Vodeći koeficijent kvadratne jednadžbe. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *Dalje u tekstu "KU". Prijatelji, čini se da u matematici to može biti lakše od rješavanja takve jednadžbe. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam vidjeti koliko pojavljivanja Yandex daje po zahtjevu mjesečno. Evo što se dogodilo, pogledajte:

Što to znači? To znači da mjesečno traži oko 70.000 ljudi ova informacija, kakve veze ovo ljeto ima i što će se dogoditi među Školska godina- zahtjevi će biti duplo veći. To nije iznenađujuće, jer oni dečki i djevojke koji su već odavno završili školu i spremaju se za ispit traže te podatke, a i školarci pokušavaju osvježiti pamćenje.

Unatoč činjenici da postoji mnogo stranica koje govore kako riješiti ovu jednadžbu, odlučio sam također doprinijeti i objaviti materijal. Prvo, želim da posjetitelji dođu na moju stranicu na ovaj zahtjev; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi govor “KU”, dat ću poveznicu na ovaj članak; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Započnimo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

gdje su koeficijenti a,bi s proizvoljnim brojevima, s a≠0.

U školskom kolegiju gradivo se daje u sljedećem obliku - uvjetno se vrši podjela jednadžbi u tri razreda:

1. Imati dva korijena.

2. * Imati samo jedan korijen.

3. Nemati korijena. Ovdje je vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule moraju se znati napamet.

Možete odmah zapisati i riješiti:

Primjer:

1. Ako je D > 0, tada jednadžba ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, tada jednadžba ima jedan korijen.

3. Ako je D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednadžbu:

Po ovom prilikom kada diskriminant nula, školski tečaj kaže da se dobiva jedan korijen, ovdje je jednak devet. Tako je, tako je, ali...

Ovaj prikaz je donekle netočan. Zapravo, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispada dva jednak korijen, a da budemo matematički precizni, u odgovoru treba napisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete zapisati i reći da postoji samo jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne izdvaja, pa u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Evo kako rješenje izgleda geometrijski. To je iznimno važno razumjeti (u budućnosti ćemo, u jednom od članaka, detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednadžbe).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c - zadane brojeve, gdje je a ≠ 0

Graf je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe s "y" jednakim nuli, nalazimo točke presjeka parabole s x-osi. Mogu postojati dvije od ovih točaka (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) ili nijedna (diskriminanta je negativna). Pojedinosti o kvadratna funkcija Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Razmotrimo primjere:

Primjer 1: Odlučite se 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Mogli biste odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednadžbe s 2, odnosno pojednostaviti je. Izračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odlučiti x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dopušteno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odlučiti x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Znate li išta o kompleksnim brojevima? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i nužnost u matematici, to je tema za veliki poseban članak.

Pojam kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi je JEDAN BROJ, a ne zbrajanje.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednadžbu:

Dobiti dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent "b" ili "c" jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Lako se rješavaju bez ikakvih diskriminanata.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednadžba ima oblik:

transformirajmo:

Primjer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednadžba ima oblik:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja omogućuju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a + b+ c = 0, zatim

— ako za koeficijente jednadžbe ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a+ sa =b, zatim

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbroj koeficijenata je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, dakle

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost a+ sa =b, sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je brojčano jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je brojčano jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx - c = 0 koeficijent "b" jednako (a 2 – 1), i koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu "a", tada su mu korijeni jednaki

sjekira 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 - 1), a koeficijent c je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietin teorem.

Vietin teorem je dobio ime po slavnom francuskom matematičaru Francoisu Vieti. Koristeći Vietin teorem, može se izraziti zbroj i umnožak korijena proizvoljnog KU u terminima njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

U zbroju, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazani teorem, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Štoviše, Vietin teorem. zgodno jer se nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajen način (kroz diskriminanta) mogu provjeriti rezultirajući korijeni. Preporučam da to radite cijelo vrijeme.

NAČIN PRIJENOSA

Ovom metodom koeficijent "a" množi se slobodnim pojmom, kao da se "prenosi" na njega, zbog čega se naziva način prijenosa. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe pomoću Vietinog teorema i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Ako je a a± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2x 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => x 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Prema Vietinom teoremu u jednadžbi (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Dobiveni korijeni jednadžbe moraju se podijeliti s 2 (budući da su dva "izbačena" iz x 2), dobivamo

x 1 = 5 x 2 \u003d 0,5.

Što je obrazloženje? Vidi što se događa.

