A trigonometria alapképletei. Alapvető trigonometrikus azonosság
A redukciós képletek olyan arányszámok, amelyek lehetővé teszik, hogy szinuszból, koszinuszból, érintőből és kotangensből lépjen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) szögekkel. 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` az `\alpha` szög ugyanazon függvényeihez, amely az egységkör első negyedében van. Így a redukciós képletek "vezetnek" minket arra, hogy 0 és 90 fok közötti szögekkel dolgozzunk, ami nagyon kényelmes.
Összesen 32 redukciós képlet létezik. Kétségtelenül hasznosak lesznek a vizsgákon, vizsgákon, teszteken. De azonnal figyelmeztetni fogjuk, hogy nem szükséges megjegyezni őket! Egy kis időt kell töltenie, és meg kell értenie az alkalmazásuk algoritmusát, akkor nem lesz nehéz a megfelelő időben levezetni a szükséges egyenlőséget.
Először is írjuk fel az összes redukciós képletet:
Szög esetén (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Szög (`\pi \pm \alpha`) vagy (`180^\circ \pm \alpha`) esetén:
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Szög esetén (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Szög (`2\pi \pm \alpha`) vagy (`360^\circ \pm \alpha`) esetén:
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Gyakran találhat redukciós képleteket táblázat formájában, ahol a szögek radiánban vannak felírva:
Használatához ki kell választanunk azt a sort, amelyikre szükségünk van, és az oszlopot a kívánt argumentummal. Például ahhoz, hogy egy táblázat segítségével megtudja, mi lesz a ` sin(\pi + \alpha)`, elegendő a választ a ` sin \beta` sor és a ` \pi + \ oszlop metszéspontjában keresni. alfa`. A következőt kapjuk: `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
És a második, hasonló táblázat, ahol a szögeket fokban írják:
Az öntési képletek mnemonikus szabálya, vagy hogyan kell megjegyezni őket
Mint már említettük, nem szükséges az összes fenti arányt megjegyezni. Ha alaposan megnézted őket, valószínűleg észrevettél néhány mintát. Lehetővé teszik, hogy megfogalmazzunk egy mnemonikai szabályt (mnemonikus - memorizál), amellyel könnyedén megkaphatja bármelyik redukciós képletet.
Rögtön megjegyezzük, hogy ennek a szabálynak az alkalmazásához jól meg kell tudni határozni (vagy emlékezni) a trigonometrikus függvények előjeleit az egységkör különböző negyedeiben. 
Maga a graft 3 szakaszból áll:
- A függvény argumentumának \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi formátumúnak kell lennie. \ pm \alpha`, ahol az `\alpha` mindig hegyesszög (0 és 90 fok között).
- A `\frac (\pi)2 \pm \alpha, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` argumentumokhoz trigonometrikus függvény az átalakított kifejezés kofunkcióvá változik, vagyis az ellenkezőjére (szinusz koszinuszra, érintő kotangensre és fordítva). A `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` argumentumok esetén a függvény nem változik.
- Meghatározzuk az eredeti függvény előjelét. A jobb oldalon kapott függvénynek ugyanaz az előjele lesz.
Ha látni szeretné, hogyan alkalmazható ez a szabály a gyakorlatban, alakítsunk át néhány kifejezést:
1. "cos(\pi + \alpha)".
A funkció nincs megfordítva. A ` \pi + \alpha` szög a harmadik negyedben van, a koszinusz ebben a kvadránsban "-" jelű, így a konvertált függvénynek is lesz "-" jele.
Válasz: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. "sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)".
Alapján mnemonikus szabály funkció megfordul. A `\frac (3\pi)2 - \alpha` szög a harmadik kvadránsban van, a szinusz itt "-" jelű, így az eredmény is "-" jellel lesz.
Válasz: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Jelöljük a 3\pi-t 2\pi+\pi-ként. A "2\pi" a függvény periódusa.
Fontos: A `cos \alpha` és `sin \alpha` függvények periódusa `2\pi` vagy `360^\circ`, értékeik nem változnak, ha az argumentumot ezekkel az értékekkel növeljük vagy csökkentjük.
Ez alapján a kifejezésünk a következőképpen írható fel: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)` A mnemonikus szabályt kétszer alkalmazva a következőt kapjuk: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Válasz: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
lószabály
A fenti mnemonikus szabály második pontját a redukciós képletek lószabályának is nevezik. Vajon miért lovak?
