Összetett egyenlőtlenségek online megoldása. Néhány pont az egyenlőtlenségek megoldásáról

Először is néhány dalszöveg, hogy átérezzük a problémát, amelyet az intervallum módszer megold. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő egyenlőtlenséget:

(x − 5)(x + 3) > 0

Mik a lehetőségek? Az első dolog, ami a legtöbb diáknak eszébe jut, az a szabályok: "pluszszer plusz pluszt tesz" és "mínuszszor mínusz pluszt tesz". Ezért elegendő figyelembe venni azt az esetet, amikor mindkét zárójel pozitív: x − 5 > 0 és x + 3 > 0. Ekkor azt az esetet is figyelembe vesszük, amikor mindkét zárójel negatív: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

A haladóbb tanulók emlékezni fognak (talán), hogy a bal oldalon van egy másodfokú függvény, amelynek grafikonja egy parabola. Ezenkívül ez a parabola az x = 5 és x = −3 pontokban metszi az OX tengelyt. A további munkához ki kell nyitnia a zárójeleket. Nekünk van:

x 2 - 2x - 15 > 0

Most már világos, hogy a parabola ágai felfelé irányulnak, mert együttható a = 1 > 0. Próbáljuk meg rajzolni ennek a parabolának a diagramját:

A függvény nagyobb nullánál, ahol az OX tengely felett halad. Esetünkben ezek a (−∞ −3) és (5; +∞) intervallumok – ez a válasz.

Felhívjuk figyelmét, hogy a kép pontosan mutatja funkció diagram, nem a menetrendje. Mert egy valódi diagramhoz koordinátákat kell számolni, eltolásokat és egyéb baromságokat kell számolni, amire most semmi szükségünk.

Miért nem hatékonyak ezek a módszerek?

Tehát ugyanannak az egyenlőtlenségnek két megoldását vettük figyelembe. Mindkettő nagyon nehézkesnek bizonyult. Megszületik az első döntés – gondolj csak bele! egyenlőtlenségek rendszereinek összessége. A második megoldás szintén nem túl egyszerű: emlékeznie kell a parabolagráfra és egy csomó egyéb apró tényre.

Ez egy nagyon egyszerű egyenlőtlenség volt. Csak 2 szorzója van. Most képzeljük el, hogy nem 2 szorzó lesz, hanem legalább 4. Például:

(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Hogyan lehet feloldani ezt az egyenlőtlenséget? Végignézi az előnyök és hátrányok összes lehetséges kombinációját? Igen, hamarabb elalszunk, mint ahogy megoldást találunk. Grafikon rajzolása szintén nem opció, mivel nem világos, hogy egy ilyen függvény hogyan viselkedik a koordinátasíkon.

Az ilyen egyenlőtlenségekhez speciális megoldási algoritmusra van szükség, amelyet ma megvizsgálunk.

Mi az intervallum módszer

Az intervallummódszer egy speciális algoritmus, amelyet az f (x) > 0 és f (x) alakú komplex egyenlőtlenségek megoldására terveztek.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Oldjuk meg az f (x) \u003d 0 egyenletet. Így az egyenlőtlenség helyett egy sokkal könnyebben megoldható egyenletet kapunk;
2. Jelölje meg az összes kapott gyökeret a koordináta egyenesen. Így az egyenes több intervallumra lesz felosztva;
3. Keresse meg az f (x) függvény előjelét (plusz vagy mínusz) a jobb szélső intervallumon. Ehhez elegendő behelyettesíteni f (x)-be tetszőleges számot, amely az összes megjelölt gyöktől jobbra lesz;
4. Jelölje meg a jeleket a többi intervallumon. Ehhez elég megjegyezni, hogy az egyes gyökereken áthaladva a jel megváltozik.

Ez minden! Ezután már csak ki kell írni a minket érdeklő intervallumokat. „+” jellel vannak jelölve, ha az egyenlőtlenség f (x) > 0 alakú volt, vagy „−” jellel, ha az egyenlőtlenség f (x) alakú volt.< 0.

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy az intervallummódszer valamiféle ón. De a gyakorlatban minden nagyon egyszerű lesz. Egy kis gyakorlásra van szükség – és minden világossá válik. Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg saját szemével:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

(x - 2) (x + 7)< 0

Az intervallumok módszerén dolgozunk. 1. lépés: Cserélje ki az egyenlőtlenséget egy egyenlettel, és oldja meg:

(x - 2) (x + 7) = 0

A szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Két gyökere van. Folytassák a 2. lépéssel: jelölje meg ezeket a gyökereket a koordinátaegyenesben. Nekünk van:

Most 3. lépés: megtaláljuk a függvény előjelét a jobb szélső intervallumban (az x = 2 megjelölt ponttól jobbra). Ehhez tetszőleges számot kell venni, amely nagyobb, mint az x = 2. Például vegyük x = 3-at (de senki sem tiltja, hogy x = 4, x = 10 és még x = 10 000 is). Kapunk:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Azt kapjuk, hogy f (3) = 10 > 0, tehát a jobb szélső intervallumba pluszjelet teszünk.

Átmegyünk az utolsó pontra - meg kell jegyezni a jeleket a fennmaradó intervallumokon. Ne feledje, hogy minden gyökéren áthaladva a jelnek meg kell változnia. Például az x = 2 gyöktől jobbra van egy plusz (erről az előző lépésben meggyőződtünk), tehát a bal oldalon mínusznak kell lennie.

Ez a mínusz a teljes intervallumra (−7; 2) kiterjed, tehát az x = −7 gyöktől jobbra van egy mínusz. Ezért van egy plusz az x = −7 gyöktől balra. Ezeket a jeleket kell megjelölni a koordinátatengelyen. Nekünk van:

Térjünk vissza az eredeti egyenlőtlenséghez, ami így nézett ki:

(x - 2) (x + 7)< 0

Tehát a függvénynek nullánál kisebbnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a mínuszjelre vagyunk kíváncsiak, amely csak egy intervallumon fordul elő: (−7; 2). Ez lesz a válasz.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

1. lépés: Egyenlítse a bal oldalt nullával:

(x + 9) (x - 3) (1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Ne feledje: a szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Ezért jogunk van minden egyes zárójelet nullával egyenlővé tenni.

2. lépés: jelölje meg az összes gyökeret a koordinátavonalon:

3. lépés: keresse meg a jobb szélső rés jelét. Tetszőleges számot veszünk, amely nagyobb, mint x = 1. Például vehetünk x = 10-et.

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.

4. lépés: Helyezze el a többi táblát. Ne feledje, hogy minden gyökéren áthaladva a jel megváltozik. Ennek eredményeként a képünk így fog kinézni:

Ez minden. Már csak a választ kell megírni. Vessen egy pillantást az eredeti egyenlőtlenségre:

(x + 9) (x - 3) (1 - x )< 0

Ez egy f(x) alakú egyenlőtlenség< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ez a válasz.

Megjegyzés a függvényjelekről

A gyakorlat azt mutatja, hogy az intervallummódszer legnagyobb nehézségei az utolsó két lépésnél adódnak, pl. táblák elhelyezésekor. Sok diák kezd összezavarodni: milyen számokat vegyen, és hova tegyen táblákat.

Az intervallummódszer megértéséhez vegye figyelembe két megjegyzést, amelyekre épül:

1. Egy folytonos függvény csak a pontokban vált előjelet ahol egyenlő nullával. Az ilyen pontok a koordináta tengelyét darabokra bontják, amelyeken belül a függvény előjele soha nem változik. Ezért oldjuk meg az f (x) \u003d 0 egyenletet, és jelöljük a talált gyökereket egy egyenesen. A talált számok a „határ” pontok, amelyek elválasztják a pluszokat a mínuszoktól.
2. Ahhoz, hogy megtudjuk egy függvény előjelét bármely intervallumon, elegendő ebből az intervallumból bármely számot behelyettesíteni a függvénybe. Például a (−5; 6) intervallumra felvehetünk x = −4, x = 0, x = 4 és még x = 1,29374 értéket is, ha akarjuk. Miért fontos? Igen, mert sok diákban kezdenek rágni kételyeit. Például mi van akkor, ha x = −4 esetén pluszt, x = 0 esetén mínuszt kapunk? Soha semmi ilyesmi nem fog megtörténni. Ugyanabban az intervallumban minden pont ugyanazt az előjelet adja. Emlékezz erre.

Ennyit kell tudni az intervallum módszerről. Természetesen a legegyszerűbb formájában szétszedtük. Vannak összetettebb egyenlőtlenségek – nem szigorúak, töredékesek és ismétlődő gyökerűek. Náluk is lehet alkalmazni az intervallum módszert, de ez egy külön nagy óra témája.

Most egy fejlett trükköt szeretnék elemezni, amely drasztikusan leegyszerűsíti az intervallum módszert. Pontosabban, az egyszerűsítés csak a harmadik lépést érinti - a vonal jobb szélső részén lévő előjel kiszámítását. Valamiért ezt a technikát nem tartják be az iskolákban (legalábbis nekem nem magyarázta el senki). De hiába - valójában ez az algoritmus nagyon egyszerű.

Tehát a függvény előjele a numerikus tengely jobb oldalán van. Ennek a darabnak az alakja (a; +∞), ahol a az f (x) = 0 egyenlet legnagyobb gyöke. Annak érdekében, hogy ne robbantsa fel az agyunkat, vegyünk egy konkrét példát:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

3 gyökerünk van. Növekvő sorrendben soroljuk fel őket: x = −2, x = 1 és x = 7. Nyilvánvalóan a legnagyobb gyök x = 7.

Akinek könnyebb a grafikus érvelés, azoknak a koordinátavonalon jelölöm meg ezeket a gyökereket. Nézzük mi történik:

Meg kell találni az f (x) függvény előjelét a jobb szélső intervallumon, azaz. be (7; +∞). De amint azt már megjegyeztük, az előjel meghatározásához bármilyen számot vehet ebből az intervallumból. Például vehet x = 8, x = 150 stb. És most - ugyanaz a technika, amelyet az iskolákban nem tanítanak: vegyük a végtelent számnak. Pontosabban, plusz a végtelen, azaz +∞.

"Meg vagy kövezve? Hogyan lehet behelyettesíteni a végtelent függvénybe? talán, kérdezed. De gondolj bele: nem magának a függvénynek az értéke, csak az előjel kell. Ezért például az f (x) = −1 és f (x) = −938 740 576 215 értékek ugyanazt jelentik: a függvény ezen az intervallumon negatív. Ezért csak a végtelenben előforduló előjelet kell megkeresned, nem pedig a függvény értékét.

Valójában a végtelen helyettesítése nagyon egyszerű. Térjünk vissza a funkciónkhoz:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Képzeld el, hogy x egy nagyon nagy szám. Egymilliárd vagy akár egy billió. Most lássuk, mi történik az egyes zárójelekben.

Első zárójel: (x − 1). Mi történik, ha egy milliárdból kivonsz egyet? Az eredmény egy olyan szám lesz, amely nem sokban különbözik a milliárdtól, és ez a szám pozitív lesz. Hasonlóan a második zárójellel: (2 + x). Ha kettőhöz hozzáadunk egy milliárdot, egy milliárdot kapunk kopejkákkal – ez egy pozitív szám. Végül a harmadik zárójel: (7 − x ). Itt lesz mínusz milliárd, amiből „lerágott” egy nyomorult darabot hetes formájában. Azok. a kapott szám nem sokban tér el mínusz milliárdtól - negatív lesz.

