Definition. Prisma- detta är en polyeder, vars alla hörn är belägna i två parallella plan, och i samma två plan finns det två ytor av prismat, som är lika polygoner med respektive parallella sidor, och alla kanter som inte ligger i dessa planen är parallella.

Två lika ansikten kallas prismabaser(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alla andra ytor av prismat kallas sidoytor(AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D, DD1E1E, EE1A1A).

Alla sidoytor bildas sidoytan på prismat .

Alla sidoytor på ett prisma är parallellogram .

Kanter som inte ligger vid baserna kallas prismats laterala kanter ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonal ett segment kallas, vars ändar är två hörn av prismat som inte ligger på en av dess ytor (AD 1).

Längden på segmentet som förbinder prismats baser och vinkelrätt mot båda baserna samtidigt kallas prisma höjd .

Beteckning:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Först, i ordningen för förbikopplingen, indikeras hörn på en bas, och sedan, i samma ordning, hörn på den andra; ändarna på varje sidokant betecknas med samma bokstäver, endast hörnen ligger i en bas indikeras med bokstäver utan index, och i den andra - med index)

Prismats namn är associerat med antalet vinklar i figuren som ligger vid dess bas, till exempel i figur 1 är basen en femhörning, så prismat kallas femkantigt prisma. Men eftersom ett sådant prisma har 7 ytor, då det heptaeder(2 ytor är basen av prismat, 5 ytor är parallellogram, är dess sidoytor)

Bland de raka prismorna sticker ut privat utsikt: vanliga prismor.

Ett rakt prisma kallas korrekt, om dess baser är regelbundna polygoner.

Parallellepiped

kubisk- en rät parallellepiped vars bas är en rektangel.

Egenskaper och satser:

,

där d är kvadratens diagonal;
a - sida av torget.

Idén med ett prisma ges av:

• olika arkitektoniska strukturer;
• Barnleksaker;
• packboxar;
• designartiklar etc.

Prismats totala och laterala yta

S full \u003d S-sida + 2S huvud,

var S full- total yta, S sida- sidoyta, S huvud- basarea

Arean av sidoytan på ett rakt prisma är lika med produkten av basens omkrets och prismats höjd.

S sida\u003d P main * h,

var S sidaär arean av sidoytan av ett rakt prisma,

P main - omkretsen av basen av ett rakt prisma,

h är höjden på det raka prismat, lika med sidokanten.

Prisma volym

Volymen av ett prisma är lika med produkten av arean av basen och höjden.

Definition.

Detta är en hexagon, vars baser är två lika kvadrater och sidoytorna är lika rektanglar.

Sido revbenär den gemensamma sidan av två intilliggande sidoytor

Prisma höjdär ett linjesegment vinkelrätt mot prismats baser

Prisma diagonal- ett segment som förbinder två hörn av baserna som inte hör till samma yta

Diagonalplan- ett plan som passerar genom prismats diagonal och dess sidokanter

Diagonal sektion- gränserna för skärningspunkten mellan prismat och diagonalplanet. Diagonal sektion av rätt fyrkantigt prismaär en rektangel

Vinkelrät sektion (ortogonal sektion)- detta är skärningspunkten mellan ett prisma och ett plan ritat vinkelrätt mot dess sidokanter

Element i ett vanligt fyrkantigt prisma

Figuren visar två regelbundna fyrkantiga prismor, som är markerade med motsvarande bokstäver:

• Baserna ABCD och A 1 B 1 C 1 D 1 är lika och parallella med varandra
• Sidoytorna AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C och CC 1 D 1 D, som var och en är en rektangel
• Sidoyta - summan av ytorna på prismats alla sidoytor
• Total yta - summan av areorna för alla baser och sidoytor (summan av arean av sidoytan och baserna)
• Sidoribbor AA 1 , BB 1 , CC 1 och DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Basdiagonal BD
• Diagonal sektion BB 1 D 1 D
• Vinkelrät sektion A 2 B 2 C 2 D 2 .