Tehát vannak függvényeink `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm argumentumokkal. Az \alpha, a \frac (\pi)2', '\pi', \frac (3\pi)2, '2\pi' kulcspontok, a koordinátatengelyeken helyezkednek el. A "\pi" és a "2\pi" a vízszintes x-tengelyen, a "\frac (\pi)2" és a "\frac (3\pi)2" pedig a függőleges y tengelyen található.
Feltesszük magunknak a kérdést: „A funkció kofunkcióvá változik?”. A kérdés megválaszolásához el kell mozgatnia a fejét a tengely mentén, amelyen a kulcspont található.
Vagyis a vízszintes tengelyen elhelyezkedő kulcspontokat tartalmazó érvekre a fejünk oldalra rázásával válaszolunk „nem”. A függőleges tengelyen lévő kulcspontokkal rendelkező sarkok esetében pedig a fejünket felülről lefelé bólogatva válaszolunk igennel, mint egy ló 🙂
Javasoljuk, hogy nézzen meg egy oktatóvideót, amelyben a szerző részletesen elmagyarázza, hogyan lehet memorizálni a redukciós képleteket azok memorizálása nélkül.
Gyakorlati példák öntési képletek használatára
A redukciós képletek alkalmazása a 9. és 10. évfolyamon kezdődik. A használatukkal sok feladat kerül a vizsgára. Íme néhány feladat, ahol alkalmaznia kell ezeket a képleteket:
- feladatok derékszögű háromszög megoldásához;
- numerikus és alfabetikus trigonometrikus kifejezések átalakítása, értékük kiszámítása;
- sztereometrikus problémák.
1. példa: A redukciós képletekkel számítsa ki a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Megoldás: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) "tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3";
c) "cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2";
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
2. példa Miután kifejezte a koszinusz a szinuszon keresztül a redukciós képletekkel, hasonlítsa össze a számokat: 1) "sin \frac (9\pi)8" és "cos \frac (9\pi)8"; 2) "sin \frac (\pi)8" és "cos \frac (3\pi)10".
Megoldás: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Először bebizonyítunk két képletet a `\frac (\pi)2 + \alpha` argumentum szinuszára és koszinuszára: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` és ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. A többi tőlük származik. Vegyünk egy egységkört és azon az A pontot (1,0) koordinátákkal. Bekapcsolás után hagyjuk Az érintő és a kotangens definíciójából a következőt kapjuk: ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` és ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, ami a redukciót bizonyítja a `\frac (\pi)2 + \alpha` szög érintőjének és kotangensének képletei. A `\frac (\pi)2 - \alpha` argumentumú képletek bizonyításához elegendő a `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` karakterláncot ábrázolni, és a fenti utat követni. Például `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. A `\pi + \alpha` és `\pi - \alpha` szögek `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` és `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` rendre. És a „\frac (3\pi)2 + \alpha” és a „\frac (3\pi)2 - \alpha” mint „\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)” és „\pi” +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Ebben a cikkben átfogó pillantást vetünk a . Az alapvető trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek az egyik szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, és lehetővé teszik ezen trigonometrikus függvények bármelyikének megtalálását egy ismert másik szögön keresztül. Azonnal felsoroljuk a fő trigonometrikus azonosságokat, amelyeket ebben a cikkben elemezünk. Leírjuk őket egy táblázatba, majd az alábbiakban megadjuk ezeknek a képleteknek a származtatását és a szükséges magyarázatokat. Oldalnavigáció. Néha nem a fenti táblázatban felsorolt fő trigonometrikus identitásokról beszélnek, hanem egyetlen egyről alapvető trigonometrikus azonosság kedves Vagyis különösen érdekes az egyenlőség, amely a fő trigonometrikus azonosság elnevezést kapta. Az alapvető trigonometrikus azonosság bizonyítása előtt megadjuk annak megfogalmazását: egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege azonos eggyel. Most pedig bizonyítsuk be. Az alapvető trigonometrikus azonosságot nagyon gyakran használják trigonometrikus kifejezések transzformációja. Lehetővé teszi, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítsük. Nem ritkábban az alapvető trigonometrikus azonosságot fordított sorrendben használják: az egységet a tetszőleges szög szinuszának és koszinuszának négyzeteinek összege helyettesíti. Azok az azonosságok, amelyek az érintőt és a kotangenst összekötik a forma és a forma egy szögének szinuszával és koszinuszával Ennek a nyilvánvalónak köszönhetően az azonosságok és A szakasz zárásaként meg kell jegyezni, hogy