Hogyan definiáljunk egy azonosan egyenlő kifejezést. Kifejezések identitástranszformációi

A számok összeadásának és szorzásának alapvető tulajdonságai.

Összeadás kommutatív tulajdonsága: a tagok átrendezésekor az összeg értéke nem változik. Bármely a és b számra igaz az egyenlőség

Az összeadás asszociatív tulajdonsága: ha két szám összegéhez egy harmadik számot szeretne hozzáadni, akkor az első számhoz hozzáadhatja a második és a harmadik összegét. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség

A szorzás kommutatív tulajdonsága: a tényezők permutációja nem változtatja meg a szorzat értékét. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség

A szorzás asszociatív tulajdonsága: ahhoz, hogy két szám szorzatát megszorozzuk egy harmadik számmal, az első számot megszorozhatjuk a második és a harmadik szorzatával.

Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség

Megoszlási tulajdonság: Ha egy számot összeggel szeretne megszorozni, megszorozhatja ezt a számot minden taggal, és összeadhatja az eredményeket. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség

Az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságaiból következik, hogy tetszőleges összegben tetszőlegesen átrendezheti a kifejezéseket, és tetszőleges módon csoportosíthatja őket.

1. példa Számítsuk ki az 1,23+13,5+4,27 összeget.

Ehhez célszerű az első kifejezést a harmadikkal kombinálni. Kapunk:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

A szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságaiból következik: bármely szorzatban a tényezőket tetszőlegesen átrendezheti és tetszőlegesen csoportokba vonhatja.

2. példa Határozzuk meg a szorzat értékét 1,8 0,25 64 0,5.

Az első tényezőt a negyedikkel és a másodikat a harmadikkal kombinálva a következőket kapjuk:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Az elosztási tulajdonság akkor is érvényes, ha a számot megszorozzuk három vagy több tag összegével.

Például bármely a, b, c és d számra igaz az egyenlőség

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Tudjuk, hogy a kivonás helyettesíthető összeadással, ha a minuendhez hozzáadjuk a kivonóval ellentétes számot:

Ez lehetővé teszi a numerikus kifejezést típusú a-b tekintsük az a és -b számok összegét, tekintsük az a + b-c-d alakú numerikus kifejezést a, b, -c, -d stb. számok összegének. A cselekvések figyelembe vett tulajdonságai ilyen összegekre is érvényesek.

3. példa Keressük meg a 3,27-6,5-2,5+1,73 kifejezés értékét.

Ez a kifejezés a 3,27, -6,5, -2,5 és 1,73 számok összege. Az összeadási tulajdonságokat alkalmazva a következőt kapjuk: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4. példa Számítsuk ki a 36·() szorzatot.

A szorzó felfogható a számok és a - összegeként. A szorzás eloszlási tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:

36()=36-36=9-10=-1.

Identitások

Meghatározás. Két olyan kifejezést, amelyeknek a megfelelő értéke megegyezik a változók bármely értékével, azonosnak mondjuk.

Meghatározás. Azt az egyenlőséget, amely a változók bármely értékére igaz, azonosságnak nevezzük.

Keressük meg a 3(x+y) és 3x+3y kifejezések értékét x=5, y=4 esetén:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Ugyanazt az eredményt kaptuk. Az eloszlási tulajdonságból következik, hogy általában a változók bármely értékére a 3(x+y) és 3x+3y kifejezések megfelelő értékei egyenlőek.

Tekintsük most a 2x+y és 2xy kifejezéseket. x=1, y=2 esetén egyenlő értékeket vesznek fel:

Azonban megadhat x és y értékeket úgy, hogy ezeknek a kifejezéseknek az értéke nem egyenlő. Például, ha x=3, y=4, akkor

A 3(x+y) és 3x+3y kifejezések azonosak, de a 2x+y és 2xy kifejezések nem azonosak.

A 3(x+y)=x+3y egyenlőség, amely x és y bármely értékére igaz, azonosság.

A valódi számszerű egyenlőségeket is azonosságnak tekintjük.

Tehát az azonosságok egyenlőségek, amelyek kifejezik a számokkal kapcsolatos műveletek fő tulajdonságait:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Az identitásokra további példák is hozhatók:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Kifejezések identitástranszformációi

Egy kifejezés helyettesítését egy másikkal, azzal azonosan azonos transzformációnak vagy egyszerűen egy kifejezés transzformációjának nevezzük.

A változókkal rendelkező kifejezések azonos átalakításait a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.

Az xy-xz kifejezés értékének megtalálásához az x, y, z értékek mellett három lépést kell végrehajtania. Például, ha x=2.3, y=0.8, z=0.2, a következőt kapjuk:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ez az eredmény csak két lépésben érhető el, az x(y-z) kifejezéssel, amely azonos az xy-xz kifejezéssel:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Egyszerűsítettük a számításokat, az xy-xz kifejezést az azonosra cseréltük egyenlő kifejezés x(y-z).

