Променлива граница. Ограничение на последователността

ФУНКЦИИ И ГРАНИЦИ IX

§ 201. Константи и променливи. Концепция за функция

Вече сме срещали концепцията за функция повече от веднъж. В част I разгледахме линейни, квадратни, степенни и тригонометрични функции. Предишната глава беше посветена на изучаването на експоненциалните и логаритмичните функции. Сега трябва да направим общ прегледтова, което вече знаем за функциите и обмислете някои нови въпроси.

Наблюдавайки различни процеси, може да се забележи, че участващите в тях количества се държат различно: някои от тях се променят, други остават постоянни. Ако например в триъгълник ABC върхът B се премести по права линия MN, успоредна на основата AC (фиг. 263), тогава стойностите на ъглите A, B и C ще се променят непрекъснато, и тяхната сума, височината з и площта на триъгълника ще остане непроменена.

Друг пример. Ако някой газ се компресира при постоянна температура, тогава неговият обем ( V) и налягане ( Р) ще се промени: обемът ще намалее и налягането ще се увеличи. Произведението на тези количества, както е установено от закона на Бойл-Мариот, ще остане постоянно:

Vp=c ,

където с е някаква константа.

Всички количества могат да бъдат разделени на константи и променливи.

Променливите, участващи във всеки процес, обикновено не се променят независимо една от друга, а в тясна връзка една с друга. Например, компресирането на газ (при постоянна температура) води до промяна в обема му, а това от своя страна води до промяна в налягането на газа. Промяната в радиуса на основата на цилиндъра причинява промяна в площта на тази основа; последното води до промяна в обема на цилиндъра и т. н. Една от гладките задачи на математическото изследване на този или онзи процес е да се установи как промяната в някои променливи влияе върху промяната в други променливи.

Нека разгледаме няколко примера. Законът на Бойл, споменат по-горе - Мариот казва, че при постоянна температура обемът на газа V се променя обратно с налягането Р : V = ° С / стр . Ако налягането е известно, тогава обемът на газа може да се изчисли по тази формула. По същия начин, формулата S = π r 2 ви позволява да определите площта на кръг S, ако радиусът му е известен r . Според формулата β = π / 2 - α намерете остър ъгъл правоъгълен триъгълник, ако е известен друг остър ъгъл на този триъгълник и т.н.

При сравняване на две променливи е удобно една от тях да се разглежда като независимипроменлива, а другата като зависимпроменлива стойност. Например радиусът на окръжност r естествено е да го считаме за независима променлива и за площта на кръг S = π r 2 - зависима променлива. По същия начин, налягането на газа Р може да се счита за независима променлива; след това неговият обем V = ° С / стр ще бъде зависимата променлива.

Коя от двете променливи трябва да бъде избрана като зависима и коя като независима? Този въпрос се решава по различни начини в зависимост от целта. Ако например ни интересува до какво води промяната в налягането на газа при постоянна температура, тогава е естествено да приемем рязането като независима променлива, а обема като зависима променлива. В този случай зависимата променлива V ще бъде изразена чрез независимата променлива Р по формулата: V = ° С / стр . Ако искаме да разберем последствията от компресирането на газ, тогава е по-добре да разгледаме обема като независима променлива, а налягането като зависима променлива. След това зависимата променлива Р ще бъде изразено чрез независимата променлива V по формулата Р = ° С / V . Във всеки от тези случаи двете количества са свързани помежду си, така че всяка възможна стойностедното от тях съответства на добре дефинирана стойност на другото.

Ако всяка стойност на една променлива хпо някакъв начин поставени в съответствие с добре дефинирана стойност на друга величина в, тогава казваме, че е дадена функция.

стойността в в същото време се обаждат зависимпроменлива или функция, и стойността х - независимипроменлива или аргумент.

