Формулата за сбора на геометричните прогресии. Геометрична прогресия

Целта на урока: да запознае учениците с нов вид последователност - безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
задачи:
формулиране на първоначалната идея за границата на числовата последователност;
запознаване с друг начин за преобразуване на безкрайни периодични дроби в обикновени по формулата за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия;
развитието на интелектуалните качества на личността на учениците, като логическо мислене, способност за оценъчни действия, обобщаване;
възпитание на активност, взаимопомощ, колективизъм, интерес към предмета.

Изтегли:

Визуализация:

Свързан урок „Безкрайно намаляваща геометрична прогресия“ (алгебра, 10 клас)

Целта на урока: запознаване на учениците с нов вид последователност - безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

задачи:

формулиране на първоначалната идея за границата на числовата последователност; запознаване с друг начин за преобразуване на безкрайни периодични дроби в обикновени по формулата за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия;

развитието на интелектуалните качества на личността на учениците, като логическо мислене, способност за оценъчни действия, обобщаване;

възпитание на активност, взаимопомощ, колективизъм, интерес към предмета.

Оборудване: компютърен клас, проектор, екран.

Тип урок: Урок - овладяване на нова тема.

По време на занятията

I. Org. момент. Съобщение за темата и целта на урока.

II. Актуализиране на знанията на учениците.

В 9 клас изучавахте аритметични и геометрични прогресии.

Въпроси

1. Определение на аритметична прогресия.

(Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член,

Започвайки от втория, той е равен на предишния член, добавен със същото число).

2. Формула n -ти член на аритметична прогресия

3. Формулата за сбора на първиян членове на аритметична прогресия.

( или )

4. Определение на геометрична прогресия.

(Геометричната прогресия е поредица от числа, различни от нула,

Всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по

същия номер).

5. Формула n ти член на геометрична прогресия

6. Формулата за сбора на първиян членове на геометрична прогресия.

7. Какви формули все още знаете?

(, където ; ;

; , )

Задачи

1. Аритметичната прогресия се дава с формулата a n = 7 - 4n. Намерете 10. (-33)

2. Аритметична прогресия a 3 = 7 и a 5 = 1 . Намерете 4. (4)

3. Аритметична прогресия a 3 = 7 и a 5 = 1 . Намерете 17 . (-35)

4. Аритметична прогресия a 3 = 7 и a 5 = 1 . Намерете S 17 . (-187)

5. За геометрична прогресиянамерете петия член.

6. За геометрична прогресиянамерете n-ия член.

7. Експоненциално b 3 = 8 и b 5 = 2 . Намерете b 4 . (4)

8. Експоненциално b 3 = 8 и b 5 = 2 . Намерете b 1 и q .

9. Експоненциално b 3 = 8 и b 5 = 2 . Намерете S 5 . (62)

III. Проучване на нова тема(демонстрационна презентация).

Да разгледаме квадрат със страна равна на 1. Нека начертаем друг квадрат, чиято страна е половината от първия квадрат, след това още един, чиято страна е половината от втория, след това следващия и т.н. Всеки път страната на новия квадрат е наполовина от предишната.

В резултат на това получихме последователност от страни на квадратиобразуване на геометрична прогресия със знаменател.

И което е много важно, колкото повече изграждаме такива квадрати, толкова по-малка ще бъде страната на квадрата.Например ,

Тези. когато числото n нараства, условията на прогресията се приближават до нула.

С помощта на тази фигура може да се разгледа още една последователност.

Например последователността на площите на квадратите:

И отново, ако n нараства безкрайно, тогава площта се доближава до нула произволно близо.

Нека разгледаме още един пример. Равностранен триъгълник със страна 1 см. Нека построим следващия триъгълник с върхове в средата на страните на 1-ви триъгълник, съгласно теоремата за средната линия на триъгълника - страната на 2-ия е равна на половината от страната на първия, страната на 3-тия е половината от страната на 2-ри и т.н. Отново получаваме последователност от дължини на страните на триъгълниците.

В .

Ако разгледаме геометрична прогресия с отрицателен знаменател.