Már csak az egész mű jelét kell megtalálni. Mivel az első zárójelben egy plusz, az utolsó zárójelben egy mínusz volt, a következő konstrukciót kapjuk:

(+) · (+) · (−) = (−)

A végső jel mínusz! Nem mindegy, hogy magának a függvénynek mekkora az értéke. A lényeg, hogy ez az érték negatív, pl. a jobb szélső intervallumon mínusz jel található. Marad az intervallummódszer negyedik lépésének befejezése: rendezze el az összes jelet. Nekünk van:

Az eredeti egyenlőtlenség így nézett ki:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Ezért a mínuszjellel jelölt intervallumokra vagyunk kíváncsiak. Kiírjuk a választ:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Ez az egész trükk, amit el akartam mesélni. Összegezve, van még egy egyenlőtlenség, amelyet az intervallum módszerrel oldunk meg a végtelen használatával. A megoldás vizuális lerövidítése érdekében lépésszámokat és részletes megjegyzéseket nem írok. Csak azt írom le, amit a valós problémák megoldásához valóban meg kell írni:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

x (2x + 8) (x - 3) > 0

Az egyenlőtlenséget egy egyenlettel helyettesítjük, és megoldjuk:

x (2x + 8) (x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

A koordinátavonalon mindhárom gyökeret megjelöljük (azonnal jelekkel):

A koordinátatengely jobb oldalán van egy plusz, mert a függvény így néz ki:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

És ha behelyettesítjük a végtelent (például egy milliárdot), akkor három pozitív zárójelet kapunk. Mivel az eredeti kifejezésnek nagyobbnak kell lennie nullánál, minket csak a pluszok érdekelnek. A válasz megírása hátra van:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

És ma már nem mindenki tudja megoldani a racionális egyenlőtlenségeket. Pontosabban nem csak mindenki dönthet. Kevesen tudják megtenni.
Klitschko

Ez a lecke kemény lesz. Olyan kemény, hogy csak a Kiválasztottak érik el a végét. Ezért olvasás előtt azt javaslom, hogy távolítsa el a nőket, macskákat, terhes gyermekeket és ...

Oké, ez valójában nagyon egyszerű. Tegyük fel, hogy elsajátította az intervallum metódust (ha még nem sajátította el, javaslom, hogy menjen vissza és olvassa el), és megtanulta, hogyan kell megoldani a $P\left(x \right) \gt 0$ alakú egyenlőtlenségeket, ahol $P A \left(x \right)$ valamilyen polinom vagy polinomok szorzata.

Úgy gondolom, hogy nem lesz nehéz megoldani például egy ilyen játékot (egyébként próbálja ki bemelegítésképpen):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \jobbra)\left(x-1 \jobbra)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot, és ne csak a polinomokat vegyük figyelembe, hanem az űrlap úgynevezett racionális törteit:

ahol $P\left(x \right)$ és $Q\left(x \right)$ ugyanazok a $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, vagy az ilyen polinomok szorzata.

Ez racionális egyenlőtlenség lesz. Az alapvető szempont a $x$ változó jelenléte a nevezőben. Például itt vannak racionális egyenlőtlenségek:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\bal(3-x \right))^(2))\bal(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(igazítás)\]

És ez nem egy racionális, hanem a leggyakoribb egyenlőtlenség, amelyet az intervallum módszerrel oldanak meg:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Előre tekintve rögtön azt mondom: a racionális egyenlőtlenségek megoldásának legalább két módja van, de mindegyik ilyen vagy olyan módon redukálódik az általunk már ismert intervallum-módszerre. Ezért mielőtt ezeket a módszereket elemeznénk, idézzük fel a régi tényeket, különben nem lesz értelme az új anyagnak.

Amit már tudnod kell

Nem sok fontos tény van. Tényleg csak négyre van szükségünk.

Rövidített szorzóképletek

Igen, igen: kísérteni fognak minket az egész iskolai matematika tananyagon. És az egyetemen is. Sok ilyen képlet létezik, de csak a következőkre van szükségünk:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\jobbra); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\bal(ab \jobb)\bal(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\jobbra). \\ \end(igazítás)\]

Ügyeljen az utolsó két képletre - ez a kockák összege és különbsége (és nem az összeg vagy a különbség kockája!). Könnyen megjegyezhető, ha észreveszi, hogy az első zárójelben szereplő jel megegyezik az eredeti kifejezésben szereplő jellel, a második zárójelben pedig az eredeti kifejezésben szereplő jel ellentéte.

Lineáris egyenletek

Ezek a $ax+b=0$ formájú legegyszerűbb egyenletek, ahol $a$ és $b$ közönséges számok, $a\ne 0$. Ez az egyenlet könnyen megoldható:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(igazítás)\]

Megjegyzem, jogunk van osztani az $a$ együtthatóval, mert $a\ne 0$. Ez a követelmény teljesen logikus, mivel $a=0$-val ezt kapjuk:

Először is, ebben az egyenletben nincs $x$ változó. Ennek általánosságban nem szabad megzavarnia minket (ez mondjuk a geometriában előfordul, és elég gyakran), de mégsem vagyunk többé lineáris egyenlet.

Másodszor, ennek az egyenletnek a megoldása kizárólag a $b$ együtthatótól függ. Ha $b$ is nulla, akkor az egyenletünk $0=0$. Ez az egyenlőség mindig igaz; ezért az $x$ tetszőleges szám (általában $x\-ként írják a \mathbb(R)$-ban). Ha a $b$ együttható nem egyenlő nullával, akkor a $b=0$ egyenlőség soha nem teljesül, azaz. nincs válasz (írta $x\in \varnothing $ és olvassa el, hogy "a megoldáskészlet üres").

Mindezen bonyolultságok elkerülése érdekében egyszerűen feltételezzük az $a\ne 0$-t, ami semmilyen módon nem korlátoz bennünket a további gondolkodásban.

Másodfokú egyenletek

Hadd emlékeztesselek arra, hogy ezt másodfokú egyenletnek nevezik:

Itt a bal oldalon egy másodfokú polinom, és ismét $a\ne 0$ (egyébként a másodfokú egyenlet helyett egy lineárist kapunk). A következő egyenleteket a diszkrimináns segítségével oldjuk meg:

1. Ha $D \gt 0$, akkor két különböző gyökeret kapunk;
2. Ha $D=0$, akkor a gyök egy lesz, de a második multiplicitásé (milyen multiplicitás ez és hogyan kell figyelembe venni - erről később). Vagy azt is mondhatjuk, hogy az egyenletnek két azonos gyökere van;
3. $D \lt 0$ esetén egyáltalán nincsenek gyökök, és a $a((x)^(2))+bx+c$ polinom előjele bármely $x$ esetén egybeesik az $a együttható előjelével. $. Ez egyébként egy nagyon hasznos tény, amit valamiért elfelejtenek elmondani az algebra órákon.

Magukat a gyökereket a jól ismert képlet szerint számítják ki:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Innen mellesleg a diszkriminánsra vonatkozó korlátozások. Hiszen egy negatív szám négyzetgyöke nem létezik. Ami a gyökereket illeti, sok diáknak iszonyatos rendetlenség van a fejében, ezért speciálisan felvettem egy egész leckét: mi a gyök az algebrában és hogyan kell kiszámítani - nagyon ajánlom elolvasni. :)

Műveletek racionális törtekkel

Mindent, amit fent írtak, már tudja, ha tanulmányozta az intervallumok módszerét. De annak, amit most elemezni fogunk, a múltban nem voltak analógjai – ez teljesen új tény.

Meghatározás. A racionális tört a forma kifejezése

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

ahol a $P\left(x \right)$ és a $Q\left(x \right)$ polinomok.

Nyilvánvaló, hogy egy ilyen törtből könnyű egyenlőtlenséget szerezni - elég csak a „nagyobb, mint” vagy a „kisebb, mint” jelet a jobb oldalra rendelni. És egy kicsit távolabb látni fogjuk, hogy az ilyen problémák megoldása öröm, ott minden nagyon egyszerű.

A problémák akkor kezdődnek, ha egy kifejezésben több ilyen tört van. Közös nevezőre kell redukálni őket – és ebben a pillanatban nagyszámú támadó hiba történik.

Ezért a racionális egyenletek sikeres megoldásához két készséget kell szilárdan elsajátítani:

1. A $P\left(x \right)$ polinom faktorizálása;
2. Tulajdonképpen a törtek közös nevezőre hozása.

Hogyan lehet faktorizálni egy polinomot? Nagyon egyszerű. Legyen az alak polinomja

Tegyük egyenlővé a nullával. Megkapjuk a $n$-edik fokú egyenletet:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Tegyük fel, hogy megoldottuk ezt az egyenletet, és megkaptuk a $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ gyököket (ne aggódj: a legtöbb esetben nem lesz kettőnél több ilyen gyökér). Ebben az esetben az eredeti polinomunk a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \jobbra)\cdot \left(x-((x)_(2) \jobbra)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \jobbra) \end(igazítás)\]

Ez minden! Figyelem: a $((a)_(n))$ vezető együttható sehol sem tűnt el - külön tényező lesz a zárójelek előtt, és ha szükséges, bármelyik zárójelbe beilleszthető (a gyakorlat azt mutatja hogy $((a)_ (n))\ne \pm 1$ esetén a gyökök között szinte mindig vannak törtek.

Egy feladat. Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Megoldás. Először is nézzük a nevezőket: ezek mind lineáris binomiálisok, és itt nincs mit faktorozni. Tehát szorozzuk a számlálókat:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\jobb)\bal(x-1\jobb); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \jobbra)\balra(2-5x \jobbra). \\\vége(igazítás)\]

Kérjük, vegye figyelembe: a második polinomban a 2-es szenior együttható, teljesen összhangban a sémánkkal, először a zárójel előtt jelent meg, majd az első zárójelbe került, mivel ott egy tört került ki.

Ugyanez történt a harmadik polinomban is, csak ott a kifejezések sorrendje is zavaros. A „−5” együttható azonban végül a második zárójelbe került (ne feledjük: egy tényezőt csak egy zárójelbe írhatunk be!), ami megkímélt minket a törtgyökökkel járó kellemetlenségektől.

Ami az első polinomot illeti, ott minden egyszerű: a gyökereit vagy a standard módon, a diszkriminánson keresztül, vagy a Vieta-tétel segítségével keressük.

Térjünk vissza az eredeti kifejezéshez, és írjuk át faktorokra bontott számlálókkal:

\[\begin(mátrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \jobbra))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\bal(x+5) \jobbra)-\bal(x-1 \jobbra)-\balra(2-5x \jobbra)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(mátrix)\]

Válasz: $5x+4$.

Mint látható, semmi bonyolult. Egy kis 7-8 osztályos matek és ennyi. Minden átalakítás lényege, hogy egy összetett és félelmetes kifejezést valami egyszerűvé és könnyen használhatóvá alakítsunk.

Ez azonban nem mindig lesz így. Tehát most egy komolyabb problémát fogunk megvizsgálni.

De először találjuk ki, hogyan hozhatunk két törtet közös nevezőre. Az algoritmus rendkívül egyszerű:

1. Tényezősítse mindkét nevezőt;
2. Tekintsük az első nevezőt, és adjuk hozzá a második nevezőben szereplő tényezőket, de az elsőben nem. Az eredményül kapott szorzat lesz a közös nevező;
3. Nézze meg, milyen tényezők hiányoznak az egyes eredeti törtekből ahhoz, hogy a nevezők egyenlőek legyenek a közössel!

Talán ez az algoritmus csak egy szövegnek tűnik, amelyben „sok betű” van. Tehát nézzünk egy konkrét példát.

Egy feladat. Egyszerűsítse a kifejezést:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Megoldás. Az ilyen terjedelmes feladatokat legjobban részekben lehet megoldani. Írjuk ki, mi van az első zárójelben:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Az előző problémával ellentétben itt nem olyan egyszerűek a nevezők. Tényezőzzük mindegyiket.

A $((x)^(2))+2x+4$ négyzetháromtag nem faktorizálható, mert a $((x)^(2))+2x+4=0$ egyenletnek nincs gyöke (a diszkrimináns negatív) . Változatlanul hagyjuk.

A második nevező, a $((x)^(3))-8$ köbös polinom, közelebbről megvizsgálva, a kockák különbsége, és könnyen felbontható a rövidített szorzási képletekkel:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\bal(x-2 \jobb)\bal(((x) ^(2))+2x+4 \jobbra)\]

Semmi más nem számolható, hiszen az első zárójelben egy lineáris binomiális található, a második pedig egy számunkra már ismert konstrukció, aminek nincs valódi gyökere.

