Példák trigonometrikus egyenletek megoldására. Trigonometrikus egyenletek

Megoldási módszerek trigonometrikus egyenletek

Bevezetés 2

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei 5

Algebrai 5

Egyenletek megoldása azonos nevű trigonometrikus függvények egyenlőségének feltételével 7

Faktoring 8

Redukálás homogén egyenletre 10

Segédszög bevezetése 11

Konvertálja a terméket összegre 14

Univerzális helyettesítés 14

17. következtetés

Bevezetés

A tizedik osztályig a célhoz vezető számos gyakorlat cselekvési sorrendje általában egyértelműen meghatározott. Például lineáris és másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek, törtegyenletekés másodfokúra redukálható egyenletek stb. Anélkül, hogy részletesen elemeznénk az egyes említett példák megoldásának elvét, megjegyezzük azt az általános dolgot, amely a sikeres megoldáshoz szükséges.

A legtöbb esetben meg kell határoznia a feladat típusát, emlékeznie kell a célhoz vezető műveletek sorrendjére, és végre kell hajtania ezeket a műveleteket. Nyilvánvaló, hogy a tanuló sikere vagy kudarca az egyenletek megoldási módszereinek elsajátításában elsősorban attól függ, hogy mennyire lesz képes helyesen meghatározni az egyenlet típusát és emlékezni a megoldás minden szakaszának sorrendjére. Természetesen ez azt feltételezi, hogy a hallgató rendelkezik a teljesítményhez szükséges készségekkel azonos átalakulásokés a számítástechnika.

Egészen más helyzet áll elő, ha a tanuló trigonometrikus egyenletekkel találkozik. Ugyanakkor nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel, amikor megtaláljuk azt a cselekvési irányt, amely ahhoz vezetne pozitív eredmény. És itt a diák két problémával szembesül. Által kinézet egyenletek nehéz meghatározni a típust. A típus ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a kívánt receptúrát a több tucat rendelkezésre álló közül.

Annak érdekében, hogy a tanulók eligazodjanak a trigonometrikus egyenletek összetett labirintusában, először megismerkednek az egyenletekkel, amelyek egy új változó bevezetése után négyzetesekre redukálódnak. Ezután oldja meg a homogén egyenleteket, és redukálja le őket. Minden általában egyenletekkel végződik, amelyek megoldásához a bal oldalt faktorizálni kell, majd minden tényezőt nullával egyenlővé kell tenni.

Megértve, hogy a leckéken elemzett másfél tucat egyenlet nyilvánvalóan nem elég ahhoz, hogy a tanuló önállóan vitorlázzon a trigonometrikus „tengeren”, a tanár hozzátesz még néhány ajánlást magától.

A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnunk:

Hozd az egyenletben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe";

Állítsa be az egyenletet "ugyanazok a függvények";

Tényezősítse az egyenlet bal oldalát stb.

De a trigonometrikus egyenletek fő típusainak ismerete és a megoldás megtalálásának számos alapelve ellenére sok diák még mindig zsákutcában találja magát minden egyenlet előtt, amely kissé eltér a korábban megoldottaktól. Továbbra is homályos, hogy mire kell törekedni egy ilyen vagy olyan egyenlet birtokában, miért van szükség egy esetben a képletek alkalmazására kettős szög, egy másikban - fele, a harmadikban pedig - összeadási képletek stb.

1. definíció. A trigonometrikus egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen a trigonometrikus függvények jele alatt található.

2. definíció. Egy trigonometrikus egyenletről azt mondjuk, hogy azonos szögekkel rendelkezik, ha a benne szereplő összes trigonometrikus függvénynek azonos argumentuma van. Egy trigonometrikus egyenletről azt mondjuk, hogy ugyanazokkal a függvényekkel rendelkezik, ha csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz.

3. definíció. A trigonometrikus függvényeket tartalmazó monom foka a benne foglalt trigonometrikus függvények hatványainak összege.

4. definíció. Egy egyenletet homogénnek nevezünk, ha minden benne lévő monom azonos fokszámú. Ezt a fokot az egyenlet rendjének nevezzük.

5. definíció. Csak függvényeket tartalmazó trigonometrikus egyenlet bűnÉs kötözősaláta, akkor homogénnek nevezzük, ha a trigonometrikus függvényekhez viszonyítva minden monom ugyanolyan fokos, és maguknak a trigonometrikus függvényeknek egyenlő a szöge, és a monomiumok száma 1-gyel nagyobb, mint az egyenlet sorrendje.

