Vsak jezik lahko izrazi iste informacije različne besede in prometi. Matematični jezik ni izjema. Toda isti izraz je mogoče enakovredno zapisati na različne načine. In v nekaterih situacijah je eden od vnosov enostavnejši. V tej lekciji bomo govorili o poenostavitvi izrazov.

Ljudje komunicirajo naprej različnih jezikih. Za nas je pomembna primerjava par "ruski jezik - matematični jezik". Isti podatki se lahko poročajo v različnih jezikih. Toda poleg tega se lahko v enem jeziku izgovori različno.

Na primer: "Peter je prijatelj z Vasjo", "Vasya je prijatelj s Petjo", "Peter in Vasya sta prijatelja". Rečeno drugače, a eno in isto. S katerim koli od teh stavkov bi razumeli, kaj je na kocki.

Poglejmo ta stavek: "Fant Petya in fant Vasya sta prijatelja." Razumemo, kaj pod vprašajem. Vendar nam ni všeč, kako ta fraza zveni. Ali ga ne moremo poenostaviti, reči enako, a preprosteje? "Fant in fant" - enkrat lahko rečete: "Fanta Petya in Vasya sta prijatelja."

"Fantje" ... Ali ni iz njihovih imen razvidno, da niso dekleta. Odstranimo "fantje": "Petya in Vasya sta prijatelja." In besedo "prijatelji" je mogoče zamenjati s "prijatelji": "Petya in Vasya sta prijatelja." Posledično je bila prva, dolga, grda fraza zamenjana z enakovredno izjavo, ki jo je lažje reči in razumeti. To besedno zvezo smo poenostavili. Poenostaviti pomeni povedati lažje, vendar ne izgubiti, ne izkrivljati pomena.

Enako se dogaja v matematičnem jeziku. Enako lahko rečemo drugače. Kaj pomeni poenostaviti izraz? To pomeni, da za izvirni izraz obstaja veliko enakovrednih izrazov, torej tistih, ki pomenijo isto stvar. In iz vse te množice moramo izbrati najpreprostejšega, po našem mnenju, oziroma najprimernejšega za naše nadaljnje namene.

Na primer, razmislite o številskem izrazu. To bo enakovredno .

Prav tako bo enakovreden prvima dvema: .

Izkazalo se je, da smo svoje izraze poenostavili in našli najkrajši enakovredni izraz.

Za številske izraze morate vedno opraviti vse delo in dobiti enakovredni izraz kot eno število.

Razmislite o primeru dobesednega izraza . Očitno bo bolj preprosto.

Ko poenostavljate dobesedne izraze, morate izvesti vsa možna dejanja.

Ali je vedno treba izraz poenostaviti? Ne, včasih nam bo bolj priročen enakovredni, a daljši zapis.

Primer: Odštejte število od števila.

Možno je izračunati, vendar če bi bilo prvo število predstavljeno z enakovrednim zapisom: , potem bi bili izračuni trenutni: .

To pomeni, da nam poenostavljen izraz ni vedno koristen za nadaljnje izračune.

Kljub temu se zelo pogosto soočamo z nalogo, ki zveni le kot »poenostavi izraz«.

Poenostavite izraz: .

Odločitev

1) Izvedite dejanja v prvem in drugem oklepaju: .

2) Izračunajte izdelke: .

Očitno ima zadnji izraz enostavnejšo obliko od začetnega. Poenostavili smo ga.

Za poenostavitev izraza ga je treba nadomestiti z enakovrednim (enako).

Za določitev enakovrednega izraza morate:

1) izvesti vsa možna dejanja,

2) uporabite lastnosti seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja za poenostavitev izračunov.

Lastnosti seštevanja in odštevanja:

1. Komutativna lastnost seštevanja: vsota se ne spremeni od preureditve členov.

2. Asociativna lastnost seštevanja: če želite vsoti dveh številk dodati še tretje število, lahko prvemu številu dodate vsoto drugega in tretjega števila.

3. Lastnost odštevanja vsote od števila: če želite vsoto odšteti od števila, lahko odštejete vsak člen posebej.

Lastnosti množenja in deljenja

1. Komutativna lastnost množenja: produkt se ne spremeni iz permutacije faktorjev.

2. Asociativna lastnost: če želite število pomnožiti z zmnožkom dveh števil, ga lahko najprej pomnožite s prvim faktorjem, nato pa dobljeni produkt pomnožite z drugim faktorjem.