Да изразя какво в имат функция за аргумент х , обикновено се използва нотацията: в = е (х ), y = g (х ) , в = φ (х ), и т.н. (чете: y е равно на ef от x, y е равно на същото от x, y е равно на phi от x и т.н.). Избор на буква за обозначаване на функция ( е, ж φ ) е, разбира се, несъществено. Важното е връзката между количествата х и в изразява това писмо.

Стойността, която приема функцията е (х ) при х = а , обозначено е (а ). Ако например е (х ) = х 2 + 1, тогава

е (1) = 1 2 + 1 = 2;

е (2) = 2 2 + 1 = 5;

е (а + 1) = (а + 1) 2 + 1 = а 2 + 2а + 2;

е (2а ) = (2а ) 2 + 1 = 4а 2 + 1

Упражнения

1515. Газ под налягане от 2 атмосфери се компресира. Как се променя това: а) теглото на газа; б) неговия обем; в) неговия натиск?

1516. През електрическа верига протича ток. С помощта на реостат променяме съпротивлението на веригата. Това променя ли: а) тока във веригата; б) напрежение?

1517. Връх B на триъгълник ABC се движи по окръжност, чийто диаметър съвпада с основата AC на този триъгълник. Кои количества остават постоянни в този процес и кои се променят?

1518.

Намери си) е (0); б) е (а 2); в) е ( 1 / а ); ж) е (грях а ).

1519. Експрес е (2а ) през е (а ) за функции:

а) е (х ) = грях х ; б) е (х ) = tg х ;

От различните начини на поведение на променливите най-важен е този, при който променливата клони към определена граница. В този случай стойностите, взети от променливата х, стават произволно близки до някакво постоянно число а-граница на тази променлива. Казва се, че една променлива клони към, за неопределено време се доближава до постоянно число а(до вашия лимит). Нека дадем съответното определение по-подробно.

Променливата x клони към границата a (a -постоянно число), ако абсолютната стойност разликата между x и a става произволно малка в процеса на промяна на променливата.

Същото определение може да се каже с други думи.

Определение.Постоянното число a се наричапроменлива границаx ако - абсолютната стойност на разликата между x и a става произволно малка в процеса на промяна на променливата x.

Фактът, че номерът а, е границата на променлива, се записва, както следва:

( - първите букви на думата limes - граница) или х-> а

Нека изясним какво трябва да се разбира под думите "стойността става произволно малка", които са налични в дефиницията на границата. Нека вземем произволно положително число, тогава, ако, започвайки от определен момент в промяната на променливата Х,стойностите ще станат и ще станат по-малко от това .

Променливата клони към границата, ако за всяка положителна. започвайки от някакъв момент в промяната на променливата , неравенството е изпълнено .

Определението за граница има просто геометричен смисъл: неравенството означава, че се намира в - квартала на точката, т.е. в интервала (фиг. 26). Така дефиницията на границата в геометрична форма: числото е границата на променлива, ако за която и да е (произволно малко)- околност на точка можете да посочите такъв момент в промяната на променлива, започвайки от който всички нейни стойности
попадат в посочения квартал на точка a.

Необходимо е да си представим процеса на приближаване на границата в динамиката. взе малко - квартал на точката а; започвайки в някакъв момент на промяна , всички стойности попадат в този квартал. Сега нека разгледаме по-отблизо - квартал на точката а; започвайки от някакъв (по-далечен в сравнение с първия) момент в промяната , всичките му стойности ще попаднат в - квартал на точката а и т.н. (Фиг. 1).

След като въведохме дефиницията на границата на променлива, ние се опитахме да я обсъдим и дешифрираме подробно. В това определение обаче една много важна подробност остана неразкрита; какво трябва да се разбира под думите "започвайки от определен момент в промяната на променливата"? Това е ясно, когато процесът на промяна на променливата протича във времето: започвайки от определен момент (време). Но не винаги имаме работа с променливи, които се променят с времето. Как да бъдем в тези случаи? Изходът е да се дешифрира това място в общата дефиниция на границата на променлива по специфичен начин за всеки тип променливи: по свой начин за последователности, по свой начин за функции и т.н.

