En kort historia om Pi. Vad är siffran "Pi", eller hur matematiker svär

En av de mest mystiska siffror, känd för mänskligheten, naturligtvis, är talet Π (läs - pi). I algebra återspeglar detta tal förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Tidigare kallades denna mängd för Ludolf-numret. Hur och var talet Pi kom ifrån är inte känt med säkerhet, men matematiker delar upp hela historien om talet Π i 3 stadier, i den antika, klassiska och eran av digitala datorer.

Talet P är irrationellt, det vill säga det kan inte representeras som ett enkelt bråk, där täljaren och nämnaren är heltal. Därför har ett sådant nummer inget slut och är periodiskt. För första gången bevisades irrationaliteten hos P av I. Lambert 1761.

Utöver denna egenskap kan talet P inte också vara roten till något polynom, och är därför en talegenskap, när det bevisades 1882, satte det stopp för matematikernas nästan heliga dispyt "om kvadreringen av cirkeln ”, som varade i 2 500 år.

Det är känt att den första som introducerade beteckningen på detta nummer var britten Jones 1706. Efter att Eulers verk dök upp blev användningen av en sådan beteckning allmänt accepterad.

För att i detalj förstå vad Pi är, bör det sägas att dess användning är så utbredd att det är svårt att ens nämna ett vetenskapsområde där det skulle undvaras. En av de enklaste och mest välbekanta Läroplanen värden är beteckningen på den geometriska perioden. Förhållandet mellan längden på en cirkel och längden på dess diameter är konstant och lika med 3,14. Detta värde var känt även för de äldsta matematikerna i Indien, Grekland, Babylon, Egypten. Den tidigaste versionen av att beräkna förhållandet går tillbaka till 1900 f.Kr. e. Mer nära samtida betydelse P beräknades av den kinesiske vetenskapsmannen Liu Hui, dessutom uppfann han och snabb väg en sådan beräkning. Dess värde förblev allmänt accepterat i nästan 900 år.

Den klassiska perioden i utvecklingen av matematik präglades av det faktum att för att fastställa exakt vad talet Pi är, började forskare använda metoder matematisk analys. På 1400-talet använde den indiske matematikern Madhava serieteorin för att beräkna och bestämma perioden för talet P med en noggrannhet på 11 siffror efter decimalkomma. Den förste européen, efter Arkimedes, som undersökte siffran P och gjorde ett betydande bidrag till dess motivering, var holländaren Ludolf van Zeulen, som redan bestämde 15 siffror efter decimaltecknet och skrev mycket underhållande ord i sitt testamente: ".. . den som är intresserad - låt honom gå vidare." Det var för att hedra denna forskare som numret P fick sitt första och enda nominella namn i historien.

Datorns era förde med sig nya detaljer till förståelsen av essensen av talet P. Så, för att ta reda på vad talet Pi är, användes 1949 ENIAC-datorn för första gången, en av utvecklarna av vilka var den framtida "fadern" till teorin om moderna datorer J. Den första mätningen utfördes i 70 timmar och gav 2037 siffror efter decimalpunkten i perioden för talet P. Mängden av en miljon tecken nåddes 1973 . Dessutom, under denna period, etablerades andra formler som återspeglar talet P. Så Chudnovsky-bröderna kunde hitta en som gjorde det möjligt att beräkna 1 011 196 691 siffror för perioden.

I allmänhet bör det noteras att för att svara på frågan: "Vad är numret Pi?", började många studier likna tävlingar. Idag hanterar superdatorer redan frågan om vad det egentligen är, talet Pi. Intressanta fakta associerade med dessa studier genomsyrar nästan hela matematikens historia.

Idag hålls till exempel världsmästerskap i att memorera siffran P och det sätts världsrekord, det senare tillhör kinesen Liu Chao som döpt 67 890 tecken på lite över ett dygn. I världen finns det till och med en helgdag med nummer P, som firas som "Pi-dagen".

Från och med 2011 har 10 biljoner siffror av nummerperioden redan fastställts.

Ända sedan människor hade förmågan att räkna och började utforska egenskaperna hos abstrakta föremål som kallas siffror, har generationer av nyfikna sinnen gjort fascinerande upptäckter. När vår kunskap om siffror ökade, lockade några av dem Särskild uppmärksamhet, och några fick till och med mystiska betydelser. Var, som inte står för någonting, och som, när det multipliceras med valfritt tal, ger sig själv. Det fanns, början på allt, också ägande sällsynta egenskaper, primtal. Sedan upptäckte de att det finns tal som inte är heltal, och ibland erhålls genom att dividera två heltal - rationella tal. Irrationella siffror, som inte kan erhållas som ett förhållande mellan heltal och så vidare. Men om det finns ett nummer som har fascinerat och orsakat skrivandet av en massa verk, så är detta (pi). Ett nummer som trots lång historia, hette inte som vi kallar det idag, förrän på sjuttonhundratalet.

Start

Talet pi erhålls genom att dividera en cirkels omkrets med dess diameter. I det här fallet är storleken på cirkeln inte viktig. Stor eller liten, förhållandet mellan längd och diameter är detsamma. Även om det är troligt att denna egenskap var känd tidigare, är det tidigaste beviset för denna kunskap Moskvas matematiska papyrus från 1850 f.Kr. och Ahmes papyrus, 1650 f.Kr. (även om det är en kopia av ett äldre dokument). Det har Ett stort antal matematiska problem, i några av vilka det ungefärligt som , vilket skiljer sig något mer än 0,6 % från det exakta värdet. Ungefär samtidigt ansåg babylonierna lika. PÅ Gamla testamentet, skriven mer än tio århundraden senare, komplicerar inte Yahweh livet och fastställer genom gudomligt dekret att det är exakt lika med .