Egenskaper för ett vanligt fyrkantigt prisma

• Baserna är två lika stora kvadrater
• Baserna är parallella med varandra
• Sidorna är rektanglar.
• Sidoytorna är lika med varandra
• Sidoytorna är vinkelräta mot baserna
• Laterala revben är parallella med varandra och lika
• Vinkelrät snitt vinkelrätt mot alla sidoribbor och parallellt med baserna
• Vinklar i vinkelrät snitt - höger
• Den diagonala sektionen av ett regelbundet fyrkantigt prisma är en rektangel
• Vinkelrät (ortogonalt tvärsnitt) parallellt med baserna

Formler för ett vanligt fyrkantigt prisma

Instruktioner för att lösa problem

Rätt prisma- ett prisma vid vars bas ligger en regelbunden polygon och sidokanterna är vinkelräta mot basens plan. Det vill säga ett vanligt fyrkantigt prisma innehåller vid sin bas fyrkant. (se ovan egenskaperna hos ett vanligt fyrkantigt prisma) Notera. Detta är en del av lektionen med uppgifter i geometri (avsnitt solid geometri - prisma). Här är de uppgifter som orsakar svårigheter att lösa. Om du behöver lösa ett problem inom geometri, som inte finns här - skriv om det i forumet. För att indikera åtgärden att extrahera roten ur symbol används vid problemlösning√ .

Uppgift.

Diagonalen för ett vanligt prisma bildas med basens diagonal och prismats höjd rät triangel. Följaktligen, enligt Pythagoras sats, kommer diagonalen för ett givet regelbundet fyrkantigt prisma att vara lika med:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Svar: 22 cm

Uppgift

Beslut.
Eftersom basen av ett regelbundet fyrkantigt prisma är en kvadrat, så hittas sidan av basen (betecknad som a) av Pythagoras sats:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Höjden på sidoytan (betecknad som h) blir då lika med:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Den totala ytan kommer att vara lika med summan av den laterala ytan och två gånger basarean

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Svar: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

En gren av matematiken som studerar egenskaperna hos olika former (punkter, linjer, vinklar, tvådimensionella och tredimensionella föremål), deras storlekar och relativ position. För att underlätta undervisningen är geometri indelad i planimetri och solid geometri. AT … … Collier Encyclopedia

Geometri för utrymmen med dimensioner större än tre; termen tillämpas på de rum vars geometri ursprungligen utvecklades för fallet med tre dimensioner och först därefter generaliserades till antalet dimensioner n> 3, i första hand euklidiska rymden, ... ... Matematisk uppslagsverk

N-dimensionell euklidisk geometri generalisering av euklidisk geometri till rymden Mer mätningar. Även om det fysiska rummet är tredimensionellt, och de mänskliga sinnena är designade för att uppfatta tre dimensioner, är N dimensionell ... ... Wikipedia

Denna term har andra betydelser, se Pyramidatsu (betydelser). Tillförlitligheten av detta avsnitt av artikeln har ifrågasatts. Det är nödvändigt att verifiera riktigheten av de fakta som anges i detta avsnitt. Det kan finnas förklaringar på diskussionssidan ... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) teknologi som används vid modellering fasta ämnen. Strukturell blockgeometri är ofta, men inte alltid, en modelleringsteknik i 3D-grafik och CAD. Det låter dig skapa en komplex scen eller ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) är en teknik som används för att modellera fasta ämnen. Strukturell blockgeometri är ofta, men inte alltid, en modelleringsteknik i 3D-grafik och CAD. Hon ... ... Wikipedia

Denna term har andra betydelser, se Omfattning (betydelser). Volym är en additiv funktion av en uppsättning (mått) som kännetecknar kapaciteten för en region av utrymme som den upptar. Inledningsvis uppstod det och tillämpades utan strikt ... ... Wikipedia

