Vad ligger till grund för det korrekta prismat. Prisma

En gren av matematiken som studerar egenskaperna hos olika former (punkter, linjer, vinklar, tvådimensionella och tredimensionella föremål), deras storlekar och relativ position. För att underlätta undervisningen är geometri indelad i planimetri och solid geometri. AT … … Collier Encyclopedia

Geometri för utrymmen med dimensioner större än tre; termen tillämpas på de utrymmen vars geometri ursprungligen utvecklades för fallet med tre dimensioner och först därefter generaliserades till antalet dimensioner n> 3, främst euklidiska rymden, ... ... Matematisk uppslagsverk

N-dimensionell euklidisk geometri generalisering av euklidisk geometri till rymden Mer mätningar. Även om det fysiska rummet är tredimensionellt, och de mänskliga sinnena är utformade för att uppfatta tre dimensioner, är N dimensionell ... ... Wikipedia

Denna term har andra betydelser, se Pyramidatsu (betydelser). Tillförlitligheten av detta avsnitt av artikeln har ifrågasatts. Det är nödvändigt att verifiera riktigheten av de fakta som anges i detta avsnitt. Det kan finnas förklaringar på diskussionssidan ... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) teknologi som används vid modellering fasta ämnen. Strukturell blockgeometri är ofta, men inte alltid, en modelleringsteknik i 3D-grafik och CAD. Det låter dig skapa en komplex scen eller ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) är en teknik som används för att modellera fasta ämnen. Strukturell blockgeometri är ofta, men inte alltid, en modelleringsteknik i 3D-grafik och CAD. Hon ... ... Wikipedia

Denna term har andra betydelser, se Omfattning (betydelser). Volym är en additiv funktion av en uppsättning (mått) som kännetecknar kapaciteten för en region av utrymme som den upptar. Inledningsvis uppstod det och tillämpades utan strikt ... ... Wikipedia

Kubtyp Vanlig polyeder Ansikte kvadratisk Vertices Kanter Ansikter ... Wikipedia

Volym är en additiv funktion av en uppsättning (mått) som kännetecknar kapaciteten för en region av utrymme som den upptar. Inledningsvis uppstod den och tillämpades utan en strikt definition i förhållande till tredimensionella kroppar av tredimensionell euklidisk rymd. ... ... Wikipedia

En del av rymden som begränsas av en samling av ett ändligt antal plana polygoner (se GEOMETRI) kopplade på ett sådant sätt att varje sida av en polygon är en sida av exakt en annan polygon (kallad ... ... Collier Encyclopedia

Böcker

En uppsättning bord. Geometri. Årskurs 10. 14 tabeller + metodik, . Borden är tryckta på tjock polygrafisk kartong i måtten 680 x 980 mm. Broschyr med riktlinjer för läraren. Studiealbum med 14 ark...

Föreläsning: Prisma, dess baser, sidokanter, höjd, sidoyta; rakt prisma; höger prisma

Prisma

Om du har lärt dig platta figurer från tidigare frågor hos oss, då är du helt redo att studera tredimensionella figurer. Det första fasta ämnet som vi kommer att lära oss kommer att vara ett prisma.

Prismaär en voluminös kropp som har Ett stort antal ansikten.

Denna figur har två polygoner vid baserna, som är placerade i parallella plan, och alla sidoytor är i form av ett parallellogram.

Fig 1. Fig. 2

Så låt oss ta reda på vad ett prisma består av. För att göra detta, var uppmärksam på Fig.1

Som nämnts tidigare har prismat två baser som är parallella med varandra - dessa är femhörningarna ABCEF och GMNJK. Dessutom är dessa polygoner lika med varandra.

Alla andra ytor av prismat kallas sidoytor - de består av parallellogram. Till exempel BMNC, AGKF, FKJE, etc.

Den gemensamma ytan av alla sidoytor kallas sidoyta.

Varje par av intilliggande ytor har en gemensam sida. En sådan gemensam sida kallas kant. Till exempel MB, CE, AB osv.

Om prismats övre och nedre baser är förbundna med en vinkelrät, kommer det att kallas prismats höjd. I figuren är höjden markerad som en rät linje OO 1.

Det finns två huvudtyper av prismor: snett och rakt.

Om prismats sidokanter inte är vinkelräta mot baserna, kallas ett sådant prisma sned.