След това отново с нарастващи числан условията на прогресията се доближават до нула.

Нека обърнем внимание на знаменателите на тези поредици. Навсякъде знаменателите бяха по-малки от 1 модул.

Можем да заключим: геометричната прогресия ще бъде безкрайно намаляваща, ако модулът на нейния знаменател е по-малък от 1.

Предна работа.

определение:

За геометрична прогресия се казва, че е безкрайно намаляваща, ако модулът на нейния знаменател е по-малък от единица..

С помощта на определението е възможно да се реши въпросът дали геометричната прогресия е безкрайно намаляваща или не.

Задача

Дали последователността е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, ако е дадена по формулата:

решение:

Нека намерим q.

; ; ; .

тази геометрична прогресия е безкрайно намаляваща.

б) тази последователност не е безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Помислете за квадрат със страна равна на 1. Разделете го наполовина, едната от половините отново наполовина и т.н. площите на всички получени правоъгълници образуват безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

Сборът от площите на всички правоъгълници, получени по този начин, ще бъде равен на площта на 1-ви квадрат и равен на 1.

Но от лявата страна на това равенство е сборът от безкраен брой членове.

Помислете за сумата от първите n члена.

Съгласно формулата за сбора от първите n члена на геометрична прогресия, той е равен на.

Ако n тогава се увеличава безкрайно

или . Следователно, т.е. .

Сборът от безкрайно намаляваща геометрична прогресияима ограничение на последователността S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Например за прогресия,

ние имаме

Като

Сборът от безкрайно намаляваща геометрична прогресияможе да се намери с помощта на формулата.

III. Рефлексия и консолидация(приключване на задачите).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Обобщавайки.

Каква последователност срещнахте днес?

Определете безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Как да докажем, че геометричната прогресия е безкрайно намаляваща?

Дайте формулата за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

V. Домашна работа.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Визуализация:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт (акаунт) в Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Всеки трябва да може да мисли последователно, да съди категорично и да опровергава грешните заключения: физик и поет, тракторист и химик. Е.Колман В математиката човек трябва да помни не формули, а процеси на мислене. В. П. Ермаков По-лесно е да се намери квадрата на кръг, отколкото да се надхитри математик. Август де Морган Коя наука може да бъде по-благородна, по-възхитителна, по-полезна за човечеството от математиката? Франклин

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия 10 клас

аз Аритметични и геометрични прогресии. Въпроси 1. Определение на аритметична прогресия. Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен към същото число. 2. Формула на n-ия член на аритметична прогресия. 3. Формулата за сбора на първите n члена на аритметична прогресия. 4. Определение на геометрична прогресия. Геометричната прогресия е поредица от числа, различни от нула, всеки член на който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число 5. Формулата на n-ия член на геометрична прогресия. 6. Формулата за сбора на първите n члена на геометрична прогресия.

II. Аритметична прогресия. Задачи Аритметичната прогресия се дава с формулата a n = 7 – 4 n Намерете a 10 . (-33) 2. В аритметична прогресия a 3 = 7 и a 5 = 1 . Намерете 4. (4) 3. В аритметична прогресия a 3 = 7 и a 5 = 1 . Намерете 17 . (-35) 4. В аритметична прогресия a 3 = 7 и a 5 = 1 . Намерете S 17 . (-187)

II. Геометрична прогресия. Задачи 5. За геометрична прогресия намерете петия член 6. За геометрична прогресия намерете n-ия член. 7. Експоненциално b 3 = 8 и b 5 = 2. Намерете b 4 . (4) 8. В геометрична прогресия b 3 = 8 и b 5 = 2 . Намерете b 1 и q . 9. В геометрична прогресия b 3 = 8 и b 5 = 2. Намерете S 5 . (62)

определение: За геометрична прогресия се казва, че е безкрайно намаляваща, ако модулът на нейния знаменател е по-малък от единица.