Kubtyp Vanlig polyeder Ansikte kvadratisk Vertices Kanter Ansikter ... Wikipedia

Volym är en additiv funktion av en uppsättning (mått) som kännetecknar kapaciteten för en region av utrymme som den upptar. Inledningsvis uppstod den och tillämpades utan en strikt definition i förhållande till tredimensionella kroppar av tredimensionell euklidisk rymd. ... ... Wikipedia

En del av rymden som begränsas av en samling av ett ändligt antal plana polygoner (se GEOMETRI) kopplade på ett sådant sätt att varje sida av en polygon är en sida av exakt en annan polygon (kallad ... ... Collier Encyclopedia

Böcker

• En uppsättning bord. Geometri. Årskurs 10. 14 tabeller + metodik, . Borden är tryckta på tjock polygrafisk kartong i måtten 680 x 980 mm. Broschyr med riktlinjer för läraren. Studiealbum med 14 ark...

Prisma. Parallellepiped

prisma kallas en polyeder vars två ytor är lika n-goner (grunder) , som ligger i parallella plan, och de återstående n ytorna är parallellogram (sidoytor) . Sido revben prisma är den sida av sidoytan som inte hör till basen.

Ett prisma vars sidokanter är vinkelräta mot basernas plan kallas hetero prisma (fig. 1). Om sidokanterna inte är vinkelräta mot basernas plan, kallas prismat sned . korrekt Ett prisma är ett rakt prisma vars baser är regelbundna polygoner.

Höjd prisma kallas för avståndet mellan basernas plan. Diagonal Ett prisma är ett segment som förbinder två hörn som inte hör till samma yta. diagonal sektion En sektion av ett prisma av ett plan som går genom två sidokanter som inte hör till samma yta kallas. Vinkelrät sektion kallas prismats sektion med ett plan vinkelrätt mot prismats sidokant.

Sidoyta prisma är summan av areorna på alla sidoytor. Full yta summan av ytorna av alla ytorna på prismat kallas (dvs summan av ytorna på sidoytorna och ytorna på baserna).

För ett godtyckligt prisma är formlerna sanna:

var lär längden på sidoribban;

H- höjd;

P

F

S sida

S full

S huvudär området för baserna;

Vär prismats volym.

För ett rakt prisma är följande formler sanna:

var sid- basens omkrets;

lär längden på sidoribban;

H- höjd.

Parallellepiped Ett prisma vars bas är ett parallellogram kallas. En parallellepiped vars sidokanter är vinkelräta mot baserna kallas direkt (Fig. 2). Om sidokanterna inte är vinkelräta mot baserna, kallas parallellepipeden sned . En rätt parallellepiped vars bas är en rektangel kallas rektangulär. En rektangulär parallellepiped där alla kanter är lika kallas kub.

Ytorna på en parallellepiped som inte har gemensamma hörn kallas motsatt . Längden av kanter som utgår från en vertex kallas mätningar parallellepiped. Eftersom lådan är ett prisma definieras dess huvudelement på samma sätt som de definieras för prismor.

Satser.

1. Parallellepipedens diagonaler skär varandra i en punkt och halverar den.

2. I en rektangulär parallellepiped är kvadraten på diagonalens längd lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner:

3. Alla fyra diagonalerna i en rektangulär parallellepiped är lika med varandra.

För en godtycklig parallellepiped är följande formler sanna:

var lär längden på sidoribban;

H- höjd;

Pär omkretsen av den vinkelräta sektionen;

F– Area med vinkelrät sektion;

S sidaär den laterala ytarean;

S fullär den totala ytan;

S huvudär området för baserna;

Vär prismats volym.

För en höger parallellepiped är följande formler sanna:

var sid- basens omkrets;

lär längden på sidoribban;

Här höjden på den högra parallellepipeden.

För en rektangulär parallellepiped är följande formler sanna:

(3)

var sid- basens omkrets;

H- höjd;

d- diagonal;

a,b,c– mätningar av en parallellepiped.

De korrekta formlerna för en kub är:

var aär längden på revbenet;

där kubens diagonal.

Exempel 1 Diagonalen för en rektangulär kuboid är 33 dm, och dess mått är relaterade till 2:6: 9. Hitta måtten på kuben.