De stora upptäcktsresandena av detta nummer var dock de gamla grekerna som Anaxagoras, Hippokrates från Chios och Antifon från Aten. Tidigare bestämdes värdet, nästan säkert, med hjälp av experimentella mätningar. Arkimedes var den första som förstod hur man teoretiskt skulle kunna utvärdera dess betydelse. Användningen av de omskrivna och inskrivna polygonerna (den större är omskriven nära cirkeln där den mindre är inskriven) gjorde det möjligt att avgöra vad som är större och mindre än . Med hjälp av Arkimedes metod fick andra matematiker bättre approximationer och redan 480 fastställde Zu Chongzhi att värdena ligger mellan och . Ändå kräver polygonmetoden många beräkningar (kom ihåg att allt gjordes manuellt och inte i modernt system räkning), så han hade ingen framtid.

Representation

Det var nödvändigt att vänta på 1600-talet, när med upptäckten av den oändliga serien skedde en revolution i beräkningen, även om det första resultatet inte var i närheten, det var en produkt. Oändliga serier är summan av ett oändligt antal termer som bildar en viss sekvens (till exempel alla tal i formen där tar värden från till oändlighet). I många fall är summan ändlig och kan hittas olika metoder. Det visar sig att några av dessa serier konvergerar till eller någon kvantitet relaterad till . För att serien ska konvergera är det nödvändigt (men inte tillräckligt) att de summerbara kvantiteterna tenderar mot noll med tillväxten. Så än fler siffror lägger vi till, desto mer exakt får vi värdet av . Nu har vi två möjligheter att få ett mer exakt värde. Lägg antingen till fler nummer, eller hitta en annan serie som konvergerar snabbare så att du lägger till färre nummer.

Tack vare detta nya tillvägagångssätt ökade noggrannheten i beräkningen dramatiskt, och 1873 publicerade William Shanks resultatet av många års arbete, vilket gav ett värde med 707 decimaler. Lyckligtvis levde han inte förrän 1945, då det upptäcktes att han hade gjort ett misstag och alla siffror, som börjar med , var fel. Men hans tillvägagångssätt var det mest exakta före tillkomsten av datorer. Detta var den näst sista revolutionen inom datoranvändning. Matematiska operationer, som skulle ta några minuter att köra manuellt, är nu klara på en bråkdel av en sekund, praktiskt taget inga fel. John Wrench och L. R. Smith lyckades beräkna 2000 siffror på 70 timmar på den första elektroniska datorn. Den miljonsiffriga barriären nåddes 1973.

Sist (på det här ögonblicket) framsteg inom beräkningen - upptäckten av iterativa algoritmer som konvergerar till snabbare än oändliga serier, så att mycket högre noggrannhet kan uppnås för samma beräkningskraft. Det nuvarande rekordet är drygt 10 biljoner korrekta siffror. Varför räkna så exakt? Med tanke på att med 39 siffror av detta nummer är det möjligt att beräkna volymen av det kända universum med en atoms noggrannhet, det finns ingen anledning ... ännu.

Några intressanta fakta

Men att beräkna ett värde är bara en liten del av dess historia. Detta nummer har egenskaperna som gör denna konstant så nyfiken.

Kanske mest stort problem, associerat med , är det välkända problemet med att kvadrera en cirkel, problemet med att konstruera, med hjälp av en kompass och en linjal, en kvadrat vars area är lika med arean av den givna cirkeln. Kvadreringen av en cirkel plågade generationer av matematiker i tjugofyra århundraden, tills von Lindemann bevisade att det är ett transcendentalt tal (det är inte en lösning på någon polynomekvation med rationella koefficienter) och därför är det omöjligt att förstå det oändliga. Fram till 1761 var det inte bevisat att antalet är irrationellt, det vill säga att det inte finns två naturliga tal och sånt. Transcendens bevisades inte förrän 1882, men det är ännu inte känt om siffror eller (är ett annat irrationellt transcendentalt tal) är irrationella. Många relationer dyker upp som inte är relaterade till cirklar. Detta är en del av normaliseringskoefficienten för normalfunktionen, uppenbarligen den mest använda i statistik. Som nämnts tidigare visas talet som summan av många serier och är lika med oändliga produkter, det är också viktigt i studiet av komplexa tal. Inom fysiken kan den hittas (beroende på vilket enhetssystem som används) i den kosmologiska konstanten (Albert Einsteins största misstag) eller den konstanta konstanten magnetiskt fält. I ett talsystem med valfri bas (decimal, binär...) klarar siffrorna alla tester för slumpmässighet, det finns ingen uppenbar ordning eller sekvens. Riemanns zeta-funktion relaterar nära tal till primtal. Detta nummer har en lång historia och rymmer förmodligen fortfarande många överraskningar.

Historien om numret "pi"

Historien om talet p, som uttrycker förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, började i det gamla Egypten. Area med cirkeldiameter d Egyptiska matematiker definieras som (d-d/9) 2(denna post ges här i moderna symboler). Från uttrycket ovan kan vi dra slutsatsen att talet p övervägdes vid den tiden lika med en bråkdel (16/9) 2 , eller 256/81 , dvs. p= 3,160...
I Jainismens heliga bok (en av gamla religioner som fanns i Indien och uppstod på VI-talet. BC) det finns en indikation av vilken det följer att talet p vid den tiden togs lika, vilket ger en bråkdel 3,162...
Forntida greker Eudoxus, Hippokrates och andra mätningar av cirkeln reducerades till konstruktionen av ett segment, och mätningen av cirkeln - till konstruktionen av en lika stor kvadrat. Det bör noteras att i många århundraden har matematiker från olika länder och folk försökt uttrycka förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter med ett rationellt tal.

