Primeri eksponentnih enačb in neenakosti. eksponentne neenakosti

Belgorodska državna univerza

STOL algebra, teorija števil in geometrija

Tema dela: Enačbe in neenakosti eksponentne moči.

Diplomsko deloštudentka Fakultete za fiziko in matematiko

znanstveni svetovalec:

______________________________

Recenzent: _______________________________

________________________

Belgorod. 2006

Uvod			3
Tema JAZ.	Analiza literature o raziskovalni temi.
Tema II.	Funkcije in njihove lastnosti, uporabljene pri reševanju eksponentnih enačb in neenakosti.
	I.1.	Funkcija moči in njegove lastnosti.
	I.2.	Eksponentna funkcija in njegove lastnosti.
Tema III.	Rešitev eksponentnih potenčnih enačb, algoritem in primeri.
Tema IV.	Reševanje eksponentnih neenakosti, načrt rešitve in primeri.
Tema v.	Izkušnje pri izvajanju pouka s šolarji na temo: "Rešitev eksponentnih potenčnih enačb in neenak."
v. 1.	Učno gradivo.
v. 2.	Naloge za samostojno reševanje.
Zaključek.	Sklepi in ponudbe.
Bibliografija.
Aplikacije

Uvod.

"... veselje videti in razumeti ..."

A. Einstein.

V tem delu sem poskušal prenesti svojo izkušnjo učitelja matematike, vsaj do neke mere prenesti svoj odnos do poučevanja le-te – človeške zadeve, v kateri so matematična znanost, pedagogika, didaktika, psihologija in celo filozofija presenetljivo prepleteni.

Imel sem priložnost delati z otroki in diplomanti, z otroki, ki so stali na stebrih intelektualnega razvoja: tistimi, ki so bili prijavljeni pri psihiatru in ki jih je matematika res zanimala.

Rešiti sem moral številne metodološke probleme. Poskušal bom govoriti o tistih, ki mi jih je uspelo rešiti. A še več - ni bilo mogoče in v tistih, ki se zdijo rešena, se pojavljajo nova vprašanja.

A še pomembnejša od same izkušnje so učiteljeva razmišljanja in dvomi: zakaj je ravno tako, ta izkušnja?

In poletje je zdaj drugačno, izobraževanje pa je postalo bolj zanimivo. "Pod Jupitri" danes ni iskanje mitskega optimalnega sistema poučevanja "vseh in vseh", ampak otrok sam. Toda potem - po potrebi - in učitelj.

V šolskem tečaju algebre se je začela analiza, 10. - 11. razredi, s opraviti izpit na tečaj Srednja šola in pri sprejemnih izpitih na univerze so enačbe in neenakosti, ki vsebujejo neznano na osnovi in ​​eksponente - to so enačbe in neenakosti eksponentne moči.

V šoli jim posvečajo malo pozornosti, v učbenikih praktično ni nalog na to temo. Vendar se mi zdi, da je obvladovanje tehnike njihovega reševanja zelo koristno: povečuje mentalno in Ustvarjalne sposobnostištudenti, se pred nami odpirajo povsem nova obzorja. Pri reševanju problemov učenci pridobijo prve veščine raziskovalno delo, se obogati njihova matematična kultura, njihova sposobnost za logično razmišljanje. Šolarji razvijejo takšne osebnostne lastnosti, kot so namenskost, zastavljanje ciljev, neodvisnost, ki jim bodo koristile v poznejšem življenju. Obstaja tudi ponavljanje, širjenje in globoka asimilacija izobraževalnega materiala.

To temo moje diplomske naloge sem začel delati s pisanjem seminarske naloge. V okviru katerega sem poglobljeno preučil in analiziral matematično literaturo na to temo, sem identificiral najprimernejšo metodo za reševanje eksponentnih potenčnih enačb in neenakosti.

Gre za dejstvo, da poleg splošno sprejetega pristopa pri reševanju enačb eksponentne moči (osnova se vzame večja od 0) in pri reševanju istih neenakosti (osnova se vzame večja od 1 ali večja od 0, vendar manjša od 1), upoštevamo tudi primere, ko sta bazi negativni, sta 0 in 1.

Pisna analiza izpitne nalogeštudentom pokaže, da pomanjkanje zajetja vprašanja negativne vrednosti argumenta eksponentne potenčne funkcije v šolskih učbenikih jim povzroča številne težave in vodi v napake. Prav tako imajo težave na stopnji sistematizacije dobljenih rezultatov, kjer se lahko zaradi prehoda na enačbo - posledica ali neenakost - posledica, pojavijo tuje korenine. Za odpravo napak uporabljamo preverjanje izvirne enačbe ali neenakosti in algoritem za reševanje eksponentnih enačb oziroma načrt reševanja eksponentnih potenčnih neenak.

Da bi dijaki uspešno opravili zaključne in sprejemne izpite, menim, da je treba več pozornosti nameniti reševanju eksponentnih enačb in neenakosti pri pouku oziroma dodatno pri izbirnih predmetih in krožkih.

V to smer temo , moj diplomsko nalogo je opredeljen kot sledi: "Enačbe in neenakosti eksponentne moči".

Cilji tega dela so:

1. Analizirajte literaturo na to temo.

2. Daj popolna analiza rešitve eksponentnih potenčnih enačb in neenak.

3. Navedite zadostno število različnih vrst primerov na to temo.

4. Pri pouku, izbirnih in krožnih urah preverite, kako bodo zaznane predlagane metode reševanja eksponentnih potenčnih enačb in neenakosti. Dajte ustrezna priporočila za preučevanje te teme.

Zadeva naša raziskava je razviti tehniko za reševanje enačb in neenakc z eksponentno močjo.