Végül a harmadik nevező egy lineáris binomiális, amely nem bontható fel. Így az egyenletünk a következő formában lesz:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\bal (((x)^(2))+2x+4 \jobbra))-\frac(1)(x-2)\]

Teljesen nyilvánvaló, hogy $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ lesz a közös nevező, és hogy minden törtet erre csökkentsünk, meg kell szorozni az első törtet $\left(x-2 \right)$-ra, az utolsót pedig $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$-ra. Ezután már csak a következőket kell hozni:

\[\begin(mátrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ jobb))+\frac(((x)^(2))+8)(\bal(x-2 \jobbra)\bal(((x)^(2))+2x+4 \jobbra))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \jobbra))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \jobbra))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \jobbra)-\balra(((x) )^(2))+2x+4 \jobbra))(\bal(x-2 \jobbra)\bal(((x)^(2))+2x+4 \jobbra))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\bal (((x)^(2))+2x+4 \jobbra))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ balra(((x)^(2))+2x+4 \jobbra)). \\ \end(mátrix)\]

Figyeljünk a második sorra: amikor a nevező már közös, i.e. három külön tört helyett egy nagyot írtunk, nem szabad azonnal megszabadulni a zárójelektől. Jobb, ha írunk egy extra sort, és jegyezzük meg, hogy mondjuk a harmadik tört előtt mínusz volt - és ez nem megy sehova, hanem „lóg” a számlálóban a zárójel előtt. Ezzel sok hibától kímélheti meg magát.

Nos, az utolsó sorban hasznos a számláló faktorizálása. Ráadásul ez egy pontos négyzet, és ismét a rövidített szorzóképletek jönnek a segítségünkre. Nekünk van:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \jobbra))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \jobbra) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Most ugyanígy foglalkozzunk a második zárójellel. Itt egyszerűen leírom az egyenlőségek láncát:

\[\begin(mátrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \jobbra)\left(x+2 \jobbra))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(mátrix)\]

Visszatérünk az eredeti problémához, és megnézzük a terméket:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \jobbra)\left(x+2 \jobbra))=\frac(1)(x+2)\]

Válasz: \[\frac(1)(x+2)\].

Ennek a feladatnak ugyanaz a jelentése, mint az előzőnek: megmutatni, mennyire leegyszerűsíthetők a racionális kifejezések, ha bölcsen közelítjük meg az átalakításukat.

És most, ha mindezt tudod, térjünk át a mai óra fő témájára - a töredékes racionális egyenlőtlenségek megoldására. Ráadásul egy ilyen előkészítés után maguk az egyenlőtlenségek is csattannak majd, mint a dió. :)

A racionális egyenlőtlenségek megoldásának fő módja

A racionális egyenlőtlenségek megoldásának legalább két megközelítése létezik. Most megvizsgáljuk az egyiket - azt, amely általánosan elfogadott az iskolai matematika tanfolyamon.

Először azonban jegyezzünk meg egy fontos részletet. Minden egyenlőtlenség két típusra oszlik:

1. Szigorú: $f\left(x \right) \gt 0$ vagy $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nem szigorú: $f\left(x \right)\ge 0$ vagy $f\left(x \right)\le 0$.

A második típusú egyenlőtlenségek könnyen redukálhatók az elsőre, valamint az egyenlet:

Ez a kis "kiegészítés" $f\left(x \right)=0$ egy olyan kellemetlen dologhoz vezet, mint a kitöltött pontok – az intervallum metódusban találkoztunk velük. Egyébként nincs különbség a szigorú és a nem szigorú egyenlőtlenségek között, ezért elemezzük az univerzális algoritmust:

1. Gyűjtsd össze az egyenlőtlenségjel egyik oldalán az összes nullától eltérő elemet. Például a bal oldalon;
2. Az összes törtet hozzuk közös nevezőre (ha több ilyen tört van), hozzon hasonlókat. Ezután, ha lehetséges, faktorizálja a számlálót és a nevezőt. Így vagy úgy, egy $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ alakú egyenlőtlenséget kapunk, ahol a pipa az egyenlőtlenség jele.
3. Egyenlítse a számlálót nullával: $P\left(x \right)=0$. Megoldjuk ezt az egyenletet, és megkapjuk a $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... gyököket. hogy a nevező nem egyenlő nullával: $Q\left(x \right)\ne 0$. Természetesen lényegében meg kell oldanunk a $Q\left(x \right)=0$ egyenletet, és megkapjuk a $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) gyököket. $, $x_(3 )^(*)$, ... (valós feladatokban aligha lesz háromnál több ilyen gyök).
4. Mindezeket a gyökereket (csillaggal és csillag nélkül is) egyetlen számegyenesen jelöljük, és a csillag nélküli gyökereket átfestjük, a csillaggal rendelkezőket pedig kilyukasztjuk.
5. Elhelyezzük a plusz és mínusz jeleket, kiválasztjuk a szükséges intervallumokat. Ha az egyenlőtlenség alakja $f\left(x \right) \gt 0$, akkor a válasz a pluszjellel jelölt intervallumok lesz. Ha $f\left(x \right) \lt 0$, akkor az intervallumokat "mínuszokkal" nézzük.

A gyakorlat azt mutatja, hogy a 2. és 4. pont okozza a legnagyobb nehézséget - az illetékes transzformációk és a számok helyes elrendezése növekvő sorrendben. Nos, az utolsó lépésnél légy nagyon óvatos: mindig az alapján helyezzük el a táblákat az egyenletekre való továbblépés előtt felírt utolsó egyenlőtlenség. Ez egy univerzális szabály, amelyet az intervallum metódusból örököltek.

Tehát van egy séma. Gyakoroljunk.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Megoldás. Van egy szigorú egyenlőtlenségünk: $f\left(x \right) \lt 0$. Nyilvánvalóan a sémánk 1. és 2. pontja már elkészült: az egyenlőtlenség minden elemét a bal oldalon összegyűjtöttük, semmit sem kell közös nevezőre hozni. Térjünk tehát át a harmadik pontra.

Állítsa a számlálót nullára:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(igazítás)\]

És a nevező:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(igazítás)\]

Ezen a helyen sokan elakadnak, mert elméletileg $x+7\ne 0$-t kell felírni, ahogy az ODZ előírja (nullával nem lehet osztani, ennyi). De végül is a jövőben kiszúrjuk a nevezőből származó pontokat, tehát ne bonyolítsa le még egyszer a számításait - írjon mindenhová egyenlőségjelet, és ne aggódjon. Ezért senki nem von le pontot. :)

Negyedik pont. A kapott gyökereket a számegyenesen jelöljük:

Minden pont ki van szúrva, mert az egyenlőtlenség szigorú

Jegyzet: minden pont ki van szúrva, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. És itt már mindegy: ezek a pontok a számlálóból vagy a nevezőből származtak.

Nos, nézd a jeleket. Vegyél tetszőleges számot $((x)_(0)) \gt 3$. Például $((x)_(0))=100$ (de ugyanilyen jól jöhetett volna $((x)_(0))=3.1$ vagy $((x)_(0)) = 1\000\000$). Kapunk:

Tehát az összes gyökértől jobbra van egy pozitív terület. És minden gyökéren áthaladva a jel megváltozik (ez nem mindig lesz így, de erről később). Ezért továbblépünk az ötödik pontra: elhelyezzük a táblákat, és kiválasztjuk a megfelelőt:

Visszatérünk az utolsó egyenlőtlenséghez, amely az egyenletek megoldása előtt volt. Tulajdonképpen egybeesik az eredetivel, mert ebben a feladatban semmilyen átalakítást nem végeztünk.

Mivel egy $f\left(x \right) \lt 0$ alakú egyenlőtlenséget kell megoldani, ezért a $x\in \left(-7;3 \right)$ intervallumot árnyékoltam - ez az egyetlen mínuszjellel jelölve. Ez a válasz.

Válasz: $x\in \left(-7;3 \right)$

Ez minden! Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Valóban, könnyű feladat volt. Most bonyolítsuk egy kicsit a küldetést, és vegyünk egy „divatosabb” egyenlőtlenséget. Megoldásánál már nem adok ilyen részletes számításokat - egyszerűen felvázolom a kulcsfontosságú pontokat. Általában úgy intézzük, ahogy egy önálló munkán vagy vizsgán tettük volna. :)

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Megoldás. Ez egy $f\left(x \right)\ge 0$ formátumú nem szigorú egyenlőtlenség. Minden nullától eltérő elemet a bal oldalon gyűjtöttünk össze, nincsenek különböző nevezők. Térjünk át az egyenletekre.

Számláló:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Jobbra ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Jobbra ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(igazítás)\]

Névadó:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(igazítás)\]

Nem tudom, milyen perverz alkotta ezt a problémát, de a gyökerek nem jöttek ki jól: nehéz lesz számegyenesen rendezni őket. És ha minden többé-kevésbé egyértelmű a $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ gyökérrel (ez az egyetlen pozitív szám - ez lesz a jobb oldalon), akkor $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ és $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ további tanulmányozást igényel: melyik nagyobb?

Ezt megtudhatod például:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Remélem, nem kell magyarázni, hogy miért a $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Ha szükséges, azt javaslom, hogy emlékezzen a törtekkel végzett műveletek végrehajtására.

És a számegyenesen megjelöljük mindhárom gyökeret:

A számlálóból a pontokat árnyékoljuk, a nevezőből kivágjuk

Jeleket helyeztünk ki. Például veheti a $((x)_(0))=1$-t, és ezen a ponton találja meg a jelet:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Az egyenletek előtti utolsó egyenlőtlenség $f\left(x \right)\ge 0$ volt, tehát a pluszjelre vagyunk kíváncsiak.

Két halmazt kaptunk: az egyik egy közönséges szakasz, a másik pedig egy nyitott sugár a számegyenesen.

Válasz: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Fontos megjegyzés azokkal a számokkal kapcsolatban, amelyeket helyettesítünk, hogy megtudjuk a jobb szélső intervallum előjelét. Nem szükséges a jobb szélső gyökérhez közeli számot helyettesíteni. Vegyünk milliárdokat vagy akár "plusz végtelent" - ebben az esetben a polinom előjelét a zárójelben, a számlálóban vagy a nevezőben kizárólag a vezető együttható előjele határozza meg.

Nézzük meg még egyszer a $f\left(x \right)$ függvényt az utolsó egyenlőtlenségből:

Három polinomot tartalmaz:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(igazítás)\]

Mindegyik lineáris binomiális, és mindegyik pozitív együtthatóval rendelkezik (7, 11 és 13). Ezért nagyon nagy számok helyettesítésekor maguk a polinomok is pozitívak lesznek. :)

Ez a szabály túl bonyolultnak tűnhet, de csak elsőre, amikor nagyon könnyű feladatokat elemezünk. Súlyos egyenlőtlenségek esetén a "plusz-végtelen" helyettesítés lehetővé teszi számunkra, hogy sokkal gyorsabban kitaláljuk az előjeleket, mint a standard $((x)_(0))=100$.

Hamarosan ilyen kihívásokkal kell szembenéznünk. De először nézzünk meg egy alternatív módszert a töredékes racionális egyenlőtlenségek megoldására.

Alternatív mód

Ezt a technikát az egyik tanítványom javasolta nekem. Jómagam soha nem használtam, de a gyakorlat azt mutatja, hogy sok diáknak valóban kényelmesebb így megoldani az egyenlőtlenségeket.

Tehát az eredeti adatok ugyanazok. Meg kell oldanunk egy töredékes racionális egyenlőtlenséget:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Gondoljuk át: miért "rosszabb" a $Q\left(x \right)$ polinom, mint a $P\left(x \right)$ polinom? Miért kell külön gyökércsoportokat (csillaggal és csillag nélkül) tekinteni, lyukasztott pontokra gondolni stb.? Egyszerű: egy törtnek van egy definíciós tartománya, amely szerint a törtnek csak akkor van értelme, ha a nevezője eltér nullától.

