozási periódusok T arány.

H és ábra. A 130. ábra az U feszültség és az I áram grafikonját mutatja egy ideális rezgőkör tekercsében. Látható, hogy az áramerősség fázisban késik a feszültséggel .

;
;
- Thomson képlete.

Abban az esetben, ha az ellenállás
, a Thomson-képlet felveszi a formát

Maxwell elméletének alapjai

Maxwell elmélete egyetlen elektromágneses tér elmélete, amelyet töltések és áramok tetszőleges rendszere hoz létre. Elméletileg az elektrodinamika fő problémája megoldott - a töltések és áramok adott eloszlása szerint megtalálják az általuk létrehozott elektromos és mágneses mezők jellemzőit. Maxwell elmélete az elektromos és elektromágneses jelenségeket leíró legfontosabb törvények általánosítása - az Ostrogradsky-Gauss-tétel az elektromos és mágneses terekre, a teljes áram törvénye, a törvény elektromágneses indukcióés tételek az elektromos térerősség vektor körforgásáról. Maxwell elmélete fenomenológiai jellegű, i.e. nem veszi figyelembe a környezetben előforduló jelenségek belső mechanizmusát és megjelenést okozva elektromos és mágneses mezők. Maxwell elméletében a közeget három jellemzővel írják le - ε dielektromos és mágneses μ közeg permeabilitása és γ elektromos vezetőképessége.

Az elektromos rezgések alatt a töltés, az áram és a feszültség periodikus változásait értjük. A legegyszerűbb rendszer, amelyben szabad elektromos rezgések lehetségesek, az úgynevezett oszcillációs áramkör. Ez egy kondenzátorból és egymáshoz kapcsolódó tekercsből álló eszköz. Feltételezzük, hogy a tekercsnek nincs aktív ellenállása, ebben az esetben az áramkört ideálisnak nevezzük. Amikor energiát továbbítunk ehhez a rendszerhez, a kondenzátor töltése, feszültsége és áramerőssége csillapítatlan harmonikus rezgések lépnek fel benne.

Lehetőség van az energia rezgőkörének tájékoztatására különböző utak. Például egy kondenzátor forrásból való töltésével egyenáram vagy gerjesztőáram az induktorban. Az első esetben a kondenzátor lemezei közötti elektromos tér energiával rendelkezik. A másodikban az energiát az áramkörön átfolyó áram mágneses mezője tartalmazza.

1. § Az áramkör rezgésének egyenlete

Bizonyítsuk be, hogy amikor energiát adunk az áramkörbe, csillapítatlan harmonikus rezgések lépnek fel benne. Ehhez létre kell hozni egy differenciálegyenletet a harmonikus rezgések alakjáról.

Tegyük fel, hogy a kondenzátor fel van töltve, és a tekercshez van zárva. A kondenzátor kisülni kezd, az áram átfolyik a tekercsen. Kirchhoff második törvénye szerint a feszültségesések összege egy zárt áramkör mentén egyenlő az ebben az áramkörben lévő EMF összegével. .

Esetünkben a feszültségesés azért van, mert az áramkör ideális. Az áramkörben lévő kondenzátor áramforrásként viselkedik, a kondenzátorlapok közötti potenciálkülönbség EMF-ként működik, ahol a kondenzátor töltése a kondenzátor kapacitása. Ezenkívül, amikor változó áram folyik át a tekercsen, önindukciós EMF keletkezik benne, ahol a tekercs induktivitása, a tekercsben lévő áram változásának sebessége. Mivel az önindukciós EMF megakadályozza a kondenzátor kisülését, a második Kirchhoff-törvény a következő formát ölti:

De az áramkörben az áram a kondenzátor kisütésének vagy töltésének árama. Azután

A differenciálegyenletet formává alakítjuk

A jelölés bevezetésével megkapjuk a harmonikus rezgések jól ismert differenciálegyenletét.

Ez azt jelenti, hogy az oszcillációs áramkörben lévő kondenzátor töltése a harmonikus törvénynek megfelelően változik

ahol a kondenzátor töltésének maximális értéke, a ciklikus frekvencia, a rezgések kezdeti fázisa.

Töltés rezgési periódusa . Ezt a kifejezést Thompson-képletnek nevezik.

Kondenzátor feszültség

Áramköri áram

Látjuk, hogy a kondenzátor töltése mellett a harmonikus törvény szerint az áramkörben lévő áram és a kondenzátor feszültsége is változik. A feszültség a töltéssel fázisban oszcillál, az áram pedig megelőzi a bemeneti töltést

fázis be .

Kondenzátor elektromos mező energiája

A mágneses mező áramának energiája

Így az elektromos és a mágneses mező energiája is a harmonikus törvény szerint változik, de kétszeres frekvenciával.

Összesít

Az elektromos oszcilláció alatt a töltés, a feszültség, az áramerősség, az elektromos térenergia, a mágneses tér energiájának periodikus változását kell érteni. Ezek a rezgések a mechanikusokhoz hasonlóan lehetnek szabadok és kényszerítettek, harmonikusak és nem harmonikusak. Egy ideális oszcillációs áramkörben szabad harmonikus elektromos rezgések lehetségesek.