Arkimedes på 300-talet FÖRE KRISTUS. underbyggde i sitt korta verk "Measurement of the circle" tre positioner:

Varje cirkel är lika rät triangel, vars ben är lika med omkretsen respektive dess radie;

Arean av en cirkel är relaterade till en kvadrat byggd på en diameter, som 11 till 14;

Förhållandet mellan en cirkel och dess diameter är mindre än 3 1/7 och mer 3 10/71 .

Den sista meningen Arkimedes underbyggd av successiv beräkning av omkretsen av regelbundna inskrivna och omskrivna polygoner med fördubbling av antalet sidor. Först fördubblade han antalet sidor av reguljära inskrivna och inskrivna hexagoner, sedan tolvkanter och så vidare, vilket förde beräkningarna till omkretsen av vanliga inskrivna och omskrivna polygoner med 96 sidor. Enligt exakta beräkningar Arkimedes förhållandet mellan omkrets och diameter är mellan siffrorna 3*10/71 och 3*1/7 , vilket betyder att p = 3,1419... Den sanna innebörden av detta förhållande 3,1415922653...
På 500-talet FÖRE KRISTUS. kinesisk matematiker Zu Chongzhi ett mer exakt värde på detta nummer hittades: 3,1415927...
Under första hälften av XV-talet. observatorier Ulugbek, nära Samarkand, astronom och matematiker al-Kashi beräknat p med 16 decimaler. Han gjorde 27 fördubblingar av antalet sidor av polygonerna och kom fram till en polygon med 3*2 28 vinklar. Al-Kashi gjort unika beräkningar som behövdes för att sammanställa en sinustabell med ett steg på 1" . Dessa tabeller har spelat en viktig roll inom astronomi.
Ett halvt sekel senare i Europa F.Viet hittade ett tal p med endast 9 korrekta decimaler genom att göra 16 dubblingar av antalet sidor i polygonerna. Men samtidigt F.Viet var den första att notera att p kan hittas med gränserna för vissa serier. Denna upptäckt hade stor betydelse, eftersom det tillät oss att beräkna p med vilken noggrannhet som helst. Bara 250 år senare al-Kashi hans resultat överträffades.
Den första som introducerade notationen för förhållandet mellan omkretsen av en cirkel och dess diameter med den moderna symbolen p var en engelsk matematiker W. Johnsonår 1706. Som symbol tog han den första bokstaven grekiska ord "periferi", vilket betyder i översättning "cirkel". Introducerad W. Johnson beteckningen blev vanlig efter utgivningen av verk L. Euler, som använde det angivna tecknet för första gången i 1736 G.
I slutet av XVIII-talet. A.M. Lazhandre baserat på verk I.G. Lambert bevisat att talet p är irrationellt. Sedan den tyske matematikern F. Lindeman baserat på forskning Sh. Ermita, fann ett rigoröst bevis på att detta nummer inte bara är irrationellt, utan också transcendentalt, d.v.s. kan inte vara en rot algebraisk ekvation. Det följer av det senare att man endast använder en kompass och en linjal för att konstruera ett segment som är lika i omkrets, omöjlig, och därför finns det ingen lösning på problemet med att kvadrera cirkeln.
Sökandet efter det exakta uttrycket för p fortsatte även efter arbetet F. Vieta. I början av XVII-talet. Holländsk matematiker från Köln Ludolf van Zeulen(1540-1610) (somliga historiker kallar honom L. van Keulen) hittade 32 korrekta tecken. Sedan dess (utgivningsår 1615) har värdet av talet p med 32 decimaler kallats talet Ludolf.
Till sent XIX c., efter 20 års hårt arbete, en engelsman William Shanks hittade 707 siffror av numret p. Men 1945 upptäcktes det med hjälp av en dator som Shanks i sina beräkningar gjorde han ett misstag i 520:e tecknet och hans vidare beräkningar visade sig vara felaktiga.
Efter utvecklingen av metoder för differential- och integralkalkyl hittades många formler som innehåller talet "pi". Vissa av dessa formler låter dig beräkna "pi" på andra sätt än metoden Arkimedes och mer rationell. Till exempel kan talet "pi" nås genom att leta efter gränserna för vissa serier. Så, G. Leibniz(1646-1716) fick 1674 ett nummer

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,

vilket gjorde det möjligt att beräkna p på ett kortare sätt än Arkimedes. Ändå konvergerar denna serie mycket långsamt och kräver därför ganska långa beräkningar. För att beräkna "pi" är det bekvämare att använda serien som erhålls från expansionen arctg x med värdet x=1/ , för vilken utbyggnaden av funktionen arctan 1/=p /6 i en serie ger jämställdhet

p /6 = 1/,
de där.
sid= 2

Delvis kan summan av denna serie beräknas med formeln

S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,

medan "pi" kommer att begränsas av en dubbel olikhet:

En ännu bekvämare formel för beräkning sid fick J. Machin. Med hjälp av denna formel räknade han sid(år 1706) med en noggrannhet på 100 korrekta tecken. En bra approximation för "pi" ges av

Man bör dock komma ihåg att denna jämlikhet bör betraktas som ungefärlig, eftersom den högra sidan av det är ett algebraiskt tal, och den vänstra sidan är ett transcendentalt, därför kan dessa tal inte vara lika.
Som påpekats i deras artiklar E.Ya.Bakhmutskaya(60-talet av XX-talet), tillbaka i XV-XVI-talen. Sydindiska forskare, inklusive Nilakanta, med hjälp av metoderna för ungefärliga beräkningar av talet p , hittade ett sätt att expandera arctg x till en kraftserie som liknar den hittade serien Leibniz. Indiska matematiker gav en verbal formulering av reglerna för att expandera till serier sinus och cosinus. Genom detta förutsåg de upptäckten av de europeiska matematikerna på 1600-talet. Ändå har deras isolerade och begränsade av praktiska behov beräkningsarbete ingen effekt på ytterligare utveckling vetenskap tillhandahölls inte.
I vår tid har arbetet med miniräknare ersatts av datorer. Med deras hjälp beräknades talet "pi" med en noggrannhet på mer än en miljon decimaler, och dessa beräkningar varade bara några timmar.
I modern matematik är talet p inte bara förhållandet mellan omkretsen och diametern, det ingår i ett stort antal olika formler, inklusive formlerna för icke-euklidisk geometri, och formeln L. Euler, som upprättar en koppling mellan talet p och numret e på följande sätt:

e 2 sid i = 1 , var i = .