A kifejezések identitás-transzformációit széles körben használják a kifejezések értékeinek kiszámításához és más problémák megoldásához. Néhány azonos átalakítás már megtörtént, például a hasonló kifejezések redukciója, zárójelek felnyitása. Emlékezzünk vissza az átalakítások végrehajtásának szabályaira:

hasonló kifejezések létrehozásához össze kell adni az együtthatóikat, és meg kell szorozni az eredményt a közös betűrésszel;

ha a zárójelek előtt plusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók, megtartva az egyes kifejezések zárójelbe tett jelét;

ha a zárójelek előtt mínusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók az egyes zárójelbe tett kifejezések előjelének megváltoztatásával.

1. példa Adjunk hozzá hasonló kifejezéseket az 5x+2x-3x összegben.

A hasonló kifejezések csökkentésére a szabályt használjuk:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ez a transzformáció a szorzás elosztó tulajdonságán alapul.

2. példa Bontsuk ki a zárójeleket a 2a+(b-3c) kifejezésben.

A pluszjel előtti zárójelek nyitására vonatkozó szabály alkalmazása:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Az elvégzett transzformáció az összeadás asszociatív tulajdonságán alapul.

3. példa Bontsuk ki a zárójeleket az a-(4b-c) kifejezésben.

Használjuk a szabályt a mínuszjel előtti zárójelek bővítésére:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Az elvégzett transzformáció a szorzás elosztó tulajdonságán és az összeadás asszociatív tulajdonságán alapul. Mutassuk meg. Jelenítsük meg ebben a kifejezésben a második -(4b-c) tagot (-1)(4b-c) szorzatként:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

A műveletek ezen tulajdonságait alkalmazva a következőket kapjuk:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

2. § Identitáskifejezések, identitás. Egy kifejezés identitástranszformációja. Személyazonossági igazolások

Keressük meg a 2(x - 1) 2x - 2 kifejezések értékeit az x változó adott értékeihez. Az eredményeket táblázatba írjuk:

Megállapítható, hogy a 2(x - 1) 2x - 2 kifejezések értékei mindegyikre adott értéket x változó egyenlő egymással. A szorzás eloszlási tulajdonsága szerint a kivonáshoz képest 2(x - 1) = 2x - 2. Ezért az x változó bármely más értékénél a 2(x - 1) 2x - 2 kifejezés értéke is egyenlő egymással. Az ilyen kifejezéseket azonosan egyenlőnek nevezzük.

Például a 2x + 3x és 5x kifejezések szinonimák, mivel az x változó minden egyes értékére ezek a kifejezések ugyanazok az értékek(ez a szorzásnak az összeadásra vonatkozó elosztó tulajdonságából következik, hiszen 2x + 3x = 5x).

Tekintsük most a 3x + 2y és 5xy kifejezéseket. Ha x \u003d 1 és b \u003d 1, akkor ezeknek a kifejezéseknek a megfelelő értékei megegyeznek egymással:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Megadhat azonban olyan x és y értékeket, amelyeknél ezeknek a kifejezéseknek az értékei nem lesznek egyenlők egymással. Például, ha x = 2; y = 0, akkor

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Következésképpen a változóknak vannak olyan értékei, amelyeknél a 3x + 2y és 5xy kifejezések megfelelő értékei nem egyenlők egymással. Ezért a 3x + 2y és 5xy kifejezések nem azonosak.

A fentiek alapján az azonosságok különösen egyenlőségek: 2(x - 1) = 2x - 2 és 2x + 3x = 5x.

Az identitás minden egyenlőség, ami meg van írva ismert tulajdonságait számokkal kapcsolatos műveletek. Például,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Vannak olyan egyenlőségek is, mint az identitások:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Ha redukáljuk a hasonló tagokat a -5x + 2x - 9 kifejezésben, akkor azt kapjuk, hogy 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Ebben az esetben azt mondják, hogy az 5x + 2x - 9 kifejezést a 7x - kifejezés váltotta fel. 9, ami megegyezik vele.

A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokra vonatkozó műveletek tulajdonságainak alkalmazásával hajtjuk végre. Különösen az azonos átalakítások a zárójelek nyitásával, a hasonló kifejezések felépítése és hasonlók.

Azonos transzformációkat kell végrehajtani a kifejezés egyszerűsítésekor, vagyis egy kifejezést egy vele azonos kifejezéssel helyettesítünk, aminek rövidebbnek kell lennie.

1. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 perc;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - de + 2 b + 3 b - de= 3a + 5b + 2.

Annak bizonyítására, hogy az egyenlőség identitás (más szóval, az azonosság bizonyítására a kifejezések identitástranszformációit használjuk).