az azonosságok és Az előző kettőnél még nyilvánvalóbb trigonometrikus azonosság az alak egy szögének érintőjét és kotangensét összekötő azonosság. A képlet bizonyítéka Tehát az egyik szög érintője és kotangense, amelynél van értelme. A fő trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti arányok megadva. trigonometrikus képletek. És mivel a trigonometrikus függvények között elég sok kapcsolat van, ez is megmagyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek összekötik az azonos szög trigonometrikus függvényeit, mások - a többszörös szög függvényei, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, a negyedik - az összes függvény kifejezését a félszög érintőjén keresztül stb. Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében céljuk szerint csoportosítjuk, és táblázatokba foglaljuk őket. Oldalnavigáció. Alapvető trigonometrikus azonosságokállítsa be az összefüggést egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másikon keresztül. Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példáit a cikkben találja. Öntött képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonságát. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel való munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson. Ezeknek a képleteknek az indoklása, a memorizálásukra vonatkozó mnemonikus szabály és az alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben. Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez. Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei hogyan működnek. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul. A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög . Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei egy egész szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek. Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók. Trigonometrikus képletek a csökkenő fokokhozÚgy tervezték, hogy megkönnyítsék az átmenetet a trigonometrikus függvények természetes hatványairól a szinuszokra és koszinuszokra első fokú, de több szögben. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre. A fő cél trigonometrikus függvények összeg- és különbségképletei a függvények szorzatára való átállásból áll, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják trigonometrikus egyenletek megoldásában is, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorálását. A trigonometrikus függvények szorzatáról az összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszenkénti szorzat képletein keresztül történik. Okos diákok szerzői joga Minden jog fenntartva. Trigonometrikus azonosságok olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot létesítenek egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, amely lehetővé teszi ezen függvények bármelyikének megtalálását, feltéve, hogy bármely másik ismert. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 Ez az azonosság azt mondja, hogy egy szög szinuszának négyzetének és egy szög koszinuszának négyzetének összege egyenlő eggyel, ami a gyakorlatban lehetővé teszi egy szög szinuszának kiszámítását, ha ismerjük a koszinuszát és fordítva. . A trigonometrikus kifejezések konvertálásakor nagyon gyakran használják ezt az azonosságot, amely lehetővé teszi, hogy az egy szög koszinusza és szinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítse, és fordított sorrendben hajtsa végre a helyettesítési műveletet. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Ezek az azonosságok a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból jönnek létre. Hiszen ha megnézed, akkor definíció szerint y ordinátája a szinusz, x abszcisszája pedig a koszinusz. Ekkor az érintő egyenlő lesz az aránnyal \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), és az arány \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangens lesz. Hozzátesszük, hogy az azonosságok csak olyan \alpha szögeknél történnek, amelyeknél a benne foglalt trigonometrikus függvényeknek van értelme, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Például: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha szögekre érvényes, amelyek különböznek a \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- a \pi z-től eltérő \alpha szög esetén z egész szám. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 Ez az azonosság csak azokra az \alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2) z. Ellenkező esetben sem a kotangens, sem az érintő nem kerül meghatározásra. A fenti pontok alapján azt kapjuk tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Ebből következik tehát tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Így az egyik szög érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, kölcsönösen reciprok számok. tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- az \alpha és 1 szög érintőjének négyzetének összege egyenlő ennek a szögnek a koszinuszának fordított négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, kivéve \frac(\pi)(2)+ \pi z. 1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 összege és a \alpha szög kotangensének négyzete megegyezik az adott szög szinuszának fordított négyzetével. Ez az azonosság a \pi z kivételével bármely \alfára érvényes. Keresse meg a \sin \alpha és tg \alpha if függvényeket \cos \alpha=-\frac12és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
; Megoldás megjelenítése Döntés A \sin \alpha és \cos \alpha függvényeket a képlet kapcsolja össze \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Behelyettesítve ebbe a képletbe \cos \alpha = -\frac12, kapunk: \sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1 Ennek az egyenletnek 2 megoldása van: \sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2) Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. A második negyedben a szinusz pozitív, így \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2). A tg \alpha kereséséhez a képletet használjuk tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3 Keresse meg a \cos \alpha és a ctg \alpha függvényt, ha és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Megoldás megjelenítése Döntés Behelyettesítés a képletbe \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 feltételes szám \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kapunk \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ennek az egyenletnek két megoldása van \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14. Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. A második negyedévben a koszinusz negatív, tehát \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12. A ctg \alpha megtalálásához a képletet használjuk ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ismerjük a megfelelő értékeket. ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3). Ez az utolsó és legfontosabb lecke, amely a B11-es problémák megoldásához szükséges. Már tudjuk, hogyan alakítsuk át a szögeket radiánmértékről fokmértékre (lásd „Radián és egy szög fokmértéke”), és azt is tudjuk, hogyan határozzuk meg a trigonometrikus függvény előjelét, a koordinátanegyedekre összpontosítva (lásd a leckét "Trigonometrikus függvények jelei"). A lényeg továbbra is kicsi: magának a függvénynek az értékének kiszámítása - ez a szám, amely a válaszban van írva. Itt az alapvető trigonometrikus azonosság jön a segítségre. Alapvető trigonometrikus azonosság. Bármely α szögre igaz az állítás: sin 2 α + cos 2 α = 1. Ez a képlet egy szög szinuszát és koszinuszát viszonyítja. Most már a szinusz ismeretében könnyen megtalálhatjuk a koszinuszát – és fordítva. Elég a négyzetgyököt venni: Figyelje meg a "±" jelet a gyökerek előtt. Az a helyzet, hogy az alapvető trigonometrikus azonosságból nem derül ki, hogy mi volt az eredeti szinusz és koszinusz: pozitív vagy negatív. Hiszen a négyzetesítés egy páros függvény, amely minden mínuszt (ha van) "eléget". Éppen ezért minden B11-es feladatban, amely a USE matematikában található, szükségszerűen vannak további feltételek, amelyek segítenek megszabadulni a bizonytalanságtól az előjelekkel. Általában ez a koordinátanegyed jelzése, amely alapján az előjel meghatározható. Egy figyelmes olvasó biztosan felteszi a kérdést: „Mi a helyzet az érintővel és a kotangenssel?” Ezeket a függvényeket nem lehet közvetlenül kiszámítani a fenti képletekből. Az alapvető trigonometrikus azonosságból azonban vannak fontos következmények, amelyek már tartalmaznak érintőket és kotangenseket. Ugyanis: Egy fontos következmény: bármely α szög esetén az alapvető trigonometrikus azonosság a következőképpen írható át: Ezek az egyenletek könnyen levezethetők az alapazonosságból - elég, ha mindkét oldalt cos 2 α-val (hogy megkapjuk az érintőt) vagy sin 2 α-val (kotangenshez) osztjuk. Nézzük mindezt konkrét példákkal. Az alábbiak a 2012-es Mathematics USE kísérletekből vett tényleges B11-problémák. Ismerjük a koszinuszát, de a szinuszát nem. A fő trigonometrikus identitás (a maga "tiszta" formájában) éppen ezeket a függvényeket kapcsolja össze, így ezzel fogunk dolgozni. Nekünk van: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1. A probléma megoldásához meg kell találni a szinusz jelét. Mivel az α ∈ szög (π /2; π ), ezért fokmértékben a következőképpen írjuk: α ∈ (90°; 180°). Ezért az α szög a II. koordinátanegyedben van – ott minden szinusz pozitív. Ezért sin α = 0,1. Tehát ismerjük a szinuszát, de meg kell találnunk a koszinuszát. Mindkét függvény az alapvető trigonometrikus azonosságban található. Cseréljük: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5. Marad a tört előtti jel kezelése. Mit válasszunk: plusz vagy mínusz? Feltétel szerint az α szög a (π 3π /2) intervallumhoz tartozik. Váltsuk át a szögeket radiánmértékről fokmértékre - kapjuk: α ∈ (180°; 270°). Nyilvánvalóan ez a III. koordinátanegyed, ahol minden koszinusz negatív. Ezért cosα = -0,5. Feladat. Keresse meg a tg α értéket, ha tudja a következőket: Az érintő és a koszinusz az alapvető trigonometrikus azonosságból következő egyenlettel van kapcsolatban: A következőt kapjuk: tg α = ±3. Az érintő előjelét az α szög határozza meg. Ismeretes, hogy α ∈ (3π /2; 2π ). Váltsuk át a radiánmérték szögeit fokmértékre - α ∈ (270°; 360°) kapjuk. Nyilvánvalóan ez a IV koordinátanegyed, ahol minden érintő negatív. Ezért tgα = −3. Feladat. Keresse meg a cos α értéket, ha tudja a következőket: Ismét a szinusz ismert, a koszinusz pedig ismeretlen. Felírjuk a fő trigonometrikus azonosságot: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6. Az előjelet a szög határozza meg. Van: α ∈ (3π /2; 2π ). Váltsuk át a szögeket fokról radiánra: α ∈ (270°; 360°) a IV koordinátanegyed, ott a koszinuszok pozitívak. Ezért cos α = 0,6. Feladat. Keresse meg a sin α-t, ha tudja a következőket: Írjunk egy képletet, amely az alapvető trigonometrikus azonosságból következik, és közvetlenül összekapcsolja a szinust és a kotangenst: Innen azt kapjuk, hogy sin 2 α = 1/25, azaz. sin α = ±1/5 = ±0,2. Ismeretes, hogy az α ∈ (0; π /2) szög. Fokokban ezt a következőképpen írjuk: α ∈ (0°; 90°) - I koordináta negyed. Tehát a szög az I koordinátanegyedben van - ott minden trigonometrikus függvény pozitív, ezért sin α \u003d 0,2.
sarok `\alpha` az `A_1(x, y)` pontba kerül, majd a `\frac (\pi)2 + \alpha` szög átfordítása után az `A_2(-y,x)` pontba megy . Ha ezekből a pontokból a merőlegeseket ledobjuk az OX egyenesre, azt látjuk, hogy az `OA_1H_1` és `OA_2H_2` háromszögek egyenlőek, mivel a befogópontjaik és a szomszédos szögeik egyenlőek. Ekkor a szinusz és koszinusz definíciói alapján írhatjuk a következőt: `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Hogyan írható le, hogy ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` és ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, ami a redukciót bizonyítja képletek a `\frac (\pi)2 + \alpha` szög szinuszára és koszinuszára.Egy szög szinusza és koszinusza közötti kapcsolat
. Ennek a ténynek a magyarázata meglehetősen egyszerű: az egyenlőségeket az alapvető trigonometrikus azonosságból kapjuk, miután mindkét részét elosztjuk egymással és az egyenlőségekkel. 
és 
a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból következik. Erről részletesebben a következő bekezdésekben fogunk beszélni.Érintő és kotangens szinuszon és koszinuszon keresztül
azonnal következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból. Valójában definíció szerint a szinusz az y ordinátája, a koszinusz az x abszcisszája, az érintő pedig az ordináta és az abszcissza aránya, azaz 
, a kotangens pedig az abszcissza és az ordináta aránya, azaz 
.Az érintő és a kotangens definícióit gyakran nem az abszcissza és az ordináta arányán, hanem a szinusz és a koszinusz arányán keresztül adjuk meg. Tehát egy szög érintője ennek a szögnek a szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, a kotangens pedig a koszinusz és a szinusz aránya.tartsa meg minden olyan szögre, amelyre a bennük lévő trigonometrikus függvényeknek van értelme. Tehát a képlet minden másra érvényes, mint (egyébként a nevező nulla lesz, és nem definiáltuk a nullával való osztást), és a képlet - minden , különbözik attól , ahol z tetszőleges .Az érintő és a kotangens kapcsolata
. Nyilvánvaló, hogy ez a szögeken kívül minden más szögre is megtörténik, különben sem az érintő, sem a kotangens nincs meghatározva.Nagyon egyszerű. Definíció szerint és honnan 
. A bizonyítást egy kicsit másképp is meg lehetett volna csinálni. Mivel és , azután 
.Alapvető trigonometrikus azonosságok
Öntött képletek
Összeadási képletek
Képletek dupla, hármas stb. sarok
Félszög képletek
Redukciós képletek
Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére
Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára
Szerzői jogi törvény védi. A www.webhely egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a külső megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.Érintő és kotangens keresése szinuszon és koszinuszon keresztül
Az érintő és a kotangens kapcsolata
Az érintő és a koszinusz, a kotangens és a szinusz összefüggései
Példák problémák megoldására trigonometrikus identitások használatával
1. példa
2. példa
Azt is ajánljuk
Betöltés...