Vsota sode in lihe funkcije. Sode in lihe funkcije

Sode in lihe funkcije so ena njegovih glavnih lastnosti, parnost pa zavzema impresiven del šolskega predmeta matematike. V veliki meri določa naravo obnašanja funkcije in močno olajša konstrukcijo ustreznega grafa.

Definirajmo parnost funkcije. Na splošno velja, da se preučevana funkcija šteje, tudi če so za nasprotne vrednosti neodvisne spremenljivke (x), ki se nahajajo v njeni domeni definicije, ustrezne vrednosti y (funkcije) enake.

Dajmo bolj strogo definicijo. Razmislite o neko funkcijo f (x), ki je definirana v domeni D. To bo celo, če za katero koli točko x, ki se nahaja v domeni definicije:

• -x (nasprotna pika) prav tako leži v danem obsegu,

• f(-x) = f(x).

Iz zgornje definicije sledi pogoj, potreben za področje definicije takšne funkcije, in sicer simetrija glede na točko O, ki je izvor koordinat, saj če je neka točka b v domeni definicije sode funkcije, potem v tej domeni leži tudi ustrezna točka - b. Iz navedenega torej sledi sklep: soda funkcija ima obliko, ki je simetrična glede na ordinatno os (Oy).

Kako v praksi določiti parnost funkcije?

Naj bo podana s formulo h(x)=11^x+11^(-x). Po algoritmu, ki izhaja neposredno iz definicije, najprej preučimo njeno področje definicije. Očitno je definiran za vse vrednosti argumenta, to pomeni, da je prvi pogoj izpolnjen.

Naslednji korak je zamenjava argumenta (x) z njegovo nasprotno vrednostjo (-x).
Dobimo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Ker seštevanje izpolnjuje komutativni (premični) zakon, je očitno, da je h(-x) = h(x) in dana funkcionalna odvisnost je soda.

Preverimo enakomernost funkcije h(x)=11^x-11^(-x). Po istem algoritmu dobimo h(-x) = 11^(-x) -11^x. Če vzamemo minus, kot rezultat, imamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Zato je h(x) liho.

Mimogrede, treba je opozoriti, da obstajajo funkcije, ki jih po teh merilih ni mogoče razvrstiti, ne imenujejo se niti sode niti lihe.

Tudi funkcije imajo številne zanimive lastnosti:

• kot rezultat dodajanja podobnih funkcij dobimo enakomerno;
• kot rezultat odštevanja takšnih funkcij dobimo sodo;
• celo, tudi enakomerno;
• kot rezultat množenja dveh takih funkcij dobimo sodo;
• kot rezultat množenja lihih in sodih funkcij dobimo liho;
• kot rezultat delitve lihe in sode funkcije dobimo liho;
• izpeljanka takšne funkcije je liha;
• Če kvadriramo liho funkcijo, dobimo sodo funkcijo.

Parnost funkcije se lahko uporablja pri reševanju enačb.

Za rešitev enačbe, kot je g(x) = 0, kjer je leva stran enačbe soda funkcija, bo dovolj, da poiščemo njene rešitve za nenegativne vrednosti spremenljivke. Dobljene korene enačbe je treba združiti z nasprotnimi števili. Eden od njih je predmet preverjanja.

Enako se uspešno uporablja za reševanje nestandardnih problemov s parametrom.

Na primer, ali obstaja kakšna vrednost za parameter a, zaradi katere bi imela enačba 2x^6-x^4-ax^2=1 tri korenine?

Če upoštevamo, da spremenljivka vstopi v enačbo v sodih potencih, potem je jasno, da zamenjava x z - x dano enačbo se ne bo spremenilo. Iz tega sledi, da če je določeno število njegov koren, potem je tudi nasprotno število. Zaključek je očiten: korenine enačbe, razen nič, so vključene v niz njenih rešitev v "parih".