A személyazonosságot az alábbi módok egyikével igazolhatja:

bal oldalának azonos átalakításait hajtsa végre, ezáltal a jobb oldal formájára redukálja;
jobb oldalának azonos átalakításait hajtsa végre, ezáltal a bal oldal formájára redukálja;
mindkét részének azonos transzformációit hajtja végre, ezáltal mindkét részt ugyanarra a kifejezésre emeli.

2. példa: Igazolja az azonosságot:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206-4a = 5(2a-3b)-7(2a-5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Fejlődés

1) Alakítsuk át ennek az egyenlőségnek a bal oldalát:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - x- 5 - 11 = x - 16.

Azonos transzformációkkal az egyenlőség bal oldalán lévő kifejezést a jobb oldal formájára redukáltuk, és ezzel bebizonyították, hogy ez az egyenlőség azonosság.

2) Alakítsuk át ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát:

5(2a-3b)-7(2a-5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b-4a.

Azonos transzformációkkal az egyenlőség jobb oldalát a bal oldal formájára redukáltuk, és ezzel bebizonyították, hogy ez az egyenlőség azonosság.

3) Ebben az esetben célszerű egyszerűsíteni az egyenlőség bal és jobb oldalát, és összehasonlítani az eredményeket:

2(3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Azonos transzformációkkal az egyenlőség bal és jobb oldali részét ugyanarra a formára redukáltuk: 26x - 44. Ezért ez az egyenlőség azonosság.

Milyen kifejezéseket nevezünk azonosnak? Mondjon példát az azonos kifejezésekre! Milyen egyenlőséget nevezünk identitásnak? Mondjon példát az azonosságra! Mit nevezünk egy kifejezés identitástranszformációjának? Hogyan lehet igazolni a személyazonosságot?

(Szóbeli) Vagy vannak azonos kifejezések:

1) 2a + a és 3a;

2) 7x + 6 és 6 + 7x;

3) x + x + x és x 3;

4) 2 (x - 2) és 2x - 4;

5) m-n és n-m;

6) 2a ∙ r és 2p ∙ a?

A kifejezések azonosak:

1) 7x - 2x és 5x;

2) 5a-4 és 4-5a;

3) 4m + n és n + 4m;

4) a + a és a 2;

5) 3(a-4) és 3a-12;

6) 5m ∙ n és 5m + n?

(szóban) Az egyenlőség azonossága:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r-1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Nyitott zárójel:

Nyitott zárójel:

Hasonló kifejezések csökkentése:

Nevezzen meg néhány olyan kifejezést, amelyek megegyeznek a 2a + 3a kifejezésekkel!
Egyszerűsítse a kifejezést a szorzás permutációs és konjunktív tulajdonságaival:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Egyszerűsítse a kifejezést:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3 év);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Szóbeli) Egyszerűsítse a kifejezést:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Hasonló kifejezések csökkentése:

1) 56-8a + 4b-a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7-9a)-(4-18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3 m - 5) + 2 (3 m - 7).

Nyissa ki a zárójeleket, és csökkentse a hasonló kifejezéseket:

1) 3(8a-4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4 (x - 20), ha x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, ha a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ha m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, ha x = -1, y = 1.

Egyszerűsítse a kifejezést, és keresse meg az értékét:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), ha x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ha v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ha a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, ha m = 1,8; n = -0,9.

Igazolja a személyazonosságot:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Igazolja a személyazonosságot:

1) -(m-3n) = 3n-m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

A háromszög egyik oldalának hossza egy cm, a másik két oldalé pedig 2 cm-rel hosszabb nála. Írja fel a háromszög kerületét kifejezésként, és egyszerűsítse a kifejezést.
A téglalap szélessége x cm, hossza pedig 3 cm-rel nagyobb, mint a szélessége. Írja fel a téglalap kerületét kifejezésként, és egyszerűsítse a kifejezést.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Bontsa ki a zárójeleket és egyszerűsítse a kifejezést:

1) a-(a-(3a-1));

2) 12 m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Igazolja a személyazonosságot:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

Igazolja a személyazonosságot:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Bizonyítsuk be, hogy a kifejezés értéke

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nem függ a változó értékétől.

Bizonyítsuk be, hogy a változó bármely értékére a kifejezés értéke

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

ugyanaz a szám.

Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő páros szám összege osztható 6-tal.
Bizonyítsuk be, hogy ha n természetes szám, akkor a -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) kifejezés értéke páros szám.

Ismétlendő gyakorlatok

Egy 1,6 kg tömegű ötvözet 15% rezet tartalmaz. Hány kg rezet tartalmaz ez az ötvözet?
Hány százaléka ennek a 20-as száma:

1) négyzet;

A turista 2 órát gyalogolt és 3 órát biciklizett. Összesen 56 km-t tett meg a turista. Határozza meg azt a sebességet, amellyel a turista kerékpározott, ha az 12 km/h-val nagyobb, mint az a sebesség, amellyel gyalogolt.