Egyébként nincs különbség a számláló és a nevező között: nullához is egyenlővé tesszük, megkeressük a gyököket, majd bejelöljük a számegyenesen. Akkor miért nem cseréljük le a törtsávot (sőt, az osztásjelet) a szokásos szorzással, és írjuk le a DHS összes követelményét külön egyenlőtlenségként? Például így:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Kérjük, vegye figyelembe: ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy a problémát az intervallumok módszerére redukálja, de ez egyáltalán nem bonyolítja a megoldást. Végül is a $Q\left(x \right)$ polinomot nullával egyenlővé tesszük.

Lássuk, hogyan működik ez a valós feladatoknál.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Megoldás. Tehát menjünk tovább az intervallum módszerre:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\jobbra \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

Az első egyenlőtlenséget elemileg oldjuk meg. Csak állítsa minden zárójelet nullára:

\[\begin(align) & x+8=0\Jobbra ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Jobbra ((x)_(2))=11. \\ \end(igazítás)\]

A második egyenlőtlenséggel is minden egyszerű:

A valós egyenesen a $((x)_(1))$ és $((x)_(2))$ pontokat jelöljük. Mindegyik ki van szúrva, mert az egyenlőtlenség szigorú:

A megfelelő pont kétszer is kilyukadt. Ez jó.

Ügyeljen a $x=11$ pontra. Kiderül, hogy „kétszer ki van vájva”: egyrészt az egyenlőtlenség súlyossága, másrészt az ODZ további követelménye miatt vájjuk ki.

Mindenesetre ez csak egy kilyukadt pont lesz. Ezért jeleket tettünk a $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ egyenlőtlenségre - az utolsó, amit az egyenletek megoldása előtt láttunk:

Érdekelnek minket a pozitív régiók, mivel egy $f\left(x \right) \gt 0$ alakú egyenlőtlenséget oldunk meg, és ezeket kiszínezzük. Már csak a választ le kell írni.

Válasz. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Ezzel a megoldással példaként szeretném felhívni a figyelmet a kezdő diákok körében gyakori tévedésre. Mégpedig: az egyenlőtlenségekben soha ne nyiss zárójelet! Éppen ellenkezőleg, próbáljon meg mindent figyelembe venni - ez leegyszerűsíti a megoldást, és sok problémát megspórol.

Most próbáljunk meg valami nehezebbet.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Megoldás. Ez egy $f\left(x \right)\le 0$ formátumú nem szigorú egyenlőtlenség, ezért itt gondosan figyelni kell a kitöltött pontokat.

Térjünk át az intervallum módszerre:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

Térjünk át az egyenletre:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Jobbra ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Jobbra ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Jobbra ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(igazítás)\]

Figyelembe vesszük a további követelményt:

Az összes kapott gyökeret megjelöljük a számegyenesen:

Ha egy pontot egyszerre lyukasztanak ki és töltenek ki, az kilyukasztottnak minősül.

Ismét két pont „átfedi” egymást – ez normális, mindig így lesz. Csak azt fontos megérteni, hogy a kilyukasztottként és kitöltöttként is megjelölt pont valójában kilyukasztott pont. Azok. A "kimarás" erősebb cselekvés, mint az "átfestés".

Ez teljesen logikus, mert pontozással olyan pontokat jelölünk ki, amelyek befolyásolják a függvény előjelét, de maguk nem vesznek részt a válaszadásban. És ha egy ponton a szám már nem felel meg nekünk (például nem esik az ODZ-be), akkor a feladat végéig törljük a mérlegelésből.

Általában hagyd abba a filozofálást. A jeleket elrendezzük és a mínuszjellel jelölt intervallumokra festjük:

Válasz. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

És ismét fel akartam hívni a figyelmet erre az egyenletre:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Még egyszer: soha ne nyisson zárójelet az ilyen egyenletekben! Csak saját magadnak nehezíted a dolgod. Ne feledje: a szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Következésképpen ez az egyenlet egyszerűen „szétbomlik” több kisebbre, amit az előző feladatban megoldottunk.

Figyelembe véve a gyökerek sokaságát

Az előző feladatokból jól látható, hogy a nem szigorú egyenlőtlenségek a legnehezebbek, mert ezekben a kitöltött pontokat kell követni.

De van egy még nagyobb gonoszság a világon – ezek az egyenlőtlenségek többszörös gyökerei. Itt már nem néhány kitöltött pontot kell követni - itt az egyenlőtlenség előjele nem változhat hirtelen, amikor ugyanazon a pontokon halad át.

Ebben a leckében még nem foglalkoztunk ilyesmivel (bár az intervallum módszernél gyakran találkoztunk hasonló problémával). Tehát vezessünk be egy új definíciót:

Meghatározás. A $((\left(x-a \right))^(n))=0$ egyenlet gyöke egyenlő a $x=a$ értékkel, és az $n$-edik multiplicitás gyökének nevezzük.

Valójában nem különösebben érdekel minket a multiplicitás pontos értéke. Csak az a fontos, hogy ez a $n$ szám páros vagy páratlan. Mivel:

1. Ha $x=a$ páros multiplicitás gyöke, akkor a függvény előjele nem változik áthaladva;
2. És fordítva, ha $x=a$ a páratlan multiplicitás gyöke, akkor a függvény előjele megváltozik.

A páratlan multiplicitás gyökének speciális esete az összes előző probléma ebben a leckében: ott a többszörösség mindenhol egyenlő eggyel.

És tovább. Mielőtt hozzáfognánk a problémák megoldásához, szeretném felhívni a figyelmet egy olyan finomságra, amely egy tapasztalt diák számára nyilvánvalónak tűnik, de sok kezdőt kábulatba kerget. Ugyanis:

A $n$ multiplicitásgyök csak akkor keletkezik, ha a teljes kifejezést erre a hatványra emeljük: $((\left(xa \right))^(n))$, és nem $\left(((x)^( n) )-a\right)$.

Még egyszer: a $((\left(xa \right))^(n))$ zárójel a $n$ multiplicitás $x=a$ gyökét adja, de a $\left(((x)^( n)) -a \right)$ vagy, ahogy ez gyakran megesik, az $(a-((x)^(n)))$ megadja nekünk az első multiplicitás gyökét (vagy két gyökét, ha $n$ páros) , nem számít, mi egyenlő $n$-ral.

Összehasonlítás:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Jobbra x=3\bal(5k \jobbra)\]

Itt minden világos: az egész konzolt ötödik hatványra emeltük, így a kimeneten megkaptuk az ötödik fokozat gyökerét. És most:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Két gyökérünk van, de mindkettőnél megvan az első többszörösség. Vagy itt van egy másik:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

És ne zavarjon a tizedik fokozat. A lényeg az, hogy a 10 páros szám, tehát két gyökünk van a kimeneten, és mindkettőnél ismét az első multiplicitás.

Általában legyen óvatos: a többszörösség csak akkor következik be a fokozat a teljes zárójelre vonatkozik, nem csak a változóra.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \jobbra))^(5)))\ge 0\]

Megoldás. Próbáljuk meg megoldani egy alternatív módon – a konkrétról a termékre való átmeneten keresztül:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(igazítás )\jobb.\]

Az első egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel kezeljük:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \jobbra))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Jobbra nyíl x=0\left(2k \jobbra); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Jobbra x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Jobbra x=-7\bal(5k \jobbra). \\ \end(igazítás)\]

Ezenkívül megoldjuk a második egyenlőtlenséget. Valójában már megoldottuk, de hogy a lektorok ne találjanak hibát a megoldásban, jobb, ha újra megoldjuk:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Jobbra x\ne -7\]

Vegyük észre, hogy az utolsó egyenlőtlenségben nincsenek multiplicitások. Valóban: mi a különbség, hogy a számegyenesen hányszor húzzuk át a $x=-7$ pontot? Legalább egyszer, legalább ötször - az eredmény ugyanaz lesz: egy defektes pont.

Jegyezzünk fel mindent, amit a számegyenesen kaptunk:

Ahogy mondtam, az $x=-7$ pontot végül kilyukasztották. A multiplicitásokat az egyenlőtlenség intervallum módszerrel történő megoldása alapján rendezzük.

Marad a táblák elhelyezése:

Mivel a $x=0$ pont a páros multiplicitás gyöke, az előjel nem változik, amikor áthaladunk rajta. A fennmaradó pontok páratlan sokaságúak, és minden egyszerű velük.

Válasz. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ügyeljen arra, hogy ismét $x=0$. Az egyenletes sokféleség miatt érdekes hatás keletkezik: minden tőle balra van átfestve, jobbra is - és maga a pont is teljesen át van festve.

Ennek következtében nem kell elkülöníteni a válasz rögzítésekor. Azok. nem kell olyat írni, hogy $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (bár formálisan egy ilyen válasz is helyes lenne). Ehelyett azonnal $x\in \left[ -4;6 \right]$-t írunk.

Ilyen hatások csak páros számú gyökereknél lehetségesek. A következő feladatban pedig ennek a hatásnak a fordított "megnyilvánulásával" fogunk találkozni. Kész?

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Megoldás. Ezúttal a standard sémát követjük. Állítsa a számlálót nullára:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Jobbra ((x)_(1))=3\bal(4k \jobbra); \\ & x-4=0\Jobbra ((x)_(2))=4. \\ \end(igazítás)\]

És a nevező:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \jobbra)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Jobbra x_(1)^(*)=1\left(2k \jobbra); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Jobbra x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(igazítás)\]

Mivel egy $f\left(x \right)\ge 0$ formájú nem szigorú egyenlőtlenséget oldunk meg, ezért a nevezőből származó gyökök (amelyek csillaggal vannak ellátva) ki lesznek vágva, a számlálóból pedig átfestve. .

Elrendezzük a táblákat, és megsimogatjuk a „plusz”-gal jelölt területeket:

A $x=3$ pont elszigetelt. Ez a válasz része

Mielőtt leírná a végső választ, nézze meg alaposan a képet:

1. A $x=1$ pont páros multiplicitású, de maga is kilyukadt. Ezért a válaszban el kell különíteni: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, és nem $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. A $x=3$ pont is páros multiplicitású és árnyékolt. A táblák elrendezése azt jelzi, hogy maga a pont illik hozzánk, de egy lépés balra-jobbra - és egy olyan területen találjuk magunkat, amely határozottan nem illik hozzánk. Az ilyen pontokat izoláltnak nevezzük, és $x\in \left\(3 \right\)$-ban írjuk.

Az összes kapott darabot összevonjuk egy közös halmazba, és felírjuk a választ.

Válasz: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Meghatározás. Az egyenlőtlenség feloldása azt jelenti keresse meg az összes megoldásának halmazát, vagy bizonyítsd be, hogy ez a készlet üres.

Úgy tűnik: mi lehet itt az érthetetlen? Igen, a helyzet az, hogy a halmazokat különböző módon lehet megadni. Írjuk át a választ az utolsó feladatra:

Szó szerint olvassuk, ami le van írva. Az "x" változó egy bizonyos halmazhoz tartozik, amelyet négy különálló halmaz egyesítése ("U" szimbólum) kap:

• A $\left(-\infty ;1 \right)$ intervallum, ami szó szerint azt jelenti, hogy "minden egynél kisebb szám, de maga nem";
• Az intervallum $\left(1;2 \right)$, azaz. "minden szám 1 és 2 között, de nem maguk az 1 és 2 számok";
• A $\left\( 3 \right\)$ halmaz, amely egyetlen számból áll - három;
• A $\left[ 4;5 \right)$ intervallum, amely tartalmazza az összes 4 és 5 közötti számot, plusz magát a 4-et, de nem 5-öt.

A harmadik pont itt érdekes. Ellentétben az intervallumokkal, amelyek végtelen számhalmazokat határoznak meg, és csak ezeknek a halmazoknak a határait jelölik, a $\left\(3 \right\)$ halmaz pontosan egy számot határoz meg felsorolással.

