Egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel. Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel

Az intervallummódszer univerzálisnak tekinthető az egyenlőtlenségek megoldására. Ezt a módszert néha résmódszernek is nevezik. Egyváltozós racionális egyenlőtlenségek és más típusú egyenlőtlenségek megoldására egyaránt használható. Anyagunkban igyekeztünk a kérdés minden aspektusára odafigyelni.

Mi vár rád ebben a részben? Elemezzük a gap módszert, és algoritmusokat dolgozunk ki az egyenlőtlenségek megoldására. Érintsük meg elméleti szempontok amelyen a módszer alkalmazása alapul.

Különös figyelmet fordítunk a téma árnyalataira, amelyekre általában nem térnek ki a iskolai tananyag. Vegyük például a jelek intervallumokra helyezésének szabályait és az intervallumok megadásának módját Általános nézet anélkül, hogy összekapcsolnánk a racionális egyenlőtlenségekkel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritmus

Ki emlékszik, hogyan vezetik be a gap módszert az iskolai algebra tanfolyamon? Általában minden az f (x) alakú egyenlőtlenségek megoldásával kezdődik.< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >vagy ≥). Itt f(x) lehet polinom vagy polinomok aránya. A polinom pedig a következőképpen ábrázolható:

az x változóra 1-es együtthatójú lineáris binomiálisok szorzata;
az 1-es vezető együtthatóval és a gyökük negatív diszkriminánsával rendelkező négyzetháromtagok szorzata.

Íme néhány példa az ilyen egyenlőtlenségekre:

(x + 3) (x 2 - x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0,

(x – 5) (x + 5) ≤ 0,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Írunk egy algoritmust az ilyen jellegű egyenlőtlenségek megoldására, ahogy a példákban megadtuk, intervallum módszerrel:

megkeressük a számláló és a nevező nulláját, ehhez az egyenlőtlenség bal oldalán lévő kifejezés számlálóját és nevezőjét nullával egyenlővé tesszük, és megoldjuk a kapott egyenleteket;
határozza meg a talált nulláknak megfelelő pontokat, és jelölje meg kötőjelekkel a koordinátatengelyen;
kifejezési jeleket határoz meg f(x) a megoldott egyenlőtlenség bal oldaláról minden intervallumon, és tedd a grafikonra;
alkalmazza a sraffozást a grafikon kívánt szakaszaira, a vezérelve következő szabály: abban az esetben, ha az egyenlőtlenségnek vannak előjelei< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >vagy ≥ , majd árnyékolással kiválasztjuk a „+” jellel jelölt területeket.

A rajz, amellyel dolgozni fogunk, lehet sematikus nézet. A túlzott részletek túlterhelhetik a rajzot, és megnehezíthetik a döntést. Minket a lépték nem fog érdekelni. Elég lesz ragaszkodni helyes hely pontokat koordinátáik értékének növekedésével.

Ha szigorú egyenlőtlenségekkel dolgozunk, akkor egy kitöltetlen (üres) középpontú kör alakú pont jelölését használjuk. Nem szigorú egyenlőtlenségek esetén a nevező nulláinak megfelelő pontok üresen, a többi pedig közönséges feketeként jelennek meg.

A megjelölt pontok a koordináta egyenest több numerikus intervallumra osztják. Ez lehetővé teszi a számhalmaz geometriai ábrázolását, amely tulajdonképpen az adott egyenlőtlenség megoldása.

A résmódszer tudományos alapjai

Az intervallum módszer alapjául szolgáló megközelítés a folytonos függvény következő tulajdonságán alapul: a függvény megtart egy állandó előjelet azon (a, b) intervallumon, amelyen ez a függvény folytonos, és nem tűnik el. Ugyanez a tulajdonság jellemző számsugarak(−∞ , a) és (a , +∞).

A függvény fenti tulajdonságát megerősíti a Bolzano-Cauchy-tétel, amely számos felvételi vizsgára való felkészülési kézikönyvben megtalálható.

A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai alapján is igazolható az előjel állandósága az intervallumokon. Vegyük például az x - 5 x + 1 > 0 egyenlőtlenséget. Ha megtaláljuk a számláló és a nevező nulláját, és feltesszük a számegyenesre, akkor egy sor hézagot kapunk: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) és (5 , + ∞) .