Érdekes feladatok lusta diákoknak

A városi labdarúgó-bajnokságban 11 csapat vesz részt. Minden csapat egy mérkőzést játszik a többiekkel. Bizonyítsuk be, hogy a verseny bármely pillanatában van olyan csapat, amely páros számú mérkőzést játszott, vagy még nem játszott.

Tekintsünk két egyenlőséget:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Ez az egyenlőség az a változó bármely értékére érvényes. Az egyenlőség érvényes értékeinek tartománya a valós számok teljes halmaza lesz.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ez az egyenlőtlenség az a változó összes értékére érvényes, kivéve a nullával egyenlő értéket. Ennek az egyenlőtlenségnek az elfogadható értékeinek tartománya a valós számok teljes halmaza, kivéve a nullát.

Ezen egyenlőségek mindegyikével kapcsolatban vitatható, hogy ez igaz lesz az a változók bármely megengedett értékére. Az ilyen egyenleteket a matematikában ún identitások.

Az identitás fogalma

Az azonosság egy egyenlőség, amely igaz a változók bármely megengedett értékére. Ha ebben az egyenlőségben a változók helyett bármilyen érvényes értéket behelyettesítünk, akkor a megfelelő numerikus egyenlőséget kell kapni.

Érdemes megjegyezni, hogy a valódi numerikus egyenlőségek egyben azonosságok is. Az identitások például a számokon végzett műveletek tulajdonságai lesznek.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Ha bármely megengedett változó két kifejezése egyenlő, akkor az ilyen kifejezések meghívásra kerülnek egyformán egyenlő. Az alábbiakban néhány példa az azonos kifejezésekre:

1. (a 2) 4 és a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) és -a3*b2;

3. ((x 3 *x 8)/x) és x 10 .

Egy kifejezést mindig lecserélhetünk bármely másik kifejezésre, amely megegyezik az elsővel. Egy ilyen csere azonos átalakítás lesz.

Példák személyazonosságra

1. példa: A következő egyenlőségek azonosságok:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

A fenti kifejezések közül nem mindegyik lesz identitás. Ezen egyenlőségek közül csak 1,2 és 3 egyenlőség azonosság. Bármilyen számot is behelyettesítünk bennük, az a és b változók helyett mégis a helyes numerikus egyenlőségeket kapjuk.

De a 4 egyenlőség már nem identitás. Mert ez az egyenlőség nem minden megengedett érték esetén teljesül. Például a = 5 és b = 2 értékekkel a következő eredményt kapja:

Ez az egyenlőség nem igaz, mivel a 3-as szám nem egyenlő a -3-mal.

Az identitáskonverzió az a munka, amelyet numerikus és alfabetikus kifejezésekkel, valamint változókat tartalmazó kifejezésekkel végzünk. Mindezeket az átalakításokat azért hajtjuk végre, hogy az eredeti kifejezést olyan formába hozzuk, amely alkalmas lesz a probléma megoldására. Ebben a témában megvizsgáljuk az azonos transzformációk fő típusait.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Egy kifejezés identitástranszformációja. Ami?

Az azonos transzformált mi fogalmával először a 7. osztály algebraóráin találkozunk. Ezután először az azonosan egyenlő kifejezések fogalmával ismerkedünk meg. Foglalkozzunk a fogalmakkal, definíciókkal, hogy megkönnyítsük a téma asszimilációját.

1. definíció

Egy kifejezés identitástranszformációja olyan műveletek, amelyeket azért hajtanak végre, hogy az eredeti kifejezést egy olyan kifejezésre cseréljék, amely megegyezik az eredetivel.

Ezt a meghatározást gyakran rövidített formában használják, amelyből az „azonos” szó kimarad. Feltételezzük, hogy a kifejezés transzformációját minden esetben úgy hajtjuk végre, hogy az eredetivel azonos kifejezést kapjunk, és ezt nem kell külön hangsúlyozni.

Illusztráljuk ezt a definíciót példákkal.

1. példa

Ha lecseréljük a kifejezést x + 3 - 2 az azonos kifejezésre x+1, akkor végrehajtjuk a kifejezés azonos transzformációját x + 3 - 2.

2. példa

A 2-6 kifejezés lecserélése kifejezésre egy 3 az identitás transzformáció, míg a kifejezés helyettesítése x a kifejezésre x2 nem azonos transzformáció, mivel a kifejezések xÉs x2 nem egyformák.

Az azonos átalakítások végrehajtása során felhívjuk a figyelmet a kifejezések írási formájára. Általában az eredeti kifejezést és a kapott kifejezést egyenlőségként írjuk fel. Tehát az x + 1 + 2 = x + 3 írás azt jelenti, hogy az x + 1 + 2 kifejezés x + 3 alakra redukálódott.

