Postoji niz odnosa u kvadratnim jednadžbama. Glavni su odnosi između korijena i koeficijenata. Također, brojni odnosi rade u kvadratnim jednadžbama, koje su dane Vietinim teoremom.

U ovoj temi predstavljamo sam Vietin teorem i njegov dokaz za kvadratna jednadžba, teorem suprotan Vietinom teoremu, analizirat ćemo niz primjera rješavanja problema. Posebna pažnja u materijalu ćemo se posvetiti razmatranju Vietinih formula, koje definiraju odnos između stvarnih korijena algebarska jednadžba stupanj n i njegovi koeficijenti.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tvrdnja i dokaz Vietinog teorema

Formula za korijene kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 oblika x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, gdje je D = b 2 − 4 a c, uspostavlja omjer x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. To potvrđuje Vietin teorem.

Teorem 1

U kvadratnoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0, gdje x 1 i x2- korijeni, zbroj korijena će biti jednak omjeru koeficijenata b i a, koji je uzet s suprotnim predznakom, a umnožak korijena bit će jednak omjeru koeficijenata c i a, tj. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Dokaz 1

Nudimo vam sljedeću shemu za provođenje dokaza: uzimamo formulu korijena, sastavljamo zbroj i umnožak korijena kvadratne jednadžbe i zatim transformiramo rezultirajuće izraze kako bismo bili sigurni da su jednaki -b a i c a odnosno.

Sastavite zbroj korijena x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Dovedemo razlomke na zajednički nazivnik - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Otvorimo zagrade u brojniku dobivenog razlomka i damo slične pojmove: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Smanjite razlomak za: 2 - b a \u003d - b a.

Tako smo dokazali prvu relaciju Vietinog teorema, koja se odnosi na zbroj korijena kvadratne jednadžbe.

Prijeđimo sada na drugu relaciju.

Da bismo to učinili, moramo sastaviti proizvod korijena kvadratne jednadžbe: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Prisjetite se pravila za množenje razlomaka i zadnji umnožak zapišite na sljedeći način: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Provest ćemo množenje zagrade zagradama u brojniku razlomka ili ćemo koristiti formulu razlike kvadrata kako bismo brže transformirali ovaj umnožak: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Poslužimo se definicijom korijen kako bi se izvršila sljedeći prijelaz: - b 2 - D 2 4 a 2 \u003d b 2 - D 4 a 2. Formula D = b 2 − 4 a c odgovara diskriminantu kvadratne jednadžbe, dakle, u razlomak umjesto na D može se zamijeniti b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Otvorimo zagrade, damo slične pojmove i dobijemo: 4 · a · c 4 · a 2 . Ako ga skratimo na 4 a, zatim c a ostaje. Tako smo dokazali drugu relaciju Vietinog teorema za umnožak korijena.

Zapis dokaza Vietinog teorema može imati vrlo sažet oblik, ako izostavimo objašnjenja:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Kada je diskriminant kvadratne jednadžbe nula, jednadžba će imati samo jedan korijen. Da bismo mogli primijeniti Vietin teorem na takvu jednadžbu, možemo pretpostaviti da jednadžba s diskriminantom jednakim nuli ima dva identična korijena. Doista, kod D=0 korijen kvadratne jednadžbe je: - b 2 a, zatim x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a i x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, a budući da je D \u003d 0, tj. 0, odakle je b 2 = 4 a c, tada je b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Najčešće se u praksi Vietin teorem primjenjuje u odnosu na reduciranu kvadratnu jednadžbu oblika x 2 + p x + q = 0, gdje je vodeći koeficijent a jednak 1. U tom smislu, Vietin teorem je formuliran upravo za jednadžbe ovog tipa. To ne ograničava općenitost zbog činjenice da se svaka kvadratna jednadžba može zamijeniti ekvivalentnom jednadžbom. Da biste to učinili, potrebno je podijeliti oba njegova dijela brojem a koji je različit od nule.

Navedimo još jednu formulaciju Vietinog teorema.