Annak megértéséhez, hogy a készletben szereplő konkrét számokat soroljuk fel (és nem határokat vagy bármi mást), göndör kapcsos zárójeleket használunk. Például a $\left\( 1;2 \right\)$ jelölés pontosan "két számból álló halmazt jelent: 1 és 2", de nem egy 1-től 2-ig terjedő szegmenst. Semmi esetre se keverje össze ezeket a fogalmakat. .

Többszörös összeadás szabálya

Nos, a mai óra végén egy kis ón Pavel Berdovtól. :)

A figyelmes hallgatók valószínűleg már feltették maguknak a kérdést: mi lesz, ha a számlálóban és a nevezőben ugyanazok a gyökök találhatók? Tehát a következő szabály működik:

Azonos gyökök többszörösei adódnak hozzá. Mindig. Még akkor is, ha ez a gyök a számlálóban és a nevezőben is előfordul.

Néha jobb dönteni, mint beszélni. Ezért a következő problémát oldjuk meg:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \jobb)\bal(((x)^(2))+ 9x+14 \jobbra))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(igazítás)\]

Egyelőre semmi különös. Állítsa a nevezőt nullára:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\jobbra nyíl x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Jobbra x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(igazítás)\]

Két azonos gyök található: $((x)_(1))=-2$ és $x_(4)^(*)=-2$. Mindkettőnek megvan az első többszöröse. Ezért lecseréljük őket egy gyökérre $x_(4)^(*)=-2$, de 1+1=2 multiplicitással.

Ezen kívül vannak még azonos gyökök is: $((x)_(2))=-4$ és $x_(2)^(*)=-4$. Ők is az első multiplicitásúak, így az 1+1=2 multiplicitásból csak $x_(2)^(*)=-4$ marad.

Figyelem: mindkét esetben pontosan a „kivágott” gyökeret hagytuk meg, az „átfestettet” pedig kidobtuk a mérlegelésből. Ugyanis már az óra elején megegyeztünk: ha egy pontot egyszerre lyukasztanak ki és festenek át, akkor is kilyukasztottnak tekintjük.

Ennek eredményeként négy gyökerünk van, és mindegyik kivájt:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \jobb); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \jobb). \\ \end(igazítás)\]

Jelöljük őket a számegyenesen, figyelembe véve a többszörösséget:

Kihelyezzük a táblákat és lefestjük a számunkra érdekes területeket:

Minden. Nincsenek elszigetelt pontok és egyéb perverziók. Leírhatod a választ.

Válasz. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

szorzási szabály

Néha előfordul még kellemetlenebb helyzet is: egy többgyökerű egyenlet maga is egy bizonyos hatványra emelkedik. Ez megváltoztatja az összes eredeti gyökér többszörösét.

Ez ritka, ezért a legtöbb diáknak nincs tapasztalata az ilyen problémák megoldásában. És itt a szabály:

Ha egy egyenletet $n$ hatványra emelünk, akkor az összes gyökének többszöröse is növekszik $n$-os tényezővel.

Más szóval, ha hatványra emelünk, akkor a multiplicitások ugyanazzal a hatványsal szorozódnak. Vegyük ezt a szabályt példaként:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \jobbra))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\bal(2-x \jobb))^(3))((\bal(x-1 \jobb))^(2)))\le 0\]

Megoldás. Állítsa a számlálót nullára:

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Az első szorzóval minden világos: $x=0$. És itt kezdődnek a problémák:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \jobb); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(igazítás)\]

Amint látja, a $((x)^(2))-6x+9=0$ egyenletnek a második multiplicitás egyedi gyöke van: $x=3$. Ezután a teljes egyenletet négyzetre emeljük. Ezért a gyökér többszöröse $2\cdot 2=4$ lesz, amit végül felírtunk.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Jobbra x=4\bal(5k \jobbra)\]

A nevezővel sincs gond:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Jobbra x_(1)^(*)=2\left(3k \jobbra); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Jobbra x_(2)^(*)=1\bal(2k \jobbra). \\ \end(igazítás)\]

Összesen öt pontot kaptunk: kettőt kiütöttek, hármat betöltöttek. A számlálóban és a nevezőben nincsenek egybeeső gyökök, ezért csak jelöljük őket a számegyenesen:

A jeleket a többszörösségek figyelembevételével rendezzük el, és átfestjük a számunkra érdekes intervallumokat:

Ismét egy elszigetelt pont és egy defektes

Az egyenletes sokféleség gyökerei miatt ismét kaptunk egy-két „nem szabványos” elemet. Ez $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nem $x\in \left[ 0;2 \right)$, és egy elszigetelt pont $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Válasz. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Amint látja, nem minden olyan nehéz. A lényeg a figyelmesség. Ennek a leckének az utolsó része az átalakulásoknak szentelődik – pontosan azoknak, amelyekről a legelején beszéltünk.

Előkonverziók

Az ebben a részben tárgyalandó egyenlőtlenségek nem bonyolultak. Az előző feladatokkal ellentétben azonban itt kell alkalmaznia a racionális törtek elméletéből származó készségeket - a faktorizálást és a redukciót egy közös nevezőre.

Ezt a kérdést a mai lecke legelején részletesen megvitattuk. Ha nem biztos abban, hogy érted, miről van szó, erősen ajánlom, hogy térjen vissza, és ismételje meg. Mert nincs értelme az egyenlőtlenségek megoldásának módszereit zsúfolni, ha a törtek átszámításában "úszol".

A házi feladatban egyébként szintén sok hasonló feladat lesz. Külön alszekcióba kerülnek. És ott találsz nagyon nem triviális példákat. De ez a házi feladatban lesz, de most elemezzünk pár ilyen egyenlőtlenséget.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Megoldás. Mindent balra mozgatva:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Csökkentjük egy közös nevezőre, nyissuk ki a zárójeleket, adjuk meg a hasonló kifejezéseket a számlálóban:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ jobb))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Most van egy klasszikus tört racionális egyenlőtlenségünk, amelynek megoldása már nem nehéz. Javaslom egy alternatív módszerrel - az intervallumok módszerével - megoldani:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(igazítás)\]

Ne felejtsd el a nevezőből származó kényszert:

Minden számot és korlátozást megjelölünk a számegyenesen:

Minden gyökérnek van első többszörössége. Nincs mit. Csak elhelyezzük a táblákat és lefestjük a szükséges területeket:

Ez mind. Leírhatod a választ.

Válasz. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \jobbra)$.

Természetesen ez egy nagyon egyszerű példa volt. Tehát most nézzük meg közelebbről a problémát. És mellesleg ennek a feladatnak a szintje teljesen összhangban van a 8. osztályos önálló és ellenőrző munkával ebben a témában.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Megoldás. Mindent balra mozgatva:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Mielőtt mindkét törtet közös nevezőre hoznánk, ezeket a nevezőket faktorokra bontjuk. Hirtelen ugyanazok a zárójelek jönnek ki? Az első nevezővel egyszerű:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

A második egy kicsit nehezebb. Nyugodtan adjon hozzá egy állandó szorzót a zárójelhez, ahol a tört található. Ne feledje: az eredeti polinomnak voltak egész együtthatói, így nagy valószínűséggel a faktorizálásnak is lesznek egész együtthatói (sőt, mindig lesznek, kivéve ha a diszkrimináns irracionális).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Mint látható, van egy közös zárójel: $\left(x-1 \right)$. Visszatérünk az egyenlőtlenséghez, és mindkét törtet közös nevezőre hozzuk:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ bal(3x-2\jobb))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(igazítás)\]

Állítsa a nevezőt nullára:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( igazítsa)\]

Nincsenek többszörösségek és nincsenek egybeeső gyökerek. Négy számot jelölünk egy egyenesen:

Kihelyezzük a táblákat:

Leírjuk a választ.

Válasz: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ jobbra)$.

Minden! Így elolvastam ezt a sort. :)

A cikkben megvizsgáljuk egyenlőtlenségek megoldása. Beszéljünk tisztán róla hogyan építsünk megoldást az egyenlőtlenségekre világos példákkal!

Mielőtt az egyenlőtlenségek példákkal való megoldását megvizsgálnánk, foglalkozzunk az alapfogalmakkal.

Bevezetés az egyenlőtlenségekbe

egyenlőtlenség kifejezésnek nevezzük, amelyben a függvényeket >, relációjelek kapcsolják össze. Az egyenlőtlenségek lehetnek numerikusak és alfabetikusak is.
A két relációjelű egyenlőtlenségeket kettősnek, a három-hármasnak stb. Például:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) A > vagy vagy jelet tartalmazó egyenlőtlenségek nem szigorúak.
Egyenlőtlenségi megoldás a változó bármely értéke, amelyre ez az egyenlőtlenség igaz.
"Oldja meg az egyenlőtlenséget" azt jelenti, hogy meg kell találnia az összes megoldás halmazát. Számos megoldás létezik az egyenlőtlenségek megoldásának módszerei. Mert egyenlőtlenségi megoldások végtelen számegyenest használjunk. Például, az egyenlőtlenség megoldása x > 3 egy intervallum 3-tól +-ig, és a 3-as szám nem szerepel ebben az intervallumban, ezért az egyenes pontját egy üres kör jelöli, mert szigorú az egyenlőtlenség.
+
A válasz a következő lesz: x (3; +).
Az x=3 érték nem szerepel a megoldások halmazában, ezért a zárójel kerek. A végtelen jele mindig zárójelben van. A jel jelentése „tartozás”.
Fontolja meg, hogyan lehet megoldani az egyenlőtlenségeket egy másik, az előjellel rendelkező példával:
x2
-+
Az x=2 érték benne van a megoldások halmazában, így a szögletes zárójelet és az egyenesen lévő pontot kitöltött körrel jelöljük.
A válasz a következő lesz: x

Egyszerűen fogalmazva, a modulus „egy mínusz nélküli szám”. És ez a kettősség (valahol nem kell semmit csinálni az eredeti számmal, de valahol el kell távolítania néhány mínuszt) és a kezdő hallgatók számára minden nehézség rejlik.

Van egy geometriai meghatározás is. Hasznos is tudni, de csak összetett és néhány speciális esetben hivatkozunk rá, ahol a geometriai megközelítés kényelmesebb, mint az algebrai (spoiler: ma nem).

Meghatározás. Legyen az $a$ pont a valós egyenesen jelölve. Ezután a $\left| modul x-a \right|$ az $x$ pont és az $a$ pont távolsága ezen az egyenesen.

Ha rajzolsz egy képet, valami ilyesmit kapsz:

Grafikus modul definíció

Így vagy úgy, kulcstulajdonsága azonnal következik a modul definíciójából: egy szám modulusa mindig nem negatív érték. Ez a tény egy vörös szál lesz, amely végigfut az egész mai történetünkön.

Az egyenlőtlenségek megoldása. Térköz módszer

Most foglalkozzunk az egyenlőtlenségekkel. Nagyon sok van belőlük, de most az a feladatunk, hogy legalább a legegyszerűbbet meg tudjuk oldani. Azokat, amelyeket lineáris egyenlőtlenségekre redukálunk, valamint az intervallumok módszerére.

Két nagy oktatóanyagom van ebben a témában (mellesleg, nagyon-nagyon hasznos - javaslom a tanulmányozást):

1. Az egyenlőtlenségek intervallummódszere (különösen nézze meg a videót);
2. A töredék-racionális egyenlőtlenségek nagyon terjedelmes lecke, de utána már egyáltalán nem marad kérdésed.

