Mit mutat az exponenciális függvény. Lecke "Exponenciális függvény, tulajdonságai és grafikonja

Tudáshipermarket >>Matematika >>Matematika 10. évfolyam >>

Exponenciális függvény, tulajdonságai és grafikonja

Tekintsük a 2x kifejezést, és keressük meg értékeit az x változó különféle racionális értékeire, például x=2 esetén;

Általában függetlenül attól, hogy milyen racionális értéket adunk az x változónak, mindig ki tudjuk számítani a 2x kifejezés megfelelő számértékét. Így exponenciálisról beszélhetünk funkciókat y=2 x a Q halmazon definiálva racionális számok:

Nézzük meg ennek a függvénynek néhány tulajdonságát.

1. tulajdonság. növekvő funkciója. A bizonyítást két lépésben végezzük.
Első fázis. Bizonyítsuk be, hogy ha r pozitív racionális szám, akkor 2 r >1.
Két eset lehetséges: 1) r - természetes szám r = n; 2) közönséges irreducibilis töredék,

Az utolsó egyenlőtlenség bal oldalán van , a jobb oldalon pedig 1. Ezért az utolsó egyenlőtlenség átírható a következőre:

Így mindenesetre a 2 r > 1 egyenlőtlenség szükség szerint teljesül.

Második fázis. Legyenek x 1 és x 2 számok, x 1 és x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(az x 2 -x 1 különbséget r betűvel jelöltük).

Mivel r pozitív racionális szám, akkor az első lépésben bebizonyítottak szerint 2 r > 1, azaz 2 r -1 >0. A 2x" szám is pozitív, ami azt jelenti, hogy a 2 x-1 (2 Г -1) szorzat is pozitív. Így bebizonyítottuk, hogy egyenlőtlenség 2 Xr -2x "\u003e 0.

Tehát az x 1 egyenlőtlenségből< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

2. tulajdonság. alulról korlátozva és felülről nem korlátozva.
A függvény korlátossága alulról a 2 x > 0 egyenlőtlenségből következik, amely a függvény tartományából származó x bármely értékére érvényes. Ugyanakkor bármilyen pozitív M számot veszünk is, mindig választhatunk olyan x mutatót, hogy teljesüljön a 2 x > M egyenlőtlenség - ami felülről jellemzi a függvény korlátlanságát. Mondjunk néhány példát.

3. tulajdonság. nincs se minimum, se maximum értéke.

Amivel ez a funkció nem rendelkezik a legnagyobb érték, nyilván, hiszen, mint az imént láttuk, nincs felülről korlátos. De alulról korlátozott, miért ne lenne a legkisebb érték?

Tegyük fel, hogy 2r a függvény legkisebb értéke (r valamilyen racionális kitevő). Vegyünk egy q racionális számot<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Mindez jó, mondod, de miért vesszük figyelembe az y-2 x függvényt csak a racionális számok halmazán, miért nem vesszük figyelembe, mint más ismert függvényeket, a teljes számegyenesen vagy valamilyen folytonos intervallumon? a számsor? Mi akadályoz meg minket? Gondoljuk át a helyzetet.

A számsor nemcsak racionális, hanem irracionális számokat is tartalmaz. A korábban vizsgált függvényeknél ez minket nem zavart. Például az y \u003d x 2 függvény értékeit egyformán könnyen megtaláltuk x racionális és irracionális értékére is: elég volt az adott x értékét négyzetre emelni.

De az y \u003d 2 x függvénnyel a helyzet bonyolultabb. Ha az x argumentum racionális értéket kap, akkor elvileg x kiszámolható (vissza a bekezdés elejére, ahol éppen ezt tettük). És ha az x argumentum irracionális értéket kap? Hogyan kell például számolni? Ezt még nem tudjuk.
A matematikusok megtalálták a kiutat; így beszéltek.

Ismeretes, hogy Tekintsük a racionális számok sorozatát - egy szám tizedes közelítését hiányosság alapján:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Nyilvánvaló, hogy 1,732 = 1,7320 és 1,732050 = 1,73205. Az ilyen ismétlődések elkerülése érdekében a sorozat 0-ra végződő tagjait kihagyjuk.

Ekkor növekvő sorozatot kapunk:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Ennek megfelelően a sorrend is növekszik.

Ennek a sorozatnak minden tagja 22-nél kisebb pozitív szám, azaz. ez a sorrend korlátozott. A Weierstrass-tétel szerint (lásd 30. §), ha egy sorozat növekvő és korlátos, akkor konvergál. Ráadásul a 30. §-ból tudjuk, hogy ha egy sorozat konvergál, akkor csak egy határig. Ezt az egyetlen határértéket egy numerikus kifejezés értékének tekintik. És nem számít, hogy a 2 numerikus kifejezésnek még csak közelítő értékét is nagyon nehéz megtalálni; fontos, hogy ez egy konkrét szám (elvégre nem féltünk kimondani, hogy pl. egy racionális egyenlet gyökere, a trigonometrikus egyenlet gyöke, anélkül, hogy igazán belegondolnánk, mik is pontosan ezek a számok:
Tehát megtudtuk, hogy a matematikusok mit jelentenek a 2 ^ szimbólumnak. Hasonlóképpen meg lehet határozni, hogy mi az, és általában mi az a a, ahol a irracionális szám és a > 1.
De mi van akkor, ha 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Most már nemcsak tetszőleges racionális kitevőjű hatványokról beszélhetünk, hanem tetszőleges valós kitevőjű hatványokról is. Bebizonyosodott, hogy a tetszőleges valós kitevővel rendelkező fokok rendelkeznek a fokok összes szokásos tulajdonságával: azonos bázisú fokok szorzásakor a kitevőket összeadjuk, osztáskor kivonjuk, fokot hatványra emelve szorozunk stb. . De a legfontosabb, hogy most már az összes valós szám halmazán definiált y-ax függvényről beszélhetünk.
Térjünk vissza az y \u003d 2 x függvényhez, készítsük el a grafikonját. Ehhez összeállítjuk a függvényértékek táblázatát \u200b\u200d 2 x:

Jegyezzük fel a pontokat a koordinátasíkon (194. ábra), ezek kirajzolnak egy bizonyos vonalat, megrajzolják (195. ábra).