3. Distributivna lastnost množenja: če želite število pomnožiti z vsoto, ga morate pomnožiti z vsakim členom posebej.

Poglejmo, kako dejansko izvajamo miselne izračune.

Izračunaj:

Odločitev

1) Predstavljajte si, kako

2) Predstavimo prvi faktor kot vsoto bitni izrazi in naredi množenje:

3) lahko si predstavljate, kako in izvajate množenje:

4) Prvi faktor zamenjajte z enakovredno vsoto:

Distribucijski zakon se lahko uporablja tudi v nasprotni smeri: .

Sledite tem korakom:

1) 2)

Odločitev

1) Za udobje lahko uporabite zakon o distribuciji, le uporabite ga v nasprotni smeri - vzemite skupni faktor iz oklepajev.

2) Vzemimo skupni faktor iz oklepajev

V kuhinji in na hodniku je treba kupiti linolej. Kuhinjski prostor - hodnik -. Obstajajo tri vrste linoleja: za in rubljev za. Koliko bo stala vsaka od treh vrst linoleja? (slika 1)

riž. 1. Ilustracija za stanje problema

Odločitev

Metoda 1. Ločeno lahko ugotovite, koliko denarja bo potrebno za nakup linoleja v kuhinji, nato pa ga dodajte na hodnik in seštejte nastala dela.

Izrazi, pretvorba izrazov

Močni izrazi (izrazi s potenci) in njihova transformacija

V tem članku bomo govorili o preoblikovanju izrazov s pooblastili. Najprej se bomo osredotočili na transformacije, ki se izvajajo z izrazi katere koli vrste, vključno z izrazi za moč, kot so odpiranje oklepajev, zmanjševanje podobnih izrazov. Nato bomo analizirali transformacije, ki so značilne za izraze s stopnjami: delo z bazo in eksponentom, z uporabo lastnosti stopinj itd.

Navigacija po straneh.

Kaj so izrazi moči?

Izraza "izrazi moči" praktično ne najdemo v šolskih učbenikih matematike, vendar se pogosto pojavlja v zbirkah nalog, posebej zasnovanih za pripravo na enotni državni izpit in OGE, na primer. Po analizi nalog, pri katerih je treba izvesti kakršna koli dejanja z izrazi moči, postane jasno, da izraze moči razumemo kot izraze, ki v svojih vnosih vsebujejo stopnje. Zato lahko zase vzamete naslednjo definicijo:

Opredelitev.

Izrazi moči so izrazi, ki vsebujejo pooblastila.

Prinesemo primeri močnih izrazov. Poleg tega jih bomo predstavili glede na to, kako poteka razvoj pogledov od stopnje z naravnim kazalnikom do stopnje z realnim indikatorjem.

Kot veste, se najprej seznanite s stopnjo števila z naravnim eksponentom, na tej stopnji pa so prvi najenostavnejši potenčni izrazi tipa 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Malo kasneje preučujemo potenco števila s celim eksponentom, kar vodi do pojava potencialnih izrazov z negativnimi celimi potenci, kot so: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

V višjih razredih se spet vračajo k diplomam. Uvedena je diploma s racionalni kazalnik, kar vodi do pojava ustreznih močnostnih izrazov: , , itd. Končno se upoštevajo stopnje z iracionalnimi eksponenti in izrazi, ki jih vsebujejo: , .

Zadeva ni omejena na naštete potenčne izraze: dalje spremenljivka prodre v eksponent in obstajajo npr. takšni izrazi 2 x 2 +1 oz. . In po seznanitvi se začnejo pojavljati izrazi s potenci in logaritmi, na primer x 2 lgx −5 x lgx.

Tako smo ugotovili vprašanje, kaj so izrazi moči. Nato se bomo naučili, kako jih preoblikovati.

Glavne vrste transformacij močnih izrazov

Z izrazi moči lahko izvedete katero koli od osnovnih transformacij identitete izrazov. Na primer, lahko razširite oklepaje, zamenjate številske izraze z njihovimi vrednostmi, dodate podobne izraze itd. Seveda je v tem primeru treba upoštevati sprejeti postopek za izvajanje dejanj. Dajmo primere.

Primer.

Izračunajte vrednost izraza moči 2 3 ·(4 2 −12) .

Odločitev.