2. § Egy oszcillációs körben lezajló folyamatok

Matematikailag igazoltuk a szabad harmonikus rezgések létezését egy rezgőkörben. Továbbra sem világos azonban, hogy miért lehetséges egy ilyen folyamat. Mi okoz oszcillációt az áramkörben?

A szabad mechanikai rezgések esetében ilyen okot találtak - ez az belső erő, ami akkor keletkezik, amikor a rendszer kikerül az egyensúlyból. Ez az erő bármely pillanatban az egyensúlyi helyzetbe irányul, és arányos a test koordinátájával (mínusz előjellel). Próbáljunk meg hasonló okot keresni a rezgések előfordulására az oszcillációs körben.

Hagyja gerjeszteni az áramkörben lévő rezgéseket a kondenzátor feltöltésével és a tekercsbe zárásával.

A kezdeti pillanatban a kondenzátor töltése maximális. Ebből következően a kondenzátor elektromos mezőjének feszültsége és energiája is maximális.

Az áramkörben nincs áram, az áram mágneses terének energiája nulla.

Az időszak első negyede- kondenzátor kisülés.

A különböző potenciállal rendelkező kondenzátorlapokat egy vezető köti össze, így a kondenzátor a tekercsen keresztül kisütni kezd. A töltés, a kondenzátor feszültsége és az elektromos tér energiája csökken.

Az áramkörben megjelenő áram növekszik, növekedését azonban a tekercsben fellépő önindukciós EMF megakadályozza. Az áram mágneses terének energiája nő.

Eltelt egy negyed- a kondenzátor lemerült.

A kondenzátor lemerült, a rajta lévő feszültség nullával egyenlő. Az elektromos tér energiája ebben a pillanatban szintén nullával egyenlő. Az energiamegmaradás törvénye szerint nem tűnhetett el. A kondenzátor mezőjének energiája teljesen átalakult a tekercs mágneses mezőjének energiájává, amely ebben a pillanatban eléri a maximális értékét. A maximális áramerősség az áramkörben.

Úgy tűnik, hogy ebben a pillanatban az áramkör áramának le kell állnia, mert az áram oka, az elektromos mező eltűnt. Az áram eltűnését azonban ismét megakadályozza a tekercsben lévő önindukció EMF. Most csökkenő áramot fog fenntartani, és továbbra is ugyanabban az irányban fog folyni, feltöltve a kondenzátort. Elkezdődik az időszak második negyede.

Az időszak második negyede - Kondenzátor újratöltés.

Az önindukciós EMF által támogatott áram továbbra is ugyanabban az irányban folyik, fokozatosan csökken. Ez az áram ellentétes polaritással tölti fel a kondenzátort. A kondenzátor töltése és feszültsége nő.

Az áram mágneses mezőjének energiája csökkenve átmegy a kondenzátor elektromos mezőjének energiájába.

Az időszak második negyede eltelt - a kondenzátor feltöltődött.

A kondenzátor addig töltődik, amíg van áram. Ezért abban a pillanatban, amikor az áram leáll, a kondenzátor töltése és feszültsége maximális értéket vesz fel.

A mágneses tér energiája ebben a pillanatban teljesen átalakult a kondenzátor elektromos mezőjének energiájává.

Az áramkör jelenlegi helyzete megegyezik az eredetivel. Az áramkörben a folyamatok megismétlődnek, de ellenkező irányban. Az áramkörben egy teljes, egy ideig tartó rezgés akkor ér véget, amikor a rendszer visszatér eredeti állapotába, vagyis amikor a kondenzátor az eredeti polaritásában újratöltődik.

Könnyen belátható, hogy az áramkörben az ingadozások oka az önindukció jelensége. Az önindukció EMF megakadályozza az áram változását: nem engedi, hogy azonnal növekedjen és azonnal eltűnjön.

Egyébként nem lenne felesleges összehasonlítani a kvázi-rugalmas erő mechanikai oszcillációs rendszerben és az áramkörben az önindukció EMF-jének kiszámítására szolgáló kifejezéseket:

Korábban differenciálegyenleteket kaptak mechanikus és elektromos oszcillációs rendszerekre:

Ellenére alapvető különbségek fizikai folyamatok mechanikai és elektromos rezgőrendszerekre jól látható az ezekben a rendszerekben lezajló folyamatokat leíró egyenletek matematikai azonossága. Ezt részletesebben kell megvitatni.

3. § Analógia az elektromos és mechanikus rezgések között

A rugóinga és az oszcillációs kör differenciálegyenleteinek gondos elemzése, valamint az ezekben a rendszerekben zajló folyamatokat jellemző mennyiségekre vonatkozó képletek lehetővé teszik annak azonosítását, hogy mely mennyiségek viselkednek azonos módon (2. táblázat).