Teorem 2

Zbroj korijena u zadanoj kvadratnoj jednadžbi x 2 + p x + q = 0će biti jednak koeficijentu na x, koji se uzima s suprotnim predznakom, umnožak korijena će biti jednak slobodnom članu, t.j. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Teorem inverzan Vietinom teoremu

Ako pomno pogledate drugu formulaciju Vietinog teorema, to možete vidjeti za korijene x 1 i x2 reducirana kvadratna jednadžba x 2 + p x + q = 0 vrijedit će odnosi x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q. Iz ovih odnosa x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, slijedi da x 1 i x2 su korijeni kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0. Tako dolazimo do tvrdnje koja je inverzna Vietinom teoremu.

Sada predlažemo formalizirati ovu tvrdnju kao teorem i provesti njezin dokaz.

Teorem 3

Ako brojevi x 1 i x2 su takvi da x 1 + x 2 = − str i x 1 x 2 = q, onda x 1 i x2 su korijeni reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0.

Dokaz 2

Promjena koeficijenata str i q na njihov izraz kroz x 1 i x2 omogućuje transformaciju jednadžbe x 2 + p x + q = 0 u ekvivalentu .

Zamijenimo li broj u rezultirajuću jednadžbu x 1 umjesto x, tada dobivamo jednakost x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ova jednakost za bilo koje x 1 i x2 pretvara u pravu brojčanu jednakost 0 = 0 , kao x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. To znači da x 1- korijen jednadžbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, i što x 1 je također korijen ekvivalentne jednadžbe x 2 + p x + q = 0.

Zamjena jednadžbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 brojevima x2 umjesto x omogućuje vam da dobijete jednakost x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Ova se jednakost može smatrati istinitom, budući da x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Ispostavilo se da x2 je korijen jednadžbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, a time i jednadžbe x 2 + p x + q = 0.

Dokazan je teorem suprotan Vietinom teoremu.

Primjeri korištenja Vietinog teorema

Idemo sada analizirati najviše tipični primjeri na ovu temu. Počnimo s analizom problema koji zahtijevaju primjenu teorema, obrnuto od Vietinog teorema. Može se koristiti za provjeru brojeva dobivenih tijekom proračuna, jesu li korijeni zadane kvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, morate izračunati njihov zbroj i razliku, a zatim provjeriti valjanost omjera x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

Ispunjenje obje relacije pokazuje da su brojevi dobiveni tijekom proračuna korijeni jednadžbe. Ako vidimo da barem jedan od uvjeta nije ispunjen, onda ti brojevi ne mogu biti korijeni kvadratne jednadžbe zadane u uvjetu zadatka.

Primjer 1

Koji od parova brojeva 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, ili 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ili 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 je par korijena kvadratne jednadžbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Odluka

Nađite koeficijente kvadratne jednadžbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Ovo je a = 4, b = − 16, c = 9. U skladu s Vietinim teoremom, zbroj korijena kvadratne jednadžbe mora biti jednak -b a, tj. 16 4 = 4 , a umnožak korijena trebao bi biti jednak c a, tj. 9 4 .

Provjerimo dobivene brojeve tako da izračunamo zbroj i umnožak brojeva iz tri zadana para i usporedimo ih s dobivenim vrijednostima.

U prvom slučaju x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Ova se vrijednost razlikuje od 4, tako da ne morate nastaviti s provjerom. Prema teoremu, inverznom Vietinu teoremu, možemo odmah zaključiti da prvi par brojeva nisu korijeni ove kvadratne jednadžbe.

U drugom slučaju x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vidimo da je prvi uvjet ispunjen. Ali drugi uvjet nije: x 1 x 2 = 1 - 3 3 + 3 = 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Vrijednost koju smo dobili je drugačija od 9 4 . To znači da drugi par brojeva nisu korijeni kvadratne jednadžbe.

Prijeđimo na treći par. Ovdje x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 i x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Oba uvjeta su zadovoljena, što znači da x 1 i x2 su korijeni zadane kvadratne jednadžbe.

