Trigonometrikus egyenletek értékei. Trigonometrikus egyenletek megoldása

Megköveteli a trigonometria alapképleteinek ismeretét - a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összegét, a szinuszon és a koszinuszon keresztüli érintő kifejezését és mások. Azok számára, akik elfelejtették vagy nem ismerik őket, javasoljuk, hogy olvassák el a "" cikket.
Tehát ismerjük az alapvető trigonometrikus képleteket, ideje átültetni őket a gyakorlatba. Trigonometrikus egyenletek megoldása megfelelő megközelítéssel elég izgalmas tevékenység, mint például a Rubik-kocka megfejtése.

Maga a név alapján egyértelmű, hogy a trigonometrikus egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen egy trigonometrikus függvény előjele alatt áll.
Vannak úgynevezett egyszerű trigonometrikus egyenletek. Így néznek ki: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Fontolgat, hogyan kell megoldani az ilyen trigonometrikus egyenleteket, az áttekinthetőség kedvéért a már megszokott trigonometrikus kört fogjuk használni.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

kiságy x = a

Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésben történik: az egyenletet a legegyszerűbb formába hozzuk, majd a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletként oldjuk meg.
7 fő módszer létezik a trigonometrikus egyenletek megoldására.

1. Változó helyettesítés és helyettesítési módszer

Oldja meg a 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 egyenletet

A redukciós képletek segítségével a következőket kapjuk:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Az egyszerűség kedvéért cseréljük le a cos(x + /6)-t y-ra, és kapjuk a szokásos másodfokú egyenletet:

2 év 2 – 3 év + 1 + 0

Amelynek gyökei y 1 = 1, y 2 = 1/2

Most menjünk visszafelé

Az y talált értékeit behelyettesítjük, és két választ kapunk:

2. Trigonometrikus egyenletek megoldása faktorizálással

Hogyan oldjuk meg a sin x + cos x = 1 egyenletet?

Mozgassunk mindent balra, hogy a 0 a jobb oldalon maradjon:

sin x + cos x - 1 = 0

A fenti azonosságokat használjuk az egyenlet egyszerűsítésére:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Végezzük el a faktorizálást:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Két egyenletet kapunk

3. Redukálás homogén egyenletre

Egy egyenlet akkor homogén a szinusz és a koszinusz tekintetében, ha a szinuszra és koszinuszra vonatkozó összes tagja azonos szögű. Egy homogén egyenlet megoldásához járjon el a következőképpen:

a) helyezze át az összes tagját a bal oldalra;

b) tegyen zárójelbe minden gyakori tényezőt;

c) minden tényezőt és zárójelet 0-val egyenlővé tesz;

d) zárójelben egy kisebb fokú homogén egyenletet kapunk, amelyet viszont szinuszos vagy koszinuszos nagyobb mértékben osztunk el;

e) oldja meg a kapott egyenletet tg-re!

Oldja meg a 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 egyenletet

Használjuk a sin 2 x + cos 2 x = 1 képletet, és szabaduljunk meg a jobb oldali nyitott kettőtől:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Oszd meg cosx-szel:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

A tg x-et y-ra cseréljük, és egy másodfokú egyenletet kapunk:

y 2 + 4y +3 = 0, melynek gyökerei y 1 =1, y 2 = 3

Innen két megoldást találunk az eredeti egyenletre:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Egyenletek megoldása a félszögre való átmeneten keresztül

Oldja meg a 3sin x - 5cos x = 7 egyenletet

Térjünk át az x/2-re:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mindent balra tolva:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Oszd meg cos(x/2)-vel:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Segédszög bevezetése

Megfontolásra vegyünk egy képletet: a sin x + b cos x \u003d c,

ahol a, b, c néhány tetszőleges együttható és x egy ismeretlen.

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát:



Most az egyenlet együtthatói a trigonometrikus képletek szerint a sin és a cos tulajdonságaival rendelkeznek, nevezetesen: modulusuk nem nagyobb 1-nél, a négyzetösszeg pedig = 1. Jelöljük őket cos-nak és sin-nek, ahol a úgynevezett segédszög. Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

vagy sin(x + ) = C

Ennek az egyszerű trigonometrikus egyenletnek a megoldása az

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, ahol



Meg kell jegyezni, hogy a cos és a sin megjelölések felcserélhetők.