A függvény tulajdonságai y - 2 x:
1)
2) se nem páros, se nem páratlan; 248
3) növekszik;

5) nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel;
6) folyamatos;
7)
8) lefelé domború.

Az y-2 x függvény felsorolt ​​tulajdonságainak szigorú bizonyításait adjuk meg a kurzusban felsőbb matematika. Ezen tulajdonságok némelyikét bizonyos mértékben korábban tárgyaltuk, némelyiküket jól szemlélteti a megszerkesztett gráf (lásd 195. ábra). Például egy függvény paritásának vagy páratlanságának hiánya geometriailag összefügg a gráf szimmetriájának hiányával az y tengely körül vagy az origó körül.

Bármely y=a x alakú függvény, ahol a >1, hasonló tulajdonságokkal rendelkezik. ábrán 196 egy koordinátarendszerben szerkesztjük az y=2 x, y=3 x, y=5 x függvények grafikonjait.

Most nézzük meg a függvényt, készítsünk hozzá egy értéktáblázatot:

Jelöljük a pontokat a koordinátasíkon (197. ábra), egy bizonyos vonalat körvonalaznak, megrajzolják (198. ábra).

Funkció tulajdonságai

1)
2) se nem páros, se nem páratlan;
3) csökken;
4) felülről nem, alulról korlátozott;
5) nincs sem a legnagyobb, sem a legkisebb érték;
6) folyamatos;
7)
8) lefelé domború.
Bármely y \u003d a x alakú függvény, ahol O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Figyelem: függvénygrafikonok azok. y \u003d 2 x, szimmetrikus az y tengelyre (201. ábra). Ez az általános megállapítás következménye (lásd 13. §): az y = f(x) és y = f(-x) függvények grafikonjai szimmetrikusak az y tengelyre. Hasonlóképpen, az y \u003d 3 x és függvények grafikonjai

Összegezve az elmondottakat, megadjuk az exponenciális függvény definícióját és kiemeljük legfontosabb tulajdonságait.

Meghatározás. A nézet függvényt exponenciális függvénynek nevezzük.
Az y \u003d a x exponenciális függvény főbb tulajdonságai

ábrán látható az y \u003d a x függvény grafikonja, ha a> 1. 201, és 0<а < 1 - на рис. 202.

ábrán látható görbe. A 201-et vagy a 202-t kitevőnek nevezzük. Valójában a matematikusok magát az exponenciális függvényt általában y = a x-nek nevezik. Tehát a "kitevő" kifejezést két értelemben használjuk: mind az exponenciális függvény nevére, mind az exponenciális függvény grafikonjának nevére. Általában a jelentésben egyértelmű, hogy exponenciális függvényről vagy annak gráfjáról beszélünk.

Ügyeljen az y \u003d ax exponenciális függvény grafikonjának geometriai jellemzőire: az x tengely a grafikon vízszintes aszimptotája. Igaz, ezt a kijelentést általában a következőképpen finomítják.
Az x tengely a függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája

Más szavakkal

Első fontos megjegyzés. Az iskolások gyakran összekeverik a fogalmakat: hatványfüggvény, exponenciális függvény. Összehasonlítás:

Ezek példák a hatványfüggvényekre;

példák az exponenciális függvényekre.

Általában az y \u003d x r, ahol r egy adott szám, egy hatványfüggvény (az x argumentum a fokszám alapjában található);
y \u003d a", ahol a egy adott szám (pozitív és 1-től eltérő), egy exponenciális függvény (az x argumentum a kitevőben található).

Az olyan támadó "egzotikus" függvények, mint az y = x" nem tekinthetők sem exponenciálisnak, sem hatványtörvénynek (ezt néha exponenciális-hatványfüggvénynek is nevezik).

Második fontos megjegyzés. Általában nem tekintünk olyan exponenciális függvényt, amelynek bázisa a = 1 vagy olyan a bázis, amely kielégíti az a egyenlőtlenséget.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0és a A tény az, hogy ha a \u003d 1, akkor bármely x értékre igaz az Ix \u003d 1 egyenlőség. Így az y \u003d a "a \u003d 1" exponenciális függvény "egy állandó y \" függvénnyel degenerálódik. u003d 1 - ez nem érdekes. Ha a \u003d 0, akkor 0x \u003d 0 az x bármely pozitív értékére, azaz az x\u003e 0-hoz definiált y \u003d 0 függvényt kapjuk - ez szintén nem érdekes.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Mielőtt rátérnénk a példák megoldására, megjegyezzük, hogy az exponenciális függvény jelentősen eltér az összes eddig tanulmányozott függvénytől. Egy új tárgy alapos tanulmányozásához különböző szemszögekből, különböző helyzetekben kell megvizsgálnia, így sok példa lesz.
1. példa

Döntés, a) Miután az y \u003d 2 x és y \u003d 1 függvények grafikonjait egy koordinátarendszerben ábrázoltuk, észrevesszük (203. ábra), hogy van egy közös pontjuk (0; 1). Tehát a 2x = 1 egyenletnek egyetlen gyöke van x = 0.

