Képletek a logaritmusok redukálására. Természetes logaritmus, ln x függvény

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános nevelési-oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára).

b logaritmusa (b > 0) a bázishoz (a > 0, a ≠ 1) az a kitevő, amelyre emelni kell az a számot, hogy b-t kapjunk.

A b 10-es bázisú logaritmusa így írható fel log(b), és a logaritmus az e bázishoz (természetes logaritmus) - ln(b).

Gyakran használják logaritmusos problémák megoldására:

A logaritmusok tulajdonságai

Négy fő van a logaritmusok tulajdonságai.

Legyen a > 0, a ≠ 1, x > 0 és y > 0.

Tulajdonság 1. A szorzat logaritmusa

A szorzat logaritmusa egyenlő a logaritmusok összegével:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

2. tulajdonság. A hányados logaritmusa

A hányados logaritmusa egyenlő a logaritmusok különbségével:

log a (x / y) = log a x – log a y

3. tulajdonság. A fokozat logaritmusa

Fokozat logaritmus egyenlő a fokszám és a logaritmus szorzatával:

Ha a logaritmus alapja a kitevőben van, akkor egy másik képlet érvényes:

4. tulajdonság. A gyökér logaritmusa

Ezt a tulajdonságot a fok logaritmusának tulajdonságából kaphatjuk meg, mivel az n-edik fok gyöke egyenlő 1/n hatványával:

Az egyik bázisban lévő logaritmusról egy másik bázisban lévő logaritmusra való átlépés képlete

Ezt a képletet gyakran használják különféle logaritmus-feladatok megoldására is:

Különleges eset:

A logaritmusok (egyenlőtlenségek) összehasonlítása

Tegyük fel, hogy két f(x) és g(x) függvényünk van azonos bázisú logaritmus alatt, és van közöttük egy egyenlőtlenségjel:

Összehasonlításukhoz először meg kell nézni az a logaritmusok alapját:

• Ha a > 0, akkor f(x) > g(x) > 0
• Ha 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Problémamegoldás logaritmussal: példák

Feladatok logaritmussal a 11. évfolyam 5. és 7. feladatban található USE matematikából, megoldásokkal ellátott feladatokat találhat honlapunkon a megfelelő rovatokban. A matematikai feladatok bankjában is megtalálhatók a logaritmusos feladatok. Az oldalon keresve minden példát megtalálhat.

Mi az a logaritmus

A logaritmus mindig is nehéz téma volt az iskolai matematika kurzusban. A logaritmusnak sokféle definíciója létezik, de valamiért a legtöbb tankönyv a legbonyolultabbat és a legszerencsétlenebbet használja.

Egyszerűen és világosan meghatározzuk a logaritmust. Ehhez készítsünk egy táblázatot:

Tehát kettős hatalmunk van.

Logaritmusok - tulajdonságok, képletek, megoldás

Ha az alsó sorból veszi ki a számot, akkor könnyen megtalálhatja azt az erőt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapjon, kettőt kell emelnie a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.

És most - valójában a logaritmus meghatározása:

az x argumentum a bázisa az a hatvány, amelyre az a számot emelni kell, hogy megkapjuk az x számot.

Jelölés: log a x \u003d b, ahol a az alap, x az argumentum, b valójában a logaritmus.

Például 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Akár log 2 64 = 6, mivel 2 6 = 64.

Egy szám adott bázishoz való logaritmusának megtalálásának műveletét nevezzük. Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:

Sajnos nem minden logaritmus tekinthető ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a log 2 5 értéket. Az 5-ös szám nem szerepel a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol a szakaszon legyen. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok korlátlanul írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (alap és argumentum). Eleinte sokan összekeverik, hol az alap és hol az érv. A bosszantó félreértések elkerülése érdekében csak nézze meg a képet:

Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Emlékezik: a logaritmus a hatvány, amelyhez meg kell emelnie az alapot, hogy megkapja az érvet. Ez az alap, ami hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Ezt a csodálatos szabályt már az első órán elmondom a tanítványaimnak – és nincs zavar.