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.

A trigonometrikus egyenletek megoldása két szakaszból áll: az egyenlet transzformációjából a legegyszerűbb formára, és a kapott legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldásából. Hét alapvető módszer létezik a trigonometrikus egyenletek megoldására.

én. algebrai módszer. Ez a módszer jól ismert az algebrából. (A változók helyettesítésének és helyettesítésének módja).

Egyenletek megoldása.

Mutassuk be a jelölést x=2 bűn3 t, kapunk

Ezt az egyenletet megoldva a következőt kapjuk:
vagy

azok. lehet írni

A jelek jelenléte miatt kapott megoldás írásakor fokozat
nincs értelme írni.

Válasz:

Jelöli

Kapunk másodfokú egyenlet
. Gyökerei a számok
És
. Ezért ez az egyenlet a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre redukálódik
És
. Ezeket megoldva azt találjuk
vagy
.

Válasz:
;
.

Jelöli

nem felel meg a feltételnek

Eszközök

Válasz:

Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát:

Így ez a kezdeti egyenlet így írható fel:

, azaz

Jelölve
, kapunk
Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldása a következő:

nem felel meg a feltételnek

Felírjuk az eredeti egyenlet megoldását:

Válasz:

Helyettesítés
ezt az egyenletet másodfokú egyenletté redukálja
. Gyökerei a számok
És
. Mivel
, azután adott egyenlet nincsenek gyökerei.

Válasz: nincs gyökere.

II. Egyenletek megoldása az azonos nevű trigonometrikus függvények egyenlőségi feltételével.

de)
, ha

b)
, ha

ban ben)
, ha

Ezeket a feltételeket felhasználva fontolja meg a következő egyenletek megoldását:

Az a) részben elmondottakat felhasználva azt találjuk, hogy az egyenletnek akkor és csak akkor van megoldása
.

Ezt az egyenletet megoldva azt találjuk
.

Két megoldáscsoportunk van:

.

7) Oldja meg az egyenletet:
.

A b) rész feltételét felhasználva arra következtetünk
.

Ezeket a másodfokú egyenleteket megoldva a következőt kapjuk:

8) Oldja meg az egyenletet!
.

Ebből az egyenletből azt a következtetést vonjuk le, hogy . Ezt a másodfokú egyenletet megoldva azt találjuk

.

III. Faktorizáció.

Ezt a módszert példákkal szemléltetjük.

9) Oldja meg az egyenletet!
.

Megoldás. Vigyük balra az egyenlet összes tagját: .

Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezést transzformáljuk és faktorizáljuk:
.

1)
2)

Mivel
És
ne vegye a null értéket

egyszerre, majd mindkét részt szétválasztjuk

egyenletek
,

Válasz:

10) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás.

vagy

Válasz:

11) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

1)
2)
3)

Válasz:

IV. Redukálás homogén egyenletre.

Egy homogén egyenlet megoldásához a következőkre lesz szüksége:

Mozgassa az összes tagját a bal oldalra;

Tegye ki az összes gyakori tényezőt a zárójelekből;

Minden tényezőt és zárójelet nullával egyenlővé kell tenni;

A nullával egyenlő zárójelek kisebb fokú homogén egyenletet adnak, amelyet el kell osztani
(vagy
) felsőfokon;

Megoldás érkezett algebrai egyenlet viszonylag
.

Vegye figyelembe a példákat:

12) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás.

Oszd el az egyenlet mindkét oldalát!
,

A jelölés bemutatása
, név

ennek az egyenletnek a gyökerei:

innen 1)
2)

Válasz:

13) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás. A kettős szögképletek és az alapvető trigonometrikus azonosság segítségével ezt az egyenletet fél argumentumra redukáljuk:

A hasonló kifejezések csökkentése után a következőket kapjuk:

A homogén utolsó egyenletet elosztva ezzel
, kapunk

kijelölöm
, megkapjuk a másodfokú egyenletet
, melynek gyökerei számok

Ily módon

Kifejezés
-nél eltűnik
, azaz nál nél
,
.

Az egyenletre adott megoldásunk nem tartalmazza ezeket a számokat.

Válasz:
, .