A cselekvések szekvenciális végrehajtása az egyenlőségek láncolatához vezet bennünket, amely több egymást követő azonos átalakulás. Tehát az x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x jelölést két transzformáció szekvenciális megvalósításaként értjük: először az x + 1 + 2 kifejezést x + 3 alakra redukáltuk, majd redukáltuk a 3 + x alak.

Identitástranszformációk és ODZ

Számos olyan kifejezés, amelyet a 8. osztályban kezdünk tanulmányozni, nincs értelme a változók egyetlen értékének sem. Az azonos transzformációk végrehajtása ezekben az esetekben megköveteli, hogy figyeljünk a változók megengedett értékeinek tartományára (ODV). Azonos átalakítások végrehajtása változatlanul hagyhatja az ODZ-t, vagy szűkítheti azt.

3. példa

A kifejezésből való átmenet végrehajtásakor a + (-b) a kifejezésre a-b a változók megengedett értékeinek tartománya aÉs b ugyanaz marad.

4. példa

Átmenet az x kifejezésről a kifejezésre x 2 x az x változó elfogadható értékeinek tartományának szűküléséhez vezet az összes valós szám halmazáról az összes valós szám halmazára, amelyből a nullát kizártuk.

5. példa

Egy kifejezés identitástranszformációja x 2 x Az x kifejezés az x változó elfogadható értékeinek tartományának a nulla kivételével az összes valós szám halmazáról az összes valós szám halmazára való kiterjesztéséhez vezet.

A változók megengedett értékeinek tartományának szűkítése vagy bővítése azonos átalakítások végrehajtásakor fontos a problémák megoldásában, mivel ez befolyásolhatja a számítások pontosságát és hibákhoz vezethet.

Alapvető identitástranszformációk

Lássuk most, melyek az azonos transzformációk, és hogyan hajtják végre őket. Hadd emeljük ki a főcsoportban az azonos transzformációk azon típusait, amelyekkel leggyakrabban kell foglalkoznunk.

Az alapvető identitástranszformációk mellett számos olyan transzformáció létezik, amelyek egy adott típusú kifejezésekre vonatkoznak. A törtek esetében ezek a redukció és az új nevezőre redukálás módszerei. Gyökökkel és hatványokkal rendelkező kifejezéseknél minden olyan művelet, amelyet a gyökök és hatványok tulajdonságai alapján hajtanak végre. A logaritmikus kifejezéseknél a logaritmusok tulajdonságai alapján végrehajtott műveletek. Trigonometrikus kifejezéseknél minden művelet trigonometrikus képletekkel. Mindezeket a konkrét átalakításokat részletesen tárgyaljuk a forrásunkon található külön témakörökben. Emiatt ebben a cikkben nem foglalkozunk velük.

Térjünk át a főbb azonos transzformációk vizsgálatára.

A kifejezések, tényezők átrendezése

Kezdjük a feltételek átrendezésével. Leggyakrabban ezzel az azonos átalakulással foglalkozunk. A fő szabálynak pedig itt a következő állítás tekinthető: a kifejezések helyekre történő átrendezése semmilyen összegben nem befolyásolja az eredményt.

Ez a szabály az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságain alapul. Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy a kifejezéseket helyenként átrendezzük, és egyúttal olyan kifejezéseket kapjunk, amelyek azonosak az eredetivel. Éppen ezért az összegben a tagok helyekre történő átrendezése azonos transzformáció.

6. példa

Három tag összege van 3 + 5 + 7 . Ha felcseréljük a 3-as és az 5-ös tagokat, akkor a kifejezés 5 + 3 + 7 alakot ölt. Ebben az esetben több lehetőség is van a feltételek átrendezésére. Ezek mindegyike olyan kifejezések megszerzéséhez vezet, amelyek azonosak az eredetivel.

Nem csak a számok, hanem a kifejezések is lehetnek tagok az összegben. A számokhoz hasonlóan átrendezhetők anélkül, hogy a számítások végeredményét befolyásolnák.

7. példa

Az 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + formájú 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 és - 12 a három tagjának összegében. 12) a kifejezések átrendezhetők, például így (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Viszont átrendezheti a tagokat az 1 a + b tört nevezőjében, míg a tört alakja 1 b + a lesz. És a gyökérjel alatti kifejezés a 2 + 2 a + 5 egy olyan összeg is, amelyben a kifejezések felcserélhetők.

A tagokhoz hasonlóan az eredeti kifejezésekben is felcserélhetjük a faktorokat, és azonosan helyes egyenleteket kaphatunk. Ezt a műveletet a következő szabály szabályozza:

2. definíció

A szorzatban a tényezők helyenkénti átrendezése nem befolyásolja a számítás eredményét.

Ez a szabály a szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságain alapul, amelyek megerősítik az azonos transzformáció helyességét.

8. példa

Munka 3 5 7 a faktorok permutációja az alábbi formák valamelyikében ábrázolható: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 ill. 3 7 5.