Ha mindezt tudod, ha az "egyenlőtlenségből térjünk át az egyenletre" kifejezés nem késztet homályosan arra, hogy falhoz öld magad, akkor készen állsz: üdv a pokolban az óra fő témájában. :)

1. "A modul kisebb, mint a függvény" alakú egyenlőtlenségek

Ez az egyik leggyakrabban előforduló feladat a modulokkal kapcsolatban. Meg kell oldani a forma egyenlőtlenségét:

\[\left| f\right| \ltg\]

Bármi működhet $f$ és $g$ függvényként, de általában polinomok. Példák az ilyen egyenlőtlenségekre:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\jobbra| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra|+3\left(x+1 \jobbra) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\bal| x \jobbra|-3 \jobbra| \lt 2. \\\end(igazítás)\]

Mindegyik szó szerint egy sorban van megoldva a séma szerint:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(igazítás) \jó jó)\]

Könnyen belátható, hogy megszabadulunk a modultól, de helyette dupla egyenlőtlenséget (vagy ami ugyanaz, két egyenlőtlenség rendszerét) kapunk. De ez az átmenet abszolút minden lehetséges problémát figyelembe vesz: ha a modul alatti szám pozitív, a módszer működik; ha negatív, akkor is működik; és még akkor is működik a módszer, ha a $f$ vagy $g$ helyett a legelégtelenebb függvény van.

Természetesen felmerül a kérdés: nem könnyebb? Sajnos nem lehet. Ez a modul lényege.

De elég a filozofálásból. Oldjunk meg pár problémát:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\left| 2x+3\jobbra| \ltx+7\]

Megoldás. Tehát van egy klasszikus „a modul kisebb, mint” formájú egyenlőtlenségünk – nincs is mit átalakítani. A következő algoritmus szerint dolgozunk:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Jobbra -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\jobbra| \lt x+7\Jobbra -\balra(x+7 \jobbra) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\vége(igazítás)\]

Ne rohanjon kinyitni a zárójeleket, amelyeket „mínusz” előz meg: nagyon valószínű, hogy a sietség miatt támadó hibát követ el.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(igazítás) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

A probléma két elemi egyenlőtlenségre redukálódott. Megoldásaikat párhuzamos valós egyeneseken jegyezzük meg:

Sokak kereszteződése

Ezeknek a halmazoknak a metszéspontja lesz a válasz.

Válasz: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra|+3\left(x+1 \jobbra) \lt 0\]

Megoldás. Ez a feladat egy kicsit nehezebb. Először is elkülönítjük a modult a második tag jobbra mozgatásával:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Nyilvánvalóan ismét van egy „a modul kevesebb” alakú egyenlőtlenségünk, így a már ismert algoritmus szerint megszabadulunk a modultól:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Most figyelem: valaki azt fogja mondani, hogy egy kicsit perverz vagyok ezekkel a zárójelekkel. De még egyszer emlékeztetem önöket, hogy a legfontosabb célunk az helyesen oldja meg az egyenlőtlenséget és kapja meg a választ. Később, amikor tökéletesen elsajátítottad az ebben a leckében leírtakat, tetszés szerint elferdítheti magát: zárójeleket nyithat, mínuszokat adhat hozzá stb.

Kezdetnek pedig megszabadulunk a bal oldali dupla mínusztól:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Most nyissuk meg a kettős egyenlőtlenség összes zárójelét:

Térjünk át a kettős egyenlőtlenségre. Ezúttal a számítások komolyabbak lesznek:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( igazítás)\jobbra.\]

Mindkét egyenlőtlenség négyzet alakú, és az intervallum módszerrel oldjuk meg (ezért mondom: ha nem tudod, mi az, jobb, ha még nem vállalod a modulokat). Áttérünk az első egyenlőtlenség egyenletére:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\vége(igazítás)\]

Amint látható, a kimenet egy hiányos másodfokú egyenlet, amelyet elemileg megoldottak. Most foglalkozzunk a rendszer második egyenlőtlenségével. Itt alkalmazni kell Vieta tételét:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\vége(igazítás)\]

A kapott számokat két párhuzamos egyenesre jelöljük (külön az első egyenlőtlenséghez és külön a másodikhoz):

Ismételten, mivel egyenlőtlenségrendszert oldunk meg, az árnyékolt halmazok metszéspontja érdekel minket: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ez a válasz.

Válasz: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Szerintem ezek után a példák után a megoldási séma nagyon világos:

1. Izolálja le a modult úgy, hogy az összes többi tagot az egyenlőtlenség ellenkező oldalára helyezi. Így egy $\left| alakú egyenlőtlenséget kapunk f\right| \ltg$.
2. Oldja meg ezt az egyenlőtlenséget úgy, hogy a fent leírt módon megszabadul a modultól. Valamikor el kell térni a kettős egyenlőtlenségtől a két független kifejezésből álló rendszer felé, amelyek mindegyike már külön-külön is megoldható.
3. Végül már csak e két független kifejezés megoldását kell keresztezni – és ennyi, megkapjuk a végső választ.

Hasonló algoritmus létezik a következő típusú egyenlőtlenségekre, amikor a modulus nagyobb, mint a függvény. Van azonban egy-két komoly "de". Most ezekről a „de”-ekről fogunk beszélni.

2. "A modul nagyobb, mint a függvény" alakú egyenlőtlenségek

Így néznek ki:

\[\left| f\right| \gt g\]

Hasonló az előzőhöz? Úgy néz ki, mint a. Ennek ellenére az ilyen feladatokat teljesen más módon oldják meg. Formálisan a séma a következő:

\[\left| f\right| \gt g\Jobbra \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Más szóval, két esetet vizsgálunk:

1. Először egyszerűen figyelmen kívül hagyjuk a modult - megoldjuk a szokásos egyenlőtlenséget;
2. Ekkor tulajdonképpen megnyitjuk a mínuszjelű modult, majd az egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzuk -1-gyel, előjellel.

Ebben az esetben a lehetőségeket szögletes zárójellel kombinálják, pl. Két követelmény kombinációja áll rendelkezésünkre.

Figyeld még egyszer: nem egy rendszer áll előttünk, hanem egy aggregátum, tehát a válaszban a halmazokat kombinálják, nem metszik. Ez alapvető különbség az előző bekezdéshez képest!

Általánosságban elmondható, hogy sok diák nagyon zavart a szakszervezetekkel és a kereszteződésekkel, ezért nézzük meg ezt a kérdést egyszer s mindenkorra:

• A "∪" egy összefűzési jel. Valójában ez egy stilizált "U" betű, amely az angol nyelvből érkezett hozzánk, és az "Union" rövidítése, azaz „Egyesületek”.
• A "∩" a kereszteződés jele. Ez a baromság nem jött sehonnan, hanem csak a "∪" ellenzékeként jelent meg.

Hogy még könnyebb legyen az emlékezet, csak adjon hozzá lábakat ezekhez a jelekhez, hogy szemüveget készítsen (csak most ne vádoljon a kábítószer-függőség és az alkoholizmus népszerűsítésével: ha komolyan tanulja ezt a leckét, akkor már kábítószer-függő):

Különbség a halmazok metszéspontja és uniója között

Oroszra lefordítva ez a következőket jelenti: az unió (gyűjtemény) mindkét halmazból tartalmaz elemeket, ezért nem kevesebb, mint mindegyik; de a metszéspont (rendszer) csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek az első halmazban és a másodikban is szerepelnek. Ezért a halmazok metszéspontja soha nem nagyobb, mint a forráshalmazok metszéspontja.

Szóval világosabb lett? Az nagyszerű. Térjünk át a gyakorlásra.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\left| 3x+1 \jobbra| \gt 5-4x\]

Megoldás. A séma szerint járunk el:

\[\left| 3x+1 \jobbra| \gt 5-4x\Jobbra \balra[ \begin(igazítás) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \jobbra) \\\vége(igazítás) \ jobb.\]

Megoldjuk az egyes népesedési egyenlőtlenségeket:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left[ \begin(igazítás) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

Minden kapott halmazt megjelölünk a számegyenesen, majd egyesítjük őket:

A halmazok egyesülése

Nyilvánvalóan a válasz $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Válasz: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \gtx\]

Megoldás. Jól? Nem, mindegy. Egy modulusos egyenlőtlenségből két egyenlőtlenség halmazába megyünk át:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \jobbra| \gt x\Jobbra \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Minden egyenlőtlenséget megoldunk. Sajnos ott nem lesznek túl jók a gyökerek:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\vége(igazítás)\]

A második egyenlőtlenségben van egy kis játék is:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\vége(igazítás)\]

Most meg kell jelölnünk ezeket a számokat két tengelyen - egy tengelyen minden egyenlőtlenséghez. A pontokat azonban megfelelő sorrendben kell megjelölnie: minél nagyobb a szám, annál jobban eltolódik a pont jobbra.

És itt várunk a beállításra. Ha minden világos a $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ számokkal (az első szám számlálójában szereplő kifejezések tört kisebb, mint a második számlálójában szereplő tagok, így az összeg is kisebb, a $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) számokkal (21))(2)$ szintén nem lesz nehézség (pozitív szám nyilván inkább negatív), de az utolsó párral nem minden olyan egyszerű. Melyik a nagyobb: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vagy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? A kérdésre adott választól függ a pontok elrendezése a számegyeneseken, sőt, a válasz is.

Tehát hasonlítsuk össze:

\[\begin(mátrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(mátrix)\]

Elszigeteltük a gyökeret, nem negatív számokat kaptunk az egyenlőtlenség mindkét oldalán, így jogunk van mindkét oldalt négyzetre emelni:

\[\begin(mátrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(mátrix)\]

Szerintem nem ötlet, hogy $4\sqrt(13) \gt 3$, tehát $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, végül a pontok a tengelyeken a következőképpen lesznek elrendezve:

Csúnya gyökerek esete

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy halmazt oldunk meg, így a válasz az egyesülés lesz, nem pedig az árnyékolt halmazok metszéspontja.

Válasz: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Amint látja, sémánk kiválóan működik egyszerű és nagyon nehéz feladatok esetén is. Az egyetlen „gyenge pont” ebben a megközelítésben az, hogy helyesen kell összehasonlítani az irracionális számokat (és hidd el: ezek nem csak gyökök). De külön (és nagyon komoly) leckét szentelünk az összehasonlítás kérdéseinek. És továbbmegyünk.

3. Egyenlőtlenségek a nem negatív "farokkal"

Elérkeztünk tehát a legérdekesebbhez. Ezek a formai egyenlőtlenségek:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

Általánosságban elmondható, hogy az algoritmus, amelyről most beszélni fogunk, csak a modulra igaz. Minden olyan egyenlőtlenségben működik, ahol a bal és a jobb oldalon garantáltan nem negatív kifejezések vannak:

Mi a teendő ezekkel a feladatokkal? Csak ne feledd:

A nem negatív farkú egyenlőtlenségekben mindkét oldal bármely természetes hatalomra emelhető. További korlátozások nem lesznek.

Először is érdekelni fogunk a négyzetesítésben - modulokat és gyökereket éget:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\vége(igazítás)\]

Csak ne keverje össze ezt a négyzet gyökerének felvételével:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Számtalan hibát követtek el, amikor egy hallgató elfelejtett modult telepíteni! De ez egy teljesen más történet (ezek mintha irracionális egyenletek volna), ezért ebbe most nem megyünk bele. Inkább oldjunk meg néhány problémát:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Megoldás. Két dolgot azonnal észreveszünk:

1. Ez egy nem szigorú egyenlőtlenség. A számegyenes pontjai ki lesznek lyukasztva.
2. Az egyenlőtlenség mindkét oldala nyilvánvalóan nem negatív (ez a modul tulajdonsága: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Ezért az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelhetjük, hogy megszabaduljunk a modulustól és megoldjuk a problémát a szokásos intervallum módszerrel:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Utolsó lépésben csaltam egy kicsit: a modulus paritásával megváltoztattam a tagok sorrendjét (valójában a $1-2x$ kifejezést -1-gyel szoroztam).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ jobb)\jobb)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallum módszerrel oldjuk meg. Térjünk át az egyenlőtlenségről az egyenletre:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\vége(igazítás)\]

A talált gyökereket a számegyenesen jelöljük. Még egyszer: minden pont árnyékolt, mert az eredeti egyenlőtlenség nem szigorú!

Megszabadulni a modul jelétől

Hadd emlékeztesselek a különösen makacsokra: az előjeleket az utolsó egyenlőtlenségből vesszük, amelyet az egyenletre való továbblépés előtt írtunk le. És ugyanabban az egyenlőtlenségben átfestjük a szükséges területeket. Esetünkben ez $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Hát ennyi. Probléma megoldódott.