Glede na vrstni red dejanj najprej izvedemo dejanja v oklepajih. Tam najprej zamenjamo potenco 4 2 z njeno vrednostjo 16 (glej, če je potrebno), in drugič, izračunamo razliko 16−12=4 . Imamo 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

V dobljenem izrazu zamenjamo potenco 2 3 z njeno vrednostjo 8 , po kateri izračunamo produkt 8·4=32 . To je želena vrednost.

torej 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

odgovor:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Primer.

Poenostavite Power Expressions 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Odločitev.

Očitno ta izraz vsebuje podobna izraza 3 · a 4 · b − 7 in 2 · a 4 · b − 7 in jih lahko zmanjšamo: .

odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primer.

Izrazite izraz z močmi kot produkt.

Odločitev.

Za spopadanje z nalogo omogoča predstavitev števila 9 kot potenco 3 2 in naknadno uporabo skrajšane formule za množenje, razlika kvadratov:

odgovor:

Obstajajo tudi številne identične transformacije, ki so neločljivo povezane z izrazi moči. Nato jih bomo analizirali.

Delo z bazo in eksponentom

Obstajajo stopnje, v osnovi in/ali indikatorju katerih niso le številke ali spremenljivke, ampak nekateri izrazi. Za primer zapišimo (2+0,3 7) 5−3,7 in (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Pri delu s podobnimi izrazi lahko tako izraz v osnovi stopnje kot izraz v eksponentu zamenjamo enako enak izraz na ODZ njenih spremenljivk. Z drugimi besedami, po nam znanih pravilih lahko ločeno pretvorimo osnovo stopnje in ločeno - indikator. Jasno je, da kot rezultat te transformacije dobimo izraz, ki je identično enak prvotnemu.

Takšne transformacije nam omogočajo, da poenostavimo izraze s pooblastili ali dosežemo druge cilje, ki jih potrebujemo. Na primer, v zgoraj omenjenem izrazu za potenco (2+0,3 7) 5−3,7 lahko izvajate operacije s številkami v osnovi in ​​eksponentu, kar vam bo omogočilo prehod na potenco 4,1 1,3. In ko odpremo oklepaje in prinesemo podobne izraze v osnovo stopnje (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1), dobimo potenčni izraz več preprosta oblika a 2 (x+1) .

Uporaba lastnosti moči

Eno glavnih orodij za preoblikovanje izrazov s potencami so enakosti, ki odražajo. Spomnimo se glavnih. Za poljubna pozitivna števila a in b ter poljubna realne številke r in s imata naslednje lastnosti potenk:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r;
• (a r) s =a r s .

Upoštevajte, da za naravne, cele in pozitivne eksponente omejitve števil a in b morda niso tako stroge. Na primer, za naravna števila m in n enakost a m ·a n =a m+n ne velja samo za pozitivne a , ampak tudi za negativne in za a=0 .

V šoli je glavna pozornost pri preoblikovanju močnih izrazov usmerjena ravno v sposobnost izbire primerna lastnina in ga pravilno uporabite. V tem primeru so osnove stopinj običajno pozitivne, kar vam omogoča uporabo lastnosti stopinj brez omejitev. Enako velja za pretvorbo izrazov, ki vsebujejo spremenljivke v bazah stopinj - obseg sprejemljivih vrednosti spremenljivk je običajno tak, da baze na njem prevzamejo samo pozitivne vrednosti, kar vam omogoča prosto uporabo lastnosti stopinj. Na splošno se morate nenehno spraševati, ali je v tem primeru mogoče uporabiti kakšno lastnost stopinj, saj lahko nenatančna uporaba lastnosti povzroči zožitev ODZ in druge težave. Te točke so podrobno in s primeri obravnavane v članku o transformaciji izrazov z uporabo lastnosti stopinj. Tukaj se omejimo na nekaj preprostih primerov.

Primer.

Izraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 izrazite kot potenco z bazo a .

Odločitev.

Najprej preoblikujemo drugi faktor (a 2) −3 z lastnostjo dviga potenca na potenco: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. V tem primeru bo začetni izraz moči v obliki a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Očitno je še, da uporabimo lastnosti množenja in deljenja potenk z isto bazo, imamo
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

odgovor:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Lastnosti moči se uporabljajo pri preoblikovanju izrazov moči tako od leve proti desni kot od desne proti levi.

Primer.

Poiščite vrednost izraza moči.

Odločitev.