Odgovor: x 1 = 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Također možemo koristiti inverziju Vietinog teorema da pronađemo korijene kvadratne jednadžbe. Najlakši način je odabir cjelobrojnih korijena zadanih kvadratnih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima. Mogu se razmotriti i druge opcije. Ali to može značajno zakomplicirati izračune.

Za odabir korijena koristimo se činjenicom da ako je zbroj dvaju brojeva jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a umnožak tih brojeva jednak je slobodnom članu, onda su ti brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe.

Primjer 2

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu x 2 − 5 x + 6 = 0. Brojevi x 1 i x2 mogu biti korijeni ove jednadžbe ako su dvije jednakosti zadovoljene x1 + x2 = 5 i x 1 x 2 = 6. Odaberimo te brojeve. To su brojevi 2 i 3 jer 2 + 3 = 5 i 2 3 = 6. Ispada da su 2 i 3 korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Inverznost Vietinog teorema može se koristiti za pronalaženje drugog korijena kada je prvi poznat ili očit. Za to možemo koristiti omjere x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Primjer 3

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Moramo pronaći korijene ove jednadžbe.

Odluka

Prvi korijen jednadžbe je 1 jer je zbroj koeficijenata ove kvadratne jednadžbe nula. Ispostavilo se da x 1 = 1.

Sada pronađimo drugi korijen. Da biste to učinili, možete koristiti omjer x 1 x 2 = c a. Ispostavilo se da 1 x 2 = − 3 512, gdje x 2 \u003d - 3 512.

Odgovor: korijene kvadratne jednadžbe navedene u uvjetu problema 1 i - 3 512 .

Pronalaženje korijena pomoću teorema obrnutog Vietinom teoremu moguće je samo u jednostavnim slučajevima. U drugim slučajevima, bolje je tražiti pomoću formule korijena kvadratne jednadžbe kroz diskriminant.

Zahvaljujući obrnutom Vietinom teoremu, također možemo oblikovati kvadratne jednadžbe s obzirom na korijene x 1 i x2. Da bismo to učinili, moramo izračunati zbroj korijena, koji daje koeficijent at x s suprotnim predznakom reducirane kvadratne jednadžbe, i umnožak korijena, koji daje slobodni član.

Primjer 4

Napišite kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni brojevi − 11 i 23 .

Odluka

Prihvatimo to x 1 = − 11 i x2 = 23. Zbroj i umnožak ovih brojeva bit će jednak: x1 + x2 = 12 i x 1 x 2 = − 253. To znači da je drugi koeficijent 12, slobodni pojam − 253.

Izrađujemo jednadžbu: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Odgovor: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Vietin teorem možemo koristiti za rješavanje problema koji se odnose na predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Veza između Vietinog teorema povezana je sa predznacima korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0 na sljedeći način:

• ako kvadratna jednadžba ima realne korijene i ako je slobodni član q je pozitivan broj, tada će ti korijeni imati isti znak"+" ili "-";
• ako kvadratna jednadžba ima korijene i ako je slobodni član q je negativan broj, tada će jedan korijen biti "+", a drugi "-".

Obje ove izjave posljedica su formule x 1 x 2 = q i pravila množenja pozitivnih i negativnih brojeva, kao i brojeva s različitim predznacima.

Primjer 5

Jesu li korijeni kvadratne jednadžbe x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitivan?

Odluka

Prema Vietinom teoremu, korijeni ove jednadžbe ne mogu biti pozitivni, jer moraju zadovoljiti jednakost x 1 x 2 = − 21. To nije moguće uz pozitivu x 1 i x2.

Odgovor: Ne

Primjer 6

Na kojim vrijednostima parametra r kvadratna jednadžba x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 imat će dva prava korijena s različitim predznacima.