Tehát a 2x = 2° egyenletből azt kaptuk, hogy x = 0.

b) Miután megszerkesztettük az y \u003d 2 x és y \u003d 4 függvények grafikonjait egy koordinátarendszerben, észrevesszük (203. ábra), hogy van egy közös pontjuk (2; 4). Tehát a 2x = 4 egyenletnek egyetlen gyöke van x = 2.

Tehát a 2 x \u003d 2 2 egyenletből x \u003d 2 egyenletet kaptunk.

c) és d) Ugyanezen megfontolások alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a 2 x \u003d 8 egyenletnek egyetlen gyöke van, és ennek megtalálásához a megfelelő függvények grafikonjait nem lehet felépíteni;

világos, hogy x=3, mivel 2 3 =8. Hasonlóképpen megtaláljuk az egyenlet egyetlen gyökét

Tehát a 2x = 2 3 egyenletből x = 3, a 2 x = 2 x egyenletből pedig x = -4.
e) Az y \u003d 2 x függvény grafikonja az y \u003d 1 függvény grafikonja felett helyezkedik el x\u003e 0 esetén - ez jól olvasható az ábrán. 203. Ezért a 2x > 1 egyenlőtlenség megoldása az intervallum
f) Az y \u003d 2 x függvény grafikonja az y \u003d 4 függvény grafikonja alatt található x helyen<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Valószínűleg észrevette, hogy az 1. példa megoldása során levont következtetések alapja az y \u003d 2 x függvény monotonitásának (növekedésének) tulajdonsága volt. Hasonló érvelés lehetővé teszi a következő két tétel érvényességének ellenőrzését.

Döntés. A következőképpen járhat el: készítse el az y-3 x függvény grafikonját, majd nyújtsa ki az x tengelytől 3-as tényezővel, majd emelje fel a kapott grafikont 2 léptékegységgel. De kényelmesebb azt a tényt használni, hogy 3-3* \u003d 3 * + 1, és ezért ábrázoljuk az y \u003d 3 x * 1 + 2 függvényt.

Menjünk tovább, ahogyan azt ilyen esetekben többször is megtettük, egy segédkoordináta-rendszerre, amelynek origója a (-1; 2) pontban van - az ábrán az x = - 1 és 1x = 2 pontozott vonalak. 207. "csatoljuk" az y=3* függvényt új rendszer koordináták. Ehhez vezérlőpontokat választunk a funkcióhoz , de nem a régi, hanem az új koordinátarendszerben fogjuk megépíteni (ezeket a pontokat a 207. ábra jelöli). Ezután pontok alapján készítünk kitevőt – ez lesz a szükséges gráf (lásd 207. ábra).
Egy adott függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához a [-2, 2] szakaszon azt a tényt használjuk, hogy az adott függvény növekszik, ezért a legkisebb, illetve a legnagyobb értékét a bal oldalon, ill. a szegmens jobb végeit.
Így:

4. példa Oldja meg az egyenletet és az egyenlőtlenségeket:

Döntés, a) Szerkesszük meg az y=5* és y=6-x függvények gráfjait egy koordinátarendszerben (208. ábra). Egy ponton metszik egymást; a rajzból ítélve ez a pont (1; 5). Az ellenőrzés azt mutatja, hogy valójában az (1; 5) pont mind az y = 5* egyenletet, mind az y=6x egyenletet kielégíti. Ennek a pontnak az abszcisszája szolgál az egyetlen gyökérként adott egyenlet.

Tehát az 5 x = 6-x egyenletnek egyetlen gyöke van x = 1.

b) és c) Az y-5x kitevő az y=6-x egyenes felett van, ha x>1, - ez jól látható a 2. ábrán. 208. Ezért az 5*>6-x egyenlőtlenség megoldása a következőképpen írható fel: x>1. És az egyenlőtlenség megoldása 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Válasz: a) x = 1; b)x>1; c)x<1.

5. példa Adott egy függvény Bizonyítsd
Döntés. Feltételünk szerint.

A legtöbb matematikai probléma megoldása valamilyen módon összefügg numerikus, algebrai vagy funkcionális kifejezések transzformációjával. Ez különösen vonatkozik a megoldásra. A matematika USE változataiban ez a típusú feladat különösen a C3 feladatot tartalmazza. A C3-as feladatok megoldásának elsajátítása nem csak a sikeres vizsga szempontjából fontos, hanem azért is, mert ez a készség jól fog jönni a felsőoktatási matematika szakon.

A C3 feladatok végrehajtása során különféle típusú egyenleteket és egyenlőtlenségeket kell megoldania. Köztük van racionális, irracionális, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, modulokat (abszolút értékeket) tartalmazó, valamint kombinált. Ez a cikk az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek fő típusait, valamint a megoldásukra szolgáló különféle módszereket tárgyalja. Olvasson más típusú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásáról a matematika USE változataiból származó C3-problémák megoldásának módszereivel foglalkozó cikkek "" címében.

Mielőtt folytatná a konkrét exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, matematika oktatóként azt javaslom, hogy ecseteljen néhány elméleti anyagot, amelyre szükségünk lesz.