Enakost (a·b) r =a r ·b r, uporabljena od desne proti levi, omogoča prehod od prvotnega izraza do produkta obrazca in naprej. In pri množenju moči z enakih razlogov kazalniki se seštevajo: .

Preoblikovanje izvirnega izraza je bilo mogoče izvesti na drug način:

odgovor:

.

Primer.

Glede na izraz moči a 1,5 −a 0,5 −6 vnesite novo spremenljivko t=a 0,5.

Odločitev.

Stopnjo a 1,5 lahko predstavimo kot 0,5 3 in jo nadalje na podlagi lastnosti stopnje v stopnji (a r) s =a r s, uporabljeno od desne proti levi, pretvorimo v obliko (a 0,5) 3 . tako, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Zdaj je enostavno uvesti novo spremenljivko t=a 0,5, dobimo t 3 −t−6 .

odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvorba ulomkov, ki vsebujejo potence

Potencialni izrazi lahko vsebujejo ulomke s potenci ali predstavljajo take ulomke. Za takšne ulomke je v celoti uporabna katera koli od osnovnih pretvorb ulomkov, ki so neločljivo povezane z ulomki katere koli vrste. To pomeni, da je mogoče ulomke, ki vsebujejo stopnje, zmanjšati, zmanjšati na nov imenovalec, delati ločeno s svojim števcem in ločeno z imenovalcem itd. Za ponazoritev zgornjih besed razmislite o rešitvah več primerov.

Primer.

Poenostavite Power Expression .

Odločitev.

Ta izraz moči je ulomek. Delajmo z njegovim števcem in imenovalcem. V števcu odpremo oklepaje in poenostavimo dobljen izraz z uporabo lastnosti potenk, v imenovalcu pa predstavimo podobne izraze:

Prav tako spremenimo predznak imenovalca tako, da pred ulomek postavimo minus: .

odgovor:

.

Zmanjšanje vsebnih potenk ulomkov na nov imenovalec se izvede podobno kot redukcija na nov imenovalec racionalne ulomke. Hkrati se najde tudi dodatni faktor in z njim se pomnožita števec in imenovalec ulomka. Pri izvajanju tega dejanja se je vredno spomniti, da lahko zmanjšanje na nov imenovalec povzroči zožitev DPV. Da se to ne bi zgodilo, je potrebno, da dodatni faktor ne izgine za nobene vrednosti spremenljivk iz spremenljivk ODZ za izvirni izraz.

Primer.

Prenesite ulomke na nov imenovalec: a) na imenovalec a, b) na imenovalec.

Odločitev.

a) V tem primeru je precej enostavno ugotoviti, kateri dodatni dejavnik pomaga doseči želeni rezultat. To je množitelj a 0,3, saj je a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Upoštevajte, da v območju sprejemljivih vrednosti spremenljivke a (to je množica vseh pozitivnih realnih števil) stopnja a 0,3 ne izgine, zato imamo pravico pomnožiti števec in imenovalec danega ulomka s tem dodatnim faktorjem:

b) Če natančneje pogledamo imenovalec, ugotovimo, da

in množenje tega izraza z bo dalo vsoto kock in , To je . In to je novi imenovalec, do katerega moramo pripeljati prvotni ulomek.

Tako smo našli dodaten dejavnik. Izraz ne izgine na območju sprejemljivih vrednosti spremenljivk x in y, zato lahko z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka:

odgovor:

a) , b) .

Prav tako ni nič novega pri redukciji ulomkov, ki vsebujejo stopnje: števec in imenovalec sta predstavljena kot določeno število faktorjev, enaki faktorji števca in imenovalca pa so zmanjšani.

Primer.

Zmanjšaj ulomek: a) , b).

Odločitev.

a) Prvič, števec in imenovalec lahko zmanjšamo za številki 30 in 45, kar je enako 15. Očitno lahko tudi zmanjšate za x 0,5 +1 in za . Tukaj imamo:

b) V tem primeru enaki faktorji v števcu in imenovalcu niso takoj vidni. Če jih želite dobiti, morate izvesti predhodne transformacije. V tem primeru so sestavljeni iz razgradnje imenovalca na faktorje glede na formulo razlike kvadratov:

odgovor:

a)

b) .