Diskriminante jednadžbi (1) i (2) su:

Ako pogledate korijene jednadžbi, onda se dobivaju samo različiti nazivnici, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu na x 2:

Drugi (modificirani) korijeni su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako bacamo trojku, onda rezultat dijelimo s 3 i tako dalje.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-ie i ispit.

Reći ću ukratko o njegovoj važnosti – TREBA DA ODLUČITI brzo i bez razmišljanja, potrebno je napamet znati formule korijena i diskriminanta. Mnogi zadaci koji su dio zadataka USE svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući i geometrijske).

Što je vrijedno pažnje!

1. Oblik jednadžbe može biti "implicitan". Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (kako se ne biste zbunili pri rješavanju).

2. Zapamtite da je x nepoznata vrijednost i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

Nepotpuna kvadratna jednadžba razlikuje se od klasičnih (potpunih) jednadžbi po tome što su njeni faktori ili slobodni član jednaki nuli. Graf takvih funkcija su parabole. Ovisno o općem izgledu, dijele se u 3 skupine. Principi rješavanja svih vrsta jednadžbi su isti.

Nema ništa teško odrediti vrstu nepotpunog polinoma. Najbolje je razmotriti glavne razlike u ilustrativnim primjerima:

1. Ako je b = 0, onda je jednadžba ax 2 + c = 0.
2. Ako je c = 0, tada treba riješiti izraz ax 2 + bx = 0.
3. Ako je b = 0 i c = 0, tada polinom postaje jednakost tipa ax 2 = 0.

Potonji slučaj je više teoretska mogućnost i nikada se ne pojavljuje u testovima znanja, budući da je jedina prava vrijednost x u izrazu nula. U budućnosti će se razmatrati metode i primjeri rješavanja nepotpunih problema. kvadratne jednadžbe 1) i 2) vrste.

Opći algoritam za pronalaženje varijabli i primjera s rješenjem

Bez obzira na vrstu jednadžbe, algoritam rješenja svodi se na sljedeće korake:

1. Dovedite izraz u oblik prikladan za pronalaženje korijena.
2. Napravite izračune.
3. Zapišite odgovor.

Nepotpune jednadžbe je najlakše riješiti faktoringom lijeve strane i ostavljanjem nule na desnoj strani. Dakle, formula za nepotpunu kvadratnu jednadžbu za pronalaženje korijena svodi se na izračunavanje vrijednosti x za svaki od faktora.

Možete naučiti kako riješiti samo u praksi, pa razmislite konkretan primjer pronalaženje korijena nepotpune jednadžbe:

Kao što vidite, u ovom slučaju je b = 0. Faktoriziramo lijevu stranu i dobijemo izraz:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Očito je proizvod jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Slične zahtjeve ispunjavaju vrijednosti varijable x1 = 0,5 i (ili) x2 = -0,5.

Kako bi se lako i brzo nosili sa zadatkom razgradnje kvadratni trinom množitelja, trebali biste zapamtiti sljedeću formulu:

Ako u izrazu nema slobodnog pojma, zadatak je uvelike pojednostavljen. Bit će dovoljno samo pronaći i izvaditi zajednički nazivnik. Radi jasnoće, razmotrite primjer kako riješiti nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax2 + bx = 0.

Izvadimo varijablu x iz zagrada i dobijemo sljedeći izraz:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Na temelju logike zaključujemo da je x1 = 0 i x2 = -3.

Tradicionalni način rješavanja i nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Što će se dogoditi ako primijenimo diskriminantnu formulu i pokušamo pronaći korijene polinoma, s koeficijentima jednakim nuli? Uzmimo primjer iz zbirke tipičnih zadataka za Jedinstveni državni ispit iz matematike 2017. godine, riješit ćemo ga standardnim formulama i metodom faktorizacije.

7x 2 - 3x = 0.

Izračunajte vrijednost diskriminanta: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Ispada da polinom ima dva korijena:

Sada riješite jednadžbu faktoringom i usporedite rezultate.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Kao što vidite, obje metode daju isti rezultat, ali se drugi način rješavanja jednadžbe pokazao mnogo lakšim i bržim.

Vietin teorem

Ali što učiniti s voljenim Vietinim teoremom? Može li se ova metoda primijeniti s nepotpunim trinomom? Pokušajmo razumjeti aspekte svođenja nepotpunih jednadžbi na klasični oblik ax2 + bx + c = 0.

Zapravo je u ovom slučaju moguće primijeniti Vietin teorem. Potrebno je samo dovesti izraz u opći oblik, zamjenjujući pojmove koji nedostaju nulom.

