Як знайти середню швидкість руху. Завдання на середню швидкість

Щоб вирахувати середню швидкість, скористайтеся простою формулою: Швидкість = Пройдений шлях Час (\displaystyle (\text(Швидкість))=(\frac (\text(Пройдений шлях))(\text(Час)))). Але в деяких завданнях даються два значення швидкості - на різних ділянках пройденого шляху або різні проміжки часу. У цих випадках слід користуватися іншими формулами для обчислення середньої швидкості. Навички вирішення подібних завдань можуть стати в нагоді в реального життя, а самі завдання можуть зустрітися на іспитах, тому запам'ятайте формули та усвідомте принципи розв'язання задач.

Кроки

За одним значенням шляху та одним значенням часу

• довжина шляху, пройденого тілом;
• час, протягом якого тіло пройшло цей шлях.
• Наприклад: автомобіль проїхав 150 км за 3 год. Знайдіть середню швидкість автомобіля.

1. Формула: , де v (\displaystyle v)- Середня швидкість, s (\displaystyle s)- пройдений шлях, t (\displaystyle t)- час, протягом якого пройдений шлях.

   У формулу підставте пройдений шлях.Значення шляху підставте замість s (\displaystyle s).

   • У прикладі автомобіль проїхав 150 км. Формула запишеться так: v = 150 t (\displaystyle v=(\frac (150)(t))).

2. У формулу підставте час.Значення часу підставте замість t (\displaystyle t).

   • У прикладі автомобіль їхав протягом 3 год. Формула запишеться так: .

3. Розділіть шлях на час.Ви знайдете середню швидкість (як правило, вона вимірюється за кілометри на годину).

   • У нашому прикладі:
     v = 150 3 (\displaystyle v=(\frac (150)(3)))
     
     Таким чином, якщо автомобіль проїхав 150 км за 3 год, він рухався із середньою швидкістю 50 км/год.

4. Обчисліть загальний пройдений шлях.Для цього складіть значення пройдених ділянок колії. У формулу підставте загальний пройдений шлях (замість s (\displaystyle s)).

   • У нашому прикладі автомобіль проїхав 150 км, 120 км та 70 км. Загальний пройдений шлях: .

5. T (\displaystyle t)).

   • . Отже, формула запишеться так: .
6. • У нашому прикладі:
     v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
     
     Таким чином, якщо автомобіль проїхав 150 км за 3 год, 120 км за 2 год, 70 км за 1 год, то він рухався із середньою швидкістю 57 км/год (округлено).

За декількома значеннями швидкостей і декількома значеннями часу

1. Подивіться дані величини.Скористайтеся цим методом, якщо дані такі величини:

   Запишіть формулу для обчислення середньої швидкості.Формула: v = s t (\displaystyle v=(\frac (s)(t))), де v (\displaystyle v)- Середня швидкість, s (\displaystyle s)- загальний пройдений шлях, t (\displaystyle t)- загальний час, за який пройдено шлях.

2. Обчисліть загальний шлях.Для цього помножте кожну швидкість на відповідний час. Так ви знайдете довжину кожної ділянки колії. Щоб визначити загальний шлях, складіть значення пройдених ділянок шляху. У формулу підставте загальний пройдений шлях (замість s (\displaystyle s)).

   • Наприклад:
     50 км/год протягом 3 год. 50 × 3 = 150 (\displaystyle 50\times 3=150)км
     60 км/год протягом 2 год. 60 × 2 = 120 (\displaystyle 60\times 2=120)км
     70 км/год. протягом 1 год = 70 × 1 = 70 (\displaystyle 70\times 1=70)км
     Загальна пройдена дорога: 150 + 120 + 70 = 340 (\displaystyle 150 +120 +70 = 340)км. Таким чином, формула запишеться так: v = 340 t (\displaystyle v=(\frac (340)(t))).