Zmanjševanje ulomkov na nov imenovalec in zmanjševanje ulomkov se uporablja predvsem za izvajanje operacij nad ulomki. Dejanja se izvajajo po znanih pravilih. Pri seštevanju (odštevanju) ulomkov se ti zmanjšajo na skupni imenovalec, nakar se števci seštejejo (odštejejo), imenovalec pa ostane enak. Rezultat je ulomek, katerega števec je produkt števcev, imenovalec pa je produkt imenovalcev. Deljenje z ulomkom je množenje z njegovo recipročno vrednostjo.

Primer.

Sledite korakom .

Odločitev.

Najprej odštejemo ulomke v oklepajih. Da bi to naredili, jih pripeljemo do skupnega imenovalca, ki je , nato odštejte števce:

Zdaj pomnožimo ulomke:

Očitno je možno zmanjšanje za moč x 1/2, po katerem imamo .

Izraz moči v imenovalcu lahko tudi poenostavite z uporabo formule razlike kvadratov: .

odgovor:

Primer.

Poenostavite Power Expression .

Odločitev.

Očitno je mogoče ta ulomek zmanjšati za (x 2,7 +1) 2, kar daje ulomek . Jasno je, da je treba s potencami x narediti nekaj drugega. Če želite to narediti, dobljeno frakcijo pretvorimo v izdelek. To nam daje možnost, da uporabimo lastnost delitve moči z enakimi osnovami: . In na koncu postopka preidemo od zadnjega produkta do frakcije.

odgovor:

.

In dodamo, da je mogoče in v mnogih primerih zaželeno prenesti faktorje z negativnimi eksponenti iz števca v imenovalec ali iz imenovalca v števec s spremembo predznaka eksponenta. Takšne preobrazbe pogosto poenostavijo nadaljnja dejanja. Na primer, izraz moči je mogoče zamenjati z .

Pretvorba izrazov s koreninami in potenci

Pogosto so v izrazih, v katerih so potrebne nekatere transformacije, skupaj s stopnjami z delnimi eksponenti tudi korenine. Za pretvorbo takega izraza v prava vrsta, v večini primerov je dovolj, da gremo samo do korenin ali samo do moči. Ker pa je bolj priročno delati s stopinjami, se običajno premikajo od korenin do stopinj. Vendar je priporočljivo izvesti tak prehod, ko vam ODZ spremenljivk za izvirni izraz omogoča zamenjavo korenin s stopinjami, ne da bi morali dostopati do modula ali razdeliti ODZ na več intervalov (o tem smo podrobno razpravljali v člen, prehod iz korenin na stopnje in obratno. Po seznanitvi s stopnjo z racionalnim eksponentom se uvede stopnja z iracionalnim indikatorjem, ki omogoča, da govorimo o stopnji s poljubnim realnim indikatorjem. Na tej stopnji se šola se začne učiti eksponentna funkcija , ki je analitično podana s stopnjo, v osnovi katere je številka, v indikatorju pa spremenljivka. Soočamo se torej z eksponentnimi izrazi, ki vsebujejo števila v osnovi stopnje, v eksponentu pa izraze s spremenljivkami, in seveda se pojavi potreba po izvedbi transformacij takšnih izrazov.

Povedati je treba, da je običajno treba pri reševanju izvesti transformacijo izrazov navedenega tipa eksponentne enačbe in eksponentne neenakosti , in te transformacije so precej preproste. V veliki večini primerov temeljijo na lastnostih diplome in so namenjeni predvsem uvajanju nove spremenljivke v prihodnosti. Enačba nam bo omogočila, da jih pokažemo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Najprej eksponente, v katerih se najde vsota neke spremenljivke (ali izraza s spremenljivkami) in števila, nadomestimo z produkti. To velja za prvi in ​​zadnji izraz izraza na levi strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Nato oba dela enakosti delimo z izrazom 7 2 x , ki vzame le pozitivne vrednosti na ODZ spremenljivke x za izvirno enačbo (to je standardna tehnika za reševanje tovrstnih enačb, mi nismo ko zdaj govorimo o tem, se osredotočite na kasnejše transformacije izrazov s pooblastili ):

Zdaj so ulomki s potemi preklicani, kar daje .

Končno se razmerje potenk z enakimi eksponenti nadomesti s potenji razmerij, kar vodi do enačbe , kar je enakovredno . Izvedene transformacije nam omogočajo, da uvedemo novo spremenljivko, ki reducira rešitev prvotne eksponentne enačbe na rešitev kvadratne enačbe

I. V. Boikov, L. D. Romanova Zbirka nalog za pripravo na izpit. 1. del. Penza 2003.

Algebraični izraz, v zapisu katerega se poleg operacij seštevanja, odštevanja in množenja uporablja tudi delitev na dobesedne izraze, se imenuje delni algebraični izraz. Takšni so na primer izrazi

Algebraični ulomek imenujemo algebraični izraz, ki ima obliko kvocienta deljenja dveh celoštevilskih algebrskih izrazov (na primer monomov ali polinomov). Takšni so na primer izrazi

tretji od izrazov).

Identitetne transformacije frakcijskih algebraičnih izrazov so večinoma namenjene predstavitvi v obliki algebraični ulomek. Za iskanje skupnega imenovalca se uporablja faktorizacija imenovalcev ulomkov - izrazov, da se najde njihov najmanjši skupni večkratnik. Pri zmanjševanju algebrskih ulomkov je lahko kršena stroga identiteta izrazov: treba je izključiti vrednosti količin, pri katerih faktor, s katerim se zmanjša, izgine.

Navedimo primere enakih transformacij frakcijskih algebraičnih izrazov.

Primer 1: Poenostavite izraz

Vse člene je mogoče zmanjšati na skupni imenovalec (primerno je spremeniti predznak v imenovalcu zadnjega člena in znak pred njim):

Naš izraz je enak eni za vse vrednosti razen teh vrednosti, ni definiran in zmanjšanje ulomkov je nezakonito).

Primer 2. Predstavite izraz kot algebraični ulomek

Odločitev. Izraz lahko vzamemo kot skupni imenovalec. Zaporedoma najdemo:

vaje

1. Poiščite vrednosti algebrskih izrazov za določene vrednosti parametrov:

2. Faktorizirajte.

Math-Calculator-Online v.1.0

Kalkulator izvaja naslednje operacije: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, delo z decimalkami, ekstrahiranje korena, dvig na stepen, računanje odstotkov in druge operacije.

Odločitev:

Kako uporabljati matematični kalkulator

Ključ	Poimenovanje	Pojasnilo
5	številke 0-9	arabske številke. Vnesite naravna cela števila, nič. Če želite dobiti negativno celo število, pritisnite tipko +/-
.	podpičje)	Decimalno ločilo. Če pred piko (vejica) ni števka, bo kalkulator samodejno nadomestil ničlo pred piko. Na primer: .5 - 0,5 bo zapisano
+	znak plus	Seštevanje števil (celi, decimalni ulomki)
-	znak minus	Odštevanje števil (celi, decimalni ulomki)
÷	znak delitve	Delitev števil (celi, decimalni ulomki)
X	znak za množenje	Množenje števil (cela števila, decimalke)
√	koren	Izvlečenje korena iz števila. Ko ponovno pritisnete gumb "root", se koren izračuna iz rezultata. Na primer: kvadratni koren iz 16 = 4; kvadratni koren iz 4 = 2
x2	kvadratura	Kvadriranje števila. Ko ponovno pritisnete gumb "kvadriranje", se rezultat kvadrira, na primer: kvadrat 2 = 4; kvadrat 4 = 16
1/x	ulomek	Izhod na decimalke. V števcu 1, v imenovalcu vhodna številka
%	odstotkov	Pridobite odstotek števila. Za delo morate vnesti: številko, iz katere se bo izračunal odstotek, znak (plus, minus, deljenje, množenje), koliko odstotkov v številčni obliki, gumb "%"
(	odprt nosilec	Odprti oklepaj za nastavitev prioritete vrednotenja. Zaprt oklepaj je obvezen. Primer: (2+3)*2=10
)	zaprt nosilec	Zaprt oklepaj za nastavitev prioritete vrednotenja. Zahtevana je razpoložljivost odprt nosilec
±	plus minus	Spremeni znak v nasprotni
=	enaka	Prikaže rezultat rešitve. Prav tako so vmesni izračuni in rezultat prikazani nad kalkulatorjem v polju "Rešitev".
←	brisanje znaka	Izbriše zadnji znak
Z	ponastaviti	Gumb za ponastavitev. Popolnoma ponastavi kalkulator na "0"

Algoritem spletnega kalkulatorja s primeri

Dodatek.

Seštevanje celih naravnih števil (5 + 7 = 12)

Seštevanje celih naravnih in negativnih števil (5 + (-2) = 3)

Decimalno seštevanje ulomna števila { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Odštevanje.

Odštevanje celih naravnih števil ( 7 - 5 = 2 )

Odštevanje celih naravnih in negativnih števil ( 5 - (-2) = 7)

Odštevanje decimalnih ulomkov (6,5 - 1,2 = 4,3)

Množenje.

Zmnožek celih naravnih števil (3 * 7 = 21)

Zmnožek celih naravnih in negativnih števil (5 * (-3) = -15)

Zmnožek decimalnih ulomkov ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

divizije.

Deljenje celih naravnih števil (27/3 = 9)

Delitev celih naravnih in negativnih števil (15 / (-3) = -5)

Deljenje decimalnih ulomkov (6,2 / 2 = 3,1)

Izvlečenje korena iz števila.

Ekstrahiranje korena celega števila ( root(9) = 3)

Ekstrahiranje korena decimalnih mest ( koren (2,5) = 1,58)

Ekstrahiranje korena iz vsote števil ( koren (56 + 25) = 9)

Ekstrahiranje korena razlike v številih ( koren (32 - 7) = 5)

Kvadriranje števila.

Kvadriranje celega števila ( (3) 2 = 9)

Kvadrat decimalk ( (2,2) 2 = 4,84 )

Pretvori v decimalne ulomke.

Izračunavanje odstotkov števila

Povečaj 230 za 15 % (230 + 230 * 0,15 = 264,5)

Zmanjšaj število 510 za 35 % ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % števila 140 je (140 * 0,18 = 25,2)

Priročno in preprosto spletni kalkulator frakcije s podrobno rešitvijo mogoče:

• Seštevajte, odštevajte, množite in delite frakcije na spletu,
• Prejeti rešitev na ključ ulomke s sliko in jo je priročno prenesti.



Rezultat reševanja ulomkov bo tukaj ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Znak ulomka "/" + - * :
_wipe Počisti
Naš spletni kalkulator ulomkov ima hiter vnos. Če želite na primer dobiti rešitev ulomkov, samo napišite 1/2+2/7 v kalkulator in pritisnite " rešiti ulomke". Kalkulator vam bo napisal podrobna rešitev frakcije in vprašanje kopiranju prijazna slika.

Znaki, ki se uporabljajo za pisanje v kalkulatorju

Primer rešitve lahko vnesete tako s tipkovnice kot z gumbi.

Značilnosti spletnega kalkulatorja ulomkov

Kalkulator ulomkov lahko izvaja le operacije z 2 preprostima ulomkoma. Lahko so pravilni (števec je manjši od imenovalca) ali napačni (števec je večji od imenovalca). Števila v števcu in imenovalcih ne smejo biti negativna in večja od 999.
Naš spletni kalkulator rešuje ulomke in prinaša odgovor pravilna oblika- zmanjša delež in po potrebi poudari celoten del.

Če morate rešiti negativne ulomke, uporabite lastnosti minus. Pri množenju in deljenju negativnih ulomkov minus z minusom daje plus. To pomeni, da je zmnožek in delitev negativnih ulomkov enak zmnožku in delitvi istih pozitivnih. Če je en ulomek pri pomnoženju ali deljenju negativen, potem preprosto odstranite minus in ga nato dodajte odgovoru. Pri seštevanju negativnih ulomkov bo rezultat enak, kot če bi seštevali enake pozitivne ulomke. Če dodate en negativni ulomek, potem je to enako kot odštevanje enakega pozitivnega.
Pri odštevanju negativnih ulomkov bo rezultat enak, kot če bi bili obrnjeni in postali pozitivni. To pomeni, da minus za minus v tem primeru daje plus, vsota pa se zaradi prerazporeditve pogojev ne spremeni. Ista pravila uporabljamo pri odštevanju ulomkov, od katerih je eden negativen.

Če želite rešiti mešane ulomke (ulomke, v katerih je poudarjen cel del), preprosto prenesite celoten del v ulomek. Če želite to narediti, pomnožite celo število z imenovalcem in dodajte števcu.

Če morate na spletu rešiti 3 ali več ulomkov, jih morate rešiti enega za drugim. Najprej preštejte prva 2 ulomka, nato rešite naslednji ulomek s prejetim odgovorom in tako naprej. Izvedite operacije po vrsti za 2 ulomka in na koncu boste dobili pravilen odgovor.