Ограничение на последователността.Преди всичко е необходимо да си припомним дефиницията на последователност: ако всички стойности са взети от променлива х, могат да бъдат номерирани с помощта на различни естествени числа x ), x 2 ,... x n,...,и стойността с по-голямо число се взема след стойността с по-ниско число, тогава казваме, че променливата хпреминава през поредица от стойности x x, x 2 ,... x p...; или просто, че има последователност (последователност от числа).

Определение. Числова последователност се извиква реална функция на естествен аргумент, т.е. функция, за която =н испешна помощ.

Обозначава се със символа , където , или накратко, . Число, което зависи от n, се нарича n – ти член на поредицата. Подреждайки стойностите на последователността в числов ред, получаваме, че последователността може да бъде идентифицирана с изброимо множество реални числа, т.е.

Примери:

а) Последователността е постоянна и се състои от равни числа (единици): ;

б) . За нея

ж) .

За последователности, изразът, съдържащ се в общата дефиниция на границата на променлива, „започвайки в някакъв момент от промяната " трябва да означава - "започвайки от някакво число", тъй като термините с по-високи числа следват (по дефиниция на последователността) члена с по-нисък номер. Така получаваме следната дефиниция на границата на последователност:

Определение. номера Наречен лимитпоредици, ако за произволно число има такова число, че всички числа, за които отговарят на неравенството .

Подходящо обозначение

Неравенството може да се запише и като или . Тези записи подчертават, че стойността x nстава произволно малко по-различен от а ,когато броят на члена нараства неограничено. Геометрично, дефиницията на границата на последователност означава следното: for произволно малък - квартал на числото аима число N такова, че всички членове на последователността с по-голямо от N, числа попадат в този квартал,извън околността е само краен брой начални членове на последователността (фиг. 2). Това са всички или някои от членовете .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

Числото в нашата дефиниция зависи от : н= Н(). Както бе споменато по-рано, дефиницията на границата трябва да се разбира в развитието, в динамиката, в движението: ако вземем друга, по-малка стойност за , например, има, най-общо казано, друго число N x > N,така че неравенството , е доволен за всички .

Ще напишем дефиницията на границата с помощта на логически символи (квантатори). Дефиницията на границата на последователност с помощта на квантори изглежда така.

Променливите и константите не са много лесни

Училищната математика винаги ни е убеждавала и продължава да ни убеждава, че въпросът за променливите и константите се решава много просто. Променливите са стойности, които при условията на дадена задача могат да приемат различни значения. Стойности, които не променят стойностите си при условията на даден проблем, се считат за постоянни.

В същото време допълнително се съобщава, че разделянето на количествата на променливи и константи е доста произволно и зависи от обстоятелствата, съпътстващи процеса на решаване на проблема. Една и съща величина, която в някои условия се счита за постоянна, в други условия трябва да се разглежда като променлива. Класически пример: съпротивлението на проводника се приема за постоянно, докато не сме принудени да вземем предвид зависимостта на стойността на неговото съпротивление от температурата на околната среда.

Но, както показва практиката, всичко по-горе за правилното решение на конкретен проблем не е достатъчно.

Какво е стойност, на всеки е ясно интуитивно. Нека изясним тази концепция.

В общия случай съдържанието на процеса на решаване на задачата е преобразуването на величините. В същото време трябва да се разбере, че в общия философски смисъл стойността, представляваща резултата от решаването на проблема, вече се съдържа в неговата формулировка в имплицитна форма. Необходимо е само правилно да се конструира процеса на преобразуване на стойностите на проблема, за да се представи този резултат изрично.

Определение

Ще наречем стойност всеки математически обект, който носи (или може да носи) информация за определена стойност.

