doma > strojništvo

Lastnosti funkcije y x n. Eksponentna funkcija - lastnosti, grafi, formule

Funkcija kjer X – spremenljivka, A – dano številko, je poklican močna funkcija .

Če je potem linearna funkcija, je njen graf ravna črta (glej razdelek 4.3, slika 4.7).

Če, potem- kvadratna funkcija, njegov graf je parabola (glej odstavek 4.3, sliko 4.8).

Če je potem njen graf kubična parabola (glej razdelek 4.3, slika 4.9).

Funkcija moči

tole inverzna funkcija za

1. domena:

2. Več vrednosti:

3. Sodo in liho:čudna funkcija.

4. Periodičnost funkcije: neperiodična.

5. Ničele funkcije: X= 0 je edina nič.

6. Funkcija nima največje ali najmanjše vrednosti.

7.

8. Funkcijski graf Simetrično na graf kubične parabole glede na ravno črto Y=X in prikazano na sl. 5.1.

Funkcija moči

1. domena:

2. Več vrednosti:

3. Sodo in liho: funkcija je enakomerna.

4. Periodičnost funkcije: neperiodična.

5. Ničele funkcije: ena sama ničla X = 0.

6. Največja in najmanjša vrednosti funkcije: vzame najmanjšo vrednost za X= 0, je enako 0.

7. Naraščajoči in padajoči intervali: funkcija pada na intervalu in narašča na intervalu

8. Funkcijski graf(za vsakogar N Î N) "izgleda" kot graf kvadratna parabola(grafi funkcij so prikazani na sliki 5.2).

Funkcija moči

1. domena:

2. Več vrednosti:

3. Sodo in liho:čudna funkcija.

4. Periodičnost funkcije: neperiodična.

5. Ničele funkcije: X= 0 je edina nič.

6. Največje in najmanjše vrednosti:

7. Naraščajoči in padajoči intervali: funkcija narašča na celotnem področju definicije.

8. Funkcijski graf(za vsako ) "izgleda" kot graf kubične parabole (grafi funkcij so prikazani na sliki 5.3).

Funkcija moči

1. domena:

2. Več vrednosti:

3. Sodo in liho:čudna funkcija.

4. Periodičnost funkcije: neperiodična.

5. Ničele funkcije: nima ničel.

6. Največja in najmanjša vrednosti funkcije: funkcija nima največje in najmanjše vrednosti za nobeno

7. Naraščajoči in padajoči intervali: funkcija pada v domeni definicije.

8. asimptote:(os OU) je navpična asimptota;

(os Oh) je horizontalna asimptota.

9. Funkcijski graf(za vsakogar N) "izgleda" kot graf hiperbole (grafi funkcij so prikazani na sliki 5.4).

Funkcija moči

1. domena:

2. Več vrednosti:

3. Sodo in liho: funkcija je enakomerna.

4. Periodičnost funkcije: neperiodična.

5. Največja in najmanjša vrednosti funkcije: funkcija nima največje in najmanjše vrednosti za nobeno

6. Naraščajoči in padajoči intervali: funkcija narašča naprej in pada

7. asimptote: X= 0 (os OU) je navpična asimptota;

Y= 0 (os Oh) je horizontalna asimptota.

8. Grafi funkcij So kvadratne hiperbole (slika 5.5).

Funkcija moči

1. domena:

2. Več vrednosti:

3. Sodo in liho: funkcija nima lastnosti sodo in liho.

4. Periodičnost funkcije: neperiodična.

5. Ničele funkcije: X= 0 je edina nič.

6. Največja in najmanjša vrednosti funkcije: najmanjšo vrednost, ki je enaka 0, funkcija prevzame na točki X= 0; največja vrednost nima.

7. Naraščajoči in padajoči intervali: funkcija narašča na celotnem področju definicije.

8. Vsaka taka funkcija z določenim indikatorjem je inverzna za podano funkcijo

9. Funkcijski graf"izgleda" kot graf funkcije za katero koli N in prikazano na sl. 5.6.

Funkcija moči

1. domena:

2. Več vrednosti:

3. Sodo in liho:čudna funkcija.

4. Periodičnost funkcije: neperiodična.

5. Ničele funkcije: X= 0 je edina nič.

6. Največja in najmanjša vrednosti funkcije: funkcija nima največje in najmanjše vrednosti za nobeno

7. Naraščajoči in padajoči intervali: funkcija narašča na celotnem področju definicije.

8. Funkcijski graf Prikazano na sl. 5.7.

Spomnimo se lastnosti in grafov stopenj z negativnim celim eksponentom.

Za sodo n, :

Primer funkcije:

Vsi grafi takšnih funkcij potekajo skozi dve stalni točki: (1;1), (-1;1). Značilnost funkcij te vrste je njihova parnost, grafi so simetrični glede na op-y os.

riž. 1. Graf funkcije

Za liho n, :

Primer funkcije:

Vsi grafi takšnih funkcij potekajo skozi dve stalni točki: (1;1), (-1;-1). Značilnost funkcij te vrste je njihova nenavadnost, grafi so simetrični glede na izvor.

riž. 2. Graf funkcij

Spomnimo se glavne definicije.

Stopnja nenegativnega števila a z racionalnim pozitivnim eksponentom se imenuje število.

Stopnja pozitivnega števila a z racionalnim negativnim eksponentom se imenuje število.

Kajti velja naslednja enakost:

Na primer: ; - izraz ne obstaja po definiciji stopnje z negativnim racionalnim eksponentom; obstaja, ker je eksponent celo število,

Obrnimo se na premislek potenčnih funkcij z racionalnim negativnim eksponentom.

Na primer:

Za izris te funkcije lahko naredite tabelo. Naredili bomo drugače: najprej bomo zgradili in preučili graf imenovalca - poznamo ga (slika 3).

riž. 3. Graf funkcije

Graf imenovalčevske funkcije gre skozi fiksno točko (1;1). Pri izdelavi grafa prvotne funkcije ta točka ostane, ko se tudi koren nagiba k nič, se funkcija nagiba k neskončnosti. In obratno, ko se x nagiba k neskončnosti, se funkcija nagiba k nič (slika 4).

riž. 4. Graf funkcij

Razmislite še o eni funkciji iz družine preučevanih funkcij.

Pomembno je, da po definiciji

Oglejmo si graf funkcije v imenovalcu: , poznamo graf te funkcije, raste v svoji domeni definicije in gre skozi točko (1; 1) (slika 5).

riž. 5. Funkcijski graf

Pri sestavi grafa prvotne funkcije ostane točka (1; 1), ko se tudi koren nagiba k nič, se funkcija nagiba k neskončnosti. In obratno, ko x teži k neskončnosti, se funkcija nagiba k nič (slika 6).

riž. 6. Funkcijski graf

Obravnavani primeri pomagajo razumeti, kako gre graf in kakšne so lastnosti preučevane funkcije - funkcije z negativnim racionalnim eksponentom.

Grafi funkcij te družine potekajo skozi točko (1;1), funkcija pada na celotnem področju definicije.

Obseg funkcije:

Funkcija ni omejena od zgoraj, ampak od spodaj. Funkcija nima niti maksimuma niti najmanjšo vrednost.

Funkcija je neprekinjena, vzame vse pozitivne vrednosti od nič do plus neskončnost.

Funkcija konveksnega navzdol (slika 15.7)

Na krivulji sta vzeti točki A in B, skozi njih je narisan segment, cela krivulja je pod segmentom, ta pogoj je izpolnjen za poljubni dve točki na krivulji, zato je funkcija konveksna navzdol. riž. 7.

riž. 7. Konveksnost funkcije

Pomembno je razumeti, da so funkcije te družine od spodaj omejene z ničlo, vendar nimajo najmanjše vrednosti.

Primer 1 - poiščite maksimum in minimum funkcije na intervalu \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graf (slika 2).

Slika 2. Graf funkcije $f\left(x\right)=x^(2n)$

Lastnosti potenčne funkcije z naravnim lihim eksponentom

    Področje definicije so vsa realna števila.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je liha funkcija.

    $f(x)$ je neprekinjen na celotni domeni definicije.

    Razpon so vse realne številke.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    Funkcija se poveča na celotnem področju definicije.

    $f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ in konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

    Graf (slika 3).

Slika 3. Graf funkcije $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcija moči s celim eksponentom

Za začetek uvedemo pojem stopnje s celim eksponentom.

Opredelitev 3

Stopnjo realnega števila $a$ s celim eksponentom $n$ določimo s formulo:

Slika 4

Razmislite zdaj o funkciji moči s celim eksponentom, njenimi lastnostmi in grafom.

Opredelitev 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ se imenuje stopenjska funkcija s celoštevilskim eksponentom.

Če je stopnja večja od nič, pridemo do primera potenčne funkcije z naravnim eksponentom. O tem smo že razpravljali zgoraj. Za $n=0$ dobimo linearno funkcijo $y=1$. Njeno obravnavo prepuščamo bralcu. Še vedno je treba upoštevati lastnosti potenčne funkcije z negativnim celim eksponentom

Lastnosti potenčne funkcije z negativnim celim eksponentom

    Obseg je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Če je eksponent sodo, potem je funkcija soda; če je lih, potem je funkcija liha.

    $f(x)$ je neprekinjen na celotni domeni definicije.

    Razpon vrednosti:

    Če je eksponent sodo, potem $(0,+\infty)$, če je liho, potem $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Če je eksponent lih, se funkcija zmanjša kot $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za sodi eksponent se funkcija zmanjša kot $x\in (0,+\infty)$. in narašča kot $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ po celotni domeni

Podani so referenčni podatki o eksponentni funkciji - osnovne lastnosti, grafi in formule. Obravnavajo se naslednja vprašanja: področje definicije, množica vrednosti, monotonost, inverzna funkcija, izvod, integral, razširitev potenčnih vrst in predstavitev s kompleksnimi števili.

Opredelitev

Eksponentna funkcija je posplošitev produkta n števil, enakih a:
y (n) = a n = a a a a,
na množico realnih števil x :
y (x) = x.
Tukaj je a fiksno pravo število, ki se imenuje osnova eksponentne funkcije.
Imenuje se tudi eksponentna funkcija z bazo a eksponentno na bazo a.

Posplošitev se izvede na naslednji način.
Za naravni x = 1, 2, 3,... , eksponentna funkcija je produkt x faktorjev:
.
Poleg tega ima lastnosti (1,5-8) (), ki izhajajo iz pravil za množenje števil. Pri nič in negativne vrednosti cela števila , je eksponentna funkcija določena s formulami (1.9-10). Za ulomne vrednosti x = m/n racionalna števila, , se določi s formulo (1.11). Za real je eksponentna funkcija definirana kot meja zaporedja:
,
kjer je poljubno zaporedje racionalnih števil, ki konvergirajo k x : .
S to definicijo je eksponentna funkcija definirana za vse in izpolnjuje lastnosti (1,5-8), kot tudi za naravni x.

Stroga matematična formulacija definicije eksponentne funkcije in dokaz njenih lastnosti je podana na strani "Definicija in dokaz lastnosti eksponentne funkcije".

Lastnosti eksponentne funkcije

Eksponentna funkcija y = a x ima naslednje lastnosti na množici realnih števil ():
(1.1) je definiran in neprekinjen, za , za vse ;
(1.2) ko je ≠ 1 ima veliko pomenov;
(1.3) strogo narašča pri , strogo pada pri ,
je konstantna pri ;
(1.4) pri ;
pri ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Druge uporabne formule
.
Formula za pretvorbo v eksponentno funkcijo z drugačno bazo moči:

Za b = e dobimo izraz eksponentne funkcije v smislu eksponenta:

Zasebne vrednote

, , , , .

Slika prikazuje grafe eksponentne funkcije
y (x) = x
za štiri vrednosti osnove stopnje:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 in a = 1/8 . Vidi se, da za > 1 eksponentna funkcija se monotono povečuje. Večja kot je osnova stopnje a, močnejša je rast. Pri 0 < a < 1 eksponentna funkcija je monotono padajoča. Kako indikator manj stopnje a, močnejše je zmanjšanje.

Naraščajoče, padajoče

Eksponentna funkcija pri je strogo monotona, zato nima ekstremov. Njegove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli.

y = a x , a > 1 y = x, 0 < a < 1
domena - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Razpon vrednosti 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monotona monotono narašča monotono pada
Ničele, y= 0 št št
Točke presečišča z osjo y, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Inverzna funkcija

Recipročna vrednost eksponentne funkcije z bazo stopnje a je logaritem na bazo a.

Če, potem
.
Če, potem
.

Diferenciacija eksponentne funkcije

Za razlikovanje eksponentne funkcije je treba njeno bazo zmanjšati na število e, uporabiti tabelo izpeljank in pravilo za diferenciacijo kompleksne funkcije.

Če želite to narediti, morate uporabiti lastnost logaritmov
in formulo iz tabele izpeljank:
.

Naj je podana eksponentna funkcija:
.
Pripeljemo ga v bazo e:

Uporabljamo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije. Za to uvedemo spremenljivko

Potem

Iz tabele izpeljank imamo (zamenjaj spremenljivko x z z):
.
Ker je konstanta, je derivat z glede na x
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije:
.

Derivat eksponentne funkcije

.
Izpeljanka n-toga reda:
.
Izpeljava formul >> >

Primer razlikovanja eksponentne funkcije

Poiščite izvod funkcije
y= 35 x

Rešitev

Osnovo eksponentne funkcije izrazimo s številom e.
3 = e dnevnik 3
Potem
.
Uvajamo spremenljivko
.
Potem

Iz tabele izpeljank najdemo:
.
V kolikor 5ln 3 je konstanta, potem je izpeljanka z glede na x:
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije imamo:
.

Odgovori

Integralno

Izrazi v obliki kompleksnih števil

Razmislite o funkciji kompleksnega števila z:
f (z) = az
kjer je z = x + iy; jaz 2 = - 1 .
Kompleksno konstanto a izrazimo z modulom r in argumentom φ:
a = r e i φ
Potem


.
Argument φ ni enolično definiran. IN splošni pogled
φ = φ 0 + 2 pn,
kjer je n celo število. Zato je funkcija f (z) je tudi dvoumen. Pogosto se šteje za njegov glavni pomen
.

Razširitev v seriji


.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik za matematiko za inženirje in študente visokošolskih zavodov, Lan, 2009.

Priporočamo tudi

Nalaganje...Nalaganje...