9. példa

Az x + 1 x 2 - x + 1 x szorzatban szereplő tényezők megváltoztatása x 2 - x + 1 x x + 1

Konzol bővítése

A zárójelek tartalmazhatnak numerikus kifejezéseket és változókat tartalmazó kifejezéseket. Ezek a kifejezések átalakíthatók azonos egyenrangú kifejezésekké, amelyekben egyáltalán nem lesz zárójel, vagy kevesebb lesz belőlük, mint az eredeti kifejezésekben. A kifejezések átalakításának ezt a módját zárójel-kiterjesztésnek nevezzük.

10. példa

Végezzünk műveleteket zárójelben az űrlap kifejezésében 3 + x − 1 x hogy az azonosan igaz kifejezést kapjuk 3 + x − 1 x.

A 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x kifejezés zárójelek nélkül konvertálható a 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x azonos kifejezéssé .

Részletesen megvitattuk a kifejezések zárójelekkel történő konvertálására vonatkozó szabályokat a „Zárójel-kiterjesztés” témakörben, amelyet az erőforrásunkon teszünk közzé.

Csoportosítási feltételek, tényezők

Azokban az esetekben, amikor három vagy több kifejezéssel van dolgunk, egy ilyen típusú azonos transzformációhoz folyamodhatunk terminusok csoportosításaként. Az átalakítás ezen módszere alatt több kifejezés egyesítését értjük egy csoportba úgy, hogy azokat átrendezzük és zárójelbe tesszük.

Csoportosításkor a kifejezések felcserélése oly módon történik, hogy a csoportosított kifejezések a kifejezésrekordban egymás mellett legyenek. Ezt követően zárójelbe tehetők.

11. példa

Fogadd el a kifejezést 5 + 7 + 1 . Ha az első tagot csoportosítjuk a harmadikkal, akkor azt kapjuk (5 + 1) + 7 .

A tényezők csoportosítása a fogalmak csoportosításához hasonlóan történik.

12. példa

Munkában 2 3 4 5 csoportosíthatjuk az első faktort a harmadikkal, a másodikat a negyedikkel, ebben az esetben a kifejezéshez jutunk (2 4) (3 5). És ha az első, második és negyedik faktort csoportosítjuk, akkor megkapjuk a kifejezést (2 3 5) 4.

A csoportosított kifejezések és tényezők prímszámokkal és kifejezésekkel is ábrázolhatók. A csoportosítási szabályokat a „Csoportozási feltételek és tényezők” témakörben tárgyaltuk részletesen.

Az eltérések helyettesítése összegekkel, részszorzatokkal és fordítva

A különbségek összegekkel való helyettesítése az ellentétes számok megismerésének köszönhetően vált lehetővé. Most ki kell vonni egy számból a számok b szám kiegészítésének tekinthető a számok −b. Egyenlőség a − b = a + (− b) méltányosnak tekinthető, és ennek alapján végrehajtja az eltérések összegekkel történő pótlását.

13. példa

Fogadd el a kifejezést 4 + 3 − 2 , amelyben a számok különbsége 3 − 2 felírhatjuk összegként 3 + (− 2) . Kap 4 + 3 + (− 2) .

14. példa

Minden kifejezésbeli különbség 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 olyan összegekkel helyettesíthetők, mint 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Bármilyen eltérésből összegezhetünk. Hasonlóképpen végezhetünk fordított helyettesítést.

Az osztás szorzással az osztó reciprojával való helyettesítését a reciprok számok fogalma teszi lehetővé. Ez a transzformáció így írható fel a: b = a (b − 1).

Ez a szabály volt a közönséges törtek osztására vonatkozó szabály alapja.

15. példa

Magán 1 2: 3 5 formájú termékkel helyettesíthető 1 2 5 3.

Hasonlóképpen, analógia alapján az osztást szorzással helyettesíthetjük.

16. példa

A kifejezés esetén 1+5:x:(x+3) osztás helyére x-vel lehet szorozni 1 x. Felosztás szerint x + 3-vel szorozva helyettesíthetjük 1 x + 3. A transzformáció lehetővé teszi, hogy az eredetivel azonos kifejezést kapjunk: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

A szorzás osztással való helyettesítése a séma szerint történik a b = a: (b − 1).

17. példa

Az 5 x x 2 + 1 - 3 kifejezésben a szorzás helyettesíthető osztással: x 2 + 1 x - 3.

Műveletek végrehajtása számokkal

A számokkal végzett műveletek végrehajtása a műveleti sorrend szabálya szerint történik. Először is a műveleteket számok hatványaival és számgyökeivel hajtják végre. Ezt követően a logaritmusokat, trigonometrikus és egyéb függvényeket helyettesítjük az értékükkel. Ezután a zárójelben szereplő műveletek végrehajtásra kerülnek. És akkor már elvégezheti az összes többi műveletet balról jobbra. Fontos megjegyezni, hogy a szorzás és az osztás az összeadás és kivonás előtt történik.

