Arifmetik kvadrat ildiz va uning xossalari.

Ushbu maqola ildizlarning xususiyatlari mavzusiga bag'ishlangan batafsil ma'lumotlar to'plamidir. Mavzuni ko'rib chiqsak, biz xususiyatlardan boshlaymiz, barcha formulalarni o'rganamiz va dalillarni keltiramiz. Mavzuni mustahkamlash uchun n-darajaning xossalarini ko'rib chiqamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ildiz xususiyatlari

Biz xususiyatlar haqida gaplashamiz.

Mulk ko'paytirilgan raqamlar a Va b, a · b = a · b tengligi sifatida ifodalanadi. U ko'paytiruvchi sifatida ifodalanishi mumkin, musbat yoki nolga teng a 1 , a 2 , … , a k a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k sifatida;
xususiy a dan: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, bu shaklda ham yozilishi mumkin a b = a b ;
Raqamning kuchidan xossa a har qanday son uchun juft darajali a 2 m = a m a, masalan, a 2 = a sonining kvadratidan xossa.

Taqdim etilgan tenglamalarning har qandayida siz chiziqcha belgisidan oldin va keyin qismlarni almashtirishingiz mumkin, masalan, a · b = a · b tengligi a · b = a · b shaklida o'zgartiriladi. Tenglik xususiyatlari ko'pincha murakkab tenglamalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.

Birinchi xususiyatlarning isboti ta'rifga asoslanadi kvadrat ildiz va natural darajali darajalarning xossalari. Uchinchi xususiyatni asoslash uchun son modulining ta'rifiga murojaat qilish kerak.

Avvalo, kvadrat ildizning a · b = a · b xossalarini isbotlash kerak. Ta'rifga ko'ra, a b musbat yoki nolga teng bo'lgan son ekanligini hisobga olish kerak. a b qurilish vaqtida kvadratga. a · b ifodaning qiymati manfiy bo'lmagan sonlar ko'paytmasi sifatida musbat yoki nolga teng. Ko'paytirilgan sonlar darajasining xususiyati bizga tenglikni (a · b) 2 = a 2 · b 2 ko'rinishida ifodalash imkonini beradi. Kvadrat ildizning ta'rifi bo'yicha a 2 \u003d a va b 2 \u003d b, keyin a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Xuddi shu tarzda, buni mahsulotdan isbotlash mumkin k multiplikatorlar a 1 , a 2 , … , a k bu omillarning kvadrat ildizlari ko'paytmasiga teng bo'ladi. Haqiqatan ham, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k.

Bu tenglikdan kelib chiqadiki, a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Mavzuni mustahkamlash uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.

1-misol

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 va 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1) .

Bo'limning arifmetik kvadrat ildizining xossasini isbotlash kerak: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Xususiyat a: b 2 = a 2: b 2 va a 2: b 2 = a: b tengligini yozish imkonini beradi, a: b esa musbat son yoki nolga teng. Bu ifoda dalil bo'ladi.

Masalan, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 va 30, 121 = 30, 121.

Son kvadratining kvadrat ildizining xossasini ko'rib chiqing. Uni tenglik sifatida 2 = a shaklida yozish mumkin. Bu xususiyatni isbotlash uchun bir nechta tengliklarni batafsil ko'rib chiqish kerak. a ≥ 0 va da a< 0 .

Shubhasiz, a ≥ 0 uchun a 2 = a tengligi haqiqatdir. Da a< 0 a 2 = - a tengligi to'g'ri bo'ladi. Aslida, bu holatda − a > 0 va (- a) 2 = a 2 . Biz a 2 = a, a ≥ 0 - a, a degan xulosaga kelishimiz mumkin< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

2-misol

5 2 = 5 = 5 va - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

Tasdiqlangan xususiyat 2 m = a m ni oqlashga yordam beradi, bu erda a- haqiqiy va m- natural son. Darhaqiqat, eksponentatsiya xususiyati darajani almashtirishga imkon beradi a 2 m ifoda (am) 2, keyin a 2 · m = (a m) 2 = a m .

3-misol

3 8 = 3 4 = 3 4 va (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

n- ildizning xossalari

Avval siz n-darajali ildizlarning asosiy xususiyatlarini hisobga olishingiz kerak:

Raqamlar hosilasidan xossa a Va b musbat yoki nolga teng bo'lgan, tenglik sifatida ifodalanishi mumkin a b n = a n b n, bu xususiyat mahsulot uchun amal qiladi. k raqamlar a 1 , a 2 , … , a k a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n sifatida;
dan kasr son a b n = a n b n xossasiga ega, bu yerda a- har qanday haqiqiy raqam, ijobiy yoki nolga teng bo'lgan va b musbat haqiqiy son;
Har qanday uchun a va hatto raqamlar n = 2 m a 2 m 2 m = a to'g'ri va toq uchun n = 2 m − 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a tengligi bajariladi.
a m n = a n m dan ajratib olish xususiyati, bu erda a- musbat yoki nolga teng har qanday raqam; n Va m natural sonlar bo'lsa, bu xususiyat sifatida ham ifodalanishi mumkin . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2. . . nk ;
Har qanday salbiy bo'lmagan a va ixtiyoriy uchun n Va m, tabiiy bo'lgan, adolatli tenglikni ham belgilash mumkin a m n · m = a n ;
darajali mulk n raqamning kuchidan a, musbat yoki nolga teng, naturada m, a m n = a n m tengligi bilan aniqlanadi;
Bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan taqqoslash xususiyati: har qanday musbat sonlar uchun a Va b shu kabi a< b , tengsizlik a n< b n ;
Taqqoslash xususiyatiga ega bir xil raqamlar ildiz: agar m Va n- natural sonlar m > n, keyin da 0 < a < 1 a m > a n tengsizlik o‘rinli va uchun a > 1 a m< a n .

Tenglik belgisidan oldingi va keyingi qismlar teskari bo'lsa, yuqoridagi tenglamalar to'g'ri bo'ladi. Ular ushbu shaklda ham qo'llanilishi mumkin. Bu ko'pincha iboralarni soddalashtirish yoki o'zgartirish paytida qo'llaniladi.

Ildizning yuqoridagi xossalarini isbotlash ta’rifga, daraja xossalariga va sonning modulini aniqlashga asoslanadi. Bu xususiyatlar isbotlanishi kerak. Lekin hammasi joyida.

Avvalo, n-darajali ildizning xossalarini a · b n = a n · b n hosilasidan isbotlaymiz. Uchun a Va b, qaysi bor ijobiy yoki nol , a n · b n qiymati ham musbat yoki nolga teng, chunki bu manfiy bo'lmagan sonlarni ko'paytirish natijasidir. Tabiiy quvvat mahsulotining xususiyati a n · b n n = a n n · b n n tengligini yozishga imkon beradi. Ildiz ta'rifi bo'yicha n th daraja a n n = a va b n n = b, shuning uchun a n · b n n = a · b. Olingan tenglik aynan isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.

Bu xususiyat mahsulot uchun xuddi shunday isbotlangan k omillar: manfiy bo'lmagan sonlar uchun a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Bu erda ildiz xususiyatidan foydalanishga misollar keltirilgan n mahsulotdan th quvvat: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 va 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

a b n = a n b n bo'lak ildizining xossasini isbotlaylik. Da a ≥ 0 Va b > 0 a n b n ≥ 0 sharti bajariladi va a n b n n = a n n b n n = a b.

Keling, misollarni ko'rsatamiz:

4-misol

8 27 3 = 8 3 27 3 va 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

Keyingi bosqich uchun sondan darajagacha bo'lgan n-darajaning xususiyatlarini isbotlash kerak n. Biz buni har qanday real uchun a 2 m 2 m = a va 2 m - 1 2 m - 1 = a tengligi sifatida ifodalaymiz. a va tabiiy m. Da a ≥ 0 a = a va a 2 m = a 2 m ni olamiz, bu a 2 m 2 m = a tengligini isbotlaydi va a 2 m - 1 2 m - 1 = a tengligi aniq. Da a< 0 mos ravishda a = - a va 2 m = (- a) 2 m = a 2 m ni olamiz. Raqamning oxirgi o'zgarishi daraja xususiyatiga ko'ra amal qiladi. Bu a 2 m 2 m \u003d a tengligini isbotlaydi va 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a to'g'ri bo'ladi, chunki - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m g'alati uchun hisoblanadi. daraja - har qanday raqam uchun 1 c, ijobiy yoki nolga teng.

Qabul qilingan ma'lumotlarni birlashtirish uchun mulkdan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqing:

5-misol

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 va (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

Quyidagi a m n = a n · m tenglikni isbotlaymiz. Buning uchun tenglik belgisidan oldin va undan keyin a n · m = a m n joylarida raqamlarni o'zgartirishingiz kerak. Bu to'g'ri kirishni ko'rsatadi. Uchun a , bu ijobiy yoki nolga teng , a m n ko'rinishidagi musbat son yoki nol. Keling, kuchni kuchga ko'tarish xususiyati va ta'rifiga murojaat qilaylik. Ularning yordami bilan tengliklarni a m n n · m = a m n n m = a m m = a ko'rinishida o'zgartirishingiz mumkin. Bu ildizdan ildizning ko'rib chiqilgan xususiyatini isbotlaydi.

Boshqa xususiyatlar ham xuddi shunday isbotlangan. Haqiqatan ham, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2. . . nk =. . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3. . . nk =. . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4. . . nk =. . . = a n k n k = a.

Masalan, 7 3 5 = 7 5 3 va 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Quyidagi a m n · m = a n xossasini isbotlaymiz. Buning uchun n musbat yoki nolga teng son ekanligini ko'rsatish kerak. n m quvvatga ko'tarilganda a m. Agar raqam a ijobiy yoki nolga teng bo'lsa n orasidan th daraja a musbat son yoki nolga teng Bundan tashqari, isbotlanishi kerak bo'lgan a n · m n = a n n m.

Olingan bilimlarni mustahkamlash uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqing.

Quyidagi xossani - a m n = a n m ko'rinishdagi kuchning ildiz xossasini isbotlaymiz. Ko'rinib turibdiki, da a ≥ 0 a n m darajasi manfiy bo'lmagan sondir. Bundan tashqari, uning n--chi darajaga teng a m, haqiqatdan ham, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Bu darajaning ko'rib chiqilgan xususiyatini isbotlaydi.

Masalan, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

Har qanday ijobiy raqamlar uchun buni isbotlashimiz kerak a va b a< b . a n tengsizlikni ko'rib chiqaylik< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Shuning uchun, a n< b n при a< b .

Masalan, biz 12 4 ni beramiz< 15 2 3 4 .

Ildiz xususiyatini ko'rib chiqing n- daraja. Birinchidan, tengsizlikning birinchi qismini ko'rib chiqing. Da m > n Va 0 < a < 1 rost a m > a n. Faraz qilaylik, a m ≤ a n. Xususiyatlar ifodani a n m · n ≤ a m m · n ga soddalashtiradi. Keyin natural ko‘rsatkichli daraja xossalariga ko‘ra a n m n m n ≤ a m m n m n tengsizlik bajariladi, ya’ni. a n ≤ a m. Olingan qiymat m > n Va 0 < a < 1 yuqoridagi xususiyatlarga mos kelmaydi.

Xuddi shu tarzda, buni isbotlash mumkin m > n Va a > 1 shart a m< a n .

Yuqoridagi xususiyatlarni tuzatish uchun bir nechtasini ko'rib chiqing aniq misollar. Muayyan raqamlar yordamida tengsizliklarni ko'rib chiqing.

6-misol

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Kvadrat er uchastkasining maydoni 81 dm². Uning tomonini toping. Faraz qilaylik, kvadrat tomonining uzunligi X dekimetr. Keyin uchastkaning maydoni X² kvadrat desimetr. Chunki, shartga ko'ra, bu maydon 81 dm² ni tashkil qiladi X² = 81. Kvadrat tomonining uzunligi musbat sondir. Kvadrati 81 bo'lgan musbat son 9 raqamidir. Masalani yechishda kvadrati 81 bo'lgan x sonini topish, ya'ni tenglamani yechish kerak edi. X² = 81. Bu tenglamaning ikkita ildizi bor: x 1 = 9 va x 2 \u003d - 9, chunki 9² \u003d 81 va (- 9)² \u003d 81. 9 va - 9 raqamlarining ikkalasi ham 81 raqamining kvadrat ildizlari deb ataladi.

Kvadrat ildizlardan biri ekanligini unutmang X= 9 - ijobiy son. U 81 ning arifmetik kvadrat ildizi deb ataladi va √81 bilan belgilanadi, shuning uchun √81 = 9.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi lekin kvadrati ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir lekin.

Masalan, 6 va -6 raqamlari 36 ning kvadrat ildizlaridir. 6 soni 36 ning arifmetik kvadrat ildizidir, chunki 6 manfiy bo'lmagan son va 6² = 36. -6 soni arifmetik ildiz emas.

Sonning arifmetik kvadrat ildizi lekin quyidagicha ifodalanadi: √ lekin.

Belgi arifmetik kvadrat ildiz belgisi deb ataladi; lekin ildiz ifodasi deyiladi. Ifoda √ lekin o'qing shunga o'xshash: sonning arifmetik kvadrat ildizi lekin. Masalan, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Bu aniq bo'lgan hollarda gaplashamiz arifmetik ildiz haqida ular qisqacha aytadilar: "kvadrat ildiz lekin«.

Sonning kvadrat ildizini topish harakati kvadrat ildiz olish deb ataladi. Bu harakat kvadratlashtirishning teskarisidir.

Har qanday raqam kvadrat bo'lishi mumkin, lekin har bir raqam kvadrat ildiz bo'lishi mumkin emas. Masalan, raqamning kvadrat ildizini chiqarib bo'lmaydi - 4. Agar shunday ildiz mavjud bo'lsa, uni harf bilan belgilab X, biz noto'g'ri tenglikni olamiz x² \u003d - 4, chunki chap tomonda manfiy bo'lmagan raqam va o'ng tomonda manfiy raqam mavjud.

Ifoda √ lekin faqat qachon mantiqiy bo'ladi a ≥ 0. Kvadrat ildizning ta'rifini qisqacha quyidagicha yozish mumkin: √ a ≥ 0, (√lekin)² = lekin. Tenglik (√ lekin)² = lekin uchun amal qiladi a ≥ 0. Shunday qilib, manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildiziga ishonch hosil qilish lekin teng b, ya'ni, bu √ lekin =b, quyidagi ikkita shart bajarilganligini tekshirishingiz kerak: b ≥ 0, b² = lekin.

Kasrning kvadrat ildizi

Keling, hisoblab chiqamiz. √25 = 5, √36 = 6 ekanligini e'tiborga oling va tenglik mavjudligini tekshiring.

Chunki va , u holda tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, .

Teorema: Agar lekin≥ 0 va b> 0, ya'ni kasrning ildizi ildizga teng maxrajning ildiziga bo‘lingan sondan. Buni isbotlash talab qilinadi: va .

√ dan beri lekin≥0 va √ b> 0, keyin .

Kasrni darajaga ko'tarish va kvadrat ildizni aniqlash xususiyati bilan teorema isbotlangan. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

ni isbotlangan teorema bo'yicha hisoblang .

Ikkinchi misol: buni isbotlang , agar lekin ≤ 0, b < 0. .

Yana bir misol: Hisoblang.

Kvadrat ildiz transformatsiyasi

Ildiz belgisi ostidan ko'paytuvchini chiqarish. Bir ifoda berilsin. Agar lekin≥ 0 va b≥ 0 bo'lsa, mahsulotning ildizi haqidagi teorema bo'yicha biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Bunday transformatsiya ildiz belgisini faktoring deb ataladi. Bir misolni ko'rib chiqing;

Hisoblang X= 2. To'g'ridan-to'g'ri almashtirish X Radikal ifodadagi = 2 murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar birinchi navbatda ildiz belgisi ostidagi omillarni olib tashlasak, bu hisoblarni soddalashtirish mumkin: . Endi x = 2 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:.

Demak, omilni ildiz belgisi ostidan chiqarganda, radikal ifoda bir yoki bir nechta omillar manfiy bo'lmagan sonlarning kvadratlari bo'lgan mahsulot sifatida ifodalanadi. Keyin ildiz hosilasi teoremasi qo'llaniladi va har bir omilning ildizi olinadi. Bir misolni ko'rib chiqaylik: A = √8 + √18 - 4√2 ifodasini dastlabki ikki atamadagi ildiz belgisi ostidagi omillarni chiqarib, soddalashtiramiz:. Biz tenglikni ta'kidlaymiz faqat qachon amal qiladi lekin≥ 0 va b≥ 0. agar lekin < 0, то .

1-fakt.
\(\bullet\) Manfiy bo'lmagan \(a\) sonni oling (ya'ni \(a\geqslant 0\) ). Keyin (arifmetik) kvadrat ildiz\(a\) raqamidan shunday manfiy bo'lmagan \(b\) son chaqiriladi, uning kvadratiga aylanganda \(a\) raqamini olamiz: \[\sqrt a=b\quad \matn(bir xil )\quad a=b^2\] Ta'rifdan kelib chiqadiki \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Bu cheklovlar muhim shart kvadrat ildizning mavjudligi va ular esga olinishi kerak!
Eslatib o'tamiz, har qanday raqam kvadratga aylantirilganda manfiy bo'lmagan natija beradi. Ya'ni, \(100^2=10000\geqslant 0\) va \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\ bullet\) \(\sqrt(25)\) nima? Biz bilamizki, \(5^2=25\) va \((-5)^2=25\) . Ta'rif bo'yicha biz manfiy bo'lmagan sonni topishimiz kerak, \(-5\) mos emas, shuning uchun \(\sqrt(25)=5\) (chunki \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) qiymatini topish \(a\) sonining kvadrat ildizini olish, \(a\) soni esa ildiz ifodasi deb ataladi.
\(\bullet\) Ta'rifga asoslanib, \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) va h.k. ifodalar. mantiqiy emas.

2-fakt.
Tez hisob-kitoblar uchun kvadratchalar jadvalini o'rganish foydali bo'ladi natural sonlar\(1\) dan \(20\) gacha: \[\begin(massiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiv)\]

3-fakt.
Kvadrat ildizlar bilan nima qilish mumkin?
\(\ o'q \) Kvadrat ildizlarning yig'indisi yoki farqi yig'indi yoki farqning kvadrat ildiziga TENG EMAS, ya'ni. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Shunday qilib, agar siz hisoblashingiz kerak bo'lsa, masalan, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , unda dastlab \(\sqrt(25)\) va \(\sqrt) qiymatlarini topishingiz kerak. (49)\ ) va keyin ularni qo'shing. Binobarin, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Agar \(\sqrt a+\sqrt b\) qo'shilganda \(\sqrt a\) yoki \(\sqrt b\) qiymatlarini topib bo'lmasa, bunday ifoda keyinchalik o'zgartirilmaydi va avvalgidek qoladi. Masalan, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) yig'indisida biz \(\sqrt(49)\) ni topishimiz mumkin - bu \(7\) , lekin \(\sqrt 2\) bo'lishi mumkin emas. har qanday tarzda aylantirilgan, shuning uchun \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Bundan tashqari, bu iborani, afsuski, hech qanday tarzda soddalashtirish mumkin emas.\(\ bullet\) Kvadrat ildizlarning mahsuloti/kvosi ko'paytma/ko'rsatkichning kvadrat ildiziga teng, ya'ni. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (tenglikning ikkala qismi ham mantiqiy bo'lishi sharti bilan)
Misol: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu xossalardan foydalanib, ning kvadrat ildizlarini topish qulay katta raqamlar faktoring orqali.
Bir misolni ko'rib chiqing. \(\sqrt(44100)\) ni toping. Chunki \(44100:100=441\) , keyin \(44100=100\cdot 441\) . Boʻlinish mezoniga koʻra \(441\) soni \(9\) ga boʻlinadi (chunki uning raqamlari yigʻindisi 9 va 9 ga boʻlinadi), shuning uchun \(441:9=49\) , ya'ni \(441=9\ cdot 49\) .
Shunday qilib, biz oldik: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Keling, \(5\sqrt2\) (\(5\cdot \sqrt2\) ifodasining qisqartmasi) ifodasi misolida kvadrat ildiz belgisi ostida raqamlarni qanday kiritishni ko'rsatamiz. Chunki \(5=\sqrt(25)\) , keyin \ Shuni ham yodda tutingki, masalan,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Nega bunday? Keling, 1-misol bilan tushuntiramiz). Siz allaqachon tushunganingizdek, biz \(\sqrt2\) raqamini qandaydir tarzda aylantira olmaymiz. Tasavvur qiling-a, \(\sqrt2\) qandaydir raqam \(a\) . Shunga ko'ra, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifodasi \(a+3a\)dan boshqa narsa emas (bir raqam \(a\) va yana uchta bir xil raqamlar \(a\) ). Va biz bilamizki, bu to'rtta shunday raqamga teng \(a\) , ya'ni \(4\sqrt2\) .

4-fakt.
\(\bullet\) Ba'zi sonning qiymatini topishda ildiz (radikal)ning \(\sqrt () \ \) belgisidan xalos bo'lishning iloji bo'lmasa, "ildizni ajratib bo'lmaydi" deb ko'pincha aytiladi. Masalan, \(16\) raqamini ildizga kiritishingiz mumkin, chunki \(16=4^2\) , shuning uchun \(\sqrt(16)=4\) . Ammo \(3\) raqamidan ildizni ajratib olish, ya'ni \(\sqrt3\) ni topish mumkin emas, chunki kvadrati \(3\) ni beradigan raqam yo'q.
Bunday raqamlar (yoki bunday raqamlar bilan ifodalangan) irratsionaldir. Masalan, raqamlar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) va h.k. mantiqsizdir.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) va hokazo.
\(\bullet\) E'tibor bering, har qanday raqam ratsional yoki irratsional bo'ladi. Va birgalikda hammasi oqilona va hammasi irratsional sonlar nomli to‘plam hosil qiladi haqiqiy (haqiqiy) raqamlar to'plami. Bu to'plam \(\mathbb(R)\) harfi bilan belgilanadi.
Bu shuni anglatadiki, barcha raqamlar mavjud bu daqiqa Biz bilamizki, haqiqiy sonlar deyiladi.

5-fakt.
\(\o'q\) Haqiqiy sonning moduli \(a\) - bu \(a\) nuqtadan \(0\) gacha bo'lgan masofaga teng \(|a|\) manfiy bo'lmagan son. chiziq. Masalan, \(|3|\) va \(|-3|\) 3 ga teng, chunki \(3\) va \(-3\) nuqtalardan \(0\) gacha boʻlgan masofalar bir xil va \(3 \) ga teng.
\(\bullet\) Agar \(a\) manfiy bo'lmagan son bo'lsa, \(|a|=a\) .
Misol: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Agar \(a\) manfiy son bo'lsa, \(|a|=-a\) .
Misol: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ularning ta'kidlashicha, manfiy raqamlar uchun modul minusni, musbat raqamlarni, shuningdek \(0\) raqamini "eydi", modul o'zgarishsiz qoladi.
LEKIN bu qoida faqat raqamlar uchun amal qiladi. Agar sizda modul belgisi ostida noma'lum \(x\) (yoki boshqa noma'lum) mavjud bo'lsa, masalan, \(|x|\) , bu haqda biz uning ijobiy, nolga teng yoki salbiy ekanligini bilmaymiz, keyin moduldan qutula olmaymiz. Bunday holda, bu ifoda shunday bo'lib qoladi: \(|x|\) . \(\ bullet\) Quyidagi formulalar amal qiladi: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( taqdim ) a\geqslant 0\] Ko'pincha quyidagi xatoga yo'l qo'yiladi: ular \(\sqrt(a^2)\) va \((\sqrt a)^2\) bir xil ekanligini aytishadi. Bu faqat \(a\) musbat son yoki nol bo'lganda to'g'ri bo'ladi. Ammo agar \(a\) manfiy son bo'lsa, bu to'g'ri emas. Bunday misolni ko'rib chiqishning o'zi kifoya. \(a\) o'rniga \(-1\) raqamini olaylik. Keyin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , lekin \((\sqrt (-1))^2\) ifodasi umuman mavjud emas (chunki u imkonsiz ildiz belgisi ostida salbiy raqamlarni qo'ying!).
Shuning uchun e'tiboringizni \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) ga teng emasligiga qaratamiz! Misol: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\o'ng)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), chunki \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) dan beri \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) ifodasi juft sonni bildiradi)
Ya'ni, qaysidir darajada bo'lgan sondan ildiz ajratib olinganda, bu daraja ikki barobar kamayadi.
Misol:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (e'tibor bering, agar modul o'rnatilmagan bo'lsa, u holda raqamning ildizi \(-25 ga teng bo'ladi. \) ; lekin biz eslaymizki, ildizning ta'rifiga ko'ra, bu bo'lishi mumkin emas: ildizni ajratib olishda biz doimo ijobiy raqam yoki nol olishimiz kerak)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (chunki juft darajali har qanday son manfiy emas)

6-fakt.
Ikki kvadrat ildizni qanday solishtirish mumkin?
\(\ bullet\) Kvadrat ildizlar uchun to'g'ri: agar \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aMisol:
1) \(\sqrt(50)\) va \(6\sqrt2\) ni solishtiring. Birinchidan, biz ikkinchi ifodani aylantiramiz \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Shunday qilib, \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) qaysi butun sonlar orasida joylashgan?
Chunki \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) va \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) va \(0,5\) ni solishtiring. Faraz qilaylik \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((har ikki tomonga bittasini qo'shing))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \to'rtta\matn((kvadrat ikkala qism))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(hizalangan)\] Biz noto'g'ri tengsizlikni olganimizni ko'ramiz. Shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri edi va \(\sqrt 2-1<0,5\) .
E'tibor bering, tengsizlikning ikkala tomoniga ma'lum bir son qo'shilishi uning belgisiga ta'sir qilmaydi. Tengsizlikning ikkala tomonini musbat songa ko'paytirish/bo'lish ham uning belgisini o'zgartirmaydi, lekin manfiy songa ko'paytirish/bo'lish tengsizlik belgisini teskari qiladi!
Tenglama/tengsizlikning ikkala tomonini faqat ikkala tomoni manfiy bo'lmagan taqdirdagina kvadratlash mumkin. Masalan, oldingi misoldagi tengsizlikda siz ikkala tomonni kvadratga aylantirishingiz mumkin, tengsizlikda \(-3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\ bullet\) Shuni yodda tuting \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2\taxminan 1,4\\ &\sqrt 3\taxminan 1,7 \end(hizalangan)\] Bu raqamlarning taxminiy ma'nosini bilish raqamlarni solishtirishda sizga yordam beradi! \(\ o'q \) Kvadratchalar jadvalida mavjud bo'lmagan katta sondan ildizni (agar u ajratilgan bo'lsa) ajratib olish uchun avval qaysi "yuzliklar", keyin qaysi "o'nliklar" orasida ekanligini aniqlashingiz kerak. va keyin bu raqamning oxirgi raqamini aniqlang. Keling, bu qanday ishlashini misol bilan ko'rsatamiz.
\(\sqrt(28224)\) oling. Biz bilamizki, \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) va hokazo. E'tibor bering, \(28224\) \(10\,000\) va \(40\,000\) oralig'ida. Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) \(100\) va \(200\) orasida.
Endi bizning raqamimiz qaysi "o'nliklar" orasida ekanligini aniqlaymiz (masalan, \(120\) va \(130\) ). Kvadratlar jadvalidan shuni ham bilamizki, \(11^2=121\) , \(12^2=144\) va boshqalar, keyin \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Shunday qilib, biz \(28224\) \(160^2\) va \(170^2\) orasida ekanligini ko'ramiz. Shuning uchun \(\sqrt(28224)\) soni \(160\) va \(170\) orasida.
Keling, oxirgi raqamni aniqlashga harakat qilaylik. Keling, kvadratlashtirishda qaysi bir xonali raqamlar oxirida berishini eslaylik \ (4 \) ? Bular \(2^2\) va \(8^2\) . Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) 2 yoki 8 bilan tugaydi. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. \(162^2\) va \(168^2\) ni toping:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Demak, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matematikadan imtihonni adekvat hal qilish uchun, birinchi navbatda, ko'plab teoremalar, formulalar, algoritmlar va boshqalarni kiritadigan nazariy materialni o'rganish kerak.Bir qarashda, bu juda oddiydek tuyulishi mumkin. Biroq, matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonining nazariyasi har qanday tayyorgarlik darajasiga ega bo'lgan talabalar uchun oson va tushunarli tarzda taqdim etilgan manbani topish, aslida, juda qiyin vazifadir. Maktab darsliklarini har doim ham qo'lda ushlab turish mumkin emas. Va matematikadan imtihon uchun asosiy formulalarni topish hatto Internetda ham qiyin bo'lishi mumkin.

Nega faqat imtihon topshirganlar uchun emas, balki matematikada nazariyani o'rganish juda muhim?

Chunki u sizning dunyoqarashingizni kengaytiradi. Matematika bo'yicha nazariy materialni o'rganish dunyoni bilish bilan bog'liq keng ko'lamli savollarga javob olishni istagan har bir kishi uchun foydalidir. Tabiatdagi hamma narsa tartibli va aniq mantiqqa ega. Aynan shu narsa fanda o'z aksini topadi, bu orqali dunyoni tushunish mumkin.
Chunki u aqlni rivojlantiradi. Matematikadan imtihon uchun ma'lumotnomalarni o'rganish, shuningdek, turli muammolarni hal qilish, inson mantiqiy fikrlash va fikr yuritishni, fikrlarni to'g'ri va aniq shakllantirishni o'rganadi. U tahlil qilish, umumlashtirish, xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantiradi.

Sizni o'quv materiallarini tizimlashtirish va taqdim etishga bo'lgan yondashuvimizning barcha afzalliklarini shaxsan baholashga taklif qilamiz.

Inson o'zini anglab, o'zini dunyoning avtonom birligi sifatida ko'rsata boshlaganida matematika tug'ilgan. Sizni o'rab turgan narsalarni o'lchash, taqqoslash, hisoblash istagi bizning kunlarimizdagi fundamental fanlardan biri hisoblanadi. Avvaliga bular boshlang'ich matematikaning zarralari bo'lib, bu raqamlarni ularning fizik ifodalari bilan bog'lash imkonini berdi, keyinchalik xulosalar faqat nazariy (mavhumligi sababli) taqdim etila boshlandi, ammo bir muncha vaqt o'tgach, bir olim aytganidek, " matematika murakkablik cho'qqisiga barcha raqamlar erishganida erishdi." "Kvadrat ildiz" tushunchasi hisob-kitoblar tekisligidan tashqariga chiqib, empirik ma'lumotlar bilan osongina qo'llab-quvvatlanishi mumkin bo'lgan davrda paydo bo'ldi.

Hammasi qanday boshlandi

Hozirgi vaqtda √ sifatida belgilangan ildiz haqida birinchi eslatma zamonaviy arifmetikaga asos solgan Bobil matematiklarining asarlarida qayd etilgan. Albatta, ular hozirgi shaklga biroz o'xshardi - o'sha yillar olimlari birinchi marta katta hajmli planshetlardan foydalanganlar. Ammo miloddan avvalgi II ming yillikda. e. ular kvadrat ildizni qanday olish kerakligini ko'rsatadigan taxminiy hisoblash formulasini o'ylab topishdi. Quyidagi fotosuratda Bobil olimlari √2 chiqish jarayonini o'yib chizgan tosh ko'rsatilgan va u shunchalik to'g'ri bo'lib chiqdiki, javobdagi nomuvofiqlik faqat o'ninchi kasrda topilgan.

Bundan tashqari, agar boshqa ikkitasi ma'lum bo'lsa, uchburchakning tomonini topish kerak bo'lsa, ildiz ishlatilgan. Xo'sh, kvadrat tenglamalarni yechishda, ildizni ajratib olishdan qutulib bo'lmaydi.

Maqolaning mavzusi Bobil asarlari bilan bir qatorda Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" asarida ham o'rganilgan va qadimgi yunonlar ildizi qoldiqsiz olinmagan har qanday son irratsional natija beradi degan xulosaga kelishgan. .

Bu atamaning kelib chiqishi raqamning arabcha ifodalanishi bilan bog'liq: qadimgi olimlar ixtiyoriy sonning kvadrati o'simlik kabi ildizdan o'sadi, deb hisoblashgan. Lotin tilida bu so'z radixga o'xshaydi (naqshni kuzatish mumkin - "ildiz" semantik yukiga ega bo'lgan hamma narsa undosh bo'ladi, u turp yoki siyatik).

Keyingi avlod olimlari bu fikrni qabul qilib, uni Rx deb belgilashdi. Misol uchun, XV asrda kvadrat ildiz ixtiyoriy a sonidan olinganligini ko'rsatish uchun R 2 a ni yozishgan. Zamonaviy qiyofaga tanish bo'lgan √ belgisi faqat 17-asrda Rene Dekart tufayli paydo bo'lgan.

Bizning kunlarimiz

Matematik jihatdan y ning kvadrat ildizi kvadrati y bo'lgan z sonidir. Boshqacha aytganda, z 2 =y √y=z ga ekvivalentdir. Biroq, bu ta'rif faqat arifmetik ildiz uchun tegishli, chunki u ifodaning manfiy bo'lmagan qiymatini bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, √y=z, bu erda z 0 dan katta yoki teng.

Umuman olganda, algebraik ildizni aniqlash uchun amal qiladi, ifodaning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Shunday qilib, z 2 =y va (-z) 2 =y bo'lganligi sababli bizda: √y=±z yoki √y=|z|.

Matematikaga muhabbat faqat fanning rivojlanishi bilan ortganligi sababli, unga bog'lanishning quruq hisob-kitoblarda ifodalanmaydigan turli ko'rinishlari mavjud. Masalan, Pi kuni kabi qiziqarli voqealar bilan bir qatorda kvadrat ildiz bayramlari ham nishonlanadi. Ular yuz yil ichida to'qqiz marta nishonlanadi va quyidagi tamoyilga muvofiq belgilanadi: kun va oyni tartib bilan bildiruvchi raqamlar yilning kvadrat ildizi bo'lishi kerak. Shunday qilib, keyingi safar ushbu bayram 2016 yil 4 aprelda nishonlanadi.

R maydonidagi kvadrat ildizning xossalari

Deyarli barcha matematik ifodalar geometrik asosga ega, bu taqdir o'tmadi va √y maydoni y bo'lgan kvadratning tomoni sifatida belgilanadi.

Raqamning ildizini qanday topish mumkin?

Bir nechta hisoblash algoritmlari mavjud. Eng oddiy, ammo ayni paytda juda og'ir, odatiy arifmetik hisob-kitob bo'lib, u quyidagicha:

1) bizga ildizi kerak bo'lgan sondan toq raqamlar navbatma-navbat ayiriladi - natijaning qolgan qismi ayirilgandan kam yoki hatto nolga teng bo'lguncha. Harakatlar soni oxir-oqibat kerakli raqamga aylanadi. Masalan, 25 ning kvadrat ildizini hisoblash:

Keyingi toq raqam 11, qolgani: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Bunday holatlar uchun Teylor seriyasining kengayishi mavjud:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , bu yerda n 0 dan qiymatlarni oladi

+∞ va |y|≤1.

z=√y funksiyaning grafik tasviri

R haqiqiy sonlar maydonida z=√y elementar funksiyani ko'rib chiqaylik, bunda y noldan katta yoki teng. Uning jadvali quyidagicha ko'rinadi:

Egri chiziq boshlang'ichdan o'sadi va shartli ravishda nuqtani kesib o'tadi (1; 1).

R haqiqiy sonlar maydonidagi z=√y funksiyaning xossalari

1. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyani aniqlash sohasi noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan oraliqdir (nol kiritilgan).

2. Ko'rib chiqilayotgan funktsiya qiymatlari diapazoni noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan oraliqdir (nol yana kiritilgan).

3. Funksiya minimal qiymatni (0) faqat (0; 0) nuqtada oladi. Maksimal qiymat yo'q.

4. z=√y funksiya juft ham, toq ham emas.

5. z=√y funksiya davriy emas.

6. z=√y funksiya grafigining koordinata o’qlari bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud: (0; 0).

7. z=√y funksiya grafigining kesishish nuqtasi ham shu funksiyaning nolga teng.

8. z=√y funksiya uzluksiz ortib bormoqda.

9. z=√y funksiya faqat musbat qiymatlarni oladi, shuning uchun uning grafigi birinchi koordinata burchagini egallaydi.

z=√y funksiyasini aks ettirish variantlari

Matematikada murakkab ifodalarni hisoblashni osonlashtirish uchun ular ba'zan kvadrat ildizni yozishning kuch shaklidan foydalanadilar: √y=y 1/2. Bu variant, masalan, funktsiyani quvvatga ko'tarishda qulaydir: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Bu usul, shuningdek, integratsiya bilan farqlash uchun yaxshi vakildir, chunki uning yordamida kvadrat ildiz oddiy quvvat funktsiyasi bilan ifodalanadi.

Dasturlashda esa √ belgisini almashtirish sqrt harflarining birikmasidir.

Shunisi e'tiborga loyiqki, bu sohada kvadrat ildiz katta talabga ega, chunki u hisob-kitoblar uchun zarur bo'lgan geometrik formulalarning aksariyat qismidir. Hisoblash algoritmining o'zi ancha murakkab va rekursiyaga (o'zini chaqiradigan funksiya) asoslangan.

Kompleks maydondagi kvadrat ildiz C

Umuman olganda, ushbu maqolaning mavzusi kompleks sonlar maydonini kashf etishga turtki bo'ldi, chunki matematiklarni manfiy sondan juft darajali ildiz olish masalasi hayratda qoldirdi. Hayoliy birlik i shunday paydo bo'ldi, u juda qiziq xususiyat bilan ajralib turadi: uning kvadrati -1 ga teng. Buning yordamida kvadrat tenglamalar va manfiy diskriminant bilan yechim topildi. C da kvadrat ildiz uchun xuddi shu xususiyatlar R dagi kabi tegishli, yagona narsa shundaki, ildiz ifodasidagi cheklovlar olib tashlanadi.