Exponenciális függvény

Mi az exponenciális függvény?

Nézet funkció y = egy x, ahol a> 0 és a≠ 1, hívják exponenciális függvény.

Fő exponenciális függvény tulajdonságai y = egy x:

Egy exponenciális függvény grafikonja

Az exponenciális függvény grafikonja az kiállító:

Exponenciális függvények grafikonjai (kitevők)

Exponenciális egyenletek megoldása

jelzésértékű egyenleteknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változó csak bármely hatvány kitevőjében található.

Megoldásokért exponenciális egyenletek ismernie kell és tudnia kell használni a következő egyszerű tételt:

1. tétel. exponenciális egyenlet a f(x) = a g(x) (ahol a > 0, a≠ 1) ekvivalens az egyenlettel f(x) = g(x).

Ezenkívül hasznos megjegyezni az alapvető képleteket és műveleteket fokozatokkal:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

1. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: használja a fenti képleteket és helyettesíti:

Ekkor az egyenlet a következőképpen alakul:

Megkülönböztetőt kapott másodfokú egyenlet pozitív:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek két gyökere van. Megtaláljuk őket:

Visszatérve a helyettesítésre, a következőket kapjuk:

A második egyenletnek nincs gyökere, mivel az exponenciális függvény szigorúan pozitív a teljes definíciós tartományban. Oldjuk meg a másodikat:

Az 1. Tételben elmondottakat figyelembe véve áttérünk az ekvivalens egyenletre: x= 3. Ez lesz a válasz a feladatra.

Válasz: x = 3.

2. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: az egyenletnek nincs korlátozása a megengedett értékek területére, mivel a radikális kifejezés bármilyen értékre értelmezhető x(exponenciális függvény y = 9 4 -x pozitív és nem egyenlő nullával).

Az egyenletet ekvivalens transzformációkkal oldjuk meg a szorzás és a hatványosztás szabályaival:

Az utolsó átmenetet az 1. Tétel szerint hajtottuk végre.

Válasz:x= 6.

3. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: az eredeti egyenlet mindkét oldala osztható 0,2-vel x. Ez az átmenet egyenértékű lesz, mivel ez a kifejezés bármely érték esetén nagyobb nullánál x(az exponenciális függvény szigorúan pozitív a tartományában). Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

Válasz: x = 0.

4. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: az egyenletet elemire egyszerűsítjük ekvivalens transzformációkkal a cikk elején megadott hatványosztási és szorzási szabályok segítségével:

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 4-gyel x, mint az előző példában, egy ekvivalens transzformáció, mivel ez a kifejezés egyetlen érték esetén sem egyenlő nullával x.

Válasz: x = 0.

5. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: funkció y = 3x, amely az egyenlet bal oldalán áll, növekszik. Funkció y = —x-2/3, amely az egyenlet jobb oldalán áll, csökken. Ez azt jelenti, hogy ha ezen függvények grafikonjai metszik egymást, akkor legfeljebb egy ponton. Ebben az esetben könnyen kitalálható, hogy a grafikonok a pontban metszik egymást x= -1. Nem lesz más gyökere.

Válasz: x = -1.

6. példa Oldja meg az egyenletet:

Döntés: ekvivalens transzformációkkal egyszerűsítjük az egyenletet, mindenhol szem előtt tartva, hogy az exponenciális függvény bármilyen érték esetén szigorúan nagyobb nullánál xés a cikk elején megadott szorzat- és részhatalmazások számítási szabályait alkalmazva:

Válasz: x = 2.

Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

jelzésértékű egyenlőtlenségeknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változót csak egyes hatványok kitevői tartalmazzák.

Megoldásokért exponenciális egyenlőtlenségek a következő tétel ismerete szükséges:

2. tétel. Ha egy a> 1, akkor az egyenlőtlenség a f(x) > a g(x) egyenértékű egy azonos jelentésű egyenlőtlenséggel: f(x) > g(x). Ha 0< a < 1, то exponenciális egyenlőtlenség a f(x) > a g(x) egyenértékű az ellenkező értelmű egyenlőtlenséggel: f(x) < g(x).

7. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Döntés:ábrázolja az eredeti egyenlőtlenséget a következő formában:

Osszuk el ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldalát 3 2-vel x, és (a függvény pozitívsága miatt y= 3 2x) az egyenlőtlenség jele nem változik:

Használjunk helyettesítést:

Ekkor az egyenlőtlenség a következő formát ölti:

Tehát az egyenlőtlenség megoldása az intervallum:

áttérve a fordított helyettesítésre, a következőket kapjuk:

A bal oldali egyenlőtlenség az exponenciális függvény pozitívsága miatt automatikusan teljesül. Kihasználva ismert ingatlan logaritmus, áttérünk az ekvivalens egyenlőtlenségre:

Mivel a fokszám alapja egynél nagyobb szám, ekvivalens (a 2. tétel szerint) a következő egyenlőtlenségre való átmenet lesz:

Szóval végre megkapjuk válasz:

8. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Döntés: a szorzás és a hatványosztás tulajdonságait felhasználva átírjuk az egyenlőtlenséget a következő alakba:

Vezessünk be egy új változót:

Ezzel a helyettesítéssel az egyenlőtlenség a következő formát ölti:

A tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 7-tel, így a következő ekvivalens egyenlőtlenséget kapjuk:

Tehát az egyenlőtlenség teljesül a következő értékeket változó t:

Ezután visszatérve a helyettesítésre, a következőket kapjuk:

Mivel a fokszám alapja itt nagyobb egynél, ezért (a 2. Tétel szerint) ekvivalens átmenni az egyenlőtlenségre:

Végre megkapjuk válasz:

9. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Döntés:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk a következő kifejezéssel:

Mindig nagyobb, mint nulla (mivel az exponenciális függvény pozitív), így az egyenlőtlenség jelét nem kell megváltoztatni. Kapunk:

t , amelyek a következő intervallumban vannak:

A fordított helyettesítésre áttérve azt találjuk, hogy az eredeti egyenlőtlenség két esetre oszlik:

Az első egyenlőtlenségnek az exponenciális függvény pozitivitása miatt nincs megoldása. Oldjuk meg a másodikat:

10. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Döntés:

Parabola ágak y = 2x+2-x 2 lefelé irányul, ezért felülről a csúcsán elért érték határolja:

Parabola ágak y = x 2 -2x A mutatóban lévő +2 felfelé irányul, ami azt jelenti, hogy alulról korlátozza azt az értéket, amelyet a tetején elér:

Ugyanakkor a függvény alulról korlátosnak bizonyul y = 3 x 2 -2x+2 az egyenlet jobb oldalán. A legkisebb értékét ugyanabban a pontban éri el, mint a kitevőben lévő parabola, és ez az érték 3 1 = 3. Tehát az eredeti egyenlőtlenség csak akkor lehet igaz, ha a bal oldali és a jobb oldali függvény értéke , egyenlő 3-mal (e függvények tartományainak metszéspontja csak ez a szám). Ez a feltétel egyetlen ponton teljesül x = 1.

Válasz: x= 1.

Megtanulni, hogyan kell megoldani exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, folyamatosan edzeni kell a megoldásukban. Ebben a nehéz kérdésben különféle oktatási segédletek, feladatfüzetek elemi matematikából, versenyfeladatgyűjtemények, iskolai matematika órák, valamint egyéni foglalkozások profi oktatóval. Őszintén sok sikert kívánok a felkészüléshez és zseniális eredmények a vizsgán.

Szergej Valerievich

P.S. Kedves Vendégeink! Kérjük, ne írjon egyenletei megoldási kérelmet a megjegyzésekbe. Sajnos erre egyáltalán nincs időm. Az ilyen üzenetek törlésre kerülnek. Kérjük, olvassa el a cikket. Talán olyan kérdésekre talál választ, amelyek nem tették lehetővé a feladat önálló megoldását.

Exponenciális függvény

Az y = a alakú függvény x , ahol a nagyobb, mint nulla, és a nem egyenlő eggyel, exponenciális függvénynek nevezzük. Az exponenciális függvény főbb tulajdonságai:

1. Az exponenciális függvény tartománya a valós számok halmaza lesz.

2. Az exponenciális függvény tartománya az összes pozitív valós szám halmaza lesz. Néha ezt a halmazt R+-nak jelölik a rövidség kedvéért.

3. Ha egy exponenciális függvényben az a bázis nagyobb egynél, akkor a függvény a teljes definíciós tartományban növekszik. Ha az a bázis exponenciális függvénye teljesíti a következő 0 feltételt

4. A fokozatok összes alapvető tulajdonsága érvényes lesz. A fokozatok fő tulajdonságait a következő egyenlőségek képviselik:

a x *a y = a (x+y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x*y) .

Ezek az egyenlőségek érvényesek x és y minden valós értékére.

5. Az exponenciális függvény grafikonja mindig a (0;1) koordinátájú ponton halad át.

6. Attól függően, hogy az exponenciális függvény növekszik vagy csökken, a grafikonja kétféle lehet.

A következő ábra egy növekvő exponenciális függvény grafikonját mutatja: a>0.

A következő ábra egy csökkenő exponenciális függvény grafikonja: 0

Mind a növekvő exponenciális függvény grafikonja, mind a csökkenő exponenciális függvény grafikonja az ötödik bekezdésben leírt tulajdonság szerint átmegy a (0; 1) ponton.

7. Egy exponenciális függvénynek nincsenek szélsőpontjai, vagyis nincs a függvény minimum és maximum pontja. Ha figyelembe vesszük a függvényt egy adott szakaszon, akkor a függvény ennek az intervallumnak a végén veszi fel a minimális és maximális értéket.

8. A függvény nem páros vagy páratlan. Az exponenciális függvény egy függvény Általános nézet. Ez a grafikonokból is látszik, egyik sem szimmetrikus sem az Oy tengelyre, sem az origóra.

Logaritmus

A logaritmus mindig is nehéz témának számított az iskolai matematika kurzusban. A logaritmusnak sokféle definíciója létezik, de valamiért a legtöbb tankönyv a legbonyolultabbat és a legszerencsétlenebbet használja.

Egyszerűen és világosan meghatározzuk a logaritmust. Ehhez készítsünk egy táblázatot:

Tehát kettős hatalmunk van. Ha az alsó sorból veszi ki a számot, akkor könnyen megtalálhatja azt az erőt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapjon, kettőt kell emelnie a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.

És most - valójában a logaritmus meghatározása:

Meghatározás

Logaritmus alap a az x argumentumból az a hatalom, amelyre a számot emelni kell a hogy megkapja a számot x.

Kijelölés

log a x = b
ahol a az alap, x az argumentum, b Pontosan mi a logaritmus.