A számokkal végzett műveletek lehetővé teszik, hogy az eredeti kifejezést egy vele megegyezőre alakítsuk át.

18. példa

Alakítsuk át a 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x kifejezést az összes lehetséges számokkal végzett művelet végrehajtásával.

Megoldás

Először is nézzük a fokozatot 2 3 és gyökér 4, és számítsa ki értéküket: 2 3 = 8 és 4 = 2 2 = 2 .

Helyettesítsük be a kapott értékeket az eredeti kifejezésbe, és kapjuk: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Most tegyük a zárójeleket: 8 − 1 = 7 . És menjünk tovább a 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) kifejezésre.

Csak a szorzást kell elvégeznünk 3 És 7 . A következőt kapjuk: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Válasz: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

A számokkal végzett műveleteket másfajta azonosság-transzformációk előzhetik meg, például számcsoportosítás vagy zárójel-kiterjesztés.

19. példa

Fogadd el a kifejezést 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Megoldás

Először is a zárójelben lévő hányadost változtatjuk meg 6: 3 jelentéséről 2 . A következőt kapjuk: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Bővítsük ki a zárójeleket: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Csoportosítsuk a szorzatban szereplő numerikus tényezőket, valamint azokat a kifejezéseket, amelyek számok: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Tegyük a zárójeleket: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Válasz:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Ha numerikus kifejezésekkel dolgozunk, akkor munkánk célja a kifejezés értékének megtalálása lesz. Ha a kifejezéseket változókkal alakítjuk át, akkor cselekvéseink célja a kifejezés egyszerűsítése lesz.

A közös tényező zárójelbe állítása

Azokban az esetekben, amikor a kifejezésben szereplő kifejezések ugyanazt a tényezőt tartalmazzák, akkor ezt a közös tényezőt kivehetjük a zárójelekből. Ehhez először az eredeti kifejezést egy közös tényező és egy zárójelben lévő kifejezés szorzataként kell ábrázolnunk, amely az eredeti kifejezésekből áll közös tényező nélkül.

20. példa

Számszerűen 2 7 + 2 3 ki tudjuk venni a közös tényezőt 2 a zárójelen kívül, és az űrlap azonosan helyes kifejezését kapja 2 (7 + 3).

Erőforrásunk megfelelő részében frissítheti a közös tényező zárójelekbe helyezésének szabályait. Az anyag részletesen tárgyalja a közös tényező zárójelből való kiemelésének szabályait, és számos példával szolgál.

Hasonló kifejezések csökkentése

Most térjünk át a hasonló kifejezéseket tartalmazó összegekre. Itt két lehetőség lehetséges: azonos tagokat tartalmazó összegek, illetve olyan összegek, amelyek tagjai számszerű együtthatóval különböznek. A hasonló kifejezéseket tartalmazó összegekkel végzett műveleteket hasonló kifejezések redukciójának nevezzük. Ezt a következőképpen hajtjuk végre: zárójelbe tesszük a közös betűrészt, és zárójelben kiszámoljuk a numerikus együtthatók összegét.

21. példa

Fontolja meg a kifejezést 1 + 4 x − 2 x. Kivehetjük x szó szerinti részét a zárójelekből, és megkapjuk a kifejezést 1 + x (4 - 2). Számítsuk ki a zárójelben lévő kifejezés értékét, és kapjuk meg az 1 + x · 2 alak összegét.

Számok és kifejezések helyettesítése azonos kifejezésekkel

Az eredeti kifejezést alkotó számok és kifejezések helyettesíthetők olyan kifejezésekkel, amelyek azonosak velük. Az eredeti kifejezés ilyen átalakítása egy vele azonos kifejezéshez vezet.

22. példa 23. példa

Fontolja meg a kifejezést 1 + a5, amelyben az a 5 fokot helyettesíthetjük egy vele azonos szorzattal, pl. a 4. Ez megadja nekünk a kifejezést 1+4.

Az elvégzett átalakítás mesterséges. Ennek csak más átalakításokra való felkészülésben van értelme.

24. példa

Tekintsük az összeg transzformációját 4 x 3 + 2 x 2. Itt a kifejezés 4x3 termékként tudjuk képviselni 2x2x2x. Ennek eredményeként az eredeti kifejezés felveszi a formáját 2 x 2 2 x + 2 x 2. Most elkülöníthetjük a közös tényezőt 2x2és vedd ki a zárójelből: 2 x 2 (2 x + 1).

Ugyanazon szám összeadása és kivonása

Ugyanannak a számnak vagy kifejezésnek az egyidejű összeadása és kivonása mesterséges kifejezéstranszformációs technika.