Vegyünk bármelyik intervallumot, és mutassuk meg rajta, hogy a teljes intervallumon az egyenlőtlenség bal oldali kifejezésének állandó előjele lesz. Legyen ez a (− ∞ , − 1) intervallum. Vegyünk ebből az intervallumból tetszőleges t számot. Meg fogja felelni a feltételeknek t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Mind a kapott egyenlőtlenségeket, mind a numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságát felhasználva feltételezhetjük, hogy t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t intervallumon (− ∞ , − 1) .

A negatív számok osztására vonatkozó szabályt felhasználva kijelenthetjük, hogy a t - 5 t + 1 kifejezés értéke pozitív lesz. Ez azt jelenti, hogy az x - 5 x + 1 kifejezés értéke bármely érték esetén pozitív lesz x a résből (− ∞ , − 1) . Mindez lehetővé teszi, hogy azt állítsuk, hogy a példaként vett intervallumon a kifejezésnek állandó előjele van. Esetünkben ez a „+” jel.

A számláló és a nevező nulláinak keresése

A nullák megtalálásának algoritmusa egyszerű: a számlálóból és a nevezőből a nullával egyenlővé tesszük a kifejezéseket, és megoldjuk a kapott egyenleteket. Ha bármilyen nehézsége adódna, olvassa el az "Egyenletek megoldása faktoringgal" című témakört. Ebben a részben egy példára szorítkozunk.

Tekintsük az x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 törtet. A számláló és nevező nulláinak megtalálásához nullával egyenlővé tesszük őket, hogy megkapjuk és megoldjuk az egyenleteket: x (x − 0, 6) = 0 ill. x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Az első esetben két egyenletből álló x = 0 és x − 0, 6 = 0 egyenlethez juthatunk, amely két gyöket 0 és 0, 6 ad. Ezek a számláló nullái.

A második egyenlet ekvivalens a három egyenlet halmazával x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Átalakítások sorozatát hajtjuk végre, és megkapjuk az x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. Az első egyenlet gyöke 0, a második egyenletnek nincs gyöke, mivel negatív diszkriminánsa van, a harmadik egyenlet gyöke 5. Ezek a nevező nullái.

A 0 ebben az esetben a számláló nullája és a nevező nullája is.

Általában, ha az egyenlőtlenség bal oldalán egy tört található, amely nem feltétlenül racionális, akkor a számlálót és a nevezőt is nullával egyenlővé tesszük, hogy egyenleteket kapjunk. Az egyenletek megoldása lehetővé teszi a számláló és a nevező nulláinak megtalálását.

Az intervallum előjelének meghatározása egyszerű. Ehhez az adott intervallum bármely tetszőlegesen kiválasztott pontjára az egyenlőtlenség bal oldalán található kifejezés értéke megtalálható. A kifejezés értékének eredő előjele az intervallum egy tetszőlegesen kiválasztott pontjában egybeesik a teljes intervallum előjelével.

Nézzük meg ezt az állítást egy példán keresztül.

Vegyük az x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 egyenlőtlenséget. Az egyenlőtlenség bal oldalán található kifejezésnek nincs nulla a számlálójában. A nulla nevező a -3 szám lesz. Két hézagot kapunk a számegyenesen (− ∞ , − 3) és (− 3 , + ∞) .

Az intervallumok előjeleinek meghatározásához kiszámoljuk az x 2 - x + 4 x + 3 kifejezés értékét az egyes intervallumokon tetszőlegesen felvett pontokra.

Az első intervallumtól (− ∞ , − 3) vegyél - 4. Nál nél x = -4 van (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Kaptunk negatív jelentése, így a teljes intervallum a "-" jellel lesz.

A fesztávhoz (− 3 , + ∞) végezzünk számításokat nulla koordinátájú ponttal. Ha x = 0, akkor 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Pozitív értéket kaptunk, ami azt jelenti, hogy a teljes intervallumban „+” jel lesz.