Namen in predmet študije sta zahtevala rešitev naslednjih nalog:

1. Preučite literaturo na temo: "Enačbe in neenakosti eksponentne moči."

2. Obvladati metode reševanja eksponentnih potenčnih enačb in neenakosti.

3. Izberite učno gradivo in razvijete sistem vaj na različnih ravneh na temo: "Reševanje eksponentnih potenčnih enačb in neenak."

V okviru diplomske raziskave je bilo več kot 20 prispevkov, posvečenih uporabi različne metode rešitve eksponentnih potenčnih enačb in neenak. Od tu dobimo.

Načrt diplomskega dela:

Uvod.

Poglavje I. Analiza literature o raziskovalni temi.

Poglavje II. Funkcije in njihove lastnosti, uporabljene pri reševanju eksponentnih enačb in neenakosti.

II.1. Funkcija moči in njene lastnosti.

II.2. Eksponentna funkcija in njene lastnosti.

Poglavje III. Rešitev eksponentnih potenčnih enačb, algoritem in primeri.

Poglavje IV. Reševanje eksponentnih neenakosti, načrt rešitve in primeri.

Poglavje V. Izkušnje pri izvajanju pouka s šolarji na to temo.

1. Izobraževalno gradivo.

2. Naloge za samostojno reševanje.

Zaključek. Sklepi in ponudbe.

Seznam uporabljene literature.

Literatura, analizirana v poglavju I

V tej lekciji bomo obravnavali različne eksponentne neenakosti in se naučili, kako jih rešiti na podlagi metode za reševanje najpreprostejših eksponentnih neenakosti

1. Definicija in lastnosti eksponentne funkcije

Spomnimo se definicije in glavnih lastnosti eksponentne funkcije. Na lastnostih temelji rešitev vseh eksponentnih enačb in neenakosti.

Eksponentna funkcija je funkcija oblike , kjer je osnova stopnja in tukaj je x neodvisna spremenljivka, argument; y - odvisna spremenljivka, funkcija.

riž. 1. Graf eksponentne funkcije

Graf prikazuje naraščajoči in padajoči eksponent, ki ponazarja eksponentno funkcijo pri bazi, večji od ena in manjši od ena, vendar večji od nič.

Obe krivulji potekata skozi točko (0;1)

Lastnosti eksponentne funkcije:

Domena: ;

Obseg vrednosti: ;

Funkcija je monotona, narašča kot , zmanjšuje kot .

Monotona funkcija vzame vsako svojo vrednost z eno samo vrednostjo argumenta.

Ko, ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija poveča od nič, ne vključujoče, do plus neskončnosti, torej za dane vrednosti argumenta, imamo monotono naraščajočo funkcijo (). Ko, nasprotno, ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija zmanjša iz neskončnosti na nič, vključno, torej za dane vrednosti argumenta, imamo monotono padajočo funkcijo ().

2. Najenostavnejše eksponentne neenakosti, tehnika reševanja, primer

Na podlagi navedenega predstavljamo metodo za reševanje najpreprostejših eksponentnih neenakosti:

Metoda za reševanje neenakosti:

Izenačite osnove stopinj;

Primerjajte kazalnike, obdržite ali spremenite na nasprotni predznak neenakosti.

Rešitev kompleksnih eksponentnih neenakosti je praviloma v njihovi redukciji na najpreprostejše eksponentne neenakosti.

Osnova stopnje je večja od ena, kar pomeni, da je predznak neenakosti ohranjen:

Pretvorimo desno stran glede na lastnosti stopnje:

Osnova stopnje je manjša od ena, znak neenakosti je treba obrniti:

Za rešitev kvadratne neenakosti rešimo ustrezno kvadratno enačbo:

Po Vietinem izreku najdemo korenine:

Veje parabole so usmerjene navzgor.

Tako imamo rešitev neenakosti:

Preprosto je uganiti, da lahko desno stran predstavimo kot potenco z ničelnim eksponentom:

Osnova stopnje je večja od ena, predznak neenakosti se ne spremeni, dobimo:

Spomnimo se postopka reševanja takšnih neenakosti.

Razmislite o delni racionalni funkciji:

Iskanje domene definicije:

Najdemo korenine funkcije:

Funkcija ima en sam koren,

Izločimo intervale predznak konstantnosti in določimo predznake funkcije na vsakem intervalu:

riž. 2. Intervali konstantnosti znaka

Tako smo dobili odgovor.

odgovor:

3. Rešitev tipičnih eksponentnih neenakosti

Razmislite o neenakostih z enakimi eksponenti, vendar z različnimi osnovami.

Ena od lastnosti eksponentne funkcije je, da vzame strogo pozitivne vrednosti za vse vrednosti argumenta, kar pomeni, da jo lahko razdelimo na eksponentno funkcijo. Dano neenakost delimo z desno stranjo:

Osnova stopnje je večja od ena, predznak neenakosti je ohranjen.

Ponazorimo rešitev:

Slika 6.3 prikazuje grafe funkcij in . Očitno je, da ko je argument večji od nič, se graf funkcije nahaja višje, ta funkcija je večja. Ko so vrednosti argumenta negativne, funkcija preide spodaj, je manjša. Če je vrednost argumenta enaka, je dana točka tudi rešitev dane neenakosti.

riž. 3. Ilustracija na primer 4

Dano neenakost preoblikujemo glede na lastnosti stopnje:

Tukaj so podobni člani:

Oba dela razdelimo na:

Zdaj nadaljujemo z reševanjem podobno kot primer 4, oba dela delimo z:

Osnova stopnje je večja od ena, znak neenakosti je ohranjen:

4. Grafična rešitev eksponentnih neenakosti

Primer 6 - grafično rešite neenakost:

Razmislite o funkcijah na levi in ​​desni strani in narišite vsako od njih.

Funkcija je eksponent, povečuje se v celotni domeni definicije, torej za vse realne vrednosti argumenta.

Funkcija je linearna, padajoča v celotni domeni definicije, torej za vse realne vrednosti argumenta.

