Kalkulator neenakosti s spletno rešitvijo. Linearne neenakosti

Neenakost je številčno razmerje, ki ponazarja velikost števil med seboj. Neenakosti se pogosto uporabljajo pri iskanju količin v uporabnih znanostih. Naš kalkulator vam bo pomagal pri soočanju s tako težko temo, kot je reševanje linearnih neenakosti.

Kaj je neenakost

Neenaka razmerja v resničnem življenju ustrezajo stalni primerjavi različnih predmetov: višjih ali nižjih, dlje ali bližje, težjih ali lažjih. Intuitivno ali vizualno lahko razumemo, da je en predmet večji, višji ali težji od drugega, v resnici pa gre vedno za primerjavo številk, ki označujejo ustrezne količine. Predmete lahko primerjate na kateri koli podlagi, v vsakem primeru pa lahko naredimo številčno neenakost.

Če so neznane količine pod določenimi pogoji enake, potem za njihovo numerično določitev naredimo enačbo. Če ne, potem lahko namesto znaka "enako" označimo katero koli drugo razmerje med temi količinami. Dve številki ali matematični objekti sta lahko večji od ">", manjši od "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Znake neenakosti v njihovi sodobni obliki je izumil britanski matematik Thomas Harriot, ki je leta 1631 izdal knjigo o neenakih razmerjih. Večje od ">" in manjše od "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Reševanje neenakosti

Neenakosti, tako kot enačbe, so različnih vrst. Linearna, kvadratna, logaritmična ali eksponentna neenaka razmerja se sproščajo z različnimi metodami. Ne glede na metodo pa je treba vsako neenakost najprej zmanjšati na standardno obliko. Za to se uporabljajo identične transformacije, ki so identične modifikacijam enakosti.

Identitetne transformacije neenakosti

Takšne transformacije izrazov so zelo podobne duhu enačb, vendar imajo nianse, ki jih je pomembno upoštevati pri razvezovanju neenakosti.

Prva transformacija identitete je identična analogni operaciji z enačbami. Obe strani neenakega razmerja lahko dodate ali odštejete isto število ali izraz z neznanim x, medtem ko predznak neenakosti ostane enak. Najpogosteje se ta metoda uporablja v poenostavljeni obliki kot prenos izrazov skozi znak neenakosti s spremembo predznaka števila v nasprotno. To se nanaša na spremembo predznaka samega izraza, to je, da se + R, ko se prenese skozi kateri koli znak neenakosti, spremeni v - R in obratno.

Druga transformacija ima dve točki:

Obe strani neenakega razmerja je dovoljeno pomnožiti ali deliti z istim pozitivnim številom. Sam predznak neenakosti se ne bo spremenil.
Obe strani neenakosti je dovoljeno deliti ali pomnožiti z istim negativnim številom. Predznak same neenakosti se bo spremenil v nasprotno.

Druga identična transformacija neenakosti ima resne razlike z modifikacijo enačb. Prvič, pri množenju/deljenju z negativnim številom se predznak neenakega izraza vedno obrne. Drugič, deljenje ali množenje delov relacije je dovoljeno samo s številom in ne z nobenim izrazom, ki vsebuje neznano. Dejstvo je, da ne moremo z gotovostjo vedeti, ali se za neznano skriva število, večje ali manjše od nič, zato se druga identična transformacija za neenakosti uporablja izključno s številkami. Oglejmo si ta pravila s primeri.

Primeri odpravljanja neenakosti

Pri nalogah iz algebre so različne naloge na temo neenakosti. Dajmo nam izraz:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Najprej odprite oklepaje in premaknite vse neznanke v levo, vse številke pa v desno.

6x − 12x > 6 + 3

Oba dela izraza moramo deliti z −6, tako da se pri iskanju neznanega x znak neenakosti spremeni v nasprotno.

Pri reševanju te neenakosti smo uporabili obe enaki transformaciji: vsa števila smo premaknili desno od predznaka in obe strani razmerja razdelili z negativnim številom.