A jelek meghatározására más módot is használhat. Ehhez megkereshetjük az előjelet az egyik intervallumon, és elmenthetjük vagy megváltoztathatjuk a nullán áthaladva. Ahhoz, hogy mindent helyesen tegyünk, be kell tartani a szabályt: amikor a nevező nullán haladunk át, de nem a számlálón, vagy a számlálón, de nem a nevezőn, akkor az előjelet az ellenkezőjére változtathatjuk, ha a az ezt a nullát adó kifejezés páratlan, és nem tudjuk megváltoztatni az előjelet, ha a fokszám páros. Ha olyan pontot kaptunk, amely a számlálónak és a nevezőnek is nulla, akkor az előjelet csak akkor lehet az ellenkezőjére változtatni, ha a nullát adó kifejezések hatványainak összege páratlan.

Ha felidézzük az egyenlőtlenséget, amelyet az anyag első bekezdésének elején vettünk figyelembe, akkor a jobb szélső intervallumra tehetünk egy „+” jelet.

Most pedig térjünk a példákra.

Vegyük az (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 egyenlőtlenséget, és oldjuk meg az intervallum módszerrel. Ehhez meg kell találnunk a számláló és a nevező nulláit, és meg kell jelölnünk a koordináta egyenesen. A számláló nullái pontok lesznek 2 , 3 , 4 , a pont nevezője 1 , 3 , 4 . A koordinátatengelyen kötőjelekkel jelöljük őket.

A nevező nulláit üres pontok jelölik.

Mivel nem szigorú egyenlőtlenséggel állunk szemben, a megmaradt kötőjeleket közönséges pontokra cseréljük.

Most helyezzük el a pontokat az intervallumokra. A jobb szélső fesztáv (4, +∞) a + jel lesz.

Jobbról balra haladva megjelöljük a megmaradt hézagokat. Áthaladunk a 4-es koordinátájú ponton. Ez a számláló és a nevező nullája is. Összegezve, ezek a nullák adják a kifejezéseket (x − 4) 2és x − 4. Összeadjuk a hatványaikat 2 + 1 = 3, és megkapjuk páratlan szám. Ez azt jelenti, hogy az átmenet jele ebben az esetben az ellenkezőjére változik. A (3, 4) intervallumon mínusz jel lesz.

A 3 koordinátájú ponton át a (2, 3) intervallumra lépünk. Ez is nulla a számlálónál és a nevezőnél is. Két (x − 3) kifejezésnek köszönhetően megkaptuk 3 és (x – 3) 5, melynek hatványainak összege 3 + 5 = 8 . Páros szám megszerzése lehetővé teszi, hogy az intervallum előjelét változatlanul hagyjuk.

A 2-es koordinátájú pont a számláló nullája. Az x - 2 kifejezés mértéke egyenlő 1-gyel (páratlan). Ez azt jelenti, hogy ezen a ponton áthaladva a jelzést meg kell fordítani.

Maradunk az utolsó intervallumnál (− ∞ , 1) . Az 1 koordinátájú pont a nulla nevező. A kifejezésből származott (x − 1) 4, páros fokozattal 4 . Ezért a jel ugyanaz marad. A végső rajz így fog kinézni:

Az intervallum módszer alkalmazása különösen hatékony olyan esetekben, amikor egy kifejezés értékének kiszámítása nagy munkával jár. Példa erre egy kifejezés értékének értékelése

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

a 3-3 4, 3-2 4 intervallum bármely pontján.

Most alkalmazzuk a megszerzett ismereteket és készségeket a gyakorlatban.

1. példa

Oldja meg az (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 egyenlőtlenséget.

Döntés

Az egyenlőtlenség megoldására az intervallumok módszerét célszerű alkalmazni. Keresse meg a számláló és a nevező nulláját! A számláló nullái 1 és - 5 , a nevező nullái 7 és 1 . Jelöljük őket a számegyenesen. Nem szigorú egyenlőtlenséggel állunk szemben, ezért a nevező nulláit üres pontokkal jelöljük, a számláló nulláját - 5 szabályos kitöltött ponttal.