3. Обчисліть загальний час у дорозі.Для цього складіть значення часу, за які було пройдено кожну ділянку колії. У формулу підставте загальний час (замість t (\displaystyle t)).

   • У нашому прикладі автомобіль їхав протягом 3 год., 2 год. і 1 год. Загальний час у дорозі: 3 + 2 + 1 = 6 (\displaystyle 3+2+1=6). Таким чином, формула запишеться так: v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6))).

4. Розділіть спільний шлях на загальний час.Ви знайдете середню швидкість.

   • У нашому прикладі:
     v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
     v = 56 , 67 (\displaystyle v = 56,67)
     Таким чином, якщо автомобіль рухався зі швидкістю 50 км/год протягом 3 год, зі швидкістю 60 км/год протягом 2 год, зі швидкістю 70 км/год протягом 1 год, він рухався зі середньою швидкістю 57 км/год заокруглено).

За двома значеннями швидкостей та двома однаковими значеннями часу

1. Подивіться дані величини.Скористайтеся цим методом, якщо дані такі величини та умови:

   • два чи кілька значень швидкостей, із якими рухалося тіло;
   • тіло рухалося з певними швидкостями протягом рівних проміжків часу.
   • Наприклад: автомобіль рухався зі швидкістю 40 км/год протягом 2 год і зі швидкістю 60 км/год протягом інших 2 год. Знайдіть середню швидкість автомобіля протягом усього шляху.

2. Запишіть формулу для обчислення середньої швидкості, якщо дані дві швидкості, з якими тіло рухається протягом рівних проміжків часу. Формула: v = a + b 2 (\displaystyle v=(\frac (a+b)(2))), де v (\displaystyle v)- Середня швидкість, a (\displaystyle a)- швидкість тіла протягом першого проміжку часу; b (\displaystyle b)- Швидкість тіла протягом другого (такого ж, як перший) проміжку часу.

   • У таких завданнях значення проміжків часу не важливі – головне, щоб вони були рівними.
   • Якщо дано кілька значень швидкостей та рівні проміжки часу, перепишіть формулу так: v = a + b + c 3 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c)(3)))або v = a + b + c + d 4 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c+d)(4))). Якщо проміжки часу рівні, складіть усі значення швидкостей та розділіть їх на кількість таких значень.

3. У формулу підставте значення швидкостей.Неважливо, яке значення підставити замість a (\displaystyle a), а яке - замість b (\displaystyle b).

   • Наприклад, якщо перша швидкість дорівнює 40 км/год, а друга швидкість дорівнює 60 км/год, формула запишеться так: .

4. Складіть значення двох швидкостей.Потім суму розділіть на дві. Ви знайдете середню швидкість протягом усього шляху.

   • Наприклад:
     v = 40 + 60 2 (\displaystyle v=(\frac (40+60)(2)))
     v = 100 2 (\displaystyle v=(\frac (100)(2)))
     v = 50 (\displaystyle v=50)
     Таким чином, якщо автомобіль рухався зі швидкістю 40 км/год протягом 2 год і зі швидкістю 60 км/год протягом інших 2 год, середня швидкість автомобіля протягом усього шляху становила 50 км/ч.

Дуже просто! Потрібно весь шлях розділити на час, який об'єкт руху знаходився у дорозі. Висловлюючись інакше, можна визначити середню швидкість як середнє арифметичне всіх швидкостей руху об'єкта. Але існують деякі нюанси під час вирішення завдань даного напряму.

Наприклад, для обчислення середньої швидкості дається такий варіант завдання: мандрівник спочатку йшов зі швидкістю 4 км за годину протягом години. Потім попутна машина «підібрала» його, і решту шляху він проїхав за 15 хвилин. Причому автомобіль йшов із швидкістю 60 км на годину. Як визначити середню швидкість переміщення мандрівника?

Не слід просто складати 4 км та 60 і ділити їх навпіл, це буде неправильний хід рішення! Адже пройдені шляхи пішки та на машині нам невідомі. Отже, спочатку треба вирахувати весь шлях.

Першу частину шляху знайти легко: 4 км на годину Х 1 год = 4 км

З другою частиною колії невеликі проблеми: швидкість виражена у годинах, а час руху – у хвилинах. Цей аспект часто заважає визначити правильну відповідь, коли поставлені питання, як визначити середню швидкість, шлях або час.

Виразимо 15 хвилин у годинах. Для цього 15 хв: 60 хв = 0,25 годин. Тепер розрахуємо, який шлях мандрівник пройшов на попутці?

60 км/год Х 0,25 год = 15 км

Тепер знайти весь подоланий подорожнім шлях не складе особливої ​​праці: 15 км. + 4 км. = 19 км.

Час руху також досить легко вирахувати. Це 1:00 + 0,25 години = 1,25 години.

І тепер уже зрозуміло, як знайти середню швидкість: потрібно весь шлях поділити на час, який мандрівник витратив на його подолання. Тобто 19 км: 1,25 години = 15,2 км/година.

Є такий анекдот у тему. Чоловік, що поспішає на запитує власника поля: «Чи можна мені пройти до вокзалу через вашу ділянку? Я трохи запізнююсь і хотів би скоротити свій шлях, пройшовши безпосередньо. Тоді я безперечно встигну до електрички, яка відходить о 16 годині 45 хвилин!» - «Звичайно, ви можете скоротити свій шлях, пройшовши через мій луг! І якщо вас там помітить мій бик, то ви встигнете навіть на ту електричку, яка відходить о 16 годині 15 хвилин».

Ця комічна ситуація, тим часом, має пряме відношення до такого математичного поняття, як середня швидкість руху. Адже потенційний пасажир намагається скоротити свій шлях з тієї простої причини, що знає середню швидкість свого руху, наприклад, 5 км на годину. І пішохід, знаючи, що обхідний шлях асфальтованою дорогою дорівнює 7,5 км, зробивши подумки прості обчислення, розуміє, що йому знадобиться на цю дорогу півтори години (7,5 км: 5 км/год = 1,5 год).

Він же, вийшовши з дому надто пізно, обмежений у часі, тому вирішує скоротити свій шлях.

І ось тут ми стикаємося з першим правилом, яке диктує нам, як знайти середню швидкість руху: з огляду на пряма відстаньміж крайніми точкамишляхи або саме прораховуючи З вищесказаного всім ясно: слід вести розрахунок, беручи до уваги траєкторію шляху.

Скоротивши шлях, але не змінюючи свою середню швидкість, об'єкт від імені пішохода отримує виграш у часі. Фермер же, припускаючи середню швидкість «спринтера», що тікає від розлюченого бика, також робить прості розрахункита видає свій результат.

Автомобілісти часто використовують друге, важливе, правило обчислення середньої швидкості, що стосується часу перебування у дорозі. Це стосується того питання, як знайти середню швидкість у випадку, якщо об'єкт має під час зупинки.

У цьому варіанті зазвичай, якщо немає додаткових уточнень, для розрахунку беруть повний час, включаючи зупинки. Тому водій авто може сказати, що його середня швидкість руху вранці вільною дорогою набагато вище, ніж середня швидкість руху в годину-пік, хоча спідометр показує одну і ту ж цифру в обох варіантах.

Знаючи ці цифри, досвідчений шофер ніколи і нікуди не запізниться, заздалегідь припустивши, якою буде його середня швидкість пересування в місті різний часдіб.

Є середні величини, неправильне визначення яких увійшло анекдот чи притчу. Будь-які неправильно проведені розрахунки коментуються поширеним загальнозрозумілим посиланням на такий свідомо абсурдний результат. У кожного, наприклад, викликає усмішку саркастичного розуміння фраза "середня температура по лікарні". Однак ті ж знавці нерідко, не замислюючись, складають швидкості на окремих відрізках колії і поділяють підраховану суму на кількість цих ділянок, щоб отримати таку ж безглузду відповідь. Нагадаємо з курсу механіки середньої школиЯк знайти середню швидкість правильним, а не абсурдним способом.

Аналог "середньої температури" у механіці

У яких випадках каверзно сформульовані умови завдання підштовхують нас до поспішної необдуманої відповіді? Якщо йдеться про "частини" шляху, але не вказується їх протяжність, це насторожує навіть мало досвідченого у вирішенні подібних прикладів людини. А ось якщо в задачі прямо вказується на рівні проміжки, наприклад, "першу половину колії поїзд слідував зі швидкістю...", або "першу третину шляху пішохід пройшов зі швидкістю...", і далі докладно розписується, як об'єкт пересувався на рівних, що залишилися. ділянках, тобто відоме співвідношення S 1 = S 2 = ... = S nі точні значенняшвидкостей v 1, v 2, ... v n, Наше мислення нерідко дає непробачну осічку. Вважається середнє арифметичне швидкостей, тобто все відомі значення v складаються та діляться на n. У результаті відповідь виходить неправильною.

Прості "формули" розрахунку величин при рівномірному русі

І для всього пройденого шляху, і для окремих його ділянок у разі усереднення швидкості справедливі співвідношення, написані для рівномірного руху:

• S = vt(1), "формула" шляху;
• t=S/v(2), "формула" розрахунку часу руху ;
• v=S/t(3), "формула" визначення середньої швидкості на ділянці колії S, пройденому за час t.

Тобто для знаходження шуканої величини vз використанням співвідношення (3) нам потрібно точно знати дві інші. Саме вирішуючи питання, як знайти середню швидкість руху, ми перш за все маємо визначити, який весь пройдений шлях Sі яке весь час руху t.

Математичне виявлення прихованої помилки

У вирішуваному нами прикладі пройдений тілом (поїздом або пішоходом) шлях дорівнюватиме твору nS n(так як ми nраз складаємо рівні ділянки шляху, у наведених прикладах - половинки, n = 2, або третини, n = 3). Про повний час руху нам нічого не відомо. Як визначити середню швидкість, якщо знаменник дробу (3) не заданий? Скористаємося співвідношенням (2), для кожної ділянки шляху визначимо t n = S n: v n. Суму розрахованих таким чином проміжків часу запишемо під межею дробу (3). Ясно, що для того, щоб позбутися знаків "+", потрібно наводити все S n: v nдо спільного знаменника. В результаті виходить "двоповерховий дріб". Далі користуємося правилом: знаменник знаменника йде до чисельника. У підсумку, для завдання з поїздом після скорочення S n маємо v ср = nv 1 v 2: v 1 + v 2 n = 2 (4) . Для випадку з пішоходом питання – як знайти середню швидкість, вирішується ще складніше: v ср = nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1 ,n = 3(5).

Явне підтвердження помилки "у числах"

Для того, щоб "на пальцях" підтвердити, що визначення середнього арифметичного - помилковий шлях при розрахунку vср, конкретизуємо приклад, замінивши абстрактні букви числами. Для поїзда візьмемо швидкість 40 км/годі 60 км/год(помилкова відповідь - 50 км/год). Для пішохода - 5 , 6 і 4 км/год(середнє арифметичне - 5 км/год). Неважко переконатися, підставивши значення співвідношення (4) і (5), що вірними відповідями будуть для локомотива 48 км/годі для людини - 4,(864) км/год(періодичний десятковий дріб, результат математично не надто красивий).