Detta och andra ömsesidiga beroenden gjorde det möjligt för matematiker att ytterligare förstå karaktären av talet p.

Den 14 mars firas en mycket ovanlig högtid över hela världen - Pi-dagen. Alla har känt till det sedan skoltiden. Eleverna förklaras omedelbart att talet Pi är en matematisk konstant, förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, som har ett oändligt värde. Det visar sig att många intressanta fakta är kopplade till detta nummer.

1. Talets historia har mer än ett millennium, nästan lika länge som matematikvetenskapen existerar. Säkert, exakt värde siffror beräknades inte omedelbart. Först ansågs förhållandet mellan omkretsen och diametern vara lika med 3. Men med tiden, när arkitekturen började utvecklas, tog det mer exakt mätning. Förresten, numret fanns, men det fick en bokstavsbeteckning först i början av 1700-talet (1706) och kommer från de första bokstäverna i två grekiska ord som betyder "omkrets" och "omkrets". Matematikern Jones försåg numret med bokstaven "π", och hon gick in i matematik redan 1737.

2. In olika epoker och kl olika folkslag pi har annan betydelse. Till exempel, i det gamla Egypten var det 3,1604, bland hinduerna fick det värdet 3,162, kineserna använde siffran lika med 3,1459. Med tiden beräknades π mer och mer exakt, och när det dök upp Datorteknik, det vill säga en dator, började den ha mer än 4 miljarder tecken.

3. Det finns en legend, mer exakt tror experter att numret Pi användes vid konstruktionen av Babels torn. Det var dock inte Guds vrede som orsakade dess kollaps, utan felaktiga beräkningar under bygget. Som, de gamla mästarna hade fel. En liknande version finns om Salomos tempel.

4. Det är anmärkningsvärt att de försökte införa värdet av Pi även på statlig nivå, det vill säga genom lagen. 1897 utarbetades ett lagförslag i delstaten Indiana. Enligt dokumentet var Pi 3,2. Men forskare ingrep i tid och förhindrade på så sätt ett fel. I synnerhet professor Purdue, som var närvarande vid den lagstiftande församlingen, uttalade sig mot lagförslaget.

5. Det är intressant att flera tal i den oändliga sekvensen Pi har ett eget namn. Så sex nior av Pi är uppkallade efter en amerikansk fysiker. En gång höll Richard Feynman en föreläsning och chockade publiken med en replik. Han sa att han ville lära sig siffrorna i pi upp till sex nior utantill, bara för att säga "nio" sex gånger i slutet av berättelsen, vilket antydde att dess betydelse var rationell. När det i själva verket är irrationellt.

6. Matematiker runt om i världen slutar inte forska kring talet Pi. Det är bokstavligen höljt i mystik. Vissa teoretiker tror till och med att den innehåller en universell sanning. För att dela kunskap och ny information om Pi organiserade de Pi-klubben. Att komma in i det är inte lätt, du måste ha ett enastående minne. Så de som vill bli medlem i klubben undersöks: en person måste berätta så många tecken på numret Pi från minnet som möjligt.

7. De kom till och med på olika tekniker för att komma ihåg talet Pi efter decimalkomma. De kommer till exempel på hela texter. I dem har ord samma antal bokstäver som motsvarande siffra efter decimalkomma. För att ytterligare förenkla memoreringen av ett så långt nummer, komponerar de verser enligt samma princip. Medlemmar i Pi-klubben har ofta roligt på det här sättet, och tränar samtidigt upp sitt minne och påhittighet. Till exempel hade Mike Keith en sådan hobby, som för arton år sedan kom på en berättelse där varje ord var lika med nästan fyra tusen (3834) första siffror i pi.

8. Det finns till och med människor som har satt rekord för att memorera Pi-tecken. Så i Japan memorerade Akira Haraguchi mer än åttiotre tusen tecken. Men det inhemska rekordet är inte så enastående. En invånare i Chelyabinsk kunde bara memorera två och ett halvt tusen siffror efter decimalpunkten för Pi.

"Pi" i perspektiv

9. Pi-dagen har firats i mer än ett kvarts sekel, sedan 1988. En dag märkte en fysiker från Popular Science Museum i San Francisco, Larry Shaw, att den 14 mars stavades på samma sätt som pi. I ett datum, formuläret månad och dag 3.14.

10. Pi-dagen firas inte bara på ett originellt sätt, utan på ett roligt sätt. Naturligtvis missar inte forskare som är involverade i de exakta vetenskaperna det. För dem är detta ett sätt att inte bryta sig loss från det de älskar, utan samtidigt koppla av. Den här dagen samlas människor och lagar olika godsaker med bilden av Pi. Speciellt finns det en plats för konditorer att ströva omkring. De kan göra pi-kakor och kakor liknande form. Efter att ha smakat på godsakerna arrangerar matematiker olika frågesporter.

11. Det finns ett intressant sammanträffande. Den 14 mars föddes den store vetenskapsmannen Albert Einstein, som som ni vet skapade relativitetsteorin. Hur som helst, fysiker kan också vara med och fira Pi-dagen.

Pi- en matematisk konstant som är lika med förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Talet pi är, vars digitala representation är en oändlig icke-periodisk decimalbråk - 3,141592653589793238462643 ... och så vidare i oändlighet.