Odluka

Počnimo s pronalaženjem vrijednosti čega r, za koji jednadžba ima dva korijena. Nađimo diskriminanta i vidimo za što r poprimit će pozitivne vrijednosti. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vrijednost izraza r2 + 8 pozitivno za svaku stvarnu r, dakle, diskriminant će biti veći od nule za bilo koju realnu r. To znači da će izvorna kvadratna jednadžba imati dva korijena za sve stvarne vrijednosti parametra r.

Sada da vidimo kada će korijeni imati različiti znakovi. To je moguće ako je njihov proizvod negativan. Prema Vietinom teoremu, umnožak korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Sredstva, ispravna odluka bit će te vrijednosti r, za koji je slobodni član r − 1 negativan. Rješavamo linearnu nejednadžbu r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Odgovor: na r< 1 .

Vieta formule

Postoji niz formula koje su primjenjive za izvođenje operacija s korijenima i koeficijentima ne samo kvadratnih, već i kubičnih i drugih vrsta jednadžbi. Zovu se Vieta formule.

Za algebarsku jednadžbu stupnjeva n oblika a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 smatra se da jednadžba ima n pravim korijenima x 1 , x 2 , … , x n, što može uključivati ​​sljedeće:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

Definicija 1

Neka nam Vieta formule pomognu:

• teorem o dekompoziciji polinoma na linearne faktore;
• definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata.

Dakle, polinom a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n i njegovo širenje u linearne faktore oblika a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) su jednaki.

Ako otvorimo zagrade u posljednjem umnošku i izjednačimo odgovarajuće koeficijente, onda ćemo dobiti Vietine formule. Uzimajući n = 2, možemo dobiti Vietinu formulu za kvadratnu jednadžbu: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Definicija 2

Vietina formula za kubičnu jednadžbu:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Lijeva strana Vietinih formula sadrži takozvane elementarne simetrične polinome.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

S ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednadžbu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenjem diskriminanta
- korištenjem Vietinog teorema (ako je moguće).

Štoviše, odgovor se prikazuje točan, a ne približan.
Na primjer, za jednadžbu \(81x^2-16x-1=0\), odgovor je prikazan u ovom obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ umjesto ovoga: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Ovaj program Može biti korisno za srednjoškolce općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo angažirati učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili jednostavno želite to učiniti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Na taj način možete provoditi vlastitu obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, a pritom se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Brojevi se mogu unijeti kao cijeli brojevi ili razlomci.
Štoviše, frakcijski brojevi može se unijeti ne samo kao decimalni, već i kao obični razlomak.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomački dio od cijelog broja može se odvojiti točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može djelovati kao brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojnik je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cjelobrojni dio je odvojen od razlomka ampersandom: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odlučiti

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript vam je onemogućen u pregledniku.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sek...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi naznačiti koji zadatak ti odlučuješ što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njezini korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednadžbi
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ima oblik
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednadžbi a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve se jednadžbe nazivaju kvadratne jednadžbe.

Definicija.
kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c je presjek.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a \neq 0 \), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednadžba.

Imajte na umu da se kvadratna jednadžba naziva i jednadžba drugog stupnja, budući da je njezina lijeva strana polinom drugog stupnja.

Kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent pri x 2 jednak 1 se zove reducirana kvadratna jednadžba. Na primjer, dane kvadratne jednadžbe su jednadžbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c nula, tada se ova jednadžba zove nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednadžbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tri vrste:
1) ax 2 +c=0, gdje je \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje je \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Razmotrimo rješenje jednadžbi svake od ovih vrsta.

Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), njen slobodni član se prenosi na desnu stranu i oba dijela jednadžbe dijele se s a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Strelica desno x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Budući da je \(c \neq 0 \), onda \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako je \(-\frac(c)(a)>0 \), tada jednadžba ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) faktorizirajte njenu lijevu stranu i dobijete jednadžbu
\(x(ax+b)=0 \Strelica desno \lijevo\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \Strelica desno \levo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno. \)

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 \u003d 0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Kvadratnu jednadžbu rješavamo u općem obliku i kao rezultat dobivamo formulu korijena. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednadžbu ax 2 +bx+c=0