Формата на представяне на величините може да бъде различна. Например, стойност с числова стойност, равна на реална, може да бъде представена чрез десетичната константа 1.0, функцията Cos(0) и аритметичния израз 25.0 - 15.0 - 9.0.

Стойностите на количествата могат да се променят. И така, в резултат на действието x = 1.0, стойността под формата на променливата x се оказва носител на стойността на реалната единица. В този случай предишната стойност на променливата x се губи. Дадените примери вече показват от малко по-различна гледна точка, че количествата могат да бъдат променливи и постоянни.

Определение

Променливите имат свойството, че техните стойности могат да се променят в резултат на определени действия. А това означава, че концепцията за „променлива стойност” отразява възможността, но не и факта на промяна.

Постоянна стойност (константа) трябва да се счита за тази, чиято стойност, за разлика от променлива, не може да бъде променена по принцип.

Например, стойността на константата под формата на израза 12+3 е 15 и не може да бъде променена. В този случай е необходимо да се фиксира значението на знаците, с които е представена стойността. В противен случай, ако разгледаме, например, знаците на този израз като числа в бройната система с основа 5, тогава стойността му ще бъде равна на 10.

Определение

И така, в математическите текстове носителите на стойности, тоест количества, са променливи, константи, извиквания на функции (или просто функции), както и изрази.

Характеристики на променливите

Символи, свързани с определени ценности, в математиката се наричат ​​променливи (терминът се използва като съществително).

Например, стойността на променливата x+1 зависи от стойността, свързана със символа x. Тук нотацията x се използва като променлива. Променяйки стойността на променливата x, по този начин променяме стойността на променливата x+1.

По този начин стойностите на променливите зависят от стойностите на променливите, които са част от тях. Отличително свойствопроменлива е, че нейната специфична стойност трябва просто да й бъде присвоена (присвоена).

Математическият подход, който определя възможността за изчисляване на стойностите на променливите, се оказва неправилен в този контекст. В математиката могат да се оценяват само стойностите на изразите.

Основното условие за използване на променлива в математическите текстове в нейния окончателен вид е следното: за да се посочи променлива, достатъчно е да се посочи нейното обозначение.

Характеристики на константите

В математическите текстове могат да се използват два типа константи: константи с токени и наименувани константи.

Между другото, програмисти по езици високо ниво, използвайте го на доста формални (правни) основания.

С помощта на константни токени стойностите на постоянните стойности се задават директно, без да се извършват никакви операции. Например, за да получите стойността на константата 12+3, която е израз, е необходимо да добавите две константни токена 12 и 3.

Определение

Именована константа е нотация, свързана с конкретна стойност, посочена като константа на токен.

Този подход се използва широко в естествени наукиот съображения за удобство при записване на физични, химични, математически и други формули. Например: g = 9,81523 - ускорение свободно паданена географската ширина на Москва; π = 3,1415926 е числото $π$.

В допълнение към компактната нотация на изразите, наименованите константи осигуряват яснота и значително удобство при работа с математически текстове.

Именована константа придобива своята стойност в резултат на предварително споразумение.

Важно свойство на всяка именувана константа е, че не се препоръчва да се променя нейната стойност в рамките на някакъв математически текст.

Изрази

Изразите са съставни частипо-голямата част от математическите текстове. С помощта на изрази се посочва редът, в който се изчисляват новите стойности въз основа на други по-рано известни стойности.

В общия случай операндите, знаците за операция и регулиращите кръгли (квадратни, къдрави) скоби се използват като част от изразите.

Определение

Операндите са често срещано имеобекти, чиито стойности се използват при извършване на операции. Операндите могат да бъдат променливи, константи и функции. Между другото, този термин е много популярен сред програмистите. Фрагмент на експресия, затворен в скоби, се третира като отделен комбиниран операнд.

Знакът за операция символизира добре дефиниран набор от действия, които трябва да бъдат извършени върху съответните операнди. Контролните скоби задават желания ред на операциите, който може да се различава от този, предоставен от приоритета на операциите.

