C 14 aritmetički kvadratni korijen. Kako ručno pronaći kvadratni korijen broja

Matematika se rodila kada je osoba postala svjesna sebe i počela se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja za mjerenjem, usporedbom, izračunavanjem onoga što vas okružuje je ono što je u osnovi jedne od temeljnih znanosti naših dana. U početku su to bili dijelovi elementarne matematike, koji su omogućili povezivanje brojeva s njihovim fizičkim izrazima, kasnije su se zaključci počeli iznositi samo teoretski (zbog njihove apstraktnosti), ali nakon nekog vremena, kako je rekao jedan znanstvenik, " matematika je dosegla gornju granicu složenosti kada su svi brojevi." Koncept " Korijen"pojavio se u vrijeme kada se mogao lako potkrijepiti empirijskim podacima, nadilazeći ravan proračuna.

Kako je sve počelo

Prvi spomen korijena, koji na ovaj trenutak označen kao √, zabilježen je u spisima babilonskih matematičara, koji su postavili temelje moderne aritmetike. Naravno, malo su nalikovali sadašnjem obliku - znanstvenici tih godina prvi su koristili glomazne tablete. Ali u drugom tisućljeću pr. e. došli su do približne formule izračuna koja je pokazala kako uzeti kvadratni korijen. Fotografija ispod prikazuje kamen na kojem su babilonski znanstvenici uklesali izlazni proces √2, a pokazao se toliko točnim da je neslaganje u odgovoru pronađeno tek na desetom decimalu.

Osim toga, korijen se koristio ako je bilo potrebno pronaći stranicu trokuta, pod uvjetom da su ostale dvije poznate. Pa, kada se rješavaju kvadratne jednadžbe, nema bijega od vađenja korijena.

Uz babilonska djela, predmet članka proučavan je i u kineskom djelu "Matematika u devet knjiga", a stari su Grci došli do zaključka da svaki broj iz kojeg se korijen ne izvlači bez ostatka daje iracionalan rezultat .

Podrijetlo ovog pojma povezano je s arapskim prikazom broja: drevni su znanstvenici vjerovali da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korijena, poput biljke. Na latinskom ova riječ zvuči kao radix (može se pratiti uzorak - sve što ima "korijensko" semantičko opterećenje je suglasno, bilo da se radi o rotkvi ili išijasu).

Znanstvenici sljedećih generacija preuzeli su ovu ideju, označivši je kao Rx. Na primjer, u 15. stoljeću, kako bi naznačili da je kvadratni korijen uzet iz proizvoljnog broja a, napisali su R 2 a. Uobičajeno moderan izgled"krpelj" √ pojavio se tek u 17. stoljeću zahvaljujući Reneu Descartesu.

Naši dani

Matematički, kvadratni korijen od y je broj z čiji je kvadrat y. Drugim riječima, z 2 =y je ekvivalentno √y=z. Međutim, ova je definicija relevantna samo za aritmetički korijen, jer podrazumijeva nenegativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, √y=z, gdje je z veći ili jednak 0.

Općenito, što vrijedi za određivanje algebarskog korijena, vrijednost izraza može biti pozitivna ili negativna. Dakle, zbog činjenice da je z 2 =y i (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ili √y=|z|.

Zbog činjenice da je ljubav prema matematici samo rasla s razvojem znanosti, postoje različite manifestacije vezanosti za nju, koje se ne izražavaju u suhoparnim proračunima. Na primjer, uz takve zanimljive događaje kao što je dan Pi, slave se i praznici kvadratnog korijena. Slave se devet puta u stotinu godina, a određuju se prema sljedećem principu: brojevi koji redom označavaju dan i mjesec moraju biti kvadratni korijen godine. Da, u sljedeći put Ovaj praznik obilježit će se 4. travnja 2016. godine.

Svojstva kvadratnog korijena na polju R

Gotovo svi matematički izrazi imaju geometrijsku osnovu, ova sudbina nije prošla i √y, što je definirano kao stranica kvadrata s površinom y.

Kako pronaći korijen broja?

Postoji nekoliko algoritama izračuna. Najjednostavniji, ali u isto vrijeme prilično glomazan, uobičajeni je aritmetički izračun, koji je sljedeći:

1) od broja čiji korijen trebamo redom se oduzimaju neparni brojevi - sve dok ostatak izlaza ne bude manji od oduzetog ili paran nula. Broj poteza će na kraju postati željeni broj. Na primjer, izračunavanje kvadratnog korijena od 25:

Slijedeći neparan broj je 11, imamo sljedeći ostatak: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takve slučajeve postoji proširenje serije Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , gdje n uzima vrijednosti od 0 do

+∞, i |y|≤1.

Grafički prikaz funkcije z=√y

Razmotrimo elementarnu funkciju z=√y na polju realnih brojeva R, gdje je y veći ili jednak nuli. Njen grafikon izgleda ovako:

Krivulja raste iz ishodišta i nužno prelazi točku (1; 1).

Svojstva funkcije z=√y na polju realnih brojeva R

1. Područje definicije razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).

2. Raspon vrijednosti razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je opet uključena).

3. Funkcija uzima minimalnu vrijednost (0) samo u točki (0; 0). Ne postoji maksimalna vrijednost.

4. Funkcija z=√y nije ni parna ni neparna.

5. Funkcija z=√y nije periodična.

6. Postoji samo jedna točka presjeka grafa funkcije z=√y s koordinatnim osi: (0; 0).

7. Točka presjeka grafa funkcije z=√y također je nula ove funkcije.

8. Funkcija z=√y kontinuirano raste.

9. Funkcija z=√y uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njezin graf zauzima prvi koordinatni kut.

Opcije za prikaz funkcije z=√y

U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik stepena za upisivanje kvadratnog korijena: √y=y 1/2. Ova je opcija prikladna, na primjer, za podizanje funkcije na stepen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ova metoda je također dobar prikaz za diferencijaciju s integracijom, budući da je zahvaljujući njoj kvadratni korijen predstavljen običnom funkcijom stepena.

A u programiranju, zamjena za simbol √ je kombinacija slova sqrt.

Vrijedi napomenuti da je u ovom području kvadratni korijen u velikoj potražnji, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za izračune. Sam algoritam brojanja je dosta kompliciran i temelji se na rekurziji (funkcija koja sama sebe poziva).

Kvadratni korijen u kompleksnom polju C

Uglavnom, upravo je predmet ovog članka potaknuo otkriće polja kompleksnih brojeva C, budući da je matematičare proganjalo pitanje dobivanja korijena parnog stupnja iz negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica i koju karakterizira vrlo zanimljivo svojstvo: kvadrat joj je -1. Zahvaljujući tome, kvadratne jednadžbe i s negativnim diskriminantom dobile su rješenje. U C-u su za kvadratni korijen relevantna ista svojstva kao i u R-u, jedino što se uklanjaju ograničenja na izraz korijena.

U ovom ćemo članku predstaviti koncept korijena broja. Postupit ćemo uzastopno: počet ćemo s kvadratnim korijenom, od njega ćemo prijeći na opis kockasti korijen, nakon toga generaliziramo pojam korijena definiranjem korijena n-tog stupnja. Istovremeno ćemo uvesti definicije, oznake, dati primjere korijena i dati potrebna objašnjenja i komentare.

Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

Da biste razumjeli definiciju korijena broja, a posebno kvadratnog korijena, morate imati . U ovom trenutku često ćemo se susresti s drugom potencijom broja – kvadratom broja.

Počnimo s definicije kvadratnog korijena.

Definicija

Kvadratni korijen od a je broj čiji je kvadrat a .

Kako bi donio primjeri kvadratni korijeni , uzmite nekoliko brojeva, na primjer, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 i kvadrirajte ih, dobivamo brojeve 25 , 0,09 , 0,09 i 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 i 0 2 =0 0=0 ). Zatim, prema gornjoj definiciji, 5 je kvadratni korijen od 25, −0,3 i 0,3 su kvadratni korijeni od 0,09, a 0 je kvadratni korijen od nule.

Treba napomenuti da ni za jedan broj ne postoji a, čiji je kvadrat jednak a. Naime, za bilo koji negativan broj a ne postoje pravi broj b , čiji bi kvadrat bio jednak a . Doista, jednakost a=b 2 je nemoguća za bilo koji negativ a , budući da je b 2 nenegativan broj za bilo koji b . Tako, na skupu realnih brojeva ne postoji kvadratni korijen negativnog broja. Drugim riječima, na skupu realnih brojeva kvadratni korijen negativnog broja nije definiran i nema značenje.

To dovodi do logičnog pitanja: “Postoji li kvadratni korijen od a za bilo koje nenegativno a”? Odgovor je da. Obrazloženje za ovu činjenicu može se smatrati konstruktivnom metodom koja se koristi za pronalaženje vrijednosti kvadratnog korijena.

Tada se postavlja sljedeće logično pitanje: "Koliki je broj svih kvadratnih korijena zadanog nenegativnog broja a - jedan, dva, tri ili čak više"? Evo odgovora na to: ako je a nula, tada je jedini kvadratni korijen od nule nula; ako je a neki pozitivan broj, tada je broj kvadratnih korijena iz broja a jednak dva, a korijeni su . Potkrijepimo ovo.

Počnimo sa slučajem a=0. Najprije pokažimo da je nula doista kvadratni korijen od nule. To proizlazi iz očite jednakosti 0 2 =0·0=0 i definicije kvadratnog korijena.

Dokažimo sada da je 0 jedini kvadratni korijen od nule. Koristimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da postoji neki broj b različit od nule koji je kvadratni korijen od nule. Tada mora biti zadovoljen uvjet b 2 =0, što je nemoguće, budući da je za bilo koji b različit od nule vrijednost izraza b 2 pozitivna. Došli smo do kontradikcije. To dokazuje da je 0 jedini kvadratni korijen od nule.

Prijeđimo na slučajeve gdje je a pozitivan broj. Gore smo rekli da uvijek postoji kvadratni korijen svakog nenegativnog broja, neka je b kvadratni korijen od a. Recimo da postoji broj c , koji je također kvadratni korijen a . Tada, prema definiciji kvadratnog korijena, vrijede jednakosti b 2 =a i c 2 =a, iz čega slijedi da je b 2 −c 2 =a−a=0, ali budući da b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , zatim (b−c) (b+c)=0 . Rezultirajuća jednakost na snazi svojstva radnji s realnim brojevima moguće samo kada je b−c=0 ili b+c=0 . Tako su brojevi b i c jednaki ili suprotni.

Ako pretpostavimo da postoji broj d, koji je drugi kvadratni korijen iz broja a, onda se rasuđivanjem sličnim već navedenim dokazuje da je d jednak broju b ili broju c. Dakle, broj kvadratnih korijena pozitivnog broja je dva, a kvadratni korijeni su suprotni brojevi.

Radi praktičnosti rada s kvadratnim korijenima, negativni korijen je "odvojen" od pozitivnog. U tu svrhu uvodi definicija aritmetičkog kvadratnog korijena.

Definicija

Aritmetički kvadratni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a .

Za aritmetički kvadratni korijen broja a prihvaća se oznaka. Znak se zove aritmetički znak kvadratnog korijena. Naziva se i znakom radikala. Stoga možete djelomično čuti i "korijen" i "radikal", što znači isti objekt.

Broj ispod aritmetičkog znaka kvadratnog korijena naziva se korijenski broj, a izraz pod znakom korijena - radikalan izraz, dok se izraz "radikalni broj" često zamjenjuje "radikalnim izrazom". Na primjer, u zapisu je broj 151 radikalni broj, a u zapisu izraz a je radikalni izraz.

Prilikom čitanja često se izostavlja riječ "aritmetika", na primjer, unos se čita kao "kvadratni korijen od sedam točaka dvadeset i devet stotinki". Riječ "aritmetika" izgovara se samo kada se želi naglasiti da je riječ o pozitivnom kvadratnom korijenu broja.

U svjetlu uvedene oznake, iz definicije aritmetičkog kvadratnog korijena proizlazi da je za bilo koji nenegativni broj a .

Kvadratni korijeni pozitivnog broja a zapisani su pomoću aritmetičkog znaka kvadratnog korijena kao i . Na primjer, kvadratni korijeni od 13 su i . Aritmetički kvadratni korijen od nule je nula, to jest, . Za negativne brojeve a, unosima nećemo pridavati značenje dok ne proučimo kompleksni brojevi. Na primjer, izrazi i su besmisleni.

Na temelju definicije kvadratnog korijena dokazuju se svojstva kvadratnog korijena koja se često koriste u praksi.

Da zaključimo ovaj pododjeljak, napominjemo da su kvadratni korijeni broja rješenja oblika x 2 =a s obzirom na varijablu x .

kockasti korijen od

Definicija kubnog korijena broja a zadan je na sličan način kao i definicija kvadratnog korijena. Samo što se temelji na konceptu kocke broja, a ne kvadrata.

Definicija

Kockasti korijen a naziva se broj čija je kocka jednaka a.

Donesimo primjeri kockastih korijena. Da biste to učinili, uzmite nekoliko brojeva, na primjer, 7 , 0 , −2/3 , i kockirajte ih: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Zatim, na temelju definicije kubnog korijena, možemo reći da je broj 7 kubni korijen od 343, 0 je kubni korijen od nule, a −2/3 je kubni korijen od −8/27.

Može se pokazati da kubni korijen broja a, za razliku od kvadratnog korijena, uvijek postoji, i to ne samo za nenegativan a, već i za svaki realan broj a. Da biste to učinili, možete koristiti istu metodu koju smo spomenuli prilikom proučavanja kvadratnog korijena.

Štoviše, postoji samo jedan kubni korijen zadanog broja a. Dokažimo posljednju tvrdnju. Da biste to učinili, razmotrite tri slučaja odvojeno: a je pozitivan broj, a=0 i a je negativan broj.

Lako je pokazati da za pozitivno a kubni korijen a ne može biti ni negativan ni nula. Doista, neka je b kubni korijen a , tada po definiciji možemo napisati jednakost b 3 =a . Jasno je da ova jednakost ne može vrijediti za minus b i za b=0, budući da će u tim slučajevima b 3 =b·b·b biti negativan broj, odnosno nula. Dakle, kubni korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj.

Pretpostavimo sada da osim broja b postoji još jedan kubni korijen iz broja a, označimo ga c. Tada je c 3 =a. Prema tome, b 3 −c 3 =a−a=0 , ali b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ovo je skraćena formula za množenje razlika kockica), odakle je (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Rezultirajuća jednakost je moguća samo kada je b−c=0 ili b 2 +b c+c 2 =0 . Iz prve jednakosti imamo b=c , a druga jednakost nema rješenja, jer je njezina lijeva strana pozitivan broj za sve pozitivne brojeve b i c kao zbroj tri pozitivna člana b 2 , b c i c 2 . To dokazuje jedinstvenost kubnog korijena pozitivnog broja a.

Za a=0, jedini kubni korijen od a je nula. Doista, ako pretpostavimo da postoji broj b , koji je nenulti kubni korijen od nule, tada mora vrijediti jednakost b 3 =0, što je moguće samo kada je b=0 .

Za negativno a, može se tvrditi slično kao i za pozitivno a. Prvo, pokazujemo da kubni korijen negativnog broja ne može biti jednak ni pozitivnom broju ni nuli. Drugo, pretpostavljamo da postoji drugi kubni korijen negativnog broja i pokazujemo da će se on nužno podudarati s prvim.

Dakle, uvijek postoji kubni korijen bilo kojeg realnog broja a, i to samo jedan.

dajmo definicija aritmetičkog kubnog korijena.

Definicija

Aritmetički kubni korijen nenegativnog broja a naziva se nenegativan broj čija je kocka jednaka a.

Aritmetički kubni korijen nenegativnog broja a označava se kao , znak se naziva znak aritmetičkog kubnog korijena, broj 3 u ovom zapisu naziva se korijenski indikator. Broj pod znakom korijena je korijenski broj, izraz pod znakom korijena je radikalan izraz.

Iako je aritmetički kubni korijen definiran samo za nenegativne brojeve a, također je prikladno koristiti unose u kojima su negativni brojevi ispod predznaka aritmetičkog kubnog korijena. Razumjet ćemo ih na sljedeći način: , gdje je a pozitivan broj. Na primjer, .

O svojstvima kockastih korijena govorit ćemo u općem članku svojstva korijena.

Izračunavanje vrijednosti kubnog korijena naziva se vađenje kubnog korijena, o ovoj radnji govori se u članku vađenje korijena: metode, primjeri, rješenja.

Da zaključimo ovaj pododjeljak, kažemo da je kubni korijen od a rješenje oblika x 3 =a.

N-ti korijen, aritmetički korijen od n

Generaliziramo pojam korijena iz broja – uvodimo određivanje n-tog korijena za n.

Definicija

n-ti korijen od a je broj čiji je n-ti stepen jednak a.

Iz ove definicije jasno je da je korijen prvog stupnja iz broja a sam broj a, budući da smo pri proučavanju stupnja s prirodnim pokazateljem uzeli a 1 = a.

Gore smo razmatrali posebne slučajeve korijena n-tog stupnja za n=2 i n=3 - kvadratni korijen i kubni korijen. To jest, kvadratni korijen je korijen drugog stupnja, a kubni korijen je korijen trećeg stupnja. Za proučavanje korijena n-tog stupnja za n=4, 5, 6, ..., prikladno ih je podijeliti u dvije skupine: prva skupina - korijeni parnih stupnjeva (tj. za n=4, 6 , 8, ...), druga skupina - korijeni neparni stupnjevi (odnosno za n=5, 7, 9, ... ). To je zbog činjenice da su korijeni parnih stupnjeva slični kvadratnom korijenu, a korijeni neparnih stupnjeva slični kubičnom korijenu. Pozabavimo se njima redom.

Počnimo s korijenima, čiji su potenci parni brojevi 4, 6, 8, ... Kao što smo već rekli, slični su kvadratnom korijenu broja a. To jest, korijen bilo kojeg parnog stupnja iz broja a postoji samo za nenegativno a. Štoviše, ako je a=0, tada je korijen a jedinstven i jednak nuli, a ako je a>0, tada postoje dva korijena parnog stupnja iz broja a, i to su suprotni brojevi.

Opravdajmo posljednju tvrdnju. Neka je b korijen parnog stupnja (označavamo ga kao 2 m, gdje je m neki prirodni broj) od broja a. Pretpostavimo da postoji broj c - još 2 m korijen a . Tada je b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ali znamo za oblik b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), zatim (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz ove jednakosti slijedi da je b−c=0 , ili b+c=0 , ili b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prve dvije jednakosti znače da su brojevi b i c jednaki ili su b i c suprotni. A posljednja jednakost vrijedi samo za b=c=0 , budući da njezina lijeva strana sadrži izraz koji nije negativan za bilo koje b i c kao zbroj nenegativnih brojeva.

Što se tiče korijena n-tog stupnja za neparan n, oni su slični kubnom korijenu. To jest, korijen bilo kojeg neparnog stupnja iz broja a postoji za bilo koji realni broj a, a za dati broj a je jedinstven.

Jedinstvenost korijena neparnog stupnja 2·m+1 iz broja a dokazuje se analogijom s dokazom jedinstvenosti kubnog korijena iz a . Samo ovdje umjesto jednakosti a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) jednakost oblika b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Izraz u posljednjoj zagradi može se prepisati kao b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primjer, za m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Kada su oba a i b pozitivni ili oba negativna, njihov je proizvod pozitivan broj, tada je izraz b 2 +c 2 +b·c , koji se nalazi u zagradi najvišeg stupnja ugniježđenja, pozitivan kao zbroj pozitivnih brojevima. Sada, sukcesivno prelazeći na izraze u zagradama prethodnih stupnjeva ugniježđenja, uvjeravamo se da su i oni pozitivni kao zbroji pozitivnih brojeva. Kao rezultat dobivamo da je jednakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 moguće samo kada je b−c=0, odnosno kada je broj b jednak broju c.

Vrijeme je da se pozabavimo zapisom korijena n-tog stupnja. Za ovo je dano određivanje aritmetičkog korijena n-tog stupnja.

Definicija

aritmetički korijen n-ti stepen nenegativnog broja a naziva se nenegativan broj čiji je n-ti stepen jednak a.

Što je kvadratni korijen?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ovaj koncept je vrlo jednostavan. Prirodno, rekao bih. Matematičari pokušavaju pronaći reakciju na svaku akciju. Postoji zbrajanje i postoji oduzimanje. Postoji množenje i postoji dijeljenje. Postoji kvadratura ... Tako da također postoji vađenje kvadratnog korijena! To je sve. Ova radnja ( uzimajući kvadratni korijen) u matematici je označen ovom ikonom:

Sama ikona se zove lijepa riječ "radikal".

Kako izvaditi korijen? Bolje je razmotriti primjeri.

Koliki je kvadratni korijen od 9? I koji će nam broj na kvadrat dati 9? 3 na kvadrat daje nam 9! Oni:

Koliki je kvadratni korijen od nule? Nema problema! Koji broj na kvadrat nula daje? Da, on sam daje nulu! Sredstva:

Zatečen što je kvadratni korijen? Zatim razmatramo primjeri:

Odgovori (u neredu): 6; jedan; 4; devet; 5.

Odlučio? Zaista, puno je lakše!

Ali... Što čovjek učini kad vidi neki zadatak s korijenima?

Osoba počinje žudjeti ... Ne vjeruje u jednostavnost i lakoću korijena. Iako se čini da zna što je kvadratni korijen...

To je zato što je osoba zanemarila nekoliko važnih točaka prilikom proučavanja korijena. Onda se ovi hirovi brutalno osvećuju na testovima i ispitima...

Točka jedan. Korijenje se mora prepoznati iz vida!

Koliki je kvadratni korijen od 49? sedam? Pravo! Kako ste znali da ih je sedam? Na kvadrat sedam i dobio 49? Ispravno! Imajte na umu da izvaditi korijen od 49, morali smo napraviti obrnutu operaciju - kvadrat 7! I pobrinite se da ne propustimo. Ili bi mogli promašiti...

U tome leži poteškoća vađenje korijena. Kvadratura bilo koji broj je moguć bez ikakvih problema. Pomnožite broj sam po sebi u stupcu - i to je sve. Ali za vađenje korijena ne postoji tako jednostavna tehnologija bez problema. račun za pokupiti odgovorite i provjerite je li pogodio na kvadrat.

Ovaj složeni kreativni proces – odabir odgovora – uvelike je pojednostavljen ako ste zapamtiti kvadrati popularnih brojeva. Kao tablica množenja. Ako, recimo, trebate pomnožiti 4 sa 6 - ne zbrajate četiri 6 puta, zar ne? Odgovor se odmah pojavljuje 24. Iako, nemaju ga svi, da...

Za slobodan i uspješan rad s korijenima dovoljno je poznavati kvadrate brojeva od 1 do 20. Štoviše, tamo i leđa. Oni. trebali biste moći lako imenovati i, recimo, 11 na kvadrat i kvadratni korijen od 121. Da biste postigli ovo pamćenje, postoje dva načina. Prvi je naučiti tablicu kvadrata. Ovo će puno pomoći s primjerima. Drugo, odluči se više primjera. Lijepo je zapamtiti tablicu kvadrata.

I bez kalkulatora! Samo za provjeru. Inače ćete nemilosrdno usporiti tijekom ispita...

Tako, što je kvadratni korijen I kako ekstrahirati korijenje- Mislim da je to razumljivo. Sada ćemo saznati IZ ČEGA ih možete izdvojiti.

Točka dva. Root, ne poznajem te!

Iz kojih brojeva možete uzeti kvadratni korijen? Da, gotovo bilo koji. Lakše je razumjeti što Zabranjeno je izvući ih.

Pokušajmo izračunati ovaj korijen:

Da biste to učinili, trebate pokupiti broj koji će nam na kvadrat dati -4. Odabiremo.

Što nije odabrano? 2 2 daje +4. (-2) 2 opet daje +4! To je to... Ne postoje brojevi koji će nam, kada se kvadriraju, dati negativan broj! Iako znam brojke. Ali neću vam reći.) Idite na fakultet i sami saznajte.

Ista priča bit će i s bilo kojim negativnim brojem. Otuda zaključak:

Izraz u kojem je negativan broj ispod predznaka kvadratnog korijena - nema smisla! Ovo je zabranjena operacija. Zabranjeno kao dijeljenje s nulom. Imajte na umu ovu činjenicu! Ili, drugim riječima:

Ne možete izdvojiti kvadratni korijen iz negativnih brojeva!

Ali od svega ostalog – možete. Na primjer, moguće je izračunati

Na prvi pogled, ovo je vrlo teško. Pokupite razlomke, ali kvadratirajte ... Ne brinite. Kada se bavimo svojstvima korijena, takvi će se primjeri svesti na istu tablicu kvadrata. Život će postati lakši!

U redu razlomci. Ali još uvijek nailazimo na izraze poput:

U redu je. Sve isto. Kvadratni korijen od dva je broj koji će nam, kada se kvadrira, dati dvojku. Samo je broj potpuno neparan... Evo ga:

Zanimljivo, ovaj razlomak nikada ne prestaje... Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim. U kvadratnim korijenima to je najčešća stvar. Usput, zato se zovu izrazi s korijenima iracionalno. Jasno je da je pisati takav beskonačan razlomak cijelo vrijeme nezgodno. Stoga, umjesto beskonačnog razlomka, ostavljaju ga ovako:

Ako pri rješavanju primjera dobijete nešto što se ne može izdvojiti, kao što je:

onda ostavljamo tako. Ovo će biti odgovor.

Morate jasno razumjeti što se nalazi ispod ikona

Naravno, ako se uzme korijen broja glatko, nesmetano, morate to učiniti. Odgovor zadatka u obliku npr

sasvim potpun odgovor.

I, naravno, morate znati približne vrijednosti iz pamćenja:

Ovo znanje uvelike pomaže u procjeni situacije u složenim zadacima.

Točka tri. Najlukaviji.

Glavnu zbrku u radu s korijenima donosi upravo ovaj hir. On je taj koji ulijeva povjerenje vlastitim snagama... Pozabavimo se ovim hirom kako treba!

Za početak ponovno izdvajamo kvadratni korijen od njihova četiri. Što, jesam li te već dobio s ovim korijenom?) Ništa, sad će biti zanimljivo!

Koji će broj dati u kvadratu od 4? Pa dva, dva - čujem nezadovoljne odgovore...

Pravo. Dva. Ali također minus dva dat će 4 na kvadrat ... U međuvremenu, odgovor

točan i odgovor

najgrublja greška. Kao ovo.

U čemu je stvar?

Doista, (-2) 2 = 4. I pod definicijom kvadratnog korijena od četiri minus dva sasvim prikladno ... Ovo je također kvadratni korijen od četiri.

Ali! U školskom tečaju matematike uobičajeno je uzeti u obzir kvadratne korijene samo nenegativni brojevi! Tj. nula i sve pozitivno. Čak je skovan i poseban izraz: od broja a- Ovo nenegativni broj čiji je kvadrat a. Negativni rezultati pri vađenju aritmetičkog kvadratnog korijena jednostavno se odbacuju. U školi, svi kvadratni korijeni - aritmetika. Iako se to posebno ne spominje.

Dobro, to je razumljivo. Još je bolje ne petljati se s negativnim rezultatima... Nije još zabuna.

Zabuna počinje kod rješavanja kvadratnih jednadžbi. Na primjer, trebate riješiti sljedeću jednadžbu.

Jednadžba je jednostavna, pišemo odgovor (kako se uči):

Ovaj odgovor (usput rečeno sasvim točan) samo je skraćena oznaka dva odgovori:

Stani stani! Malo više napisao sam da je kvadratni korijen broj stalno nenegativno! A evo jednog od odgovora - negativan! Poremećaj. Ovo je prvi (ali ne i posljednji) problem koji izaziva nepovjerenje u korijene... Hajdemo riješiti ovaj problem. Zapišimo odgovore (čisto radi razumijevanja!) ovako:

Zagrade ne mijenjaju bit odgovora. Upravo sam odvojio zagradama znakovi iz korijen. Sada se jasno vidi da je sam korijen (u zagradama) još uvijek nenegativan broj! A znakovi su rezultat rješavanja jednadžbe. Uostalom, kada rješavamo bilo koju jednadžbu, moramo pisati svi x, koji će, kada se unese u izvornu jednadžbu, dati točan rezultat. Korijen od pet (pozitivan!) je prikladan za našu jednadžbu i s plusom i s minusom.

Kao ovo. Ako ti samo uzmi kvadratni korijen od svega što si ti stalno dobiti jedan nenegativan proizlaziti. Na primjer:

Jer to - aritmetički kvadratni korijen.

Ali ako se odlučite kvadratna jednadžba, tip:

zatim stalno ispada dva odgovor (s plusom i minusom):

Jer je to rješenje jednadžbe.

Nada, što je kvadratni korijen dobro ste shvatili sa svojim bodovima. Sada ostaje saznati što se može učiniti s korijenima, koja su njihova svojstva. A što su to modne i podvodne kutije ... oprostite, kamenje!)

Sve to - u sljedećim lekcijama.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Među brojnim znanjima koja su znak pismenosti, abeceda je na prvom mjestu. Sljedeći, isti element "znaka", su vještine zbrajanja-množenja i, uz njih, ali obrnute po značenju, aritmetičke operacije oduzimanja-dijeljenja. Vještine naučene u dalekom školskom djetinjstvu vjerno služe danju i noću: TV, novine, SMS, I posvuda čitamo, pišemo, brojimo, zbrajamo, oduzimamo, množimo. A, recite mi, jeste li često morali pustiti korijenje u životu, osim na selu? Na primjer, takav zabavan problem, kao, kvadratni korijen iz broja 12345 ... Ima li još baruta u bocama s barutanom? Možemo li to učiniti? Da, nema ništa lakše! Gdje je moj kalkulator ... A bez njega, prsa u ruku, slab?

Prvo, razjasnimo što je to - kvadratni korijen broja. Općenito govoreći, "izvući korijen iz broja" znači izvesti aritmetičku operaciju suprotnu dizanju na stepen - ovdje imate jedinstvo suprotnosti u životnoj primjeni. recimo da je kvadrat množenje broja sam po sebi, tj. kako su učili u školi, X * X = A ili u drugom zapisu X2 = A, a riječima - "X na kvadrat je A". Tada inverzni problem zvuči ovako: kvadratni korijen iz broja A je broj X, koji je, kada je stavljen na kvadrat, jednak A.