Podijelivši oba njegova dijela s a, dobivamo ekvivalentnu reduciranu kvadratnu jednadžbu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Ovu jednadžbu transformiramo isticanjem kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strelica desno \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Strelica desno \levo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Strelica desno \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Strelica desno x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Strelica desno \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Korijenski izraz se zove diskriminanta kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” na latinskom - razlikovač). Označava se slovom D, t.j.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći zapis diskriminanta, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje je \(D= b^2-4ac \)

Očito je da:
1) Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, ovisno o vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili bez korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule , preporučljivo je učiniti sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i usporediti ga s nulom;
2) ako je diskriminant pozitivan ili jednak nuli, onda upotrijebite formulu korijena, ako je diskriminant negativan, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadana kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbroj korijena je 7, a umnožak je 10. Vidimo da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu, uzetom s suprotan predznak, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Svaka redukovana kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.

Zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom s suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Oni. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\lijevo\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)

Prije nego pređemo na Vietin teorem, uvodimo definiciju. Kvadratna jednadžba oblika x² + px + q= 0 naziva se smanjenim. U ovoj jednadžbi vodeći koeficijent jednako jednom. Na primjer, jednadžba x² - 3 x- 4 = 0 se smanjuje. Bilo koja kvadratna jednadžba oblika sjekira² + b x + c= 0 može se smanjiti, za to podijelimo obje strane jednadžbe sa a≠ 0. Na primjer, jednadžba 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 podijeljeno s 4 svodi se na oblik: x² + x- 3/4 = 0. Izvodimo formulu za korijene dane kvadratne jednadžbe, za to koristimo formulu za korijene kvadratne jednadžbe opći pogled: sjekira² + bx + c = 0

Reducirana jednadžba x² + px + q= 0 podudara se s općom jednadžbom u kojoj a = 1, b = str, c = q. Stoga, za danu kvadratnu jednadžbu, formula ima oblik:

posljednji izraz naziva se formulom korijena reducirane kvadratne jednadžbe, posebno je prikladno koristiti ovu formulu kada R — Parni broj. Na primjer, riješimo jednadžbu x² - 14 x — 15 = 0

Kao odgovor, pišemo da jednadžba ima dva korijena.

Za reduciranu kvadratnu jednadžbu s pozitivnom vrijedi sljedeći teorem.

Vietin teorem

Ako je a x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe x² + px + q= 0, tada su formule važeće:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, odnosno zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom s suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Na temelju formule korijena gornje kvadratne jednadžbe imamo:

Zbrajanjem ovih jednakosti dobivamo: x 1 + x 2 = —R.

Množenjem ovih jednakosti, koristeći formulu razlike kvadrata, dobivamo:

Imajte na umu da je Vietin teorem također valjan kada je diskriminant nula, ako pretpostavimo da u ovom slučaju kvadratna jednadžba ima dva identična korijena: x 1 = x 2 = — R/2.

Ne rješavanje jednadžbi x² - 13 x+ 30 = 0 pronađite zbroj i umnožak njegovih korijena x 1 i x 2. ovu jednadžbu D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, tako da možete primijeniti Vietin teorem: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Razmotrite još nekoliko primjera. Jedan od korijena jednadžbe x² — px- 12 = 0 je x 1 = 4. Pronađite koeficijent R i drugi korijen x 2 ove jednadžbe. Prema Vietinom teoremu x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Kao x 1 = 4 pa 4 x 2 = - 12, odakle x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Kao odgovor, zapisujemo drugi korijen x 2 = - 3, koeficijent p = - 1.

Ne rješavanje jednadžbi x² + 2 x- 4 = 0 pronađite zbroj kvadrata njegovih korijena. Neka bude x 1 i x 2 su korijeni jednadžbe. Prema Vietinom teoremu x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Kao x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, dakle x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) = 12.