25. példa

Fontolja meg a kifejezést x 2 + 2 x. Hozzáadhatunk vagy kivonhatunk belőle egyet, ami lehetővé teszi, hogy utólag egy másik azonos transzformációt hajtsunk végre - a binomiális négyzetének kiválasztásához: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Miután fogalmunk van az identitásokról, logikus továbblépni az ismerkedésre. Ebben a cikkben megválaszoljuk azt a kérdést, hogy mik az azonosan egyenlő kifejezések, és példák segítségével kitaláljuk, mely kifejezések azonosak és melyek nem.

Oldalnavigáció.

Mik azok az azonos kifejezések?

Az azonosan egyenlő kifejezések definícióját az identitás meghatározásával párhuzamosan adjuk meg. Ez történik az algebra órán 7. osztályban. A 7 osztály algebra tankönyvében Yu. N. Makarychev szerző a következő megfogalmazást adja:

Meghatározás.

olyan kifejezések, amelyek értéke megegyezik a bennük szereplő változók bármely értékével. Az azonos értékeknek megfelelő numerikus kifejezéseket azonosan egyenlőnek is nevezik.

Ezt a definíciót a 8-as osztályig használják, egész kifejezésekre érvényes, mivel a bennük szereplő változók bármely értékére van értelme. A 8. évfolyamon pedig az azonosan egyenlő kifejezések meghatározása van megadva. Magyarázzuk meg, mihez kapcsolódik.

A 8. osztályban más típusú kifejezések tanulmányozása kezdődik, amelyek az egész kifejezésekkel ellentétben előfordulhat, hogy a változók egyes értékeinek nincs értelme. Ez szükségessé teszi a változók megengedett és érvénytelen értékeinek meghatározását, valamint a változó ODV megengedett értékeinek tartományát, és ennek eredményeként az azonosan egyenlő kifejezések meghatározását.

Meghatározás.

Két olyan kifejezést hívunk meg, amelyek értéke megegyezik a változóik összes megengedett értékével azonos kifejezések. Két azonos értékű numerikus kifejezést is azonosnak mondunk.

Az azonosan egyenlő kifejezések ebben a meghatározásában érdemes tisztázni a "a bennük szereplő változók minden megengedett értékére" kifejezés jelentését. Ez magában foglalja a változók összes olyan értékét, amelyeknél mindkét azonos kifejezésnek egyszerre van értelme. Ezt a gondolatot a következő részben példákon keresztül tisztázzuk.

Az azonosan egyenrangú kifejezések meghatározása A. G. Mordkovich tankönyvében egy kicsit másként szerepel:

Meghatározás.

Azonos egyenlő kifejezések kifejezések az identitás bal és jobb oldalán.

Jelentésben ez és az előző meghatározások egybeesnek.

Példák azonosan egyenlő kifejezésekre

Az előző alfejezetben bemutatott definíciók lehetővé teszik, hogy hozzuk példák az azonos kifejezésekre.

Kezdjük azonos numerikus kifejezésekkel. Az 1+2 és 2+1 numerikus kifejezések azonosak, mert egyenlő 3 és 3 értéknek felelnek meg. Az 5 és 30:6 kifejezések is azonosak, csakúgy, mint a (2 2) 3 és 2 6 kifejezések (az utolsó kifejezések értéke egyenlő a miatt). De a 3+2 és 3-2 numerikus kifejezések nem azonosak, mivel megfelelnek az 5 és 1 értékeknek, de nem egyenlőek.

Most példákat adunk a változókkal azonos azonos kifejezésekre. Ezek az a+b és b+a kifejezések. Valójában az a és b változók bármely értéke esetén az írott kifejezések ugyanazokat az értékeket veszik fel (ami a számokból következik). Például a=1 és b=2 esetén a+b=1+2=3 és b+a=2+1=3 . Az a és b változók bármely más értéke esetén ezeknek a kifejezéseknek az értékeit is megkapjuk. A 0·x·y·z és 0 kifejezések is azonosak az x , y és z változók bármely értékére. De a 2 x és 3 x kifejezések nem azonosak, mivel például x=1 esetén az értékük nem egyenlő. Valójában x=1 esetén a 2 x kifejezés 2 1=2 , a 3 x kifejezés pedig 3 1=3 .

Ha a kifejezésekben a változók megengedett értékeinek területe egybeesik, mint például az a+1 és 1+a , vagy ab 0 és 0 , vagy és kifejezésekben, és ezeknek a kifejezéseknek az értéke egyenlő ezekről a területekről származó változók összes értéke, akkor itt minden világos - ezek a kifejezések azonosak a bennük szereplő változók összes megengedett értékére. Tehát a+1≡1+a bármely a esetén az a b 0 és 0 kifejezések azonosak az a és b változók tetszőleges értékére, valamint a és kifejezések azonosak minden x-re -ból; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A. G. Algebra. 7. osztály. 14 órakor 1. rész Tankönyv oktatási intézmények diákjainak / A. G. Mordkovich. - 17. kiadás, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.