V. Segédszög bevezetése.

Tekintsük a forma egyenletét

Ahol a, b, c- együtthatók, x- ismeretlen.

Osszuk el ennek az egyenletnek mindkét oldalát

Most az egyenlet együtthatói a szinusz és a koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, nevezetesen: mindegyik modulusa nem haladja meg az egyet, és négyzeteinek összege egyenlő 1-gyel.

Ezután ennek megfelelően címkézhetjük őket
(itt - segédszög) és az egyenletünk a következő alakot ölti: .

Azután

És a döntése

Vegye figyelembe, hogy a bevezetett jelölés felcserélhető.

14) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás. Itt
, ezért az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk

Válasz:

15) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás. Mivel
, akkor ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

Mivel
, akkor van olyan szög, hogy
,
(azok.
).

Nekünk van

Mivel
, akkor végül megkapjuk:

Vegyük észre, hogy a forma egyenletének akkor és csak akkor van megoldása

16) Oldja meg az egyenletet:

Ennek az egyenletnek a megoldásához a trigonometrikus függvényeket ugyanazokkal az argumentumokkal csoportosítjuk

Az egyenlet mindkét oldalát oszd el kettővel

A trigonometrikus függvények összegét szorzattá alakítjuk:

Válasz:

VI. Konvertálja a terméket összegre.

Itt a megfelelő képleteket használjuk.

17) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás. Váltsuk át a bal oldalt összeggé:

VII.Univerzális helyettesítés.

ezek a képletek mindenkire igazak

Helyettesítés
univerzálisnak nevezik.

18) Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: Cserélje ki és
kifejezésükre keresztül
és jelöljük
.

Racionális egyenletet kapunk
, amelyet négyzetté alakítunk
.

Ennek az egyenletnek a gyökerei a számok
.

Ezért a feladat két egyenlet megoldására redukálódott
.

Azt találjuk
.

Érték megtekintése
nem felel meg az eredeti egyenletnek, amit ellenőrzéssel - helyettesítéssel igazolunk adott értéket t az eredeti egyenlethez.

Válasz:
.

Megjegyzés. A 18. egyenletet más módon is meg lehetne oldani.

Osszuk el ennek az egyenletnek mindkét oldalát 5-tel (azaz
):
.

Mivel
, akkor van egy szám
, mit
És
. Tehát az egyenlet a következőképpen alakul:
vagy
. Innentől azt találjuk
ahol
.

19) Oldja meg az egyenletet!
.

Megoldás. Mivel a funkciók
És
van legmagasabb érték egyenlő 1-gyel, akkor az összegük egyenlő 2-vel, ha
És
, ugyanakkor, vagyis
.

Válasz:
.

Ennek az egyenletnek a megoldása során a és a függvények korlátait használtuk.

Következtetés.

A „Trigonometrikus egyenletek megoldásai” témakörön dolgozva minden tanár számára hasznos a következő ajánlások betartása:

A trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek rendszerezése.

Válassza ki saját maga az egyenlet elemzésének lépéseit és az egyik vagy másik megoldási mód alkalmazásának célszerűségének jeleit.

Gondolja át a tevékenység önellenőrzésének módjait a módszer végrehajtása során.

Tanuljon meg "saját" egyenleteket készíteni az egyes vizsgált módszerekhez.

1. számú pályázat

Homogén vagy redukálható egyenletek megoldása.

1.	Ismétlés.
	Ismétlés.

	Ismétlés.
5.	Ismétlés.
	Ismétlés.
7.	Ismétlés.
	Ismétlés.

A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes szükséges témát sikeres szállítás HASZNÁLAT matematikából 60-65 pontért. Teljesen minden feladat 1-13 profilvizsga matematika. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem bírja.

Minden szükséges elmélet. Gyors módok a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Trükkös trükkök megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből – a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Alap a megoldáshoz kihívást jelentő feladatokat 2 vizsgarész.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának fogalma.

Egy trigonometrikus egyenlet megoldásához alakítsa át egy vagy több alapvető trigonometrikus egyenletté. A trigonometrikus egyenlet megoldása végül a négy alapvető trigonometrikus egyenlet megoldásához vezet.

Trigonometrikus alapegyenletek megoldása.