Válasz: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \jobbra|\]

Megoldás. Mindent ugyanúgy csinálunk. Nem kommentálok – nézd csak meg a műveletek sorrendjét.

Nézzük négyzetre:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \jobbra| \jobbra))^(2))\le ((\left(\left) ((x)^(2))+3x+4 \jobbra| \jobbra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \jobbra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ jobb))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \jobbra)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(igazítás)\]

Távolsági módszer:

\[\begin(igazítás) & \left(-2x-3 \right)\left(2(x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Jobbra nyíl x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Jobbra D=16-40 \lt 0\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Csak egy gyök van a számegyenesen:

A válasz egy egész tartomány

Válasz: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Egy kis megjegyzés az utolsó feladathoz. Ahogy egyik tanítványom pontosan megjegyezte, ebben az egyenlőtlenségben mindkét részmodul kifejezés nyilvánvalóan pozitív, így a modulus jele az egészség károsodása nélkül elhagyható.

De ez már egy teljesen más gondolkodási szint és más megközelítés - feltételesen nevezhetjük a következmények módszerének. Róla - külön leckében. És most térjünk át a mai lecke utolsó részére, és vegyünk egy univerzális algoritmust, amely mindig működik. Még akkor is, ha minden korábbi megközelítés tehetetlen volt. :)

4. Az opciók számbavételének módja

Mi van, ha ezek a trükkök nem működnek? Ha az egyenlőtlenség nem redukálódik nem-negatív farokra, ha lehetetlen elkülöníteni a modult, ha egyáltalán fájdalom-szomorúság-vágy?

Ezután az összes matematika „nehéztüzérsége” lép színre - a számlálási módszer. Ami a modulussal való egyenlőtlenségeket illeti, ez így néz ki:

1. Írja ki az összes részmodul kifejezést, és egyenlővé tegye őket nullával;
2. Oldja meg a kapott egyenleteket, és jelölje meg a talált gyököket egy számegyenesen;
3. Az egyenes több szakaszra lesz osztva, amelyeken belül minden modulnak van egy rögzített előjele, és ezért egyértelműen bővül;
4. Oldja meg az egyenlőtlenséget minden ilyen szakaszon (a megbízhatóság érdekében külön is figyelembe veheti a 2. bekezdésben kapott határgyököket). Kombinálja az eredményeket - ez lesz a válasz. :)

Nos, hogyan? Gyenge? Könnyen! Csak sokáig. Lássuk a gyakorlatban:

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

\[\left| x+2 \jobbra| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Megoldás. Ez a baromság nem olyan egyenlőtlenségekre vezethető vissza, mint a $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ vagy $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, úgyhogy folytassuk.

Kiírjuk az almodul kifejezéseket, egyenlővé tesszük őket nullával, és megkeressük a gyökereket:

\[\begin(align) & x+2=0\Jobbra x=-2; \\ & x-1=0\Jobbra x=1. \\\vége(igazítás)\]

Összességében két gyökünk van, amelyek a számsort három részre osztják, amelyeken belül minden modul egyedileg jelenik meg:

A számegyenes felosztása szubmoduláris függvények nullákkal

Tekintsük az egyes szakaszokat külön-külön.

1. Legyen $x \lt -2$. Ekkor mindkét részmodul kifejezés negatív, és az eredeti egyenlőtlenséget a következőképpen írjuk át:

\[\begin(igazítás) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(igazítás)\]

Meglehetősen egyszerű korlátot kaptunk. Vegyük keresztbe azzal az eredeti feltevéssel, hogy $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Nyilvánvaló, hogy a $x$ változó egyszerre nem lehet kisebb, mint −2, de nem lehet nagyobb, mint 1,5. Ezen a területen nincsenek megoldások.

1.1. Nézzük külön a határesetet: $x=-2$. Helyettesítsük be ezt a számot az eredeti egyenlőtlenségbe, és ellenőrizzük: érvényes-e?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \jobbra|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Nyilvánvaló, hogy a számítások láncolata rossz egyenlőtlenséghez vezetett. Ezért az eredeti egyenlőtlenség is hamis, és $x=-2$ nem szerepel a válaszban.

2. Most legyen $-2 \lt x \lt 1$. A bal oldali modul már "plusszal" fog megnyílni, de a jobb oldali még mindig "mínuszos". Nekünk van:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(igazítás)\]

Ismét keresztezzük az eredeti követelményt:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

És ismét a megoldások üres halmaza, mivel nincs olyan szám, amely egyszerre kisebb, mint -2,5 és nagyobb, mint -2.

2.1. És ismét egy speciális eset: $x=1$. Az eredeti egyenlőtlenségbe behelyettesítjük:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\jobbra| \lt\left| 0 \jobbra|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Jobbra \varnothing . \\\vége(igazítás)\]

Az előző „speciális esethez” hasonlóan a $x=1$ szám egyértelműen nem szerepel a válaszban.

3. A sor utolsó darabja: $x \gt 1$. Itt minden modul pluszjellel bővül:

\[\begin(igazítás) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(igazítás)\ ]

És ismét metszi a talált halmazt az eredeti megszorítással:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \jobb)\]

Végül! Megtaláltuk az intervallumot, ez lesz a válasz.

Válasz: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Végül egy megjegyzés, amely megóvhatja Önt a hülye hibáktól a valódi problémák megoldása során:

Az egyenlőtlenségek modulos megoldásai általában folytonos halmazok a számegyenesen - intervallumok és szegmensek. Az elszigetelt pontok sokkal ritkábbak. És még ritkábban előfordul, hogy a megoldás határai (a szakasz vége) egybeesnek a vizsgált tartomány határával.

Ezért ha a határok (ugyanazok a „speciális esetek”) nem szerepelnek a válaszban, akkor az ezektől a határoktól balra-jobbra eső területek sem fognak szinte biztosan szerepelni a válaszban. És fordítva: a határ válaszként lépett be, ami azt jelenti, hogy körülötte néhány terület válasz is lesz.

Ezt tartsa szem előtt, amikor ellenőrzi a megoldásokat.

Miután megkaptuk a kezdeti információkat a változókkal való egyenlőtlenségekről, rátérünk azok megoldásának kérdésére. Elemezzük a lineáris egyenlőtlenségek egy változós megoldását és a megoldásukra szolgáló összes módszert algoritmusokkal és példákkal. Csak az egyváltozós lineáris egyenleteket veszik figyelembe.

Mi az a lineáris egyenlőtlenség?

Először meg kell határoznia egy lineáris egyenletet, és meg kell találnia a szabványos formáját, valamint azt, hogy miben fog különbözni a többitől. Az iskolai kurzusból azt kaptuk, hogy az egyenlőtlenségeknek nincs alapvető különbsége, ezért több definíciót kell használni.

1. definíció

Lineáris egyenlőtlenség egy változóval x egy a x + b > 0 alakú egyenlőtlenség, ha > helyett bármilyen egyenlőtlenségjelet használunk< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

2. definíció

Egyenlőtlenségek a x< c или a · x >c , ahol x változó, a és c pedig néhány szám, hívjuk lineáris egyenlőtlenségek egy változóval.

Mivel semmit nem mondanak arról, hogy az együttható egyenlő lehet-e 0-val, ezért egy szigorú egyenlőtlenség 0 x > c és 0 x alakú< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Különbségeik a következők:

• az elsőben a · x + b > 0, a másodikban a · x > c – jelölés;
• nulla együttható a , a ≠ 0 - az elsőben és a = 0 - a másodikban.

Úgy gondoljuk, hogy az a x + b > 0 és az a x > c egyenlőtlenségek ekvivalensek, mert a tag egyik részből a másikba való átvitelével kapják őket. A 0 · x + 5 > 0 egyenlőtlenség megoldása oda vezet, hogy meg kell oldani, és az a = 0 eset nem fog működni.

3. definíció

Úgy tekintjük, hogy az egy x változóban lévő lineáris egyenlőtlenségek a forma egyenlőtlenségei a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0És a x + b ≥ 0, ahol a és b valós számok. Az x helyett egy közönséges szám is lehet.

A szabály alapján azt kapjuk, hogy 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 lineárisnak nevezzük.

Hogyan oldjuk meg a lineáris egyenlőtlenséget

Az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának fő módja az, hogy ekvivalens transzformációkkal keressük meg az x elemi egyenlőtlenségeket< p (≤ , >, ≥) , p valamilyen szám, ha a ≠ 0 , és a alakú< p (≤ , >, ≥) ha a = 0 .

Egy változós egyenlőtlenség megoldásához használhatja az intervallum módszert vagy ábrázolhatja grafikusan. Bármelyik használható elkülönítve.

Egyenértékű transzformációk használata

Az a x + b alakú lineáris egyenlőtlenség megoldása< 0 (≤ , >, ≥) , az egyenlőtlenség ekvivalens transzformációit kell alkalmazni. Az együttható nulla lehet vagy nem. Tekintsük mindkét esetet. A tisztázás érdekében ragaszkodni kell egy 3 pontból álló sémához: a folyamat lényege, az algoritmus, maga a megoldás.

4. definíció

Algoritmus lineáris egyenlőtlenség megoldására a x + b< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 esetén

• a b szám átkerül az ellentétes előjelű egyenlőtlenség jobb oldalára, ami lehetővé teszi, hogy a megfelelő a x-hez jussunk< − b (≤ , > , ≥) ;
• az egyenlőtlenség mindkét része el lesz osztva egy 0-tól eltérő számmal. Sőt, ha a pozitív, az előjel megmarad, ha a negatív, akkor az ellenkezőjére változik.

Tekintsük ennek az algoritmusnak az alkalmazását a példák megoldására.

1. példa

Oldjunk meg egy 3 · x + 12 ≤ 0 alakú egyenlőtlenséget.

Megoldás

Ennek a lineáris egyenlőtlenségnek a = 3 és b = 12. Ezért az x a együtthatója nem egyenlő nullával. Alkalmazzuk a fenti algoritmusokat és oldjuk meg.

A 12-es tagot át kell vinni az egyenlőtlenség másik részébe egy előjelváltással. Ekkor 3 · x ≤ − 12 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Mindkét részt el kell osztani 3-mal. Az előjel nem változik, mert a 3 pozitív szám. Azt kapjuk, hogy (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , ami x ≤ − 4 eredményt ad.

Egy x ≤ − 4 alakú egyenlőtlenség ekvivalens. Vagyis 3 x + 12 ≤ 0 megoldása bármely valós szám, amely kisebb vagy egyenlő 4-nél. A választ x ≤ − 4 egyenlőtlenségként vagy a (− ∞ , − 4 ] alakú numerikus intervallumként írjuk fel.

A fent leírt teljes algoritmus a következőképpen van felírva:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12 ; x ≤ − 4 .

Válasz: x ≤ − 4 vagy (− ∞ , − 4 ] .

2. példa

Jelölje meg a − 2 , 7 · z > 0 egyenlőtlenség összes elérhető megoldását.

Megoldás

A feltételből azt látjuk, hogy az a együttható z-ben egyenlő -2-vel, 7-tel, és b kifejezetten hiányzik, vagy egyenlő nullával. Nem használhatja az algoritmus első lépését, hanem azonnal lépjen a másodikra.

Az egyenlet mindkét részét elosztjuk a 2, 7 számmal. Mivel a szám negatív, az egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére kell változtatni. Vagyis azt kapjuk, hogy (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

A teljes algoritmust rövid formában írjuk le:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Válasz: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3. példa

Oldja meg a - 5 · x - 15 22 ≤ 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

A feltétel szerint azt látjuk, hogy meg kell oldani az a együtthatóval az egyenlőtlenséget az x változóra, amely egyenlő -5, a b együtthatóval, amely a - 15 22 törtnek felel meg. Az egyenlőtlenséget az algoritmus szerint kell megoldani, azaz: mozgassuk a - 15 22-t egy másik, ellentétes előjelű részre, osszuk el mindkét részt -5-tel, változtassuk meg az egyenlőtlenség előjelét:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

A jobb oldali utolsó átmenetnél a szám különböző előjelekkel való osztásának szabályát alkalmazzuk 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, majd a közönséges törtet elosztjuk egy természetes számmal - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Válasz: x ≥ - 3 22 és [ - 3 22 + ∞) .