Beslut. För att hitta dimensionerna på parallellepipeden använder vi formel (3), d.v.s. det faktum att kvadraten på hypotenusan av en kuboid är lika med summan av kvadraterna på dess dimensioner. Beteckna med k proportionalitetskoefficient. Då kommer parallellepipedens dimensioner att vara lika med 2 k, 6k och 9 k. Vi skriver formel (3) för problemdata:

Löser denna ekvation för k, vi får:

Därför är dimensionerna på parallellepipeden 6 dm, 18 dm och 27 dm.

Svar: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Exempel 2 Hitta volymen av ett lutande triangulärt prisma vars bas är en liksidig triangel med en sida på 8 cm, om sidokanten är lika med sidan av basen och lutar i en vinkel på 60º mot basen.

Beslut . Låt oss göra en ritning (Fig. 3).

För att hitta volymen av ett lutande prisma måste du känna till området för bitars bas och höjd. Arean av basen av detta prisma är arean av en liksidig triangel med en sida på 8 cm. Låt oss beräkna det:

Höjden på ett prisma är avståndet mellan dess baser. Från toppen MEN 1 av den övre basen sänker vi vinkelrät mot den nedre basens plan MEN 1 D. Dess längd kommer att vara prismats höjd. Tänk på D MEN 1 AD: eftersom detta är lutningsvinkeln för sidoribban MEN 1 MEN till basplanet MEN 1 MEN= 8 cm. Från denna triangel finner vi MEN 1 D:

Nu beräknar vi volymen med formeln (1):

Svar: 192 cm3.

Exempel 3 Den laterala kanten på ett vanligt sexkantigt prisma är 14 cm. Arean av den största diagonala sektionen är 168 cm 2. Hitta prismats totala yta.

Beslut. Låt oss göra en ritning (bild 4)

Den största diagonala sektionen är en rektangel AA 1 DD 1 , eftersom diagonalen AD vanlig hexagon ABCDEFÄr den största. För att beräkna den laterala ytarean av ett prisma är det nödvändigt att känna till sidan av basen och längden på det laterala revbenet.

När vi känner till området för diagonalsektionen (rektangeln), hittar vi basens diagonal.

För då

Sedan dess AB= 6 cm.

Då är basens omkrets:

Hitta arean av prismats sidoyta:

Arean av en vanlig hexagon med en sida på 6 cm är:

Hitta prismats totala yta:

Svar:

Exempel 4 Basen på en höger parallellepiped är en romb. Ytorna för diagonala sektioner är 300 cm 2 och 875 cm 2. Hitta arean på parallellepipedens sidoyta.

Beslut. Låt oss göra en ritning (Fig. 5).

Beteckna sidan av romben med a, rombens diagonaler d 1 och d 2 , höjden på lådan h. För att hitta den laterala ytan av en rak parallellepiped är det nödvändigt att multiplicera omkretsen av basen med höjden: (formel (2)). Basomkrets p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, som ABCD- romb. H = AA 1 = h. Det där. Måste hitta a och h.

Tänk på diagonala sektioner. AA 1 SS 1 - en rektangel, vars ena sida är diagonalen på en romb AC = d 1 , andra sidokant AA 1 = h, då

Likadant för avsnittet BB 1 DD 1 får vi:

Genom att använda egenskapen hos ett parallellogram så att summan av kvadraterna på diagonalerna är lika med summan av kvadraterna på alla dess sidor, får vi likheten. Vi får följande.

Polyedra

Huvudobjektet för studien av stereometri är tredimensionella kroppar. Kroppär en del av rymden som begränsas av någon yta.

polyeder En kropp vars yta består av ett ändligt antal plana polygoner kallas. En polyeder kallas konvex om den ligger på ena sidan av planet för varje platt polygon på dess yta. Den gemensamma delen av ett sådant plan och ytan av en polyeder kallas kant. Ytorna på en konvex polyeder är platta konvexa polygoner. Sidorna på ansiktena kallas kanterna på polyedern, och hörnen hörn på polyedern.