A hézagok előjeleit a nullán való áthaladásnál érvényes előjelváltás szabályai szerint írjuk le. Kezdjük a jobb szélső intervallumtal, amelyre az egyenlőtlenség bal oldaláról számítjuk ki a kifejezés értékét az intervallumból tetszőlegesen vett pontban. Megkapjuk a "+" jelet. Menjünk át egymás után a koordinátavonal minden pontján, jeleket helyezve el, és megkapjuk:

Nem szigorú egyenlőtlenséggel dolgozunk, amelynek előjele ≤. Ez azt jelenti, hogy a „-” jellel jelölt hézagokat árnyékolással kell megjelölnünk.

Válasz: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

A racionális egyenlőtlenségek megoldása a legtöbb esetben megköveteli azok előzetes átalakítását a megfelelő fajtát. Csak ezután válik lehetővé az intervallum módszer alkalmazása. Az ilyen átalakítások végrehajtására szolgáló algoritmusokat a „Racionális egyenlőtlenségek megoldása” című anyag tartalmazza.

Tekintsünk egy példát a négyzetes trinomiálisok egyenlőtlenségekké alakítására.

2. példa

Keress megoldást az (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 egyenlőtlenségre.

Döntés

Nézzük meg, hogy az egyenlőtlenségi rekordban a négyzetes trinomiálisok diszkriminánsai valóban negatívak-e. Ez lehetővé teszi számunkra annak meghatározását, hogy ennek az egyenlőtlenségnek a formája lehetővé teszi-e az intervallum módszer alkalmazását a megoldásra.

Számítsa ki a trinomiális diszkriminánsát! x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Most számítsuk ki az x 2 + 2 x - 8 trinomikus diszkriminánst: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Mint látható, az egyenlőtlenség előzetes átalakítást igényel. Ehhez ábrázoljuk az x 2 + 2 x − 8 hármast mint (x + 4) (x - 2), majd alkalmazzuk az intervallummódszert az (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 egyenlőtlenség megoldására.

Válasz: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Az általánosított rés módszert alkalmazzuk az f (x) alakú egyenlőtlenségek megoldására.< 0 (≤ , >, ≥) , ahol f (x) egy tetszőleges kifejezés egy változóval x.

Minden műveletet egy bizonyos algoritmus szerint hajtanak végre. Ebben az esetben az egyenlőtlenségek általánosított intervallum módszerrel történő megoldásának algoritmusa némileg eltér a korábban elemzetttől:

keresse meg az f függvény tartományát és ennek a függvénynek a nulláit;
jelölje meg a határpontokat a koordinátatengelyen;
ábrázoljuk a függvény nulláit a számegyenesen;
meghatározza az intervallumok jeleit;
keltetést alkalmazunk;
írd le a választ.

A számegyenesen a definíciós tartomány egyes pontjait is meg kell jelölni. Például egy függvény tartománya a (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) halmaz. . Ez azt jelenti, hogy pontokat kell megjelölnünk a koordinátákkal − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 és 10 . pontokat − 5 és a 7 üresen látható, a többi színes ceruzával kiemelhető, hogy megkülönböztesse őket a függvény nulláitól.

A függvény nulláit nem szigorú egyenlőtlenségek esetén közönséges (árnyékolt) pontokkal, szigorú egyenlőtlenségek esetén üres pontokkal jelöljük. Ha a nullák egybeesnek a definíciós tartomány határpontjaival vagy egyes pontjaival, akkor átszínezhetők feketére, és az egyenlőtlenség típusától függően üresek vagy kitölthetők.

A válaszrekord az számkészlet ami magában foglalja:

sraffozott rések;
a tartomány egyes pontjai pluszjellel, ha olyan egyenlőtlenséggel van dolgunk, amelynek előjele > vagy ≥ vagy mínuszjellel, ha az egyenlőtlenségben vannak előjelek< или ≤ .

Most világossá vált, hogy a téma legelején bemutatott algoritmus az általánosított intervallum módszer alkalmazására szolgáló algoritmus speciális esete.

Vegyünk egy példát az általánosított intervallum módszer alkalmazására.

3. példa

Oldja meg az x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 egyenlőtlenséget< 0 .

Döntés

Bevezetünk egy f függvényt úgy, hogy f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Keresse meg a függvény tartományát f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞).

Most keressük meg a függvény nulláit. Ehhez megoldjuk az irracionális egyenletet:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Azt kapjuk, hogy az x = 12 gyök.