Pronađite zbroj i umnožak korijena jednadžbe 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Ova jednadžba ima dva različita korijena, budući da je diskriminanta D= 16 + 4*3*5 > 0. Za rješavanje jednadžbe koristimo se Vietin teorem. Ovaj teorem je dokazan za reduciranu kvadratnu jednadžbu. Stoga se dijelimo zadana jednadžba na 3.

Dakle, zbroj korijena je -4/3, a njihov umnožak je -5/3.

Općenito, korijeni jednadžbe sjekira² + b x + c= 0 povezani su sljedećim jednakostima: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Da bismo dobili ove formule, dovoljno je obje strane ove kvadratne jednadžbe podijeliti s a ≠ 0 i primijeniti Vietin teorem na rezultirajuću reduciranu kvadratnu jednadžbu. Razmotrimo primjer, morate sastaviti danu kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni x 1 = 3, x 2 = 4. Kao x 1 = 3, x 2 = 4 su korijeni kvadratne jednadžbe x² + px + q= 0, tada prema Vietinom teoremu R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Kao odgovor pišemo x² - 7 x+ 12 = 0. U rješavanju nekih zadataka koristi se sljedeći teorem.

Teorem inverzan Vietinom teoremu

Ako brojevi R, q, x 1 , x 2 su takvi da x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, onda x 1 i x2 su korijeni jednadžbe x² + px + q= 0. Zamjena u lijevoj strani x² + px + q umjesto R izraz - ( x 1 + x 2), ali umjesto toga q- rad x 1 * x 2 . dobivamo: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Dakle, ako su brojevi R, q, x 1 i x 2 su povezani ovim odnosima, onda za sve x jednakost x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), iz čega proizlazi da x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe x² + px + q= 0. Koristeći teorem suprotan Vietinom teoremu, ponekad je moguće izborom pronaći korijene kvadratne jednadžbe. Razmotrimo primjer, x² - 5 x+ 6 = 0. Ovdje R = — 5, q= 6. Odaberite dva broja x 1 i x 2 tako da x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Primjećujući da je 6 = 2 * 3 i 2 + 3 = 5, prema teoremu obrnutom Vietinom teoremu, dobivamo da x 1 = 2, x 2 = 3 - korijeni jednadžbe x² - 5 x + 6 = 0.

Vietin teorem

Neka i označimo korijene reducirane kvadratne jednadžbe
(1) .
Tada je zbroj korijena jednak koeficijentu pri uzetom s suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednak je slobodnom članu:
;
.

Napomena o više korijena

Ako je diskriminant jednadžbe (1) nula, tada ova jednadžba ima jedan korijen. Ali, kako bi se izbjegle glomazne formulacije, općenito je prihvaćeno da u ovom slučaju jednadžba (1) ima dva višestruka ili jednaka korijena:
.

Dokaz jedan

Nađimo korijene jednadžbe (1). Da biste to učinili, primijenite formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
;
;
.

Pronalaženje zbroja korijena:
.

Da bismo pronašli proizvod, primjenjujemo formulu:
.
Zatim

.

Teorem je dokazan.

Dokaz dva

Ako su brojevi i korijeni kvadratne jednadžbe (1), onda
.
Otvaramo zagrade.

.
Dakle, jednadžba (1) će poprimiti oblik:
.
Uspoređujući s (1) nalazimo:
;
.

Teorem je dokazan.

Inverzni Vietin teorem

Neka postoje proizvoljni brojevi. Tada su i korijeni kvadratne jednadžbe
,
gdje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietinog obrnutog teorema

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu
(1) .
Moramo dokazati da ako i , Tada i su korijeni jednadžbe (1).

Zamijenite (2) i (3) u (1):
.
Grupiramo članove lijeve strane jednadžbe:
;
;
(4) .

Zamjena u (4):
;
.

Zamjena u (4):
;
.
Jednadžba je ispunjena. Odnosno, broj je korijen jednadžbe (1).

Teorem je dokazan.

Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu

Sada razmotrite kompletnu kvadratnu jednadžbu
(5) ,
gdje , i su neki brojevi. i .

Jednadžbu (5) dijelimo sa:
.
To jest, dobili smo gornju jednadžbu
,
gdje ; .