Задача №1 Дали последователността е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, ако е дадена с формулата: Решение: а) тази геометрична прогресия е безкрайно намаляваща. б) тази последователност не е безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Сборът от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е границата на последователността S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Например, за прогресия имаме Тъй като сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да бъде намерена по формулата

Изпълнение на задачите Намерете сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член 3, вторият 0,3. 2. No 13; No 14; учебник, с. 138 3. No 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. No 19; № 20

Каква последователност срещнахте днес? Определете безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да докажем, че геометричната прогресия е безкрайно намаляваща? Дайте формулата за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпроси

Известният полски математик Хуго Щайнхаус шеговито твърди, че има закон, който е формулиран по следния начин: математикът ще го направи по-добре. А именно, ако поверите на двама души, единият от които е математик, да свършат каквато и да е работа, която не познават, то резултатът винаги ще бъде следният: математикът ще я свърши по-добре. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия, тоест всеки член се различава от предишния с q пъти. (Ще приемем, че q ≠ 1, иначе всичко е твърде тривиално). Лесно е да се види, че общата формула на n-ия член на геометричната прогресия е b n = b 1 q n – 1 ; членовете с числа b n и b m се различават с q n – m пъти.

Още в древен Египет те знаеха не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето, например, задача от папирус на Ринд: „Седем лица имат седем котки; всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка яде седем класа царевица, всяка класа може да отгледа седем мерки ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?

Ориз. 1. Древноегипетска задача за геометрична прогресия

Тази задача се повтаряше много пъти с различни вариации сред другите народи в друго време. Например, в написани през XIII век. В „Книгата на сметалата“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който се появяват 7 стари жени на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 торби, всяка от които съдържа 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които е в 7 ножа. Проблемът пита колко артикула има.

Сборът от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Тази формула може да се докаже, например, както следва: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Нека добавим числото b 1 q n към S n и получим:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Следователно S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) и получаваме необходимата формула.

Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от VI век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Вярно е, както в редица други случаи, ние не знаем къде този факт е бил известен на вавилонците .

Бързият растеж на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в Индия, многократно се използва като ясен символ на необятността на Вселената. В добре познатата легенда за появата на шаха владетелят дава на техния изобретател възможност сам да избере награда и той иска такъв брой житни зърна, който ще се получи, ако се постави в първата клетка на шахматна дъска, две на втората, четири на третата, осем на четвъртата и т.н., всеки път, когато числото се удвоява. Владиката помисли, че най-много са няколко чувала, но се обърка. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят е трябвало да получи (2 64 - 1) зърно, което се изразява като 20-цифрено число; дори и цялата повърхност на Земята да бъде засята, ще са необходими поне 8 години, за да се събере необходимия брой зърна. Тази легенда понякога се тълкува като препратка към почти неограничените възможности, скрити в играта на шах.

Лесно се забелязва фактът, че това число наистина е 20-цифрено:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 = 1,6 10 19 (по-точно изчисление дава 1,84 10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?

Геометричната прогресия се увеличава, ако знаменателят е по-голям от 1 по абсолютна стойност, или намалява, ако е по-малък от единица. В последния случай числото q n може да стане произволно малко за достатъчно голямо n. Докато нарастващата експоненца се увеличава неочаквано бързо, намаляващата експоненца намалява също толкова бързо.

Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо е числото q n се различава от нула и толкова по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) до числото S \u003d b 1 / (1 - q) . (Така разсъждава, например, Ф. Виет). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какво е значението на сумирането на ВСЯКАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой термини, не е бил достатъчно ясен за математиците.

Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Хапене“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (приемем дължина 1) е сбор от безкраен брой отсечки 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е така от гледната точка на идеите за безкрайната геометрична прогресия с крайна сума. И все пак - как може да бъде това?

Ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2

В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е равен на 1/2, а на някакво друго число. Нека например Ахил бяга със скорост v, костенурката се движи със скорост u и първоначалното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за времето l/v, костенурката ще се премести на разстояние lu/v през това време. Когато Ахил премине през този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u / v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първата член l и знаменател u / v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще избяга до мястото на срещата с костенурката - е равна на l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Но, отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл, дълго време не беше много ясно.

Ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3

Сборът от геометрична прогресия е използван от Архимед при определяне на площта на сегмент от парабола. Нека даденият сегмент от параболата е ограничен от хордата AB и нека допирателната в точката D на параболата е успоредна на AB . Нека C е средата на AB, E - средата на AC, F - средата на CB. Начертайте линии, успоредни на DC през точки A, E, F, B; нека допирателната, начертана в точка D , тези прави се пресичат в точки K , L , M , N . Нека също да начертаем сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G, а параболата в точката H; правата FM пресича правата DB в точка Q, а параболата в точка R. Според общата теория на коничните сечения, DC е диаметърът на парабола (тоест сегмент, успореден на нейната ос); тя и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до всяка точка от даден диаметър, y е дължината на a сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметър до някаква точка на самата парабола).

По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , и тъй като DK = 2DL , тогава KA = 4LH . Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на параболата е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на отсечките AHD и DRB, взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които може да се извърши същата операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата оставащи сегмента () и т.н.:

Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на ​триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. По този начин площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълници ∆AHD и ∆DRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълник ∆ADB. Повтарянето на тази операция, приложено към сегментите AH , HD , DR и RB също ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взета заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB . и т.н.:

По този начин Архимед доказа, че „всеки сегмент, затворен между права линия и парабола, е четири трети от триъгълник, като има същата основа и еднаква височина“.

Геометрична прогресияне по-малко важен в математиката, отколкото в аритметиката. Геометрична прогресия е такава последователност от числа b1, b2,..., b[n], всеки следващ член на която се получава чрез умножаване на предишния по постоянно число. Това число, което също характеризира скоростта на растеж или намаляване на прогресията, се нарича знаменател на геометрична прогресияи обозначават

За пълно присвояване на геометрична прогресия, освен знаменателя, е необходимо да се знае или определи първият й член. За положителна стойност на знаменателя прогресията е монотонна последователност и ако тази последователност от числа е монотонно намаляваща и монотонно нарастваща, когато. Случаят, когато знаменателят е равен на единица, не се разглежда на практика, тъй като имаме поредица от еднакви числа и тяхното сумиране не представлява практически интерес

Общ термин на геометрична прогресияизчислено по формулата

Сумата от първите n члена на геометрична прогресияопределя се по формулата

Нека разгледаме решенията на класическите задачи с геометрична прогресия. Нека започнем с най-простото за разбиране.

Пример 1. Първият член на геометрична прогресия е 27, а знаменателят му е 1/3. Намерете първите шест члена на геометрична прогресия.

Решение: Записваме условието на задачата във формата

За изчисления използваме формулата за n-ия член на геометрична прогресия

Въз основа на него намираме неизвестни членове на прогресията

Както можете да видите, изчисляването на условията на геометрична прогресия не е трудно. Самата прогресия ще изглежда така

Пример 2. Дадени са първите три члена на геометрична прогресия: 6; -12; 24. Намерете знаменателя и седмия член.

Решение: Изчисляваме знаменателя на геометричната прогресия въз основа на нейното определение

Получаваме редуваща се геометрична прогресия, чийто знаменател е -2. Седмият член се изчислява по формулата

На тази задача е решена.

Пример 3. Геометрична прогресия е дадена от двама от нейните членове . Намерете десетия член на прогресията.

решение:

Нека запишем дадените стойности чрез формулите

Според правилата би било необходимо да се намери знаменателят и след това да се търси желаната стойност, но за десетия член имаме

Същата формула може да се получи на базата на прости манипулации с входните данни. Разделяме шестия член от поредицата на друг, в резултат получаваме

Ако получената стойност се умножи по шестия член, получаваме десетия

По този начин, за такива проблеми, с помощта на прости трансформации по бърз начин, можете да намерите правилното решение.

Пример 4. Геометричната прогресия се дава с повтарящи се формули

Намерете знаменателя на геометричната прогресия и сбора от първите шест члена.

решение:

Записваме дадените данни под формата на система от уравнения

Изразете знаменателя, като разделите второто уравнение на първото

Намерете първия член на прогресията от първото уравнение

Изчислете следните пет члена, за да намерите сумата от геометричната прогресия

Нека разгледаме серия.

7 28 112 448 1792...

Абсолютно ясно е, че стойността на всеки от неговите елементи е точно четири пъти по-голяма от предходната. Така че тази серия е прогресия.

Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа, чиято основна характеристика е, че следващото число се получава от предишното чрез умножение по някакво конкретно число. Това се изразява със следната формула.

a z +1 =a z q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно z ∈ N.

Периодът, в който се изучава геометрична прогресия в училище е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:

0.25 0.125 0.0625...

Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:

Нито q, нито b z могат да бъдат нула. Освен това всеки от елементите на прогресията не трябва да е равен на нула.

Съответно, за да разберете следващото число от поредицата, трябва да умножите последното по q.

За да посочите тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери някой от следващите термини и тяхната сума.

Сортове

В зависимост от q и a 1 тази прогресия е разделена на няколко типа:

• Ако и 1, и q са по-големи от едно, тогава такава последователност е геометрична прогресия, нарастваща с всеки следващ елемент. Пример за такъв е представен по-долу.

Пример: a 1 =3, q=2 - и двата параметъра са по-големи от един.

Тогава числовата последователност може да бъде написана така:

3 6 12 24 48 ...

• Ако |q| по-малко от единица, тоест умножението по него е еквивалентно на деление, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за такъв е представен по-долу.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е по-голямо от едно, q е по-малко.

Тогава числовата последователност може да се запише, както следва:

6 2 2/3 ... - всеки елемент е 3 пъти по-голям от елемента, който го следва.

• Променлива със знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3 , q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

Тогава последователността може да бъде написана така:

3, 6, -12, 24,...

Формули

За удобно използване на геометричните прогресии има много формули:

• Формула на z-тия член. Позволява ви да изчислите елемента под определено число, без да изчислявате предишните числа.

пример:q = 3, а 1 = 4. Необходимо е да се изчисли четвъртият елемент от прогресията.

решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумата от първите елементи, чийто номер е z. Позволява ви да изчислите сумата от всички елементи на последователност доa zприобщаващ.

Тъй като (1-q) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.

Забележка: ако q=1, тогава прогресията ще бъде серия от безкрайно повтарящо се число.

Сумата от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, q= -2. Изчислете S 5 .

решение:С 5 = 22 - изчисление по формула.

• Сума, ако |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

пример:а 1 = 2 , q= 0,5. Намерете сумата.

решение:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои свойства:

• характерно свойство. Ако следното условие извършени за всякаквиz, тогава дадената числова серия е геометрична прогресия:

a z 2 = a z -1 · аz+1

• Също така, квадратът на произволно число от геометрична прогресия се намира чрез събиране на квадратите на всякакви други две числа от дадена серия, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.

a z 2 = a z - т 2 + a z + т 2 , къдетоте разстоянието между тези числа.

• Елементисе различават по qведнъж.
• Логаритмите на елементите на прогресията също образуват прогресия, но вече аритметична, тоест всеки от тях е по-голям от предишния с определено число.

Примери за някои класически проблеми

За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, примерите с решение за 9 клас могат да помогнат.

• Условия:а 1 = 3, а 3 = 48. Намеретеq.

Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния вq веднъж.Необходимо е едни елементи да се изразят чрез други с помощта на знаменател.

следователно,а 3 = q 2 · а 1

При заместванеq= 4

• Условия:а 2 = 6, а 3 = 12. Изчислете S 6 .

решение:За да направите това, достатъчно е да намерите q, първия елемент и да го замените във формулата.

а 3 = q· а 2 , следователно,q= 2

a 2 = q а 1,Ето защо а 1 = 3

S 6 = 189

• · а 1 = 10, q= -2. Намерете четвъртия елемент от прогресията.

Решение: за да направите това, достатъчно е да изразите четвъртия елемент чрез първия и през знаменателя.

a 4 = q 3· а 1 = -80

Пример за приложение:

• Клиентът на банката направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът ще добавя 6% от него към главницата. Колко пари ще бъдат в сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Така, една година след инвестицията, сметката ще има сума, равна на 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Съответно, сумата по сметката след друга година ще бъде изразена по следния начин:

(10000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери сумата на средствата в сметката след 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент от прогресията, който се дава от първия елемент, равен на 10 хиляди, и знаменателя, равен на 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Примери за задачи за изчисляване на сумата:

В различни задачи се използва геометрична прогресия. Пример за намиране на сумата може да бъде даден, както следва:

а 1 = 4, q= 2, изчислетеS5.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 = 18. Изчислете сумата от първите шест елемента.

решение:

Geom. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предишния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателq.

а 2 · q = а 3

q = 3

По същия начин трябва да намерима 1 , знаейкиа 2 иq.

а 1 · q = а 2

а 1 =2

С 6 = 728.

Разгледайте сега въпроса за сумирането на безкрайна геометрична прогресия. Нека наречем частичния сбор на дадена безкрайна прогресия сумата от нейните първи членове. Означете частичната сума със символа

За всяка безкрайна прогресия

може да се състави (също безкрайна) последователност от частичните му суми

Нека последователност с неограничено увеличение има ограничение

В този случай числото S, т.е. границата на частичните суми на прогресията, се нарича сума от безкрайна прогресия. Ще докажем, че една безкрайна намаляваща геометрична прогресия винаги има сума и ще изведем формула за тази сума (можем също да покажем, че за безкрайна прогресия няма сума, не съществува).

Записваме израза за частичния сбор като сбор от членовете на прогресията съгласно формула (91.1) и разглеждаме границата на частичния сбор при

От теоремата на т. 89 е известно, че за намаляваща прогресия ; следователно, прилагайки граничната теорема за разликата, намираме

(тук се използва и правилото: постоянният коефициент се изважда от знака на границата). Съществуването е доказано и в същото време се получава формулата за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

Равенството (92.1) може да се запише и като

Тук може да изглежда парадоксално, че на сумата от безкраен набор от термини се приписва добре дефинирана крайна стойност.

Може да се даде ясна илюстрация, за да се обясни тази ситуация. Да разгледаме квадрат със страна равна на единица (фиг. 72). Нека разделим този квадрат с хоризонтална линия на две равни части и приложим горната част към долната, така че да се образува правоъгълник със страни 2 и . След това отново разделяме дясната половина на този правоъгълник наполовина с хоризонтална линия и прикрепяме горната част към долната (както е показано на фиг. 72). Продължавайки този процес, ние непрекъснато трансформираме оригиналния квадрат с площ равна на 1 във фигури с еднакъв размер (под формата на стълбище с изтъняващи стъпала).

С безкрайно продължение на този процес, цялата площ на квадрата се разлага на безкраен брой термини - площите на правоъгълниците с основи, равни на 1 и височини. Площите на правоъгълниците просто образуват безкрайно намаляваща прогресия, неговата сума

т.е., както се очаква, е равно на площта на квадрата.

Пример. Намерете сумите на следните безкрайни прогресии:

Решение, а) Отбелязваме, че тази прогресия Следователно, по формулата (92.2) намираме

б) Тук това означава, че по същата формула (92.2) имаме

в) Откриваме, че тази прогресия Следователно тази прогресия няма сума.

В раздел 5 е показано прилагането на формулата за сумата от членовете на безкрайно намаляваща прогресия към превръщането на периодична десетична дроб в обикновена дроб.

Упражнения

1. Сборът от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 3/5, а сборът от първите й четири члена е 13/27. Намерете първия член и знаменателя на прогресията.

2. Намерете четири числа, които образуват редуваща се геометрична прогресия, в която вторият член е по-малък от първия с 35, а третият е по-голям от четвъртия с 560.

3. Покажете последователността какво ако

образува безкрайно намаляваща геометрична прогресия, след това последователността

за всяка форма безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Това твърдение валидно ли е за

Изведете формула за произведението на членовете на геометрична прогресия.