Primerjaj ulomna števila z različnimi imenovalci. Primerjava ulomkov: pravila, primeri, rešitve

Ta članek obravnava primerjavo ulomkov. Tu bomo ugotovili, kateri od ulomkov je večji ali manjši, uporabili pravilo in analizirali primere rešitve. Primerjaj ulomke z enakimi in različnimi imenovalci. Primerjajmo navaden ulomek z naravnim številom.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Primerjava ulomkov z enakimi imenovalci

Pri primerjavi ulomkov z enakimi imenovalci delamo samo s števcem, kar pomeni, da primerjamo ulomke števila. Če obstaja ulomek 3 7 , potem ima 3 dele 1 7 , potem ima ulomek 8 7 8 takšnih delov. Z drugimi besedami, če je imenovalec enak, se primerjajo števci teh ulomkov, torej 3 7 in 8 7 se primerjata številki 3 in 8.

To pomeni pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci: od razpoložljivih ulomkov z enakimi kazalniki se ulomek z večjim števcem šteje za večji in obratno.

To nakazuje, da morate biti pozorni na števce. Če želite to narediti, upoštevajte primer.

Primer 1

Primerjaj podana ulomka 65 126 in 87 126 .

Odločitev

Ker so imenovalci ulomkov enaki, pojdimo na števce. Iz številk 87 in 65 je očitno, da je 65 manj. Na podlagi pravila za primerjavo ulomkov z enakimi imenovalci imamo, da je 87126 večje od 65126.

odgovor: 87 126 > 65 126 .

Primerjava ulomkov z različnimi imenovalci

Primerjavo takšnih ulomkov lahko primerjamo s primerjavo ulomkov z enakimi eksponenti, vendar obstaja razlika. Zdaj moramo ulomke zmanjšati na skupni imenovalec.

Če obstajajo ulomki z različnimi imenovalci, za njihovo primerjavo potrebujete:

najti skupni imenovalec;
primerjaj ulomke.

Oglejmo si te korake s primerom.

Primer 2

Primerjaj ulomka 5 12 in 9 16 .

Odločitev

Prvi korak je, da ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca. To se naredi na ta način: najdemo LCM, to je najmanjši skupni delilec, 12 in 16. Ta številka je 48. V prvi ulomek 5 12 je treba vpisati dodatne faktorje, to število najdemo iz količnika 48: 12 = 4, za drugi ulomek 9 16 - 48: 16 = 3. Zapišimo takole: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 in 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Po primerjavi ulomkov dobimo 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

odgovor: 5 12 < 9 16 .

Obstaja še en način za primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci. Izvaja se brez redukcije na skupni imenovalec. Poglejmo si primer. Za primerjavo ulomkov a b in c d reduciramo na skupni imenovalec, nato b · d, torej zmnožek teh imenovalcev. Potem bodo dodatni faktorji za ulomke imenovalci sosednjega ulomka. To je zapisano kot a · d b · d in c · b d · b . Z uporabo pravila z enakimi imenovalci imamo, da je primerjava ulomkov reducirana na primerjave produktov a · d in c · b. Od tu dobimo pravilo za primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci: če je a d > b c, potem a b > c d, če pa a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Primer 3

Primerjaj ulomke 5 18 in 23 86.

Odločitev

Ta primer ima a = 5 , b = 18 , c = 23 in d = 86 . Nato je treba izračunati a · d in b · c . Iz tega sledi, da je a d = 5 86 = 430 in b c = 18 23 = 414 . Toda 430 > 414 , potem je dani ulomek 5 18 večji od 23 86 .

odgovor: 5 18 > 23 86 .

Primerjava ulomkov z istim števcem

Če imajo ulomki enake števce in različne imenovalce, lahko primerjavo izvedete v skladu s prejšnjim odstavkom. Rezultat primerjave je možen pri primerjavi njihovih imenovalcev.

Obstaja pravilo za primerjavo ulomkov z enakimi števci : Od dveh ulomkov z enakim števcem je večji ulomek tisti z manjšim imenovalcem in obratno.

Poglejmo si primer.

Primer 4

Primerjaj ulomke 54 19 in 54 31.

Odločitev

Imamo, da so števci enaki, kar pomeni, da je ulomek z imenovalcem 19 večji od ulomka, ki ima imenovalec 31. To je razvidno iz pravila.

odgovor: 54 19 > 54 31 .

V nasprotnem primeru lahko upoštevate primer. Obstajata dva krožnika, na katerih sta 1 2 pite, anna še 1 16 . Če pojeste 12 pite, se boste nasitili hitreje kot le 116. Od tod sklep, da je največji imenovalec z enakimi števci najmanjši pri primerjavi ulomkov.

Primerjava ulomka z naravnim številom

Primerjava navadnega ulomka z naravnim številom je enaka primerjavi dveh ulomkov z imenovalci, zapisanimi v obrazcu 1. Za več podrobnosti si oglejmo spodnji primer.

Primer 4

Treba je izvesti primerjavo 63 8 in 9 .

Odločitev

Število 9 je treba predstaviti kot ulomek 9 1 . Potem moramo primerjati ulomke 63 8 in 9 1 . Sledi redukcija na skupni imenovalec z iskanjem dodatnih faktorjev. Po tem vidimo, da moramo primerjati ulomke z enakimi imenovalci 63 8 in 72 8 . Na podlagi primerjalnega pravila 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

odgovor: 63 8 < 9 .

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

V vsakdanjem življenju moramo pogosto primerjati ulomke. Večino časa to ne povzroča težav. Dejansko vsi razumejo, da je polovica jabolka večja od četrtine. Ko pa ga je treba zapisati kot matematični izraz, je lahko težko. Z uporabo naslednjih matematičnih pravil lahko enostavno rešite ta problem.

Kako primerjati ulomke z istim imenovalcem

Te ulomke je najlažje primerjati. V tem primeru uporabite pravilo:

Od dveh ulomkov z enakim imenovalcem, vendar različnim števcem, je večji tisti, katerega števec je večji, manjši pa tisti, katerega števec je manjši.

Primerjajte na primer ulomke 3/8 in 5/8. Imenovalci v tem primeru so enaki, zato uporabimo to pravilo. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Dejansko, če dve pici narežete na 8 rezin, je 3/8 rezin vedno manj kot 5/8.

Primerjava ulomkov z enakimi števci in različnimi imenovalci

V tem primeru se primerjajo velikosti deležev imenovalca. Pravilo, ki ga je treba uporabiti, je:

Če imata dva ulomka enak števec, je večji ulomek tisti z manjšim imenovalcem.

Primerjajte na primer ulomke 3/4 in 3/8. V tem primeru so števci enaki, zato uporabimo drugo pravilo. Ulomek 3/4 ima manjši imenovalec kot 3/8 ulomek. Zato 3/4>3/8

Dejansko, če pojeste 3 rezine pice, razdeljene na 4 dele, boste bolj siti, kot če bi pojedli 3 rezine pice, razdeljene na 8 delov.

Primerjava ulomkov z različnimi števci in imenovalci

Uporabljamo tretje pravilo:

Primerjavo ulomkov z različnimi imenovalci je treba primerjati z ulomki z enakimi imenovalci. Če želite to narediti, morate ulomke pripeljati do skupnega imenovalca in uporabiti prvo pravilo.

Primerjati morate na primer ulomke in . Za določitev večjega ulomka ta dva ulomka pripeljemo do skupnega imenovalca:

Zdaj pa poiščimo drugi dodatni faktor: 6:3=2. Zapišemo ga čez drugi ulomek:

Od dveh ulomkov z enakim imenovalcem je tisti z večjim števcem večji, tisti z manjšim števcem pa manjši.. Konec koncev imenovalec kaže, na koliko delov je bila razdeljena ena celotna vrednost, števec pa kaže, koliko takšnih delov je bilo vzetih.

Izkazalo se je, da je bil vsak cel krog deljen z istim številom 5 , vendar so vzeli različno število delov: vzeli so več - velik del in se je izkazalo.

Od dveh ulomkov z enakim števcem je tisti z manjšim imenovalcem večji, tisti z večjim imenovalcem pa manjši. No, pravzaprav, če razdelimo en krog na 8 deli in drugo 5 dele in vzemite en del iz vsakega od krogov. Kateri del bo večji?

Seveda iz kroga, razdeljenega s 5 deli! Zdaj si predstavljajte, da si delijo ne kroge, ampak torte. Kateri komad bi raje, natančneje, katerega deleža: peti ali osmi?

Če želite primerjati ulomke z različnimi števci in različnimi imenovalci, morate ulomke zmanjšati na najnižji skupni imenovalec in nato primerjati ulomke z istimi imenovalci.

Primeri. Primerjaj navadne ulomke:

Te ulomke pripeljemo do najmanjšega skupnega imenovalca. NOZ(4 ; 6)=12. Za vsakega od ulomkov najdemo dodatne faktorje. Za 1. ulomek dodaten množitelj 3 (12: 4=3 ). Za 2. ulomek dodaten množitelj 2 (12: 6=2 ). Zdaj primerjamo števce dveh dobljenih ulomkov z enakimi imenovalci. Ker je števec prvega ulomka manjši od števca drugega ulomka ( 9<10) , potem je sam prvi ulomek manjši od drugega ulomka.

Nadaljujemo s preučevanjem ulomkov. Danes bomo govorili o njihovi primerjavi. Tema je zanimiva in uporabna. Začetniku bo omogočilo, da se počuti kot znanstvenik v belem plašču.

Bistvo primerjave ulomkov je ugotoviti, kateri od obeh ulomkov je večji ali manjši.

Če želite odgovoriti na vprašanje, kateri od dveh ulomkov je večji ali manjši, uporabite na primer več (>) ali manj (<).

Matematiki so že poskrbeli za že pripravljena pravila, ki vam omogočajo, da takoj odgovorite na vprašanje, kateri ulomek je večji in kateri manjši. Ta pravila je mogoče varno uporabljati.

Pogledali bomo vsa ta pravila in poskušali ugotoviti, zakaj se to zgodi.

Vsebina lekcije

Primerjava ulomkov z enakimi imenovalci

Ulomki, ki jih je treba primerjati, so različni. Najbolj uspešen primer je, ko imajo ulomki enake imenovalce, vendar različne števce. V tem primeru velja naslednje pravilo:

Od dveh ulomkov z enakim imenovalcem je večji ulomek tisti z večjim števcem. In v skladu s tem bo manjši ulomek, v katerem je števec manjši.

Primerjajmo na primer ulomke in odgovorimo, kateri od teh ulomkov je večji. Tu so imenovalci enaki, števci pa različni. Ulomek ima večji števec kot ulomek. Torej je ulomek večji od . Torej odgovarjamo. Odgovorite z ikono več (>)

Ta primer lahko zlahka razumemo, če pomislimo na pice, ki so razdeljene na štiri dele. več pic kot pic:

Vsi se bodo strinjali, da je prva pica večja od druge.

Primerjava ulomkov z istim števcem

Naslednji primer, v katerega lahko pridemo, je, ko so števci ulomkov enaki, imenovalci pa različni. Za takšne primere je določeno naslednje pravilo:

Od dveh ulomkov z enakim števcem je večji ulomek z manjšim imenovalcem. Ulomek z večjim imenovalcem je torej manjši.

Primerjajmo na primer ulomke in . Ti ulomki imajo enak števec. Ulomek ima manjši imenovalec kot ulomek. Torej je ulomek večji od ulomka. Torej odgovorimo:

Ta primer lahko zlahka razumemo, če pomislimo na pice, ki so razdeljene na tri in štiri dele. več pic kot pic:

Vsi se strinjajo, da je prva pica večja od druge.

Primerjava ulomkov z različnimi števci in različnimi imenovalci

Pogosto se zgodi, da morate ulomke primerjati z različnimi števci in različnimi imenovalci.

Primerjajte na primer ulomke in . Če želite odgovoriti na vprašanje, kateri od teh ulomkov je večji ali manjši, jih morate pripeljati do istega (skupnega) imenovalca. Potem bo enostavno ugotoviti, kateri ulomek je večji ali manjši.

Pripeljemo ulomke do istega (skupnega) imenovalca. Poišči (LCM) imenovalce obeh ulomkov. LCM imenovalcev ulomkov in tega števila je 6.

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. Če delimo 6 z 2, dobimo dodatni faktor 3. Zapišemo ga čez prvi ulomek:

Zdaj pa poiščimo drugi dodatni faktor. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Delimo 6 s 3, dobimo dodatni faktor 2. Zapišemo ga čez drugi ulomek:

Pomnožite ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da se ulomki, ki imajo različne imenovalce, spremenijo v ulomke, ki imajo enake imenovalce. In takšne ulomke že znamo primerjati. Od dveh ulomkov z enakimi imenovalci je večji ulomek tisti z večjim števcem:

Pravilo je pravilo in poskušali bomo ugotoviti, zakaj več kot . Če želite to narediti, izberite celo število v ulomku. V ulomku ni treba izbrati ničesar, saj je ta ulomek že reden.

Po izbiri celega dela v ulomku dobimo naslednji izraz:

Zdaj lahko zlahka razumete, zakaj več kot . Narišimo te ulomke v obliki pic:

2 celi pici in pici, več kot pice.

Odštevanje mešanih števil. Težki primeri.

Ko odštevate mešana števila, včasih ugotovite, da stvari ne gredo tako gladko, kot bi želeli. Pogosto se zgodi, da pri reševanju primera odgovor ni takšen, kot bi moral biti.

Pri odštevanju številk mora biti minus večji od odštevanja. Le v tem primeru bo prejet normalen odgovor.

Na primer, 10−8=2

10 - zmanjšano

8 - odšteti

2 - razlika

Minus 10 je večji od odštetega 8, zato smo dobili običajen odgovor 2.

Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če je minuend manjši od odšteka. Primer 5−7=−2

5 - zmanjšano

7 - odšteti

−2 je razlika

V tem primeru presežemo številke, ki smo jih vajeni, in se znajdemo v svetu negativnih številk, kjer nam je še prezgodaj za hojo, pa tudi nevarno. Za delo z negativnimi števili potrebujete ustrezno matematično ozadje, ki ga še nismo prejeli.

Če pri reševanju primerov za odštevanje ugotovite, da je minus manjši od odštevanja, lahko tak primer za zdaj preskočite. Z negativnimi številkami je dovoljeno delati šele po njihovem preučevanju.

Enako je z ulomki. Minuend mora biti večji od odšteka. Samo v tem primeru bo mogoče dobiti normalen odgovor. In da bi razumeli, ali je zmanjšani ulomek večji od odštetega, morate biti sposobni primerjati te ulomke.

Na primer, rešimo primer.

To je primer odštevanja. Če ga želite rešiti, morate preveriti, ali je zmanjšani ulomek večji od odštetega. več kot

tako da se lahko varno vrnemo k primeru in ga rešimo:

Zdaj pa rešimo ta primer

Preverite, ali je zmanjšani ulomek večji od odštetega. Ugotavljamo, da je manj:

V tem primeru je bolj smiselno ustaviti in ne nadaljevati nadaljnjega izračuna. K temu primeru se bomo vrnili, ko bomo preučevali negativna števila.

Pred odštevanjem je zaželeno tudi preveriti mešana števila. Na primer, poiščimo vrednost izraza.

Najprej preverite, ali je zmanjšano mešano število večje od odštetega. Če želite to narediti, prevedemo mešana števila v nepravilne ulomke:

Dobili smo ulomke z različnimi števci in različnimi imenovalci. Če želite primerjati takšne ulomke, jih morate pripeljati do istega (skupnega) imenovalca. Ne bomo podrobno opisovali, kako to storiti. Če imate težave, ne pozabite ponoviti.

Po zmanjšanju ulomkov na isti imenovalec dobimo naslednji izraz:

Zdaj moramo primerjati ulomke in . To so ulomki z enakimi imenovalci. Od dveh ulomkov z enakim imenovalcem je večji ulomek tisti z večjim števcem.

Ulomek ima večji števec kot ulomek. Torej je ulomek večji od ulomka.

To pomeni, da je minuend večji od odštevanja.

Tako se lahko vrnemo k našemu primeru in ga pogumno rešimo:

Primer 3 Poiščite vrednost izraza

Preverite, ali je minus večji od odšteka.

Pretvorite mešana števila v nepravilne ulomke:

Dobili smo ulomke z različnimi števci in različnimi imenovalci. Te ulomke pripeljemo do istega (skupnega) imenovalca.

V tej lekciji se bomo naučili primerjati ulomke med seboj. To je zelo uporabna veščina, ki je potrebna za reševanje celega razreda bolj zapletenih problemov.

Najprej naj vas spomnim na definicijo enakosti ulomkov:

Ulomki a /b in c /d se imenujeta enaka, če je ad = bc.

5/8 = 15/24, ker je 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18, ker je 3 18 = 2 27 = 54.

V vseh drugih primerih so ulomki neenaki in zanje velja ena od naslednjih trditev:

Ulomek a /b je večji od ulomka c /d;
Ulomek a /b je manjši od ulomka c /d.

Ulomek a /b se imenuje večji od ulomka c /d, če je a /b − c /d > 0.

Ulomek x /y se imenuje manjši od ulomka s /t, če je x /y − s /t< 0.

Oznaka:

Tako se primerjava ulomkov zmanjša na njihovo odštevanje. Vprašanje: kako se ne zamenjati z zapisom "večje kot" (>) in "manj kot" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

Razširljivi del čeka je vedno usmerjen proti večjemu številu;
Oster nos kavke vedno kaže na nižjo številko.

Pogosto pri nalogah, kjer želite primerjati številke, mednje postavijo znak "∨". To je kavka z nosom navzdol, kar tako rekoč namiguje: večja od številk še ni določena.

Naloga. Primerjaj številke:

Po definiciji odštejemo ulomke drug od drugega:

Pri vsaki primerjavi smo morali ulomke pripeljati do skupnega imenovalca. Zlasti z uporabo metode križnega križanja in iskanja najmanjšega skupnega večkratnika. Namenoma se nisem osredotočil na te točke, če pa kaj ni jasno, si oglejte lekcijo "Seštevanje in odštevanje ulomkov" - zelo enostavno je.

Decimalna primerjava

V primeru decimalnih ulomkov je vse veliko bolj preprosto. Tukaj ni treba ničesar odštevati - samo primerjajte števke. Ne bo odveč, če se spomnimo, kakšen je pomemben del števila. Za tiste, ki ste pozabili, predlagam, da ponovite lekcijo " Množenje in deljenje decimalnih ulomkov" - prav tako bo trajalo le nekaj minut.

Pozitivna decimalka X je večja od pozitivne decimalke Y, če vsebuje decimalno mesto, tako da:

Številka te števke v ulomku X je večja od ustrezne števke v ulomku Y;

Vse števke, starejše od podanih v ulomkih X in Y, so enake.

12.25 > 12.16. Prvi dve števki sta enaki (12 = 12), tretja pa je večja (2 > 1);
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Z drugimi besedami, zaporedno gledamo decimalna mesta in iščemo razliko. V tem primeru večje število ustreza večjemu ulomku.

Vendar pa ta opredelitev zahteva pojasnilo. Na primer, kako napisati in primerjati števke do decimalne vejice? Ne pozabite: kateremu koli številu, zapisanemu v decimalni obliki, lahko dodelite poljubno število nič na levi strani. Tukaj je še nekaj primerov:

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2300,5 > 0,0025, ker 0,0025 = 0000,0025 - dodane tri ničle na levi. Zdaj lahko vidite, da se razlika začne v prvem bitu: 2 > 0.

Seveda je bilo v danih primerih z ničlami eksplicitno naštevanje, vendar je pomen točno naslednji: vnesite manjkajoče števke na levi strani in nato primerjajte.

Naloga. Primerjaj ulomke:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

Po definiciji imamo:

0,029 > 0,007. Prvi dve števki sta enaki (00 = 00), nato se začne razlika (2 > 0);
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0,00003 > 0,0000099. Tukaj morate skrbno prešteti ničle. Prvih 5 števk v obeh ulomkih je nič, v nadaljevanju pa je v prvem ulomku 3, v drugem pa 0. Očitno je 3 > 0;
1700,1 > 0,99501. Drugi ulomek prepišemo kot 0000,99501 in na levo dodamo 3 ničle. Zdaj je vse očitno: 1 > 0 - razlika je v prvi števki.

Na žalost zgornja shema za primerjavo decimalnih ulomkov ni univerzalna. Ta metoda se lahko samo primerja pozitivne številke. V splošnem primeru je algoritem dela naslednji:

Pozitiven ulomek je vedno večji od negativnega;
Dve pozitivni ulomki se primerjata po zgornjem algoritmu;
Dva negativna ulomka se primerjata na enak način, vendar se na koncu predznak neenakosti obrne.

No, ali ni slabo? Zdaj pa poglejmo konkretne primere - in vse bo postalo jasno.

Naloga. Primerjaj ulomke:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0,192 > -0,39. Ulomki so negativni, 2 števki sta različni. eno< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > -11,3. Pozitivno število je vedno večje od negativnega;
19,032 > 0,091. Dovolj je, da prepišemo drugi ulomek v obliki 00,091, da vidimo, da je razlika že v 1 števku;
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Razlika je v prvi kategoriji.