100 decimaler: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 782164 30288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 782164 82164 820 40

Historien om att förfina värdet av pi

I varje bok om underhållande matematik hittar du säkert en historia av att förfina värdet av pi. Till en början, i det forntida Kina, Egypten, Babylon och Grekland, användes fraktioner för beräkningar, till exempel 22/7 eller 49/16. Under medeltiden och renässansen förfinade europeiska, indiska och arabiska matematiker värdet av pi till 40 siffror efter decimalkomma, och i början av datoråldern ökades antalet siffror till 500 genom ansträngningar från många entusiaster .

Sådan noggrannhet är av rent akademiskt intresse (mer om det nedan), och för praktiska behov inom jorden räcker det med 10 decimaler. Med en radie på jorden på 6400 km eller 6,4 10 9 mm visar det sig att vi, efter att ha kasserat den tolfte siffran av pi efter decimalpunkten, kommer att misstas med flera millimeter när vi beräknar meridianens längd. Och när man beräknar längden på jordens bana runt solen (dess radie är 150 miljoner km = 1,5 10 14 mm), för samma noggrannhet räcker det att använda talet pi med fjorton decimaler. Det genomsnittliga avståndet från solen till Pluto, den mest avlägsna planeten solsystem- 40 gånger det genomsnittliga avståndet från jorden till solen. För att beräkna längden på Plutos bana med ett fel på några millimeter räcker det med sexton siffror i pi. Ja, det finns inget att krångla till, diametern på vår galax är cirka 100 tusen ljusår (1 ljusår är ungefär lika med 10 13 km) eller 10 19 mm, och på 1600-talet erhölls 35 pi-tecken, överflödiga t.o.m. för sådana avstånd.

Vad är svårigheten att beräkna värdet på pi? Faktum är att det inte bara är irrationellt, det vill säga det kan inte uttryckas som ett bråk p / q, där p och q är heltal. Sådana siffror kan inte skrivas exakt, de kan bara beräknas med metoden för successiva approximationer, vilket ökar antalet steg för att få större noggrannhet. Det enklaste sättet är att betrakta vanliga polygoner inskrivna i en cirkel med ett ökande antal sidor och beräkna förhållandet mellan polygonens omkrets och dess diameter. När antalet sidor ökar tenderar detta förhållande till pi. Så här, 1593, beräknade Adrian van Romen omkretsen av en inskriven regelbunden polygon med 1073741824 (dvs. 2 30) sidor och bestämde 15 tecken på pi. År 1596 fick Ludolf van Zeulen 20 tecken genom att beräkna en inskriven polygon med 60 x 2 33 sidor. Därefter förde han beräkningarna till 35 tecken.

Ett annat sätt att beräkna pi är att använda formler med ett oändligt antal termer. Till exempel:

π = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...

π = 4 (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) + (1/9 - 1/11) + ...

Liknande formler kan erhållas genom att expandera till exempel bågtangensen i en Maclaurin-serie, med vetskap om att

arctg(1) = π/4(eftersom tg(45°) = 1)

eller att expandera bågen i rad, att veta det

arcsin(1/2) = π/6(benet ligger mot en vinkel på 30°).

I moderna beräkningar, ännu mer effektiva metoder. Med deras hjälp idag.

pi dag

Dagen för talet pi firas av vissa matematiker den 14 mars klockan 1:59 (i det amerikanska datumsystemet - 3/14; de första siffrorna i talet π = 3,14159). Det firas vanligtvis klockan 13:59 (i 12-timmarssystemet), men de som håller sig till 24-timmarssystemet för tidens ljus anser att det är 13:59 och föredrar att fira på natten. Vid den här tiden läser de lovtal för att hedra talet pi, dess roll i mänsklighetens liv, ritar dystopiska bilder av världen utan pi, äter paj ( paj), dricka drinkar och spela spel som börjar med "pi".

• Pi (nummer) - Wikipedia

Innan vi pratar om pis historia , noterar vi att talet Pi är en av de mest mystiska storheterna i matematik. Du ska nu se själv, min kära läsare...

Låt oss börja vår historia med en definition. Så talet Pi är abstrakt nummer , anger förhållandet mellan omkretsen av en cirkel och längden av dess diameter. Denna definition är bekant för oss från skolbänken. Men det är här mysterierna börjar...

Det är omöjligt att beräkna detta värde till slutet, det är lika med 3,1415926535 , sedan efter decimalkomma - till oändligt. Forskare tror att nummersekvensen inte upprepas, och denna sekvens är helt slumpmässig...

Pi gåta det slutar inte där. Astronomer är övertygade om att trettionio decimaler i detta nummer är tillräckligt för att beräkna omkretsen som omger kända rymdobjekt i universum, med ett fel i radien för en väteatom ...

irrationellt , dvs. det kan inte uttryckas som en bråkdel. Detta värde transcendent – d.v.s. det kan inte erhållas genom att utföra några operationer på heltal...

Talet Pi är nära besläktat med begreppet det gyllene snittet. Arkeologer har funnit att höjden på den stora pyramiden i Giza är relaterad till längden på dess bas, precis som en cirkels radie är relaterad till dess längd...

Historien om numret P förblir också ett mysterium. Det är känt att även byggare använde detta värde för design. Bevarad, flera tusen år gammal, som innehöll problem, vars lösning innebar användning av talet Pi. Men åsikten om det exakta värdet av denna kvantitet bland forskare olika länder var tvetydig. Så i staden Susa, som ligger tvåhundra kilometer från Babylon, hittades en tablett där siffran Pi indikerades som 3¹/8 . I forntida Babylon upptäcktes det att radien av en cirkel som ett ackord går in i den sex gånger, det var där som det först föreslogs att dela en cirkel i 360 grader. Låt oss förresten notera att en liknande geometrisk åtgärd gjordes med solens omloppsbana, vilket ledde de gamla forskarna till idén att det skulle vara ungefär 360 dagar på ett år. Men i Egypten var talet pi lika med 3,16 , och i forntida Indien – 3, 088 , i det antika Italien - 3,125 . trodde att detta värde är lika med bråkdelen 22/7 .