Például 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Akár log 2 64 = 6, mivel 2 6 = 64.

Egy szám adott bázishoz való logaritmusának megtalálásának műveletét nevezzüklogaritmus . Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:

Sajnos nem minden logaritmus tekinthető ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a log 2 5 értéket. Az 5-ös szám nem szerepel a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol az intervallumon belül legyen. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok korlátlanul írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (alap és argumentum). Eleinte sokan összekeverik, hol az alap és hol az érv. Elkerülni sajnálatos félreértések csak nézd meg a képet:

Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Ne feledje: a logaritmus hatvány , amelyhez meg kell emelnie az alapot, hogy megkapja az érvet. Ez az alap, ami hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Ezt a csodálatos szabályt már az első órán elmondom a tanítványaimnak – és nincs zavar.

Kitaláltuk a definíciót - hátra van, hogy megtanuljuk, hogyan kell számolni a logaritmusokat, azaz. megszabadulni a „napló” jeltől. Először is megjegyezzük A definícióból két dolog következik. fontos tények:

Az argumentumnak és a bázisnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál. Ez következik a diploma meghatározásából racionális mutató, amelyre a logaritmus definíciója redukálódik.

A bázisnak különböznie kell az egységtől, mivel az egység bármely teljesítményhez továbbra is egység. Emiatt értelmetlen a „milyen hatalomra kell emelni az embert, hogy kettőt kapjunk” kérdés. Ilyen végzettség nincs!

Ilyen korlátozások hívott érvényes tartomány(ODZ). Kiderült, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vedd észre szám nincs korlátozva b (logaritmus érték) nem fedi egymást. Például a logaritmus lehet negatív is: log 2 0,5 = −1, mert 0,5 = 2 -1 .

Most azonban csak numerikus kifejezésekkel foglalkozunk, ahol nem szükséges tudni a logaritmus ODZ-jét. Minden korlátozást már figyelembe vettek a problémák összeállítói. De amikor a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek lépnek életbe, a DHS-követelmények kötelezővé válnak. Valóban, az alapban és az érvelésben nagyon erős konstrukciók lehetnek, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.

Most fontolja meg a tábornokot logaritmusszámítási séma. Három lépésből áll:

Alapítvány benyújtása a és argumentum x olyan hatványként, amelynek a lehető legkisebb bázisa nagyobb egynél. Útközben jobb, ha megszabadulunk a tizedes törtektől;

Döntse el a változót b egyenlet: x = a b ;

Fogadott szám b lesz a válasz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésnél látható lesz. Nagyon lényeges az a követelmény, hogy a bázis nagyobb legyen egynél: ez csökkenti a hiba valószínűségét és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Hasonlóan a tizedes törtekkel: ha azonnal átváltja őket közönséges törtekre, akkor sokszor kevesebb lesz a hiba.

Lássuk, hogyan működik ez a séma konkrét példák:

Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

Az alapot és az argumentumot ábrázoljuk öt hatványaként: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Válasz érkezett: 2.

Számítsa ki a logaritmust:

Ábrázoljuk az alapot és az argumentumot három hatványaként: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:

Megvan a válasz: -4.

−4

Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

Az alapot és az argumentumot ábrázoljuk kettő hatványaként: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Válasz érkezett: 3.

Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

Az alapot és az argumentumot ábrázoljuk kettő hatványaként: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Válasz érkezett: 0.

Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

Az alapot és az argumentumot a hét hatványaként ábrázoljuk: 7 = 7 1 ; A 14 nem a hét hatványaként van ábrázolva, mert a 7 1< 14 < 7 2 ;

Az előző bekezdésből következik, hogy a logaritmust nem veszi figyelembe;

A válasz nem változik: napló 7 14.

napló 7 14

Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet meggyőződni arról, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű - csak bontsa elsődleges tényezőkre. Ha legalább két különböző tényező van a bővítésben, a szám nem pontos hatvány.

Nézze meg, hogy a szám pontos hatványai: 8; 48; 81; 35; tizennégy.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - a pontos mérték, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nem pontos hatvány, mert két tényező van: 3 és 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - pontos fok;
35 = 7 5 - ismét nem pontos fokozat;
14 \u003d 7 2 - ismét nem pontos fok;

8, 81 - pontos fokozat; 48, 35, 14 - nem.

Vegye figyelembe azt is, hogy maguk a prímszámok mindig önmaguk pontos hatványai.

Tizedes logaritmus

Egyes logaritmusok annyira elterjedtek, hogy külön nevük és jelölésük van.

Meghatározás

Tizedes logaritmus x argumentumból a 10-es bázis logaritmusa, azaz. az az erő, amelyre emelni kell a 10-es számot, hogy megkapja a számot x.

Kijelölés

lg x

Például log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.

Mostantól kezdve, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg a tankönyvben, mint a „Find lg 0,01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez a decimális logaritmus. Ha azonban nem szokott ehhez a megjelöléshez, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a tizedesjegyekre is.

természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek saját jelölése van. Bizonyos értelemben még a decimálisnál is fontosabb. Ez körülbelül a természetes logaritmusról.

Meghatározás

természetes logaritmus x argumentumból az alaplogaritmus e , azaz a teljesítmény, amelyre a számot emelni kell e hogy megkapja a számot x.

Kijelölés

ln x

Sokan kérdezik: mi az e szám? Ez egy irracionális szám pontos érték lehetetlen megtalálni és rögzíteni. Íme, csak az első számok:
e = 2,718281828459...