Naš program je kalkulator za reševanje številskih neenakosti, ki ne vsebujejo neznank. Program vsebuje naslednje izreke za razmerja treh števil:

če< B то A–C< B–C;
če je A > B, potem A–C > B–C.

Namesto odštevanja členov A-C lahko podate katero koli aritmetično operacijo: seštevanje, množenje ali deljenje. Tako bo kalkulator samodejno prikazal neenakosti vsot, razlik, produktov ali ulomkov.

Zaključek

V resničnem življenju so neenakosti tako pogoste kot enačbe. Seveda v vsakdanjem življenju znanje o reševanju neenakosti morda ni potrebno. Vendar pa se v uporabnih znanostih neenakosti in njihovi sistemi pogosto uporabljajo. Na primer, različne študije problemov svetovnega gospodarstva se zreducirajo na sestavljanje in sproščanje sistemov linearnih ali kvadratnih neenakosti, nekatera neenakopravna razmerja pa služijo kot nedvoumen način dokazovanja obstoja določenih objektov. Uporabite naše programe za reševanje linearnih neenakosti ali preverite lastne izračune.

Oblika ax 2 + bx + 0 0, kjer (namesto znaka > je seveda lahko kateri koli drug znak neenakosti). Imamo vsa dejstva teorije, potrebna za reševanje takšnih neenakosti, ki jih bomo zdaj preverili.

Primer 1. Reši neenakost:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
sklep,

a) Razmislite o paraboli y \u003d x 2 - 2x - 3, prikazano na sl. 117.

Rešiti neenakost x 2 - 2x - 3 > 0 - to pomeni odgovoriti na vprašanje, za katere vrednosti x so ordinate točk parabole pozitivne.

Opazimo, da je y > 0, tj. graf funkcije se nahaja nad osjo x, pri x< -1 или при х > 3.

Zato so rešitve neenakosti vse odprte točke žarek(- 00 , - 1), kot tudi vse točke odprtega žarka (3, +00).

Z znakom U (znakom zveze množic) lahko odgovor zapišemo takole: (-00 , - 1) U (3, +00). Odgovor pa lahko zapišemo tudi takole:< - 1; х > 3.

b) Neenakost x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: urnik ki se nahaja pod osjo x, če je -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Neenakost x 2 - 2x - 3 > 0 se od neenakosti x 2 - 2x - 3 > 0 razlikuje po tem, da mora odgovor vsebovati tudi korenine enačbe x 2 - 2x - 3 = 0, torej točke x = - 1

in x \u003d 3. Tako so rešitve te nestroge neenakosti vse točke žarka (-00, - 1], pa tudi vse točke žarka.

Praktični matematiki običajno pravijo takole: zakaj pri reševanju neenakosti ax 2 + bx + c > 0 skrbno sestavimo graf parabole kvadratne funkcije

y \u003d ax 2 + bx + c (kot je bilo storjeno v primeru 1)? Dovolj je, da naredite shematsko skico grafa, za katero morate le najti korenine kvadratni trinom (točka presečišča parabole z osjo x) in določi, kam so usmerjene veje parabole - navzgor ali navzdol. Ta shematska skica bo dala vizualno interpretacijo rešitve neenakosti.

Primer 2 Rešite neenakost - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Odločitev.

1) Poiščite korenine kvadratnega trinoma - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, ki služi kot graf funkcije y \u003d -2x 2 + Zx + 9, seka os x v točkah 3 in - 1,5, veje parabole pa so usmerjene navzdol, saj je starejša koeficient- negativno število - 2. Na sl. 118 je skica grafa.

3) Z uporabo sl. 118, sklepamo:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Odgovor: x< -1,5; х > 3.

Primer 3 Rešite neenakost 4x 2 - 4x + 1< 0.
Odločitev.

1) Iz enačbe 4x 2 - 4x + 1 = 0 najdemo.

2) Kvadratni trinom ima en koren; to pomeni, da parabola, ki služi kot graf kvadratnega trinoma, ne seka osi x, ampak se je dotika v točki. Veje parabole so usmerjene navzgor (slika 119.)