Pi beräknades mest exakt av en kinesisk astronom. Zu Chun Zhi på 500-talet e.Kr. För detta skrev han två gånger udda tal 11 33 55, sedan delade han dem på mitten, satte den första delen i bråkets nämnare och den andra delen i täljaren och fick på så sätt ett bråktal 355/113 . Överraskande nog sammanfaller betydelsen med moderna beräkningar upp till den sjunde siffran ...

Vem gav den första officiellt namn detta värde?

Man tror att år 1647 matematiker Outtrade som heter grekiskt brevπ omkrets, tar för detta den första bokstaven i det grekiska ordet περιφέρεια - "periferi" . Men år 1706 arbete kom ut engelskalärare William Jones "Review av matematikens prestationer", där han betecknade med bokstaven Pi redan förhållandet mellan omkretsen av en cirkel och dess diameter. Till slut fixades denna symbol på 1900-talet matematiker Leonhard Euler .

Ända sedan människor hade förmågan att räkna och började utforska egenskaperna hos abstrakta föremål som kallas siffror, har generationer av nyfikna sinnen gjort fascinerande upptäckter. I takt med att vår kunskap om siffror har ökat har några av dem väckt särskild uppmärksamhet, och några har till och med fått mystiska betydelser. Var, vilket betyder ingenting, och som, när det multipliceras med valfritt tal, ger sig själv. Det fanns, början på allt, också ägande sällsynta egenskaper, primtal. Sedan upptäckte de att det finns tal som inte är heltal, och ibland erhålls genom att dividera två heltal - rationella tal. Irrationella tal som inte kan erhållas som ett förhållande mellan heltal osv. Men om det finns ett nummer som har fascinerat och orsakat skrivandet av en massa verk, så är detta (pi). Ett nummer som trots sin långa historia inte hette som vi kallar det idag förrän på sjuttonhundratalet.

Start

Talet pi erhålls genom att dividera en cirkels omkrets med dess diameter. I det här fallet är storleken på cirkeln inte viktig. Stor eller liten, förhållandet mellan längd och diameter är detsamma. Även om det är troligt att denna egenskap var känd tidigare, är det tidigaste beviset för denna kunskap Moskvas matematiska papyrus från 1850 f.Kr. och Ahmes papyrus, 1650 f.Kr. (även om det är en kopia av ett äldre dokument). Den har ett stort antal matematiska problem, av vilka några är ungefärliga som, vilket är drygt 0,6 % av det exakta värdet. Ungefär samtidigt ansåg babylonierna lika. I Gamla testamentet, som skrevs mer än tio århundraden senare, komplicerar inte Yahweh livet och fastställer genom gudomligt dekret vad som är exakt lika.

De stora upptäcktsresandena av detta nummer var dock de gamla grekerna som Anaxagoras, Hippokrates från Chios och Antifon från Aten. Tidigare bestämdes värdet, nästan säkert, med hjälp av experimentella mätningar. Arkimedes var den första som förstod hur man teoretiskt skulle kunna utvärdera dess betydelse. Användningen av de omskrivna och inskrivna polygonerna (den större är omskriven nära cirkeln som den mindre är inskriven i) gjorde det möjligt att avgöra vad som är större och mindre. Med hjälp av Archimedes metod fick andra matematiker bättre approximationer och redan 480 fastställde Zu Chongzhi att värdena ligger mellan och. Polygonmetoden kräver dock en hel del beräkningar (kom ihåg att allt gjordes för hand och inte i det moderna talsystemet), så det hade ingen framtid.

Representation

Det var nödvändigt att vänta på 1600-talet, när upptäckten av den oändliga serien ägde rum en revolution i beräkningen, även om det första resultatet inte var i närheten, det var en produkt. Oändliga serier är summan av ett oändligt antal termer som bildar en viss sekvens (till exempel alla tal i formen där den tar värden från till oändlighet). I många fall är summan ändlig och kan hittas med olika metoder. Det visar sig att några av dessa serier konvergerar till eller till någon kvantitet relaterad till. För att serierna ska konvergera är det nödvändigt (men inte tillräckligt) att de summerbara kvantiteterna tenderar mot noll med tillväxten. Alltså, ju fler siffror vi lägger till, desto mer exakt får vi värdet. Vi har nu två möjligheter att få ett mer exakt värde. Lägg antingen till fler nummer, eller hitta en annan serie som konvergerar snabbare så att du lägger till färre nummer.

Tack vare detta nya tillvägagångssätt ökade noggrannheten i beräkningen dramatiskt, och 1873 publicerade William Shanks resultatet av många års arbete, vilket gav ett värde med 707 decimaler. Lyckligtvis levde han inte till 1945, då det upptäcktes att han hade gjort ett misstag och att alla siffror, som börjar med, var fel. Men hans tillvägagångssätt var det mest exakta före tillkomsten av datorer. Det var den näst sista revolutionen inom datoranvändning. Matematiska operationer som skulle ta minuter att utföra manuellt utförs nu på en bråkdel av en sekund, praktiskt taget utan fel. John Wrench och L. R. Smith lyckades beräkna 2000 siffror på 70 timmar på den första elektroniska datorn. Den miljonsiffriga barriären nåddes 1973.

Det senaste (hittills) framstegen inom beräkningen är upptäckten av iterativa algoritmer som konvergerar till snabbare än oändliga serier, så att mycket högre noggrannhet kan uppnås för samma beräkningskraft. Det nuvarande rekordet är drygt 10 biljoner korrekta siffror. Varför räkna så noggrant? Med tanke på att med 39 siffror av detta nummer är det möjligt att beräkna volymen av det kända universum med en atoms noggrannhet, det finns ingen anledning ... ännu.

Några intressanta fakta

Men att beräkna ett värde är bara en liten del av dess historia. Detta nummer har egenskaperna som gör denna konstant så nyfiken.

Det kanske största problemet som är förknippat med är det välkända problemet med att kvadrera cirkeln, problemet med att konstruera med en kompass och räta en kvadrat vars area är lika med arean av en given cirkel. Kvadreringen av en cirkel plågade generationer av matematiker i tjugofyra århundraden, tills von Lindemann bevisade att - är ett transcendentalt tal (det är inte en lösning på någon polynomekvation med rationella koefficienter) och därför är det omöjligt att förstå det oändliga. . Fram till 1761 var det inte bevisat att talet är irrationellt, det vill säga att det inte finns två naturliga tal och så. Transcendens bevisades inte förrän 1882, men det är ännu inte känt om talen är eller (är ett annat irrationellt transcendentalt tal) irrationella. Många relationer dyker upp som inte är relaterade till cirklar. Detta är en del av normaliseringskoefficienten för normalfunktionen, uppenbarligen den mest använda i statistik. Som nämnts tidigare visas talet som summan av många serier och är lika med oändliga produkter, det är också viktigt i studiet av komplexa tal. Inom fysiken kan den hittas (beroende på vilket enhetssystem som används) i den kosmologiska konstanten (Albert Einsteins största fel) eller i den konstanta magnetfältskonstanten. I ett talsystem med valfri bas (decimal, binär...) klarar siffrorna alla tester för slumpmässighet, det finns ingen uppenbar ordning eller sekvens. Riemanns zeta-funktion relaterar nära tal till primtal. Detta nummer har en lång historia och rymmer förmodligen fortfarande många överraskningar.

Om vi ​​jämför cirklar av olika storlekar kan vi se följande: storlekarna på olika cirklar är proportionella. Och detta betyder att när diametern på en cirkel ökar med ett visst antal gånger, ökar också längden på denna cirkel med samma antal gånger. Matematiskt kan detta skrivas så här:

C 1		C 2
	=
d 1		d 2	(1)

där C1 och C2 är längderna av två olika cirklar, och d1 och d2 är deras diametrar.
Detta förhållande fungerar i närvaro av en proportionalitetskoefficient - konstanten π som vi redan känner till. Från relation (1) kan vi dra slutsatsen: omkretsen C är lika med produkten av diametern på denna cirkel och proportionalitetsfaktorn oberoende av cirkeln π:

C = πd.

Denna formel kan också skrivas i en annan form, som uttrycker diametern d i termer av radien R för den givna cirkeln:

C \u003d 2π R.

Bara denna formel är en guide till cirklarnas värld för sjundeklassare.

Sedan urminnes tider har människor försökt fastställa värdet av denna konstant. Så, till exempel, beräknade invånarna i Mesopotamien arean av en cirkel med formeln:

Varifrån π = 3.

I det gamla Egypten var värdet för π mer exakt. År 2000-1700 f.Kr. sammanställde en skriftlärare som hette Ahmes en papyrus där vi hittar recept för att lösa olika praktiska problem. Så, till exempel, för att hitta arean av en cirkel använder han formeln:

			8			2
S	=	(		d	)
			9

Från vilka överväganden fick han denna formel? - Okänd. Förmodligen baserat på deras observationer, men som andra forntida filosofer gjorde.

I Arkimedes fotspår

Vilket av de två talen är större än 22/7 eller 3,14?
– De är jämställda.
- Varför?
- Var och en av dem är lika med π .
A. A. VLASOV Från examensbiljetten.

Vissa tror att bråket 22/7 och talet π är identiskt lika. Men detta är en vanföreställning. Utöver ovanstående felaktiga svar i tentamen (se epigraf) kan även ett mycket underhållande pussel läggas till denna grupp. Uppgiften säger: "flytta en tändsticka så att jämställdheten blir sann."

Lösningen blir denna: du måste bilda ett "tak" för de två vertikala tändstickorna till vänster, med hjälp av en av de vertikala tändstickorna i nämnaren till höger. Du får en visuell bild av bokstaven π.

Många vet att approximationen π = 22/7 bestäms antik grekisk matematiker Arkimedes. För att hedra detta kallas en sådan uppskattning ofta "Arkimediska" numret. Arkimedes lyckades inte bara fastställa ett ungefärligt värde för π, utan också att hitta noggrannheten för denna approximation, nämligen att hitta ett smalt numeriskt intervall som värdet på π tillhör. I ett av sina verk bevisar Arkimedes en kedja av ojämlikheter, som på ett modernt sätt skulle se ut så här:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

kan skrivas enklare: 3.140 909< π < 3,1 428 265...

Som vi kan se av ojämlikheterna hittade Archimedes ett ganska exakt värde med en noggrannhet på 0,002. Det mest överraskande är att han hittade de två första decimalerna: 3,14 ... Det är detta värde som vi oftast använder i enkla beräkningar.

Praktisk användning

Två personer är på tåget:
– Titta, rälsen är rak, hjulen är runda.
Var kommer knackningen ifrån?
- Hur varifrån? Hjulen är runda, och området
cirkel pi er kvadrat, det är fyrkanten som knackar!

I regel bekantar de sig med detta fantastiska nummer i 6-7 klass, men de studerar det mer noggrant mot slutet av 8:e klass. I den här delen av artikeln kommer vi att presentera de viktigaste och viktigaste formlerna som kommer att vara användbara för dig för att lösa geometriska problem, men till att börja med kommer vi överens om att ta π som 3,14 för att underlätta beräkningen.