Коли середнє арифметичне "не підводить"

Якщо завдання формулюється так: "За рівні проміжки часу тіло рухалося спочатку зі швидкістю v 1, потім v 2, v 3і так далі", швидка відповідь на питання, як знайти середню швидкість, може бути знайдений неправильним способом. Надамо читачеві самостійно в цьому переконатися, підсумувавши в знаменнику рівні проміжки часу і скориставшись у чисельнику v порівнспіввідношенням (1). Це, мабуть, єдиний випадок, коли хибний метод призводить до отримання коректного результату. Але для гарантовано точних розрахунків потрібно користуватися єдино правильним алгоритмом, незмінно звертаючись до дробу v ср = S: t.

Алгоритм на всі випадки життя

Для того щоб напевно уникнути помилки, при вирішенні питання, як знайти середню швидкість, достатньо запам'ятати та виконати просту послідовність дій:

• визначити весь шлях, підсумувавши довжини окремих його ділянок;
• встановити весь час шляху;
• поділити перший результат на другий, невідомі, не задані в задачі величини при цьому (за умови коректного формулювання умов) скорочуються.

У статті розглянуті найпростіші випадки, коли вихідні дані наводяться на рівні частки часу або рівні ділянки шляху. У випадку співвідношення хронологічних проміжків або пройдених тілом відстаней може бути довільним (але у своїй математично визначеним, вираженим конкретним цілим числом чи дробом). Правило звернення до співвідношення v ср = S: tабсолютно універсально і ніколи не підводить, хоч би складні на перший погляд алгебраїчні перетворення не доводилося виконувати.

Насамкінець зазначимо: для спостережних читачів не залишилася непоміченою практична значущість використання правильного алгоритму. Правильно розрахована середня швидкість у наведених прикладах виявилася дещо нижчою за "середню температуру" на трасі. Тому помилковий алгоритм для систем, що фіксують перевищення швидкості, означав би більша кількістьпомилкових постанов ДІБДР, що надсилаються в "листах щастя" водіям.

У статті розказано про те, як знайти середню швидкість. Дано визначення цього поняття, а також розглянуто два важливі окремі випадки знаходження середньої швидкості. Подано докладний розбірзадач на знаходження середньої швидкості тіла від репетитора з математики та фізики.

Визначення середньої швидкості

Середньою швидкістюруху тіла називається відношення шляху , пройденого тілом, до часу , протягом якого рухалося тіло:

Навчимося її знаходити на прикладі наступного завдання:

Зверніть увагу, що в даному випадку це значення не співпало із середнім арифметичним швидкостей і , яке дорівнює:
м/с.

Окремі випадки знаходження середньої швидкості

1. Дві однакові ділянки шляху.Нехай першу половину колії тіло рухалося зі швидкістю, а другу половину колії — зі швидкістю. Потрібно знайти середню швидкість руху тіла.

2. Два однакові інтервали руху.Нехай тіло рухалося зі швидкістю протягом деякого проміжку часу, а потім почало рухатися зі швидкістю протягом такого ж проміжку часу. Потрібно знайти середню швидкість руху тіла.

Тут ми отримали єдиний випадок, коли середня швидкість руху збіглася із середнім арифметичним швидкостями та на двох ділянках шляху.

Вирішимо наостанок завдання з Всеросійської олімпіадишколярів з фізики, що минула минулого року, пов'язана з темою нашого сьогоднішнього заняття.

Тіло рухалося, і середня швидкість руху склала 4 м/с. Відомо, що за останні рухи середня швидкість цього ж тіла склала 10 м/с. Визначте середню швидкість тіла за перші з руху.

Пройдений тілом шлях становить: м. Можна знайти також шлях, який пройшло тіло за останні зі свого руху: м. Тоді за перші зі свого руху тіло подолало шлях у м. Отже, середня швидкість на цій ділянці колії склала:
м/с.

Завдання на перебування середньої швидкості руху дуже люблять пропонувати на ЄДІ та ОДЕ з фізики, вступних іспитів, а також олімпіадах. Навчитися вирішувати ці завдання має кожен школяр, якщо він планує продовжити навчання у вузі. Допомогти впоратися з цим завданням може знаючий товариш, шкільний вчительабо репетитор з математики та фізики. Успіхів вам у вивченні фізики!

Сергій Валерійович

Поняття швидкості – одне з головних понять у кінематиці.
Багатьом напевно відомо, що швидкість – це фізична величина, що показує наскільки швидко (або наскільки повільно) переміщається в просторі тіло, що рухається. Зрозуміло, мова йдепро переміщення у вибраній системі відліку. Чи відомо вам, що використовуються не одне, а три поняття швидкості? Є швидкість у Наразічасу, звана миттєвою швидкістю, і є два поняття середньої швидкості за цей проміжок часу – середня дорожня швидкість (англійською speed) та середня швидкість переміщення (англійською velocity).
Розглянемо матеріальну точку в системі координат x, y, z(Рис. А).

Положення Aточки в момент часу tхарактеризуємо координатами x(t), y(t), z(t), що представляють три складові радіусу-вектора ( t). Крапка рухається, її положення в обраній системі координат з часом змінюється - кінець радіуса-вектора ( t) описує криву, звану траєкторією точки, що рухається.
Траєкторія, описана за проміжок часу від tдо t + Δt, показано малюнку б.

Через Bпозначено положення точки в момент t + Δt(його фіксує радіус-вектор ( t + Δt)). Нехай Δs− довжина аналізованої криволінійної траєкторії, тобто шлях, пройдений точкою за час від tдо t + Δt.
Середню дорожню швидкість точки за даний проміжок часу визначають співвідношенням

Очевидно, що v п − скалярна величина; вона характеризується лише числовим значенням.
Показаний на малюнку б вектор

називають переміщенням матеріальної точки за час від tдо t + Δt.
Середню швидкість переміщення за даний проміжок часу визначають співвідношенням

Очевидно, що v порівн− векторна величина. Напрямок вектору v порівнзбігається з напрямком переміщення Δr.
Зауважимо, що у разі прямолінійного руху середня шляхова швидкість точки, що рухається, збігається з модулем середньої швидкості по переміщенню.
Рух точки прямолінійної чи криволінійної траєкторії називають рівномірним, якщо у співвідношенні (1) величина vп не залежить від Δt. Якщо, наприклад, зменшити Δtвдвічі, то й довжина пройденого точкою шляху Δsзменшиться у 2 рази. За рівномірного руху точка проходить за рівні проміжки часу шляху рівної довжини.
 Питання:
Чи можна вважати, що при рівномірному русі точки від Δtне залежить також вектор середньої швидкості по переміщенню?

 Відповідь:
Так можна вважати лише у разі прямолінійного руху (при цьому, нагадаємо, модуль середньої швидкості по переміщенню дорівнює середній колійній швидкості). Якщо ж рівномірний рух відбувається по криволінійній траєкторії, то зі зміною проміжку усереднення Δtбудуть змінюватися як модуль, так і напрямок вектора середньої швидкості переміщення. При рівномірному криволінійному русірівним проміжкам часу Δtвідповідатимуть різні вектори переміщення Δr(Отже, і різні вектори v порівн).
Щоправда, у разі рівномірного рухупо колу рівним проміжкам часу відповідатимуть рівні значення модуля переміщення |r|(а отже, і рівні |v порівн |). Але напрями переміщень (а отже, і векторів v порівн) і в даному випадку будуть різними для однакових Δt. Це видно на малюнку,

Де рівномірно рухається по колу точка описує рівні проміжки часу рівні дуги AB, BC, CD. Хоча вектори переміщень 1 , 2 , 3 мають однакові модулі, проте напрями вони різні, отже про рівність цих векторів годі й говорити.
 Примітка
З двох середніх швидкостей у завданнях зазвичай розглядають середню дорожню швидкість, а середню швидкість переміщення використовують досить рідко. Однак вона заслуговує на увагу, оскільки дозволяє ввести поняття миттєвої швидкості.