Jasno je, da število 0 samo po sebi ni, to pomeni, da je število korenov takšne enačbe lahko samo sodo in seveda za nobeno vrednost parametra ne more imeti treh korenov.

Toda število korenov enačbe 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 je lahko liho in za katero koli vrednost parametra. Dejansko je enostavno preveriti, da je niz korenin dano enačbo vsebuje rešitve v "parih". Preverimo, ali je 0 koren. Ko ga nadomestimo v enačbo, dobimo 2=2. Tako je poleg "parnih" 0 tudi koren, ki dokazuje njihovo liho število.

Funkcija se imenuje soda (liha), če za katero koli in enakost

.

Graf sode funkcije je simetričen glede na os
.

Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.

Primer 6.2. Preglejte sode ali lihe funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Odločitev.

1) Funkcija je definirana z
. Najdimo
.

tiste.
. Torej je ta funkcija enakomerna.

2) Funkcija je definirana za

tiste.
. Tako je ta funkcija čudna.

3) funkcija je definirana za , t.j. za

,
. Zato funkcija ni niti soda niti liha. Recimo temu splošna funkcija.

3. Preiskava funkcije za monotonost.

Funkcija
se imenuje naraščajoče (zmanjševanje) na nekem intervalu, če v tem intervalu vsaka večja vrednost argumenta ustreza večji (manjši) vrednosti funkcije.

Funkcije, ki se povečujejo (zmanjšujejo) na določenem intervalu, se imenujejo monotone.

Če je funkcija
diferenciran na intervalu
in ima pozitivno (negativno) izpeljanko
, nato funkcija
se v tem intervalu poveča (zmanjša).

Primer 6.3. Poiščite intervale monotonosti funkcij

1)
; 3)
.

Odločitev.

1) Ta funkcija je definirana na celotni številski osi. Poiščimo izpeljanko.

Izvod je nič, če
in
. Področje definicije - številčna os, deljena s točkami
,
za intervale. Določimo predznak izpeljanke v vsakem intervalu.

V intervalu
izpeljanka je negativna, funkcija na tem intervalu pada.

V intervalu
izpeljanka je pozitivna, zato se funkcija na tem intervalu povečuje.

2) Ta funkcija je definirana, če
oz

.

V vsakem intervalu določimo predznak kvadratnega trinoma.

Tako obseg funkcije

Poiščimo izpeljanko
,
, če
, tj.
, ampak
. Določimo predznak izpeljanke v intervalih
.

V intervalu
izpeljanka je negativna, zato funkcija pada na intervalu
. V intervalu
odvod je pozitiven, funkcija raste na intervalu
.

4. Preiskava funkcije za ekstrem.

Dot
se imenuje največja (minimalna) točka funkcije
, če obstaja taka soseska točke to za vsakogar
ta soseska izpolnjuje neenakost

.

Najvišji in najmanjši točki funkcije imenujemo točke ekstrema.

Če je funkcija
na točki ima ekstrem, potem je izvod funkcije na tej točki enak nič ali pa ne obstaja (nujen pogoj za obstoj ekstrema).

Točke, pri katerih je izpeljanka enaka nič ali ne obstaja, se imenujejo kritične.

5. Zadostni pogoji za obstoj ekstremuma.

1. pravilo. Če med prehodom (od leve proti desni) skozi kritično točko izpeljanka
spremeni predznak iz "+" v "-", nato na točki funkcijo
ima maksimum; če od "-" do "+", potem minimalno; če
ne spremeni predznaka, potem ni ekstrema.

2. pravilo. Naj na točki
prva izpeljanka funkcije
nič
, druga izpeljanka pa obstaja in ni nič. Če
, potem je največja točka, če
, potem je minimalna točka funkcije.

Primer 6.4 . Raziščite največje in minimalne funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Odločitev.

1) Funkcija je definirana in neprekinjena na intervalu
.

Poiščimo izpeljanko
in reši enačbo
, tj.
.od tod
so kritične točke.

Določimo predznak izvoda v intervalih,
.

Pri prehodu skozi točke
in
izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+", torej v skladu s pravilom 1
so minimalne točke.

Pri prehodu skozi točko
izpeljanka spremeni predznak iz "+" v "-", torej
je največja točka.

,
.

2) Funkcija je definirana in neprekinjena v intervalu
. Poiščimo izpeljanko
.

Z reševanjem enačbe
, najti
in
so kritične točke. Če je imenovalec
, tj.
, potem izpeljanka ne obstaja. torej
je tretja kritična točka. Določimo predznak izpeljanke v intervalih.

Zato ima funkcija minimum na točki
, največ v točkah
in
.

3) Funkcija je definirana in neprekinjena, če
, tj. pri
.

Poiščimo izpeljanko

.

Poiščimo kritične točke:

Soseske točk
ne spadajo v področje definicije, zato niso ekstremni t. Raziščimo torej kritične točke
in
.

4) Funkcija je definirana in neprekinjena na intervalu
. Uporabljamo pravilo 2. Poišči izpeljanko
.

Poiščimo kritične točke:

Poiščimo drugo izpeljanko
in določi njegov predznak na točkah

Na točkah
funkcija ima minimalno.

Na točkah
funkcija ima maksimum.

Nazaj naprej

Pozor! Predogled diapozitiva je samo informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite celotno različico.

Cilji:

• oblikovati pojem sode in lihe funkcije, naučiti sposobnosti določanja in uporabe teh lastnosti, ko raziskave funkcij, risanje;
• razvijati ustvarjalno aktivnost učencev, logično razmišljanje, sposobnost primerjave, posploševanja;
• gojiti delavnost, matematično kulturo; razvijati komunikacijske sposobnosti .

oprema: multimedijska instalacija, interaktivna tabla, izročki.

Oblike dela: frontalni in skupinski z elementi iskalne in raziskovalne dejavnosti.

Viri informacij:

1. Razred algebre 9 A.G. Mordkovich. Učbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Opravilna knjiga.
3. Algebra 9. razred. Naloge za učenje in razvoj učencev. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

MED POUKOM

1. Organizacijski trenutek

Postavitev ciljev in ciljev lekcije.

2. Preverjanje domače naloge

Št. 10.17 (Problemska zvezka 9. razred A.G. Mordkovich).

a) pri = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 for X ~ 0,4
4. f(X) >0 ob X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcija se poveča z X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je omejena od spodaj.
7. pri najem = - 3, pri naib ne obstaja
8. Funkcija je neprekinjena.

(Ali ste uporabili algoritem za raziskovanje funkcij?) Zdrs.

2. Preverimo tabelo, ki smo jo vprašali na diapozitivu.

Napolnite mizo
	domena	Funkcijske ničle	Intervali konstantnosti		Koordinate presečišč grafa z Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Posodobitev znanja

– Funkcije so podane.
– Določite domeno definicije za vsako funkcijo.
– Primerjajte vrednost vsake funkcije za vsak par vrednosti argumentov: 1 in – 1; 2 in - 2.
– Za katero od danih funkcij v domeni definicije so enakosti f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (vnesite podatke v tabelo) Zdrs

		f(1) in f(– 1)	f(2) in f(– 2)	grafikoni	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		in ni opredeljeno.

4. nov material

– Nastopa to delo, fantje, razkrili smo še eno lastnost funkcije, ki vam ni znana, a nič manj pomembna od ostalih - to je soda in liha funkcija. Zapišite temo lekcije: "Sode in lihe funkcije", naša naloga je, da se naučimo določiti sode in lihe funkcije, ugotoviti pomen te lastnosti pri preučevanju funkcij in risanju.
Torej, poiščimo definicije v učbeniku in preberimo (str. 110) . Zdrs

Def. eno Funkcija pri = f (X), definiran na množici X, se kliče celo, če za katero koli vrednost XЄ X v teku enakost f (–x) = f (x). Navedite primere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definirana na množici X se imenuje Čuden, če za katero koli vrednost XЄ X izpolnjena je enakost f(–х)= –f(х). Navedite primere.

Kje smo srečali izraza "sodo" in "neparno"?
Katera od teh funkcij bo enakomerna, mislite? zakaj? Kateri so nenavadni? zakaj?
Za katero koli funkcijo obrazca pri= x n, kje n je celo število, lahko trdimo, da je funkcija liha za n je liha in funkcija je soda za n- celo.
– Ogled funkcij pri= in pri = 2X– 3 ni niti sodo niti liho, ker enakosti niso izpolnjene f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Študija vprašanja, ali je funkcija soda ali liha, se imenuje študija funkcije za pariteto. Zdrs

Definiciji 1 in 2 sta obravnavali vrednosti funkcije pri x in - x, zato se domneva, da je funkcija definirana tudi pri vrednosti X, in ob - X.

ODA 3.Če nabor številk skupaj z vsakim svojim elementom x vsebuje nasprotni element -x, nato množico X se imenuje simetrična množica.

Primeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) so simetrične množice in , [–5;4] so nesimetrične.

- Ali imajo celo funkcije področje definicije - simetrično množico? Nenavadne?
- Če D( f) je asimetrična množica, kakšna je potem funkcija?
– Torej, če je funkcija pri = f(X) je sodo ali liho, potem je njegova domena definicije D( f) je simetrična množica. Toda ali drži obratno, če je domena funkcije simetrična množica, potem je soda ali liha?
- Torej je prisotnost simetričnega niza v domeni definicije nujen pogoj, ne pa zadosten.
– Kako lahko torej raziščemo funkcijo za pariteto? Poskusimo napisati algoritem.

Zdrs

Algoritem za preverjanje parnosti funkcije

1. Ugotovite, ali je domena funkcije simetrična. Če ne, potem funkcija ni niti soda niti liha. Če je odgovor pritrdilen, pojdite na 2. korak algoritma.

2. Napiši izraz za f(–X).

3. Primerjaj f(–X).in f(X):

• če f(–X).= f(X), potem je funkcija soda;
• če f(–X).= – f(X), potem je funkcija liha;
• če f(–X) ≠ f(X) in f(–X) ≠ –f(X), potem funkcija ni niti soda niti liha.

Primeri:

Raziščite funkcijo za pariteto a) pri= x 5 +; b) pri= ; v) pri= .

Odločitev.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrična množica.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h (x)= x 5 + liho.

b) y =,

pri = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrična množica, zato funkcija ni niti soda niti liha.

v) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. možnost

1. Ali je podana množica simetrična: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Preglejte funkcijo za pariteto:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. Na sl. začrtano pri = f(X), za vse X, ki izpolnjuje pogoj X? 0.
Narišite funkcijo pri = f(X), če pri = f(X) je enakomerna funkcija.

3. Na sl. začrtano pri = f(X), za vse x, ki izpolnjujejo x? 0.
Narišite funkcijo pri = f(X), če pri = f(X) je čudna funkcija.

Vzajemno preverjanje zdrs.

6. Domača naloga: №11.11, 11.21,11.22;

Dokaz geometrijskega pomena lastnosti parnosti.

*** (Dodelitev možnosti USE).

1. Liha funkcija y \u003d f (x) je definirana na celotni realni premici. Za katero koli nenegativno vrednost spremenljivke x vrednost te funkcije sovpada z vrednostjo funkcije g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Poiščite vrednost funkcije h( X) = pri X = 3.

7. Povzetek

Pretvorba grafikona.

Verbalni opis funkcije.

Grafični način.

Grafični način določanja funkcije je najbolj ilustrativen in se pogosto uporablja v inženiringu. AT matematična analiza za ponazoritev je uporabljen grafični način nastavitve funkcij.

Funkcijski graf f je množica vseh točk (x; y) koordinatne ravnine, kjer je y=f(x), x pa "teče skozi" celotno domeno dane funkcije.

Podmnožica koordinatne ravnine je graf neke funkcije, če ima največ eno skupno točko s katero koli črto, vzporedno z osjo Oy.

Primer. Ali so slike pod grafi funkcij?

prednost grafična naloga je njegova prepoznavnost. Takoj lahko vidite, kako se funkcija obnaša, kje se poveča, kje zmanjša. Iz grafa lahko takoj ugotovite nekaj pomembnih značilnosti funkcije.

Na splošno analitično grafične načine funkcijske naloge gredo z roko v roki. Delo s formulo pomaga sestaviti graf. In graf pogosto predlaga rešitve, ki jih v formuli ne boste opazili.

Skoraj vsak študent pozna tri načine za definiranje funkcije, ki smo jih pravkar obravnavali.

Poskusimo odgovoriti na vprašanje: "Ali obstajajo drugi načini za definiranje funkcije?"

Obstaja tak način.

Funkcijo je mogoče povsem nedvoumno opredeliti z besedami.

Funkcijo y=2x lahko na primer definiramo z naslednjim besednim opisom: vsaki realni vrednosti argumenta x je dodeljena podvojjena vrednost. Pravilo je nastavljeno, funkcija je nastavljena.

Poleg tega je mogoče funkcijo določiti verbalno, kar je izredno težko, če ne celo nemogoče, določiti s formulo.

Na primer: vsaka vrednost naravnega argumenta x je povezana z vsoto števk, ki sestavljajo vrednost x. Na primer, če je x=3, potem je y=3. Če je x=257, potem je y=2+5+7=14. itd. Težko je to zapisati v formulo. Toda mizo je enostavno narediti.

Metoda verbalnega opisa je precej redko uporabljena metoda. Ampak včasih se zgodi.

Če med x in y obstaja zakon ena proti ena, potem obstaja funkcija. Kakšen zakon, v kakšni obliki je izražen - s formulo, tablico, grafom, besedami - ne spremeni bistva zadeve.

Razmislite o funkcijah, katerih področja definicije so simetrične glede na izvor koordinat, t.j. za vsakogar Xštevilka izven obsega (- X) sodi tudi v področje definicije. Med temi funkcijami so sodo in liho.

Opredelitev. Pokliče se funkcija f celo, če za kaj X izven svoje domene

Primer. Razmislite o funkciji

Je celo. Preverimo.

Za vsakogar X enakosti

Tako sta za nas izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da je funkcija soda. Spodaj je graf te funkcije.

Opredelitev. Pokliče se funkcija f Čuden, če za kaj X izven svoje domene

Primer. Razmislite o funkciji

Nenavadna je. Preverimo.

Domena definicije je celotna numerična os, kar pomeni, da je simetrična glede na točko (0; 0).

Za vsakogar X enakosti

Tako sta za nas izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da je funkcija liha. Spodaj je graf te funkcije.

Grafika, prikazana na prvi in ​​tretji sliki, sta simetrična glede na os y, grafa, prikazana na drugi in četrti sliki, pa sta simetrična glede na izvor.

Katere od funkcij, katerih grafi so prikazani na slikah, so sode in katere lihe?

Funkcija je eden najpomembnejših matematičnih konceptov. Funkcija - spremenljiva odvisnost pri iz spremenljivke x, če je vsaka vrednost X se ujema z eno samo vrednostjo pri. spremenljivka X imenujemo neodvisna spremenljivka ali argument. spremenljivka pri imenovana odvisna spremenljivka. Vse vrednosti neodvisne spremenljivke (spremenljivke x) tvorijo domeno funkcije. Vse vrednosti, ki jih prevzame odvisna spremenljivka (spremenljivka y), tvorijo obseg funkcije.

Funkcijski graf imenujejo množico vseh točk koordinatne ravnine, katerih abscise so enake vrednostim argumenta, ordinate pa enake ustreznim vrednostim funkcije, to je vrednostim spremenljivke so izrisane vzdolž abscise x, vrednosti spremenljivke pa so izrisane vzdolž osi y y. Za izris funkcije morate poznati lastnosti funkcije. Glavne lastnosti funkcije bodo obravnavane spodaj!

Za izris funkcijskega grafa priporočamo uporabo našega programa - Graphing Functions Online. Če imate med preučevanjem gradiva na tej strani kakršna koli vprašanja, jih lahko vedno postavite na našem forumu. Tudi na forumu vam bodo pomagali pri reševanju nalog iz matematike, kemije, geometrije, teorije verjetnosti in mnogih drugih predmetov!

Osnovne lastnosti funkcij.

1) Obseg funkcije in obseg funkcij.

Obseg funkcije je nabor vseh veljavnih veljavnih vrednosti argumenta x(spremenljiva x), za katerega je funkcija y = f(x) opredeljeno.
Obseg funkcije je množica vseh realnih vrednosti y da funkcija sprejme.

V osnovni matematiki se funkcije preučujejo samo na množici realnih števil.

2) Funkcijske ničle.

Vrednote X, pri katerem y=0, se imenuje ničle funkcije. To so abscise presečišč grafa funkcije z osjo x.

3) Intervali predznakovne konstantnosti funkcije.

Intervali predznakovne konstantnosti funkcije so takšni intervali vrednosti x, na katerem so vrednosti funkcije y se imenujejo samo pozitivni ali samo negativni intervali konstantnosti predznaka funkcije.

4) Monotonost funkcije.

Naraščajoča funkcija (v nekem intervalu) - funkcija, pri kateri večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.

Zmanjšajoča funkcija (v nekem intervalu) - funkcija, pri kateri večji vrednosti argumenta iz tega intervala ustreza manjši vrednosti funkcije.

5) Sode (lihe) funkcije.

Soda funkcija je funkcija, katere področje definicije je simetrično glede na izvor in za katero koli X f(-x) = f(x). Graf sode funkcije je simetričen glede na os y.

Neparna funkcija je funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za katero koli X iz domene definicije enakost f(-x) = - f(x). Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.

Enakomerna funkcija
1) Območje definicije je simetrično glede na točko (0; 0), to je, če je točka a spada v področje definicije, nato pa točka -a spada tudi v področje definicije.
2) Za katero koli vrednost x f(-x)=f(x)
3) Graf sode funkcije je simetričen glede na os Oy.

čudna funkcija ima naslednje lastnosti:
1) Območje definicije je simetrično glede na točko (0; 0).
2) za katero koli vrednost x, ki spada v področje definicije, enakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor (0; 0).

Ni vsaka funkcija soda ali liha. Funkcije splošni pogled niso niti sode niti lihe.

6) Omejene in neomejene funkcije.

Funkcija se imenuje omejena, če obstaja pozitivno število M, tako da je |f(x)| ≤ M za vse vrednosti x. Če takšnega števila ni, je funkcija neomejena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična, če obstaja število T, ki ni nič, tako da je za kateri koli x iz domene funkcije f(x+T) = f(x). Takšne najmanjše število imenujemo obdobje funkcije. vse trigonometrične funkcije so periodične. (Trigonometrične formule).

Funkcija f se imenuje periodična, če obstaja število, tako da za katero koli x iz domene definicije enakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobje funkcije.

Vsaka periodična funkcija ima neskončno število obdobij. V praksi se običajno upošteva najmanjše pozitivno obdobje.

Vrednosti periodične funkcije se ponovijo po intervalu, enakem obdobju. To se uporablja pri risanju grafov.