3) Z uporabo geometrijskega modela, prikazanega na sl. 119 ugotavljamo, da je navedena neenakost izpolnjena samo na točki, saj so za vse druge vrednosti x ordinate grafa pozitivne.
Odgovor: .
Verjetno ste opazili, da je dejansko v primerih 1, 2, 3 dobro opredeljeno algoritem rešujemo kvadratne neenakosti, jo bomo formalizirali.

Algoritem za reševanje kvadratne neenakosti ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

Prvi korak tega algoritma je iskanje korenin kvadratnega trinoma. Toda korenine morda ne obstajajo, kaj storiti? Takrat je algoritem neuporaben, kar pomeni, da je treba razmišljati drugače. Ključ do teh argumentov dajejo naslednji izreki.

Z drugimi besedami, če D< 0, а >0, potem je neenakost ax 2 + bx + c > 0 izpolnjena za vse x; nasprotno, neenakost ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Dokaz. urnik funkcije y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, katere veje so usmerjene navzgor (ker je a > 0) in ki ne seka osi x, saj kvadratni trinom po pogoju nima korenin. Graf je prikazan na sl. 120. Vidimo, da se za vse x graf nahaja nad osjo x, kar pomeni, da je za vse x izpolnjena neenakost ax 2 + bx + c > 0, kar je bilo potrebno dokazati.

Z drugimi besedami, če D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nima rešitev.

Dokaz. Graf funkcije y \u003d ax 2 + bx + c je parabola, katere veje so usmerjene navzdol (saj< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

Primer 4. Reši neenakost:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Poiščite diskriminanto kvadratnega trinoma 2x 2 - x + 4. Imamo D = (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Višji koeficient trinoma (številka 2) je pozitiven.

Zato je po izreku 1 za vse x izpolnjena neenakost 2x 2 - x + 4 > 0, to pomeni, da je rešitev dane neenakosti celota (-00, + 00).

b) Poiščite diskriminanto kvadratnega trinoma - x 2 + Zx - 8. Imamo D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Odgovor: a) (-00, + 00); b) ni rešitev.

V naslednjem primeru se bomo seznanili z drugim načinom sklepanja, ki ga uporabljamo pri reševanju kvadratnih neenakosti.

Primer 5 Rešite neenakost 3x 2 - 10x + 3< 0.
Odločitev. Razložimo kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3. Korenine trinoma so števila 3 in zato z uporabo ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) dobimo Zx 2 - 10x + 3 = 3 (x - 3) (x - )
Na številski premici zapišemo korenine trinoma: 3 in (slika 122).

Naj je x > 3; potem x-3>0 in x->0, zato je produkt 3(x - 3)(x - ) pozitiven. Naprej, naj< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Zato je produkt 3(x-3)(x-) negativen. Končno, naj x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) je pozitiven.

Če povzamemo sklepanje, pridemo do zaključka: znaki kvadratnega trinoma Zx 2 - 10x + 3 se spreminjajo, kot je prikazano na sl. 122. Zanima nas, za kakšen x ima kvadratni trinom negativne vrednosti. Iz sl. 122 sklepamo: kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3 vzame negativne vrednosti za katero koli vrednost x iz intervala (, 3)
Odgovor (, 3) oz< х < 3.

Komentar. Metodo sklepanja, ki smo jo uporabili v primeru 5, običajno imenujemo metoda intervalov (ali metoda intervalov). Aktivno se uporablja v matematiki za reševanje racionalno neenakosti. V 9. razredu bomo podrobneje preučili intervalno metodo.

Primer 6. Pri katerih vrednostih parametra p je kvadratna enačba x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ima dve različni korenini;

b) ima en koren;

c) nima korenin?