Négyféle alapvető trigonometrikus egyenlet létezik:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Az alapvető trigonometrikus egyenletek megoldása magában foglalja az egységkör különböző x pozícióinak megtekintését, valamint egy konverziós táblázat (vagy számológép) használatát.
1. példa sin x = 0,866. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = π/3. Az egységkör másik választ ad: 2π/3. Ne feledje: minden trigonometrikus függvény periodikus, azaz értékeik ismétlődnek. Például a sin x és cos x periodicitása 2πn, a tg x és ctg x periodicitása pedig πn. Tehát a válasz így van leírva:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
2. példa cos x = -1/2. Egy konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = 2π/3. Az egységkör másik választ ad: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
3. példa tg (x - π/4) = 0.
Válasz: x \u003d π / 4 + πn.
4. példa ctg 2x = 1,732.
Válasz: x \u003d π / 12 + πn.

A trigonometrikus egyenletek megoldásában használt transzformációk.

A trigonometrikus egyenletek átalakításához algebrai transzformációkat (faktorizálás, redukció) használnak homogén tagok stb.) és trigonometrikus azonosságok.
5. példa Trigonometrikus azonosságok felhasználásával a sin x + sin 2x + sin 3x = 0 egyenletet a 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 egyenletté alakítjuk. Így a következő alapvető trigonometrikus egyenletek meg kell oldani: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Szögek keresése által ismert értékek funkciókat.
- Mielőtt megtanulná a trigonometrikus egyenletek megoldását, meg kell tanulnia, hogyan találhat szögeket a függvények ismert értékeiből. Ezt megteheti egy konverziós táblázat vagy számológép segítségével.
- Példa: cos x = 0,732. A számológép a választ x = 42,95 fokra adja meg. Az egységkör további szögeket ad, amelyek koszinusza szintén 0,732.
Tegye félre az oldatot az egységkörön.
- A trigonometrikus egyenlet megoldásait az egységkörre helyezheti. A trigonometrikus egyenlet megoldásai az egységkörön egy szabályos sokszög csúcsai.
- Példa: Az egységkörön lévő x = π/3 + πn/2 megoldások a négyzet csúcsai.
- Példa: Az egységkörön lévő x = π/4 + πn/3 megoldások egy szabályos hatszög csúcsai.
Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei.
- Ha egy adott trigonometrikus egyenlet csak egyet tartalmaz trigonometrikus függvény, oldja meg ezt az egyenletet trigonometrikus alapegyenletként. Ha ez az egyenlet két vagy több trigonometrikus függvényt tartalmaz, akkor 2 módszer létezik egy ilyen egyenlet megoldására (az átalakítás lehetőségétől függően).
  - 1. módszer
- Alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: f(x)*g(x)*h(x) = 0, ahol f(x), g(x), h(x) a trigonometrikus alapegyenletek.
- 6. példa 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Megoldás. A sin 2x = 2*sin x*cos x kettősszög képlet használatával cserélje ki a sin 2x kifejezést.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Most oldjon meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos x = 0 és (sin x + 1) = 0.
- 7. példa cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Megoldás: Trigonometrikus azonosságok segítségével alakítsa át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Most oldjon meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2cos x + 1) = 0.
- 8. példa sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Megoldás: Trigonometrikus azonosságok segítségével alakítsuk át ezt az egyenletet a következő alakú egyenletté: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Most oldjunk meg két alapvető trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2sin x + 1) = 0.
  - 2. módszer
- Alakítsa át a megadott trigonometrikus egyenletet olyan egyenletté, amely csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz. Ezután cserélje ki ezt a trigonometrikus függvényt valamilyen ismeretlenre, például t-re (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t stb.).
- 9. példa 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Megoldás. BAN BEN adott egyenlet(cos^2 x) helyett (1 - sin^2 x) (az azonosság szerint). A transzformált egyenlet így néz ki:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Cserélje le a sin x-et t-re. Most az egyenlet így néz ki: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ez egy másodfokú egyenlet, melynek két gyöke: t1 = -1 és t2 = 9/5. A második t2 gyök nem elégíti ki a függvény tartományát (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- 10. példa tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Megoldás. Cserélje ki tg x-et t-re. Írja át az eredeti egyenletet a következőképpen: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Most keresse meg t-t, majd keresse meg x-et, ha t = tg x.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása.

Bármilyen bonyolultságú trigonometrikus egyenletek megoldása végső soron a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásához vezet. És ebben ismét a trigonometrikus kör bizonyul a legjobb segítőnek.