Hogyan számoljunk logaritmusokat

Kitaláltuk a definíciót - hátra van, hogy megtanuljuk, hogyan kell számolni a logaritmusokat, azaz. megszabadulni a „napló” jeltől. Először is megjegyezzük, hogy a definícióból két fontos tény következik:

1. Az argumentumnak és a bázisnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál. Ez a fok racionális kitevővel történő meghatározásából következik, amelyre a logaritmus definíciója redukálódik.
2. A bázisnak különböznie kell az egységtől, mivel az egység bármely teljesítményhez továbbra is egység. Emiatt értelmetlen a „milyen hatalomra kell emelni az embert, hogy kettőt kapjunk” kérdés. Ilyen végzettség nincs!

Az ilyen korlátozásokat hívják érvényes tartomány(ODZ). Kiderül, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vegye figyelembe, hogy a b számra (a logaritmus értékére) nincs korlátozás. Például a logaritmus lehet negatív is: log 2 0.5 = −1, mert 0,5 = 2 -1 .

Most azonban csak numerikus kifejezésekkel foglalkozunk, ahol nem szükséges tudni a logaritmus ODZ-jét. Minden korlátozást már figyelembe vettek a problémák összeállítói. De amikor a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek lépnek életbe, a DHS-követelmények kötelezővé válnak. Valóban, az alapban és az érvelésben nagyon erős konstrukciók lehetnek, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.

Most nézzük meg a logaritmusszámítás általános sémáját. Három lépésből áll:

1. Fejezzük ki az a bázist és az x argumentumot olyan hatványként, amelynek a lehető legkisebb bázisa nagyobb egynél. Útközben jobb, ha megszabadulunk a tizedes törtektől;
2. Oldja meg a b változó egyenletét: x = a b ;
3. A kapott b szám lesz a válasz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésnél látható lesz. Az a követelmény, hogy a bázis nagyobb legyen egynél, nagyon releváns: ez csökkenti a hiba valószínűségét, és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Hasonlóan a tizedes törtekkel: ha azonnal átváltja őket közönséges törtekre, akkor sokszor kevesebb lesz a hiba.

Nézzük meg, hogyan működik ez a séma konkrét példákkal:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

1. Az alapot és az argumentumot ábrázoljuk öt hatványaként: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Válasz érkezett: 2.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

1. Az alapot és az argumentumot ábrázoljuk kettő hatványaként: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Válasz érkezett: 3.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

1. Az alapot és az argumentumot ábrázoljuk kettő hatványaként: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Válasz érkezett: 0.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

1. Az alapot és az argumentumot a hét hatványaként ábrázoljuk: 7 = 7 1 ; A 14 nem a hét hatványaként van ábrázolva, mert a 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Az előző bekezdésből következik, hogy a logaritmust nem veszi figyelembe;
3. A válasz nem változik: napló 7 14.

Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet meggyőződni arról, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű - csak bontsa elsődleges tényezőkre. Ha legalább két különböző tényező van a bővítésben, a szám nem pontos hatvány.

Feladat. Nézze meg, hogy a szám pontos hatványai: 8; 48; 81; 35; tizennégy.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - a pontos mérték, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nem pontos hatvány, mert két tényező van: 3 és 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - pontos fok;
35 = 7 5 - ismét nem pontos fokozat;
14 \u003d 7 2 - ismét nem pontos fok;

Vegye figyelembe azt is, hogy maguk a prímszámok mindig önmaguk pontos hatványai.

Tizedes logaritmus

Egyes logaritmusok annyira elterjedtek, hogy külön nevük és jelölésük van.

az x argumentum a 10-es alapú logaritmus, azaz. az a teljesítmény, amelyre a 10-et fel kell emelni, hogy x-et kapjunk. Megnevezés: lgx.

Például log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.

Mostantól, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg a tankönyvben, mint a „Find lg 0,01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez a decimális logaritmus. Ha azonban nem szokott ehhez a megjelöléshez, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a tizedesjegyekre is.

természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek saját jelölése van. Bizonyos értelemben még a decimálisnál is fontosabb. Ez a természetes logaritmus.

az x argumentum logaritmusa az e bázishoz, azaz. az a hatvány, amelyre az e számot fel kell emelni, hogy x számot kapjunk. Megnevezés: lnx.