Om alla kanter på ett prisma är vinkelräta mot baserna, kallas ett sådant prisma hetero.

Om baserna i ett prisma är regelbundna polygoner (de med lika sidor), kallas ett sådant prisma korrekt.

Om prismats baser inte är parallella med varandra, kommer ett sådant prisma att kallas stympad.

Du kan se det i Fig.2

Formler för att hitta volym, area av ett prisma

Det finns tre grundläggande formler för att hitta volym. De skiljer sig från varandra i sin applikation:

Liknande formler för att hitta ytarean av ett prisma:

Vilken polygon som helst kan ligga vid basen av prismat - en triangel, en fyrhörning, etc. Båda baserna är exakt likadana, och följaktligen, genom vilka vinklarna på parallella ytor är förbundna med varandra, är de alltid parallella. Vid basen av ett vanligt prisma ligger en regelbunden polygon, det vill säga en där alla sidor är lika. I ett rakt prisma är kanterna mellan sidoytorna vinkelräta mot basen. I det här fallet kan en polygon med valfritt antal vinklar ligga vid basen av ett rakt prisma. Ett prisma vars bas är ett parallellogram kallas parallellepiped. rektangel - specialfall parallellogram. Om denna figur ligger vid basen och sidoytorna är placerade i rät vinkel mot basen, kallas parallellepipeden rektangulär. Det andra namnet på denna geometriska kropp är rektangulär.

Hur ser hon ut

Rektangulära prismor omgivna modern man ganska lite av. Detta är till exempel den vanliga kartongen från under skor, datorkomponenter osv. Se sig om. Även i ett rum kommer du säkert att se många rektangulära prismor. Det här är ett datorfodral och en bokhylla och ett kylskåp och ett skåp och många andra föremål. Formen är oerhört populär främst för att den låter dig använda utrymmet så effektivt som möjligt, oavsett om du ska inreda inredningen eller packa saker i kartong innan du flyttar.

Egenskaper för ett rektangulärt prisma

Ett rektangulärt prisma har ett nummer specifika egenskaper. Vilket par av ytor som helst kan fungera som dess , eftersom alla intilliggande ytor är placerade i samma vinkel mot varandra, och denna vinkel är 90 °. Volymen och ytarean av ett rektangulärt prisma är lättare att beräkna än någon annan. Ta alla föremål som har formen av ett rektangulärt prisma. Mät dess längd, bredd och höjd. För att hitta volymen räcker det att multiplicera dessa mätningar. Det vill säga formeln ser ut så här: V \u003d a * b * h, där V är volymen, a och b är sidorna av basen, h är höjden som sammanfaller med sidokanten på denna geometriska kropp. Basarean beräknas med formeln S1=a*b. För att få sidoytan måste du först beräkna basens omkrets med formeln P=2(a+b) och sedan multiplicera den med höjden. Det visar sig formeln S2=P*h=2(a+b)*h. Att beräkna full yta För ett rektangulärt prisma, lägg till två gånger arean av basen och arean av sidoytan. Formeln är S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

PÅ Läroplanen under loppet av solid geometri börjar studiet av tredimensionella figurer vanligtvis med en enkel geometrisk kropp - en prismapolyeder. Rollen för dess baser utförs av två lika polygoner som ligger i parallella plan. Ett specialfall är ett vanligt fyrkantigt prisma. Dess baser är 2 identiska regelbundna fyrkanter, mot vilka sidorna är vinkelräta och har formen av parallellogram (eller rektanglar om prismat inte är lutande).

Hur ser ett prisma ut

Ett regelbundet fyrkantigt prisma är en hexaeder, vid vars baser det finns 2 kvadrater, och sidoytorna representeras av rektanglar. Ett annat namn för detta geometrisk figur- en rak parallellepiped.

Figuren, som visar ett fyrkantigt prisma, visas nedan.

Du kan också se på bilden väsentliga element, som utgör den geometriska kroppen. De kallas vanligtvis för:

Ibland kan man i geometriproblem hitta begreppet sektion. Definitionen kommer att låta så här: en sektion är alla punkter på en volymetrisk kropp som hör till skärplanet. Sektionen är vinkelrät (korsar kanterna på figuren i en vinkel på 90 grader). För ett rektangulärt prisma övervägs också en diagonal sektion (det maximala antalet sektioner som kan byggas är 2), som passerar genom 2 kanter och basens diagonaler.