Na primjer, uz b = 0 i a = 1, kako bi se otklonila mogućnost zabune, zadatak treba napisati u obliku: ax2 + 0 + c = 0. Tada je omjer zbroja i umnoška korijena i faktori polinoma mogu se izraziti na sljedeći način:

Teorijski izračuni pomažu da se upoznate sa suštinom problema i uvijek zahtijevaju razvoj vještina pri rješavanju specifične zadatke. Vratimo se opet priručniku tipičnih zadataka za ispit i pronađimo prikladan primjer:

Zapisujemo izraz u obliku prikladnom za primjenu Vietinog teorema:

x2 + 0 - 16 = 0.

Sljedeći korak je stvaranje sustava uvjeta:

Očito će korijeni kvadratnog polinoma biti x 1 \u003d 4 i x 2 \u003d -4.

Sada, vježbajmo dovođenje jednadžbe u opći oblik. Uzmite sljedeći primjer: 1/4× x 2 – 1 = 0

Da biste primijenili Vietin teorem na izraz, morate se riješiti razlomka. Pomnožite lijevu i desnu stranu sa 4 i pogledajte rezultat: x2 - 4 = 0. Dobivena jednakost spremna je za rješavanje Vietinim teoremom, ali je puno lakše i brže dobiti odgovor jednostavnim prijenosom c = 4 na desnu stranu jednadžbe: x2 = 4.

Sumirajući, treba reći da najbolji način rješenje nepotpunih jednadžbi je faktorizacija, najjednostavniji je i brza metoda. Ako naiđete na poteškoće u procesu pronalaženja korijena, možete se pozvati na tradicionalnu metodu pronalaženja korijena kroz diskriminant.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a*x^2 +b*x+c=0, gdje su a,b,c neki proizvoljni realni (realni) brojevi, a x je varijabla. A broj a nije jednak 0.

Brojevi a,b,c nazivaju se koeficijenti. Broj a - naziva se vodeći koeficijent, broj b je koeficijent na x, a broj c se naziva slobodnim članom. U nekoj literaturi nalaze se i druga imena. Broj a naziva se prvi koeficijent, a broj b drugi koeficijent.

Klasifikacija kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe imaju svoju klasifikaciju.

Po prisutnosti koeficijenata:

1. Pun

2. Nepotpuno

Po vrijednosti koeficijenta najvišeg stupnja nepoznanice(na vrijednost vodećeg koeficijenta):

1. Dano

2. Nije smanjeno

Kvadratna jednadžba naziva potpunim ako sadrži sva tri koeficijenta i oni su različiti od nule. Opći oblik potpuna kvadratna jednadžba: a*x^2 +b*x+c=0;

Kvadratna jednadžba naziva nepotpunim ako je u jednadžbi a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli (b \u003d 0 ili c \u003d 0), međutim, nepotpuna kvadratna jednadžba će također biti jednadžba u kojoj su i koeficijent b i koeficijent c istovremeno jednaki nuli (i b=0 i c=0).

Vrijedi napomenuti da se ovdje ništa ne govori o vodećem koeficijentu, budući da, prema definiciji kvadratne jednadžbe, on mora biti različit od nule.

dano ako je njegov vodeći koeficijent jednako jednom(a=1). Opći prikaz zadane kvadratne jednadžbe: x^2 +d*x+e=0.

Kvadratna jednadžba se zove nesmanjen, ako je vodeći koeficijent u jednadžbi različit od nule. Opći prikaz nereducirane kvadratne jednadžbe: a*x^2 +b*x+c=0.

Treba napomenuti da se svaka nereducirana kvadratna jednadžba može svesti na reduciranu. Da biste to učinili, potrebno je podijeliti koeficijente kvadratne jednadžbe s vodećim koeficijentom.

Kvadratni primjeri

Razmotrimo primjer: imamo jednadžbu 2*x^2 - 6*x+7 =0;

Pretvorimo to u gornju jednadžbu. Vodeći koeficijent je 2. Podijelimo s njim koeficijente naše jednadžbe i zapišimo odgovor.

x^2 - 3*x+3,5 =0;

Kao što ste primijetili, na desnoj strani kvadratne jednadžbe nalazi se polinom drugog stupnja a * x ^ 2 + b * x + c. Također se naziva kvadratni trinom.

Ova se tema u početku može činiti kompliciranom zbog mnogih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se korijeni također nalaze kroz diskriminant. Ukupno postoje tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće tek nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule pamtiti same.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada se najprije napiše najveći stupanj, a zatim - u silaznom redoslijedu. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje jednadžbu prepisati silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedemo notaciju. Oni su prikazani u donjoj tablici.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeći zapis.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Neka je ova formula označena brojem jedan.