Oldja meg a sin 3x - cos 3x = 1 egyenletet

Ebben az egyenletben az együtthatók a következők:

a \u003d, b \u003d -1, ezért mindkét részt elosztjuk \u003d 2-vel

A "Get an A" videó tanfolyam minden olyan témát tartalmaz, amely a sikeres sikerhez szükséges a vizsga letétele matematikából 60-65 pontért. Teljesen minden feladat 1-13 profilvizsga matematika. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem humanista nem bírja.

Minden szükséges elmélet. Gyors módok a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Trükkös trükkök megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből – a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Alap a megoldáshoz kihívást jelentő feladatokat 2 vizsgarész.

Nem titok, hogy szinte minden probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban a típusmeghatározás helyességétől függ. adott egyenlet, valamint megoldása összes szakaszának sorrendjének helyes reprodukálásáról. A trigonometrikus egyenletek esetében azonban egyáltalán nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. De a helyes válaszhoz vezető cselekvések sorrendjének meghatározása során bizonyos nehézségekbe ütközhetünk. Találjuk ki, hogyan kell helyesen megoldani a trigonometrikus egyenleteket a kezdetektől fogva.

Trigonometrikus egyenletek megoldása

A trigonometrikus egyenlet megoldásához a következő pontokat kell végrehajtania:

• Az egyenletünkben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe" hozzuk;
• hozni kell adott egyenlet"ugyanolyan funkciókra";
• Az adott egyenlet bal oldalát faktorokra vagy egyéb szükséges komponensekre bontjuk.

Mód

1. módszer. Az ilyen egyenleteket két lépésben kell megoldani. Először is átalakítjuk az egyenletet, hogy megkapjuk a legegyszerűbb (leegyszerűsített) alakját. Egyenlet: Cosx = a, Sinx = a és hasonlókat a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteknek nevezzük. A második lépés a kapott egyszerű egyenlet megoldása. Megjegyzendő, hogy a legegyszerűbb egyenlet megoldható a nálunk az iskolai algebratanfolyamból jól ismert algebrai módszerrel. Szubsztitúciós és változóhelyettesítési módszernek is nevezik. A redukciós képletek segítségével először konvertálni kell, majd cserét kell végrehajtani, majd meg kell keresni a gyökereket.

Ezután fel kell bontani az egyenletünket lehetséges faktorokra, ehhez az összes tagot balra kell mozgatni, majd faktorokra kell bontani. Most ezt az egyenletet homogénre kell hozni, amelyben minden tag azonos fokú, és a koszinusznak és a szinusznak azonos szöge van.

A trigonometrikus egyenletek megoldása előtt át kell vinni a tagjait a bal oldalra, a jobb oldalról átvéve, majd zárójelben kivesszük az összes közös nevezőt. A zárójeleinket és a tényezőket nullával egyenlővé tesszük. Az egyenértékű zárójeleink egy csökkentett fokú homogén egyenlet, amelyet a sin(cos) a legmagasabb hatványra osztunk. Most döntünk algebrai egyenlet, amit kaptunk, kapcsolatban tan.

2. módszer. Egy másik módszer, amellyel a trigonometrikus egyenletet megoldhatja, a félszögre való átmenet. Például megoldjuk az egyenletet: 3sinx-5cosx=7.

Félszögre kell mennünk, esetünkben ez: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). Ezután az összes kifejezést egy részre redukáljuk (a kényelem érdekében jobb kiválasztani a megfelelőt), és folytatjuk az egyenlet megoldását.

Ha szükséges, megadhat egy segédszöget. Ez akkor történik, ha a sin (a) vagy cos (a) egész értéket kell lecserélnie, és az „a” jel csak segédszögként működik.

terméket összegezni

Hogyan oldjunk meg trigonometrikus egyenleteket összegszorzat segítségével? Az ilyen egyenletek megoldására a szorzat-összeg konverzióként ismert módszer is használható. Ebben az esetben az egyenletnek megfelelő képleteket kell használni.

Például van egy egyenletünk: 2sinx * sin3x= cos4x

Ezt a problémát úgy kell megoldanunk, hogy a bal oldalt összeggé alakítjuk, nevezetesen:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Ha a fenti módszerek nem megfelelőek, és még mindig nem tudja, hogyan kell megoldani a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket, használhat egy másik módszert - az univerzális helyettesítést. Ezzel átalakíthatja a kifejezést, és lecserélheti. Például: Cos(x/2)=u. Most már meg tudjuk oldani az egyenletet a megadott u paraméterrel. És miután megkapta a kívánt eredményt, ne felejtse el lefordítani ezt az értéket az ellenkezőjére.