Határpontok kijelöléséhez a koordinátatengelyen használjuk narancsszín. Pontok - 6, 4 ki lesz töltve, és a 7 üresen marad. Kapunk:

A függvény nullát egy üres fekete ponttal jelöljük, mivel szigorú egyenlőtlenséggel dolgozunk.

Az előjeleket külön időközönként határozzuk meg. Ehhez vegyen egy pontot minden intervallumból, például 16 , 8 , 6 és − 8 , és számítsuk ki bennük a függvény értékét f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56-9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Elhelyezzük az imént definiált jeleket, és a résekre mínuszjellel sraffozást alkalmazunk:

A válasz két intervallum uniója lesz "-" előjellel: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Válaszul egy - 6 koordinátájú pontot vettünk fel. Ez nem a függvény nullája, amit egy szigorú egyenlőtlenség megoldásánál nem vennénk bele a válaszba, hanem a definíciós tartomány határpontja, amely a definíciós tartományba tartozik. A függvény értéke ezen a ponton negatív, ami azt jelenti, hogy kielégíti az egyenlőtlenséget.

A 4. pontot nem vettük bele a válaszba, ahogy a teljes intervallumot sem [4, 7) . Ezen a ponton, csakúgy, mint a teljes megadott intervallumon, a függvény értéke pozitív, ami nem elégíti ki a megoldandó egyenlőtlenséget.

A jobb érthetőség kedvéért írjuk le még egyszer: a következő esetekben színes pontokat kell a válaszban feltüntetni:

ezek a pontok egy sraffozott rés részét képezik,
ezek a pontok a függvény tartományának különálló pontjai, amelyekben a függvény értékei kielégítik az egyenlőtlenséget.

Válasz: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Térközök módszere egy egyszerű módja a töredékes racionális egyenlőtlenségek megoldásának. Ez a változótól függő racionális (vagy tört-racionális) kifejezéseket tartalmazó egyenlőtlenségek neve.

1. Tekintsük például a következő egyenlőtlenséget

Az intervallum módszer lehetővé teszi, hogy néhány perc alatt megoldja.

Ennek az egyenlőtlenségnek a bal oldalán egy tört racionális függvény található. Racionális, mert nem tartalmaz sem gyököket, sem szinuszokat, sem logaritmusokat – csak racionális kifejezéseket. A jobb oldalon a nulla.

Az intervallum módszer egy tört racionális függvény következő tulajdonságán alapul.

Egy tört racionális függvény csak azokon a pontokon változtathat előjelet, ahol egyenlő nullával vagy nem létezik.

Emlékezzen a faktorizálás módjára négyzetes trinomikus, vagyis a forma kifejezése.

Hol és vannak a gyökerek másodfokú egyenlet.

Rajzolunk egy tengelyt, és elrendezzük azokat a pontokat, ahol a számláló és a nevező eltűnik.

A nevező és a nevező nullái szúrt pontok, mivel ezekben a pontokban nincs definiálva az egyenlőtlenség bal oldalán lévő függvény (nullával nem lehet osztani). A számláló és a - nullája árnyékolt, mert az egyenlőtlenség nem szigorú. For és egyenlőtlenségünk teljesül, mivel mindkét része egyenlő nullával.

Ezek a pontok intervallumokra bontják a tengelyt.

Határozzuk meg a tört-racionális függvény előjelét az egyenlőtlenségünk bal oldalán ezen intervallumok mindegyikén. Emlékezzünk arra, hogy egy tört racionális függvény csak azokon a pontokon változtathat előjelet, ahol egyenlő nullával vagy nem létezik. Ez azt jelenti, hogy azon pontok közötti intervallumokon, ahol a számláló vagy a nevező eltűnik, az egyenlőtlenség bal oldalán lévő kifejezés előjele állandó lesz - vagy "plusz" vagy "mínusz".

Ezért a függvény előjelének meghatározásához minden ilyen intervallumon bármely, ehhez az intervallumhoz tartozó pontot veszünk. Azt, amelyik megfelel nekünk.
. Vegyük például, és ellenőrizzük a kifejezés előjelét az egyenlőtlenség bal oldalán. A „zárójelek” mindegyike negatív. A bal oldalon van egy tábla.