Če se te funkcije sekajo, torej sistem ima rešitev, je taka rešitev edinstvena in jo je mogoče zlahka uganiti. Če želite to narediti, preberite cela števila ()

Preprosto je videti, da je koren tega sistema:

Tako se grafi funkcij sekajo v točki z argumentom, enakim ena.

Zdaj moramo dobiti odgovor. Pomen dane neenakosti je, da mora biti eksponent večji ali enak linearni funkciji, torej mora biti večji ali enak njej. Odgovor je očiten: (slika 6.4)

riž. 4. Ilustracija na primer 6

Torej, obravnavali smo rešitev različnih tipičnih eksponentnih neenakosti. Nato se obrnemo na obravnavanje bolj zapletenih eksponentnih neenakosti.

Bibliografija

Mordkovich A. G. Algebra in začetki matematična analiza. - M.: Mnemozina. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra in začetki matematične analize. - M.: Droha. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra in začetki matematične analize. - M.: Razsvetljenje.

matematika. md . Matematika - ponavljanje. com. Diffur. kemsu. ru.

Domača naloga

1. Algebra in začetki analize, 10.-11. razredi (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, št. 472, 473;

2. Rešite neenakost:

3. Rešite neenakost.

Mnogi ljudje mislijo, da so eksponentne neenakosti nekaj tako zapletenega in nerazumljivega. In da je učenje njihovega reševanja skoraj velika umetnost, ki jo lahko doumejo le Izbrani ...

Popolna neumnost! Eksponentne neenakosti so enostavne. In jih je vedno enostavno rešiti. No, skoraj vedno. :)

Danes bomo to temo analizirali na daleč. Ta lekcija bo zelo koristna za tiste, ki šele začenjajo razumeti ta del šolske matematike. Začnimo z preproste naloge in pojdimo na več težka vprašanja. Danes ne bo pločevinke, toda to, kar boste zdaj prebrali, bo dovolj za rešitev večine neenakosti na vseh vrstah nadzora in samostojno delo. In na tem tudi vaš izpit.

Kot vedno, začnimo z definicijo. Eksponentna neenakost je vsaka neenakost, ki vsebuje eksponentno funkcijo. Z drugimi besedami, vedno ga je mogoče zmanjšati na neenakost oblike

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kjer je lahko vloga $b$ navadna številka ali morda kaj težjega. Primeri? Da, prosim:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ štirikrat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(poravnaj)\]

Mislim, da je pomen jasen: obstaja eksponentna funkcija $((a)^(x))$, primerja se z nečim in nato zahteva, da poišče $x$. V posebej kliničnih primerih lahko namesto spremenljivke $x$ postavijo neko funkcijo $f\left(x \right)$ in s tem malo zapletejo neenakost. :)

Seveda je v nekaterih primerih lahko neenakost resnejša. Na primer:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ali celo to:

Na splošno je lahko kompleksnost takšnih neenakosti zelo različna, vendar se na koncu vseeno spustijo na preprosto konstrukcijo $((a)^(x)) \gt b$. In s takšno zasnovo se bomo nekako spopadli (v zlasti kliničnih primerih, ko nam nič ne pride na misel, nam bodo pomagali logaritmi). Zato se bomo zdaj naučili, kako rešiti tako preproste konstrukcije.

Rešitev najpreprostejših eksponentnih neenakosti

Poglejmo nekaj zelo preprostega. Na primer, tukaj je:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Očitno lahko število na desni prepišemo kot potenco dvojke: $4=((2)^(2))$. Tako je prvotna neenakost prepisana v zelo priročni obliki:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

In zdaj roke srbijo, da bi "prečrtali" dvojke, ki stojijo v osnovah stopinj, da bi dobili odgovor $x \gt 2$. Toda preden karkoli prečrtamo, se spomnimo na potenco dvojke:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Kot vidimo kaj več stoji v eksponentu, večje je izhodno število. "Hvala, Cap!" bo vzkliknil eden od učencev. Se zgodi drugače? Žal se zgodi. Na primer:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ desno))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Tudi tukaj je vse logično: večja kot je stopnja, večkrat se število 0,5 pomnoži samo s seboj (to je razdeljeno na polovico). Tako se dobljeno zaporedje številk zmanjšuje, razlika med prvim in drugim zaporedjem pa je le v osnovi:

• Če je osnova stopnje $a \gt 1$, potem ko raste eksponent $n$, raste tudi število $((a)^(n))$;
• Nasprotno, če $0 \lt a \lt 1$, se bo z naraščanjem eksponenta $n$ število $((a)^(n))$ zmanjšalo.

Če povzamemo ta dejstva, dobimo najpomembnejšo trditev, na kateri temelji celotna rešitev eksponentnih neenakosti:

Če je $a \gt 1$, potem je neenakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ enakovredna neenakosti $x \gt n$. Če je $0 \lt a \lt 1$, potem je neenakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ enakovredna neenakosti $x \lt n$.

Z drugimi besedami, če je osnova večja od ena, jo lahko preprosto odstranite - znak neenakosti se ne bo spremenil. In če je osnova manjša od ena, jo je mogoče tudi odstraniti, vendar bo treba spremeniti tudi znak neenakosti.

Upoštevajte, da nismo upoštevali možnosti $a=1$ in $a\le 0$. Ker v teh primerih obstaja negotovost. Recimo, kako rešiti neenakost v obliki $((1)^(x)) \gt 3$? Enica na katero koli potenco bo spet dala eno - nikoli ne bomo dobili tri ali več. tiste. ni rešitev.