Sokan kérdezik: mi az e szám? Ez egy irracionális szám, pontos értéke nem található és nem írható le. Íme, csak az első számok:
e = 2,718281828459…

Nem fogunk belemenni abba, hogy mi ez a szám, és miért van rá szükség. Ne feledje, hogy e a természetes logaritmus alapja:
ln x = log e x

így ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában bármely racionális szám természetes logaritmusa irracionális. Kivéve persze az egységet: ln 1 = 0.

A természetes logaritmusokra minden szabály érvényes, amely a közönséges logaritmusra igaz.

Lásd még:

Logaritmus. A logaritmus tulajdonságai (a logaritmus hatványa).

Hogyan ábrázoljunk egy számot logaritmusként?

A logaritmus definícióját használjuk.

A logaritmus annak a hatványnak a mértéke, amelyre az alapot meg kell emelni, hogy a logaritmus előjele alatt álló számot megkapjuk.

Tehát ahhoz, hogy egy bizonyos c számot logaritmusként ábrázolhassunk az a bázishoz, a logaritmus előjele alá kell tenni egy fokot, amelynek alapja megegyezik a logaritmus alapjával, és ezt a c számot be kell írni a kitevőbe. :

Logaritmus formájában bármilyen számot ábrázolhat - pozitív, negatív, egész, tört, racionális, irracionális:

Annak érdekében, hogy ne keverje össze a és c a teszt vagy vizsga stresszes körülményei között, használja a következő szabályt, hogy emlékezzen:

ami lent van, az lemegy, ami fent, az felfelé megy.

Például a 2-es számot a 3-as bázis logaritmusaként szeretné ábrázolni.

Két számunk van - 2 és 3. Ezek a számok az alap és a kitevő, amelyeket a logaritmus jele alá írunk. Továbbra is meg kell határozni, hogy ezek közül a számok közül melyiket kell leírni a fokszám alapjába, és melyiket felfelé a kitevőben.

A logaritmus rekordjában a 3-as bázis alul van, ami azt jelenti, hogy ha a kettőst logaritmusként ábrázoljuk a 3-as alaphoz, akkor a 3-at is leírjuk az alapba.

2 nagyobb, mint 3. A fokozat jelölésébe pedig a kettőt írjuk a három fölé, vagyis a kitevőbe:

Logaritmusok. Első szint.

Logaritmusok

logaritmus pozitív szám bésszel a, ahol a > 0, a ≠ 1, az a kitevő, amelyre a számot emelni kell. a, Megszerezni b.

A logaritmus definíciójaígy röviden leírható:

Ez az egyenlőség érvényes b > 0, a > 0, a ≠ 1.Általában hívják logaritmikus azonosság.
Egy szám logaritmusának megtalálásának műveletét nevezzük logaritmus.

A logaritmus tulajdonságai:

A szorzat logaritmusa:

Az osztásból származó hányados logaritmusa:

A logaritmus alapjának cseréje:

Fokozat logaritmus:

gyökér logaritmus:

Logaritmus hatványalappal:

Tizedes és természetes logaritmus.

Tizedes logaritmus a számok a szám 10-es alapú logaritmusát hívják, és   lg-t írnak b
természetes logaritmus számok ennek a számnak a logaritmusát hívják bázisnak e, ahol e egy irracionális szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,7-tel. Ugyanakkor azt írják, ln b.

Egyéb megjegyzések az algebrához és a geometriához

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden lehetséges módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk alapvető tulajdonságok.

Ezeket a szabályokat ismerni kell – komoly logaritmikus probléma nem oldható meg nélkülük. Ráadásul nagyon kevesen vannak – egy nap alatt mindent meg lehet tanulni. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log a x és log a y. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusa. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az - ugyanazon az alapon. Ha az alapok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek kiszámítani a logaritmikus kifejezést akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

log 6 4 + log 6 9.