Következő intervallum: . Ellenőrizzük a táblát. Azt kapjuk, hogy a bal oldal jelet váltott erre: .

Vessünk . Ha a kifejezés pozitív - tehát pozitív a teljes intervallumon -tól -ig.

Számára az egyenlőtlenség bal oldala negatív.

És végül class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Megállapítottuk, hogy a kifejezés milyen intervallumokon pozitív. A válasz megírása hátra van:

Válasz: .

Figyelem: az intervallumokon a jelek váltakoznak. Ez azért történt, mert az egyes pontokon való áthaladáskor pontosan az egyik lineáris tényező változtatott előjelet, a többi pedig változatlan.

Látjuk, hogy az intervallum módszer nagyon egyszerű. A tört-racionális egyenlőtlenség intervallumok módszerével történő megoldásához a következő alakba hozzuk:

Vagy class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, vagy vagy .

(a bal oldalon - egy tört-racionális függvény, a jobb oldalon - nulla).

Ezután - megjelöljük a számegyenesen azokat a pontokat, ahol a számláló vagy a nevező eltűnik.
Ezek a pontok a teljes számegyenest intervallumokra osztják, amelyek mindegyikén a tört-racionális függvény megtartja előjelét.
Csak meg kell találni a jelét minden intervallumon.
Ezt úgy tehetjük meg, hogy az adott intervallumon belül bármely ponton ellenőrizzük a kifejezés előjelét. Ezt követően leírjuk a választ. Ez minden.

De felmerül a kérdés: mindig váltakoznak a jelek? Nem, nem mindig! Ügyelnünk kell arra, hogy ne gépiesen és meggondolatlanul helyezzünk el táblákat.

2. Nézzünk egy másik egyenlőtlenséget.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Ismét pontokat helyezünk el a tengelyen. A és pontok kiszúrtak, mert ezek a nevező nullái. A pont is kilyukadt, mivel az egyenlőtlenség szigorú.

Ha a számláló pozitív, a nevezőben mindkét tényező negatív. Ezt könnyű ellenőrizni, ha egy adott intervallumból bármilyen számot veszünk, például . A bal oldalon a következő felirat látható:

Ha a számláló pozitív; a nevezőben az első tényező pozitív, a második tényező negatív. A bal oldalon a következő felirat látható:

Amikor ugyanaz a helyzet! A számláló pozitív, a nevező első tényezője pozitív, a második negatív. A bal oldalon a következő felirat látható:

Végül a class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Válasz: .

Miért szakadt meg a karakterek váltakozása? Mert a ponton való áthaladáskor a szorzó "felelős" érte jelet nem változtatott. Ebből következően az egyenlőtlenségünk teljes bal oldala sem változott előjelet.

Következtetés: ha a lineáris tényező páros hatványban van (például négyzetben), akkor egy ponton áthaladva a kifejezés bal oldali előjele nem változik. Páratlan fokozat esetén az előjel természetesen változik.

3. Fontolja meg többet nehéz eset. Abban különbözik az előzőtől, hogy az egyenlőtlenség nem szigorú:

A bal oldal ugyanaz, mint az előző feladatnál. A jelek képe ugyanaz lesz:

Lehet, hogy a válasz ugyanaz lesz? Nem! A megoldás hozzáadódik Ennek az az oka, hogy -nél az egyenlőtlenség bal és jobb oldala egyaránt nulla - ezért ez a pont megoldás.

Válasz: .

A matematika vizsga problémája során gyakran találkozunk ezzel a helyzettel. Itt a jelentkezők csapdába esnek és pontokat veszítenek. Légy óvatos!

4. Mi van akkor, ha a számlálót vagy a nevezőt nem lehet lineáris tényezőkbe beleszámítani? Tekintsük ezt az egyenlőtlenséget:

A négyzetháromtag nem faktorizálható: a diszkrimináns negatív, nincsenek gyökök. De ez jó! Ez azt jelenti, hogy a kifejezés előjele mindenkinél ugyanaz, és kifejezetten pozitív. Erről bővebben az ingatlanokról szóló cikkben olvashat. másodfokú függvény.