Nem fogunk belemenni abba, hogy mi ez a szám, és miért van rá szükség. Csak emlékezz arra, hogy e - alap természetes logaritmus:
ln x = log e x

így ln e = 1; log e 2 = 2; 16-ban = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában bármely racionális szám természetes logaritmusa irracionális. Kivéve persze az egységet: ln 1 = 0.

A természetes logaritmusokra minden szabály érvényes, amely a közönséges logaritmusra igaz.

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden lehetséges módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket alaptulajdonságoknak nevezünk.

Ezeket a szabályokat ismerni kell – komoly logaritmikus probléma nem oldható meg nélkülük. Ráadásul nagyon kevesen vannak – egy nap alatt mindent meg lehet tanulni. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log a x és naplózza a y . Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

log egy x +napló a y = log a ( x · y );

log egy x −napló a y = log a ( x : y ).

Így, a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusa. Jegyzet: kulcsfontosságú pillanat itt ugyanazok az alapok. Ha az alapok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek kiszámítani a logaritmikus kifejezést akkor is, ha az egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a leckét " "). Vessen egy pillantást a példákra – és nézze meg:

Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 6 4 + log 6 9.

Mivel a logaritmusok alapjai megegyeznek, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így a következőket kapjuk:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Amint láthatja, az eredeti kifejezések "rossz" logaritmusokból állnak, amelyeket nem veszünk külön figyelembe. Ám az átalakítások után egészen normális számok derülnek ki. E tény alapján sok tesztpapírok. Igen, ezt a kontrollt - hasonló kifejezéseket teljes komolysággal (néha - gyakorlatilag változtatás nélkül) kínálnak a vizsgán.

A kitevő eltávolítása a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van akkor, ha a logaritmus alapjában vagy argumentumában van fokozat? Azután ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből in a következő szabályokat:

Ezt könnyű belátni utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá – bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartják az ODZ logaritmust: a > 0, a ≠ 1, x > 0 a logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba. Leggyakrabban erre van szükség.

Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet szerint:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Keresse meg a kifejezés értékét:

Figyeljük meg, hogy a nevező egy logaritmus, amelynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nekünk van:

Azt hiszem, az utolsó példa magyarázatra szorul. Hová tűntek a logaritmusok? Egészen utolsó pillanat csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát fokok formájában mutatták be, és kivették a mutatókat - „háromemeletes” törtet kaptak.

Most pedig nézzük a főtörtet. A számlálónak és a nevezőnek ugyanaz a száma: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, a törtet csökkenthetjük - a 2/4 a nevezőben marad. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ami meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átállás egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az alapok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új bázisra való áttéréshez szükséges képletek segítenek. Tétel formájában fogalmazzuk meg őket:

Tétel

Legyen logaritmus egy x . Aztán bármilyen számra c úgy, hogy c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Különösen, ha feltesszük c = x, kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben az egész kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben van.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak az új alapítványhoz költözéssel. Nézzünk meg ezek közül néhányat:

Keresse meg a kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos kitevő. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Most fordítsuk meg a második logaritmust:

Mivel a szorzat nem változik a tényezők permutációjától, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd kitaláltuk a logaritmusokat.

Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldás során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben a szám n az érvelés kitevőjévé válik. Szám n teljesen bármi lehet, mert ez csak a logaritmus értéke.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják:alapvető logaritmikus azonosság.

Valóban, mi történik, ha a b számot olyan mértékben emeljük, hogy az ebben a fokozatban lévő b szám adja az a számot? Így van: ez ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan "lógnak" rajta.

Az új alapkonverziós képletekhez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat

Keresse meg a kifejezés értékét:

Döntés

Vegye figyelembe, hogy log 25 64 = log 5 8 - csak kivette a négyzetet az alapból és a logaritmus argumentumából. Tekintettel a hatáskörök -val való szorzásának szabályaira ugyanaz az alap, kapunk:

200

Ha valaki nem tud, ez egy igazi feladat volt a vizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül adok két olyan azonosságot, amelyeket nehéz tulajdonságnak nevezni - ezek inkább a logaritmus definíciójából következnek. Folyamatosan problémákban találják őket, és meglepő módon még a „haladó” tanulók számára is problémákat okoznak.

log a a = 1 van logaritmikus egység. Emlékezzen egyszer s mindenkorra: a logaritmus bármely bázisra a ettől az alaptól egyenlő eggyel.

log a 1 = 0 az logaritmikus nulla. Alap a bármi lehet, de ha az argumentum egy - a logaritmus nulla! mert egy 0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakoroljuk ezek gyakorlatba ültetését!

Keresse meg a kifejezés értékét az x=2 változó különböző racionális értékeire; 0; -3; -

Ne feledje, nem számít, hogy milyen számot cserélünk x helyett, mindig megtalálhatja ennek a kifejezésnek az értékét. Tehát egy exponenciális függvényt vizsgálunk (y egyenlő három az x hatványával), amelyet a racionális számok halmazán definiálunk: .

Készítsük el ennek a függvénynek a grafikonját úgy, hogy táblázatot készítünk az értékeiről.

Rajzoljunk ezeken a pontokon átmenő sima vonalat (1. ábra)

Ennek a függvénynek a grafikonját használva vegye figyelembe annak tulajdonságait:

3. Növekszik a teljes definíciós területen.

1. nullától a plusz végtelenig terjedhet.