Till exempel består en kub av sex rutor som är dess ytor. Den innehåller 12 kanter (sidorna på rutor) och 8 hörn (högar på rutorna).

De enklaste polyedrarna är prismor och pyramider, som vi kommer att studera vidare.

Prisma

Definition och egenskaper hos ett prisma

prisma kallas en polyeder som består av två platta polygoner som ligger i parallella plan kombinerade av parallell translation, och alla segment som förbinder motsvarande punkter i dessa polygoner. Polygonerna kallas prismabaser, och segmenten som förbinder polygonernas motsvarande hörn är sidokanterna på prismat.

Prisma höjd kallas avståndet mellan planen av dess baser (). Ett segment som förbinder två hörn av ett prisma som inte hör till samma yta kallas prisma diagonal(). Prismat kallas n-kol om dess bas är en n-gon.

Varje prisma har följande egenskaper, som följer av det faktum att prismats baser kombineras genom parallell translation:

1. Prismats baser är lika.

2. Prismats sidokanter är parallella och lika.

Ytan på ett prisma är uppbyggd av baser och sidoyta. Prismats sidoyta består av parallellogram (detta följer av prismats egenskaper). Arean av sidoytan av ett prisma är summan av ytorna på sidoytorna.

rakt prisma

Prismat kallas hetero om dess sidokanter är vinkelräta mot baserna. Annars kallas prismat sned.

Ytorna på ett rakt prisma är rektanglar. Höjden på ett rakt prisma är lika med dess sidoytor.

full yta prismorär summan av den laterala ytarean och areorna av baserna.

Rätt prisma kallas ett höger prisma med en regelbunden polygon vid basen.

Sats 13.1. Arean av sidoytan av ett rakt prisma är lika med produkten av omkretsen och prismats höjd (eller, på motsvarande sätt, till sidokanten).

Bevis. Sidoytorna på ett rakt prisma är rektanglar vars baser är sidorna av polygonerna vid prismats baser, och höjderna är prismats sidokanter. Då, per definition, är den laterala ytan:

,

var är omkretsen av basen av ett rakt prisma.

Parallellepiped

Om parallellogram ligger vid basen av ett prisma, så kallas det parallellepiped. Alla ytor på en parallellepiped är parallellogram. I detta fall är parallellepipedens motsatta ytor parallella och lika.

Sats 13.2. Parallellepipedens diagonaler skär varandra i en punkt och skärningspunkten är delad på mitten.

Bevis. Tänk på två godtyckliga diagonaler, till exempel, och . Därför att parallellepipedens ytor är parallellogram, då och , vilket betyder att enligt T ungefär två räta linjer parallella med den tredje . Dessutom innebär detta att linjerna och ligger i samma plan (planet). Detta plan skär parallella plan och längs parallella linjer och . Således är en fyrhörning ett parallellogram, och av egenskapen hos ett parallellogram, dess diagonaler och skär och skärningspunkten delas i hälften, vilket krävdes för att bevisas.

En rätt parallellepiped vars bas är en rektangel kallas kubisk. Alla ytor av en kuboid är rektanglar. Längden av icke-parallella kanter på en kuboid kallas dess linjära dimensioner(mått). Det finns tre storlekar (bredd, höjd, längd).

Sats 13.3. I en kuboid är kvadraten på en diagonal lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner (bevisades genom att applicera Pythagoras T två gånger).

En rektangulär parallellepiped där alla kanter är lika kallas kub.

Uppgifter

13.1 Hur många diagonaler gör n- kolprisma

13.2 I ett lutande triangulärt prisma är avstånden mellan sidokanterna 37, 13 och 40. Hitta avståndet mellan den större sidoytan och den motsatta sidokanten.

13.3 Genom sidan av den nedre basen av ett regelbundet triangulärt prisma ritas ett plan som skär sidoytorna längs segment, vars vinkel är . Hitta lutningsvinkeln för detta plan mot prismats bas.