Om snittet är ritat på ett sådant sätt att skärplanet inte är parallellt med vare sig baserna eller sidoytorna, blir resultatet ett stympat prisma.

Olika förhållanden och formler används för att hitta de reducerade prismatiska elementen. Några av dem är kända från planimetri (till exempel för att hitta arean av basen av ett prisma räcker det att komma ihåg formeln för arean av en kvadrat).

Yta och volym

För att bestämma volymen av ett prisma med hjälp av formeln måste du känna till arean av bitars bas och höjd:

V = Sprim h

Eftersom basen av ett vanligt tetraedriskt prisma är en kvadrat med sida en, Du kan skriva formeln i en mer detaljerad form:

V = a² h

Om vi pratar om en kub - ett vanligt prisma med lika längd, bredd och höjd, beräknas volymen enligt följande:

För att förstå hur man hittar den laterala ytan av ett prisma måste du föreställa dig dess svep.

Det framgår av ritningen att sidoytan är uppbyggd av 4 lika stora rektanglar. Dess yta beräknas som produkten av basens omkrets och höjden på figuren:

Sida = Pos h

Eftersom omkretsen av en kvadrat är P = 4a, formeln har formen:

Sida = 4a h

För kub:

Sida = 4a²

För att beräkna den totala ytan av ett prisma, lägg till 2 basareor till sidoarean:

Full = Sside + 2Sbase

Som applicerad på ett fyrkantigt regelbundet prisma har formeln formen:

Full = 4a h + 2a²

För ytan av en kub:

Full = 6a²

Genom att känna till volymen eller ytan kan du beräkna enskilda element geometrisk kropp.

Hitta prismaelement

Ofta finns det problem där volymen är given eller värdet på den laterala ytarean är känt, där det är nödvändigt att bestämma längden på sidan av basen eller höjden. I sådana fall kan formler härledas:

bassidans längd: a = Sside / 4h = √(V/h);
höjd eller sidribbans längd: h = Sida / 4a = V / a²;
basarea: Sprim = V/h;
sidoyta: Sida gr = Sida / 4.

För att avgöra hur stor yta en diagonal sektion har måste du veta längden på diagonalen och höjden på figuren. För en kvadrat d = a√2. Därför:

Sdiag = ah√2

För att beräkna prismats diagonal används formeln:

dprize = √(2a² + h²)

För att förstå hur man tillämpar ovanstående förhållanden kan du öva och lösa några enkla uppgifter.

Exempel på problem med lösningar

Här är några av uppgifterna som förekommer i de statliga slutproven i matematik.

Övning 1.

Sand hälls i en låda formad som ett vanligt fyrkantigt prisma. Höjden på dess nivå är 10 cm. Vad blir sandnivån om du flyttar den till en behållare med samma form, men med en baslängd som är 2 gånger längre?

Det bör argumenteras enligt följande. Mängden sand i de första och andra behållarna förändrades inte, det vill säga dess volym i dem är densamma. Du kan definiera längden på basen som a. I det här fallet, för den första rutan, kommer volymen av ämnet att vara:

V^ = ha^ = 10a^

För den andra lådan är längden på basen 2a, men höjden på sandnivån är okänd:

V2 = h(2a)² = 4ha²

I den mån som V^ = V2, kan uttrycken likställas:

10a² = 4ha²

Efter att ha reducerat båda sidor av ekvationen med a² får vi:

Som ett resultat ny nivå sand kommer att vara h = 10/4 = 2,5 centimeter.

Uppgift 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ är ett vanligt prisma. Det är känt att BD = AB₁ = 6√2. Hitta kroppens totala yta.

För att göra det lättare att förstå vilka element som är kända kan du rita en figur.

Eftersom vi talar om ett vanligt prisma kan vi dra slutsatsen att basen är en kvadrat med diagonalen 6√2. Diagonalen på sidoytan har samma värde, därför har sidoytan också formen av en kvadrat lika med basen. Det visar sig att alla tre dimensionerna - längd, bredd och höjd - är lika. Vi kan dra slutsatsen att ABCDA₁B₁C₁D₁ är en kub.