Rugós inga	Oszcillációs áramkör
Test koordináta ()	Töltés a kondenzátoron ()
testsebesség	Hurokáram
Rugalmasan deformált rugó potenciális energiája	Kondenzátor elektromos mező energiája
A terhelés kinetikus energiája	A tekercs mágneses terének energiája árammal
A rugómerevség reciproka	Kondenzátor kapacitása
Rakomány súlya	Tekercs induktivitása
Rugalmas erő	Önindukciós EMF, megegyezik a kondenzátor feszültségével

2. táblázat

Nem csak formai hasonlóság fontos az ingalengés folyamatait leíró mennyiségek és az áramkörben zajló folyamatok között. Maguk a folyamatok azonosak!

Az inga szélső helyzetei megegyeznek az áramkör azon állapotával, amikor a kondenzátor töltése maximális.

Az inga egyensúlyi helyzete megegyezik az áramkör állapotával, amikor a kondenzátor lemerült. Ebben a pillanatban a rugalmas erő eltűnik, és az áramkörben nincs feszültség a kondenzátoron. Az inga sebessége és az áramkörben az áram maximális. A rugó rugalmas alakváltozásának potenciális energiája és a kondenzátor elektromos mezőjének energiája egyenlő nullával. A rendszer energiája a terhelés kinetikus energiájából vagy az áram mágneses mezőjének energiájából áll.

A kondenzátor kisülése az inga mozgásához hasonlóan megy végbe szélső pozíció egyensúlyi helyzetbe. A kondenzátor újratöltési folyamata megegyezik a terhelés egyensúlyi helyzetből a szélső helyzetbe történő eltávolításával.

Az oszcillációs rendszer összenergiája vagy idővel változatlan marad.

Hasonló analógia nem csak egy rugós inga és egy rezgőkör között követhető nyomon. Bármilyen természetű szabad oszcilláció általános mintái! Ezek a minták, amelyeket két oszcillációs rendszer (egy rugós inga és egy rezgőkör) példájával illusztrálunk, nemcsak lehetségesek, hanem látni kell bármely rendszer rezgéseiben.

Elvileg bármilyen rezgési folyamat problémáját meg lehet oldani, ha azt ingarezgésekkel helyettesítjük. Ehhez elegendő hozzáértően egy egyenértékű mechanikai rendszert felépíteni, megoldani egy mechanikai problémát és megváltoztatni az értékeket a végeredményben. Például meg kell találni az oszcilláció periódusát egy kondenzátort és két párhuzamosan kapcsolt tekercset tartalmazó áramkörben.

Az oszcillációs áramkör egy kondenzátort és két tekercset tartalmaz. Mivel a tekercs úgy viselkedik, mint egy rugós inga súlya, a kondenzátor pedig rugóként viselkedik, az egyenértékű mechanikai rendszernek egy rugót és két súlyt kell tartalmaznia. Az egész probléma az, hogy a súlyokat hogyan rögzítik a rugóra. Két eset lehetséges: a rugó egyik vége rögzítve van, és egy súlyt a szabad végére rögzítenek, a másodikat az elsőre, vagy a súlyokat a rugó különböző végeire rögzítik.

Nál nél párhuzamos csatlakozás különböző induktivitású tekercsek különbözőképpen áramlanak át rajtuk. Ebből következően egy azonos mechanikai rendszerben a terhelések sebességének is eltérőnek kell lennie. Nyilvánvaló, hogy ez csak a második esetben lehetséges.

Ennek az oszcillációs rendszernek a periódusát már megtaláltuk. Ő egyenlő . A súlyok tömegét a tekercsek induktivitásával, a rugó merevségének reciprokát pedig a kondenzátor kapacitásával helyettesítve azt kapjuk, hogy .

§4 Oszcillációs áramkör egyenáramú forrással

Tekintsünk egy oszcillációs áramkört, amely egyenáramforrást tartalmaz. A kondenzátort először töltse fel. Mi történik a rendszerben a K kulcs bezárása után? Megfigyelhetők-e ebben az esetben oszcillációk, és mekkora a frekvenciájuk és az amplitúdójuk?

Nyilvánvaló, hogy a kulcs bezárása után a kondenzátor töltődni kezd. Felírjuk Kirchhoff második törvényét:

Az áramkörben lévő áram tehát a kondenzátor töltőárama. Azután . A differenciálegyenletet formává alakítjuk

* Oldja meg az egyenletet a változók változtatásával.

Jelöljük. Kétszer differenciálunk, és ezt figyelembe véve megkapjuk . A differenciálegyenlet felveszi a formát

Ez a harmonikus rezgések differenciálegyenlete, megoldása a függvény

ahol a ciklikus frekvencia, az integrációs állandók és a kezdeti feltételekből találhatók.

A kondenzátor töltése a törvény szerint változik

Közvetlenül a kapcsoló zárása után a töltés a kondenzátoron nullaés nincs áram az áramkörben . A kezdeti feltételeket figyelembe véve egy egyenletrendszert kapunk:

A rendszert megoldva kapjuk és . A kulcs zárása után a kondenzátor töltése a törvénynek megfelelően megváltozik.

Könnyen belátható, hogy az áramkörben harmonikus rezgések lépnek fel. Az egyenáramú forrás jelenléte az áramkörben nem befolyásolta az oszcillációs frekvenciát, az egyenlő maradt. Az „egyensúlyi helyzet” megváltozott - abban a pillanatban, amikor az áramkörben az áram maximális, a kondenzátor feltöltődik. A kondenzátor töltésrezgésének amplitúdója egyenlő Cε-vel.