Tekintsük azt az esetet, amikor a = 0. Az a x + b alak lineáris kifejezése< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Minden az egyenlőtlenség megoldásának meghatározásán alapul. Bármely x értékre b alakú numerikus egyenlőtlenséget kapunk< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Minden ítéletet egy algoritmus formájában veszünk figyelembe a 0 x + b lineáris egyenlőtlenségek megoldására< 0 (≤ , > , ≥) :

5. definíció

A forma numerikus egyenlőtlensége b< 0 (≤ , >, ≥) igaz, akkor az eredeti egyenlőtlenségnek bármilyen értékre van megoldása, és hamis, ha az eredeti egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

4. példa

Oldja meg a 0 · x + 7 > 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

Ez a 0 · x + 7 > 0 lineáris egyenlőtlenség bármilyen x értéket felvehet. Ekkor 7 > 0 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Az utolsó egyenlőtlenséget igaznak tekintjük, így bármilyen szám lehet a megoldása.

Válasz: intervallum (− ∞ , + ∞) .

5. példa

Keressünk megoldást a 0 · x − 12, 7 ≥ 0 egyenlőtlenségre.

Megoldás

Ha tetszőleges számra behelyettesítjük az x változót, akkor azt kapjuk, hogy az egyenlőtlenség − 12 , 7 ≥ 0 . Ez helytelen. Vagyis 0 · x − 12, 7 ≥ 0-nak nincs megoldása.

Válasz: nincsenek megoldások.

Tekintsük a lineáris egyenlőtlenségek megoldását, ahol mindkét együttható nulla.

6. példa

Határozzon meg egy feloldhatatlan egyenlőtlenséget 0 · x + 0 > 0 és 0 · x + 0 ≥ 0 értékekből.

Megoldás

Ha x helyett tetszőleges számot helyettesítünk, akkor két 0 > 0 és 0 ≥ 0 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Az első helytelen. Ez azt jelenti, hogy 0 x + 0 > 0-nak nincs megoldása, 0 x + 0 ≥ 0-nak pedig végtelen sok megoldása van, azaz tetszőleges szám.

Válasz: a 0 x + 0 > 0 egyenlőtlenségnek nincsenek megoldásai, a 0 x + 0 ≥ 0-nak pedig vannak megoldásai.

Ezt a módszert figyelembe veszik a matematika iskolai kurzusában. Az intervallum módszer különféle egyenlőtlenségeket képes feloldani, beleértve a lineárisokat is.

Az intervallum módszert lineáris egyenlőtlenségekre alkalmazzuk, ha az x együttható értéke nem egyenlő 0-val. Ellenkező esetben más módszerrel kell számolnia.

6. definíció

A távolsági módszer a következő:

• az y = a x + b függvény bevezetése;
• nullák keresése a definíciós tartomány intervallumokra való felosztásához;
• jelek meghatározása a fogalmukhoz intervallumokon.

Állítsunk össze egy algoritmust az a x + b lineáris egyenletek megoldására< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 esetén az intervallum módszerrel:

• az y = a · x + b függvény nulláinak megtalálása egy a · x + b = 0 alakú egyenlet megoldásához. Ha a ≠ 0, akkor a megoldás lesz az egyetlen gyök, amely x 0-t vesz fel;
• koordinátaegyenes építése x 0 koordinátájú pont képével, szigorú egyenlőtlenséggel, a pontot kilyukasztott, nem szigorú egyenlőtlenséggel árnyékoljuk;
• az y = a x + b függvény előjeleinek meghatározása az intervallumokon, ehhez meg kell találni a függvény értékeit az intervallum pontjain;
• az egyenlőtlenség megoldása > vagy ≥ előjelekkel a koordinátaegyenesen, sraffozás hozzáadódik a pozitív rés fölé,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Tekintsünk néhány példát lineáris egyenlőtlenség megoldására az intervallum módszerrel.

6. példa

Oldja meg a − 3 · x + 12 > 0 egyenlőtlenséget.

Megoldás

Az algoritmusból következik, hogy először meg kell találni a − 3 · x + 12 = 0 egyenlet gyökerét. Azt kapjuk, hogy − 3 · x = − 12 , x = 4 . Meg kell ábrázolni a koordináta egyenest, ahol a 4-es pontot jelöljük. Kiszúrják, mivel az egyenlőtlenség szigorú. Tekintsük az alábbi rajzot.

Meg kell határozni a jeleket az intervallumokon. A (− ∞ , 4) intervallumon való meghatározásához ki kell számítani az y = − 3 · x + 12 függvényt x = 3 esetén. Innen azt kapjuk, hogy − 3 3 + 12 = 3 > 0 . A rés előjele pozitív.

Meghatározzuk az előjelet a (4, + ∞) intervallumból, majd behelyettesítjük az x \u003d 5 értéket. Van − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Az egyenlőtlenség megoldását > előjellel végezzük, a sraffozást pedig a pozitív rés felett végezzük. Tekintsük az alábbi rajzot.

A rajzból látható, hogy a kívánt megoldás (− ∞ , 4) vagy x alakú< 4 .

Válasz: (− ∞ , 4) vagy x< 4 .

A grafikus ábrázolás megértéséhez 4 lineáris egyenlőtlenséget kell példaként figyelembe venni: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 és 0, 5 x − 1 ≥ 0. Megoldásuk x lesz< 2 , x ≤ 2 , x >2 és x ≥ 2 . Ehhez rajzoljuk meg alább az y = 0, 5 · x − 1 lineáris függvény grafikonját.

Ez egyértelmű

7. definíció

• a 0 , 5 x − 1 egyenlőtlenség megoldása< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• a 0, 5 x − 1 ≤ 0 megoldás az az intervallum, ahol az y = 0, 5 x − 1 függvény 0 x alatt van, vagy egybeesik;
• a 0 , 5 x − 1 > 0 megoldást tekintjük annak az intervallumnak, ahol a függvény O x felett helyezkedik el;
• a megoldás 0 , 5 x − 1 ≥ 0 az az intervallum, ahol a grafikon nagyobb, mint O x, vagy egybeesik.

Az egyenlőtlenségek grafikus megoldásának értelme a rések megtalálása, amelyeket a grafikonon kell ábrázolni. Ebben az esetben azt kapjuk, hogy a bal oldalon y \u003d a x + b, a jobb oldalon pedig y \u003d 0, és ez egybeesik Körülbelül x-szel.

8. definíció

Az y = a x + b függvény ábrázolását elvégezzük:

• miközben megoldjuk az a x + b egyenlőtlenséget< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• az a x + b ≤ 0 egyenlőtlenség megoldása során meghatározzuk azt az intervallumot, ahol a grafikon az O x tengelye alatt jelenik meg vagy egybeesik;
• az a x + b > 0 egyenlőtlenség megoldása során meghatározásra kerül az intervallum, ahol a grafikon O x felett jelenik meg;
• az a x + b ≥ 0 egyenlőtlenség megoldása során meghatározzuk azt az intervallumot, ahol a grafikon O x felett van, vagy egybeesik.

7. példa

Oldja meg a - 5 · x - 3 > 0 egyenlőtlenséget a grafikon segítségével!

Megoldás

Fel kell építeni egy - 5 · x - 3 > 0 lineáris függvény grafikonját. Ez az egyenes csökken, mert x együtthatója negatív. Az O x - 5 · x - 3 > 0 metszéspontjának koordinátáinak meghatározásához a - 3 5 értéket kapjuk. Ábrázoljuk.

A > jelű egyenlőtlenség megoldása, akkor az O x feletti intervallumra kell figyelni. Pirossal kiemeljük a sík szükséges részét, és megkapjuk

A szükséges rés a piros szín O x része. Így a - ∞ , - 3 5 nyitott számsugár lesz az egyenlőtlenség megoldása. Ha feltétel szerint nem szigorú egyenlőtlenségük lenne, akkor a pont értéke - 3 5 is megoldás lenne az egyenlőtlenségre. És egybeesne O x-szel.

Válasz: - ∞ , - 3 5 vagy x< - 3 5 .

A grafikus megoldást akkor használjuk, ha a bal oldal az y = 0 x + b függvénynek fog megfelelni, azaz y = b . Ekkor az egyenes párhuzamos lesz O x-szel, vagy egybeesik b \u003d 0-val. Ezek az esetek azt mutatják, hogy egy egyenlőtlenségnek nincs megoldása, vagy bármilyen szám lehet megoldás.

8. példa

Határozzuk meg a 0 x + 7 egyenlőtlenségekből!< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Megoldás

Az y = 0 x + 7 ábrázolás y = 7, akkor egy O x-el párhuzamos és O x feletti egyenes koordinátasíkot adunk meg. Tehát 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Az y \u003d 0 x + 0 függvény grafikonját y \u003d 0-nak tekintjük, vagyis az egyenes egybeesik O x-szel. Ezért a 0 · x + 0 ≥ 0 egyenlőtlenségnek sok megoldása van.

Válasz: a második egyenlőtlenségnek van megoldása bármely x értékre.

Lineáris egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenségek megoldása egy lineáris egyenlet megoldására redukálható, amelyeket lineáris egyenlőtlenségeknek nevezünk.

Ezeket az egyenlőtlenségeket az iskolai kurzusban figyelembe vettük, mivel az egyenlőtlenségek megoldásának speciális esete volt, ami zárójelek nyitásához és a hasonló kifejezések csökkentéséhez vezetett. Vegyük például, hogy 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

A fent megadott egyenlőtlenségeket mindig lineáris egyenletté redukáljuk. Ezt követően kinyitják a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket adnak meg, áthelyezve a különböző részekből, megváltoztatva a jelet az ellenkezőjére.

Amikor az 5 − 2 x > 0 egyenlőtlenséget lineárisra redukáljuk, úgy ábrázoljuk, hogy alakja − 2 x + 5 > 0 , a második csökkentésére pedig azt kapjuk, hogy 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Meg kell nyitni a zárójeleket, hasonló kifejezéseket hozni, az összes kifejezést balra kell mozgatni, és hasonló kifejezéseket kell hozni. Ez így néz ki:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Ez a megoldás egy lineáris egyenlőtlenséghez vezet.

Ezeket az egyenlőtlenségeket lineárisnak tekintjük, mivel ugyanaz a megoldási elvük, amely után elemi egyenlőtlenségekké redukálhatók.

Az ilyen egyenlőtlenség feloldásához lineárisra kell redukálni. Ezt így kell csinálni:

9. definíció

• nyitott zárójelek;
• gyűjtsön változókat a bal oldalon, és számokat a jobb oldalon;
• hasonló kifejezéseket hozni;
• ossza el mindkét részt x együtthatójával.

9. példa

Oldja meg az 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 egyenlőtlenséget.

Megoldás

A zárójeleket kibontjuk, ekkor 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 alakú egyenlőtlenséget kapunk. Hasonló tagok redukálása után azt kapjuk, hogy 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Miután a tagokat balról jobbra mozgatjuk, azt kapjuk, hogy 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Ennélfogva a 0 · x + 32 ≤ 0 számítási eredményből 32 ≤ 0 alakú egyenlőtlensége van. Látható, hogy az egyenlőtlenség hamis, ami azt jelenti, hogy a feltétel által adott egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Válasz: nincs megoldás.

Érdemes megjegyezni, hogy sok másfajta egyenlőtlenség is létezik, amelyeket le lehet redukálni lineárisra vagy a fent bemutatott fajta egyenlőtlenségre. Például 5 2 x − 1 ≥ 1 egy exponenciális egyenlet, amely 2 · x − 1 ≥ 0 lineáris megoldásra redukálódik. Ezeket az eseteket fogjuk figyelembe venni az ilyen típusú egyenlőtlenségek megoldása során.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt