Trigonometriai példák. Trigonometrikus egyenletek

Sok megoldásánál matematikai feladatok, különösen azok, amelyek a 10. évfolyam előtt fordulnak elő, egyértelműen meghatározott a célhoz vezető cselekvések sorrendje. Ilyen problémák például a lineáris és másodfokú egyenletek, a lineáris ill négyzetes egyenlőtlenségek, törtegyenletekés másodfokúvá redukáló egyenletek. Az említett feladatok mindegyikének sikeres megoldásának elve a következő: meg kell állapítani, hogy milyen típusú feladatot oldanak meg, emlékezni kell a szükséges műveletsorra, amely a kívánt eredményhez vezet, pl. válaszoljon, és kövesse ezeket a lépéseket.

Nyilvánvaló, hogy egy adott probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban attól függ, hogy a megoldandó egyenlet típusát mennyire helyesen határozzák meg, milyen helyesen reprodukálják a megoldás összes szakaszának sorrendjét. Természetesen a teljesítményhez szükséges készség azonos átalakulásokés a számítástechnika.

Más helyzet fordul elő a trigonometrikus egyenletek. Nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel a helyes válaszhoz vezető műveletek sorrendjének meghatározásakor.

Által kinézet egyenletek néha nehéz meghatározni a típusát. Az egyenlet típusának ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a megfelelőt több tucat trigonometrikus képlet közül.

A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnunk:

1. állítsa az egyenletben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe";
2. hozza az egyenletet "ugyanazokra a függvényekre";
3. faktorizálja az egyenlet bal oldalát stb.

Fontolgat trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.

I. Redukció a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre

Megoldási séma

1. lépés. Fejezd ki a trigonometrikus függvényt ismert komponensekkel!

2. lépés Keresse meg a függvény argumentumát képletekkel:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. lépés Keressen egy ismeretlen változót.

Példa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Döntés.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Válasz: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Változó helyettesítés

Megoldási séma

1. lépés. Hozd az egyenletet egy algebrai formává az egyik trigonometrikus függvényhez képest.

2. lépés Jelölje a kapott függvényt a t változóval (ha szükséges, vezessen be korlátozásokat t-re).

3. lépés Rögzítse és oldja meg algebrai egyenlet.

4. lépés Végezzen fordított cserét.

5. lépés Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet!

Példa.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Döntés.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Legyen sin (x/2) = t, ahol |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vagy e = -3/2 nem teljesíti a |t| feltételt ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Válasz: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Egyenletsorrend redukciós módszer

Megoldási séma

1. lépés. Cserélje ki adott egyenlet lineáris, ehhez a redukciós képleteket használva:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet az I. és II. módszerrel!

Példa.

cos2x + cos2x = 5/4.

Döntés.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Válasz: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogén egyenletek

Megoldási séma

1. lépés. Hozd ezt az egyenletet a formába

a) a sin x + b cos x = 0 (elsőfokú homogén egyenlet)

vagy a kilátáshoz

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (másodfokú homogén egyenlet).

2. lépés Oszd el az egyenlet mindkét oldalát!

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

és kapjuk meg a tg x egyenletet:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. lépés Oldja meg az egyenletet ismert módszerekkel!

Példa.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Döntés.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Legyen tg x = t, akkor

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 vagy t = -4, tehát

tg x = 1 vagy tg x = -4.

Az első egyenletből x = π/4 + πn, n Є Z; a második egyenletből x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Válasz: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Egyenlet transzformációjának módszere trigonometrikus képletekkel

Megoldási séma

1. lépés. Mindenféle felhasználásával trigonometrikus képletek, hozza ezt az egyenletet az I., II., III., IV. módszerrel megoldott egyenlethez.

2. lépés Oldja meg a kapott egyenletet ismert módszerekkel!

Példa.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Döntés.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vagy 2cos x + 1 = 0;

Az első egyenletből 2x = π/2 + πn, n Є Z; a második egyenletből cos x = -1/2.

Van x = π/4 + πn/2, n Є Z; a második egyenletből x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ennek eredményeként x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Válasz: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának képessége és készsége nagyon Fontos, hogy fejlesztésük jelentős erőfeszítést igényel mind a tanuló, mind a tanár részéről.

A trigonometrikus egyenletek megoldásához számos sztereometriai, fizika stb. probléma kapcsolódik, amelyek megoldásának folyamata mintegy magában foglalja a trigonometria elemeinek tanulmányozása során elsajátított ismereteket és készségeket.

Trigonometrikus egyenletek fontos helyet foglalnak el a matematikatanítás és általában a személyiségfejlesztés folyamatában.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek egy adott személy azonosítására vagy a vele való kapcsolatfelvételre használhatók.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt arról egyedi ajánlatok, promóciók és egyéb események és közelgő események.
Időnként felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági végzésnek megfelelően, bírósági eljárásban és/vagy nyilvános megkeresések, illetve kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célok miatt szükséges vagy megfelelő.
Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Óra és előadás a témában: "A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Kézikönyvek és szimulátorok az "Integral" online áruházban az 1C 10. osztályhoz
Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív feladatok térépítéshez
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mit fogunk tanulni:
1. Mik azok a trigonometrikus egyenletek?

3. Két fő módszer a trigonometrikus egyenletek megoldására.
4. Homogén trigonometrikus egyenletek.
5. Példák.

Mik azok a trigonometrikus egyenletek?

Srácok, már tanulmányoztuk az arcszinust, arkkoszinust, arctangenst és arckotangenst. Most nézzük meg általában a trigonometrikus egyenleteket.

Trigonometrikus egyenletek - olyan egyenletek, amelyekben a változó a trigonometrikus függvény jele alatt található.

Megismételjük a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának formáját:

1) Ha |а|≤ 1, akkor a cos(x) = a egyenletnek van megoldása:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ha |а|≤ 1, akkor a sin(x) = a egyenletnek van megoldása:

3) Ha |a| > 1, akkor a sin(x) = a és cos(x) = a egyenletnek nincs megoldása 4) A tg(x)=a egyenletnek van megoldása: x=arctg(a)+ πk

5) A ctg(x)=a egyenletnek van megoldása: x=arcctg(a)+ πk

Minden képletnél k egy egész szám

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek alakja: Т(kx+m)=a, T- tetszőleges trigonometrikus függvény.

Példa.

Oldja meg az egyenleteket: a) sin(3x)= √3/2

Döntés:

A) Jelöljük 3x=t, majd átírjuk az egyenletünket a következő alakba:

Ennek az egyenletnek a megoldása a következő lesz: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Az értéktáblázatból a következőt kapjuk: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Térjünk vissza a változónkhoz: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ekkor x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Válasz: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ahol n egész szám. (-1)^n - mínusz egy n hatványához.

További példák trigonometrikus egyenletekre.

Oldja meg az egyenleteket: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Döntés:

A) Ezúttal rögtön az egyenlet gyökereinek kiszámításához térünk át:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ekkor x/5= πk => x=5πk

Válasz: x=5πk, ahol k egy egész szám.

B) A következő alakban írjuk: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Tudjuk, hogy: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Válasz: x=2π/9 + πk/3, ahol k egész szám.

Oldja meg az egyenleteket: cos(4x)= √2/2. És keresse meg a szegmens összes gyökerét.

Döntés:

majd eldöntjük Általános nézet egyenletünk: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Most pedig lássuk, milyen gyökerek nyúlnak bele a szegmensünkbe. k esetén Ha k=0, x= π/16, az adott szegmensben vagyunk.
A k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 mellett ismét ütnek.
k=2 esetén x= π/16+ π=17π/16, de itt nem találtunk, ami azt jelenti, hogy nagy k-ra sem fogunk ütni.

Válasz: x= π/16, x= 9π/16

Két fő megoldási mód.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket vettük figyelembe, de vannak bonyolultabbak is. Ezek megoldására egy új változó bevezetésének módszerét és a faktorizációs módszert alkalmazzuk. Nézzünk példákat.