Най-простият случай на израз е един операнд. В този израз няма знаци за операция.

Функцията на операнда има свои собствени характеристики. По правило такъв операнд е името (или знак) на функция, последвано от списък с нейните аргументи в скоби. В този случай скобите са неразделна част от функциите и не се отнасят за регулиращи. Обърнете внимание, че в много случаи операндите на функциите не правят скоби (например, 5! е изчисляването на факториала на цялото число 5).

Математически операции

Основни функции математически операцииса:

• знаците за работа могат да бъдат обозначени със специални знаци, както и със специално определени думи;
• операциите могат да бъдат унарни (извършвани върху един операнд) и двоични (извършвани върху два операнда);
• операциите имат четири нива на приоритет, които определят реда, в който се оценява изразът.

Правилата за оценка на сложен израз, съдържащ верига от операции при липса на контролни скоби, са както следва:

1. първо се изчисляват стойностите на всички функции;
2. тогава операциите се изпълняват една по една в низходящ ред на техния приоритет;
3. операции с еднакъв приоритет се изпълняват в ред от ляво на дясно.

Когато има скоби, изразът съдържа съставни операнди, чиито стойности трябва да бъдат оценени първо.

Някои характеристики на писането на математически изрази:

• не се препоръчва да се пропускат знаците за операция, въпреки че в много случаи е възможно да се пропусне знакът за умножение;
• желателно е да се посочат аргументите на функцията в скоби;
• последователно индикация на два или повече признака на двоични операции е неприемлива; формално е допустимо да се използват няколко знака за унарни операции подред, включително заедно с двоичен.

Примери за променливи са: температура на въздуха, функционален параметър и много други.

Променливата се характеризира само с набора от стойности, които може да приеме. Променливата се обозначава със символ, общ за всяка от нейните стойности.

Променливи в математиката

По математика променливаможе да бъде както реална физическа величина, така и някаква абстрактна величина, която не отразява процесите на реалния свят.

Декарт смята, че стойностите на променливите винаги са неотрицателни и изразява отрицателните стойности със знак, отразен със знак минус пред променливата. Ако знакът на коефициента е неизвестен, Декарт поставя многоточие. Холандският математик Йохан Худе още през 1657 г. позволява на буквалните променливи да приемат стойности от всеки знак.

Променливи в програмирането

В програмирането променливае идентификатор, идентифициращ данните. Това обикновено е име, което крие област на паметта, където могат да се поставят данни, съхранявани в друга област на паметта. Променливата може да има тип стойности, които може да приема. В програмирането променливите обикновено се означават с една или повече думи или символи, като "време", "x", "