Mivel a logaritmusok alapjai megegyeznek, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így a következőket kapjuk:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Amint láthatja, az eredeti kifejezések "rossz" logaritmusokból állnak, amelyeket nem veszünk külön figyelembe. Ám az átalakítások után egészen normális számok derülnek ki. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, kontroll – hasonló kifejezéseket teljes komolysággal (néha – gyakorlatilag változtatás nélkül) kínálnak a vizsgán.

A kitevő eltávolítása a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van akkor, ha a logaritmus alapjában vagy argumentumában van fokozat? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá – bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk az ODZ logaritmust: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is, azaz. a logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba.

Hogyan kell megoldani a logaritmusokat

Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet szerint:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Figyeljük meg, hogy a nevező egy logaritmus, amelynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nekünk van:

Azt hiszem, az utolsó példa magyarázatra szorul. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát fokok formájában mutatták be, és kivették a mutatókat - „háromemeletes” törtet kaptak.

Most pedig nézzük a főtörtet. A számlálónak és a nevezőnek ugyanaz a száma: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, csökkenthetjük a törtet - a 2/4 a nevezőben marad. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ami meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átállás egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az alapok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új bázisra való áttéréshez szükséges képletek segítenek. Tétel formájában fogalmazzuk meg őket:

Legyen adott a logaritmus log a x. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et teszünk, azt kapjuk:

A második képletből következik, hogy a logaritmus alapját és argumentumát felcserélhetjük, de ebben az esetben az egész kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben van.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak az új alapítványhoz költözéssel. Nézzünk meg ezek közül néhányat:

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos kitevő. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Most fordítsuk meg a második logaritmust:

Mivel a szorzat nem változik a tényezők permutációjától, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd kitaláltuk a logaritmusokat.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldás során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni.

Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak a logaritmus értéke.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják:

Valóban, mi történik, ha a b számot olyan hatványra emeljük, hogy a b szám ehhez a hatványhoz adja az a számot? Így van: ez ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést - sokan „lógnak” rajta.

Az új alapkonverziós képletekhez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Jegyezzük meg, hogy log 25 64 = log 5 8 - csak kivette a négyzetet az alapból és a logaritmus argumentumából. Ha figyelembe vesszük a hatványok ugyanazon alappal való szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

Ha valaki nem tud róla, ez egy igazi feladat volt az Egységes Államvizsgától 🙂

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két olyan azonosságot adok, amelyeket nehéz tulajdonságoknak nevezni - ezek inkább a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan problémákban találják őket, és meglepő módon még a „haladó” tanulók számára is problémákat okoznak.

1. log a a = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: a logaritmus bármely a bázisra ebből az alapból egyenlő eggyel.
2. log a 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egy, akkor a logaritmus nulla! Mert a 0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakoroljuk ezek gyakorlatba ültetését! Az óra elején töltse le a csalólapot, nyomtassa ki és oldja meg a problémákat.

definíciójából származik. És így a szám logaritmusa bésszel a definíció szerint az a kitevő, amelyre egy számot emelni kell a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).

Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x=log a b, egyenértékű az egyenlet megoldásával ax=b. Például, log 2 8 = 3 mert 8 = 2 3 . A logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa bésszel a egyenlő val vel. Az is jól látható, hogy a logaritmus témaköre szorosan kapcsolódik a szám hatványának témájához.

A logaritmusokkal, mint minden számmal, végrehajthat összeadás, kivonás műveleteiés minden lehetséges módon átalakul. De tekintettel arra a tényre, hogy a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt saját speciális szabályaik érvényesek, amelyek ún. alapvető tulajdonságok.

Logaritmusok összeadása és kivonása.

Vegyünk két logaritmust ugyanazzal az alappal: log xés log a y. Ezután az eltávolítás után összeadási és kivonási műveleteket hajthat végre:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Tól től hányados logaritmus tételek a logaritmusnak még egy tulajdonsága nyerhető. Köztudott, hogy a napló a 1 = 0, ezért

log a 1 /b= log a 1 - napló a b= -log a b.

Tehát van egy egyenlőség:

log a 1 / b = - log a b.

Két kölcsönösen reciprok szám logaritmusa azonos alapon csak jelben különböznek egymástól. Így:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.