És most egyenlőtlenségünk mindkét oldalát feloszthatjuk egy mindenki számára pozitív értékkel. Egy ekvivalens egyenlőtlenséghez jutunk:

Ami könnyen megoldható az intervallum módszerrel.

Figyelem – az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztottuk az értékkel, amiről biztosan tudtuk, hogy pozitív. Természetesen általános esetben nem szabad az egyenlőtlenséget szorozni vagy osztani változó, melynek előjele ismeretlen.

5 . Vegyünk egy másik, meglehetősen egyszerűnek tűnő egyenlőtlenséget:

Tehát meg akarom szorozni -val. De mi már okosak vagyunk, és nem fogjuk ezt megtenni. Végül is lehet pozitív és negatív is. És tudjuk, hogy ha az egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzuk egy negatív értékkel, akkor az egyenlőtlenség előjele megváltozik.

Másként fogunk cselekedni - mindent egy részbe gyűjtünk, és közös nevezőre hozzuk. A nulla a jobb oldalon marad:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

És ezt követően - alkalmazható intervallum módszer.

1. Tekintsük például a következő egyenlőtlenséget

Az intervallum módszer lehetővé teszi, hogy néhány perc alatt megoldja.

Az intervallum módszer egy tört racionális függvény következő tulajdonságán alapul.

Egy tört racionális függvény csak azokon a pontokon változtathat előjelet, ahol egyenlő nullával vagy nem létezik.

Emlékezzünk vissza, hogyan faktorozunk egy négyzetes trinomit, vagyis a forma kifejezését.

Hol és vannak a másodfokú egyenlet gyökerei.

Rajzolunk egy tengelyt, és elrendezzük azokat a pontokat, ahol a számláló és a nevező eltűnik.

Ezek a pontok intervallumokra bontják a tengelyt.

Következő intervallum: . Ellenőrizzük a táblát. Azt kapjuk, hogy a bal oldal jelet váltott erre: .

Vessünk . Ha a kifejezés pozitív - tehát pozitív a teljes intervallumon -tól -ig.

Számára az egyenlőtlenség bal oldala negatív.

Megállapítottuk, hogy a kifejezés milyen intervallumokon pozitív. A válasz megírása hátra van:

Válasz: .

Látjuk, hogy az intervallum módszer nagyon egyszerű. A tört-racionális egyenlőtlenség intervallumok módszerével történő megoldásához a következő alakba hozzuk:

Vagy class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, vagy vagy .

(a bal oldalon - egy tört-racionális függvény, a jobb oldalon - nulla).

De felmerül a kérdés: mindig váltakoznak a jelek? Nem, nem mindig! Ügyelnünk kell arra, hogy ne gépiesen és meggondolatlanul helyezzünk el táblákat.

2. Nézzünk egy másik egyenlőtlenséget.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \left(x-3\right))>0"> !}

Ismét pontokat helyezünk el a tengelyen. A és pontok kiszúrtak, mert ezek a nevező nullái. A pont is kilyukadt, mivel az egyenlőtlenség szigorú.

Ha a számláló pozitív; a nevezőben az első tényező pozitív, a második tényező negatív. A bal oldalon a következő felirat látható:

Amikor ugyanaz a helyzet! A számláló pozitív, a nevező első tényezője pozitív, a második negatív. A bal oldalon a következő felirat látható:

Végül a class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Válasz: .

3. Nézzünk egy bonyolultabb esetet. Abban különbözik az előzőtől, hogy az egyenlőtlenség nem szigorú:

A bal oldal ugyanaz, mint az előző feladatnál. A jelek képe ugyanaz lesz:

Lehet, hogy a válasz ugyanaz lesz? Nem! A megoldás hozzáadódik Ennek az az oka, hogy -nél az egyenlőtlenség bal és jobb oldala egyaránt nulla - ezért ez a pont megoldás.

Válasz: .

A matematika vizsga problémája során gyakran találkozunk ezzel a helyzettel. Itt a jelentkezők csapdába esnek és pontokat veszítenek. Légy óvatos!