Kada je jednadžba data, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

• rješenje će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• Jednadžba uopće nema korijen.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

Zadaci mogu imati različite unose. Ne izgledaju uvijek tako opća formula kvadratna jednadžba. Ponekad će nedostajati neki termini. Ono što je gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći pojam, dobit ćete nešto drugačije. Ti se zapisi nazivaju i kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, mogu nestati samo pojmovi za koje koeficijenti "b" i "c". Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.

Diskriminant i ovisnost broja korijena o njegovoj vrijednosti

Ovaj broj mora biti poznat kako bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti dolje napisanu jednakost, koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različiti znakovi. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednako nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava kompletna kvadratna jednadžba?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminant. Nakon što je pojašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti takvu formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Potpisani izraz korijen je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, tada je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantne i varijabilne formule. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak i nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati one koje su već napisane za diskriminatorno i nepoznato.

Prvo razmotrite nepotpuna jednadžba na broju dva. U ovoj jednadžbi treba izvući nepoznatu vrijednost iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradi. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prijenosom broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim trebate podijeliti s koeficijentom ispred nepoznatog. Ostaje samo izdvojiti kvadratni korijen i ne zaboravite ga dvaput zapisati s suprotnim predznacima.

Sljedeće su neke radnje koje vam pomažu naučiti kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme „Kvadrične jednadžbe (8. razred)“. Nakon toga, ove radnje neće trebati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.

• Najprije trebate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo izraz s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i zadnji - samo broj.

• Ako se ispred koeficijenta "a" pojavi minus, onda to može zakomplicirati rad početniku u proučavanju kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu, sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi pojmovi promijeniti predznak u suprotan.

• Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga je riješena kako je opisano za formulu broj dva.

Nakon zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se pronaći iz Linearna jednadžba: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i ispod, rješenje kvadratnih jednadžbi počet će prepisivanjem u standardni pogled: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme za korištenje drugog koristan savjet i sve pomnoži s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, morate izračunati diskriminanta: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednadžba ima dva korijena. Treba ih izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njen diskriminant jednak je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminant dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, i to: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da morate donijeti slične članove prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon što se prebroje slični članovi, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično je već smatrano malo višim. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ili x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nakon što sam naučio rješavati jednadžbe prvog stupnja, naravno, želim raditi s drugima, posebno s jednadžbama drugog stupnja, koje se inače nazivaju kvadratnim.

Kvadratne jednadžbe su jednadžbe tipa ax² + bx + c = 0, gdje je varijabla x, brojevi će biti - a, b, c, gdje a nije jednako nuli.

Ako je u kvadratnoj jednadžbi jedan ili drugi koeficijent (c ili b) jednak nuli, ta će se jednadžba odnositi na nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu ako su učenici do sada uspjeli riješiti samo jednadžbe prvog stupnja? Razmotrimo nepotpune kvadratne jednadžbe različiti tipovi i jednostavne načine njihove odluke.

a) Ako je koeficijent c jednak 0, a koeficijent b nije jednak nuli, tada se ax ² + bx + 0 = 0 svodi na jednadžbu oblika ax ² + bx = 0.

Za rješavanje takve jednadžbe potrebno je poznavati formulu za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe, koja se sastoji u rastavljanju njezine lijeve strane na faktore i kasnijem korištenju uvjeta da je umnožak jednak nuli.

Na primjer, 5x ² - 20x \u003d 0. Lijevu stranu jednadžbe razlažemo na faktore, dok radimo uobičajeno matematička operacija: uzimanje zajedničkog faktora iz zagrada

5x (x - 4) = 0

Koristimo uvjet da su produkti jednaki nuli.

5 x = 0 ili x - 4 = 0

Odgovor će biti: prvi korijen je 0; drugi korijen je 4.

b) Ako je b \u003d 0, a slobodni član nije jednak nuli, tada se jednadžba ax ² + 0x + c = 0 svodi na jednadžbu oblika ax ² + c = 0. načini: a) razlaganje polinoma jednadžbe na lijevoj strani na faktore ; b) korištenjem svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena. Takva se jednadžba rješava jednom od metoda, na primjer:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odgovor je: prvi korijen je 5/2; drugi korijen je - 5/2.

c) Ako je b jednako 0, a c jednako 0, tada se ax² + 0 + 0 = 0 svodi na jednadžbu oblika ax² = 0. U takvoj jednadžbi, x će biti jednak 0.

Kao što vidite, nepotpune kvadratne jednadžbe mogu imati najviše dva korijena.