Emlékezzünk vissza a koszinusz és a szinusz definíciójára.

A szög koszinusza az egységkör egy adott szöggel történő elforgatásának megfelelő pontjának abszcisszája (vagyis a tengely menti koordinátája).

A szög szinusza az egységkör egy pontjának ordinátája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely megfelel egy adott szögben történő elforgatásnak.

A trigonometrikus kör mentén történő pozitív mozgásirányt az óramutató járásával ellentétes mozgásnak tekintjük. A 0 fokos (vagy 0 radiános) elforgatás egy (1; 0) koordinátájú pontnak felel meg.

Ezeket a definíciókat használjuk a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldására.

1. Oldja meg az egyenletet!

Ezt az egyenletet kielégíti a forgásszög minden olyan értéke, amely megfelel a kör pontjainak, amelynek ordinátája egyenlő.

Jelöljünk egy pontot ordinátával az y tengelyen:

Töltsük vízszintes vonal párhuzamos az x tengellyel, amíg nem metszi a kört. Két pontot kapunk egy körön fekve és ordinátával. Ezek a pontok az elforgatási szögeknek és radiánoknak felelnek meg:

Ha a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő pontot elhagyva egy teljes kört megkerülünk, akkor a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő és azonos ordinátájú ponthoz jutunk. Vagyis ez a forgásszög is kielégíti az egyenletünket. Tetszőleges számú "üresjárati" fordulatot tehetünk, visszatérve ugyanabba a pontba, és ezek a szögértékek kielégítik az egyenletünket. Az „üresjárati” fordulatok számát a (vagy) betű jelöli. Mivel ezeket a fordulatokat pozitív és negatív irányba is megtehetjük, (vagy ) bármilyen egész értéket felvehet.

Vagyis az eredeti egyenlet megoldásainak első sorozatának alakja:

, , - egész számok halmaza (1)

Hasonlóképpen, a megoldások második sorozatának formája a következő:

, ahol , . (2)

Ahogy sejtette, ez a megoldássor a kör forgásszögének megfelelő pontján alapul.

Ez a két megoldássorozat egy bejegyzésben kombinálható:

Ha ezt a bejegyzést bevesszük (vagyis párost), akkor megkapjuk az első megoldássorozatot.

Ha ezt a bejegyzést (vagyis páratlant) vesszük, akkor a második megoldássort kapjuk.

2. Most oldjuk meg az egyenletet

Mivel a szög átfordításával kapott egységkör pontjának abszcisszája, a tengelyen jelölünk egy pontot az abszcisszával:

Rajzolj a tengellyel párhuzamos függőleges vonalat, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk egy körön fekve és egy abszcisszán. Ezek a pontok a és a radián elforgatási szögeinek felelnek meg. Emlékezzünk vissza, hogy az óramutató járásával megegyező irányba mozgatva negatív forgásszöget kapunk:

Két megoldássort írunk le:

(Ebbe beleesünk kívánt pont, a fő teljes körből haladva, azaz .

Foglaljuk össze ezt a két sorozatot egy bejegyzésben:

3. Oldja meg az egyenletet!

Az érintők vonala átmegy az egységkör OY tengellyel párhuzamos koordinátáinak (1,0) pontján

Jelölj rá egy pontot, amelynek ordinátája egyenlő 1-gyel (azt keressük, amelyik szögeinek érintője 1):

Kösse össze ezt a pontot az origóval egy egyenessel, és jelölje meg az egyenes metszéspontjait az egységkörrel. Az egyenes és a kör metszéspontjai megfelelnek a és az elforgatási szögeknek:

Mivel az egyenletünket kielégítő elforgatási szögeknek megfelelő pontok radiánnyira vannak egymástól, a megoldást a következőképpen írhatjuk fel:

4. Oldja meg az egyenletet!

A kotangensek vonala átmegy azon a ponton, ahol az egységkör koordinátái a tengellyel párhuzamosak.

Jelölünk egy pontot az abszcisszával -1 a kotangensek vonalán:

Csatlakoztassa ezt a pontot az egyenes kezdőpontjához, és folytassa addig, amíg nem metszi a kört. Ez az egyenes metszi a kört azokban a pontokban, amelyek megfelelnek az elforgatási szögeknek és a radiánoknak: