Числови поредици и начини за тяхното задаване. Задача за практическа работа „Уточняване на числови поредици по различни начини, изчисляване на членове на поредица

В този урок ще започнем изучаването на прогресиите. Тук ще се запознаем с поредицата от числа и как да я настроим.

Първо, припомняме дефиницията и свойствата на функциите на числови аргументи и разглеждаме специален случай на функция, когато x принадлежи на множеството естествени числа. Даваме определение на числова последователност и даваме някои примери. Ще покажем аналитичен начин за определяне на последователност чрез формулата на нейния n-ти член и ще разгледаме няколко примера за определяне и определяне на последователност. След това помислете за словесното и повтарящо се присвояване на последователност.

Тема: Прогресия

Урок: Числова последователности как да го настроите

1. Повторение

Числова последователност, както ще видим, това е специален случай на функция, така че нека си спомним дефиницията на функцията.

Функцията е закон, според който на всяка валидна стойност на аргумент се присвоява уникална стойност на функцията.

Ето примери за известни функции.

Ориз. 1. Графика на функция

Всички стойности са позволени с изключение на 0. Графиката на тази функция е хипербола (виж фиг.1).

2.. Всички стойности са позволени, .

Ориз. 2. Графика на функциите

График квадратична функция- парабола, отбелязани са и характерни точки (виж фиг. 2).

3..

Ориз. 3. Графика на функция

Всички x стойности са позволени. Графиката на линейна функция е права линия (виж фиг. 3).

2. Определение на числова последователност

Ако x приема само естествени стойности (), тогава имаме специален случай, а именно числова последователност.

Припомнете си, че естествените числа са 1, 2, 3, …, n, …

Функцията , където , се нарича функция на естествен аргумент или числова последователност и се обозначава по следния начин: или , или .

Нека обясним какво означава, например, нотацията.

Това е стойността на функцията, когато n=1, т.е.

Това е стойността на функцията, когато n=2 т.е. и т.н.

Това е стойността на функцията, когато аргументът е n, т.е.

3. Примерни последователности

1. е общият термин формула. Задаваме различни стойности на n, получаваме различни стойности на y - членове на последователността.

Когато n=1; , когато n=2 и т.н., .

Числата са членове на дадена последователност и точки лежат върху хиперболата - графиката на функцията (виж фиг. 4).

Ориз. 4. Графика на функциите

Ако n=1, тогава ; ако n=2, тогава ; ако n=3, тогава и т.н.

Числата са членове на дадена последователност, а точките лежат върху парабола - графиката на функция (виж фиг. 5).

Ориз. 5. Графика на функциите

Ориз. 6. Графика на функциите

Ако n=1, тогава ; ако n=2 тогава ; ако n=3 тогава и т.н.

Числа са членове на дадена последователност, а точките лежат на права линия - графиката на функцията (виж фиг. 6).

4. Аналитичен метод за определяне на последователността

Има три начина за определяне на последователности: аналитични, вербални и повтарящи се. Нека разгледаме всеки един от тях подробно.

Последователността се дава аналитично, ако е дадена формулата на нейния n-ти член.

Нека разгледаме няколко примера.

1. Намерете няколко члена на последователността, която се дава от формулата на n-ия член: (аналитичен начин за определяне на последователността).

Решение. Ако n=1, тогава ; ако n=2, тогава ; ако n=3 тогава и т.н.

За дадена последователност намираме и .

.

.

2. Разгледайте последователността, дадена от формулата на n-ия член: (аналитичен начин за определяне на последователността).

Нека намерим няколко члена на тази последователност.

Ако n=1, тогава ; ако n=2 тогава ; ако n=3 тогава и т.н.

Като цяло не е трудно да се разбере, че членовете на тази последователност са онези числа, които, разделени на 4, дават остатък от 1.

а. За дадена последователност намерете .

решение: . Отговор: .

б. Дадени са две числа: 821, 1282. Членове ли са тези числа на дадената последователност?

За да може числото 821 да бъде член на поредицата, е необходимо равенството: или . Последното равенство е уравнение за n. Ако решението дадено уравнениее естествено число, тогава отговорът е да.

В този случай е така. .

Отговор: да, 821 е член на дадената последователност, .

Да преминем към второто число. Подобни разсъждения ни водят до решението на уравнението: .

Отговор: тъй като n не е естествено число, числото 1282 не е член на дадената последователност.

Формулите, които аналитично дефинират последователност, могат да бъдат много различни: прости, сложни и т.н. Изискването за тях е едно и също: всяка стойност на n трябва да съответства на едно число.

3. Дадена: последователността е дадена със следната формула.

Намерете първите три члена на поредицата.

, , .

Отговор: , , .

4. Числата членове ли са на поредицата?

а. , т.е. Решавайки това уравнение, получаваме това. Това е естествено число.

Отговор: първото дадено число е член на тази поредица, а именно нейният пети член.

б. , т.е. Решавайки това уравнение, получаваме това. Това е естествено число.

Отговор: второто дадено число също е член на тази поредица, а именно нейният деветдесет и девет член.

5. Словесен начин на задаване на последователността

Разгледахме аналитичен начин за определяне на числова последователност. Той е удобен, често срещан, но не единствен.

Следващият начин е устно присвояване на последователността.

Последователността, всеки от нейните членове, възможността за изчисляване на всеки от нейните членове могат да бъдат посочени с думи, а не непременно с формули.

Пример 1Поредица от прости числа.

Припомнете си, че простото число е естествено число, което има точно два различни делителя: 1 и самото число. Простите числа са 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т.н.

Има безброй от тях. Евклид също доказа, че последователността от тези числа е безкрайна, тоест няма най-голямо просто число. Последователността е дадена, всеки термин може да бъде изчислен, досаден, но може да бъде изчислен. Тази последователност се дава устно. За съжаление формулите не са налични.

Пример 2Помислете за числото =1,41421...

Това е ирационално число, неговата десетична нотация осигурява безкраен брой цифри. Нека разгледаме последователност от десетични приближения на число по недостатък: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142; и т.н.

Има безкраен брой членове на тази последователност, всеки от тях може да бъде изчислен. Невъзможно е да се зададе тази последователност с формула, затова я описваме устно.

6. Рекурсивен начин за определяне на последователност

Разгледахме два начина за определяне на числова последователност:

1. Аналитичен метод, когато е дадена формулата на n-ия член.

2. Словесно присвояване на последователността.

И накрая, има повтаряща се последователност, когато са дадени правилата за изчисляване на n-ия член от предишните термини.

Обмисли

Пример 1Последователност на Фибоначи (13 век).

История справка:

Леонардо от Пиза (около 1170 г., Пиза - около 1250 г.) - първият голям математик средновековна Европа. Той е най-известен с прякора Фибоначи.

Голяма част от това, което е научил, той изложи в своята изключителна Книга на Abacus (Liber abaci, 1202; до днес е оцелял само допълненият ръкопис от 1228). Тази книга съдържа почти цялата аритметична и алгебрична информация от онова време, представена с изключителна пълнота и дълбочина. „Книгата на сметалата” се издига рязко над европейската аритметична и алгебрична литература от 12-14 век. разнообразието и силата на методите, богатството на задачите, доказателствата на представянето. Следващите математици широко черпят от него както проблеми, така и методи за решаването им. Според първата книга много поколения европейски математици са изучавали индийската позиционна бройна система.

Дадени са първите два члена и всеки следващ член е сумата от предходните два

един; един; 2; 3; 5; осем; тринадесет; 21; 34; 55; ... са първите няколко члена на последователността на Фибоначи.

Тази последователност се дава рекурсивно, n-ти члензависи от предишните две.

Пример 2

В тази последователност всеки следващ член е по-голям от предишния с 2. Такава последователност се нарича аритметична прогресия.

Числата 1, 3, 5, 7... са първите няколко члена на тази поредица.

Нека дадем още един пример за повтарящо се присвояване на последователност.

Пример 3

Последователността е дадена, както следва:

Всеки следващ член от тази последователност се получава чрез умножаване на предишния член по същото число q. Такава последователност има специално име - геометрична прогресия. Аритметичните и геометричните прогресии ще бъдат обект на нашето изследване в следващите уроци.

Нека намерим някои членове на посочената последователност при b=2 и q=3.

Числа 2; 6; осемнадесет; 54; 162 ... са първите няколко члена на тази поредица.

Интересното е, че тази последователност може да бъде определена и аналитично, т.е. можете да изберете формула. В този случай формулата ще бъде както следва.

Наистина: ако n=1, тогава ; ако n=2, тогава ; ако n=3 тогава и т.н.

По този начин заявяваме, че една и съща последователност може да бъде дадена както аналитично, така и периодично.

7. Резюме на урока

И така, разгледахме какво е числова последователност и как да я зададем.

В следващия урок ще се запознаем със свойствата на числовите поредици.

1. Макаричев Ю. Н. и др. Алгебра 9 клас (учебник за средно училище).-М.: Образование, 1992г.

2. Макаричев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра за 9 клас със задълбочаване. проучване математика.-М.: Мнемозина, 2003г.

3. Макаричев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Допълнителни глави към училищния учебник по алгебра 9 клас.-М .: Образование, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Сборник от задачи по алгебра за 8-9 клас ( урокза ученици от училища и паралелки с задълбочаване. проучване математика).-М.: Образование, 1996.

5. Мордкович A. G. Алгебра 9 клас, учебник за общообразователни институции. - М.: Мнемозина, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Алгебра 9 клас, проблемна книга за образователни институции. - М.: Мнемозина, 2002.

7. Glazer G.I. История на математиката в училище. 7-8 клас (ръководство за учители).-М.: Просвещение, 1983.

1. Колежска секция. ru по математика.

2. Портал за природни науки.

3. Експоненциална. ru Образователен математически сайт.

1. № 331, 335, 338 (Макаричев Ю. Н. и др. Алгебра 9 клас).

2. No 12.4 (Галицки М. Л., Голдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задачи по алгебра за 8-9 клас).

алгебра. 9 клас
Урок №32
Датата:_____________
Учител: Горбенко Алена Сергеевна
Тема: Числова последователност, начини за нейното задаване и свойства
Тип урок: комбиниран
Целта на урока: да се даде понятието и дефиницията на числова последователност, да се разгледат начините
присвояване на числови поредици
задачи:
Образователна: да запознае учениците с понятието числова последователност и член
числова последователност; запознайте се с аналитични, вербални, повтарящи се и
графични начини за задаване на числова последователност; помислете за видовете числа
последователности; подготовка за EAEA;
Развиващи: развитие на математическа грамотност, мислене, техники за изчисление, умения
сравнения при избор на формула; възпитаване на интерес към математиката;
Образователна: възпитание на умения за самостоятелна дейност; яснота и
организация в работата; дават възможност на всеки ученик да успее;
Оборудване: Училищни пособия, черна дъска, тебешир, учебник, раздаващи материали.
По време на занятията
аз Организиране на времето
 Взаимен поздрав;
 Оправяне на отсъстващи;
 Обявяване на темата на урока;
 Поставяне на цели и задачи на урока от учениците.
Последователността е едно от най-основните понятия в математиката. Последователността може
да бъдат съставени от числа, точки, функции, вектори и т.н.
Днес в урока ще се запознаем с понятието "числова последователност", ще разберем какво
може да има поредици, нека се запознаем с известните поредици.

II. Актуализиране на основни знания.
Знаете ли функции, дефинирани върху цялата числова права или върху нейната непрекъсната
III.
интервали:
линейна функция y \u003d kx + v,
квадратична функция y \u003d ax2 + inx + c,


 функция y =



 функция y = |x|.
Подготовка за възприемане на нови знания
пряка пропорционалност y = kx,
обратна пропорционалност y \u003d k / x,
кубична функция y = x3,
,
Но има функции, дефинирани в други набори.
Пример. Много семейства имат обичай, един вид ритуал: на рождения ден на дете
родителите го водят каса на вратаи тържествено да отпразнуват израстването на рожденика на него.
Детето расте, а с годините на косика се появява цяла стълба от белези. Три, пет, две: Това е
последователност на растеж от година на година. Но има и друга последователност, а именно
членовете му са внимателно изписани до серифите. Това е последователност от стойности на растежа.
Двете последователности са свързани една с друга.
Вторият се получава от първия чрез добавяне.
Растежът е сборът от печалбите за всички предходни години.
Помислете за още няколко въпроса.
Задача 1. В склада има 500 т въглища, всеки ден се доставят 30 т. Колко въглища ще бъдат
на склад за 1 ден? 2 ден? 3 ден? Ден 4? Ден 5?
(Отговорите на учениците са записани на дъската: 500, 530, 560, 590, 620).
Задача 2. През периода на интензивен растеж човек расте средно с 5 см годишно. Сега се издига
ученикът С. е 180 см. Колко ще бъде висок през 2026 г.? (2м 30см). Но това не трябва да бъде
може би. Защо?
Задача 3. Всеки ден всеки човек с грип може да зарази 4 други.
След колко дни ще се разболеят всички ученици на нашето училище (300 души)? (След 4 дни).
Това са примери за функции, дефинирани върху множеството естествени числа - числови
последователности.
Целта на урока е: Намерете начини за намиране на всеки член от последователността.
Цели на урока: Разберете какво е числова последователност и как
последователности.
IV. Изучаване на нов материал
Определение: Числовата последователност е функция, дефинирана в множество
естествени числа (последователностите съставляват такива елементи на природата, че
могат да бъдат номерирани).
Концепцията за числова последователност възниква и се развива много преди създаването на учението за
функции. Ето примери за безкрайни поредици от числа, известни от миналото
антики:
1, 2, 3, 4, 5, : поредица от естествени числа;
2, 4, 6, 8, 10, : поредица от четни числа;
1, 3, 5, 7, 9, : поредица от нечетни числа;
1, 4, 9, 16, 25, : поредица от квадрати от естествени числа;
2, 3, 5, 7, 11, : поредица от прости числа;
,
1,
Броят на членовете на всяка от тези серии е безкраен; първите пет последователности
, : последователност от реципрочни числа на естествени числа.
,
монотонно нараства, като последният монотонно намалява.

Обозначение: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,: пореден номер на члена на последователността.
(yn) последователност, yn-ти член на последователността.
(an) последователност, n-ти член на последователността.
an1 е предишният член на последователността,
+1 следващ член на последователността.
Последователностите са крайни и безкрайни, нарастващи и намаляващи.
Задачи за учениците: Запишете първите 5 члена на поредицата:
От първото естествено число се увеличава с 3.
От 10 увеличете с 2 пъти и намалете с 1.
От числото 6 редувайте увеличение от 2 и увеличение от 2 пъти.
Тези числови серии се наричат ​​още числови поредици.
Методи за секвениране:
словесен начин.
Правилата за последователност са описани с думи, без формули или
когато няма закономерности между елементите на последователността.
Пример 1. Поредица от прости числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Пример 2. Произволен набор от числа: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Пример 3. Поредица от четни числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
аналитичен начин.
Всеки n-ти елемент от последователността може да бъде определен с помощта на формула.
Пример 1. Последователност от четни числа: y = 2n.
Пример 2. Последователността на квадрата от естествени числа: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Пример 3. Стационарна последователност: y = C; C, C, C, ..., C, ...
специален случай: y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Пример 4. Последователност y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
рекурсивен начин.
Посочено е правило, което позволява да се изчисли n-тия елемент от последователността if
предишните му елементи са известни.
Пример 1. Аритметична прогресия: a1=a, an+1=an+d, където a и d са дадени числа, д
разлика в аритметична прогресия. Нека a1=5, d=0,7, след това аритметичната прогресия
ще изглежда така: 5; 5,7; 6.4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .
Пример 2. Геометрична прогресия: b1= b, bn+1= bnq, където b и q са дадени числа, b
0,
0; q е знаменателят геометрична прогресия. Нека b1=23, q=½, тогава геометричното
q
прогресията ще изглежда така: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Графичен начин. Числова последователност
дадено от графика, която е
изолирани точки. Абсцисите на тези точки са естествени
числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординати - стойности на членове
последователности: a1; а2; а3; а4;…
Пример: Запишете всичките пет члена на числова последователност,
дадени по графичен начин.
Решение.
Всяка точка в тази координатна равнина има
координати (n; an). Запишете координатите на отбелязаните точки
възходяща абциса n.
Получаваме: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Следователно a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Отговор: 3; един; 4; 6; 7.
V. Първично затвърдяване на изучавания материал
Пример 1. Напишете възможна формула за n-тия елемент от последователността (yn):
а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Решение.
а) Това е последователност нечетни числа. Аналитично тази последователност може да бъде
зададено по формулата y = 2n+1.
б) Това е числова последователност, в която следващият елемент е по-голям от предишния
по 4. Аналитично тази последователност може да бъде дадена с формулата y = 4n.
Пример 2. Изпишете първите десет елемента от последователност, дадена периодично: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, ако n = 3, 4, 5, 6, ... .
Решение.
Всеки следващ елемент от тази последователност е равен на сбора от предходните два
елементи.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Обобщаване на урока. Отражение
1. Какво успяхте да изпълните задачата?
2. Беше ли координирана работата?
3. Какво не се получи според вас?

Числовата последователност е специален случай на числова функция, така че редица свойства на функциите също се разглеждат за последователности.

1. Определение . Подпоследователност ( y n} се нарича нарастващ, ако всеки негов член (с изключение на първия) е по-голям от предишния:

г 1 < г 2 < г 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Определение.Последователност ( y n} се нарича намаляващ, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-малък от предишния:

г 1 > г 2 > г 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Нарастващите и намаляващите поредици се обединяват с общ термин – монотонни поредици.

Например: г 1 = 1; y n= н 2… е нарастваща последователност. г 1 = 1; е низходяща последователност. г 1 = 1; – тази последователност не е ненарастваща, а не намаляваща.

4. Определение. Поредица се нарича периодична, ако съществува естествено число T, така че, като се започне от някакво n, е изпълнено равенството yn = yn+T. Числото T се нарича дължина на периода.

5. Поредица се нарича ограничена отдолу, ако всички нейни членове са поне някакво число.

6. За една последователност се казва, че е ограничена отгоре, ако всички нейни членове са най-много някакво число.

7. Последователност се нарича ограничена, ако е ограничена както отгоре, така и отдолу, т.е. има положително число, така че всички членове на дадената последователност да не надвишават това число по абсолютна стойност. (Но това, че е ограничен от двете страни, не означава непременно, че е краен.)

8. Една последователност може да има само едно ограничение.

9. Всяка ненамаляваща последователност, ограничена отгоре, има ограничение (lim).

10. Всяка ненарастваща последователност, ограничена отдолу, има ограничение.

Границата на поредицата е точка (число), в близост до която се намират по-голямата част от членовете на поредицата, те се доближават до тази граница, но не я достигат.

Геометрични и аритметична прогресияса специални случаи на последователността.

Методи за секвениране:

Последователностите могат да се задават различни начини, сред които особено важни са три: аналитичен, описателен и повтарящ се.

1. Последователността се дава аналитично, ако е дадена формулата на нейния n-ти член:

Пример. yn \u003d 2n - 1 - поредица от нечетни числа: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Описателен начин за задаване на числова последователност е, че той обяснява от какви елементи е изградена последователността.

Пример 1. "Всички членове на последователността са равни на 1." Това означава, говорим сиза неподвижната последователност 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. "Поредицата се състои от всички прости числа във възходящ ред." Така се дава последователността 2, 3, 5, 7, 11, .... С този метод за определяне на последователността в този примертрудно е да се отговори на какво е равен, да речем, 1000-ият елемент от поредицата.

3. Повтарящ се начин за определяне на последователност е, че се посочва правило, което позволява да се изчисли n-тия член на последователността, ако предишните й членове са известни. Името рекурсивен метод идва от латинска дума recurrere - да се върна. Най-често в такива случаи се посочва формула, която позволява да се изрази n-тият член на последователността по отношение на предишните, и се посочват 1–2 начални члена на последователността.

Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, ако n = 2, 3, 4,….

Тук y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; …

Вижда се, че получената в този пример последователност може да бъде определена и аналитично: yn = 4n – 1.

Пример 2 г 1 = 1; г 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 ако н = 3, 4,….

Тук: г 1 = 1; г 2 = 1; г 3 = 1 + 1 = 2; г 4 = 1 + 2 = 3; г 5 = 2 + 3 = 5; г 6 = 3 + 5 = 8;

Последователността, съставена в този пример, е специално изучавана в математиката, тъй като има серия интересни имотии приложения. Нарича се поредицата на Фибоначи – по името на италианския математик от 13 век. Рекурсивното дефиниране на последователността на Фибоначи е много лесно, но аналитично е много трудно. нТото число на Фибоначи се изразява чрез неговия пореден номер чрез следната формула.

На пръв поглед формулата за нЧислото на Фибоначи изглежда неправдоподобно, тъй като формулата, която определя последователността от естествени числа, съдържа сама квадратни корени, но можете да проверите "ръчно" валидността на тази формула за първите няколко н.

История на Фибоначи:

Фибоначи (Леонардо от Пиза), ок. 1175–1250 г

италиански математик. Роден в Пиза, става първият велик математик на Европа в късното Средновековие. Той беше воден към математиката от практическата необходимост да установи бизнес контакти. Той публикува своите книги по аритметика, алгебра и други математически дисциплини. От мюсюлманските математици той научи за системата от числа, изобретена в Индия и вече възприета в арабския свят, и беше убеден в нейното превъзходство (тези числа са предшественици на съвременните арабски цифри).

Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи, е първият от големите европейски математици от късното Средновековие. Роден в Пиза в богато търговско семейство, той навлиза в математиката чрез чисто практическа нужда от установяване на бизнес контакти. В младостта си Леонардо пътува много, придружавайки баща си в командировки. Например, знаем за дългия му престой във Византия и Сицилия. По време на подобни пътувания той общува много с местни учени.

Числовата последователност, която днес носи неговото име, произлиза от проблема със зайците, който Фибоначи очертава в своята Liber abacci, написана през 1202 г.:

Мъж постави чифт зайци в кошара, заобиколен от всички страни със стена. Колко двойки зайци може да роди тази двойка за една година, ако се знае, че всеки месец, като се започне от втория, всяка двойка зайци ражда по една двойка?

Можете да се уверите, че броят на двойките във всеки от следващите дванадесет месеца от месеците ще бъде съответно 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

С други думи, броят на двойките зайци създава серия, всеки член в който е сумата от предходните две. Известен е като ред на Фибоначи и самите числа са числата на Фибоначи. Оказва се, че тази последователност има много математически интересни свойства. Ето един пример: можете да разделите линия на два сегмента, така че съотношението между по-големия и по-малкия сегмент да е пропорционално на съотношението между цялата линия и по-големия сегмент. Този коефициент на пропорционалност, приблизително равен на 1,618, е известен като златно съотношение. През Ренесанса се е смятало, че тази пропорция, наблюдавана в архитектурните структури, е най-приятна за окото. Ако вземете последователни двойки от редицата на Фибоначи и ги разделите Повече ▼от всяка двойка към по-малка, вашият резултат постепенно ще се доближи до златното съотношение.

Откакто Фибоначи открива своята последователност, са открити дори природни явления, при които изглежда, че тази последователност играе важна роля. Един от тях е филотаксис (подреждане на листата) - правилото, според което например семената се намират в слънчогледово съцветие. Слънчогледовите семки са подредени в две спирали. Числата, показващи броя на семената във всяка от спиралите, са членове на удивителна математическа последователност. Семената са подредени в два реда спирали, едната от които върви по посока на часовниковата стрелка, а другата срещу. И какъв е броят на семената във всеки отделен случай? 34 и 55.

Задача №1:

Напишете първите пет члена от последователността.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

и n \u003d 2 n + 1/2 n

Задача номер 2:

Напишете формулата за общия член на поредица от естествени числа, които са кратни на 3.

Отговор: 0,3,6,9,12,15,.... 3n и n = 3n

Задача номер 3:

Напишете формулата за общия член на поредица от естествени числа, които, разделени на 4, имат остатък от 1.

Отговор: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 и n = 4n+1

№ 19. Функция.

Функцията (дисплей, оператор, трансформация) е математическа концепция, която отразява връзката между елементите на множествата. Можем да кажем, че функцията е "закон", според който на всеки елемент от едно множество (наречен домейн на дефиниция) се приписва някакъв елемент от друго множество (наречен домейн от стойности).

Функцията е зависимост от единица променливаот друг. С други думи, връзката между количествата.

Математическата концепция за функция изразява интуитивна идея за това как една величина напълно определя стойността на друга величина. Така стойността на променливата x определя уникално стойността на израза, а стойността на месеца уникално определя стойността на месеца, следващ я, и всеки човек може да се сравни с друго лице - неговия баща. По същия начин, някои предварително замислени алгоритъм, като се имат предвид различни входни данни, произвежда определени изходни данни.

Често терминът "функция" се отнася до числова функция; тоест функция, която поставя едни числа в съответствие с други. Тези функции са удобно представени на фигурите под формата на графики.

Може да се даде друго определение. Функцията е специфична действиенад променлива.

Това означава, че вземаме стойността, извършваме някакво действие с нея (например я квадратуваме или изчисляваме нейния логаритъм) - и получаваме стойността.

Да дадем още една дефиниция на функция – тази, която най-често се среща в учебниците.

Функцията е съответствие между две множества, като всеки елемент от първия набор съответства на един и само един елемент от втория набор.

Например функция за всеки реално числосъвпада с число два пъти по-голямо от .

Множеството от елементи на някои F., заместени с x, се наричат ​​негова област на дефиниция, а наборът от елементи y на някои F. се нарича неговият диапазон от стойности.

История на срока:

Терминът "функция" (в малко по-тесен смисъл) е използван за първи път от Лайбниц (1692). От своя страна Йохан Бернули в писмо до същия Лайбниц използва този термин в смисъл, по-близък до съвременния. Първоначално концепцията за функция е неразличима от концепцията за аналитично представяне. Впоследствие се появява определението на функцията, дадено от Ойлер (1751), след това - от Лакроа (1806) - почти през съвременна форма. И накрая, общото определение на функция (в съвременна форма, но за числови функции) е дадено от Лобачевски (1834) и Дирихле (1837). Да се края на XIXвек, концепцията за функция е надраснала рамката на числовите системи. Векторните функции са първите, които правят това, Фреге скоро въвежда логически функции (1879 г.), а след появата на теорията на множеството, Дедекинд (1887 г.) и Пеано (1911 г.) формулират съвременната универсална дефиниция.

№ 20 Начини за задаване на функция.

Има 4 начина за дефиниране на функция:

1. табличенДоста често срещано е да се постави индивидуална маса

стойности на аргументи и съответните им стойности на функции. Този метод за дефиниране на функция се използва, когато домейнът на функцията е дискретно ограничено множество.

Удобно е, когато f е крайно множество, но когато f е безкрайно, се посочват само избрани двойки (x, y).

С табличния метод за определяне на функция е възможно приблизително да се изчислят стойностите на функцията, които не се съдържат в таблицата, съответстващи на междинните стойности на аргумента. За да направите това, използвайте метода на интерполация.

Предимства: точност, бързина, лесно се намира в таблицата със стойности желаната стойностфункции. Предимствата на табличния начин за определяне на функция са, че дава възможност да се определят определени специфични стойности наведнъж, без допълнителни измервания или изчисления.

недостатъци: незавършеност, липса на видимост. В някои случаи таблицата не дефинира функцията напълно, а само за някои стойности на аргумента и не предоставя визуално представяне на естеството на промяната във функцията в зависимост от промяната в аргумента.

2. аналитичен(формули). Най-често закон, установяващ връзка между

аргумент и функция, се определя с помощта на формули. Този начин за дефиниране на функция се нарича аналитичен. Той е най-важен за MA (математически анализ), тъй като методите на MA (диференциално, интегрално смятане) предполагат този начин на настройка. Една и съща функция може да бъде дадена с различни формули: г=∣грях( х)∣г=√1−cos2( х) Понякога в различни частиот своите области, дефинираната функция може да бъде дадена с различни формули е(х)={е 1(х),х∈д 1 fn(х),х∈Дн ∪nk=1Дк=д(е) . Често при този метод за дефиниране на функция обхватът на дефиницията не е посочен, тогава областта на дефиницията се разбира като природна зонаопределения, т.е. множеството от всички x стойности, за които функцията приема реална стойност.

Този метод дава възможност за всяка числова стойност на аргумента x да намери съответната числова стойност на функцията y точно или с известна точност.

Специален случай на аналитичния начин за дефиниране на функция е дефинирането на функция чрез уравнение от вида F(x,y)=0 (1) Ако това уравнение има свойството, че ∀ х∈D се съпоставя само г, такъв, че Ф(х,г)=0, тогава казваме, че уравнение (1) на D неявно дефинира функция. Друг конкретен случай на дефиниране на функция е параметричен, с всяка двойка ( х,г)∈езадайте с помощта на двойка функции х=ϕ( т),г=ψ( т) където т∈М.

Дадено е определението на числова последователност. Разгледани са примери за безкрайно нарастващи, конвергентни и дивергентни последователности. Разглежда се поредица, съдържаща всички рационални числа.

Определение .
Числова последователност ( x n ) наречен закон (правило), според който за всяко естествено число n = 1, 2, 3, . . . присвоено е някакво число x n.
Елементът x n се нарича n-ти членили елемент от последователност.

Последователността се обозначава като n-тия член, затворен в къдрави скоби: . Също така е възможно следната нотация: . Те изрично заявяват, че индексът n принадлежи на множеството естествени числа и че самата последователност има безкраен брой членове. Ето някои примери за последователности:
, , .

С други думи, числова последователност е функция, чиято област е набор от естествени числа. Броят на елементите в последователността е безкраен. Сред елементите може да има и членове, които имат същите стойности. Също така последователността може да се разглежда като номериран набор от числа, състоящ се от безкраен брой членове.

Ще ни интересува основно въпросът - как се държат последователностите, когато n клони към безкрайност: . Този материал е представен в раздела Ограничение на последователността - основни теореми и свойства. И тук ще разгледаме някои примери за последователности.

Примери за последователност

Примери за безкрайно нарастващи поредици

Нека разгледаме една последователност. Общият термин на тази последователност е . Нека напишем първите няколко термина:
.
Може да се види, че с нарастването на числото n елементите се увеличават неограничено към положителни стойности. Можем да кажем, че тази последователност клони към : при .

Сега разгледайте последователност с общ термин. Ето някои от първите му членове:
.
С нарастването на числото n елементите на тази последователност се увеличават по абсолютна стойност за неопределено време, но нямат постоянен знак. Това означава, че тази последователност клони към: при .

Примери за последователности, сближаващи се до крайно число

Нека разгледаме една последователност. Негов общ член Първите термини са както следва:
.
Вижда се, че с нарастването на числото n елементите на тази последователност се доближават до граничната си стойност a = 0 : в . Така че всеки следващ член е по-близък до нула от предишния. В известен смисъл можем да приемем, че има приблизителна стойност за числото a = 0 с грешка. Ясно е, че с нарастването на n тази грешка клони към нула, тоест, като се избере n, грешката може да се направи произволно малка. Освен това за всяка дадена грешка ε > 0 възможно е да се зададе такова число N , че за всички елементи с номера по - големи от N : , отклонението на числото от граничната стойност a няма да надвишава грешката ε : .

След това помислете за последователността. Негов общ член Ето някои от първите му членове:
.
В тази последователност четните членове са нула. Членовете с нечетно n са . Следователно, когато n расте, техните стойности се доближават до граничната стойност a = 0 . Това следва и от факта, че
.
Както в предишния пример, можем да посочим произволно малка грешка ε > 0 , за което е възможно да се намери такова число N, че елементите с номера по-големи от N да се отклоняват от граничната стойност a = 0 със стойност, която не надвишава посочената грешка. Следователно тази последователност се сближава до стойността a = 0 : в .

Примери за различни последователности

Помислете за последователност със следния общ термин:

Ето първите му членове:


.
Вижда се, че термините с четни числа:
,
се доближават до стойността a 1 = 0 . Членове с нечетни номера:
,
се доближават до стойността a 2 = 2 . Самата последователност, когато n расте, не се доближава до никаква стойност.

Последователност с членове, разпределени в интервала (0;1)

Сега помислете за по-интересна последователност. Вземете отсечка на числовата права. Нека го разделим наполовина. Получаваме два сегмента. Нека бъде
.
Всеки от сегментите отново е разделен наполовина. Получаваме четири сегмента. Нека бъде
.
Разделете отново всеки сегмент наполовина. Да вземем


.
И т.н.

В резултат на това получаваме последователност, чиито елементи са разпределени в отворен интервал (0; 1) . Каквато и точка да вземем от затворения интервал , винаги можем да намерим членове на последователността, които са произволно близки до тази точка или съвпадат с нея.

Тогава от оригиналната последователност може да се отдели подпоследователност, която ще се сближи до произволна точка от интервала . Тоест с нарастването на числото n членовете на подпоследователността ще се приближават все по-близо до предварително избраната точка.

Например за точка а = 0 можете да изберете следната подпоследователност:
.
= 0 .

За точка а = 1 изберете следната подпоследователност:
.
Членовете на тази подпоследователност се доближават до стойността a = 1 .

Тъй като има подпоследователности, които се доближават до различни значения, тогава самата оригинална последователност не се доближава до никакво число.

Поредица, съдържаща всички рационални числа

Сега нека построим последователност, която съдържа всички рационални числа. Освен това всяко рационално число ще бъде включено в такава последователност безкраен брой пъти.

Рационалното число r може да бъде представено, както следва:
,
където е цяло число; - естествено.
Трябва да присвоим на всяко естествено число n двойка числа p и q, така че всяка двойка p и q да бъде включена в нашата последователност.

За да направите това, начертайте оси p и q върху равнината. Начертаваме линии на мрежата през целочислени стойности p и q. Тогава всеки възел от тази мрежа с ще съответства на рационално число. Целият набор от рационални числа ще бъде представен от набор от възли. Трябва да намерим начин да номерираме всички възли, така че да не пропуснем нито един възел. Това е лесно да се направи, ако номерираме възлите според квадратите, чиито центрове са разположени в точката (0; 0) (виж снимката). В този случай долните части на квадратите с q < 1 не ни трябва. Следователно те не са показани на фигурата.

И така, за горната страна на първия квадрат имаме:
.
По-нататък номерираме Горна частследващия квадрат:

.
Номерираме горната част на следващия квадрат:

.
И т.н.

По този начин получаваме поредица, съдържаща всички рационални числа. Може да се види, че всяко рационално число се появява в тази последователност безкраен брой пъти. Всъщност, заедно с възела, тази последователност ще включва и възли, където е естествено число. Но всички тези възли съответстват на едно и също рационално число.

След това от последователността, която сме построили, можем да изберем подпоследователност (с безкраен брой елементи), всички елементи на която са равни на предварително определено рационално число. Тъй като последователността, която сме построили, има подпоследователности, сближаващи се към различни числа, тогава последователността не се сближава до никое число.

Заключение

Тук сме дали точна дефиниция на числовата последователност. Засегнахме и въпроса за нейната конвергенция, основана на интуитивни идеи. Точното определение на конвергенцията се обсъжда на страницата Определяне на границата на последователност. Свързаните свойства и теореми са очертани на страницата

Урок №32 Дата ____________

алгебра

Клас: 9 "В"

Тема: "Числова последователност и начини за нейното задаване."

Целта на урока:учениците трябва да знаят какво е числова последователност; начини за задаване на числова последователност; да може да прави разлика между различни начини за определяне на числови поредици.

Дидактически материали: разпечатки, справочни бележки.

Технически средстваизучаване на:презентация на тема „Числови поредици”.

По време на занятията.

1. Организационен момент.

2. Определяне на целите на урока.

Днес в урока ще научите:

Какво е последователност?

Какви видове последователности има?

Как се определя числовата последователност?

Научете как да напишете последователност с помощта на формула и нейните много елементи.

Научете се да намирате членовете на поредица.

3. Работа върху изучавания материал.

3.1. Подготвителен етап.

Момчета, нека тестваме вашите логически умения. Назовавам няколко думи, а вие трябва да продължите:

-Понеделник вторник,…..

- Януари февруари март…;

- Глебова Л, Гановичев Е, Дряхлов В, Ибраева Г, ... .. (списък на клас);

–10,11,12,…99;

От отговорите на момчетата се заключава, че горните задачи са последователности, тоест някаква подредена серия от числа или понятия, когато всяко число или понятие е строго на мястото си и ако членовете се разменят, последователността ще бъде нарушен (вторник, четвъртък, понеделник е просто списък на дните от седмицата). И така, темата на урока е числова последователност.

3.1. Обяснение на нов материал. (Демо материал)

Анализирайки отговорите на учениците, дефинирайте числовата поредица и покажете как да зададете числови поредици.

(Работа с учебника стр. 66 - 67)

Определение 1. Функцията y = f(x), xN се нарича функция на естествен аргумент или числова последователност и се обозначава: y = f(n) или y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... или (y n).

В този случай независимата променлива е естествено число.

Най-често последователностите ще бъдат обозначени по следния начин: ( а н), (б н), (с н) и др.

Определение 2. Членове на последователността.

Елементите, които образуват последователност, се наричат ​​членове на последователността.

Нови понятия: предишният и следващ член на последователността,

а 1 …а П. (1-ви и n-ти член на поредицата)

Методи за задаване на числова последователност.

аналитичен начин.

Всякакви n-ти елементпоследователностите могат да бъдат определени с помощта на формула (демо)

Анализирайте примери

Пример 1Последователността от четни числа: y = 2n.

Пример 2Последователността на квадрата от естествени числа: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Пример 3Стационарна последователност: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Специален случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Пример 4. Последователност y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

словесен начин.

Правилата за настройка на последователността се описват с думи, без да се посочват формули или когато няма шаблони между елементите на последователността.

Пример 1. Приблизителни числаπ.

Пример 2Последователност от прости числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Пример 3Поредица от числа, делима на 5.

Пример 2Случаен набор от числа: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Пример 3Последователността от четни числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

рекурсивен начин.

Повтарящият се метод се състои в определяне на правило, което ви позволява да изчислите n-тия член на последователността, ако са посочени първите й няколко члена (поне един първи член) и формула, която ви позволява да изчислите следващия й член от предишните членове. Срок повтарящи се произлиза от латинската дума повтарят се , което означава Върни се . Когато изчисляваме членовете на последователността според това правило, ние се връщаме през цялото време назад, като изчисляваме следващия член въз основа на предишния. Характеристика на този метод е, че за да определите например 100-ия член на последователността, първо трябва да определите всички предишни 99 члена.

Пример 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Нека a 1 =5, тогава последователността ще изглежда така: 5; 5,7; 6.4; 7.1; 7,8; 8,5; ... .

Пример 2 b 1 \u003d b, b n +1 = ½ b n. Нека b 1 =23, тогава последователността ще изглежда така: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Пример 3Последователност на Фибоначи. Тази последователност се дефинира лесно рекурсивно: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1, ако n=3, 4, 5, 6, ... . Ще изглежда така:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (Птият член на тази последователност е равен на сбора от двата предишни члена)

Трудно е да се определи последователността на Фибоначи аналитично, но е възможно. Формулата, по която се определя всеки елемент от тази последователност, изглежда така:

Допълнителна информация:

Италианският търговец Леонардо от Пиза (1180-1240), по-известен с прякора Фибоначи, е важен средновековен математик. С помощта на тази последователност Фибоначи определи числото φ (phi); φ=1,618033989.

Графичен начин

Членовете на последователност могат да бъдат представени като точки в координатната равнина. За да направите това, числото се нанася по хоризонталната ос, а стойността на съответния член на последователността се нанася по вертикалната ос.

За да консолидирате методите на присвояване, ви моля да дадете няколко примера за последователности, които са посочени или устно, или аналитично, или по повтарящ се начин.

Видове числови поредици

(На изброените по-долу последователности се разработват типове последователности).

Работа с учебника стр.69-70

1) Нарастващ - ако всеки член е по-малък от следващия, т.е. а н а н +1.

2) Намаляване – ако всеки член е по-голям от следващия, т.е. а н а н +1 .

3) Безкраен.

4) Краен.

5) Редуване.

6) Постоянна (стационарна).

Нарастваща или намаляваща последователност се нарича монотонна.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Работа с учебника: направете го устно No 150, 159 с. 71, 72

3.2. Консолидиране на нов материал. Разрешаване на проблем.

За консолидиране на знанията се избират примери в зависимост от нивото на подготовка на учениците.

Пример 1Напишете възможна формула за n-тия елемент от последователността (y n):

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Решение.

а) Това е поредица от нечетни числа. Аналитично тази последователност може да бъде дадена с формулата y = 2n+1.

б) Това е числова последователност, в която следващият елемент е по-голям от предишния с 4. Аналитично тази последователност може да бъде определена с формулата y = 4n.

Пример 2. Запишете първите десет елемента от последователността, дадена периодично: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, ако n = 3, 4, 5, 6, ... .

Решение.

Всеки следващ елемент от тази последователност е равен на сбора от двата предишни елемента.

Пример 3Последователността (y n) е дадена периодично: y 1 =1, y 2 =2, y n =5y n -1 - 6y n -2 . Посочете тази последователност аналитично.

Решение.

Намерете първите няколко елемента от последователността.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 = 5y 3 -6y 2 = 20-12 \u003d 8;

y 5 = 5y 4 -6y 3 = 40-24 \u003d 16;

y 6 = 5y 5 -6y 4 = 80-48 \u003d 32;

y 7 = 5y 6 -6y 5 = 160-96 \u003d 64.

Получаваме последователността: 1; 2; 4; осем; шестнадесет; 32; 64; ... което може да бъде представено като

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Анализирайки последователността, получаваме следната закономерност: y = 2 n -1 .

Пример 4Дадена е последователност y n =24n+36-5n 2 .

а) Колко положителни члена има?

б) Намерете най-големия елемент от поредицата.

в) Има ли най-малък елемент в тази последователност?

Тази числова последователност е функция от вида y = -5x 2 +24x+36, където x

а) Намерете стойностите на функцията, за която -5x 2 +24x+360. Нека решим уравнението -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac = 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2.

Уравнението на оста на симетрия на параболата y = -5x 2 +24x + 36 може да се намери по формулата x = , получаваме: x = 2.4.

Неравенството -5x 2 +24x+360 важи за -1,2 Този интервал съдържа пет естествени числа (1, 2, 3, 4, 5). Така че в дадената последователност пет положителни елементипоследователности.

b) Най-големият елемент от последователността се определя чрез метода на подбор и е равен на y 2 =64.

в) Няма най-малък елемент.

3.4.Задачи за самостоятелна работа