Z negativnimi osnovami je še bolj zanimivo. Upoštevajte na primer naslednjo neenakost:

\[((\levo(-2 \desno))^(x)) \gt 4\]

Na prvi pogled je vse preprosto:

Pravilno? Vendar ne! Zadostuje, da namesto $x$ nadomestimo nekaj sodih številk in par liha števila da se prepričate, da je rešitev napačna. Poglej:

\[\begin(poravnaj) & x=4\Puščica desno ((\levo(-2 \desno))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Puščica desno ((\levo(-2 \desno))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Puščica desno ((\levo(-2 \desno))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Puščica desno ((\levo(-2 \desno))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, se znaki izmenjujejo. Ampak še vedno obstajajo delne stopinje in drugi kositer. Kako bi na primer naročili štetje $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dva dvignjena na koren iz sedmih)? Ni šans!

Zato zaradi določnosti predpostavljamo, da je v vseh eksponentnih neenakostih (in mimogrede tudi enačbah) $1\ne a \gt 0$. In potem je vse rešeno zelo preprosto:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \desno). \\\end(poravnaj) \desno.\]

Na splošno se še enkrat spomnite glavnega pravila: če je osnova v eksponentni enačbi večja od ena, jo lahko preprosto odstranite; in če je osnova manjša od ena, jo lahko tudi odstranimo, vendar bo to spremenilo predznak neenakosti.

Primeri rešitev

Torej, razmislite o nekaj preprostih eksponentnih neenakostih:

\[\begin(poravnaj) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(poravnaj)\]

Primarna naloga je v vseh primerih enaka: reducirati neenakosti na najpreprostejšo obliko $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tako bomo zdaj naredili z vsako neenakostjo, hkrati pa bomo ponovili lastnosti potenk in eksponentne funkcije. Torej gremo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Kaj se lahko naredi tukaj? No, na levi imamo že pokazni izraz - nič ni treba spreminjati. Toda na desni je nekakšna sranje: ulomek in celo koren v imenovalcu!

Vendar ne pozabite na pravila za delo z ulomki in potenci:

\[\begin(poravnaj) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(poravnaj)\]

Kaj to pomeni? Prvič, zlahka se znebimo ulomka tako, da ga spremenimo v negativni eksponent. In drugič, ker je imenovalec koren, bi ga bilo lepo spremeniti v stopnjo - tokrat z delnim eksponentom.

Uporabimo ta dejanja zaporedno na desno stran neenakosti in poglejmo, kaj se zgodi:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3))) \desno))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne pozabite, da se pri povišanju stopnje na stopnjo seštejejo eksponenti teh stopinj. In na splošno je pri delu z eksponentnimi enačbami in neenakostmi nujno poznati vsaj najpreprostejša pravila za delo s potenci:

\[\begin(poravnaj) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\levo(((a)^(x)) \desno))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(poravnaj)\]

pravzaprav zadnje pravilo pravkar smo se prijavili. Zato bo naša prvotna neenakost prepisana na naslednji način:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Zdaj se znebimo dvojke v bazi. Ker je 2 > 1, ostane predznak neenakosti enak:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \levo(-\infty ;\frac(2)(3) \desno]. \\\end(poravnaj)\]

To je celotna rešitev! Glavna težava sploh ni v eksponentni funkciji, temveč v kompetentni transformaciji izvirnega izraza: previdno in čim hitreje ga morate spraviti v najpreprostejšo obliko.

Razmislite o drugi neenakosti:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Dobro dobro. Tukaj čakamo na decimalne ulomke. Kot sem že večkrat rekel, bi se morali v vseh izrazih s potenci znebiti decimalnih ulomkov – pogosto je to edini način, da vidite hitro in enostavno rešitev. Česa se bomo znebili:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ desno))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Puščica desno ((\levo(\frac(1)(10) \desno))^(1-x)) \lt ( (\levo(\frac(1)(10) \desno))^(2)). \\\end(poravnaj)\]

Pred nami je spet najpreprostejša neenakost, pa še z osnovo 1/10, t.j. manj kot ena. No, odstranimo osnove in hkrati spremenimo znak iz "manj" v "večje" in dobimo:

\[\begin(poravnaj) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(poravnaj)\]

Dobili smo končni odgovor: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Upoštevajte, da je odgovor točno množica in v nobenem primeru ni konstrukcija oblike $x \lt -1$. Ker formalno taka konstrukcija sploh ni množica, temveč neenakost glede na spremenljivko $x$. Da, zelo preprosto je, vendar to ni odgovor!

Pomembna opomba. To neenakost bi lahko rešili na drug način – tako, da oba dela reduciramo na potenco z bazo večjo od ena. Poglej:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Puščica desno ((\levo(((10)^(-1)) \desno))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po tej transformaciji spet dobimo eksponentna neenakost, vendar z bazo 10 > 1. In to pomeni, da lahko preprosto prečrtate deset - znak neenakosti se ne bo spremenil. Dobimo:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, je odgovor popolnoma enak. Hkrati smo se rešili potrebe po spremembi znaka in si na splošno zapomnili nekatera pravila. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Vendar naj vas to ne prestraši. Karkoli je v kazalcih, ostaja tehnologija reševanja neenakosti enaka. Zato najprej ugotovimo, da je 16 = 2 4 . Prepišimo prvotno neenakost ob upoštevanju tega dejstva:

\[\begin(poravnaj) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(poravnaj)\]

Hura! Dobili smo običajno kvadratna neenakost! Znak se ni nikjer spremenil, saj je osnova dvojka - število, večje od ena.

Funkcijske ničle na številski premici

Razporedimo znake funkcije $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - očitno bo njen graf parabola z vejami navzgor, tako da bodo "plusi" « ob straneh. Zanima nas območje, kjer je funkcija manjša od nič, t.j. $x\in \left(2;5 \right)$ je odgovor na prvotni problem.

Na koncu razmislite o še eno neenakosti:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Spet vidimo eksponentno funkcijo z decimalnim ulomkom v osnovi. Pretvorimo ta ulomek v navaden ulomek:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2))))=((\levo(((5)^(-1)) \desno))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \desno)))\end(poravnaj)\]

V tem primeru smo izkoristili prejšnjo opombo - osnovo smo zmanjšali na številko 5\u003e 1, da bi poenostavili našo nadaljnjo odločitev. Enako naredimo z desno stranjo:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ desno))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Prepišimo prvotno neenakost, pri čemer upoštevamo obe transformaciji:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \desno)))\ge ((5)^(-2))\]

Osnove na obeh straneh so enake in večje od ene. Na desni in levi ni drugih izrazov, zato samo "prečrtamo" petice in dobimo zelo preprost izraz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \desno. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(poravnaj)\]

Tukaj morate biti previdni. Mnogi študenti radi preprosto izvlečejo Kvadratni koren oba dela neenakosti in napišite nekaj takega kot $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ Tega ne smete nikoli storiti, saj je koren natančnega kvadrata modul, in v nobenem primeru izvirna spremenljivka:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\desno|\]

Vendar delo z moduli ni najbolj prijetna izkušnja, kajne? Torej ne bomo delali. Namesto tega preprosto premaknemo vse izraze v levo in rešimo običajno neenakost z intervalno metodo:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Ponovno označimo dobljene točke na številski premici in pogledamo znake:

Upoštevajte: pike so zasenčene.

Ker smo reševali nestrogo neenakost, so vse točke na grafu osenčene. Zato bo odgovor: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ni interval, ampak segment.

Na splošno bi rad omenil, da v eksponentnih neenakostih ni nič zapletenega. Pomen vseh transformacij, ki smo jih izvedli danes, je sestavljen iz preprostega algoritma:

• Poiščite osnovo, na katero bomo zmanjšali vse stopnje;
• Previdno izvedite transformacije, da dobite neenakost v obliki $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Seveda so namesto spremenljivk $x$ in $n$ lahko veliko bolj zapletene funkcije, vendar to ne spremeni pomena;
• Prečrtajte osnove stopinj. V tem primeru se lahko predznak neenakosti spremeni, če je osnova $a \lt 1$.

Pravzaprav je to univerzalni algoritem za reševanje vseh takšnih neenakosti. In vse ostalo, kar vam bodo povedali na to temo, so le specifični triki in triki za poenostavitev in pospešitev preobrazbe. Tukaj je eden od tistih trikov, o katerih bomo zdaj govorili. :)

racionalizacijski način

Razmislite o drugem nizu neenakosti:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \desno))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(poravnaj)\]

No, kaj je na njih tako posebnega? So tudi lahke. Čeprav, nehaj! Ali je pi dvignjen na potenco? Kakšne neumnosti?

In kako dvigniti število $2\sqrt(3)-3$ na potenco? Ali $3-2\sqrt(2)$? Sestavljavci problemov so očitno popili preveč "Gloga", preden so se usedli za delo. :)

Pravzaprav s temi nalogami ni nič narobe. Naj vas spomnim: eksponentna funkcija je izraz v obliki $((a)^(x))$, kjer je osnova $a$ katero koli pozitivno število, razen enega. Število π je pozitivno - to že vemo. Pozitivni sta tudi številki $2\sqrt(3)-3$ in $3-2\sqrt(2)$ - to je enostavno videti, če ju primerjamo z ničlo.

Izkazalo se je, da se vse te "strašljive" neenakosti ne razlikujejo od tistih, o katerih smo razpravljali zgoraj? In to počnejo na enak način? Ja, popolnoma prav. Na njihovem primeru pa bi rad razmislil o enem triku, ki prihrani veliko časa pri samostojnem delu in izpitih. Govorili bomo o metodi racionalizacije. Torej pozornost:

Vsaka eksponentna neenakost v obliki $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je enakovredna neenakosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ desno) \gt 0 $.

To je celotna metoda. :) Si mislil, da bo kakšna naslednja tekma? Nič takega! Toda to preprosto dejstvo, napisano dobesedno v eni vrstici, bo močno poenostavilo naše delo. Poglej:

\[\begin(matrika) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \puščica navzdol \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text()-1 \desno) \gt 0 \\\end(matrika)\]

Tukaj ni več eksponentnih funkcij! In ni se vam treba spomniti, ali se znak spremeni ali ne. Toda pojavi se nov problem: kaj storiti s prekletim množiteljem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Ne vemo, kako je točna vrednostštevilke π. Vendar se zdi, da kapitan namiguje na očitno:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\približno 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Na splošno nas natančna vrednost π ne moti veliko - pomembno je le, da razumemo, da je v vsakem primeru $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. je pozitivna konstanta in z njo lahko delimo obe strani neenakosti:

\[\begin(poravnaj) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \desno) \desno)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \desno) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \desno. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \desno)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, smo morali na določeni točki deliti z minus ena in znak neenakosti se je spremenil. Na koncu sem kvadratni trinom razširil po Vietinem izreku - očitno je, da so koreni enaki $((x)_(1))=5$ in $((x)_(2))=- 1$. Nato se vse reši s klasično metodo intervalov:

Neenakost rešujemo z metodo intervalov

Vse točke so preluknjane, ker je prvotna neenakost stroga. Zanima nas območje z negativnimi vrednostmi, zato je odgovor $x\in \left(-1;5 \right)$. To je rešitev. :)

Preidimo na naslednjo nalogo:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tukaj je vse preprosto, saj je na desni enota. In spomnimo se, da je enota katero koli število, dvignjeno na potenco nič. Tudi če je to število iracionalen izraz, ki stoji na dnu na levi:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\desno))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \desno))^(0)); \\\end(poravnaj)\]

Torej racionalizirajmo:

\[\begin(poravnaj) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ostaja le obravnavati znake. Množitelj $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne vsebuje spremenljivke $x$ - je le konstanta in ugotoviti moramo njen predznak. Če želite to narediti, upoštevajte naslednje:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \desno)=0 \\\konec (matrika)\]

Izkazalo se je, da drugi faktor ni le konstanta, ampak negativna konstanta! In ko ga delimo z njim, se bo predznak prvotne neenakosti spremenil v nasprotno:

\[\begin(poravnaj) & \left(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\levo(x-2 \desno) \gt 0. \\\end(poravnaj)\]

Zdaj postane vse povsem očitno. Korenine kvadratni trinom na desni: $((x)_(1))=0$ in $((x)_(2))=2$. Označimo jih na številski premici in pogledamo znake funkcije $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Primer, ko nas zanimajo stranski intervali

Zanimajo nas intervali, označeni z znakom plus. Ostaja samo, da zapišemo odgovor:

Pojdimo na naslednji primer:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ desno))^(16-x))\]

No, tukaj je vse očitno: baze so potenci istega števila. Zato bom vse na kratko napisal:

\[\begin(matrika) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \puščica navzdol \\ ((\levo(((3)^(-1)) \desno))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\levo(((3)^(-2)) \desno))^(16-x)) \\\end(matrika)\]

\[\begin(poravnaj) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \desno))) \gt ((3)^(-2\cdot \ levo(16-x\desno))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \desno. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \desno)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(poravnaj)\]

Kot lahko vidite, smo morali v procesu transformacij pomnožiti z negativnim številom, zato se je predznak neenakosti spremenil. Na samem koncu sem ponovno uporabil Vietin izrek za faktorizacijo kvadratnega trinoma. Posledično bo odgovor naslednji: $x\in \left(-8;4 \right)$ - tisti, ki želijo, lahko to preverijo z risanjem številske črte, označevanjem točk in štetjem znakov. Medtem bomo prešli na zadnjo neenakost iz našega "nabora":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Kot lahko vidite, je v bazi spet iracionalno število, in enota je spet na desni. Zato našo eksponentno neenakost prepišemo na naslednji način:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ desno))^(0))\]

Racionalizirajmo:

\[\begin(poravnaj) & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Vendar je povsem očitno, da je $1-\sqrt(2) \lt 0$, saj je $\sqrt(2)\približno 1,4... \gt 1$. Zato je drugi faktor spet negativna konstanta, s katero je mogoče deliti oba dela neenakosti:

\[\begin(matrika) \left(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\konec (matrika)\]

\[\begin(poravnaj) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \desno. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\levo(x-3 \desno) \lt 0. \\\end(poravnaj)\]

Preklopite na drugo bazo

Poseben problem pri reševanju eksponentnih neenakosti je iskanje »pravilne« osnove. Žal na prvi pogled na nalogo še zdaleč ni vedno jasno, kaj vzeti za osnovo in kaj narediti kot stopnjo te osnove.

Ampak ne skrbite: tukaj ni čarobnih in "skrivnih" tehnologij. V matematiki je mogoče vsako spretnost, ki je ni mogoče algoritmizirati, zlahka razviti s prakso. Toda za to morate rešiti težave različnih ravneh težave. To so na primer:

\[\begin(poravnaj) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ konec (poravnaj)\]

Težko? Strašno? Ja, lažje je kot kokoš na asfaltu! Poskusimo. Prva neenakost:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

No, mislim, da je tukaj vse jasno:

Prvotno neenakost prepišemo in vse zmanjšamo na osnovo "dva":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \desno)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, prav ste razumeli: pravkar sem uporabil zgoraj opisano racionalizacijsko metodo. Zdaj moramo delati previdno: dobili smo frakcijsko-racionalno neenakost (to je tista, ki ima spremenljivko v imenovalcu), zato preden nekaj enačimo z nič, morate vse zmanjšati na skupni imenovalec in se znebiti konstantnega faktorja .

\[\begin(poravnaj) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(poravnaj)\]

Zdaj uporabljamo metodo standardnih intervalov. Ničele števcev: $x=\pm 4$. Imenovalec gre na nič samo takrat, ko je $x=0$. Skupno so tri točke, ki jih je treba označiti na številski premici (vse točke so izrezane, ker je znak neenakosti strog). Dobimo:

Več težak primer: tri korenine

Kot ste morda uganili, šrafiranje označuje intervale, v katerih se pojavi izraz na levi negativne vrednosti. Zato bosta v končni odgovor naenkrat šla dva intervala:

Konci intervalov niso vključeni v odgovor, ker je bila prvotna neenakost stroga. Nadaljnja potrditev tega odgovora ni potrebna. V zvezi s tem so eksponentne neenakosti veliko enostavnejše od logaritemskih: brez DPV, brez omejitev itd.

Preidimo na naslednjo nalogo:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tudi tukaj ni težav, saj že vemo, da je $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, zato lahko celotno neenakost prepišemo takole:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Puščica desno ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\levo(-2\desno)\desno. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(poravnaj)\]

Upoštevajte: v tretji vrstici sem se odločil, da ne bom izgubljal časa za malenkosti in takoj vse razdelil z (−2). Minul je šel v prvi okvir (zdaj so plusi povsod), dvojka pa je bila zmanjšana s stalnim množiteljem. To je točno tisto, kar morate storiti, ko delate prave izračune na neodvisnih in nadzorno delo- ni treba neposredno slikati vsakega dejanja in transformacije.

Nato pride v poštev znana metoda intervalov. Ničele števca: vendar jih ni. Ker bo diskriminant negativen. Po drugi strani je imenovalec nastavljen na nič samo, ko je $x=0$ — tako kot zadnjič. No, jasno je, da bo ulomek vzel pozitivne vrednosti na desni strani $x=0$, negativne pa na levi. Ker nas zanimajo samo negativne vrednosti, je končni odgovor $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

In kaj je treba storiti z decimalnimi ulomki v eksponentnih neenakostih? Tako je: znebite se jih tako, da jih pretvorite v navadne. Tukaj prevajamo:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\levo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\puščica desno ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \desno))^(x)). \\\end(poravnaj)\]

No, kaj smo dobili pri osnovah eksponentnih funkcij? In dobili smo dve medsebojno vzajemni številki:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ desno))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \desno))^(x))=((\ levo(\frac(4)(25) \desno))^(-x))\]

Tako lahko prvotno neenakost prepišemo na naslednji način:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \desno))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(poravnaj)\]

Seveda se pri množenju moči z isto bazo njihovi kazalci seštejejo, kar se je zgodilo v drugi vrstici. Poleg tega smo enoto predstavili na desni, tudi kot moč v bazi 4/25. Ostaja samo racionalizacija:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Puščica desno \levo(x+1-0 \desno)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \desno)\ge 0\]

Upoštevajte, da je $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi faktor je negativna konstanta in ko se z njo deli, se predznak neenakosti spremeni:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \levo(-\infty ;-1 \desno]. \\\end(poravnaj)\]

Končno, zadnja neenakost iz trenutnega "skupa":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Načeloma je tudi ideja rešitve tukaj jasna: vse eksponentne funkcije, ki sestavljajo neenakost, je treba zmanjšati na osnovo "3". Toda za to se morate malo poigrati s koreninami in stopnjami:

\[\begin(poravnaj) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(poravnaj)\]

Glede na ta dejstva lahko prvotno neenakost prepišemo na naslednji način:

\[\begin(poravnaj) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \desno))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \desno))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(poravnaj)\]

Bodite pozorni na 2. in 3. vrstico izračunov: preden naredite nekaj z neenakostjo, se prepričajte, da ga spravite v obliko, o kateri smo govorili od samega začetka lekcije: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Dokler imate levi ali desni levi množitelj, dodatne konstante itd., nikakršne racionalizacije in "prečrtanja" razlogov ni mogoče izvesti! Nešteto nalog je bilo opravljenih narobe zaradi napačnega razumevanja tega preprostega dejstva. Sam pri svojih učencih nenehno opažam ta problem, ko šele začenjamo analizirati eksponentne in logaritemske neenakosti.

Toda nazaj k naši nalogi. Poskusimo tokrat narediti brez racionalizacije. Spomnimo se: osnova stopnje je večja od ena, zato je mogoče trojke preprosto prečrtati - znak neenakosti se ne bo spremenil. Dobimo:

\[\begin(poravnaj) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(poravnaj)\]

To je vse. Končni odgovor: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Označevanje stabilnega izraza in zamenjava spremenljivke

Za zaključek predlagam, da rešimo še štiri eksponentne neenakosti, ki so za nepripravljene učence že precej težke. Če se želite spopasti z njimi, se morate spomniti pravil za delo z diplomami. Zlasti izključitev skupnih dejavnikov iz oklepajev.

Najpomembneje pa je, da se naučite razumeti: kaj točno je mogoče zakleniti. Tak izraz se imenuje stabilen - lahko ga označimo z novo spremenljivko in se tako znebimo eksponentne funkcije. Torej, poglejmo naloge:

\[\begin(poravnaj) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(poravnaj)\]

Začnimo s prvo vrstico. To neenakost zapišemo ločeno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Upoštevajte, da je $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tako da lahko desna stran prepisati:

Upoštevajte, da v neenakosti ni drugih eksponentnih funkcij razen $((5)^(x+1))$. In na splošno se spremenljivka $x$ ne pojavlja nikjer drugje, zato uvedemo novo spremenljivko: $((5)^(x+1))=t$. Dobimo naslednjo konstrukcijo:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(poravnaj)\]

Vrnemo se na izvirno spremenljivko ($t=((5)^(x+1))$), hkrati pa si zapomnimo, da je 1=5 0 . Imamo:

\[\begin(poravnaj) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(poravnaj)\]

To je celotna rešitev! Odgovor: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pojdimo k drugi neenakosti:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tukaj je vse enako. Upoštevajte, da je $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Nato lahko levo stran prepišete:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \desno. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Puščica desno ((3)^(x))\ge 9\Puščica desno ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Puščica desno x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(poravnaj)\]

Približno tako morate sestaviti odločitev o resničnem nadzoru in neodvisnem delu.

No, poskusimo nekaj težjega. Tu je na primer neenakost:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Kaj je tukaj problem? Prvič, osnove eksponentnih funkcij na levi so različne: 5 in 25. Vendar pa je 25 \u003d 5 2, tako da je prvi člen mogoče preoblikovati:

\[\begin(poravnaj) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \desno))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(poravnaj )\]

Kot lahko vidite, smo sprva vse pripeljali na isto bazo, nato pa smo opazili, da se prvi člen zlahka reducira na drugega - dovolj je samo razširiti eksponent. Zdaj lahko varno uvedemo novo spremenljivko: $((5)^(2x+2))=t$ in celotna neenakost bo prepisana takole:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(poravnaj)\]

Še enkrat, brez problema! Končni odgovor: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Prehod na končno neenakost v današnji lekciji:

\[((\levo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Prva stvar, na katero morate biti pozorni, je seveda decimalni ulomek v osnovi prve stopnje. Treba se ga je znebiti in hkrati vse eksponentne funkcije spraviti na isto bazo - številko "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Puščica desno ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\levo(((2)^(-1)) \desno))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Puščica desno ((16)^(x+1,5))=((\levo(((2)^(4)) \desno))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(poravnaj)\]

Super, naredili smo prvi korak - vse je pripeljalo do istega temelja. Zdaj moramo poudariti nastavljen izraz. Upoštevajte, da je $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Če uvedemo novo spremenljivko $((2)^(4x+6))=t$, potem lahko izvirno neenakost prepišemo na naslednji način:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(poravnaj)\]

Seveda se lahko pojavi vprašanje: kako smo ugotovili, da je 256 = 2 8 ? Žal morate tukaj le poznati potenco dvojke (in hkrati potenco tri in pet). No, ali delite 256 z 2 (lahko delite, saj je 256 sodo število), dokler ne dobimo rezultata. Izgledalo bo nekako takole:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(poravnaj )\]