Ugyanezt az eredményt egyszerűbben kaphatjuk meg az áramkör rezgései és a rugóinga rezgései közötti analógiával. A DC forrás egyenértékű a DC-vel erőtér, amelyben egy rugós ingát helyeznek el, például egy gravitációs mezőt. A kondenzátor töltésének hiánya az áramkör zárásának pillanatában megegyezik a rugó deformációjának hiányával abban a pillanatban, amikor az inga rezgőmozgásba kerül.

Állandó erőtérben a rugóinga lengési periódusa nem változik. Az áramkörben az oszcillációs periódus ugyanúgy viselkedik - változatlan marad, amikor egyenáramú forrást vezetnek be az áramkörbe.

Egyensúlyi helyzetben, amikor a terhelési sebesség maximális, a rugó deformálódik:

Amikor az áramkör az oszcilláló áramkörben maximális . Kirchhoff második törvénye a következőképpen van leírva

Ebben a pillanatban a kondenzátor töltése egyenlő

§5 Példák problémamegoldásra

1. feladat Az energiamegmaradás törvénye

L\u003d 0,5 μH és egy kondenzátor kapacitással Val vel= 20 pF elektromos rezgések lépnek fel. Mekkora a maximális feszültség a kondenzátoron, ha az áramkörben az áram amplitúdója 1 mA? A tekercs aktív ellenállása elhanyagolható.

Döntés:

(1)

2 Abban a pillanatban, amikor a kondenzátor feszültsége maximális (maximális töltés a kondenzátoron), nincs áram az áramkörben. A rendszer teljes energiája csak a kondenzátor elektromos mezőjének energiájából áll

(2)

3 Abban a pillanatban, amikor az áramkörben az áramerősség maximális, a kondenzátor teljesen lemerül. A rendszer teljes energiája csak a tekercs mágneses terének energiájából áll

(3)

4 Az (1), (2), (3) kifejezések alapján megkapjuk az egyenlőséget . A kondenzátor maximális feszültsége

2. feladat Az energiamegmaradás törvénye

Induktivitás tekercsből álló oszcillációs áramkörben Lés egy kondenzátort VAL VEL, elektromos rezgések T = 1 μs periódussal lépnek fel. Maximális töltési érték . Mekkora az áramerősség az áramkörben abban a pillanatban, amikor a kondenzátor töltése egyenlő? A tekercs aktív ellenállása elhanyagolható.

Döntés:

1 Mivel a tekercs aktív ellenállása elhanyagolható, a rendszer teljes energiája, amely a kondenzátor elektromos mezőjének energiájából és a tekercs mágneses mezőjének energiájából áll, idővel változatlan marad:

(1)

2 Abban a pillanatban, amikor a kondenzátor töltése maximális, nincs áram az áramkörben. A rendszer teljes energiája csak a kondenzátor elektromos mezőjének energiájából áll

(2)

3 (1) és (2) alapján megkapjuk az egyenlőséget . Az áramkörben az áram .

4 Az áramkör rezgési periódusát a Thomson-képlet határozza meg. Innen. Ekkor az áramkörben lévő áramot kapjuk

3. feladat Oszcillációs áramkör két párhuzamosan kapcsolt kondenzátorral

Induktivitás tekercsből álló oszcillációs áramkörben Lés egy kondenzátort VAL VEL, elektromos rezgések töltésamplitúdójúak. Abban a pillanatban, amikor a kondenzátor töltése maximális, a K gomb zárva van. Mennyi lesz a rezgési periódus az áramkörben a kulcs zárása után? Mekkora az áram amplitúdója az áramkörben a kapcsoló zárása után? Figyelmen kívül hagyja az áramkör ohmos ellenállását.

Döntés:

1 A kulcs bezárása egy másik, az elsővel párhuzamosan kapcsolt kondenzátor megjelenéséhez vezet az áramkörben. Két párhuzamosan kapcsolt kondenzátor összkapacitása .

Az áramkörben a rezgések időtartama csak a paramétereitől függ, és nem attól, hogy a rendszerben milyen rezgéseket gerjesztettek, és ehhez milyen energiát adtak a rendszernek. A Thomson-képlet szerint.

2 Az áram amplitúdójának meghatározásához nézzük meg, milyen folyamatok mennek végbe az áramkörben a kulcs zárása után.

A második kondenzátort abban a pillanatban csatlakoztatták, amikor az első kondenzátor töltése maximális volt, ezért az áramkörben nem volt áram.

A hurokkondenzátornak kisütni kell. A kisülési áramot, miután elérte a csomópontot, két részre kell osztani. A tekercses ágban azonban önindukciós EMF lép fel, ami megakadályozza a kisülési áram növekedését. Emiatt a teljes kisülési áram a kondenzátorral járó ágba fog befolyni, melynek ohmos ellenállása nulla. Az áram leáll, amint a kondenzátorokon lévő feszültségek egyenlőek, miközben a kondenzátor kezdeti töltése újra eloszlik a két kondenzátor között. A két kondenzátor közötti töltés újraelosztási ideje elhanyagolható, mivel a kondenzátor ágaiban nincs ohmos ellenállás. Ez idő alatt a tekercses ágban lévő áramnak nem lesz ideje megjelenni. ingadozások új rendszer folytatódik, miután a töltés újraelosztásra került a kondenzátorok között.