4. Mi van akkor, ha a számlálót vagy a nevezőt nem lehet lineáris tényezőkbe beleszámítani? Tekintsük ezt az egyenlőtlenséget:

A négyzetes trinomit nem lehet faktorozni: a diszkrimináns negatív, nincsenek gyökök. De ez jó! Ez azt jelenti, hogy a kifejezés előjele mindenkinél ugyanaz, és kifejezetten pozitív. Erről bővebben a másodfokú függvény tulajdonságairól szóló cikkben olvashat.

És most egyenlőtlenségünk mindkét oldalát feloszthatjuk egy mindenki számára pozitív értékkel. Egy ekvivalens egyenlőtlenséghez jutunk:

Ami könnyen megoldható az intervallum módszerrel.

Figyelem – az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztottuk az értékkel, amiről biztosan tudtuk, hogy pozitív. Természetesen általános esetben nem szabad egy egyenlőtlenséget szorozni vagy osztani ismeretlen előjelű változóval.

5 . Vegyünk egy másik, meglehetősen egyszerűnek tűnő egyenlőtlenséget:

Másként fogunk cselekedni - mindent egy részbe gyűjtünk, és közös nevezőre hozzuk. A nulla a jobb oldalon marad:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

És ezt követően - alkalmazható intervallum módszer.

Egyenlőtlenségek megoldása intervallum módszerrel (algoritmus példákkal)

Példa . (feladat az OGE-től) Oldja meg az egyenlőtlenséget a \((x-7)^2 intervallum módszerrel< \sqrt{11}(x-7)\)
Döntés:

Válasz : \((7;7+\sqrt(11))\)

Példa . Oldja meg az egyenlőtlenséget a \(≥0\) intervallum módszerrel
Döntés:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Itt első pillantásra minden normálisnak tűnik, és az egyenlőtlenség kezdetben a kívánt formára csökken. De ez nem így van - végül is a számláló első és harmadik zárójelében x mínuszjellel szerepel. A zárójeleket átalakítjuk, figyelembe véve azt a tényt, hogy a negyedik fokozat páros (vagyis eltávolítja a mínusz jelet), a harmadik pedig páratlan (azaz nem távolítja el). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Mint ez. Most visszatesszük a zárójeleket „a helyükre” már átalakítva.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Most minden zárójel úgy néz ki, ahogy kell (először az aláíratlan öltöny, és csak utána a szám). De volt egy mínusz a számláló előtt. Eltávolítjuk úgy, hogy az egyenlőtlenséget megszorozzuk \(-1\-el), nem felejtjük el megfordítani az összehasonlító jelet
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Kész. Most az egyenlőtlenség helyesnek tűnik. Használhatja az intervallum módszert.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Helyezzünk el pontokat a tengelyre, táblákat és fessük át a szükséges hézagokat.
		A \(4\) és \(6\) közötti intervallumban az előjelet nem kell módosítani, mert a \((x-6)\) zárójel páros fokú (lásd az algoritmus 4. bekezdését) . A zászló emlékeztetni fog arra, hogy a hatos megoldás az egyenlőtlenségre is. Írjuk le a választ.

Válasz : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\bal\(6\jobbra\)\)

Példa.(Az OGE megbízása) Oldja meg az egyenlőtlenséget a \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\ intervallummódszerrel.
Döntés:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		A bal és a jobb oldal ugyanaz – ez nyilvánvalóan nem véletlen. Az első vágy az, hogy elosztjuk \(-x^2-64\), de ez tévedés, mert van esély a gyökér elvesztésére. Ehelyett mozgassa a \(64(-x^2-64)\) elemet ide bal oldal
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Vegye ki a mínuszt az első zárójelben, és vegye figyelembe a másodikat
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Vegye figyelembe, hogy \(x^2\) vagy nulla, vagy nagyobb, mint nulla. Ez azt jelenti, hogy \(x^2+64\) egyértelműen pozitív minden x értékre, vagyis ez a kifejezés semmilyen módon nem befolyásolja a bal oldal előjelét. Ezért az egyenlőtlenség mindkét részét nyugodtan feloszthatjuk ezzel a kifejezéssel. Osszuk el az egyenlőtlenséget \(-1\)-vel is, hogy megszabaduljunk a mínusztól.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Most már alkalmazhatja az intervallum módszert
\(x=8;\) \(x=-8\)		Írjuk le a választ