8. A függvény lefelé konvex.

Ha egy koordinátarendszerben függvénygráfokat építeni; y=(y egyenlő kettővel az x hatványokkal, y egyenlő öttel az x hatványokkal, y egyenlő héttel az x hatványokkal), láthatjuk, hogy ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint y=(y egyenlő három az x hatványával) ( .2. ábra), azaz minden y = alakú függvény (y egyenlő a-val x hatványával, egynél nagyobb) ilyen tulajdonságokkal rendelkezik

Ábrázoljuk a függvényt:

1. Értékeinek táblázat összeállítása.

A kapott pontokat a koordinátasíkon jelöljük.

Rajzoljunk ezeken a pontokon átmenő sima vonalat (3. ábra).

Ennek a függvénynek a grafikonjával jelezzük a tulajdonságait:

1. A definíciós tartomány az összes valós szám halmaza.

2. Se nem páros, se nem páratlan.

3. Csökken a teljes definíciós tartományban.

4. Nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel.

5. Alulról korlátozott, de felülről nem korlátozva.

6. Folyamatos a teljes definíciós tartományban.

7. értéktartomány nullától plusz végtelenig.

8. A függvény lefelé konvex.

Hasonlóképpen, ha egy koordinátarendszerben függvénygráfokat készítünk; y=(y egyenlő az x hatvány egy másodpercével, y egyenlő az x hatvány egyötödével, y egyenlő az x hatvány egy hetedével), láthatjuk, hogy ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint y=(y egyenlő az x hatvány egyharmadával x hatványa). x) (4. ábra), azaz minden y \u003d alakú függvény (y egyenlő eggyel osztva a-val x hatványához, nullánál nagyobb, de egynél kisebb) olyan tulajdonságokkal rendelkeznek

Készítsünk függvénygráfokat egy koordinátarendszerben

ez azt jelenti, hogy az y \u003d y \u003d függvények grafikonjai (y egyenlő a-val x hatványával és y egyenlő eggyel elosztva a-val x hatványával) szintén szimmetrikusak lesznek ugyanarra az a értékre. .

Az elmondottakat egy exponenciális függvény definíciójával és főbb tulajdonságainak feltüntetésével foglaljuk össze:

Meghatározás: Az y \u003d alakú függvényt, ahol (y egyenlő a-val x hatványával, ahol a pozitív és különbözik egytől), exponenciális függvénynek nevezzük.

Emlékeznünk kell az y= exponenciális függvény és az y=, a=2,3,4,… hatványfüggvény közötti különbségekre. hangzásban és vizuálisan is. Az exponenciális függvény x egy végzettség, és teljesítmény funkció x az alapja.

1. példa: Oldja meg az egyenletet (három x hatványához egyenlő kilenc)

(y egyenlő három x hatványával, y pedig kilenc) 7. ábra

Vegyük észre, hogy van egy közös pontjuk M (2; 9) (em kettő koordinátákkal; kilenc), ami azt jelenti, hogy a pont abszcisszája lesz ennek az egyenletnek a gyöke. Vagyis az egyenletnek egyetlen gyöke van x = 2.

2. példa: Oldja meg az egyenletet

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját (y egyenlő öttel x hatványával, y pedig egy huszonötödével) 8. ábra. A grafikonok egy T pontban metszik egymást (-2; (te koordinátákkal mínusz kettő; egy huszonötödik). Ezért az egyenlet gyöke x \u003d -2 (szám mínusz kettő).

3. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját

(y egyenlő három x hatványával, y pedig huszonhéttel).

9. ábra A függvény grafikonja az y=when függvény grafikonja felett található

x Ezért az egyenlőtlenség megoldása az intervallum (mínusz végtelentől háromig)

4. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját (y egyenlő x hatványának egynegyedével, y pedig tizenhattal). (10. ábra). A grafikonok egy K pontban metszik egymást (-2;16). Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség megoldása a (-2; (mínusz kettőtől plusz végtelenig) intervallum, mivel az y \u003d függvény grafikonja az x-nél lévő függvény grafikonja alatt található

Érvelésünk lehetővé teszi, hogy ellenőrizzük a következő tételek érvényességét:

1. tétel: Ha akkor és csak akkor igaz, ha m=n.

2. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz, akkor az egyenlőtlenség akkor és csak akkor igaz (*. ábra)

4. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz (** ábra), az egyenlőtlenség akkor és csak akkor igaz 3. Tétel: Ha akkor és csak akkor igaz, ha m=n.

5. példa: Ábrázolja az y= függvényt

A függvényt az y= fok tulajdonság alkalmazásával módosítjuk

Építsünk kiegészítő rendszer koordinátákat, és az új koordináta-rendszerben elkészítjük az y \u003d függvény grafikonját (y egyenlő kettővel x hatványával) 11. ábra.

6. példa: Oldja meg az egyenletet

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját

(Y egyenlő héttel x hatványa, Y pedig nyolc mínusz x) 12. ábra.

A gráfok egy E pontban metszik egymást (1; (e koordinátákkal egy; hét), így az egyenlet gyöke x = 1 (x egyenlő eggyel).

7. példa: Oldja meg az egyenlőtlenséget

Egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y \u003d függvény két grafikonját

(Y egyenlő x hatványának egynegyedével, Y pedig x plusz öttel). Az y \u003d függvény grafikonja az y \u003d x + 5 at függvény grafikonja alatt található, az egyenlőtlenség megoldása az x intervallum (mínusz egytől plusz végtelenig).