Tada Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu ima sljedeći oblik.

Neka i označimo korijene potpune kvadratne jednadžbe
.
Tada se zbroj i umnožak korijena određuju formulama:
;
.

Vietin teorem za kubičnu jednadžbu

Slično, možemo uspostaviti veze između korijena kubične jednadžbe. Razmotrimo kubičnu jednadžbu
(6) ,
gdje su , , , neki brojevi. i .
Podijelimo ovu jednadžbu sa:
(7) ,
gdje , , .
Neka su , , korijeni jednadžbe (7) (i jednadžbe (6)). Zatim

.

Uspoređujući s jednadžbom (7) nalazimo:
;
;
.

Vietin teorem za jednadžbu n-tog stupnja

Na isti se način mogu pronaći veze između korijena , , ... , , za jednadžbu n-ti stupanj
.

Vietin teorem za n-ta jednadžba stupanj ima sljedeći oblik:
;
;
;

.

Da bismo dobili ove formule, zapisujemo jednadžbu u sljedećem obliku:
.
Zatim izjednačavamo koeficijente na , , , ... , i uspoređujemo slobodni pojam.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov i dr., Algebra: udžbenik za 8. razred obrazovne ustanove, Moskva, Obrazovanje, 2006.

Vietin teorem - ovaj koncept poznat je gotovo svima iz školskih dana. Ali je li to stvarno "poznato"? Malo ljudi naiđe na to Svakidašnjica. Ali ne svi oni koji se bave matematikom ponekad u potpunosti razumiju duboko značenje i veliko značenje ovog teorema.

Vietin teorem uvelike olakšava proces rješavanja ogromnog broja matematičkih problema, koji se u konačnici svode na rješavanje:

Shvativši značenje tako jednostavnog i učinkovitog matematičkog alata, nehotice se razmišlja o osobi koja ga je prva otkrila.

Poznati francuski znanstvenik koji je započeo svoju radna aktivnost poput odvjetnika. No, očito je matematika bila njegov poziv. Dok je bio u kraljevskoj službi kao savjetnik, postao je poznat po tome što je mogao pročitati presretnutu šifriranu poruku španjolskog kralja Nizozemskoj. To je francuskom kralju Henriku III dalo priliku da sazna za sve namjere svojih protivnika.

Postupno se upoznavajući s matematičkim znanjem, Francois Viet je došao do zaključka da mora postojati tijesna veza između najnovijih istraživanja "algebraista" tog vremena i dubokog geometrijskog naslijeđa starih ljudi. Tijekom znanstvenog istraživanja razvio je i formulirao gotovo cijelu elementarnu algebru. Bio je prvi koji je u matematički aparat uveo upotrebu doslovnih vrijednosti, jasno razlikovajući pojmove: broj, veličinu i njihove odnose. Viet je dokazao da je izvođenjem operacija u simboličkom obliku moguće riješiti problem za opći slučaj, za gotovo svaku vrijednost zadanih veličina.

Njegovo istraživanje za rješavanje jednadžbi viših stupnjeva od drugog rezultiralo je teoremom koji je danas poznat kao generalizirani Vietin teorem. Od velike je praktične važnosti, a njegova primjena omogućuje brzo rješavanje jednadžbi višeg reda.

Jedno od svojstava ovog teorema je sljedeće: umnožak svih n-tih potencija jednak je njegovom konstantnom članu. Ovo svojstvo se često koristi pri rješavanju jednadžbi trećeg ili četvrtog stupnja kako bi se smanjio red polinoma. Ako polinom n-tog stupnja ima cjelobrojne korijene, onda se oni mogu lako odrediti jednostavnim odabirom. A onda nakon dijeljenja polinoma izrazom (x-x1), dobivamo polinom (n-1)-ti stupanj.

Na kraju želim napomenuti da je Vietin teorem jedan od najpoznatijih teorema školskog tečaja algebre. I njegovo ime zauzima dostojno mjesto među imenima velikih matematičara.