Oldjuk meg az egyenletet:

Döntés:
Egyenletünk megoldásához egy új változó bevezetésének módszerét használjuk, jelölése: t=tg(x).

A csere eredményeként a következőt kapjuk: t 2 + 2t -1 = 0

Keressük a gyökereket másodfokú egyenlet t=-1 és t=1/3

Ekkor tg(x)=-1 és tg(x)=1/3, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet kaptuk, keressük meg a gyökereit.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Válasz: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Példa egyenlet megoldására

Oldja meg az egyenleteket: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Döntés:

Használjuk az azonosságot: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Az egyenletünk a következő: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Vezessük be a t=cos(x) helyettesítést: 2t 2 -3t - 2 = 0

A másodfokú egyenletünk megoldása a gyökök: t=2 és t=-1/2

Ekkor cos(x)=2 és cos(x)=-1/2.

Mert A koszinusz nem vehet fel egynél nagyobb értékeket, akkor a cos(x)=2-nek nincs gyökere.

cos(x)=-1/2 esetén: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Válasz: x= ±2π/3 + 2πk

Homogén trigonometrikus egyenletek.

Definíció: Az a sin(x)+b cos(x) alakú egyenletet elsőfokú homogén trigonometrikus egyenleteknek nevezzük.

Az alak egyenletei

másodfokú homogén trigonometrikus egyenletek.

Egy elsőfokú homogén trigonometrikus egyenlet megoldásához elosztjuk cos(x)-szel: Nem lehet koszinuszos osztani, ha igen nulla, győződjön meg arról, hogy nem:
Legyen cos(x)=0, akkor asin(x)+0=0 => sin(x)=0, de a szinusz és a koszinusz nem egyenlő nullával egyszerre, ellentmondást kaptunk, így nyugodtan oszthatjuk nullával.

Oldja meg az egyenletet:
Példa: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Döntés:

Vegyük ki a közös tényezőt: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Ezután két egyenletet kell megoldanunk:

cos(x)=0 és cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk esetén;

Tekintsük a cos(x)+sin(x)=0 egyenletet. Osszuk el az egyenletünket cos(x)-szel:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Válasz: x= π/2 + πk és x= -π/4+πk

Hogyan lehet másodfokú homogén trigonometrikus egyenleteket megoldani?
Srácok, mindig tartsátok be ezeket a szabályokat!

1. Nézze meg, mennyivel egyenlő az a együttható, ha a \u003d 0, akkor az egyenletünk a cos (x) (bsin (x) + ccos (x) alakot ölti majd, amelynek megoldására az előző példán található csúszik

2. Ha a≠0, akkor az egyenlet mindkét részét el kell osztani a koszinusz négyzetével, így kapjuk:

Elvégezzük a t=tg(x) változó változtatását, és a következő egyenletet kapjuk:

Példa megoldása #:3

Oldja meg az egyenletet:
Döntés:

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát koszinusz négyzettel:

Megváltoztatjuk a t=tg(x) változót: t 2 + 2 t - 3 = 0

Határozzuk meg a másodfokú egyenlet gyökereit: t=-3 és t=1!

Ekkor: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Válasz: x=-arctg(3) + πk és x= π/4+ πk

Példa megoldása #:4

Oldja meg az egyenletet:

Döntés:
Alakítsuk át a kifejezésünket:

Ilyen egyenleteket tudunk megoldani: x= - π/4 + 2πk és x=5π/4 + 2πk

Válasz: x= - π/4 + 2πk és x=5π/4 + 2πk

Példa megoldása #:5

Oldja meg az egyenletet:

Döntés:
Alakítsuk át a kifejezésünket:

Bevezetjük a tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 helyettesítést

A másodfokú egyenletünk megoldása a gyökök: t=-2 és t=1/2

Ekkor a következőt kapjuk: tg(2x)=-2 és tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Válasz: x=-arctg(2)/2 + πk/2 és x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Önálló megoldási feladatok.

1) Oldja meg az egyenletet!

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Oldja meg az egyenleteket: sin(3x)= √3/2. És keresse meg az összes gyökeret a [π/2; π].

3) Oldja meg az egyenletet: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Oldja meg az egyenletet: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Oldja meg az egyenletet: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Oldja meg az egyenletet: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Nem titok, hogy szinte minden probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban a típusmeghatározás helyességétől függ. adott egyenlet, valamint megoldása összes szakaszának sorrendjének helyes reprodukálásáról. A trigonometrikus egyenletek esetében azonban egyáltalán nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. De a helyes válaszhoz vezető cselekvések sorrendjének meghatározása során bizonyos nehézségekbe ütközhetünk. Találjuk ki, hogyan kell helyesen megoldani a trigonometrikus egyenleteket a kezdetektől fogva.

Trigonometrikus egyenletek megoldása

A trigonometrikus egyenlet megoldásához a következő pontokat kell végrehajtania:

Az egyenletünkben szereplő összes függvényt "ugyanolyan szögbe" hozzuk;
Az adott egyenletet "azonos függvényekre" kell hozni;
Az adott egyenlet bal oldalát faktorokra vagy egyéb szükséges komponensekre bontjuk.

Mód

1. módszer. Az ilyen egyenleteket két lépésben kell megoldani. Először is átalakítjuk az egyenletet, hogy megkapjuk a legegyszerűbb (leegyszerűsített) alakját. Egyenlet: Cosx = a, Sinx = a és hasonlókat a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteknek nevezzük. A második lépés a kapott egyszerű egyenlet megoldása. Megjegyzendő, hogy a legegyszerűbb egyenlet megoldható a nálunk az iskolai algebratanfolyamból jól ismert algebrai módszerrel. Szubsztitúciós és változóhelyettesítési módszernek is nevezik. A redukciós képletek segítségével először konvertálni kell, majd cserét kell végrehajtani, majd meg kell keresni a gyökereket.

Ezután fel kell bontani az egyenletünket lehetséges faktorokra, ehhez az összes tagot balra kell mozgatni, majd faktorokra kell bontani. Most ezt az egyenletet homogénre kell hozni, amelyben minden tag azonos fokú, és a koszinusznak és a szinusznak azonos szöge van.

A trigonometrikus egyenletek megoldása előtt át kell vinni a tagjait a bal oldalra, a jobb oldalról átvéve, majd zárójelben kivesszük az összes közös nevezőt. A zárójeleinket és a tényezőket nullával egyenlővé tesszük. Az egyenértékű zárójeleink egy csökkentett fokú homogén egyenlet, amelyet a sin(cos) a legmagasabb hatványra osztunk. Most oldjuk meg azt az algebrai egyenletet, amelyet a tan vonatkozásában kaptunk.

2. módszer. Egy másik módszer, amellyel a trigonometrikus egyenletet megoldhatja, a félszögre való átmenet. Például megoldjuk az egyenletet: 3sinx-5cosx=7.

Félszögre kell mennünk, esetünkben ez: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2). Ezután az összes kifejezést egy részre redukáljuk (a kényelem érdekében jobb kiválasztani a megfelelőt), és folytatjuk az egyenlet megoldását.

Ha szükséges, megadhat egy segédszöget. Ez akkor történik, ha a sin (a) vagy cos (a) egész értéket kell lecserélnie, és az „a” jel csak segédszögként működik.

terméket összegezni

Hogyan oldjunk meg trigonometrikus egyenleteket összegszorzat segítségével? Az ilyen egyenletek megoldására a szorzat-összeg konverzióként ismert módszer is használható. Ebben az esetben az egyenletnek megfelelő képleteket kell használni.

Például van egy egyenletünk: 2sinx * sin3x= cos4x

Ezt a problémát úgy kell megoldanunk, hogy a bal oldalt összeggé alakítjuk, nevezetesen:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Ha a fenti módszerek nem megfelelőek, és még mindig nem tudja, hogyan kell megoldani a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket, használhat egy másik módszert - az univerzális helyettesítést. Ezzel átalakíthatja a kifejezést, és lecserélheti. Például: Cos(x/2)=u. Most már meg tudjuk oldani az egyenletet a megadott u paraméterrel. És miután megkapta a kívánt eredményt, ne felejtse el lefordítani ezt az értéket az ellenkezőjére.

Sok "tapasztalt" diáknak azt tanácsolják, hogy forduljanak online emberekhez egyenletek megoldása érdekében. Azt kérdezed, hogyan lehet online trigonometrikus egyenletet megoldani. Mert online megoldások problémákkal fordulhat az érintett témák fórumaihoz, ahol tanácsokkal vagy a probléma megoldásában tudnak segíteni. De a legjobb, ha megpróbálod egyedül kezelni.

A trigonometrikus egyenletek megoldásában szerzett készségek és képességek nagyon fontosak és hasznosak. Fejlesztésük sok erőfeszítést igényel majd Öntől. A fizika, a sztereometria stb. területén számos probléma kapcsolódik az ilyen egyenletek megoldásához. És az ilyen problémák megoldásának folyamata magában foglalja a trigonometria elemeinek tanulmányozása során megszerezhető készségek és ismeretek jelenlétét.

Tanuljon trigonometrikus képleteket

Egy egyenlet megoldása során felmerülhet a trigonometriából származó bármely képlet használatának szükségessége. Természetesen elkezdheti keresni a tankönyveiben és a csalólapjaiban. És ha ezek a képletek a fejedbe kerülnek, akkor nem csak az idegeidet kíméli, hanem sokkal könnyebbé teszi a dolgát, anélkül, hogy időt veszítene a szükséges információk keresésére. Így lehetősége lesz átgondolni a probléma legracionálisabb megoldását.

A fő trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti arányok megadva. trigonometrikus képletek. És mivel a trigonometrikus függvények között elég sok kapcsolat van, ez is megmagyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek összekötik az azonos szög trigonometrikus függvényeit, mások - a többszörös szög függvényei, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, a negyedik - az összes függvény kifejezését a félszög érintőjén keresztül stb.

Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében céljuk szerint csoportosítjuk, és táblázatokba foglaljuk őket.

Oldalnavigáció.

Alapvető trigonometrikus azonosságok

Fő trigonometrikus azonosságok állítsa be az összefüggést egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másikon keresztül.

Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példáit a cikkben találja.

Öntött képletek

Öntött képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a trigonometrikus függvények periodicitásának tulajdonságát, a szimmetria tulajdonságát, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonságát. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel való munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson.

E képletek indoklása, mnemonikus szabály memorizálásuk és alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben.

Összeadási képletek

Trigonometrikus összeadási képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.

Képletek dupla, hármas stb. sarok

Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei hogyan működnek. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.

A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög .

Félszög képletek

Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei egy egész szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.

Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.

Redukciós képletek

Trigonometrikus képletek a csökkenő fokokhozÚgy tervezték, hogy megkönnyítsék az átmenetet a trigonometrikus függvények természetes hatványairól a szinuszokra és koszinuszokra első fokú, de több szögben. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.

Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére

A fő cél trigonometrikus függvények összeg- és különbségképletei a függvények szorzatára való átállásból áll, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják trigonometrikus egyenletek megoldásában is, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorálását.

Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára

A trigonometrikus függvények szorzatáról az összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszenkénti szorzat képletein keresztül történik.

Bashmakov M.I. Algebra és az elemzés kezdete: Proc. 10-11 sejtre. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Felvilágosodás, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebraés az elemzés eleje: Proc. 10-11 sejtre. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorova.- 14. kiad.- M.: Felvilágosodás, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Okos diákok szerzői joga

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Nem része a www.webhelynek, beleértve belső anyagokés külső kialakítás a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül semmilyen formában nem reprodukálható és nem használható fel.