Fontos megérteni, hogy a töltés két kondenzátor közötti újraelosztása során a rendszer energiája nem marad meg! A kulcs bezárása előtt az egyik kondenzátornak, egy hurokkondenzátornak volt energiája:

A töltés újraelosztása után a kondenzátorok akkumulátora energiával rendelkezik:

Könnyen belátható, hogy a rendszer energiája csökkent!

3 Az energiamegmaradás törvénye alapján meghatározzuk az áram új amplitúdóját. A rezgések során a kondenzátortelep energiája az áram mágneses mezőjének energiájává alakul:

Felhívjuk figyelmét, hogy az energiamegmaradás törvénye csak a töltés kondenzátorok közötti újraelosztásának befejezése után kezd "működni".

4. feladat Oszcillációs áramkör két sorba kapcsolt kondenzátorral

Az oszcillációs áramkör egy L induktivitású tekercsből és két sorba kapcsolt C és 4C kondenzátorból áll. A C kapacitású kondenzátort feszültségre töltjük, a 4C kapacitású kondenzátort nem. A kulcs zárása után az áramkörben rezgések kezdődnek. Mennyi ezeknek az ingadozásoknak az időtartama? Határozza meg az áram amplitúdóját, a maximális és minimális feszültségértékeket minden egyes kondenzátoron.

Döntés:

1 Abban a pillanatban, amikor az áramkörben maximális az áram, nincs önindukciós EMF a tekercsben . Erre a pillanatra írjuk fel Kirchhoff második törvényét

Látjuk, hogy abban a pillanatban, amikor az áramkörben az áram maximális, a kondenzátorok ugyanarra a feszültségre töltődnek fel, de ellenkező polaritással:

2 A kulcs bezárása előtt a rendszer teljes energiája csak a C kondenzátor elektromos mezőjének energiájából állt:

Abban a pillanatban, amikor az áramkörben az áramerősség maximális, a rendszer energiája az áram mágneses mezőjének energiájának és két azonos feszültségre feltöltött kondenzátor energiájának összege:

Az energiamegmaradás törvénye szerint

A kondenzátorok feszültségének meghatározásához a töltés megmaradásának törvényét használjuk - a C kondenzátor alsó lemezének töltése részben átkerült a 4C kondenzátor felső lapjára:

A talált feszültségértéket behelyettesítjük az energiamegmaradás törvényébe, és megkeressük az áramkör amplitúdóját:

3 Határozzuk meg, hogy milyen határokon belül változik a kondenzátorokon a feszültség a rezgési folyamat során!

Nyilvánvaló, hogy abban a pillanatban, amikor az áramkör zárva volt, maximális feszültség volt a C kondenzátoron. Ezért a 4C kondenzátor nem volt feltöltve.

A kapcsoló zárása után a C kondenzátor lemerül, és egy 4 C kapacitású kondenzátor töltődik. Az első kondenzátor kisütésének és a második kondenzátor feltöltésének folyamata véget ér, amint az áramkörben leáll az áram. Ez fél időszakon belül megtörténik. Az energia és az elektromos töltés megmaradásának törvényei szerint:

A rendszert megoldva a következőket találjuk:

A mínusz jel azt jelenti, hogy fél periódus után a C kapacitás az eredetihez képest fordított polaritással töltődik fel.

5. feladat Oszcillációs áramkör két sorba kapcsolt tekercssel

Az oszcilláló áramkör egy C kapacitású kondenzátorból és két induktivitású tekercsből áll L1és L2. Abban a pillanatban, amikor az áramkörben az áram eléri a maximális értékét, egy vasmagot gyorsan bevezetnek az első tekercsbe (az oszcillációs periódushoz képest), ami az induktivitás μ-szeres növekedéséhez vezet. Mekkora a feszültség amplitúdója az áramkör további rezgésének folyamatában?

Döntés:

1 A magnak a tekercsbe való gyors bevezetésével a mágneses fluxus(az elektromágneses indukció jelensége). Ezért az egyik tekercs induktivitásának gyors változása az áramkörben lévő áram gyors változását eredményezi.

2 A magnak a tekercsbe való bevezetése során a kondenzátor töltésének nem volt ideje megváltozni, töltetlen maradt (a magot abban a pillanatban vezették be, amikor az áramkörben az áramerősség maximális volt). Az időszak negyede után az áram mágneses mezőjének energiája egy töltött kondenzátor energiájává változik:

Az eredményül kapott kifejezésben helyettesítse be az áram értékét énés keresse meg a kondenzátor feszültségének amplitúdóját:

6. feladat Oszcillációs áramkör két párhuzamosan kapcsolt tekercssel

Az L 1 és L 2 induktorok a K1 és K2 gombokon keresztül egy C kapacitású kondenzátorhoz csatlakoznak. A kezdeti pillanatban mindkét gomb nyitva van, és a kondenzátor potenciálkülönbségre van feltöltve. Először a K1 kulcs záródik, és amikor a kondenzátor feszültsége nulla lesz, a K2 záródik. Határozza meg a kondenzátor maximális feszültségét a K2 zárása után. Figyelmen kívül hagyja a tekercsellenállásokat.