Enako je s trojico (številke 9, 27, 81 in 243 so njene moči) in s sedmico (tudi številki 49 in 343 bi si jih bilo lepo zapomniti). No, pet ima tudi "lepe" diplome, ki jih morate vedeti:

\[\begin(poravnaj) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(poravnaj)\]

Seveda je vse te številke, če želite, mogoče obnoviti v umu, preprosto tako, da jih zaporedoma pomnožite med seboj. Ko pa morate rešiti več eksponentnih neenakosti in je vsaka naslednja težja od prejšnje, potem je zadnja stvar, o kateri želite razmišljati, potenci nekaterih tamkajšnjih števil. In v tem smislu so ti problemi bolj zapleteni kot "klasične" neenakosti, ki se rešujejo z intervalno metodo.

Lekcija in predstavitev na temo: "Eksponentne enačbe in eksponentne neenakosti"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vse materiale preveri protivirusni program.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 11. razred
Interaktivni priročnik za 9-11 razrede "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za 10-11 razred "Logaritmi"

Definicija eksponentnih enačb

Fantje, preučevali smo eksponentne funkcije, spoznavali njihove lastnosti in gradili grafe, analizirali primere enačb, v katerih smo naleteli na eksponentne funkcije. Danes bomo preučevali eksponentne enačbe in neenakosti.

Opredelitev. Enačbe v obliki: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kjer $a>0$, $a≠1$ imenujemo eksponentne enačbe.

Če se spomnimo izrekov, ki smo jih preučevali v temi "Eksponentna funkcija", lahko uvedemo nov izrek:
Izrek. Eksponentna enačba $a^(f(x))=a^(g(x))$, kjer je $a>0$, $a≠1$ enakovredna enačbi $f(x)=g(x) $.

Primeri eksponentnih enačb

Primer.
Reši enačbe:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Rešitev.
a) Dobro vemo, da je $27=3^3$.
Prepišimo našo enačbo: $3^(3x-3)=3^3$.
Z uporabo zgornjega izreka dobimo, da se naša enačba reducira na enačbo $3x-3=3$, z reševanjem te enačbe dobimo $x=2$.
Odgovor: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Nato lahko našo enačbo prepišemo: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2x+0,2=0,2$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

C) Prvotna enačba je enakovredna enačbi: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ in $x_2=-3$.
Odgovor: $x_1=6$ in $x_2=-3$.

Primer.
Reši enačbo: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
rešitev:
Zaporedoma bomo izvedli vrsto dejanj in oba dela naše enačbe spravili na iste osnove.
Na levi strani izvedemo vrsto operacij:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pojdimo na desno stran:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 $*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Prvotna enačba je enakovredna enačbi:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

Primer.
Reši enačbo: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
rešitev:
Prepišimo našo enačbo: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Naredimo spremembo spremenljivk, naj bo $a=3^x$.
V novih spremenljivkah bo enačba dobila obliko: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ in $a_2=3$.
Izvedemo obratno spremembo spremenljivk: $3^x=-12$ in $3^x=3$.
V zadnji lekciji smo se naučili, da lahko eksponentni izrazi zavzamejo samo pozitivne vrednosti, spomnite se grafa. To pomeni, da prva enačba nima rešitev, druga enačba ima eno rešitev: $x=1$.
Odgovor: $x=1$.

Naredimo zapis o načinih reševanja eksponentnih enačb:
1. Grafična metoda. Oba dela enačbe predstavimo kot funkciji in zgradimo njuna grafa, poiščemo presečišča grafov. (To metodo smo uporabili v zadnji lekciji).
2. Načelo enakosti kazalnikov. Načelo temelji na dejstvu, da sta dva izraza s enakih razlogov so enake, če in samo če so stopnje (eksponenti) teh baz enake. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda spremembe spremenljivk. To metodo je treba uporabiti, če enačba pri spreminjanju spremenljivk poenostavi svojo obliko in jo je veliko lažje rešiti.

Primer.
Reši sistem enačb: $\begin (primeri) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Rešitev.
Razmislite o obeh enačbah sistema ločeno:
27 $^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Razmislite o drugi enačbi:
4$^(x+y)-2^(x+y)=12$.
2$^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Uporabimo metodo spremembe spremenljivk, naj bo $y=2^(x+y)$.
Potem bo enačba dobila obliko:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ in $y_2=-3$.
Pojdimo na začetne spremenljivke, iz prve enačbe dobimo $x+y=2$. Druga enačba nima rešitev. Potem je naš začetni sistem enačb enak sistemu: $\begin (primeri) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Od prve enačbe odštejemo drugo enačbo, dobimo: $\begin (primeri) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (primeri) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Odgovor: $(3;-1)$.

eksponentne neenakosti

Pojdimo k neenakostim. Pri reševanju neenakosti je treba biti pozoren na osnovo stopnje. Pri reševanju neenakosti sta možna dva scenarija razvoja dogodkov.

Izrek. Če je $a>1$, potem je eksponentna neenakost $a^(f(x))>a^(g(x))$ enakovredna neenakosti $f(x)>g(x)$.
Če $0 a^(g(x))$ je enakovreden $f(x)

Primer.
Reši neenakosti:
a) 3 $^(2x+3)>81 $.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Rešitev.
a) 3 $^(2x+3)>81 $.
3$^(2x+3)>3^4$.
Naša neenakost je enaka neenakosti:
2x+3>4$.
2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) V naši enačbi je osnova s ​​stopnjo manj kot 1, potem je pri zamenjavi neenakosti z enakovredno potrebno spremeniti predznak.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Naša neenakost je enaka neenakosti:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Uporabimo intervalna metoda rešitve:
Odgovor: $(-∞;-5]U)