Sok "tapasztalt" diáknak azt tanácsolják, hogy forduljanak online emberekhez egyenletek megoldása érdekében. Azt kérdezed, hogyan lehet online trigonometrikus egyenletet megoldani. Mert online megoldások problémákkal fordulhat az érintett témák fórumaihoz, ahol tanácsokkal vagy a probléma megoldásában tudnak segíteni. De a legjobb, ha megpróbálod egyedül kezelni.

A trigonometrikus egyenletek megoldásában szerzett készségek és képességek nagyon fontosak és hasznosak. Fejlesztésük sok erőfeszítést igényel majd Öntől. A fizika, a sztereometria stb. területén számos probléma kapcsolódik az ilyen egyenletek megoldásához. És az ilyen problémák megoldásának folyamata magában foglalja a trigonometria elemeinek tanulmányozása során megszerezhető készségek és ismeretek jelenlétét.

Tanuljon trigonometrikus képleteket

Egy egyenlet megoldása során felmerülhet a trigonometriából származó bármely képlet használatának szükségessége. Természetesen elkezdheti keresni a tankönyveiben és a csalólapjaiban. És ha ezek a képletek a fejedbe kerülnek, akkor nem csak az idegeidet kíméli, hanem sokkal könnyebbé teszi a dolgát, anélkül, hogy időt veszítene a szükséges információk keresésére. Így lehetősége lesz átgondolni a probléma legracionálisabb megoldását.

Lecke komplex alkalmazás tudás.

Óracélok.

1. Fontolgat különféle módszerek trigonometrikus egyenletek megoldásai.
2. Fejlődés kreativitás tanulók egyenletek megoldásával.
3. A tanulók ösztönzése önkontrollra, kölcsönös kontrollra, oktatási tevékenységük önelemzésére.

Felszerelés: vetítővászon, projektor, referenciaanyag.

Az órák alatt

Bemutatkozó beszélgetés.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának fő módja a legegyszerűbb redukció. Ebben az esetben a szokásos módszereket alkalmazzuk, például a faktorizálást, valamint a csak trigonometrikus egyenletek megoldására használt technikákat. Elég sok ilyen trükk létezik, például különféle trigonometrikus helyettesítések, szögtranszformációk, trigonometrikus függvények transzformációi. Bármilyen trigonometrikus transzformáció válogatás nélküli alkalmazása általában nem egyszerűsíti le az egyenletet, hanem katasztrofálisan bonyolítja. Bent edzeni általánosságban Tervezze meg az egyenlet megoldását, vázolja fel az egyenlet legegyszerűbbre csökkentésének módját, először elemeznie kell a szögeket - az egyenletben szereplő trigonometrikus függvények argumentumait.

Ma a trigonometrikus egyenletek megoldási módszereiről fogunk beszélni. A helyesen megválasztott módszer gyakran lehetővé teszi a megoldás jelentős egyszerűsítését, ezért az általunk vizsgált módszerek mindegyikét mindig a figyelmünk zónájában kell tartani, hogy a trigonometrikus egyenleteket a legmegfelelőbb módon oldhassuk meg.

II. (Projektor segítségével megismételjük az egyenletek megoldásának módszereit.)

1. Eljárás trigonometrikus egyenlet algebraivá redukálására.

Mindent ki kell fejezni trigonometrikus függvények egyen keresztül, ugyanazzal az érvvel. Ez megtehető az alapvető trigonometrikus azonosság és annak következményei segítségével. Egy trigonometrikus függvényt tartalmazó egyenletet kapunk. Új ismeretlennek tekintve algebrai egyenletet kapunk. Megtaláljuk a gyökereit, és visszatérünk a régi ismeretlenhez, megoldva a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket.

2. A faktorizálás módja.

A szögek megváltoztatásához gyakran hasznosak a redukciós képletek, az argumentumok összegei és különbségei, valamint a trigonometrikus függvények összegének (különbségének) szorzattá konvertálására szolgáló képletek és fordítva.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. További szög bevezetésének módja.

4. Az univerzális helyettesítés alkalmazásának módja.

Az F(sinx, cosx, tgx) = 0 alakú egyenletek az univerzális trigonometrikus helyettesítés segítségével algebrai egyenletekre redukálódnak

A szinusz, koszinusz és érintő kifejezése a félszög érintőjével. Ez a trükk magasabb rendű egyenlethez vezethet. Aminek a döntése nehéz.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek egy adott személy azonosítására vagy a vele való kapcsolatfelvételre használhatók.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, promóciók és egyéb események és közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági végzésnek megfelelően, bírósági eljárásban és/vagy nyilvános megkeresések, illetve kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.