Döntés:

1 Amikor a K2 kulcs nyitva van, rezgések lépnek fel a kondenzátorból és az első tekercsből álló áramkörben. Mire a K2 bezárul, a kondenzátor energiája átkerült az első tekercsben lévő áram mágneses mezőjének energiájába:

2 A K2 zárása után két párhuzamosan kapcsolt tekercs jelenik meg az oszcillációs körben.

Az első tekercsben lévő áram nem tud leállni az önindukció jelensége miatt. A csomópontnál osztódik: az áram egyik része a második tekercsbe megy, a másik része pedig tölti a kondenzátort.

3 A kondenzátor feszültsége akkor lesz maximális, amikor az áram leáll én töltőkondenzátor. Nyilvánvaló, hogy ebben a pillanatban a tekercsekben az áramok egyenlőek lesznek.

: A súlyokra ugyanaz az erőmodulus vonatkozik - mindkét súly a rugóra van rögzítve Közvetlenül a K2 lezárása után áram volt az első tekercsben A kezdeti pillanatban az első terhelésnek sebessége volt Közvetlenül a K2 zárása után nem volt áram a második tekercsben A kezdeti pillanatban a második teher nyugalomban volt Mekkora a maximális feszültség a kondenzátoron? Mekkora maximális rugalmassági erő lép fel a rugóban lengés közben?

Az inga a tömegközéppont sebességével halad előre és a tömegközéppont körül oszcillál.

A rugalmas erő a rugó maximális deformációjának pillanatában a legnagyobb. Nyilvánvaló, hogy ebben a pillanatban a súlyok relatív sebessége nullával egyenlő, és az asztalhoz képest a súlyok a tömegközéppont sebességével mozognak. Felírjuk az energiamegmaradás törvényét:

A rendszert megoldva találjuk

Cserét végzünk

és kap érte maximális feszültség korábban talált értéket

§6 Feladatok az önálló megoldáshoz

1. gyakorlat A természetes rezgések periódusának és gyakoriságának kiszámítása

1 Az oszcillációs áramkör egy változó induktivitású tekercset tartalmaz, amely belül változó L1= 0,5 µH to L2\u003d 10 μH, és egy kondenzátor, amelynek kapacitása változhat 1-től= 10 pF to

2-től\u003d 500 pF. Milyen frekvenciatartomány fedhető le ennek az áramkörnek a hangolásával?

2 Hányszorosára változik meg az áramkör természetes rezgésének frekvenciája, ha az induktivitását 10-szeresére növeljük, a kapacitást pedig 2,5-szeresére csökkentjük?

3 Egy 1 uF-os kondenzátorral rendelkező oszcillációs áramkör 400 Hz-es frekvenciára van hangolva. Ha párhuzamosan csatlakoztat egy második kondenzátort, akkor az áramkörben az oszcillációs frekvencia 200 Hz lesz. Határozza meg a második kondenzátor kapacitását.

4 Az oszcillációs áramkör egy tekercsből és egy kondenzátorból áll. Hányszor változik meg az áramkör természetes rezgésének frekvenciája, ha az áramkörbe sorba kapcsolunk egy második kondenzátort, amelynek a kapacitása 3-szor kisebb, mint az elsőé?

5 Határozza meg az áramkör rezgési periódusát, amely tartalmaz egy (mag nélküli) tekercset ban ben= 50 cm m keresztmetszeti terület

S\u003d 3 cm 2, amelynek N\u003d 1000 fordulat, és egy kapacitáskondenzátor Val vel= 0,5 uF.

6 Az oszcillációs áramkör egy tekercset tartalmaz L\u003d 1,0 μH és egy légkondenzátor, amelynek lemezeinek területe S\u003d 100 cm 2. Az áramkör 30 MHz-es frekvenciára van hangolva. Határozza meg a lemezek közötti távolságot. Az áramkör aktív ellenállása elhanyagolható.

ELEKTROMÁGNESES REZGÉSEK ÉS HULLÁMOK

§1 Oszcillációs áramkör.

Természetes rezgések az oszcillációs körben.

Thomson képlet.

Csillapított és kényszerített rezgések a c.c.

Szabad rezgések c.c.

Az oszcillációs áramkör (c.c.) egy kondenzátorból és egy induktorból álló áramkör. Bizonyos feltételek mellett a c.c. töltés, áram, feszültség és energia elektromágneses ingadozása léphet fel.

Tekintsük a 2. ábrán látható áramkört. Ha a kulcsot az 1-es helyzetbe helyezi, akkor a kondenzátor feltöltődik, és töltés jelenik meg a lemezeinKés a feszültség U C. Ha ezután a kulcsot a 2-es állásba fordítja, akkor a kondenzátor kisülni kezd, áram folyik az áramkörben, miközben a kondenzátor lapjai közé zárt elektromos tér energiája a kondenzátorban koncentrálódó mágneses mező energiájává alakul át. induktorL. Az induktor jelenléte azt a tényt eredményezi, hogy az áramkörben lévő áram nem azonnal, hanem fokozatosan nő az önindukció jelensége miatt. Ahogy a kondenzátor kisül, a lemezeinek töltése csökken, az áramkörben lévő áram nő. A hurokáram maximális értéke akkor érhető el, ha a lemezek töltése nulla. Ettől kezdve a hurokáram csökkenni kezd, de az önindukció jelensége miatt azt az induktor mágneses tere tartja fenn, pl. amikor a kondenzátor teljesen lemerül, az induktorban tárolt mágneses mező energiája elektromos tér energiájává kezd átalakulni. A hurokáram miatt a kondenzátor újratöltődni kezd, és az eredetivel ellentétes töltés kezd felhalmozódni a lemezein. A kondenzátort addig töltjük, amíg az induktor mágneses mezőjének összes energiája a kondenzátor elektromos mezőjének energiájává nem alakul. Ekkor a folyamat az ellenkező irányban megismétlődik, és így az áramkörben elektromágneses rezgések lépnek fel.

Írjuk fel a 2. Kirchhoff-törvényt a figyelembe vett k.k.-ra,

Differenciálegyenlet k.k.

Kaptunk egy differenciálegyenletet a töltésrezgések egy c.c. Ez az egyenlet hasonló egy differenciálegyenlethez, amely leírja a test mozgását kvázi-rugalmas erő hatására. Ezért ennek az egyenletnek a megoldása is hasonlóan lesz felírva

A töltésingadozás egyenlete c.c.

A feszültségingadozások egyenlete a kondenzátorlapokon a c.c.

Az áramingadozások egyenlete k.k-ban.

Csillapított oszcillációk a QC-ben

Vegyünk egy C.C.-t, amely kapacitást, induktivitást és ellenállást tartalmaz. Kirchhoff 2. törvénye ebben az esetben a formába lesz írva

- gyengítési együttható,

Saját ciklikus frekvencia.

- - a csillapított rezgések differenciálegyenlete a c.c.

A csillapított töltésrezgések egyenlete egy c.c.

A töltésamplitúdó változásának törvénye csillapított rezgések során a c.c.-ben;

A csillapított oszcillációk periódusa.

A csillapítás csökkentése.

- logaritmikus csillapítás csökkenése.

Az áramkör jósága.

Ha a csillapítás gyenge, akkor T ≈T 0

Megvizsgáljuk a feszültség változását a kondenzátorlapokon.

Az áram változása a feszültségtől φ-vel fázison kívül van.

at - csillapított oszcillációk lehetségesek,

- kritikus helyzetben

Döntetlen. R > RNak nek- nem fordul elő ingadozás (a kondenzátor időszakos kisülése).

Elektromágneses rezgések időszakos változásai az elektromos és mágneses mennyiségek elektromos áramkörben.

ingyenes ilyennek nevezik ingadozások, amelyek egy zárt rendszerben ennek a rendszernek a stabil egyensúlyi állapottól való eltérése miatt keletkeznek.

A rezgések során a rendszer energiájának folyamatos átalakulási folyamata megy végbe egyik formából a másikba. Habozás esetén elektromágneses mező a csere csak e tér elektromos és mágneses komponensei között mehet végbe. A legegyszerűbb rendszer, ahol ez a folyamat végbemehet oszcillációs áramkör.

Ideális oszcillációs áramkör (LC áramkör) - induktív tekercsből álló elektromos áramkör Lés egy kondenzátort C.

Ellentétben egy valódi oszcillációs áramkörrel, amelynek elektromos ellenállása van R, elektromos ellenállás az ideális kontúr mindig nulla. Ezért az ideális oszcillációs áramkör egy valós áramkör egyszerűsített modellje.

Az 1. ábra egy ideális rezgőkör diagramját mutatja.

Áramköri energia

Az oszcillációs kör teljes energiája

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Ahol Mi- az oszcilláló áramkör elektromos mezőjének energiája be Ebben a pillanatban idő Val vel a kondenzátor kapacitása, u- a kondenzátor feszültségének értéke egy adott időpontban, q- a kondenzátor töltési értéke egy adott időpontban, Wm- az oszcillációs kör mágneses terének energiája egy adott időpontban, L- tekercs induktivitása, én- a tekercsben lévő áram értéke egy adott időpontban.

Folyamatok az oszcillációs körben

Tekintsük az oszcillációs körben előforduló folyamatokat.

Az áramkör egyensúlyi helyzetből való eltávolításához feltöltjük a kondenzátort úgy, hogy töltés legyen a lemezein Qm(2. ábra, pozíció 1 ). Az \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) egyenlet figyelembevételével megkapjuk a kondenzátoron lévő feszültség értékét. Ebben az időpontban nincs áram az áramkörben, pl. én = 0.