Kanske mest berömd formel bland skolbarn, där π används, är detta formeln för cirkelns längd och yta. Den första - formeln för arean av en cirkel - är skriven på följande sätt:

	π D 2
S=π R2=
	4

där S är cirkelns area, R är dess radie, D är cirkelns diameter.

Omkretsen av en cirkel, eller, som det ibland kallas, omkretsen av en cirkel, beräknas med formeln:

C = 2 π R = πd,

där C är omkretsen, R är radien, d är cirkelns diameter.

Det är tydligt att diametern d är lika med två radier R.

Från formeln för en cirkels omkrets kan du enkelt hitta en cirkels radie:

där D är diametern, C är omkretsen, R är cirkelns radie.

Det här är de grundläggande formlerna som varje elev bör känna till. Ibland måste du också beräkna arean inte för hela cirkeln, utan bara av dess del - sektorn. Därför presenterar vi det för dig - en formel för att beräkna arean av en sektor av en cirkel. Det ser ut så här:

			α
S	=	π R 2
			360 ˚

där S är arean av sektorn, R är cirkelns radie, α är den centrala vinkeln i grader.

Så mystiskt 3.14

Det är verkligen mystiskt. För att hedra dessa magiska siffror organiserar de semester, gör filmer, håller offentliga evenemang, skriver poesi och mycket mer.

Till exempel släpptes 1998 en film av den amerikanske regissören Darren Aronofsky som heter "Pi". Filmen fick många priser.

Varje år den 14 mars klockan 01:59:26 firar personer som är intresserade av matematik "Pi-dagen". Till semestern förbereder folk en rund tårta, sätter sig ner kl runt bord och diskutera pi, lösa problem och pussel relaterade till pi.

Uppmärksamheten på detta fantastiska nummer förbigicks inte heller av poeter, skrev en okänd person:
Du måste bara försöka komma ihåg allt som det är - tre, fjorton, femton, nittiotvå och sex.

Låt oss ha lite kul!

Vi erbjuder dig intressanta pussel med numret Pi. Gissa orden som är krypterade nedan.

1. π R

2. π L

3. π k

Svar: 1. Fest; 2. Arkiverat; 3. Pissar.

Historien om pi börjar med forntida Egypten och går hand i hand med utvecklingen av all matematik. Detta värde möter vi för första gången inom skolans väggar.

Siffran Pi är kanske det mest mystiska av ett oändligt antal andra. Dikter tillägnas honom, konstnärer porträtterar honom och det har till och med gjorts en film om honom. I vår artikel kommer vi att titta på historien om utveckling och datoranvändning, såväl som tillämpningsområdena för Pi-konstanten i våra liv.

Pi är en matematisk konstant som är lika med förhållandet mellan en cirkels omkrets och längden på dess diameter. Ursprungligen kallades det Ludolf-numret, och det föreslogs att det skulle betecknas med bokstaven Pi av den brittiske matematikern Jones 1706. Efter Leonhard Eulers arbete 1737 blev denna beteckning allmänt accepterad.

Talet Pi är irrationellt, det vill säga dess värde kan inte uttryckas exakt som en bråkdel m/n, där m och n är heltal. Detta bevisades första gången av Johann Lambert 1761.

Historien om utvecklingen av talet Pi har redan varit runt 4000 år. Även de forntida egyptiska och babyloniska matematikerna visste att förhållandet mellan omkretsen och diametern är detsamma för vilken cirkel som helst och dess värde är lite mer än tre.

Arkimedes föreslog en matematisk metod för att beräkna Pi, där han skrev in i en cirkel och beskrev regelbundna polygoner runt den. Enligt hans beräkningar var Pi ungefär lika med 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Under det andra århundradet föreslog Zhang Heng två värden för pi: ≈ 3,1724 och ≈ 3,1622.

Indiska matematiker Aryabhata och Bhaskara hittade ett ungefärligt värde på 3,1416.

Den mest exakta approximationen av pi under 900 år var en beräkning av den kinesiske matematikern Zu Chongzhi på 480-talet. Han drog slutsatsen att Pi ≈ 355/113 och visade att 3,1415926< Пи < 3,1415927.

Fram till 2:a millenniet beräknades inte mer än 10 siffror av Pi. Först med utvecklingen av matematisk analys, och särskilt med upptäckten av serier, gjordes efterföljande stora framsteg i beräkningen av konstanten.

På 1400-talet kunde Madhava beräkna Pi=3,14159265359. Hans rekord slogs av den persiske matematikern Al-Kashi 1424. Han citerade i sitt verk "Treatise on the Circumference" 17 siffror i Pi, varav 16 visade sig vara korrekta.

Den holländska matematikern Ludolf van Zeulen nådde 20 siffror i sina beräkningar, vilket gav 10 år av sitt liv för detta. Efter hans död upptäcktes ytterligare 15 siffror av pi i hans anteckningar. Han testamenterade att dessa figurer var ristade på hans gravsten.

Med tillkomsten av datorer har talet Pi idag flera biljoner siffror och detta är inte gränsen. Men, som påpekats i Fractals for the Classroom, trots all betydelsen av pi, "är det svårt att hitta områden i vetenskapliga beräkningar som kräver mer än tjugo decimaler."

I vårt liv används talet Pi inom många vetenskapliga områden. Fysik, elektronik, sannolikhetsteori, kemi, konstruktion, navigering, farmakologi är bara några av dem som helt enkelt inte kan föreställas utan detta mystiska nummer.

Vill du veta och kunna mer själv?

Vi erbjuder dig utbildning inom följande områden: datorer, program, administration, servrar, nätverk, webbplatsbyggande, SEO med mera. Ta reda på detaljerna nu!

Enligt sajten Calculator888.ru - Pi-nummer - betydelse, historia, vem uppfann det.