Променливи и константи

количества, които в разглеждания въпрос приемат различни стойности или съответно запазват една и съща стойност. Например, когато се изследва падането на тяло, разстоянието на последното от земята и скоростта на падане са променливи величини, докато ускорението (ако пренебрегнем съпротивлението на въздуха) е постоянна стойност. Елементарната математика третира всички величини, които изучава като константи. Концепцията за променлива величина възниква в математиката през 17 век. под влияние на изискванията на естествената наука, която изведе на преден план изучаването на движението – процеси, а не само състояния. Тази концепция не се вписваше във формите, разработени от математиката на Античността и Средновековието, и изискваше нови форми за своето изразяване. Буквалната алгебра и аналитичната геометрия на Р. Декарт бяха такива нови форми. В буквите на декартовата алгебра, които могат да приемат произволни числови стойности, променливите са намерили своя символен израз. „Повратната точка в математиката беше декартовата променлива. Благодарение на това движението и по този начин диалектиката навлязоха в математиката и благодарение на това диференциалното и интегралното смятане веднага стана необходимо ... ”(Енгелс Ф., виж Маркс К. и Енгелс Ф., Соч., 2-ро изд., том. 20, стр. 573). През този период и до средата на 19 век. преобладават механичните възгледи за променливите. Те бяха най-ясно изразени от И. Нютон, който нарече променливите „флуенти“, тоест текущи, и ги смята „... не като състоящи се от изключително малки части, а като описани от непрекъснато движение“ („Математически работи“ , М., 1937, стр. 167). Тези възгледи се оказаха много плодотворни и по-специално позволиха на Нютон да предприеме напълно нов подход към намирането на областите на криволинейните фигури. Нютон е първият, който разглежда площта на криволинеен трапец ( ABNMна ориз. ) не като постоянна стойност (изчислена чрез сумиране на нейните безкрайно малки части), а като променлива, получена от движението на ординатата на кривата ( НМ); като установи, че скоростта на изменение на разглежданата площ е пропорционална на ординатата Nm,по този начин той сведе проблема за изчисляване на площи до проблема за определяне на променлива от известна скоростнейните промени. Легитимността на въвеждането на понятието скорост в математиката е обоснована в началото на 19 век. теория , което даде точна дефиниция на скоростта като производна (виж Производна). Въпреки това, през 19 век ограниченията на гореописания възглед за променливите постепенно стават ясни. Математически анализвсе повече се превръща в обща теория на функциите, чието развитие е невъзможно без прецизен анализ на същността и обхвата на основните й понятия. Оказва се, че дори концепцията за непрекъсната функция всъщност е много по-сложна от визуалните репрезентации, довели до нея. Откриват се непрекъснати функции, които нямат производна в нито една точка; да разберем такава функция като резултат от движението би означавало да приемем движение без скорост във всеки един момент. Изучаването на прекъснати функции, както и функции, дефинирани върху множества с много по-сложна структура от интервал или обединение на няколко интервала, става все по-важно. Нютоновата интерпретация на променлива става недостатъчна и в много случаи безполезна.

От друга страна, математиката започва да разглежда като променливи не само величини, но и все по-разнообразни и широки класове от другите си обекти. На тази основа през втората половина на 19в. и през 20 век Разработват се теория на множествата, топология и математическа логика. За това колко се разшири през 20-ти век. Концепцията за променлива се доказва от факта, че математическата логика разглежда не само променливи, които преминават през произволни набори от обекти, но и променливи, чиито стойности са твърдения, предикати (връзки между обекти) и др. (вижте променлива).

Голяма съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво е "Променливи и константни стойности" в други речници:

В математиката, количества, които приемат различни стойности в изучавания въпрос или запазват една и съща стойност. Разликата между променлива и константа е относителна: количество, което е постоянно в някаква материя, може да бъде променливо в ... Голям енциклопедичен речник

- (Математика), количества, които в разглеждания въпрос приемат различни стойности или запазват една и съща стойност. Разликата между променлива и константа е относителна: количество, което е постоянно в някаква материя, може да бъде променливо в ... ... енциклопедичен речник

Вижте константа, променлива. Философска енциклопедия. В 5 х т. М.: Съветска енциклопедия. Под редакцията на Ф. В. Константинов. 1960 1970... Философска енциклопедия

- (Математика), количества, за ръж в изследвания нопрос вземете разл. стойности или запазете същата стойност. Разликата между променлива и константа е относителна: количество, което е постоянно в една материя, може да бъде променливо в друга ... Естествени науки. енциклопедичен речник

I Променливи звезди P. z. звезди, чиято видима яркост се колебае. Много P. z. са нестационарни звезди; променливостта на яркостта на такива звезди е свързана с промяна в тяхната температура и радиус, изтичане на материя, ... ... Голяма съветска енциклопедия

Вижте Променливи и константи, Константа. * * * КОНСТАНТА СТОЙНОСТ, вижте променливи и константи (вижте ПРОМЕНИ И КОНСТАНТИ), константа (вижте КОНСТАНТ) ... енциклопедичен речник