Längden på valfri kant bestäms genom den kända diagonalen:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Den totala ytan hittas av formeln för kuben:

Full = 6a² = 6 6² = 216

Uppgift 3.

Rummet håller på att renoveras. Det är känt att dess golv har formen av en kvadrat med en yta på 9 m². Rummets höjd är 2,5 m. Vad är den lägsta kostnaden för att tapetsera ett rum om 1 m² kostar 50 rubel?

Eftersom golvet och taket är kvadrater, det vill säga regelbundna fyrhörningar, och dess väggar är vinkelräta mot horisontella ytor, kan vi dra slutsatsen att det är ett vanligt prisma. Det är nödvändigt att bestämma området för dess laterala yta.

Längden på rummet är a = √9 = 3 m.

Torget kommer att täckas med tapeter Sida = 4 3 2,5 = 30 m².

Den lägsta kostnaden för tapeter för detta rum kommer att vara 50 30 = 1500 rubel.

För att lösa problem på ett rektangulärt prisma räcker det alltså att kunna beräkna arean och omkretsen av en kvadrat och en rektangel, samt att känna till formlerna för att hitta volymen och ytarean.

Hur man hittar arean av en kub

Definition. Prisma- detta är en polyeder, vars alla hörn är belägna i två parallella plan, och i samma två plan finns det två ytor av prismat, som är lika polygoner med respektive parallella sidor, och alla kanter som inte ligger i dessa planen är parallella.

Två lika ansikten kallas prismabaser(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alla andra ytor av prismat kallas sidoytor(AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D, DD1E1E, EE1A1A).

Alla sidoytor bildas sidoyta prismor .

Alla sidoytor på ett prisma är parallellogram .

Kanter som inte ligger vid baserna kallas prismats laterala kanter ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonal ett segment kallas, vars ändar är två hörn av prismat som inte ligger på en av dess ytor (AD 1).

Längden på segmentet som förbinder prismats baser och vinkelrätt mot båda baserna samtidigt kallas prisma höjd .

Beteckning:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Först, i ordningen för förbikopplingen, indikeras hörn på en bas, och sedan, i samma ordning, hörn på den andra; ändarna på varje sidokant betecknas med samma bokstäver, endast hörnen ligger i en bas indikeras med bokstäver utan index, och i den andra - med index)

Namnet på prismat är associerat med antalet vinklar i figuren som ligger vid dess bas, till exempel i figur 1 är basen en femhörning, så prismat kallas femkantigt prisma. Men eftersom ett sådant prisma har 7 ytor, då det heptaeder(2 ytor är basen av prismat, 5 ytor är parallellogram, är dess sidoytor)

Bland de raka prismorna sticker ut privat utsikt: vanliga prismor.

Ett rakt prisma kallas korrekt, om dess baser är regelbundna polygoner.

Ett vanligt prisma har alla sidoytor lika rektanglar. Ett specialfall av ett prisma är en parallellepiped.

Parallellepiped

Parallellepiped- Det här fyrkantigt prisma, som bygger på ett parallellogram (sned parallellepiped). Höger parallellepipedum- en parallellepiped vars sidokanter är vinkelräta mot basens plan.

kubisk- en rät parallellepiped vars bas är en rektangel.

Egenskaper och satser:

Vissa egenskaper hos en parallellepiped liknar varandra kända egenskaper parallellogram En rektangulär parallellepiped med lika mått, kallas kub .En kub har alla ytor lika kvadrater.Kvadraten på en diagonal är lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner

där d är kvadratens diagonal;
a - sida av torget.

Idén med ett prisma ges av:

olika arkitektoniska strukturer;
Leksaker för barn;
packboxar;
designartiklar etc.

Prismats totala och laterala yta

Prismats totala ytaär summan av ytorna av alla dess ytor Sidoyta kallas summan av areorna av dess sidoytor. prismats baser är lika polygoner, då är deras area lika. Så

S full \u003d S-sida + 2S huvud,

var S full- total yta, S sida- sidoyta, S huvud- basarea

Arean av sidoytan av ett rakt prisma är lika med produkten av basens omkrets och prismats höjd.

S sida\u003d P main * h,

var S sidaär arean av sidoytan av ett rakt prisma,

P main - omkretsen av basen av ett rakt prisma,

h är höjden på det raka prismat, lika med sidokanten.