A kulcs bezárása után, az áramkörben lévő kondenzátor elektromos mezőjének hatására, elektromosság, áramerősség én ami idővel növekedni fog. A kondenzátor ekkor kisütni kezd, mert. az áramot létrehozó elektronok (emlékeztem arra, hogy a pozitív töltések mozgásának irányát tekintjük az áram irányának) elhagyják a kondenzátor negatív lemezét és a pozitívhoz jönnek (lásd 2. ábra, pozíció 2 ). Töltéssel együtt q a feszültség csökkenni fog u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Ahogy az áramerősség nő a tekercsen keresztül, megjelenik az önindukciós emf, amely megakadályozza az áramerősség változását. Ennek eredményeként az oszcillációs áramkörben az áramerősség nulláról egy bizonyos maximális értékre nő nem azonnal, hanem egy bizonyos időtartamon keresztül, amelyet a tekercs induktivitása határoz meg.

Kondenzátor töltés q csökken, és egy adott időpontban nullával egyenlővé válik ( q = 0, u= 0), a tekercsben lévő áram elér egy bizonyos értéket én m(lásd 2. ábra, pozíció 3 ).

A kondenzátor elektromos tere (és ellenállása) nélkül az áramot létrehozó elektronok tehetetlenséggel tovább mozognak. Ebben az esetben a kondenzátor semleges lemezére érkező elektronok negatív, a semleges lemezt elhagyó elektronok pozitív töltést adnak neki. A kondenzátor töltődni kezd q(és feszültség u), de ellentétes előjelű, pl. a kondenzátor fel van töltve. Most a kondenzátor új elektromos tere megakadályozza az elektronok mozgását, így az áram én csökkenni kezd (lásd 2. ábra, pozíció 4 ). Ez ismét nem történik meg azonnal, mivel most az önindukciós EMF kompenzálni kívánja az áram csökkenését, és „támogatja” azt. És az áram értéke én m(terhes 3 ) kiderül maximális áramerősség kontúrban.

És ismét, a kondenzátor elektromos mezőjének hatására elektromos áram jelenik meg az áramkörben, de az ellenkező irányba irányítva, az áramerősség én ami idővel növekedni fog. És a kondenzátor ekkor lemerül (lásd 2. ábra, pozíció). 6 ) nullára (lásd 2. ábra, pozíció). 7 ). Stb.

A kondenzátor töltése óta q(és feszültség u) határozza meg elektromos térenergiáját Mi\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) és a tekercsben lévő áram én- mágneses mező energiája wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\), akkor a töltés, a feszültség és az áramerősség változásával együtt az energiák is változnak.

Megnevezések a táblázatban:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Egy ideális rezgőkör teljes energiája idővel megmarad, mivel energiaveszteség van benne (nincs ellenállás). Azután

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Így ideális esetben LC- az áramkör időszakos változást tapasztal az áramerősség értékeiben én, töltés qés a stressz u, és az áramkör teljes energiája állandó marad. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy vannak szabad elektromágneses rezgések.

Szabad elektromágneses rezgések az áramkörben - ezek a kondenzátorlemezek töltésének, az áramerősség és az áramkör feszültségének időszakos változásai, amelyek külső forrásból származó energia fogyasztása nélkül fordulnak elő.

Így az áramkörben a szabad elektromágneses oszcillációk előfordulása a kondenzátor újratöltésének és a tekercsben az önindukciós EMF fellépésének köszönhető, amely ezt az újratöltést „biztosítja”. Vegye figyelembe, hogy a töltés a kondenzátoron qés az áram a tekercsben én elérik a maximális értéket Qmés én m különböző időpontokban.

Az áramkörben a szabad elektromágneses rezgések a harmonikus törvény szerint következnek be:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \jobbra), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \jobbra).\)

A legkisebb időtartam, amely alatt LC- az áramkör visszatér eredeti állapotába (e bélés kezdeti töltési értékére), az áramkörben a szabad (természetes) elektromágneses rezgések időszakának nevezzük.

A szabad elektromágneses rezgések periódusa in LC A kontúrt a Thomson-képlet határozza meg:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

A mechanikai analógia szempontjából egy ideális oszcillációs áramkör egy súrlódás nélküli rugós ingának felel meg, a valódi pedig - súrlódással. A súrlódási erők hatására a rugóinga rezgései idővel csillapodnak.

*A Thomson-képlet származéka

Mivel az ideális összenergiája LC-kontúr, egyenlő az energiák összegével elektrosztatikus mező kondenzátor és a tekercs mágneses tere megmarad, akkor bármikor az egyenlőség

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Megkapjuk az oszcilláció egyenletét in LC-áramkör, az energia megmaradás törvénye alapján. Az összenergia kifejezésének megkülönböztetése az idő függvényében, figyelembe véve azt a tényt, hogy

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q",\)

kapunk egy egyenletet, amely leírja a szabad rezgéseket egy ideális áramkörben:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q"""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Átírva így:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

vegye figyelembe, hogy ez a ciklikus frekvenciájú harmonikus rezgések egyenlete

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Ennek megfelelően a figyelembe vett ingadozások periódusa

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Irodalom

Zhilko, V.V. Fizika: tankönyv. 11. évfolyamos általános műveltségi pótlék. iskola oroszból lang. képzés / V.V. Zhilko, L.G. Markovich. - Minszk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.