Izdvajanje kvadratnog korijena

Iz školskog tečaja aritmetike poznate su metode izračunavanja "u stupcu" koje pomažu u izvođenju bilo kakvih izračuna pomoću prva četiri aritmetičke operacije. Jao... Za kvadrat, i ne samo kvadrat, korijeni takvih algoritama ne postoje. A u ovom slučaju, kako izvući kvadratni korijen bez kalkulatora? Na temelju definicije kvadratnog korijena, postoji samo jedan zaključak - potrebno je odabrati vrijednost rezultata uzastopnim nabrajanjem brojeva čiji se kvadrat približava vrijednosti izraza korijena. Samo i sve! Prije nego što prođe sat ili dva, može se izračunati koristeći poznatu metodu množenja u "stupac", bilo koji kvadratni korijen. Ako imate vještine, par minuta je dovoljno za to. Čak i ne baš napredni korisnik kalkulatora ili osobnog računala to radi u jednom zamahu - napredak.

Ali ozbiljno, izračun kvadratnog korijena često se izvodi tehnikom "topničke vilice": prvo uzimaju broj čiji kvadrat približno odgovara izrazu korijena. Bolje je da je "naš kvadrat" nešto manji od ovog izraza. Zatim ispravljaju broj prema vlastitom shvaćanju vještine, na primjer, pomnože s dva i ... ponovno ga kvadriraju. Ako je rezultat više broja ispod korijena, uzastopno prilagođavajući izvorni broj, postupno se približavajući svom "kolegi" ispod korijena. Kao što vidite - nema kalkulatora, samo mogućnost brojanja "u stupcu". Naravno, postoji mnogo znanstveno obrazloženih i optimiziranih algoritama za izračun kvadratnog korijena, ali za "kućnu upotrebu" gornja tehnika daje 100% povjerenje u rezultat.

Da, skoro sam zaboravio, kako bismo potvrdili našu povećanu pismenost, izračunavamo kvadratni korijen prethodno naznačenog broja 12345. Radimo to korak po korak:

1. Uzmite, čisto intuitivno, X=100. Izračunajmo: X * X = 10000. Intuicija je na vrhu - rezultat je manji od 12345.

2. Pokušajmo, također čisto intuitivno, X = 120. Zatim: X * X = 14400. I opet, s intuicijom, redoslijed - rezultat je više od 12345.

3. Iznad se dobiva "vilica" od 100 i 120. Odaberimo nove brojeve - 110 i 115. Dobivamo, respektivno, 12100 i 13225 - vilica se sužava.

4. Pokušavamo na "možda" X = 111. Dobivamo X * X = 12321. Ovaj broj je već prilično blizu 12345. U skladu s potrebnom točnošću, "uklapanje" se može nastaviti ili zaustaviti na dobivenom rezultatu. To je sve. Kao što je obećano - sve je vrlo jednostavno i bez kalkulatora.

Poprilično povijesti...

Čak su i Pitagorejci, učenici škole i Pitagorini sljedbenici, razmišljali o korištenju kvadratnog korijena, 800. pr. i upravo tu, "naletio" na nova otkrića u području brojeva. A odakle je došlo?

1. Rješenje zadatka s vađenjem korijena, daje rezultat u obliku brojeva nove klase. Nazivali su ih iracionalnim, drugim riječima, "nerazumnim", jer. nisu zapisani kao potpuni broj. Najklasičniji primjer ove vrste je kvadratni korijen od 2. Ovaj slučaj odgovara izračunavanju dijagonale kvadrata sa stranicom jednakom 1 - evo ga, utjecaj pitagorejske škole. Pokazalo se da u trokutu s vrlo specifičnom jediničnom veličinom stranica hipotenuza ima veličinu koja je izražena brojem koji "nema kraja". Tako se u matematici pojavio

2. Poznato je da se pokazalo da je ovaj matematička operacija sadrži još jednu kvaku - izdvajanjem korijena, ne znamo koji kvadrat kojeg broja, pozitivan ili negativan, je korijen izraz. Ova nesigurnost, dvostruki rezultat jedne operacije, zapisuje se.

Proučavanje problema povezanih s ovim fenomenom postalo je smjer u matematici koji se naziva teorija složene varijable, što je od velike praktične važnosti u matematičkoj fizici.

Zanimljivo je da je oznaku korijena - radikalno - u svojoj "Univerzalnoj aritmetici" upotrijebio isti sveprisutni I. Newton, ali točno moderan izgled Korijenski zapis poznat je od 1690. godine iz knjige Francuza Rolla "Vodič kroz algebru".