Odločitev. Število korenov kvadratne enačbe je odvisno od predznaka njene diskriminante D. V tem primeru najdemo D \u003d 25 - 4p 2.

a) Kvadratna enačba ima dva različna korena, če je D> 0, potem je problem reduciran na reševanje neenakosti 25 - 4p 2 > 0. Oba dela te neenakosti pomnožimo z -1 (ne pozabimo spremeniti predznaka neenakosti). Dobimo enakovredno neenakost 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Znaki izraza 4(p - 2,5) (p + 2,5) so prikazani na sl. 123.

Sklepamo, da je neenakost 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratna enačba ima en koren, če je D 0.
Kot smo že omenili, je D = 0 pri p = 2,5 ali p = -2,5.

Za te vrednosti parametra p ima ta kvadratna enačba samo en koren.

c) Kvadratna enačba nima korenin, če je D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Dobimo 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, od koder (glej sliko 123) p< -2,5; р >2.5. Za te vrednosti parametra p ta kvadratna enačba nima korenin.

Odgovor: a) pri p (-2,5, 2,5);

b) pri p = 2,5 ali p = -2,5;
c) pri r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., algebra. 8. razred: Proc. za splošno izobraževanje ustanove - 3. izd., dokončano. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Pomagajte učencu na spletu, Prenos matematike za 8. razred, koledarsko-tematsko načrtovanje

glej tudi Grafično reševanje problema linearnega programiranja, Kanonična oblika problemov linearnega programiranja

Sistem omejitev za tak problem je sestavljen iz neenakosti v dveh spremenljivkah:
in ciljna funkcija ima obliko F = C 1 x + C 2 y, ki ga je treba maksimirati.

Odgovorimo na vprašanje: kateri pari številk ( x; y) so rešitve sistema neenakosti, torej ali izpolnjujejo vsako od neenakosti hkrati? Z drugimi besedami, kaj pomeni grafično rešiti sistem?
Najprej morate razumeti, kakšna je rešitev ene linearne neenakosti z dvema neznankama.
Rešiti linearno neenakost z dvema neznankama pomeni določiti vse pare vrednosti neznank, za katere je neenakost izpolnjena.
Na primer, neenakost 3 x – 5y≥ 42 zadovolji pare ( x , y) : (100, 2); (3, –10) itd. Težava je najti vse takšne pare.
Upoštevajte dve neenakosti: sekira + od≤ c, sekira + od≥ c. naravnost sekira + od = c deli ravnino na dve polovični ravnini, tako da koordinate točk ene od njih izpolnjujejo neenakost sekira + od >c, in druga neenakost sekira + +od <c.
Dejansko vzemite točko s koordinato x = x 0; nato točka, ki leži na ravni črti in ima absciso x 0 , ima ordinato

Pustimo za določenost a<0, b>0, c>0. Vse točke z absciso x 0 zgoraj P(npr. pika M), imajo y M>y 0 in vse točke pod točko P, z absciso x 0 , imajo yN<y 0 . V kolikor x 0 je poljubna točka, potem bodo na eni strani premice vedno točke, za katere sekira+ od > c, ki tvori polravnino, in na drugi strani točke za katere sekira + od< c.

Slika 1

Predznak neenakosti v polravnini je odvisen od števil a, b , c.
To pomeni naslednjo metodo za grafično reševanje sistemov linearnih neenakosti v dveh spremenljivkah. Za rešitev sistema potrebujete:

Za vsako neenakost zapišite enačbo, ki ustreza dani neenakosti.
Konstruirajte premice, ki so grafi funkcij, podanih z enačbami.
Za vsako ravno črto določimo polravnino, ki je podana z neenakostjo. Če želite to narediti, vzemite poljubno točko, ki ne leži na ravni črti, v neenakost nadomestite njene koordinate. če je neenakost resnična, potem je polravnina, ki vsebuje izbrano točko, rešitev prvotne neenakosti. Če je neenakost napačna, je polravnina na drugi strani premice množica rešitev te neenakosti.
Za rešitev sistema neenakosti je potrebno najti presečno območje vseh polravnin, ki so rešitev vsake neenakosti v sistemu.

To območje se lahko izkaže za prazno, potem sistem neenakosti nima rešitev, je nedosleden. V nasprotnem primeru naj bi bil sistem konsistenten.
Rešitve so lahko končno število in neskončna množica. Območje je lahko zaprt poligon ali pa je lahko neomejeno.

Oglejmo si tri ustrezne primere.

Primer 1. Grafično reši sistem:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

upoštevaj enačbi x+y–1=0 in –2x–2y+5=0, ki ustrezata neenakostim;
konstruirajmo premice, ki jih podajajo te enačbe.

Slika 2

Definirajmo polravnine, ki jih podajajo neenakosti. Vzemite poljubno točko, naj (0; 0). Razmislite x+ y- 1 0 nadomestimo točko (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. torej v polravnini, kjer leži točka (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, tj. polravnina, ki leži pod ravno črto, je rešitev prve neenakosti. Če to točko (0; 0) nadomestimo z drugo, dobimo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. v polravnini, kjer leži točka (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0 in vprašali so nas, kje -2 x – 2y+ 5 ≤ 0 torej v drugi polravnini - v tisti nad ravno črto.
Poiščite presečišče teh dveh polravnin. Premici sta vzporedni, zato se ravnine nikjer ne sekajo, kar pomeni, da sistem teh neenakosti nima rešitev, je nedosleden.

Primer 2. Poišči grafično rešitve sistema neenakosti:

Slika 3
1. Zapiši enačbe, ki ustrezajo neenakostim, in sestavi premice.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Ko izberemo točko (0; 0), določimo znake neenakosti v polravninah:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. x + 2y– 2 ≤ 0 v polravnini pod ravno črto;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. y –x– 1 ≤ 0 v polravnini pod premo črto;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. y+ 2 ≥ 0 v polravnini nad črto.
3. Presečišče teh treh polravnin bo območje, ki je trikotnik. Ni težko najti oglišča regije kot presečišča ustreznih črt

tako, AMPAK(–3; –2), AT(0; 1), Z(6; –2).

Oglejmo si še en primer, pri katerem končna domena rešitve sistema ni omejena.

Reševanje neenakosti na spletu

Pred reševanjem neenakosti je treba dobro razumeti, kako se rešujejo enačbe.

Ni pomembno, ali je neenakost stroga () ali nestroga (≤, ≥), prvi korak je, da rešite enačbo tako, da predznak neenakosti zamenjate z enakostjo (=).

Pojasni, kaj pomeni rešiti neenakost?

Po preučevanju enačb ima študent v glavi naslednjo sliko: poiskati morate takšne vrednosti spremenljivke, za katere imata oba dela enačbe enake vrednosti. Z drugimi besedami, poiščite vse točke, kjer velja enakost. Vse je pravilno!

Ko govorimo o neenakostih, mislijo na iskanje intervalov (odsekov), na katerih neenakost velja. Če sta v neenakosti dve spremenljivki, potem rešitev ne bodo več intervali, ampak nekatera področja na ravnini. Uganete, kakšna bo rešitev neenakosti v treh spremenljivkah?

Kako rešiti neenakosti?

Metoda intervalov (imenovana tudi metoda intervalov) velja za univerzalen način reševanja neenakosti, ki je sestavljen iz določanja vseh intervalov, znotraj katerih bo dana neenakost izpolnjena.

Ne da bi se spuščali v vrsto neenakosti, v tem primeru to ni bistvo, potrebno je rešiti ustrezno enačbo in določiti njene korenine, čemur sledi oznaka teh rešitev na številčni osi.

Kako pravilno zapisati rešitev neenakosti?

Ko določite intervale za reševanje neenakosti, morate pravilno zapisati samo rešitev. Obstaja pomemben odtenek - ali so meje intervalov vključene v rešitev?

Tukaj je vse preprosto. Če rešitev enačbe izpolnjuje ODZ in neenakost ni stroga, je meja intervala vključena v rešitev neenakosti. Sicer pa ne.

Glede na vsak interval je lahko rešitev neenakosti sam interval ali polovični interval (ko ena od njegovih meja izpolnjuje neenakost) ali segment - interval skupaj z njegovimi mejami.

Pomembna točka

Ne mislite, da so samo intervali, polovični intervali in segmenti lahko rešitev za neenakost. Ne, v rešitev se lahko vključijo tudi posamezne točke.

Na primer, neenakost |x|≤0 ima samo eno rešitev - točko 0.

In neenakost |x|

Za kaj je kalkulator neenakosti?

Kalkulator neenakosti daje pravilen končni odgovor. V tem primeru je v večini primerov podana ilustracija številčne osi ali ravnine. Vidite lahko, ali so meje intervalov vključene v rešitev ali ne - točke so prikazane zapolnjene ali prebodene.

Zahvaljujoč spletnemu kalkulatorju neenakosti lahko preverite, ali ste pravilno našli korenine enačbe, jih označili na številski premici in preverili pogoje neenakosti na intervalih (in mejah)?

Če se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatorja, morate zagotovo še enkrat preveriti svojo rešitev in ugotoviti storjeno napako.

Neenakost je izraz z, ≤ ali ≥. Na primer, 3x - 5 Rešiti neenakost pomeni najti vse vrednosti spremenljivk, za katere ta neenakost velja. Vsako od teh številk je rešitev neenakosti, množica vseh takšnih rešitev pa je njena številne rešitve. Neenakosti, ki imajo enak nabor rešitev, se imenujejo enakovredne neenakosti.

Linearne neenakosti

Načela reševanja neenakosti so podobna načelom reševanja enačb.

Načela reševanja neenakosti
Za vsa realna števila a, b in c:
Načelo seštevanja neenakosti: Če Načelo množenja za neenakosti: Če je 0 res, potem je ac Če je tudi bc res.
Podobne trditve veljajo tudi za a ≤ b.

Ko obe strani neenakosti pomnožimo z negativnim številom, je treba predznak neenakosti obrniti.
Neenakosti prve stopnje, kot v primeru 1 (spodaj), se imenujejo linearne neenakosti.

Primer 1 Reši vsako od naslednjih neenakosti. Nato narišite nabor rešitev.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Odločitev
Vsako število, manjše od 11/5, je rešitev.
Množica rešitev je (x|x
Za preverjanje lahko narišemo y 1 = 3x - 5 in y 2 = 6 - 2x. Potem je od tu razvidno, da je za x
Nabor rešitev je (x|x ≤ 1) ali (-∞, 1). Graf nabora rešitev je prikazan spodaj.

Dvojne neenakosti

Ko sta dve neenakosti povezani z besedo in, oz, potem nastane dvojna neenakost. Dvojna neenakost kot
-3 in 2x + 5 ≤ 7
poklical povezani ker uporablja in. Zapis -3 Dvojne neenakosti lahko rešujemo po principih seštevanja in množenja neenakosti.

Primer 2 Reši -3 Odločitev Imamo

Nabor rešitev (x|x ≤ -1 oz x > 3). Rešitev lahko zapišemo tudi z uporabo razmika in simbola za združenja ali vključitve obeh množic: (-∞ -1] (3, ∞). Graf množice rešitev je prikazan spodaj.

Za preizkus narišite y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 in y 3 = 1. Upoštevajte, da za (x|x ≤ -1 oz x > 3), y 1 ≤ y 2 oz y 1 > y 3 .

Neenakosti z absolutno vrednostjo (modul)

Neenakosti včasih vsebujejo module. Za njihovo reševanje se uporabljajo naslednje lastnosti.
Za a > 0 in algebraični izraz x:
|x| |x| > a je enakovredno x ali x > a.
Podobni stavki za |x| ≤ a in |x| ≥ a.

na primer
|x| |y| ≥ 1 je enakovredno y ≤ -1 oz y ≥ 1;
in |2x + 3| ≤ 4 je enakovredno -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Primer 4 Reši vsako od naslednjih neenakosti. Narišite nabor rešitev.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Odločitev
a) |3x + 2|

Nabor rešitev je (x|-7/3